全国各重点大学自主招生数学试题及答案分类汇总

全国各重点大学自主招生数学试题及答案分类汇总一．集合与命题 (2)二．不等式 (9)三．函数 (20)四．数列 (27)五．矩阵、行列式、排列组合，二项式定理，概率统计 (31)六．排列组合，二项式定理，概率统计（续）复数 (35)七．复数 (39)八．三角 (42)近年来自主招生数学试卷解读第一讲集合与命题第一部分近年来自主招生数学试卷解读一、各学校考试题型分析：交大：题型：填空题10题，每题5分；解答题5道，每题10分；考试时间：90分钟，满分100分；试题难度：略高于高考，比竞赛一试稍简单；考试知识点分布：基本涵盖高中数学教材高考所有内容，如：集合、函数、不等式、数列（包括极限）、三角、复数、排列组合、向量、二项式定理、解析几何和立体几何复旦：题型：试题类型全部为选择题（四选一）；全考试时间：总的考试时间为3小时（共200道选择题，总分1000分，其中数学部分30题左右，，每题5分）；试题难度：基本相当于高考；考试知识点分布：除高考常规内容之外,还附加了一些内容,如：行列式、矩阵等；考试重点：侧重于函数和方程问题、不等式、数列及排列组合等同济：题型：填空题8题左右，分数大约40分，解答题约5题，每题大约12分；考试时间：90分钟，满分100分；试题难度：基本上相当于高考；考试知识点分布：常规高考内容二、试题特点分析：1. 突出对思维能力和解题技巧的考查。

关键步骤提示：2. 注重数学知识和其它科目的整合，考查学生应用知识解决问题的能力。

关键步骤提示：()()()4243222342(2)(2)(1)(2)(1)f a x x a x x xx x x a x x x =--++-=+-+++-111(,),(,),(,)n n ni i i ii i i i i i id u w a d v w b d u v a b a b a b ======-+≥-∑∑∑由绝对值不等式性质，三、 应试和准备策略1.注意知识点的全面数学题目被猜中的可能性很小，一般知识点都是靠平时积累，因此，要求学生平时要把基础知识打扎实。

剩下的就是个人的现场发挥。

2.注意适当补充一点超纲内容如上面提及的一些平时不太注意的小章节或高考不一定考的问题，如矩阵，行列式等也不可忽视。

3.适当做近几年的自主招生的真题俗话说，知己知彼，百战百胜。

同学们可适当地训练近几年自己所考的高校自主招生的试题，熟悉一下题型和套路还是有益的。

4.注重知识的延伸加深复旦，交大，清华等全国重点院校自主招生试题比高考试题稍难，比数学竞赛试题又稍简单。

有些问题稍有一定的深度，这就要求考生平时注意知识点的延伸加深。

例如2008年复旦自主招生的第88题：关键步骤提示：上式＝此题若是知道三次方程的韦达定理，则容易解决。

但平时同学们对二次方程的韦达定理很熟悉，对三次方程的韦达定理则比较陌生。

2331211233231123331231223()x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x -+=-++3212312312132312333322203,,,3()()ax bx cx d x x x b x x x ac x x x x x x ad x x x a a b c abc a b c a b c ab ac bc +++=⎧++=-⎪⎪⎪++=⎨⎪⎪=-⎪⎩++-=++++---设的个根为则有又比如，柯西不等式可以解决许多不等式问题，但由于目前上海高考不考，所以很多高中生对此此不等式并不十分熟悉。

但柯西不等式其实应用得非常广泛，我们将在不等式一讲中将会介绍它。

总之，同学们若是注意一些知识点的延伸和加深，考试时必定会有一种居高临下的感觉。

第二部分：集合与命题 一、知识补充：二、真题精析：关键步骤提示：关键步骤提示：()A B C A B C A B A C B C A B C⋃⋃=++-⋂+⋂+⋂+⋂⋂(2)(2)3(2)014(2)()02a a a a a a +-++=+-=,X X Y X Y X X Y X X Y ⊆⊆∴=⇒⊆而关键步骤提示：关键步骤提示：22122222Sin Sin Cos Sin Cos θθθθθ+=++1111122222211212,,,,,S R C R C S C S S R C R C S C S C C C C C C ⊂≠⊂≠∴∈∉∉∈∉∉=+=+必存在 若，则很明显；同理，，必存在，若 则很明显；否则，令即可（）想一想，除了令还可以怎样令？三、 仿真训练仿真训练一某校六（1）班有学生54人，每人在暑假里都参加体育训练队，其中参加足球队的有25人，参加排球队的有22人，参加游泳队的有34人，足球、排球都参加的有12人，足球、游泳都参加的有18人，排球、游泳都参加的有14人，问：三项都参加的有多少人？关键步骤提示：{}{}36110,.,1,1,3,6,1113162k M x x x N A A K A A M =≤≤∈-=-⋅+-⋅+-⋅=仿真训练二已知集合对它的非空子集将中每个元素都乘以（）再求和（如可求得和为（）（）（））称为集合的特殊和。

求集合的所有非空子集特殊和的总和。

{}{}1091,3,62,4,5,7,8,9,10245789101086421357952252152A U A U A U A C C A C ==+--+-+++++-++++=-⨯=-⨯分析：本题所求的“特殊和”有如下特点：奇数元素前面添上负号，偶数元素前面添上正号，再代数求和。

例如：对于，则考虑的“特殊和”为与的“特殊和”的和（）（）同理，对其它非空集合也有这样特点，将它们两两配对（空集与本身集合除外），值为（）第二讲：不等式第一部分概述不等式部分包括：解不等式；不等式的证明在复旦大学近三年自主招生试题中，不等式题目占12%，其中绝大多数涉及到不等式的证明；交大试题中，不等式部分通常占10%-15%，其中涉及到一些考纲之外的特殊不等式常用不等式及其推广：第二部分 知识补充：1、柯西不等式的证明分析：，a a a A n 22221+++= 设证明：柯西不等式的推论一2121212,,2((112111n n n n na b R a b a bn a a a a na a a n n a a a +∀∈+≥≥≥++++++≥≥≥++有平方平均）算术平均）调和平均）推广到个正实数，有123123,,,,,,,,,,0(1,2,,),(1,2,,),n n i i i a a a a b b b b b i n k a kb i n ====柯西不等式设是实数则当且仅当或存在一个数使得时等号成立222222212121122()()()n n n b a a a b b b a b a b a b +++++++≥nn b a b a b a B ++=2211，b b b C n 22221+++= 222222212121122()()()n n n b a a a b b b a b a b a b +++++++≥②2AC B 不等式就是②≥()2222121122222121,2,()()2() ()i i n n n n a i n a f x a a a x a b a b a b xb b b ==+++++++++若全部为零，则原不等式显然成立。

若不全部为零，构造二次函数0)()()()(2222211≥++++++=n n b x a b x a b x a x f 又∴二次函数()f x 的判别式0△≤, 即2222222112212124()4()()0n n n n a b a b a b a a a b b b ++-++⋅+++≤ 证明： 22222212(111)()n a a a ++++++ 例1已知12,,,n a a a 都是实数，求证： 222212121()n n a a a a a a n ++++++≤柯西不等式的推论二柯西不等式的应用1.2.已知21x y +=,求22x y +的最小值.22221212() ()n n n a a a a a a ∴++++++≥222212121()n na a a a a a n ∴++++++≤2111,n n i i i i i a R a n a +==⎛⎫⎛⎫∈≥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∑∑设则例2 已知,,,a b c d 是不全相等的正数，证明： 2222a b c d ab bc cd da +++>+++ 证明： 222222222()()()≥a b c d b c d a ab bc cd da +++++++++ ∵,,,a b c d 是不全相等的正数，a b c d b c d a∴===不成立.∴222222()()a b c d ab bc cd da +++>+++ 2222 a b c d ab bc cd da +++>+++即2223 231,x y z x y z ++=++例已知求的最小值.141143,71,1413211411)32()321)((:2222222222222取最小值时即当且仅当证明z y x z y x z y x z y x z y x z y x ++=====≥++∴=++≥++++4111,b a ,, 2≥+=+∈+ba Rb a 求证设例3.设,x y R +∈,且x+2y =36,求12x y+的最小值．第三部分 真题精析：（2004，复旦）（2004，同济）2222sin cos ,sin cos 2sin cos 1sin cos ,sin cos ,2212,2x x y y x x x xt x x t x x t t y t y t ==++-⎡+==∈⎣-=+令令则且显然，关于是单调递增的关键步骤提示：关键步骤提示：关键步骤提示：2(1)2(1)121k k k k k k k k k k +=<=<=-+++-关键步骤提示：关键步骤提示：关键步骤提示：关键步骤提示：关键步骤提示：(2007 复旦)关键步骤提示：关键步骤提示：关键步骤提示：2008,北大关键步骤提示：关键步骤提示：第三讲函数第一部分：函数概括函数是自主招生的一个非常重要内容！⏹就近几年来，本人作了一个统计，复旦和交大自主招生中有关函数的内容大约占20%—30%。

⏹其中，热点问题是：方程的根的问题、函数的最值问题（值域）、函数的性质（如周期、有界性等）、函数的迭代、简单的函数方程、方程的不动点问题、函数的图像及解析式等。

而其中特别提醒同学们注意的是，方程的根的问题是考得最多的一个问题。