上海交通大学2018年自主招生考试数学试题(含答案)
2018年上海中学自主招数学试卷-含答案详解
2018年上海中学自主招数学试卷一、选择题（本大题共4小题，共12.0分。
在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）1. 已知x2+ax−12能分解成两个整数系数的一次因式的积，则整数a的个数有( )A. 0B. 2C. 4D. 62. 如图，D、E分别为△ABC的底边所在直线上的两点，BD=EC，过A作直线l，作DM//BA 交l于M，作EN//CA交l于N.设△ABM面积为S1，△ACN面积为S2，则( )A. S1>S2B. S1=S2C. S1<S2D. S1与S2的大小与过点A的直线位置有关3. 设p1、p2、q1、q2为实数，则p1p2=2(q1+q2)，若方程甲：x2+p1x+q1=0，乙：x2+ p2x+q2=0，则( )A. 甲必有实根，乙也必有实根B. 甲没有实根，乙也没有实根C. 甲、乙至少有一个有实根D. 甲、乙是否总有一个有实根不能确定4. 设a=121+223+325+⋯+100722013，b=123+225+327+⋯+100722015，则以下四个选项中最接近a−b的整数为( )A. 252B. 504C. 1007D. 2013二、填空题（本大题共8小题，共24.0分）5. 已知1a +1b=1a+b，则ba+ab的值等于______ ．6. 有______个实数x，可以使得√120−√x为整数．7. 如图，△ABC中，AB=AC，CD=BF，BD=CE，用含∠A的式子表示∠EDF，则∠EDF=______．8. 在直角坐标系中，抛物线y=x2+mx−34m2(m>0)与x轴交于A，B两点.若A，B两点到原点的距离分别为OA，OB，且满足1OB −1OA=23，则m的值等于_______．9. 定圆A的半径为72，动圆B的半径为r，r<72且r是一个整数，动圆B保持内切于圆A且沿着圆A的圆周滚动一圈，若动圆B开始滚动时的切点与结束时的切点是同一点，则r共有______个可能的值．10. 学生若干人租游船若干只，如果每船坐4人，就余下20人，如果每船坐8人，那么就有一船不空也不满，则学生共有______人．11. 对于各数互不相等的正整数组(a1,a2,…a n)(n是不小于2的正整数)，如果在i<j时有a i>a j，则称a i与a j是该数组的一个“逆序”，例如数组(2,4,3,1)中有逆序“2，1”、“4，3”、“4，1”、“3，1”，其逆序数为4，现若各数互不相同的正整数组(a1,a2,a3,a4,a5,a6)的逆序数为2，则(a6,a5,a4,a3,a2,a1)的逆序数为______．12. 若n为正整数，则使得关于x的不等式1121<nx+n<1019有唯一的整数解的n的最大值为______．三、解答题（本大题共2小题，共16.0分。
上交2018年自主招生试题
2018年上海交通大学自主招生考试 1.设点0)P，已知曲线y x =≤≤上存在n 个点12,,,n A A A ，使得12,,,n PA PA PA构成公差为1(5d ∈的等差数列，求n 的最大值；2.已知△ABC 的面积为14，外接圆半径R=1111a b c++的大小3.已知等差数列{}n a ，满足2211n a a a ++≤，试求1221n n n a a a ++++++的最大值4.记6的小数部分为t，求t 6)的值 5.已知2113,12n n n a a a a +==-+，求122017111a a a +++的整数部份6.设X 为全集，A X ⊂,定义1,0,S A S Af S A ∈⎧=⎨∉⎩，对X 的真子集A 和B ，下列错误的是（ ）A . S SB A B A f f ⊆⇒≤ B .若B A ⋂≠φ，则S S S B S B A f f f ⋂≤≤C .忘记D . S S S B S B A f f f ⋃=≤7.在四面体中不同长度的棱长至少有______条8.在一个平面内，一条抛物线把平面最多分成2部分，两条抛物线把平面最多分成7部分，问四条抛物线把平面最多分成几部分？9.已知22(,)(53cos )(2sin )g a b a b a b =+-+-，求(,)g a b 的最小值 10.已知133a =，12n n a a n +-=，则当na n取最小值时，n =________ 11.已知动点A 在椭圆2212516x y +=上，动点B 在圆22(6)1x y -+=上，求AB 的最大值12.若100!12(*)n M M Z =∈，则当n 取最大值时，M 是否能被2,3整数13.设光线从点A （1,1）出发，经过y 轴反射到圆22(5)(7)1x y -+-=上一点P ，若光线从点A 到点P 经过的路程为R ，求R 的最小值14.正整数列1,2,3……，将其中的完全平方数和完全立方数都划去，求将剩下的数按照从小到大排列的第500个数是多少？。
历年自主招生考试数学试题大全2018年上海交通大学自主招生数学试题Word版
2018年上海交通大学自主招生考试数学试题一、填空题（每题5分，共50分）1．已知方程2212x px p--=0（p R ∈）的两根12,x x 满足441222x x +≤，则p= ． 2．设8841sin cos ,0,1282x x x π⎛⎫+=∈ ⎪⎝⎭，则x = ． 3．已知,n Z ∈且1200411112004n n +⎛⎫⎛⎫+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则n= ．4．如图，将3个12cm×12cm 的正方形沿邻边的中点剪开，分成两部分，将这6部分接在一个边长为2的正六边形上，若拼接后的图形是一个多面体的表面展开图．则该多面体的体积为 ． 第4题图523333,,,x y x y Q -=∈则（x ，y ）= ．6．化简：()()122222246812n n +-+-++-= ． 7．若3z ＝1，且z ∈C ，则3z ＋22z ＋2z +20= ．8．一只蚂蚁沿l×2×3立方体表面爬，从一条对角线一端爬到另一端所爬过的最短距离为 ．9．4封不同的信放人4个写好地址的信封中，全装错的概率为 ，恰好只有一封信装错的率为 ．10．已知等差数列｛a n ｝中，a 3＋a 7+a 11+a 19=44，则a 5+a 9+a 16＝ ．二、解答题（本大题共50分）1．已知方程x 3+ax 2+b x ＋c ＝0的三根分别为a 、b 、c ，且a 、b 、c 是不全为零的有理数，求a 、b 、c 的值．2．是否存在三边为连续自然数的三角形，使得（l ）最大角是最小角的两倍？（2）最大角是最小角的三倍？若存在，分别求出该三角形；若不存在，请说明理由． 3．已知函数y =2281ax x b x +++的最大值为9，最小值为1．求实数a 、b 的值。
4．已知月利率为y ，采用等额还款方式，若本金为1万元，试推导每月等额还款金额m 关于y 的函数关系式（假设贷款时间为2年）．5．对于数列{}n a :1，3，3，3，5，5，5，5，5，⋯， 即正奇数k 有k 个·是否存在整数r ，s ，t ，使得对于任意正整数n ， 都有n a r t =+恒成立（[x ]表示不超过x 的最大整数）?。
历年名牌大学自主招生数学考试试题及答案
上海交通大学2007年冬令营选拔测试数学试题一、填空题（每小题5分，共50分）1．设函数满足，则．2．设均为实数，且，则．3．设且，则方程的解的个数为．4．设扇形的周长为6，则其面积的最大值为．5．．6．设不等式与的解集分别为M和N．若，则k的最小值为．7．设函数,则．8．设，且函数的最大值为，则．9．6名考生坐在两侧各有通道的同一排座位上应考，考生答完试卷的先后次序不定,且每人答完后立即交卷离开座位,则其中一人交卷时为到达通道而打扰其余尚在考试的考生的概率为．10．已知函数,对于，定义,若,则．二、计算与证明题（每小题10分，共50分）11．工件内圆弧半径测量问题．为测量一工件的内圆弧半径，工人用三个半径均为的圆柱形量棒放在如图与工件圆弧相切的位置上，通过深度卡尺测出卡尺水平面到中间量棒顶侧面的垂直深度，试写出用表示的函数关系式，并计算当时,的值．12．设函数，试讨论的性态（有界性、奇偶性、单调性和周期性），求其极值，并作出其在内的图像．13．已知线段长度为,两端均在抛物线上,试求的中点到轴的最短距离和此时点的坐标．参考答案：1. 2。
3。
2 4. 5. 6。
27. 8。
9. 10.11.,12.；偶函数;;；周期为 13。
；14。
略；反证法 15. 2；3；2008年交大冬令营数学试题参考答案2008。
1.1 一．填空题1．若，，则．22．函数的最大值为__________．3．等差数列中,，则前项和取最大值时,的值为__________．20 4．复数,若存在负数使得，则．5．若，则．6．数列的通项公式为，则这个数列的前99项之和．7．……中的系数为．39212258．数列中,，，,,，，,，，此数列的通项公式为．9．甲、乙两厂生产同一种商品．甲厂生产的此商品占市场上的80％，乙厂生产的占20％;甲厂商品的合格率为95％，乙厂商品的合格率为90％．若某人购买了此商品发现为次品，则此次品为甲厂生产的概率为．10．若曲线与错误!未定义书签。
2018上海交通大学自主招生试题
上海交通大学化学注意事项：本试卷共有19道试题，总分100分。
一、填空题（共11小题） 1．【真题】将等物质的量的A 和B ，混合于2L 的密闭容器中，发生如下反应：()()()()3A g B g C g 2D g x ++═，经过5min 后测得D 的浓度为0.5mol /L ，()()A :B 3:5c c =，C 的反应速率是()0.1mol /L min ⋅，A 在5min 末的浓度是___________，B 的平均反应速率是___________，D 的平均反应速率是___________．x 的值是___________ 3．【真题】一定温度下，在2L 的密闭容器中，X 、Y 、Z 三种气体的物质的量随时间变化的曲线如图所示：（1）从反应开始到10s 时，用Y 表示的反应速率为______________________________。
（2）该反应的化学方程式为______________________________。
（3）若上述反应分别在甲、乙、丙三个相同的密闭容器中进行，经同一段时间后，测得三个容器中的反应速率分别为甲：()11X 0.3mol L s v --=⋅⋅；乙：()11Y 0.12mol L s v --=⋅⋅ 丙：()11Z 9.6mol L min v --=⋅⋅；则甲、乙、丙三个容器中反应速率由慢到快的顺序为______________________________。
5．【真题】叶绿素在光的作用下可将2CO 和2H O 转化为葡萄糖()6126C H O 和2O 。
????22612626CO 6H O C H O 6O −+−→+，葡萄糖可进一步合成淀粉()6105C H O n ⎡⎤⎣⎦。
科学家预言，在不久的将来，人类将模拟生物体内的这一变化过程，从工厂中由2CO 和2H O 直接生产出淀粉。
这样，合成优质叶绿素将十分重要。
叶绿素有a 、b 两种，已知某种叶绿素中仅含有C 、H 、O 、N 、Mg 五种元素，且知该叶绿素中各元素的质量分数分别是()C 73.99%w =，()H 8.072%w =，()O 8.969%w = ()N 6.278%w =，()Mg 2.691%w =经测定该叶绿素的相对分子质量小于1000，试确定该叶绿素的分子式。
2018年普通高等学校招生全国统一考试数学试题(上海卷,含答案)
（B）2
（C）2
（D）4
14.已知 a R ，则“ a﹥1”是“ 1 ﹤1”的（ ） a
（A）充分非必要条件 （B）必要非充分条件 （C）充要条件 （D）既非充分又非必要条件 15.《九章算术》中，称底面为矩形而有一侧棱垂直于底面的四棱锥为阳马.设 AA₁是正 六棱柱的一条侧棱，如图，若阳马以该正六棱柱的顶点为顶点，以 AA₁为底面矩形的一边， 则这样的阳马的个数是（ ）
。
4
【答案】 y 1 x 2
【解析】【解答】
x2 4
y2
1，a=2，b=1。故渐近线方程为
y
1 2
x
6
【分析】渐近线方程公式。注意易错点焦点在
x
x2 轴上，渐近线直线方程为 a2
y2 b2
1时，
y b x。 a
【题型】填空题 【考查类型】中考真题 【试题级别】高三 【试题地区】上海 【试题来源】2018 年高考数学真题试卷（上海卷）
住：考前休息很重要。好好休息并不意味着很早就要上 床睡觉，根据以往考生的经验，太早上床反而容易失眠。考 前按照你平时习惯的时间上床休息就可以了，但最迟不要超 过十点半。
用：出门考试之前，一定要检查文具包。看看答题的工 具是否准备齐全，应该带的证件是否都在，不要到了考场才 想起来有什么工具没带，或者什么工具用着不顺手。
a=- 1 时， f
x
=
x
1 2
非奇非偶函数，错误
2
a= 1 时， f
1
x = x 2 非奇非偶函数，错误
2
a=1 时， f x =x 在（0， ）上递增，错误
a=2 时， f x =x2 在（0， ）上递增，错误
a=3 时， f x =x3 在（0， ）上递增，错误
2018年普通高等学校招生上海市数学真题卷(含答案)
（C） 3 3
（D）0【答案】 B
【知识点】函数的概念【考查能力】空间想象能力
【解析】点 (1, f (1)) 在直线 x = 1 上，把直线进行旋转可得旋转后的直线，这样进
行下去直到回到 (1, f (1)) 点可知 f (1) = 3 2
17. 已知圆锥的顶点为 P ，底面圆心为 O ，半径为 2，
2
2
【知识点】直线的交点坐标与距离公式
【解析】数形结合，转化单位圆上圆心角为 60o的两点到直线 x + y -1 = 0 的距离
之和，可求得最大值为 2 + 3 。
13. 设 P 是椭圆 x2 + y2 = 1 上的动点，则 P 到该椭圆的两个焦点的距离之和为（
）．
53
（A） 2 2
（B） 2 3
O
B
A
M
（2）若
f
æ çè
p 4
ö ÷ø
=
3 +1，求方程 f ( x) = 1-
2 在区间[-p ,p ] 上的解．
1）、由偶函数可知 f (-x) = f (x) 得 a = 0 。
（2）、 f (p ) = 3 +1Þ a = 3 ， f (x) = 2sin(2x + p ) +1, \sin(2x + p ) = - 2 ，在
（C） 2 5
（D） 4 2 【答案】 C
14. 已知 a Î R ，则“ a > 1”是“ 1 < 1 ”的（
）．
a
（A）充分非必要条件 （B）必要非充分条件
（C）充要条件 （D）既非充分又非必要条件【答案】 A
15. 《九章算术》中，称底面为矩形而有一侧棱垂直于底面的四棱锥为阳马．设 AA1 是正六 棱柱的一条侧棱，如图，若阳马以该正六棱柱的顶点为顶点，以 AA1 为底面矩形的一边，
2018上海市上海交通大学附属中学自招真题及答案
3． AB∥CD ， AB = 15 ， CD = 10 ， AD = 3 ， CB = 4 ，求 SABCD __________． 【答案】 【解析】解：设 AE = x ， BC∥FD ， 则：： AF = AB − CD = 5 ， GF =AF − AE =5 − x ，
A= D2 A= E2 FD2 − EF 2 即： 9 − x2 = 16 − (5 − x)2 ，
= 1 + 1 2 4k +
2
(k
= 1, ,50)
，
故 a≤ 51 ， 101
故
1 2
<
a≤ 51 101
，故
amax
=
51 101
．
10． G 为重心， DE 过重心，求 S△ADE max 以及 S△ADE min ，并证明结论．
A
D
E
B
C
【答案】 【解析】假设△ABC 面积为 S1 ，△ADE 面积为 S2 ， 设 AD = mAB ， AE = nAC ，由于 G 为△ABC 重心，易知： 1 + 1 =3 ，
A
D
G
D
E
B
C
E
7．在直角坐标系中，正 △ABC
，
B(2, 0)
，C
9 2
,
0
，过点 O
作直线
OMN
， OM
=
MN
，求
M 的横坐标__________．
y A
MN
OB
Cx
17 【答案】
8 【解析】作 MH∥AC ， MG ⊥ BH ， 设 BH = x ，
OH = HC ⇒ 2 + x = 5 − x ， 2
2018年普通高等学校招生全国统一考试(上海卷) 数学试题及答案(学生版)
2018年普通高等学校招生全国统一考试（上海卷）数学试题一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1～6题每题4分，第7～12题每题5分） 1.行列式4125的值为_________.2.双曲线2214x y -=的渐近线方程为_________.3.在7(1)x +的二项展开式中，2x 项的系数为_________.（结果用数值表示）4.设常数a R ∈，函数2()log ()f x x a =+。
若()f x 的反函数的图像经过点(3,1)，则a =______.5.已知复数z 满足(1)17i z i +=-（i 是虚数单位），则z =_________.6.记等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若30a =，6714a a +=，则7S =_________.7.已知12,1,,1,2,32α⎧⎫∈---⎨⎬⎩⎭。
若幂函数()f x x α=为奇函数，且在(0,)+∞上递减，则α=____.8.在平面直角坐标系中，已知点(1,0)A -，(2,0)B ，E 、F 是y 轴上的两个动点，且2EF =，则AE BF •的最小值为_________.9.有编号互不相同的五个砝码，其中5克、3克、1克砝码各一个，2克砝码两个。
从中随机选取三个，则这三个砝码的总质量为9克的概率是_________.（结果用最简分数表示） 10.设等比数列{}n a 的通项公式为1n n a q -=（*n ∈N ），前n 项和为n S 。
若11lim 2n n n S a →+∞+=，则q =________.11.已知常数0a >，函数2()2x x f x ax =+的图像经过点6,5P p ⎛⎫ ⎪⎝⎭、1,5Q q ⎛⎫- ⎪⎝⎭。
若236p q pq +=，则a =_________.12.已知实数1x 、2x 、1y 、2y 满足：22111x y +=，22221x y +=，121212x x y y +=，则+的最大值为_________.二、选择题（本大题共有4题，满分20分，每题5分）13.设P 是椭圆22153x y +=上的动点，则P 到该椭圆的两个焦点的距离之和为（ ）A.14.已知a ∈R ，则“1a >”是“11a<”的（ ） A.充分非必要条件 B.必要非充分条件 C.充要条件 D.既非充分又非必要条件15.《九章算术》中，称底面为矩形而有一侧棱垂直于底面的四棱锥为阳马。
2018年___自主招生数学试卷(含答案解析)
2018年___自主招生数学试卷(含答案解析)2018年___自主招生数学试卷一、选择题（本大题共6小题，共24.0分）1.√16的平方根是()A.4B.±4C.22.若√(1−x)2=x−1成立，则x满足()A.x≥1B.x≥C.x≤1D.±23.已知x=√5−1，则x2+2x的值是()A.2B.3C.4D.54.如图所示的四条直线a、b、c、d，直线a、b与水平线平行，以其中一条为x轴，d与水平线垂直，取向右为正方向；直线c、以其中一条为y轴，取向上为正方向．某同学在此坐标平面上画了二次函数x=xx2+2xx+2(x≠0)的图象如图，则下面结论正确的是()A.a为x轴，c为y轴B.a为x轴，d为y轴C.b为x轴，c 为y轴D.b为x轴，d为y轴5.如图，已知AB为圆的直径，C为半圆上一点，D为半圆的中点，xx⊥xx，垂足为H，HM平分∠xxx，HM交AB于x.若xx=3，xx=1，则MH长为()A.1B.1.5C.0.5D.0.76.如图，△xxx中，∠x=90°，D是BC边上一点，∠xxx=3∠xxx，xx=8，xx=7.则AB的值为()A.15B.20C.2√2+7D.2√2+√7二、填空题（本大题共10小题，共40.0分）7.已知实数x、y满足x+2x=5，则x−x=3.8.分解因式：x2+4xx+4x2+x+2x−2=(x+2x+1)2−3.9.在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别为(x,3)，(3x−1,3)，若线段AB与直线x=2x+1相交，则m的取值范围为(0,1)。
10.若一个圆锥的侧面展开图是半径为18cm，圆心角为240°的扇形，则这个圆锥的底面半径长是9cm。
11.如图，已知在矩形ABCD中，点E在边BC上，BE=2CE，将矩形沿着过点E的直线翻折后，点C、D、N处，B在同一直线上，分别落在M、F与BE交于点G.设AB=√3，那么△xxx的周长为4+4√3.12.如图，已知点x1，x2，…，xx均在直线x=x−1上，点x1，x2，…，xx均在双曲线x=−x上，x1x1⊥x并且满足：x1x2⊥x轴，x2x2⊥x轴，…，xx−1xx⊥x轴，xxxx⊥x轴，且x1x2=x2x3=…=xx−1xx，则n的最小值为2.1.由题意可知，点B在x轴负半轴，点A在x轴正半轴，且AB垂直于x轴，因此AB的斜率为0，即AB为x轴，所以B的纵坐标为0.又因为B在x轴负半轴，所以其横坐标为负数，设为-a。