2013年全国高校自主招生数学模拟试卷一
2013年全国高校自主招生数学模拟试卷12 (3)
2013年全国高校自主招生数学模拟试卷十二一、选择题(36分)1．已知数列{x n }满足x n +1=x n －x n －1(n ≥2)，x 1=a ， x 2=b ， 记S n =x 1+x 2+ +x n ，则下列结论正确的是(A )x 100=-a ，S 100=2b -a (B )x 100=-b ，S 100=2b -a (C )x 100=-b ，S 100=b -a (D )x 100=-a ，S 100=b -a2．如图，正四面体ABCD 中，E 在棱AB 上，F 在棱CD 上，使得AE EB =CFFD =λ (0<λ<+∞)，记f (λ)=αλ+βλ其中αλ表示EF 与AC 所成的角，βλ表示EF 与BD 所成的角，则(A ) f (λ)在(0，+∞)单调增加(B ) f (λ)在(0，+∞)单调减少(C ) f (λ) 在(0，1)单调增加，而在(1，+∞单调减少 (D ) f (λ)在(0，+∞)为常数3．设等差数列的首项及公差均为非负整数，项数不少于3，且各项的和为972，则这样的数列共有(A )2个 (B )3个 (C )4个 (D )5个4．在平面直角坐标系中，若方程m (x 2+y 2+2y +1)=(x －2y +3)2表示的曲线为椭圆，则m 的取值范围为(A )(0，1) (B )(1，+∞) (C )(0，5) (D )(5，+∞)5．设f (x )=x 2－πx ，α = arcsin 13，β=arctan 54，γ=arcos(－13)，δ=arccot(－54)，则 (A )f (α)>f (β)>f (δ)>f (γ) (B ) f (α)> f (δ)>f (β)>f (γ) (C ) f (δ)>f (α)>f (β)>f (γ) (D ) f (δ)>f (α)>f (γ)>f (β)6．如果空间三条直线a ，b ，c 两两成异面直线，那么与a ，b ，c 都相交的直线有 (A ) 0条 (B ) 1条 (C )多于1 的有限条 (D ) 无穷多条二．填空题(每小题9分，共54分)1．设x ，y 为实数，且满足⎩⎨⎧(x －1)3+1997(x －1)=－1，(y －1)3+1997(y －1)=1．则x +y = .2．过双曲线x 2－y 22=1的右焦点作直线l 交双曲线于A 、B 两点，若实数λ使得|AB | =λ的直线l 恰有3条，则λ= .3．已知复数z 满足⎪⎪⎪⎪2z +1z =1，则z 的幅角主值范围是 ．4．已知三棱锥S -ABC 的底面是以AB 为斜边的等腰直角三角形，SA=SB=SC=2，AB=2，设S 、A 、B 、C 四点均在以O 为球心的某个球面上，则点O 到平面ABC 的距离为 ．5．设ABCDEF 为正六边形，一只青蛙开始在顶点A 处，它每次可随意地跳到相邻两顶EFB C D A点之一．若在5次之内跳到D 点，则停止跳动；若5次之内不能到达D 点，则跳完5次也停止跳动，那么这只青蛙从开始到停止，可能出现的不同跳法共 种．6．设a =log z +log[x (yz )-1+1]，b =log x -1+log(xyz +1)，c =log y +log[(xyz )-1+1]，记a ，b ，c 中最大数为M ，则M 的最小值为 ． 三、（20分）设x ≥y ≥z ≥π12，且x +y +z =π2，求乘积cos x sin y cos z 的最大值和最小值．四、(20分)设双曲线xy =1的两支为C 1，C 2(如图)，正三角形PQR 的三顶点位于此双曲线上． (1)求证：P 、Q 、R 不能都在双曲线的同一支上；(2)设P (-1，-1)在C 2上， Q 、R 在C 1上，求顶点Q 、R 的坐标．五、(20分)设非零复数a 1，a 2，a 3，a 4，a 5满足⎩⎨⎧a 2a 1=a 3a 2=a 4a 3=a 5a 4，a 1+a 2+a 3+a 4+a 5=4(1a 1+1a 2+1a 3+1a 4+1a 5)=S ．其中S 为实数且|S |≤2．求证：复数a 1，a 2，a 3，a 4，a 5在复平面上所对应的点位于同一圆周上．2013年全国高校自主招生数学模拟试卷十二参考答案一、选择题(每小题6分，共36分)1．已知数列{x n }满足x n +1=x n －x n －1(n ≥2)，x 1=a ， x 2=b ， 记S n =x 1+x 2+ +x n ，则下列结论正确的是(A )x 100=-a ，S 100=2b -a (B )x 100=-b ，S 100=2b -a (C )x 100=-b ，S 100=b -a (D )x 100=-a ，S 100=b -a解：x 1=a ，x 2=b ，x 3=b －a ，x 4=－a ，x 5=－b ，x 6=a －b ，x 7=a ，x 8=b ，…．易知此数列循环，x n +6=x n ，于是x 100=x 4=－a ，又x 1+x 2+x 3+x 4+x 5+x 6=0，故S 100=2b －a ．选A ．2．如图，正四面体ABCD 中，E 在棱AB 上，F 在棱CD 上，使得AE EB =CFFD =λ (0<λ<+∞)，记f (λ)=αλ+βλ其中αλ表示EF 与AC 所成的角，βλ表示EF 与BD 所成的角，则(A ) f (λ)在(0，+∞)单调增加 (B ) f (λ)在(0，+∞)单调减少(C ) f (λ) 在(0，1)单调增加，而在(1，+∞单调减少 (D ) f (λ)在(0，+∞)为常数解：作EG ∥AC 交BC 于G ，连GF ，则AE EB =CG GB =CFFD ，故GF ∥BD ．故∠GEF=αλ，∠GFE=βλ，但AC ⊥BD ，故∠EGF=90°．故f (λ)为常数．选D ．3．设等差数列的首项及公差均为非负整数，项数不少于3，且各项的和为972，则这样的数列共有(A )2个 (B )3个 (C )4个 (D )5个解：设首项为a ，公差为d ，项数为n ，则na +12n (n －1)d=972，n [2a +(n －1)d ]=2×972，即n 为2×972的大于3的约数．∴ ⑴ n=972，2a +(972－1)d=2，d=0，a=1；d ≥1时a <0．有一解；⑵n=97，2a +96d=194，d=0，a=97；d=1，a=a=49；d=2，a=1.有三解； ⑶n=2×97，n=2×972，无解．n=1，2时n <3.．选C4．在平面直角坐标系中，若方程m (x 2+y 2+2y +1)=(x －2y +3)2表示的曲线为椭圆，则m 的取值范围为(A )(0，1) (B )(1，+∞) (C )(0，5) (D )(5，+∞)解：看成是轨迹上点到(0，－1)的距离与到直线x －2y +3=0的距离的比：x 2+(y +1)2|x －2y +3|12+(－2)2=5m <1⇒m >5，选D ．5．设f (x )=x 2－πx ，α = arcsin 13，β=arctan 54，γ=arcos(－13)，δ=arccot(－54)，则 (A )f (α)>f (β)>f (δ)>f (γ) (B ) f (α)> f (δ)>f (β)>f (γ)E FBCDA(C ) f (i )>f (α)>f (β)>f (γ) (D ) f (δ)>f (α)>f (γ)>f (β) 解：f (x )的对称轴为x=π2，易得， 0<α<π6<π4<β<π3<π2<γ<2π3<3π4<δ<5π6．选B ．6．如果空间三条直线a ，b ，c 两两成异面直线，那么与a ，b ，c 都相交的直线有(A ) 0条 (B ) 1条 (C )多于1 的有限条 (D ) 无穷多条解：在a 、b 、c 上取三条线段AB 、CC '、A 'D '，作一个平行六面体ABCD —A 'B 'C 'D '，在c 上取线段A 'D '上一点P ，过a 、P 作 一个平面，与DD '交于Q 、与CC '交于R ，则QR ∥a ，于是PR 不与a 平行，但PR 与a 共面．故PR 与a 相交．由于可以取无穷多个点P ．故选D ．二．填空题(每小题9分，共54分)1．设x ，y 为实数，且满足⎩⎨⎧(x －1)3+1997(x －1)=－1，(y －1)3+1997(y －1)=1． 则x +y = .解：原方程组即⎩⎨⎧(x －1)3+1997(x －1)+1=0，(1－y )3+1997(1－y )+1=0．取 f (t )=t 3+1997t +1，f '(t )=3t 2+1987>0．故f (t )单调增，现x －1=1－y ，x +y=2． 2．过双曲线x 2－y 22=1的右焦点作直线l 交双曲线于A 、B 两点，若实数λ使得|AB | =λ的直线l 恰有3条，则λ= ．解：右支内最短的焦点弦=2b 2a =4．又2a=2，故与左、右两支相交的焦点弦长≥2a=2，这样的弦由对称性有两条．故λ=4时设AB 的倾斜角为θ，则右支内的焦点弦λ=2ab 2a 2－c 2cos 2θ=41－3cos 2θ≥4，当θ=90°时，λ=4．与左支相交时，θ=±arccos23时，λ=⎪⎪⎪⎪2ab 2a 2－c 2cos 2θ=⎪⎪⎪⎪41－3cos 2θ=4．故λ=4． 3．已知复数z 满足⎪⎪⎪⎪2z +1z =1，则z 的幅角主值范围是 ．解：⎪⎪⎪⎪2z +1z =1⇔4r 4+(4cos2θ－1)r 2+1=0，这个等式成立等价于关于x 的二次方程4x 2+(4cos2θ－1)x +1=0有正根．△=(4cos2θ－1)2－16≥0，由x 1x 2=14>0，故必须x 1+x 2=－4cos2θ－14>0． ∴cos2θ≤－34．∴ (2k +1)π－arccos 34≤2θ≤(2k +1)π+arccos 34． ∴ kπ+π2－12arccos 34≤θ≤kπ+π2+12arccos 34，(k=0，1)B‘C’D’A‘CDASQ PR acb4．已知三棱锥S -ABC 的底面是以AB 为斜边的等腰直角三角形，SA=SB=SC=2，AB=2，设S 、A 、B 、C 四点均在以O 为球心的某个球面上，则点O 到平面ABC 的距离为 ．解：SA=SB=SC=2，⇒S 在面ABC 上的射影为AB 中点H ，∴ SH ⊥平面ABC ．∴ SH 上任意一点到A 、B 、C 的距离相等． ∵ SH=3，CH=1，在面SHC 内作SC 的垂直平分线MO 与SH 交于O ，则O 为SABC 的外接球球心．SM=1，∴SO=233，∴ OH=33，即为O 与平面ABC 的距离．5．设ABCDEF 为正六边形，一只青蛙开始在顶点A 处，它每次可随意地跳到相邻两顶点之一．若在5次之内跳到D 点，则停止跳动；若5次之内不能到达D 点，则跳完5次也停止跳动，那么这只青蛙从开始到停止，可能出现的不同跳法共 种．解：青蛙跳5次，只可能跳到B 、D 、F 三点(染色可证)． 青蛙顺时针跳1次算+1，逆时针跳1次算－1，写5个“□1”，在□中填“+”号或“－”号：□1□1□1□1□1规则可解释为：前三个□中如果同号，则停止填写；若不同号，则后2个□中继续填写符号．前三□同号的方法有2种；前三个□不同号的方法有23－2=6种，后两个□中填号的方法有22种．∴ 共有2+6×4=26种方法．6．设a =log z +log[x (yz )-1+1]，b =log x -1+log(xyz +1)，c =log y +log[(xyz )-1+1]，记a ，b ，c 中最大数为M ，则M 的最小值为 ．解：a=log(x y +z )，b=log(yz +1x )，c=log(1yz +y )．∴ a +c=log(1yz +1x +yz +x )≥2log2．于是a 、c 中必有一个≥log2．即M ≥log2，于是M 的最小值≥log2．但取x=y=z=1，得a=b=c=log2．即此时M=log2．于是M 的最小值≤log2． ∴ 所求值=log2． 三、（本题满分20分）设x ≥y ≥z ≥π12，且x +y +z=π2，求乘积cos x sin y cos z 的最大值和最小值． 解：由于x ≥y ≥z ≥π12，故π6≤x ≤π2 －π12×2=π3．∴ cos x sin y cos z=cos x ×12[sin(y +z )+sin(y －z )]=12cos 2x +12cos x sin(y －z )≥12cos 2π3 =18 ．即最小值．(由于π6 ≤x ≤π3 ，y ≥z ，故cos x sin(y －z )≥0)，当y=z=π12 ，x=π3 时，cos x sin y cos z=18 ． ∵ cos x sin y cos z=cos z ×12[sin(x +y )－sin(x －y )]=12cos 2z －12cos z sin(x －y )．O M2HSA B C 212由于sin(x －y )≥0，cos z >0，故cos x sin y cos z ≤12cos 2z=12cos 2π12 =12(1+cos π6)=2+ 38 ． 当x= y=5π12 ，z=π12 时取得最大值． ∴ 最大值2+38，最小值18．四、(本题满分20分)设双曲线xy =1的两支为C 1，C 2(如图)，正三角形PQR 的三顶点位于此双曲线上． (1)求证：P 、Q 、R 不能都在双曲线的同一支上；(2)设P (-1，-1)在C 2上， Q 、R 在C 1上，求顶点Q 、R 的坐标．解：设某个正三角形的三个顶点都在同一支上．此三点的坐标为P (x 1，1x 1)，Q (x 2，1x 2)，R (x 3，1x 3)．不妨设0<x 1<x 2<x 3，则1x 1>1x 2>1x 3>0．k PQ =y 2－y 1x 2－x 1=－1x 1x 2；k QR =－1x 2x 3；tan ∠PQR=－1x 1x 2 +1x 2x 31+1x 1x 3x 22<0，从而∠PQR 为钝角．即△PQR 不可能是正三角形．⑵ P (－1，－1)，设Q (x 2，1x 2)，点P 在直线y=x 上．以P 为圆心，|PQ |为半径作圆，此圆与双曲线第一象限内的另一交点R 满足|PQ |=|PR |，由圆与双曲线都是y=x 对称，知Q 与R 关于y=x 对称．且在第一象限内此二曲线没有其他交点(二次曲线的交点个数)．于是R (1x 2，x 2)．∴ PQ 与y=x 的夹角=30°，PQ 所在直线的倾斜角=75°．tan75°=1+331－33=2+3．PQ 所在直线方程为y +1=(2+3)(x +1)，代入xy=1，解得Q (2－3，2+3)，于是R (2+3，2－3)．五、(本题满分20分)设非零复数a 1，a 2，a 3，a 4，a 5满足⎩⎨⎧a 2a 1=a 3a 2=a 4a 3=a 5a 4，a 1+a 2+a 3+a 4+a 5=4(1a 1+1a 2+1a 3+1a 4+1a 5)=S ．其中S 为实数且|S |≤2．求证：复数a 1，a 2，a 3，a 4，a 5在复平面上所对应的点位于同一圆周上．证明：设a 2a 1=a 3a 2=a 4a 3=a 5a 4=q ，则由下式得a 1(1+q +q 2+q 3+q 4)=4a 1q 4(1+q +q 2+q 3+q 4)．∴ (a 12q 4－4) (1+q +q 2+q 3+q 4)=0，故a 1q 2=±2，或1+q +q 2+q 3+q 4=0．⑴ 若a 1q 2=±2，则得±2(1q 2+1q +1+q +q 2)=S ．⇒S=±2[(q +1q )2+(q +1q )－1]=±2[(q +1q +12)2－54]． ∴ 由已知，有(q +1q +12)2－54∈R ，且|(q +1q +12)2－54|≤1．令q +1q +12=h (cos θ+i sin θ)，(h >0)．则h 2(cos2θ+i sin2θ)－54∈R ．⇒sin2θ=0． －1≤h 2(cos2θ+i sin2θ)－54≤1．⇒14≤h 2(cos2θ+i sin2θ)≤94，⇒cos2θ>0．⇒θ=kπ(k ∈Z ) ∴ q +1q ∈R ．再令q=r (cos α+i sin α)，(r >0)．则q +1q =(r +1r )cos α+i (r －1r )sin α∈R ．⇒sin α=0或r=1．若sin α=0，则q=±r 为实数．此时q +1q ≥2或q +1q ≤－2．此时q +1q +12≥52，或q +1q +12≤－32．此时，由|(q +1q +12)2－54|≤1，知q=－1．此时，|a i |=2．若r=1，仍有|a i |=2，故此五点在同一圆周上．⑵ 若1+q +q 2+q 3+q 4=0．则q 5－1=0，∴ |q |=1．此时|a 1|=|a 2|=|a 3|=|a 4|=|a 5|，即此五点在同一圆上．综上可知，表示复数a 1，a 2，a 3，a 4，a 5在复平面上所对应的点位于同一圆周上．。
2013年全国高校自主招生数学模拟试卷9 (4)
2013年全国高校自主招生数学模拟试卷九一、选择题（36分，每小题6分）1．设全集是实数，若A={x |x －2≤0}，B={x |10x 2－2=10x }，则A ∩∁R B 是( )(A ){2} (B ){-1} (C ){x |x ≤2} (D ) ∅ 2．设sin α＞0，cos α＜0，且sin α3＞cos α3，则α3的取值范围是( ) (A )(2k π+π6，2k π+π3)， k ∈Z (B )( 2k π3+ π6，2k π3+π3)，k ∈ Z(C )(2k π+5π6，2k π+π)，k ∈ Z (D )(2k π+π4，2k π+π3)∪(2k π+5π6，2k π+π)，k ∈ Z 3．已知点A 为双曲线x 2-y 2=1的左顶点，点B 和点C 在双曲线的右分支上，△ABC 是等边三角形，则△ABC 的面积是( )(A ) 33 (B ) 332 (C )3 3 (D )6 3 4．给定正数p ，q ，a ，b ，c ，其中p ≠q ，若p ，a ，q 是等比数列，p ，b ，c ，q 是等差数列，则一元二次方程bx 2-2ax +c=0( )(A )无实根 (B )有两个相等实根 (C )有两个同号相异实根 (D )有两个异号实根5．平面上整点（纵、横坐标都是整数的点）到直线y=53x +45的距离中的最小值是( ) (A ) 34170 (B ) 3485 (C ) 120 (D ) 130 6．设ω=cos π5+i sin π5，则以ω，ω3，ω7，ω9为根的方程是( ) (A )x 4+x 3+x 2+x +1=0 (B ) x 4-x 3+x 2-x +1=0 (C ) x 4-x 3-x 2+x +1=0 (D ) x 4+x 3+x 2-x -1=0 二．填空题（本题满分54分，每小题9分）1．arcsin(sin2000︒)=__________．2．设a n 是(3-x )n的展开式中x 项的系数(n=2，3，4，…)，则lim n →∞(32a 2+33a 3+ (3)a n ))=________.3．等比数列a +log 23，a +log 43，a +log 83的公比是____________.4．在椭圆x 2a 2+y 2b 2=1 (a ＞b ＞0)中，记左焦点为F ，右顶点为A ，短轴上方的端点为B .若该椭圆的离心率是5－12，则∠ABF=_________.5．一个球与正四面体的六条棱都相切，若正四面体的棱长为a ，则这个球的体积是________.6．如果：(1)a ，b ，c ，d 都属于{1，2，3，4}；(2)a ≠b ，b ≠c ，c ≠d ，d ≠a ；(3)a 是a ，b ，c ，d 中的最小值，那么，可以组成的不同的四位数____abcd 的个数是_________ 三、解答题(60分，每小题20分)1．设S n =1+2+3+…+n ，n ∈N *，求f (n )=S n(n +32)S n +1的最大值．2．若函数f (x )=－12x 2+132在区间[a ，b ]上的最小值为2a ，最大值为2b ，求[a ，b ]．3．已知C 0：x 2+y 2=1和C 1：x 2a 2+y 2a 2=1 (a ＞b ＞0)．试问：当且仅当a ，b 满足什么条件时，对C 1上任意一点P ，均存在以P 为顶点，与C 0外切，与C 1内接的平行四边形？并证明你的结论．2013年全国高校自主招生数学模拟试卷九参考答案一．选择题（本题满分36分，每小题6分）1．设全集是实数，若A={x |x －2≤0}，B={x |10x 2－2=10x }，则A ∩∁R B 是( )(A ){2} (B ){-1} (C ){x |x ≤2} (D ) ∅ 解：A={2}，B={2，－1}，故选D ．2．设sin α＞0，cos α＜0，且sin α3＞cos α3，则α3的取值范围是( ) (A )(2k π+π6，2k π+π3)， k ∈Z (B )( 2k π3+ π6，2k π3+π3)，k ∈Z(C )(2k π+5π6，2k π+π)，k ∈ Z (D )(2k π+π4，2k π+π3)∪(2k π+5π6，2k π+π)，k ∈Z 解：满足sin α＞0，cos α＜0的α的范围是(2k π+π2，2k π+π)，于是α3的取值范围是(2kπ3+π6，2kπ3+π3)，满足sin α3＞cos α3的α3的取值范围为(2k π+π4，2k π+5π4)．故所求范围是(2k π+π4，2k π+π3)∪(2k π+5π6，2k π+π)，k ∈Z ．选D ．3．已知点A 为双曲线x 2-y 2=1的左顶点，点B 和点C 在双曲线的右分支上，△ABC 是等边三角形，则△ABC 的面积是( )(A ) 33 (B ) 332 (C )3 3(D )6 3解：A (－1，0)，AB 方程：y=33(x +1)，代入双曲线方程，解得B (2，3)，∴ S=33．选C ．4．给定正数p ，q ，a ，b ，c ，其中p ≠q ，若p ，a ，q 是等比数列，p ，b ，c ，q 是等差数列，则一元二次方程bx 2-2ax +c=0( )(A )无实根 (B )有两个相等实根 (C )有两个同号相异实根 (D )有两个异号实根解：a 2=pq ，b +c=p +q ．b=2p +q 3，c=p +2q3；14△=a 2－bc=pq －19(2p +q )(p +2q )=－29(p －q )2<0．选A ．5．平面上整点（纵、横坐标都是整数的点）到直线y=53x +45的距离中的最小值是( ) (A ) 34170 (B ) 3485 (C ) 120 (D ) 130 解：直线即25x －15y +12=0．平面上点(x ，y )到直线的距离=|25x －15y +12|534=|5(5x －3y +2)+2|534．∵5x －3y +2为整数，故|5(5x －3y +2)+2|≥2．且当x=y=－1时即可取到2．选B ． 6．设ω=cos π5+i sin π5，则以ω，ω3，ω7，ω9为根的方程是( )(A )x 4+x 3+x 2+x +1=0 (B ) x 4-x 3+x 2-x +1=0 (C ) x 4-x 3-x 2+x +1=0 (D ) x 4+x 3+x 2-x -1=0解：ω5+1=0，故ω，ω3，ω7，ω9 都是方程x 5+1=0的根．x 5+1=(x +1)(x 4－x 3+x 2－x +1)=0．选B ． 二．填空题（本题满分54分，每小题9分）1．arcsin(sin2000︒)=__________.解：2000°=180°×12－160°．故填－20°或－π9．2．设a n 是(3-x )n的展开式中x 项的系数(n=2，3，4，…)，则lim n →∞(32a 2+33a 3+ (3)a n ))=________.解：a n =3n －2C 2n ．∴3k a k =2·323k －2n (n －1)=18n (n －1)，故填18．3．等比数列a +log 23，a +log 43，a +log 83的公比是____________. 解：q=a +log 43a +log 23=a +log 83a +log 43=(a +log 43)－(a +log 83)(a +log 23)－(a +log 43)=log 43－log 83log 23－log 43=13．填13．4．在椭圆x 2a 2+y 2b 2=1 (a ＞b ＞0)中，记左焦点为F ，右顶点为A ，短轴上方的端点为B .若该椭圆的离心率是5－12，则∠ABF=_________.解：c=5－12a ，∴|AF |=5+12a ．|BF |=a ，|AB |2=|AO |2+|OB |2=5+32a 2． 故有|AF |2=|AB |2+|BF |2．即∠ABF=90°．填90°． 或由b 2=a 2－c 2=5－12a 2=ac ，得解．5．一个球与正四面体的六条棱都相切，若正四面体的棱长为a ，则这个球的体积是________.解：取球心O 与任一棱的距离即为所求．如图，AE=BE=32a ，G ADBEOHAG=63a ，AO=64a ，BG=33a ，AB ∶AO=BG ∶OH ． OH=AO ·BG AB =24a ．V=43πr 3=224πa 3．填224πa 3．． 6．如果：(1)a ，b ，c ，d 都属于{1，2，3，4}； (2)a ≠b ，b ≠c ，c ≠d ，d ≠a ；(3)a 是a ，b ，c ，d 中的最小值，那么，可以组成的不同的四位数____abcd 的个数是_________解：a 、c 可以相等，b 、d 也可以相等． ⑴ 当a 、c 相等，b 、d 也相等时，有C 24=6种； ⑵ 当a 、c 相等，b 、d 不相等时，有A 23+A 22=8种； ⑶ 当a 、c 不相等，b 、d 相等时，有C 13C 12+C 12=8种；⑷ 当a 、c 不相等，b 、d 也不相等时，有A 33=6种；共28种．填28．三、解答题(本题满分60分，每小题20分)1．设S n =1+2+3+…+n ，n ∈N *，求f (n )=S n(n +32)S n +1的最大值．解：S n =12n (n +1)，f (n )= n (n +1)(n +32)(n +1)(n +2) = 1n +64n +34≤150．(n=8时取得最大值)．2．若函数f (x )=－12x 2+132在区间[a ，b ]上的最小值为2a ，最大值为2b ，求[a ，b ]． 解：⑴ 若a ≤b <0，则最大值为f (b )=－12b 2+132=2b ．最小值为f (a )=－12a 2+132=2a ．即a ，b 是方程x 2+4x －13=0的两个根，而此方程两根异号．故不可能．⑵ 若a <0<b ，当x=0时，f (x )取最大值，故2b=132，得b=134．当x=a 或x=b 时f (x )取最小值，①f (a )=－12a 2+132=2a 时．a=－2±17，但a <0，故取a=－2－17．由于|a |>|b |，从而f (a )是最小值．②f (b )=－12b 2+132=3932=2a >0．与a <0矛盾．故舍．⑶ 0≤a <b ．此时，最大值为f (a )=2b ，最小值为f (b )=2a ．∴ －12b 2+132=2a ．－12a 2+132=2b ．相减得a +b=4．解得a=1，b=3．∴ [a ，b ]=[1，3]或[－2－17，134]．3．已知C 0：x 2+y 2=1和C 1：x 2a 2+y 2a 2=1 (a ＞b ＞0)．试问：当且仅当a ，b 满足什么条件时，对C 1上任意一点P ，均存在以P 为顶点，与C 0外切，与C 1内接的平行四边形？并证明你的结论．解：设PQRS 是与C 0外切且与C 1内接的平行四边形．易知圆的外切平行四边形是菱形．即PQRS 是菱形．于是OP ⊥OQ ．设P (r 1cos θ，r 1sin θ)，Q (r 2cos(θ+90°)，r 2sin(θ+90°)，则在直角三角形POQ 中有r 12+r 22=r 12r 22(利用△POQ 的面积)．即1r 21+1r 22=1．但r 21cos 2θa 2+r 22sin 2θb 2=1，即1r 21=cos 2θa 2+sin 2θb 2，同理，1r 22=sin 2θa 2+cos 2θb 2，相加得1a 2+1b 2=1．反之，若1a 2+1b 2=1成立，则对于椭圆上任一点P (r 1cos θ，r 1sin θ)，取椭圆上点Q (r 2cos(θ+90°)，r 2sin(θ+90°)，则1r 21=cos 2θa 2+sin 2θb 2，，1r 22=sin 2θa 2+cos 2θb 2，，于是1r 21+1r 22=1a 2+1b 2=1，此时PQ 与C 0相切．即存在满足条件的平行四边形．故证．。
2013年全国高校自主招生数学模拟试卷13 (3)
2013年全国高校自主招生数学模拟试卷十三一、选择题(本题满分36分，每题6分)1． 把圆x 2+(y －1)2=1与椭圆9x 2+(y +1)2=9的公共点，用线段连接起来所得到的图形为( )(A )线段 (B )不等边三角形 (C )等边三角形 (D )四边形2． 等比数列{a n }的首项a 1=1536,公比q=－12,用πn 表示它的前n 项之积。
则πn (n ∈N *)最大的是( )(A )π9 (B )π11 (C )π12 (D )π133． 存在整数n,使p +n +n 是整数的质数p ( ) (A )不存在 (B )只有一个 (C )多于一个,但为有限个 (D )有无穷多个4． 设x ∈(－12，0),以下三个数α1=cos(sin xπ),α2=sin(cos xπ),α3=cos(x +1)π的大小关系是( )(A )α3<α2<α1 (B )α1<α3<α2 (C )α3<α1<α2 (D )α2<α3<α15． 如果在区间[1,2]上函数f (x )=x 2+px +q 与g (x )=x +1x 2在同一点取相同的最小值，那么f (x )在该区间上的最大值是( )(A ) 4+11232+34 (B ) 4－5232+34 (C ) 1－1232+34 (D )以上答案都不对6． 高为8的圆台内有一个半径为2 的球O 1，球心O 1在圆台的轴上，球O 1与圆台的上底面、侧面都相切，圆台内可再放入一个半径为3的球O 2，使得球O 2与球O 1、圆台的下底面及侧面都只有一个公共点，除球O 2，圆台内最多还能放入半径为3的球的个数是( ) (A ) 1 (B ) 2 (C ) 3 (D ) 4 二、填空题(本题满分54分，每小题9分)1． 集合{x |－1≤log 1x10<－12，x ∈N *}的真子集的个数是 ．2． 复平面上，非零复数z 1，z 2在以i 为圆心，1为半径的圆上，_z 1·z 2的实部为零，z 1的辐角主值为π6，则z 2=_______．3． 曲线C 的极坐标方程是ρ=1+cos θ，点A 的极坐标是(2,0)，曲线C 在它所在的平面内绕A 旋转一周，则它扫过的图形的面积是_______．4． 已知将给定的两个全等的正三棱锥的底面粘在一起，恰得到一个所有二面角都相等的六面体，并且该六面体的最短棱的长为2，则最远的两顶点间的距离是________．5． 从给定的六种不同颜色中选用若干种颜色，将一个正方体的六个面染色，每 面恰染一种颜色，每两个具有公共棱的面染成不同的颜色。
2013年全国高校自主招生数学模拟试卷1
解：曲线方程为+=1，直线方程为y=ax+b．
由直线图形，可知A、C中的a<0，A图的b>0，C图的b<0，与A、C中曲线为椭圆矛盾．
由直线图形，可知B、D中的a>0，b<0，则曲线为焦点在x轴上的双曲线，故选B．
在每一位(从第一位到第n－1位)小数上，数字0与1各出现2n－2次．第n位则1出现2n－1次．
∴Sn=2n－20.11…1+2n－210－n．
∴==．
三、（本题满分20分）
13．设≤x≤5，证明不等式
2++<2．
解：x+1≥0，2x－3≥0，15－3x≥0．≤x≤5．
由平均不等式≤≤．
∴2++=+++≤2．
而MN上任一异于P的点Q，都有OQ+QA=OQ+QA>OA．故点Q在椭圆C外．即折痕上所有的点都在椭圆C上及C外．
反之，对于椭圆C上或外的一点S，以S为圆心，SA为半径作圆，交⊙O于A，则S在AA的垂直平分线上，从而S在某条折痕上．
最后证明所作⊙S与⊙O必相交．
1当S在⊙O外时，由于A在⊙O内，故⊙S与⊙O必相交；
MN=－1．EM=，故EN2=3－(－1)2=2．∴EN=．所求圆柱的高=2+．
12．设Mn={(十进制)n位纯小数0.|ai只取0或1(i=1，2，…，n－1)，an=1}，Tn是Mn中元素的个数，Sn是Mn中所有元素的和，则=．
解：由于a1，a2，…，an－1中的每一个都可以取0与1两个数，Tn=2n－1．
2当S在⊙O内时(例如在⊙O内，但在椭圆C外或其上的点S)，取过S的半径OD，则由点S在椭圆C外，故OS+SA≥R(椭圆的长轴)．即SA≥SD．于是D在⊙S内或上，即⊙S与⊙O必有交点．
2013年全国高校自主招生数学模拟试卷一
2013年全国高校自主招生数学模拟试卷一命题人：南昌二中 高三（01）班 张阳阳一、选择题（本题满分36分，每小题6分） 1. 如图，在正四棱锥P −ABCD 中，∠APC =60°，则二面角A −PB −C 的平面角的余弦值为（ ） A. 71B. 71-C. 21D. 21-2. 设实数a 使得不等式|2x −a |+|3x −2a |≥a 2对任意实数x 恒成立，则满足条件的a 所组成的集合是（ ）A. ]31,31[- B. ]21,21[- C. ]31,41[- D. [−3，3]3. 将号码分别为1、2、…、9的九个小球放入一个袋中，这些小球仅号码不同，其余完全相同。
甲从袋中摸出一个球，其号码为a ，放回后，乙从此袋中再摸出一个球，其号码为b 。
则使不等式a −2b +10>0成立的事件发生的概率等于（ ） A.8152 B.8159 C.8160 D.8161 4. 设函数f (x )=3sin x +2cos x +1。
若实数a 、b 、c 使得af (x )+bf (x−c )=1对任意实数x 恒成立，则acb cos 的值等于（ ） A. 21-B. 21C. −1D. 15. 设圆O 1和圆O 2是两个定圆，动圆P 与这两个定圆都相切，则圆P 的圆心轨迹不可能是（ ）6. 已知A 与B 是集合{1，2，3，…，100}的两个子集，满足：A 与B 的元素个数相同，且为A ∩B 空集。
若n ∈A 时总有2n +2∈B ，则集合A ∪B 的元素个数最多为（ ） A. 62 B. 66 C. 68 D. 74 二、填空题（本题满分54分，每小题9分）7. 在平面直角坐标系内，有四个定点A (−3，0)，B (1，−1)，C (0，3)，D (−1，3)及一个动点P ，则|PA |+|PB |+|PC |+|PD |的最小值为__________。
8. 在△ABC 和△AEF 中，B 是EF 的中点，AB =EF =1，BC =6，33=CA ，若2=⋅+⋅，则与的夹角的余弦值等于________。
2013年高考数学全国卷1(完整版试题+答案+解析)
2013年高考数学全国卷1(完整版试题+答案+解析)2013年普通高等学校招生全国统一考试（全国卷）理科数学本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共6页．考试时间120分钟．满分150分．答题前，考生务必用0.5毫米的黑色签字笔将自己的姓名、座号、考号填写在第Ⅰ卷答题卡和第Ⅱ卷答题纸规定的位置．参考公式：样本数据x1,x2,x n的标准差s222(x1x)(xx)(xx)2nn其中x为样本平均数球的面积公式S 24R第Ⅰ卷（选择题共60分）注意事项：1．每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，不能答在试题卷上．2．第Ⅰ卷只有选择题一道大题．一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.复数112ii（i是虚数单位）的虚部是A．32B．12C．3D．122.已知R是实数集，Mx1,Nyyx11，则NC R M3.xA．(1,2)B．0,2C.D．1,24.现有10个数，其平均数是4，且这10个数的平方和是200，那么这个数组的标准差是A．1B．2C．3D．45.设S n为等比数列{a n}的前n项和，8a2a50 ，则S4 S 2A．5B．8C．8D．156.已知函数f(x)sin(2x)，若存在a(0,)，使得f(xa)f(xa)恒成立，则 a6的值是-1-/112013年高考数学全国卷1(完整版试题+答案+解析) A．B．C．D．63427.已知m、n表示直线，,,表示平面，给出下列四个命题，其中真命题为（1）m,n,nm,则（2）,m,n,则nm（3）m,m,则∥（4）m,n,mn,则A．（1）、（2）B．（3）、（4）C．（2）、（3）D．（2）、（4）8.已知平面上不共线的四点O,A,B,C，若|AB| OA3OB2OC,则等于|BC|A．1B．2C．3D．49.已知三角形ABC的三边长成公差为2的等差数列，且最大角的正弦值为32，则这个三角形的周长是A．18B．21C．24D．1510.函数f 1(x)lgx的零点所在的区间是xA．0,1B．1,10C．10,100D．(100,)11.过直线yx上一点P引圆22670xyx的切线，则切线长的最小值为A．22B．322C．102D．2 212.已知函数f(x)xax2b .若a,b都是区间0,4内的数，则使f(1)0成立的概率是A．34B．14C．38D．582y2x13.已知双曲线的标准方程为1916，F为其右焦点，A1,A2是实轴的两端点，设P为双曲线上不同于A1,A的任意一点，直线A1P,A2P与直线xa分别交于两点M,N,若2FMFN0,则a的值为A．169B．95C．259D．165-2-/112013年高考数学全国卷1(完整版试题+答案+解析)第Ⅱ卷（非选择题共90分）注意事项：1．请用0.5毫米的黑色签字笔将每题的答案填写在第Ⅱ卷答题纸的指定位置．书写的答案如需改动，要先划掉原来的答案，然后再写上新答案．2．不在指定答题位置答题或超出答题区域书写的答案无效．在试题卷上答题无效．3．第Ⅱ卷共包括填空题和解答题两道大题．二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分．开始14.如图所示的程序框图输出的结果为__________.a2,i1否15.若一个底面是正三角形的三棱柱的正视图如下图所示，其顶点都在i10一个球面上，则该球的表面积为__________.是1aa1输出1a11第14题图ii1结束第13题图216.地震的震级R与地震释放的能量E的关系为R(lgE11.4)．2011年3月11日，日3本东海岸发生了9.0级特大地震，2008年中国汶川的地震级别为8.0级，那么2011年地震的能量是2008年地震能量的倍．17.给出下列命题：①已知a,b都,m是正数，且ab 11ab，则ab；②已知f(x)是f(x)的导函数，若xR,f(x)0，则f(1)f(2)一定成立；③命题“xR，使得2210xx”的否定是真命题；④“x1,且y1”是“xy2”的充要条件.其中正确命题的序号是.(把你认为正确命题的序号都填上)-3-/112013年高考数学全国卷1(完整版试题+答案+解析)三、解答题：本大题共６小题，共74分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．（本小题满分12分）xxx已知向量a(1,cos)与b(3sincos,y)共线，且有函数yf(x)．2222（Ⅰ）若f(x)1，求cos(2x)的值；3（Ⅱ）在ABC中，角A,B,C,的对边分别是a,b,c，且满足2acosCc2b，求函数f(B)的取值范围.18．（本小题满分12分）已知等差数列a n的前n项和为S n，公差d0,且S3S550,a1,a4,a13成等比数列．（Ⅰ）求数列a的通项公式；n（Ⅱ）设bnan是首项为1，公比为3的等比数列，求数列b的前n项和Tn.n-4-/112013年高考数学全国卷1(完整版试题+答案+解析)18.（本小题满分12分）已知四棱锥ABCDE，其中ABBCACBE1，CD2，CD面ABC，BE∥CD，F为AD的中点.D（Ⅰ）求证：EF∥面ABC；（Ⅱ）求证：面ADE面ACD；F （III）求四棱锥ABCDE的体积.ECAB19.（本小题满分12分）在某种产品表面进行腐蚀性检验，得到腐蚀深度y与腐蚀时间x之间对应的一组数据：时间x（秒）51015203040深度y（微米）61010131617现确定的研究方案是：先从这6组数据中选取2组，用剩下的4组数据求线性回归方程，再对被选取的2组数据进行检验．（Ⅰ）求选取的2组数据恰好不相邻的概率；（Ⅱ）若选取的是第2组和第5组数据，根据其它4组数据，求得y关于x的线性回归方程4139y?x，规定由线性回归方程得到的估计数据与所选出的检验数据的误1326差均不超过2微米，则认为得到的线性回归方程是可靠的，判断该线性回归方程是否可靠．-5-/112013年高考数学全国卷1(完整版试题+答案+解析) 20.（本小题满分12分）已知函数axbf(x)在点(1,f(1))的切线方程为xy30.2x1（Ⅰ）求函数f(x)的解析式；（Ⅱ）设g(x)lnx，求证：g(x)f(x)在x[1,)上恒成立.21.（本小题满分14分）实轴长为43的椭圆的中心在原点，其焦点F1,,F2在x轴上.抛物线的顶点在原点O，对称轴为y轴，两曲线在第一象限内相交于点A,且A FAF，△AF1F2的面积为3.12（Ⅰ）求椭圆和抛物线的标准方程；（Ⅱ）过点A作直线l分别与抛物线和椭圆交于B,C,若AC2AB,求直线l的斜率k.yAF1BoF2xC-6-/112013年高考数学全国卷1(完整版试题+答案+解析)参考答案及评分标准一．选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．）BDBADBBDBCCB二．填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分．）13．214. 19322.310216.①③三．解答题17．（本小题满分12分）解：（Ⅰ）∵a与b共线∴3sin1x2xcos2xcos2yy3sin x2cosx22x3xxx1cossin(1cos)sin(2226)12⋯⋯⋯⋯3分1∴f(x)sin(x)1，即62 sin(x )612⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯4分2 cos(3 2x)cos2(x)32x2x2cos()12sin(36) 112⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯6分（Ⅱ）已知2acosCc2b由正弦定理得：2sinAcosCsinC2sinB2sin(AC)2sinAcosCsinC2sinAcosC2cosAsinC∴f1cosA，∴在ABC中∠21(B)sin(B)62 A3⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯8分∵∠A∴320B,3B6656⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯10分1∴sin(B)1,26 1f(B)323 ∴函数f(B)的取值范围为](1,2⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯12分 -7-/112013年高考数学全国卷1(完整版试题+答案+解析)18．（本小题满分12分） 解：（Ⅰ）依题意得3a132 2d45 5ad1250⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯2分(a 1 3d) 2 a ( 1 a 12d 1)解得a 1 d 3 ，⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯4分2a n a 1(n1)d32(n1)2n1，即a n 2n1．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯6分(Ⅱ) b na nn 3 1 ， n1(21)3nb n a3nn1⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯7分2(21)3nT n 53n337123n1n3T n 335373(2n1)3(2n1)3⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯9分 2n1n2T n 3232323(2n1)332 3(1 1 n 3 3 1 ) (2n n 1)32n n 3∴n T n n3⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯12分 19．（本小题满分12分）解：（Ⅰ）取AC 中点G,连结FG 、BG ， ∵F,G 分别是A D,AC 的中点12∴FG ∥CD,且FG=DC=1．D ∵BE ∥CD ∴FG 与BE 平行且相等F∴EF ∥BG ．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯2分EEF 面ABC,BG 面ABC ∴EF ∥面ABCGC⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯4分AB （Ⅱ）∵△ABC为等边三角形∴BG⊥AC又∵DC⊥面ABC,BG面ABC∴DC⊥BG-8-/112013年高考数学全国卷1(完整版试题+答案+解析)∴BG垂直于面ADC的两条相交直线AC,DC，∴BG⊥面ADC．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯6分∵EF∥BG∴EF⊥面ADC∵EF面ADE，∴面ADE⊥面ADC．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯8分（Ⅲ）连结EC,该四棱锥分为两个三棱锥E－ABC和E－ADC．1313333V A VV11．BCDEEABCEACD34321264⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯12分另法：取BC的中点为O，连结A O，则A OBC，又CD平面ABC,∴CDAO,BCCDC,∴AO平面BCDE，∴AO为V ABCDE的高，3(12)131333AO,S BCDE,V．ABCDE222322420．（本小题满分12分）解：（Ⅰ）设6组数据的编号分别为1,2,3,4,5,6.设抽到不相邻的两组数据为事件A，从6组数据中选取2组数据共有15种情况：（1,2）（1,3）（1,4）（1,5）（1,6）（2,3）（2,4）（2,5）（2,6）（3,4）（3,5）（3,6）（4,5）（4,6）（5,6），其中事件A包含的基本事件有10种．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯3分所以102P(A)．所以选取的2组数据恰好不相邻的概率是15323．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯6分4139219219(Ⅱ)当x10时，y?10,|10|2;13262626⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯9分4139379379y?30,|当x30时，16|2;13262626所以，该研究所得到的回归方程是可靠的．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯12分21．（本小题满分12分）解：（Ⅰ）将x1代入切线方程得y2ba∴f(1)2，化简得ba4．11⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯2分f(x) a(2x 1)(1(axb)222x)x-9-/112013年高考数学全国卷1(完整版试题+答案+解析)2a2(ba)2bbf(1)1． 442⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯4分解得：a2,b2 ∴2x2 f(x)．2 x1⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯6分 （Ⅱ）由已知得 ln2x2x 在[1,)上恒成立2 x12xx 化简得(1)ln22x 即x 2lnxlnx2x 20在[1,)上恒成立．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯8分设h(x)x 2lnxlnx2x2，h(x)2xlnxx1 x2 1∵x1∴2xlnx0,x2，即h(x)0．x⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯10分 ∴h(x)在[1,)上单调递增，h (x)h(1)0 ∴g(x)f(x)在x[1,)上恒成立．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯12分 22．（本小题满分14分） 22xy解（1）设椭圆方程为221(0)abab，AF 1m,AF 2n m 2 2 n 2 4c由题意知 m n43⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯2分 mn6解得c 29，∴b 21293．2y 2x∴椭圆的方程为1123⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯4分 ∵y A c3，∴y A 1,代入椭圆的方程得x A 22，2将点A 坐标代入得抛物线方程为x 8y．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯6分（2）设直线l的方程为y1k(x22)，B(x1,y1),C(x2,y2)-10-/112013年高考数学全国卷1(完整版试题+答案+解析)由AC2AB 得2222(x22)x ，1 化简得2x 1x22 2⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯8分 联立直线与抛物线的方程y x 2 1 8 k (x2 y 2) ， 得x 28kx162k80∴x 1228k ①⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯10分 联立直线与椭圆的方程y x 1 k (22y4x 22 12 ) 2x 2kkxkk 22得(14k)(8162)3216280 ∴ 2162k8kx22② 2214k⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯12分 2162k8k ∴22222xx2(8k22)1k 22142k整理得：)0(16k42)(1214k∴ 22 k ，所以直线l 的斜率为 44 ．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯14分-11-/11。
2013年自主招生数学考试试题
绝密☆启用前试卷类型：A2013年枣庄市实验中学自主招生考试数 学 试 题 2013.5注意事项：1.本试卷共6页，满分100分，考试用时90分钟。
考试结束时，将本试卷一并交回。
2.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号等信息写在试卷密封线内。
3.必须用黑色签字笔或蓝黑色钢笔作答（作图除外），答案必须写在答题纸各题目指定区域相应的位置，不按要求作答的答案无效。
第Ⅰ卷 选择题（共30分）一、选择题：本大题共10小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是正确的，请把正确的选项选出来．每小题选对得３分，选错、不选或选出的答案超过一 个均计零分． 1．在实数π，2，0，3.14，2-，tan45°，3.1415926，71，1.010010001……（每两个1之 间0的个数依次加1）中，无理数的个数是 （ ）A ． 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个2．某品牌商品，按标价九折出售，仍可获得20%的利润.若该商品标价为28元，则商品的进价为（ ）A ．21元B ．19.8元C ． 22.4元D ． 25.2元 3．已知a ＞b ，c ≠0，则下列关系一定成立的是（ ）A ．c +a ＞c +bB ．a bc c> C ．c -a ＞c -b D ． ac ＞bc4．在围棋盒中有x 颗白色棋子和y 颗黑色棋子，从盒中随机取出一颗棋子，取得白色棋子的概率是2 5 ．如果再往盒中放进6颗黑色棋子，取得白色棋子的概率是14 ，则原来盒中有黑色棋子（ ）A ．8颗B ．6颗C ．4颗D ．2颗5．已知一个菱形的周长是20cm ，两条对角线的比是4∶3，则这个菱形的面积是A ．12cm 2B ．96cm 2C ．48cm 2D ．24cm 26．函数1ky x-=的图象与直线y x =没有交点，那么k 的取值范围是（ ） A ．1k > B ．1k < C ．1k >- D ．1k <-区市 学校 姓名 准考证号 ——————密————————————————封——————————————————线——————————7.函数2y ax b y ax bx c =+=++和在同一直角坐标系内的图象大致是( )8.如图，矩形纸片ABCD 中，已知AD=8，折叠纸片使AB 边与对角线AC 重合，点B 落在点F 处，折痕为AE ，且EF=3，则AB 的长为（ ） A ．3 B ．4 C ．5 D ．69．如图,两正方形彼此相邻且内接于半圆,若小正方形的面积为16cm 2,则该半圆的半径为（ ） A. (45)+ cm B. 9 cm C. 45cm D. 62cm(第9题图)10.如图，AB 是O ⊙的直径，O ⊙交BC 的中点于D ，DE AC ⊥于E ，连接AD ，则下列结论正确的个数是（ ） AD BC ⊥① EDA B ∠=∠② 12OA AC =③ ④DE 是O ⊙的切线 A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个（第8题图） F ED C BA CDBAE O(第10题图)第Ⅱ卷 非选择题 （共70分)二、填空题：本大题共7小题，满分21分．只要求填写最后结果，每题填对得3分. 11.平面上一点P 到⊙O 上一点的距离最长6cm ，最短为2cm ，则⊙O 的半径为 _____ 12.已知关于x 的不等式组0521x a x -⎧⎨->⎩≥，只有四个整数解，则a 的取值范围是13.右图是一个食品包装盒的侧面展开图,根据图中所标的尺寸，求这个多面体的全面积（侧面积与两个底面体之和）_____14．已知等腰△ABC 中，AD 是BC 边上的高，点D 是垂足，且AD=21BC ， 则△ABC 底角的度数为_____。
2013年全国高校自主招生数学模拟试卷
2013年全国高校自主招生数学模拟试卷命题人：南昌二中 高三（01）班 张阳阳一、选择题(本题满分36分，每小题6分)1．已知△ABC ，若对任意t ∈R ，||→BA －t →BC ≥||→AC ，则△ABC 一定为A ．锐角三角形B ．钝角三角形C ．直角三角形D ．答案不确定 2．设log x (2x 2＋x －1)＞log x 2－1，则x 的取值范围为A ．12＜x ＜1B ．x ＞12且x ≠1 C ． x ＞1 D ． 0＜x ＜13．已知集合A ＝{x |5x －a ≤0}，B ＝{x |6x －b ＞0}，a ，b ∈N ，且A ∩B ∩N ＝{2，3，4}，则整数对(a ，b )的个数为A ．20B ．25C ．30D ．42 4．在直三棱柱A 1B 1C 1－ABC 中，∠BAC ＝π2，AB ＝AC ＝AA 1＝1．已知G 与E 分别为A 1B 1和CC 1的中点，D 与F 分别为线段AC 和AB 上的动点(不包括端点)．若GD ⊥EF ，则线段DF 的长度的取值范围为A ．[15，1)B ．[15，2)C ．[1，2)D ．[15，2)5．设f (x )＝x 3＋log 2(x ＋x 2＋1)，则对任意实数a ，b ，a ＋b ≥0是f (a )＋f (b )≥0的A . 充分必要条件B . 充分而不必要条件C . 必要而不充分条件D . 既不充分也不必要条件 6．数码a 1，a 2，a 3，…，a 2006中有奇数个9的2007位十进制数－2a 1a 2…a 2006的个数为A ．12(102006＋82006)B ．12(102006－82006) C ．102006＋82006 D ．102006－82006二、填空题(本题满分54分，每小题9分)7. 设f (x )＝sin 4x －sin x cos x ＋cos 4x ，则f (x )的值域是 ．8. 若对一切θ∈R ，复数z ＝(a ＋cos θ)＋(2a －sin θ)i 的模不超过2，则实数a 的取值范围为 ．9．已知椭圆x 216＋y 24＝1的左右焦点分别为F 1与F 2，点P 在直线l ：x －3y ＋8＋23＝0上.当∠F 1PF 2取最大值时，比|PF 1||PF 2|的值为 ．10．底面半径为1cm 的圆柱形容器里放有四个半径为12cm 的实心铁球，四个球两两相切，其中底层两球与容器底面相切. 现往容器里注水，使水面恰好浸没所有铁球，则需要注水 cm 3．11．方程(x 2006＋1)(1＋x 2＋x 4＋…＋x 2004)＝2006x 2005的实数解的个数为 ． 12. 袋内有8个白球和2个红球，每次从中随机取出一个球，然后放回1个白球，则第4次恰好取完所有红球的概率为 ．三、解答题（本题满分60分，每小题20分）13. 给定整数n ≥2，设M 0(x 0，y 0)是抛物线y 2＝nx －1与直线y ＝x 的一个交点. 试证明对任意正整数m ，必存在整数k ≥2，使(x 0m ，y 0m )为抛物线y 2＝kx －1与直线y ＝x 的一个交点．14．将2006表示成5个正整数x 1，x 2，x 3，x 4，x 5之和．记S ＝1≤i ＜j ≤5Σx i x j ．问：⑴ 当x 1，x 2，x 3，x 4，x 5取何值时，S 取到最大值；⑵ 进一步地，对任意1≤i ，j ≤5有||x i －x j ≤2，当x 1，x 2，x 3，x 4，x 5取何值时，S 取到最小值.说明理由．15．设 f (x )＝x 2＋a . 记f 1(x )＝f (x )，f n (x )＝f (f n －1(x ))，n ＝1，2，3，…，M ＝{a ∈R |对所有正整数n ，||f n (0)≤2}．证明，M ＝[－2，14]．2013年全国高校自主招生数学模拟试卷四参考答案一、选择题(本题满分36分，每小题6分)答C ．解：令∠ABC ＝α，过A 作AD ⊥BC 于D ，由||→BA －t →BC ≥||→AC ，推出||→BA 2－2t →BA · →BC ＋t 2||→BC 2≥||→AC 2,令t ＝→BA · →BC ||→BC2，代入上式，得||→BA 2－2||→BA 2cos 2α＋||→BA 2cos 2α≥||→AC 2，即 ||→BA 2sin 2α≥||→AC 2,也即||→BA sin α≥||→AC ．从而有||→AD ≥||→AC ．由此可得∠ACB ＝π2．答B ．解：因为⎩⎨⎧x ＞0，x ≠12x 2＋x －1＞0，解得x ＞12且x ≠1．由log x (2x 2＋x －1)＞log x 2－1，⇒ log x (2x 3＋x 2－x )＞log x 2⎩⎨⎧0＜x ＜1，2x 3＋x 2－x ＜2或⎩⎨⎧x ＞1，2x 3＋x 2－x ＞2．解得0＜x ＜1或x ＞1． 所以x 的取值范围为x ＞12且x ≠1．答C ． 解：5x －a ≤0x ≤a5；6x －b ＞0x ＞b6．要使A ∩B ∩N ＝{2，3，4}，则 ⎩⎨⎧1≤b6＜2，4≤a 5＜5，即⎩⎨⎧6≤b ＜12，20≤a ＜25．所以数对(a ，b )共有C 61C 51＝30个． 答A ．解：建立直角坐标系，以A 为坐标原点，AB 为x 轴，AC 为y 轴，AA 1为z 轴，则F (t 1，0，0)(0＜t 1＜1)，E (0，1，12)，G (12，0，1)，D (0，t 2，0)(0＜t 2＜1)．所以→EF ＝(t 1，－1，－12)，→GD ＝(－12，t 2，－1)．因为GD ⊥EF ，所以t 1＋2t 2＝1，由此推出0＜t 2＜12．又→DF ＝(t 1，－t 2，0)，||→DF ＝t 12＋t 22＝5t 22－4t 2＋1＝5(t 2－25)2＋15，从而有15≤||→DF ＜1．答A ．解：显然f (x )＝x 3＋log 2(x ＋x 2＋1)为奇函数，且单调递增．于是若a ＋b ≥0，则a ≥－b ，有f (a )≥f (－b )，即f (a )≥－f (b )，从而有f (a )＋f (b )≥0． 反之，若f (a )＋f (b )≥0，则f (a )≥－f (b )＝f (－b ),推出a ≥－b ，即a ＋b ≥0． 答B ．解：出现奇数个9的十进制数个数有A ＝C 20061 92005＋C 20063 92003＋…＋C 200620059．又由于(9＋1)2006＝k ＝0Σ2006C 2006k 92006－k以及(9－1)2006＝k ＝0Σ2006C 2006k(－1)k 92006－k 从而得A ＝C 20061 92005＋C 20063 92003＋…＋C 200620059＝12(102006－82006)． 填[0，98]．解：f (x )＝sin 4x －sin x cos x ＋cos 4x ＝1－12sin2x －12sin 22x ．令t ＝sin2x ，则f (x )＝g (t )＝1－12t －12t 2＝98－12(t ＋12)2．因此－1≤t ≤1min g (t )＝g (1)＝0，－1≤t ≤1max g (t )＝g (－12)＝98． 故，f (x )∈[0，98]．填[－55，55]．解：依题意，得|z |≤2(a ＋cos θ)2＋(2a －sin θ)2≤42a (cos θ－2sin θ)≤3－5a 2． －25a sin(θ－φ)≤3－5a 2(φ＝arcsin 55)对任意实数θ成立． 25|a |≤3－5a 2|a |≤55，故 a 的取值范围为[－55，55]． 填3－1．.解：由平面几何知，要使∠F 1PF 2最大，则过F 1，F 2，P 三点的圆必定和直线l 相切于点P ．直线l 交x 轴于A (－8－23，0)，则∠APF 1＝∠AF 2P ，即∆APF 1∽∆AF 2P ，即|PF 1||PF 2|＝|AP ||AF 2|⑴ 又由圆幂定理，|AP |2＝|AF 1|·|AF 2|⑵而F 1(－23，0)，F 2(23，0)，A (－8－23，0)，从而有|AF 1|＝8，|AF 2|＝8＋43． 代入⑴，⑵得，|PF 1||PF 2|＝|AF 1||AF 2|＝88＋43＝4－23＝3－1．填(13＋22)π． 解：设四个实心铁球的球心为O 1，O 2，O 3，O 4，其中O 1，O 2为下层两球的球心，A ，B ，C ，D 分别为四个球心在底面的射影．则ABCD 是一个边长为22的正方形。
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2013年全国高校自主招生数学模拟试卷一一、选择题（本题满分36分，每小题6分）1. 如图，在正四棱锥P −ABCD 中，∠APC =60°，则二面角A −PB −C 的平面角的余弦值为（ ） A.71 B. 71-C.21 D. 21-2. 设实数a 使得不等式|2x −a |+|3x −2a |≥a 2对任意实数x 恒成立，则满足条件的a 所组成的集合是（ ） A. ]31,31[-B. ]21,21[-C. ]31,41[- D. [−3，3]3. 将号码分别为1、2、…、9的九个小球放入一个袋中，这些小球仅号码不同，其余完全相同。
甲从袋中摸出一个球，其号码为a ，放回后，乙从此袋中再摸出一个球，其号码为b 。
则使不等式a −2b +10>0成立的事件发生的概率等于（ ） A.8152 B.8159 C.8160 D.8161 4. 设函数f (x )=3sin x +2cos x +1。
若实数a 、b 、c 使得af (x )+bf (x −c )=1对任意实数x 恒成立，则a cb cos 的值等于（ ） A. 21- B. 21C. −1D. 15. 设圆O 1和圆O 2是两个定圆，动圆P 与这两个定圆都相切，则圆P 的圆心轨迹不可能是（ ）6. 已知A 与B 是集合{1，2，3，…，100}的两个子集，满足：A 与B 的元素个数相同，且为A ∩B 空集。
若n ∈A 时总有2n +2∈B ，则集合A ∪B 的元素个数最多为（ ） A. 62 B. 66 C. 68 D. 74 二、填空题（本题满分54分，每小题9分）7. 在平面直角坐标系内，有四个定点A (−3，0)，B (1，−1)，C (0，3)，D (−1，3)及一个动点P ，则|PA |+|PB |+|PC |+|PD |的最小值为__________。
8. 在△ABC 和△AEF 中，B 是EF 的中点，AB =EF =1，BC =6，33=CA ，若2=⋅+⋅AF AC AE AB ，则EF 与BC 的夹角的余弦值等于________。
9. 已知正方体ABCD −A 1B 1C 1D 1的棱长为1，以顶点A 为球心，332为半径作一个球，则球面与正方体的表面相交所得到的曲线的长等于__________。
10. 已知等差数列{a n }的公差d 不为0，等比数列{b n }的公比q 是小于1的正有理数。
若a 1=d ，b 1=d 2，且321232221b b b a a a ++++是正整数，则q 等于________。
11. 已知函数)4541(2)cos()sin()(≤≤+-=x xπx πx x f ，则f (x )的最小值为________。
12. 将2个a 和2个b 共4个字母填在如图所示的16个小方格内，每个小方格内至多填1个字母，若使相同字母既不同行也不同列，则不同的填法共有________种（用数字作答）。
三、解答题（本题满分60分，每小题20分）13. 设∑=-+=nk n k n k a 1)1(1，求证：当正整数n ≥2时，a n +1<a n 。
14. 已知过点(0，1)的直线l 与曲线C ：)0(1>+=x xx y 交于两个不同点M 和N 。
求曲线C 在点M 、N 处切线的交点轨迹。
15. 设函数f (x )对所有的实数x 都满足f (x+2π)=f (x )，求证：存在4个函数f i (x )(i =1，2，3，4)满足：（1）对i =1，2，3，4，f i (x )是偶函数，且对任意的实数x ，有f i (x+π)=f i (x )；（2）对任意的实数x ，有f (x )=f 1(x )+f 2(x )cos x+f 3(x )sin x+f 4(x )sin2x 。
2013年全国高校自主招生数学模拟试卷一参考答案一、选择题（本题满分36分，每小题6分）1. 如图，在正四棱锥P −ABCD 中，∠APC =60°，则二面角A −PB −C 的平面角的余弦值为（ B ） A.71 B. 71-C.21 D. 21-解：如图，在侧面PAB 内，作AM ⊥PB ，垂足为M 。
连结CM 、AC ，则∠AMC 为二面角A −PB −C 的平面角。
不妨设AB =2，则22==AC PA ，斜高为7，故2272⋅=⨯AM ，由此得27==AM CM 。
在△AMC 中，由余弦定理得712cos 222-=⋅⋅-+=∠CM AM AC CM AM AMC 。
2. 设实数a 使得不等式|2x −a |+|3x −2a |≥a 2对任意实数x 恒成立，则满足条件的a 所组成的集合是（ A ）A. ]31,31[-B. ]21,21[-C. ]31,41[- D. [−3，3] 解：令a x 32=，则有31||≤a ，排除B 、D 。
由对称性排除C ，从而只有A 正确。
一般地，对k ∈R ，令ka x 21=，则原不等式为2|||34|||23|1|||a k a k a ≥-⋅+-⋅，由此易知原不等式等价于|34|23|1|||-+-≤k k a ，对任意的k ∈R 成立。
由于⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧<-<≤-≥-=-+-125334121134325|34|23|1|k k k k k k k k ，所以31|}34|23|1{|min R =-+-∈k k k ，从而上述不等式等价于31||≤a 。
3. 将号码分别为1、2、…、9的九个小球放入一个袋中，这些小球仅号码不同，其余完全相同。
甲从袋中摸出一个球，其号码为a ，放回后，乙从此袋中再摸出一个球，其号码为b 。
则使不等式a −2b +10>0成立的事件发生的概率等于（ D ） A.8152 B.8159 C.8160 D.8161 解：甲、乙二人每人摸出一个小球都有9种不同的结果，故基本事件总数为92=81个。
由不等式a −2b +10>0得2b <a +10，于是，当b =1、2、3、4、5时，每种情形a 可取1、2、…、9中每一个值，使不等式成立，则共有9×5=45种；当b =6时，a 可取3、4、…、9中每一个值，有7种；当b =7时，a 可取5、6、7、8、9中每一个值，有5种；当b =8时，a 可取7、8、9中每一个值，有3种；当b =9时，a 只能取9，有1种。
于是，所求事件的概率为816181135745=++++。
4. 设函数f (x )=3sin x +2cos x +1。
若实数a 、b 、c 使得af (x )+bf (x −c )=1对任意实数x 恒成立，则a cb cos 的值等于（ C ） A. 21- B. 21C. −1D. 1解：令c=π，则对任意的x ∈R ，都有f (x )+f (x −c )=2，于是取21==b a ，c=π，则对任意的x ∈R ，af (x )+bf (x −c )=1，由此得1cos -=acb 。
一般地，由题设可得1)sin(13)(++=ϕx x f ，1)sin(13)(+-+=-c x c x f ϕ，其中20π<<ϕ且32tan =ϕ，于是af (x )+bf (x −c )=1可化为1)sin(13)sin(13=++-+++b a c x b x a ϕϕ，即0)1()cos(sin 13cos )sin(13)sin(13=-+++-+++b a x c b c x b x a ϕϕϕ，所以 0)1()cos(sin 13)sin()cos (13=-+++-++b a x c b x c b a ϕϕ。
由已知条件，上式对任意x ∈R 恒成立，故必有⎪⎩⎪⎨⎧=-+==+)3(01)2(0sin )1(0cos b a c b c b a ， 若b =0，则由(1)知a =0，显然不满足(3)式，故b ≠0。
所以，由(2)知sin c =0，故c=2k π+π或c=2k π(k ∈Z )。
当c=2k π时，cos c =1，则(1)、(3)两式矛盾。
故c=2k π+π(k ∈Z )，cos c =−1。
由(1)、(3)知21==b a ，所以1cos -=ac b 。
5. 设圆O 1和圆O 2是两个定圆，动圆P 与这两个定圆都相切，则圆P 的圆心轨迹不可能是（ A ）解：设圆O 1和圆O 2的半径分别是r 1、r 2，|O 1O 2|=2c ，则一般地，圆P 的圆心轨迹是焦点为O 1、O 2，且离心率分别是212r r c +和||221r r c-的圆锥曲线（当r 1=r 2时，O 1O 2的中垂线是轨迹的一部份，当c=0时，轨迹是两个同心圆）。
当r 1=r 2且r 1+r 2<2c 时，圆P 的圆心轨迹如选项B ；当0<2c <|r 1−r 2|时，圆P 的圆心轨迹如选项C ；当r 1≠r 2且r 1+r 2<2c 时，圆P 的圆心轨迹如选项D 。
由于选项A 中的椭圆和双曲线的焦点不重合，因此圆P 的圆心轨迹不可能是选项A 。
6. 已知A 与B 是集合{1，2，3，…，100}的两个子集，满足：A 与B 的元素个数相同，且为A ∩B 空集。
若n ∈A 时总有2n +2∈B ，则集合A ∪B 的元素个数最多为（ B ） A. 62 B. 66 C. 68 D. 74解：先证|A ∪B |≤66，只须证|A |≤33，为此只须证若A 是{1，2，…，49}的任一个34元子集，则必存在n ∈A ，使得2n +2∈B 。
证明如下：将{1，2，…，49}分成如下33个集合：{1，4}，{3，8}，{5，12}，…，{23，48}共12个；{2，6}，{10，22}，{14，30}，{18，38}共4个；{25}，{27}，{29}，…，{49}共13个；{26}，{34}，{42}，{46}共4个。
由于A 是{1，2，…，49}的34元子集，从而由抽屉原理可知上述33个集合中至少有一个2元集合中的数均属于A ，即存在n ∈A ，使得2n +2∈B 。
如取A ={1，3，5，…，23，2，10，14，18，25，27，29，…，49，26，34，42，46}， B ={2n +2|n ∈A }，则A 、B 满足题设且|A ∪B |≤66。
二、填空题（本题满分54分，每小题9分）7. 在平面直角坐标系内，有四个定点A (−3，0)，B (1，−1)，C (0，P ，则|PA |+|PB |+|PC |+|PD |的最小值为BD 交于F 点，则|PA |+|PC |≥|AC |=|FA |+|FC |，|PB |+|PD |≥|BD |=|FB |+|FD |，因此，当动点P 与F 点重合时，|PA |+|PB |+|PC |+|PD |取到最小值5223||||+=+BD AC 。