上海中学自主招生数学试题[带答案
2019年上海中学自主招生数学试卷-附答案详解
2019年上海中学自主招生数学试卷1.已知a≠0，求a|a|+a2|a2|+a3|a3|=______．2.因式分解：x3−3x+2=______．3.已知两二次方程ax2+ax+b=0与ax2+bx+b=0各取一根，这两根乘积为1，求这两根的平方和为______．4.求三边为整数，且最大边小于16的三角形个数为______个．5.已知点C(3,5)，D(0,1)，A、B两点在x轴上且AB=2.已知点A在x轴右侧，求C ABCD的最小值为______．6.如图，正方形ABCD边长为2，点E、F分别为边AB、BC中点，AF分别交线段DE、DB于点M、N，则S△DMN=______．7.已知a>1，解方程：√a−√a+x=x．8.已知：|x i|<1(i=1,2,3,…,n)，且|x1|+|x2|+⋯+|x n|=1000+|x1+x2+⋯+x n|，则n的最小值为()A. 999B. 1000C. 1001D. 10029.已知，在△ABC中，AB=8，AC=6，点D、E分别在边AC、AB上，且AD=2.当△ADE∽△ACB时，AE=______．10.如图，在△ABC中，AB=AC，过点B在∠ABC内部作任一射线，作AH⊥射线于点H，在图上取一点P，使得HP//BC，且HP=12BC.联结AP、CP，求证：AP⊥CP．11.一个正方形上每条边上有三个四等分点，由这些四等分点，最多可组成多少个三角形？答案和解析1.【答案】3或−1【解析】解：当a>0时，|a|=a，∴a|a|+a2|a2|+a3|a3|=1+1+1=3，当a<0时，|a|=−a，a |a|+a2|a2|+a3|a3|=−1+1−1=−1，∴，a|a|+a2|a2|+a3|a3|的值为3或−1，故答案为3或−1．分两种情况求：当a>0时，|a|=a，当a<0时，|a|=−a，即可求解．本题考查绝对值的性质，熟练掌握绝对值的性质是解题的关键．2.【答案】(x−1)2(x+2)【解析】解：原式=x3+2x2−2x2−4x+x+2=x2(x+2)−2x(x+2)+(x+2)=(x2−2x+1)+(x+2)=(x−1)2(x+2)．故答案为：(x−1)2(x+2)．根据分组分解法的法则原则将x3−3x+2分组，再利用提公因式法和完全平方公式进行因式分解即可．本题考查分组分解法分解因式，掌握分组分解法的分组原则，即因式分解在组内能进行，在组与组之间也能进行，是正确解答的关键．3.【答案】3【解析】解：设方程两根分别为：m、1m ，则{am2+am+b=0bm2+bm+a=0相减可得：(a−b)(m2+m−1)=0，若a≠b，则m2+m−1=0，得m−1m=−1，∴m2+1m2=(m−1m)2+2=3，故答案为3．设方程两根分别为：m、1m ，则{am2+am+b=0bm2+bm+a=0，两式相减得到(a−b)(m2+m−1)=0，即可得到m2+m−1=0，得m−1m =−1，进而得到m2+1m2=(m−1m)2+2=3．本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0根与系数的关系的应用，用到的知识点：x1+x2=−ba ，x1⋅x2=ca．4.【答案】372【解析】解：设较小的两边长为x、y且x≤y，则x≤y<16，x、y∈N∗．当x=1时，y=1～15，三角形有15个；当x=2时，y=2～15，三角形有27个；当x=3时，y=3～15，三角形有36个；当x=4时，y=4～15，三角形有42个；当x=5时，y=5～15，三角形有45个；当x=6时，y=6～15，三角形有45个；当x=7时，y=7～15，三角形有42个；…当x=15时，y=15，三角形有1个．所以不同三角形的个数为15+27+36+42+45+45+42+36+28+21+15+10+6+3+1=372．故答案为：372．根据题意，设较小的两边长为x、y且x≤y，可得关系式x≤y<16，x、y∈N∗；分别令x=1、2、3、4、5、......、15，分别求得y的可取值，由分类计数原理，计算可得答案．本题考查了三角形三边关系，关键是列出约束条件，然后寻找x=1、2、3、4、5、......、15时，y的取值个数的规律，再用分类计数原理求解．5.【答案】7+√37【解析】解：如图：将D沿x轴正方向平移2个单位得D′，再作D′关于x轴的对称点D′′，∵DD′//AB，DD′=AB，∴四边形ABDD′为平行四边形，∴BD=AD′，∵D′关于x轴的对称点为D′′，∴BD=AD′′，∴BD+AC=AD′′+AC≥D′′C，∵C(3,5)，D(0,1)，∴D′′的坐标为(2,−1)，∴D′′C=√(3−2)2+(5+1)2=√37，∵CD=√(3−0)2+(5−1)2=5，∴C ABCD的最小值为AB+CD+D′′C=7+√37．故答案为：7+√37．将D沿x轴正方向平移2个单位得D′，再作D′关于x轴的对称点D′′，先证明四边形ABDD′为平行四边形得BD=AD′，再由D′关于x轴的对称点为D′′得BD=AD′′，从而得BD+AC= AD′′+AC≥D′′C，再由两点距离公式求出D′′C、CD、AB即可．本题主要考查了最短距离问题，将D沿x轴正方向平移2个单位得D′，再作D′关于x轴的对称点D′′，将BD+AC转化为AD′′+AC是解决此题的关键．6.【答案】815【解析】解：∵正方形ABCD 的边长为2，E ，F 分别是AB ，BC 的中点，∴AD =AB =2，AE =BF =1，∠EAD =∠FBA =90°，∴DE =AF =√22+12=√5，△ADE 和△BAF 中，{AD =AB ∠EAD =∠FBA AE =BF，∴△ADE≌△BAF(SAS)，∴∠ADE =∠BAF ，而∠BAF +∠DAM =90°，∴∠ADM +∠DAM =90°，∴AM ⋅DE =AE ⋅AD ，即AM ×√5=1×2，∴AM =2√55，∴DM =√AD 2−AM 2=√22−(2√55)2=4√55， ∵AD//CB ， ∴AN ：NF =AD ：BF =2：1，∴AN =23AF =2√53， ∴MN =2√53−2√55=4√515， ∴S △DMN =12DM ⋅MN =12×4√55×4√515=815． 故答案为：815． 根据正方形的性质及勾股定理得DE 的长，根据全等三角形的判定与性质得∠ADM +∠DAM =90°，然后由相似三角形的对应边成比例及三角形的面积公式可得答案． 此题考查的是全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、正方形的性质，掌握其性质定理是解决此题关键．7.【答案】解：设y =√a +x ，则y 2=a +x①，则原式变形为：√a −y =x ，∴x 2=a −y②，∴(x+y)(x−y+1)=0，∴x+y=0或x−y+1=0，当x+y=0时，∵x≥0，y≥0，∴x=y=0，∴a=0，此种情况不符合题意；当x−y+1=0时，代入①得：(x+1)2=a+x，，解得：x=−1±√4a−32∵x≥0，(a>1)，∴x=−1+√4a−32∴原方程的解为：x=−1+√4a−3(a>1)．2【解析】设y=√a+x，代入原方程可得√a−y=x，两式平方后相减可得x2−y2=−y−x，分解因式可得x+y=0或x−y+1=0，分情况计算可得方程的解．本题考查了解无理方程，利用换元法将原方程变形后进行因式分解可解答．8.【答案】D【解析】解：∵n个有理数x1、x2...x n满足：|x i|<1(i=1,2,3,…,n)，∴|x1|<1，|x2|<1，|x3|<1，...，|x n|<1；∴|x1|+|x2|+⋯+|x n|<1+1+...+1=n，即|x1|+|x2|+⋯+|x n|<n，∵|x1|+|x2|+⋯+|x n|=1000+|x1+x2+⋯+x n|，且|x1+x2+⋯+x n|≥0，∴1000+|x1+x2+⋯+x n|≥1000，即|x1|+|x2|+⋯+|x n|≥1000；∴1000≤|x1|+|x2|+⋯+|x n|<n，∴n>1000，∵n为整数，∴n的最小值为1002．本题利用绝对值和整数问题的相关内容求解即可．本题考查绝对值和整数的相关内容，解题的关键是熟记绝对值的性质．9.【答案】83【解析】解：∵△ADE∽△ABC，∴ADAC =AEAB，即26=AE8，解得AE=83．故答案为：83．根据相似三角形对应边成比例解答即可．本题考查了相似三角形的性质，在解答此类题目时要找出对应的角和边．10.【答案】证明：如图，延长CP、BH，交点为点Q，连结AQ，∵HP//BC，∴△QHP∽△QBC，∴QHQB =HPBC=QPQC，∵HP=12BC，∴QH=12QB，QP=12QC，∴QH=HB，QP=PC，∵AH⊥QB，∵AB =AC ，∴AC =AQ ，又∵QP =PC ，∴AP ⊥CP ．【解析】延长CP 、BH ，交点为点Q ，连结AQ ，由HP//BC 推出△QHP∽△QBC ，得到QH QB =HP BC =QP QC =12，推出QH =HB ，QP =PC ，再根据等腰三角形的判定与性质求解即可． 此题考查了平行线的性质及等腰三角形的性质，熟记平行线的性质、等腰三角形的性质及作出合理的辅助线是解题的关键．11.【答案】解：根据题意得，C 123−4=216，∴最多可组成216个三角形．【解析】一个正方形上每条边上有3个四等分点，从12个点中无顺序差别地选择3个点进行组合组成一个三角形，但在同一条边上的3个点构不成三角形，由此解答即可． 本题主要考查了排列组合，考虑到在同一条边上的3个点构不成三角形时解决此题的关键．。
2019年上海中学自主招生数学试卷
2019年上海中学自主招生数学试卷
一、填空题（共11小题，每小题0分，满分0分）
1．已知a≠0，求++＝．
2．因式分解：x3﹣3x+2＝．#MUSTA
3．已知两二次方程ax2+ax+b＝0与ax2+bx+b＝0各取一根，这两根乘积为1，求这两根的平方和为．
4．求三边为整数，且最大边小于16的三角形个数为个．
5．已知点C（3，5），D（0，1），A、B两点在x轴上且AB＝2．已知点A在x轴右侧，求
C ABCCD的最小值为．
6．如图，正方形ABCD边长为2，点E、F分别为边AB、BC中点，AF分别交线段DE、DB于点M、N，则S△DMN＝．
7．已知a＞1，解方程：＝x．#MUSTA
8．已知：|x i|＜1（i＝1，2，3，…，n），且|x1|+|x2|+…+|x n|＝1000+|x1+x2+…+x n|，则n的最小值为（）
A．999B．1000C．1001D．1002
9．已知，在△ABC中，AB＝8，AC＝6，点D、E分别在边AC、AB上，且AD＝2．当△ADE∽△ACB时，AE＝．
10．如图，在△ABC中，AB＝AC，过点B在∠ABC内部作任一射线，作AH⊥射线于点H，在图上取一点P，使得HP∥BC，且HP＝BC．联结AP、CP，求证：AP⊥CP．
11．一个正方形上每条边上有三个四等分点，由这些四等分点，最多可组成多少个三角形？。
【自招】2004-2015年上海自主招生数学试题
6
2011 年华师二附自主招生数学试题及答案
一、 填空题（每题 4 分） 1. 已知关于 x 的多项式 ax7 bx5 x2 x 12 （ a 、 b 为常数），且当 x 2 时，该多项 式的值为 8 ，则当 x 2 时，该多项式的值为__________．
2. 已知关于 x 的方程 x2 a 2 x a 1 0 的两实根 x1 、 x2 满足 x12 x22 4 ，则实
15. 某养鱼户为了估计鱼塘内鱼的条数和重量，先网出 100 条鱼，做上标记后全部放回
鱼塘，过些时候捕捞出 90 条鱼，发现其中有 4 条鱼带有标记，估计该鱼塘内养鱼
约有_________条．
16. 如图，四边形 ABCD 中， ADC 和 ABC 都是直角，
D
DE 垂直于 AB ， AD 边与 CD 边长度相等．已知四边
C 形 ABCD 的 面 积 为 16 ， 那 么 线 段 DE 的 长 度 是
_________． A
17. 在 ABC 中， D 为 BC 的中点， E 为 AD 的中点，如
果延长 BE 交 AC 于 F ，那么 AF : FC ________．
E
B
第 16 题
18. 如图， ABC 中，已知 AB AC ， DEF 是 ABC 的内接正三角形， BDF ，
圆括号内），一律得零分．
1
1.
计算
3
4
3
9 2
32
1 9
2
，得（）
A． 11 9
B． 1
C． 5 9
D． 1 9
2. 如果 a b ，那么下列结论正确的是（）
2023年上海市自主招生数学全真模拟试卷(八),含详细参考答案
自主招生数学全真模拟试卷(八)一．填空题1.若质数p 、q 满足25360p q --=，则样本p 、q 、9、16的中位数是_______2.在△ABC 中，最大角∠A 是最小角∠C 的两倍，且AB=7，AC=8，则BC=_______.3.已知a 、b 、c 、d 满足22(29),(29)a c d b c d =+=-，则d 的值为_______.4.设n 为正整数，且3n +1、5n -1均为完全平方数，给出以下两个命题：①7n +13必为合数；②8(17n 2+3n )必为两个完全平方数的和.其中正确的是______(填序号)5.在Rt △ABC 中,CD 是斜边AB 上的高，△ABC 的三边长a 、b 、c 均为正整数，BD=27，则cosB=_______.6.在△ABC 中，∠BAC=45°，∠ABC=60°，高AD 与高BE 相交于点H ，若AB=1，则四边形CDHE 的面积为________.7.已知平面内点P 到等边△ABC 的三边所在直线l 1、l 2、l 3的距离为6、9、12，则△ABC 的边长的可能值有_______个.8.已知Rt △ABC 和Rt △ADC 有公共的斜边AC ，M 、N 分别为边AC 、BD 的中点，若∠BAC=30°，∠CAD=45°，MN=1，则AC 的长为________.二．解答题9.正三角形ABC 中有一点P ，满足AP=3，BP=4，CP=5，求三角形ABC 的面积.10.已知抛物线与y 轴交于点P ，与x 轴交于不同点A 、B ，且，求所有b 的可能值的乘积.11.已知a 、b 、c 、d 均为实数，且a+b+c+d =4,a+b+c+d =,求a 的最大值.12.有一块三角形的活动场地，边AB=20，B=60，C=75，AD 是一条石灰线且AD ⊥BC 于点D ，悠悠从点D 出发，经过边AB 上一点及AC 上一点，最后回到D 处，求悠悠走的最短路程.参考答案1.由03652=--q p 得155155)6)(6(⨯=⨯=⨯==-+q q q q p p ，故有；q p p =-=+6,56；56,6=-=+p q p ；q p p 56,16=-=+；16,56=-=+p q p 解得(p,q )=(-1,-7)(舍去)，(11,17)、(-5,511-)(舍去)、(7，513)(舍去)，故样本为11、17、9、16，其中位数是13.52.如下图延长CA 至点D ，使AD=AB ，连接BD ，BCD 为等腰三角形，作BECD 于点E ，DE=CE=215，故AE=21，得BC=1053.设(a,b )=d′,a=d′a 1,b=d′b 1,(a 1,b 1)=1,已知条件中的两式相除得292922-+=d d b a 则29292121-+=d d b a 设d +29=t a 21,d -29=t b 21即有58))((1111=-+t b a b a ，)()(1111b a b a -+、同奇偶知t=2,2911=+b a ,111=-b a ,故a 1=15,b 1=14,d =4214.设,132a n =+215b n =-(a 、b 为正整数)则7n+13=9(3n+1)-4(5n-1)=)23)(23()2()3(22b a b a b a -+=-，故3a-2b 为正整数.若3a-2b=1,则27n+9=22)12()3(+=b a ，即)2(4272-+=b b n ，故4|n ，不妨设n=4k,则5n-1=20k-1不为平方数，矛盾.因此3a-2b ≥2；故7n+13为合数，结论①正确；又2222)()2(]15)13(4][15)13[()317(8ab b a n n n n n n ++=-++-++=+,故结论②正确；故正确的序号为①②5.设d c a =),(不妨设,,00d c c d a a ==其中1),(00=c a ,由射影定理知BC 2=BD ·BA ，即c a 272=，从而有c da 2720=，即有02027c da =，所以27|20a ，解得a 0=1或3若a 0=1，则12022-=-=c d a c b 不是正整数，矛盾.若a 0=3，则92022-=-=c d a c b ，设2209e c =-所以)4,5(),(0=e c ,所以cosB=536.因为∠BAC=45°，∠ABC=60°，故∠ACB=75°，△ABC 是锐角三角形，高AD 与BE 的垂足分别在BC 、AC 上，易知AE=BE=22，BD=21，AD=23，同时△AEH ≌△BEC 得AEH BCE S S ∆∆=，8341S S S S S ABD ABE BDH AEH CDHE -=-=-=∆∆∆∆7.设正△ABC 的高为h ，点P 到△ABC 三边的距离分别为h 1、h 2、h 3，如图，当P 在I 中时，h=h 1+h 2+h 3=27；当P 在Ⅱ中时，h=h 1+h 2-h 3，有3种可能值；当P 在Ⅲ中时，h=h 1-h 2-h 3<0，无可能值.因此，这样的△ABC 有4个不同边长.8.分两种情形：(1)当点B 、D 位于直线AC 的同侧时，如图①，连接DM 、BM ，则MD=MB=AC,DM ⊥AC ；从而△BCM 是等边三角形，故∠DMB=∠DMC-∠BMC=30°；在△DMB 中，根据三线合一得MN ⊥BD ，∠BMN=∠DMB=15°，由2cos15°-1=426+,得cos15°=,故AC=)26(2-(2)当点B 、D 位于直线AC 的两侧时，如图②，有∠DMD=∠BMC+∠DMC=150°，则AC=)26(2+综上，AC=)26(2-或)26(2+9.如图，以AP 为边向外作等边△APP′，连接BP′，易知△ABP′≌△ACP ，易知P′B=5，P′P=3，故∠BPP′=90°，而∠APP′=60°，故∠APB=150°；过点B 作BE ⊥AP 于点E ，得BE=2，PE=23，AB 2=25+123，故S △ABC =94325+10.①当A 、B 均在y 轴左侧时，因为a>0,△>0,所以点P 在x 轴上方，设A(-k,0)B(-2k,0)P(0,3k)将三点代入c bx ax y ++=2得b=29.②当A 、B 均在y 轴右侧时，同理得b=29-③当A 、B 在y 轴异侧时(注意2|OB ||OA |=时，点P 在x 轴下方),仿照①②分别得b=23或b=-23，从而乘积为1672911.构造函数)()(232222d c b x d c b x y +++++-=因0)()()(222≥-+-+-=d x c x b x y 且图像是开口向上的抛物线，则0)(12)(42222≤++-++=∆d c b d c b 即0)316(3)4(22≤---a a 解得20≤≤a ，故a 的最大值是2.12.如图作点D 关于AB 的对称点D 1，关于AC 的对称点D 2，连接D 1D 2分别交AB 、AC 于点E 、F ，则DE+EF+DF 就是悠悠走的最短路程.理由如下：在AB 上任取一点E′,在AC 上任取一点F′，连接DE′、E′F′、F′D 、E′D 1、F′D 2、AD 1、AD 2，易知E′D=E′D 1，ED=ED 1，F′D=F′D 2，FD=FD 2，故DE+EF+FD=D 1E+EF+FD 2=D 1D 2由两点之间线段最短可知D 1D 2≤DE′+E′F′+F′D 2，DE+EF+FD=D 1E′+E′F′+F′D 2当E 与E 重合且F 与F 重合时取等号，所以DE+EF+FD ≤DE′+E′F′+F′D ，因此DE+EF+FD 就是最短路程.AD=10，D 1D 2=106，故最短路程为106.。
上海上师初级中学重点中学初一数学自主招生试卷模拟试题(5套带答案)
上海上师初级中学重点中学初一数学自主招生试卷模拟试题（5套带答案)初一自主招生数学考试试卷一、填空题。
（每题2分，共24分）1、一个九位数，最高位上的数既不是质数也不是合数，十万位上的数是最小的质数，百位上的数是最小的合数，其他各位上都是最小的自然数，这个数写作（ ），改写成用“万”做单位的数是（）。
2、比10少20%的数是（），比8千克多80%的数是（）。
3、东方小学进行一次数学考试，合格的学生有180人，不合格的学生有20人，这次数学考试的合格率是（）。
4、若M=2×3×5×7，N=2×5×7，则M 和N 的最大公因数是（ ），M 和N 的最小公倍数是（ ）。
5、给4:7的前项乘以3,要使比值不变，后项应该加上（）。
6、一个圆柱和一个圆锥等底等高，它们的体积之和是48立方分米，那么，圆锥的体积是（ ）立方分米，圆柱的体积是（）立方分米。
7、有鹤和龟一共30只，一共有92条腿，鹤有（ ）只，龟有（ ）只。
8、甲数的43等于乙数的53，甲数：乙数=（ ）：（ ）。
9、在一条长100米的人行道的一侧栽树，每隔4米栽一棵（两端都要栽）需要栽（）棵树。
10、在浓度为10%，重量为80克的糖水中，加入（）克水就能得到浓度为8%的糖水。
11、小华统计了自己存下来的钱有160枚硬币，其中1元硬币占37.5%，5角硬币占40%，1角的硬币占22.5%，他一共拥有（）元。
12、花花有一箱桃子，3个3个的数多1个，4个4个的数也多1个，5个5个的数还多1个，这箱桃子至少有（ ）个。
二、选择题。
（每题2分，共10分）1、如果一个圆的半径是a 厘米，且2：a =a ：3，则这个圆的面积是（ ）平方厘米。
A.πB.6C.6πD.无法求出2、小华在计算3（x+5）时没有注意到括号，按3x+5计算，结果比原来（ ）。
A.少5B.多5C.少10D.多103、甲桶倒给乙桶5千克油后，两桶油相等，原来甲桶比乙桶多（）千克。
上海中学自招真题解析
ABCDEF 的相似比为1: 3 ，因此面积比为1: 3 ．因为 ABCDEF 的面积是 6cm2 ，所以阴影部分的面积为 6 3 2(cm2 ) ．
10、已知 y1 2x2 4 m x 4 m 与 y2 mx 在 x 取任意实数时， y1 ， y2 至少有一个是正
数，m 的取值范围是________． 【答案】 m 4 ． 【解析】取 x 0 ，则 y1 4 m ， y2 0 ， 4 m 0 ， m 4，
，解得 3
m n
3 2 3 2
，另一解与
O
重合，舍去．因此 C(3 2
,
3)． 2
7、一张矩形纸片 ABCD ， AD 9 ， AB 12 ，将纸片折叠，使 A 、 C 两点重合，折痕长是
．
【答案】 45 ． 4
【解析】由题意知折痕是线段 AC 的中垂线，设它与 AB , CD 分别交于 M , N ．设 MB x ，
上海中学自主招生试题
1、因式分解： 6x3 11x2 x 4
．
【答案】 x 13x 42x 1 ．
【解析】容易发现 x 1是方程 6x3 11x2 x 4 0 的解，因此原式可以提出因式 (x 1) ，
得到 (x 1)(6x2 5x 4) ，对 (6x2 5x 4) 用十字相乘可以得到原式等于 (x 1)不相等的实数，x 是任意实数，化简：
a
x a2 ba
c
c
x b2 ba
b
c
x c2 ac
b
________．
【答案】1．
【解析】令
f
x
a
x a2 ba
c
c
x b2 ba
b
c
x c2 ac
2020年上海市上海中学自主招生数学模拟试卷及答案解析
2020年上海市上海中学自主招生数学模拟试卷一．填空题（共8小题，满分24分）1．（3分）已知a 2﹣a ＝0，则a−1a+2⋅a 2−4a −2a+1÷1a −1的值是 ．2．（3分）已知√a −17+2√17−a =b +8，则√a −b 的值是 ．3．（3分）如图，△ABC 与△AEF 中，AB ＝AE ，BC ＝EF ，∠B ＝∠E ，AB 交EF 于D ．给出下列结论：①∠AFC ＝∠AFE ；②BF ＝DE ：③∠BFE ＝∠BAE ；④∠BFD ＝∠CAF ．其中正确的结论是 ．（填写所正确结论的序号）．4．（3分）方程mx 2+4x +2＝0有两个实根x 1，x 2，则实数m 的取值范围是 ；x 1+x 2＝ ；抛物线y ＝mx 2+4x +2的图象全在x 轴上方，且与x 轴没有公共点，则m 的取值范围是 ．5．（3分）如图，直线l 与x 轴、y 轴分别交于点A 、B ，且OB ＝4，∠ABO ＝30°，一个半径为1的⊙C ，圆心C 从点（0，1）开始沿y 轴向下运动，当⊙C 与直线l 相切时，⊙C 运动的距离是6．（3分）按图中程序计算，规定：从“输入一个值x ”到“结果是否≥14”为一次程序操作，如果程序操作进行了两次才停止，则x 的取值范围为 ．7．（3分）观察下面的一列数，按规律在横线上填上适当的数：﹣2，4，﹣8，16，﹣32， ， ，……，第n 个数是 ．8．（3分）关于x 的不等式组{4a +3x ＞03a −4x ≥0恰好只有三个整数解，则a 的取值范围是 二．选择题（共4小题，满分12分，每小题3分）9．（3分）下列式子中，从左到右的变形是因式分解的是（ ）A ．（x ﹣1）（x ﹣2）＝x 2﹣3x +2B ．x 2﹣3x +2＝（x ﹣1）（x ﹣2）C ．x 2+4x +4＝x （x ﹣4）+4D ．x 2+y 2＝（x +y ）（x ﹣y ）10．（3分）如图，在四边形ABCD 中，AD ∥BC ，AB ＝AD ，BC ＝6，△BCD 的面积为9，则点D 到AB 的距离为（ ）A ．3B ．4.5C ．6D ．911．（3分）关于x 的一元二次方程x 2+√m x +n ＝0（m ≠0）有两个相等的实数根，则n m 的值为（ ）A ．4B ．﹣4C ．14D ．−1412．（3分）如图，按大拇指，食指，中指，无名指，小指，无名指，中指，…的顺序从1开始数数，当数到2020时，对应的手指是（ ）A ．食指B ．中指C ．无名指D ．小指三．解答题（共2小题）13．如图，四边形ABCD 中，∠A ＝90°，AB ＝5√3，BC ＝8，CD ＝6，AD ＝5，试判断点A 、B 、C 、D 是否在同一个圆上，并证明你的结论．14．将一个正整数x 的首位数字与末位数字先立方再求和得到一个新数（若x ＜10，则直接。
上海中考自招试卷(数学)及答案要点(pdf版)
高中自主招生练习卷数学试卷考生注意：1.本试卷共18题.2.试卷满分150分，考试时间100分钟.3.答题时，考生务必按答题要求在答题纸规定的位置上作答，在草稿纸、本试卷上答题一律无效.4.除第一大题外，其余各题如无特别说明，都必须在答题纸的相应位置上写出证明或计算的主要步骤.一、填空题（41分，第1~5题每题3分，第6~7题每题8分，第8题10分）1.32++-=x x y 的最小值是.2.不等式0232≥++bx x 的解是全体实数，则b 的取值范围是.3.如图，梯形ABCD 中，DC ∥AB ，DC ＝3cm ，AB ＝6cm ，且MN ∥PQ ∥AB ，DM ＝MP ＝PA ，则MN ＝cm ，PQ ＝cm.4．已知关于x 的不等式122++mx mx >0的解是一切实数，则m 的取值范围为___________.5.已知关于x 的方程111112-=--+-x mx x x 有两个不相等的实数根，则m 的取值范围是.6.若多项式b x x -+1732分解因式的结果中有一个因式为4+x ，则b 的值为.7.若y x ，为正实数，且4=+y x ，则4122+++y x 的最小值为.8.对任意A 中任取两个元素x ，y ，定义运算x*y ＝ax+by+cxy ，其中a ，b ，c 是常数，等式右边的运算是通常的加法和乘法运算．已知1*2＝3，2*3＝4，并且集合A 中存在一个非零常数m ，使得对任意x ，都有x*m ＝x ，则称m 是集合A 的“钉子”．集合A ＝{x|0≤x ≤4}的“钉子”为．二、简答题（共109分）9.（8分）已知实数a ,b 满足122=b a ＋,0＞ab ,求2211a b b a -+-的值.10.（8分）已知集合A ＝{0，1}，B ＝{a 2，2a }，其中a ∈R ，我们把集合{x |x ＝D C MP N Q ABx 1+x 2，x 1∈A ，x 2∈B }，记作A ×B ，若集合A ×B 中的最大元素是2a +1，求a 的取值范围.11.（8分）设f x ax bx ()=+2，且112214≤-≤≤≤f f ()()，，求f ()-2的取值范围。
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2014年上海中学“创新素养培育项目”数学测试卷
一、填空题(8×9=72)
1.已知111a b a b +=+，则
b a a b +=___________. 【变式】已知：114a b a b +=+，则b a a b +=___________. 【变式】已知：114a b a b -=+，则b a a b -=
___________. 【变式】已知：2
2
114
a b a b +=+，则22b a a b +=___________.
1b =
b +=___________.
2.有________个实数x
.
【变式】x 为1,2,3，……，2014
x 有_______个. 【变式】x 为1,2,3，……，2014
为有理数的x 有_______个. 【变式】有________个整数x
.
3.如图，在ABC ∆中，AB AC CD BF BD CE ===，，，用含A ∠的式子表示EDF ∠，应为
EDF ∠=_____________.
F
E
D
C
B
A
【变式】如图，在等腰直角ABC ∆中，
90,A ∠=AB AC CD BF BD CE ===，，，则 EDF ∠=_____________.
F
E
D
C
B
A
【变式】如图，在等腰直角ABC ∆中，0
901
A A
B A
C ∠===，，
D
E
F 、、分别是边BC CA AB 、、上的点，且CD BF BD CE ==，，则DEF S ∆面积最大值为__________.
F
E
D
C
B
A
4.在在直角坐标系中，抛物线223
(0)
4y x mx m m =+->与x 轴交于A B 、两点，若A B 、两点到原点的距离分别为OA OB 、，且满足1123OB OA -=
，则m =_________.
5.定圆A 的半径为72，动圆B 的半径为r ，72r <且r 是一个整数，动圆B 保持内切于圆A 且沿着圆A 的圆周滚动一周，若动圆B 开始滚动时切点与结束时的切点是同一点，则r 共有______个可能的值.
6.学生若干人租游船若干只，如果每船坐4人，就余下20人，如果每船坐8人，那么就有一船不空也不满，则学生共有________人.
7.对于各数互不相等的正整数组()12n a a a ，，，(n 是不小于2的正整数)，如果在i j <时有
i j a a >，则称i a 与j a 是该数组的一个“逆序”，例如数组
()2,3,1,4中有逆序“2,1”，“4,3”，“4,1”，
“3,1”，其逆序数为4，现若各数互不相同的正整数组()1
23456a a a a a a ，，，，，的逆序数为2，
则
()654321a a a a a a ，，，，，的逆序数为___________.
8.若n 为正整数，则使得关于x 的不等式11102119n x n <<
+有唯一整数解的n 的最大值为______.
【变式】若n 为正整数，则使得关于x 的不等式11102119n x n <<
+有唯一整数解的n 的最小值为
______.
二、选择题(4×10=40)
9．已知2
12x ax +-能分解成两个整系数的一次因式的积，则符合条件的整数a 的个数为( )
A. 3个
B. 4个
C. 6个
D. 8个
10．如图，D E 、分别为ABC ∆的底边所在直线上的两点，DB EC =，过A 作直线l ，作
//DM BA 交l 于M ，作//EN CA 交l 于N ，设ABM ∆面积为1S ，ACN ∆面积为2S ，则
( )
A. 12
S S > B.
12
S S = C.
12
S S < D.
1
S 与
2
S 的大小与过点A 的直线位置有关
11.设
1212
p p q q ，，，为实数，
12122()
p p q q =+，若方程，甲：
2110
x p x q ++=，
乙：2220
x p x q ++=，则 ( )
A ．甲必有实根，乙也必有实根 B. 甲没有实根，乙也没有实根
C ．甲、乙至少有一个有实根 D. 甲、乙是否总有一个有实根不能确定
12．设
22222222
12310071231007,1352013357
2015a b =+++
+=++++
，则以下四个选项中最接
近a b -的整数为( )
A ．252 B.504 C. 1007 D. 2013
三、解答题(38分，13题18分，14题20分)
13.直角三角形ABC 和直角三角形ADC 有公共斜边AC (B D 、位于AC 的两侧)，M N 、分别是AC BD 、的中点，且M N 、不重合， (1)线段MN 与BD 是否垂直？证明你的结论.
(2)若030BAC ∠=，
045,4CAD AC ∠==，求MN 的长. N
M
D
C
B
A
14.是否存在m 个不全相等的正数12(7)
m a a a m ≥，，，，使得它们能全部被摆放在一个圆周
上，每个数都等于其相邻两数的乘积？若存在，求出所有这样的m 值，若不存在，说明理由.
答案：1. ()2
1
,1,a b a b ab a b ab ++=⇒=+
()()2
2
2222121
a b ab a b b a a b a b ab ab ab +-+++===-=-=-.
事实上，这道题是一道错题：()2
1,1,a b a b ab a b ab ++=⇒=+注意了，()24a b ab +≥，已知条
件就错了，同样结果也错了，2b a b a a b a b +=+≥=. 2.11, 3.EDF ∠=90°12A
-∠.
4.2,
5.11,
6.44,
7.13.
8. 220, 9．C
10．B ， 11 C.12．B.13.(1)MN BD ⊥
(2)2.
14.【解析】设
1234567811,,,
y x
a x a y a a a a a x a y x x y y ========，，，，，，显然是
一个周期为6的数列，
(1) 当0(mod 6)m ≡,121100
1m
m m x x y x a a a y y a a a x x x y
y y -⎧
=⋅>⎧⎪=⋅⎧⎪⎪⇒⇒>⎨⎨⎨=⋅⎩⎪⎪=⋅≠⎩⎪⎩;
(2) 当1(mod6)m ≡,12111m m m x y x
a a a x y x x x a a a y -=⋅⎧=⋅⎧⎪
⇒⇒==⎨
⎨=⋅=⋅⎩⎪⎩与不全相等矛盾；
(3) 当2(mod 6)m ≡,1211
1m m m a a a x y y x y a a a y x x -=⋅=⋅⎧⎧⇒⇒==⎨
⎨=⋅=⋅⎩⎩与不全相等矛盾；
(4) 当3(mod 6)m ≡,12111m m m y x y a a a x x y a a a y x y
x -⎧
=⋅⎪=⋅⎧⎪⇒⇒==⎨
⎨=⋅⎩⎪=⋅⎪⎩与不全相等矛盾；
(5) 当4(mod 6)m ≡,1211111m m m x y a a a x x y a a a y x x x -⎧=⋅⎪=⋅⎧⎪⇒⇒==⎨⎨
=⋅⎩⎪=⋅
⎪⎩与不全相等矛盾；
(6) 当
5(mod6)
m≡,
12
11
1
1
11
m
m m
x y
a a a y
x y
a a a
x
y x
-
⎧
=⋅
⎪
=⋅
⎧⎪
⇒⇒==
⎨⎨
=⋅
⎩⎪=⋅
⎪⎩
与不全相等矛盾；
综上所述，当
0(mod6)
m≡，7
m>时，存在m个不全相等的正数12(7)
m
a a a m ≥
，，，
，
使得它们能全部被摆放在一个圆周上，每个数都等于其相邻两数的乘积.
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