2019年浙江大学自主招生试题数学试题

浙江大学2019年自主招生数学试题
1.已知7
π
α=
，求cos cos2cos3ααα-+的值.2.已知{1,2,3,4}S =，若1324||||a a a a -+-的平均数为最简分数q p
，其中1234,,,a a a a S ∈，则p q +的值为
3.动圆过定点(,0)a ，且圆心到y 轴的距离为2a ，则圆心的轨迹是（
）A.椭圆
B.双曲线
C.抛物线
D.无法确定
4.一枚质地均匀的硬币，扔硬币10次，正面朝上次数多的概率为
5.已知2221x y z ++=，求yz +的最小值.
6.已知()p n 为n 次的整系数多项式，若(0)p 和(1)p 均为奇数，则（
）
A.()p n 无整数根
B.()p n 可能有负整数根
C.()p n 无解
D.忘了
7.3.abc 的数，求a b c ++的值.8.已知n *∈N ，下列说法正确的是（
）
A.若3n k ≠，k ∈N ，则7|21n -
B.若3n k =，k ∈N ，则7|21n -
C.若3n k ≠，k ∈N ，则7|21
n + D.若3n k =，k ∈N ，则7|21
n +
9.复数12||||1z z ==12()z z ≠，满足|1i ||1i |k k z z +++--=(1,2)k =，求12z z .10.若1x >，且满足2213x x +
=，求5
5
1x x -.11.已知点(,)a b 在椭圆22
143
x y +=上，求234a b ++的最大值与最小值的和.
12.若将19表示为若干个正整数的和，则这些正整数的积的最大值为13.数列{}n a 满足11a =，143n n S a +=+，求20192018a a -的值.
14.定义在R 上的偶函数()f x 满足1
(1)2f x +=
+，求121
()2
f .
15.若p 、q 是方程22650x x a a ++-=的两根，且满足38q p p +=，则a 的可能取值有多少个？
16.△ABC 的顶点(,0)A p -，(,0)B p ，其内心在直线x q =上，且0p q >>，则顶点C 的轨迹方程为
参考答案
1.令35cos cos cos 777
πππα=++，则352sin
2sin cos 2sin 2sin cos 7777777
a πππππππ=++，由积化和差公式可知：242642sin sin sin sin sin sin 777777
a ππππππ
=+-+-，化简可得：1
2
a =
.2.易知1324||||a a a a -+-的最小值为0，最大值为6，则平均数为1234567
62
+++++=，
∴9p q +=.
3.∵圆心到y 轴的距离为2a ，∴圆心在直线2x a =或2x a =-上，且圆心的轨迹是一个动圆截直线，所截的图像依然还是一条直线，∴圆心的轨迹为直线，故无答案.
4.易知：678910
101010101010193
2512
C C C C C P ++++==
.
5.由常见不等式可知：222
231144
x y y z yz =+++≥-1yz +≥-，
当且仅当2x y =-
，1
2
z y =-yz +的最小值为1-.6.设2012()n n p n a a x a x a x =+++⋅⋅⋅+，
∵(0)p 和(1)p 为奇数，则0a 为奇数，12n a a a ++⋅⋅⋅+为偶数，假设()p n 有整数根，设0()0p x =，易知00|x a ，则0x 为奇数，情形一：当1a ，2a ，⋅⋅⋅，n a 全是偶数时，则此时易知：0()p x 为奇数，
情形二：当1a ，2a ，⋅⋅⋅，n a 中有奇数时，而12n a a a ++⋅⋅⋅+为偶数，则奇数必定时成对出现，则此时0()p x 还是为奇数，综上：()p n 无整数根，故选A.
7.易知3a =，1b =，6c =，则10a b c ++=.8.情形一：当3n k =，*k ∈N 时，
则111
2181(71)177
7n k k k k k k k k k C C C ---=-=+-=++⋅⋅⋅+，此时7|21n -，则B 正确；情形二：当31n k =-，*k ∈N 时，
则1118(71)121117771)222
k k n
k k k k k k k
C C C --+-=-=-=++⋅⋅⋅+-，此时7|21n -不成立；情形三：当32n k =-，*k ∈N 时，
则11
18(71)132111777)4444
k k n
k k k k k k k C C C --+-=-=-=++⋅⋅⋅+-，此时7|21n -不成立，则A 错误，同理可得，C 、D 错误，综上：选B.
9.设1cos isin z αα=+，2cos isin z ββ=+，
sin cos 0αα+=，同理可得：sin cos 0ββ+=，∴1324k παπ=
+，2724
k π
βπ=+，12,k k ∈Z ，而12cos()isin()z z αβαβ=+++，∴12i z z =.
10.∵2213x x +=，则4
4
17x x
+=，11x x -=，而4534531111()()x x x x x x x x +-=---，又3232
111()(1)4x x x x x x
-=-++=，∴55
1
11x x -
=.
11.设2cos a α=，b α=，
则2344cos 4)4[4a b αααϕ++=++=++∈-+，∴234a b ++的最大值与最小值的和为8.12.设分拆中有x 个2，y 个3，则2319x y +=，当2x =时，此时乘积最大，乘积为2523972⨯=，
∴乘积的最大值为972.
13.易知1144n n n a a a +-=-，则112=2(2)n n n n a a a a +---，此时有122n n n a a --=，整理可得：
1
1
122n n n n a a ---=，∴122n n n a n -=⨯-，则20192019201822a a -=.
14.
∵1(1)2
f x +=
+，则221(1)(1)()()4
f x f x f x f x +-++-=-
，令2()()()g x f x f x =-，则1(1)()4
g x g x ++=-
，由上式可知()g x 具有周期性，周期为2，而()f x 为偶函数，∴()g x 也为偶函数，则1211(
)()22g g =，111(()224
g g -+=-，解得：11(2
8
g =-，此时2111()()2
2
8f f -=-且1()2
f x ≥，
解得：1
2(24f +=
，∴121()2
f
的值为24+.15.由韦达定理可知：226
5364(5)
p q pq a a a a +=-⎧⎪
=-⎨⎪∆=--⎩，又38q p p +=，则(1)(2)(3)0p p p --+=，
情形一：当1p =时，7q =-，则2570a a --=，且0∆>，∴此时a 的值有两个；
情形二：当2p =时，8q =-，则25160a a --=，且0∆>，∴此时a 的值有两个；
情形三：当3p =-时，3q =-，则2590a a -+=，易知此时a 无解；综上：a 的可能值有4个.
16.易知点C 的轨迹为双曲线，且c p =，a q =，∴顶点C 的轨迹方程为22
222
1x y q p q
-=-.。