2019年上海中学自招数学试卷

2019上海中学自主招生试卷及答案

1、已知0a ≠，求23

23a a a a a a

++=___________ 【答案】3或1-

【解析】①0a >时，23

231113a a a a a a

++=++=； ②0a <时，23

231111a a a a a a

++=-+-=-； 2、因式分解：332x x -+

【答案】()()212x x -+

【解析】拆项()

()3323222121x x x x x x x x -+=--+=--- ()()()()()()()2

211211212x x x x x x x x x =+---=-+-=-+ 3、已知两个二次方程20ax ax b ++=与2

0ax bx b ++=各取一根，这两根乘积为1，求这两根的平方和为________

【答案】3

【解析】设m ，n 分别为20ax ax b ++=与20ax bx b ++=的两个实数根，1m n ?=Q ，1n m ∴=，由题意得20am an b ++=①与20an bn b ++=②，将1n m

=代入到20an bn b ++=有2110a b b m m

++=，变形得20bm bm a ++=③，由①③联立得()()()20b a m b a m a b -+-+-=，讨论：1）0b a -=，0b a =≠时，m ，n 为

210x x ++=的实数根，22131024x x x ??++=++> ??

?Q 恒成立，所以此种情况无解；2）0b a -≠时，有210m m +-=，有11m m -=-，且222221123m n m m m m ??+=+=-+= ???

4、求三边为整数，且最大边小于16的三角形个数为________个

【答案】372

【解析】设较小的两边为x 、y ，且x y ≤，则最大边为15的三角形有如下情况：

15x y ≤≤，15x y +>

①1x =时，15y =；

②2x =时，15y =，14y =；

③3x =时，15y =，14y =，13y =；

④4x =时，15y =，14y =，13y =，12y =；

⑤5x =时，15y =，14y =，13y =，12y =，11y =；

⑥6x =时，15y =，14y =，13y =，12y =，11y =，10y =；

⑦7x =时，15y =，14y =，13y =，12y =，11y =，10y =，9y =；

⑧8x =时，15y =，14y =，13y =，12y =，11y =，10y =，9y =，8y =； ⑨9x =时，15y =，14y =，13y =，12y =，11y =，10y =，9y =； ……

共有12345678765432164++++++++++++++=种

同理：最大边为14的有1234567+765432156++++++++++++=种 最大边为13的有123456765432149++++++++++++=

最大边为12的有12345665432142+++++++++++=

最大边为11的有1234565432136++++++++++=

最大边为10的有123455432130+++++++++=

最大边为9的有12345432125++++++++=

最大边为8的有1234432120+++++++=

最大边为7的有123432116++++++=

最大边为6的有12332112+++++=

最大边为5的有123219++++=

最大边为4的有12216+++=

最大边为3的有1214++=

最大边为2的有112+=

最大边为1的有1