2019年高考数学试题(及答案)

2019年高考数学试题(及答案)

一、选择题

1．下列函数图像与x 轴均有公共点，其中能用二分法求零点的是( ) A ．

B ．

C ．

D ．

2．一个长方体去掉一个小长方体，所得几何体的正视图与侧（左）视图分别如图所示，则该几何体的俯视图为( )

A ．

B ．

C ．

D ．

3．设集合2{|20,}M x x x x R =+=∈，2

{|20,}N x x x x R =-=∈，则M N ?=（ ）

A ．{}0

B ．{}0,2

C ．{}2,0-

D ．

2,0,2

4．

()()3

1i 2i i --+=（ ）

A ．3i +

B ．3i --

C ．3i -+

D ．3i -

5．甲、乙、丙三人到三个不同的景点旅游，每人只去一个景点，设事件A 为“三个人去的景点各不相同”，事件B 为“甲独自去一个景点，乙、丙去剩下的景点”，则(A |B)P 等于（ ） A ．

49

B ．

29

C ．

12

D ．

13

6．设双曲线22

22:1x y C a b

-=(00a b >>，)的左、右焦点分别为12F F ，，过1F 的直线分别

交双曲线左右两支于点M N ，，连结22MF NF ，，若220MF NF ?=，22MF NF =，则双曲线C 的离心率为( ). A 2

B 3

C 5

D ．6

7．《九章算术》是我国古代的数学名著，书中有如下问题：“今有五人分五钱，令上二人所得与下三人等．问各得几何．”其意思为“已知甲、乙、丙、丁、戊五人分5钱，甲、乙

两人所得与丙、丁、戊三人所得相同，且甲、乙、丙、丁、戊所得依次成等差数列．问五人各得多少钱？”（“钱”是古代的一种重量单位）．这个问题中，甲所得为（ ） A ．

54

钱 B ．

43

钱 C ．

32

钱 D ．

53

钱 8．某单位有职工100人，不到35岁的有45人，35岁到49岁的有25人，剩下的为50岁以上（包括50岁）的人，用分层抽样的方法从中抽取20人，各年龄段分别抽取的人数为（ ） A ．7，5，8

B ．9，5，6

C ．7，5，9

D ．8，5，7

9．南北朝时代的伟大数学家祖暅在数学上有突出贡献，他在实践的基础上提出祖暅原理：“幂势既同，则积不容异”.其含义是：夹在两个平行平面之间的两个几何体，被平行于这两个平面的任意平面所截，如果截得的两个截面的面积总相等，那么这两个几何体的体积相等，如图，夹在两个平行平面之间的两个几何体的体积分别为12,V V ，被平行于这两个平面的任意平面截得的两个截面的面积分别为12,S S ，则“12,S S 总相等”是“12,V V 相等”的（ ）

A ．充分不必要条件

B ．必要不充分条件

C ．充分必要条件

D ．既不充分也不必要条件 10．下列说法正确的是( ) A ．22a b ac bc >?> B ．22a b a b >?> C ．33a b a b >?>

D ．22a b a b >?>

11．设0＜a ＜1，则随机变量X 的分布列是

X

a 1 P

13 13

13

则当a 在（0，1）内增大时（ ） A ．()D X 增大 B ．()D X 减小 C ．()D X 先增大后减小

D ．()D X 先减小后增大

12．已知抛物线2

2(0)y px p =>交双曲线22

221(0,0)x y a b a b

-=>>的渐近线于A ，B 两点

（异于坐标原点O 5AOB ?的面积为32，则抛物线的焦点为（ ）

A ．(2,0)

B ．(4,0)

C ．(6,0)

D ．(8,0)

二、填空题

13．在ABC ?中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，4c =，

42

sin a A =，且C 为锐角，则ABC ?面积的最大值为________.

14．已知实数x ，y 满足24240x y x y y -≥??

+≤??≤?，则32z x y =-的最小值是__________．

15．若x ，y 满足约束条件x y 102x y 10x 0

--≤??-+≥??≥?

，则x

z y 2=-+的最小值为______．

16．一个算法的伪代码如图所示，执行此算法，最后输出的S 的值为________．

17．已知样本数据，，，的均值，则样本数据，，，

的均值为 ．

18．幂函数y=x α,当α取不同的正数时,在区间[0,1]上它们的图像是一族美丽的曲线(如图).设点A (1,0),B (0,1),连接AB ,线段AB 恰好被其中的两个幂函数y=x α,y=x β的图像三等分,即有BM=MN=NA ,那么,αβ等于_____.

19．高三某班一学习小组的,,,A B C D 四位同学周五下午参加学校的课外活动，在课外活动中，有一人在打篮球，有一人在画画，有一人在跳舞，另外一人在散步，①A 不在散步，也不在打篮球；②B 不在跳舞，也不在散步；③“C 在散步”是“A 在跳舞”的充分条件；④D 不在打篮球，也不在散步；⑤C 不在跳舞，也不在打篮球.以上命题都是真命题，那么D 在_________. 20．设函数2

1()ln 2

f x x ax bx =--，若1x =是()f x 的极大值点，则a 取值范围为_______________.

三、解答题

21．某农场有一块农田，如图所示，它的边界由圆O 的一段圆弧MPN （P 为此圆弧的中点）和线段MN 构成．已知圆O 的半径为40米，点P 到MN 的距离为50米．现规划在此农田上修建两个温室大棚，大棚I 内的地块形状为矩形ABCD ，大棚II 内的地块形状为

CDP ，要求,A B 均在线段MN 上，,C D 均在圆弧上．设OC 与MN 所成的角为θ．

（1）用θ分别表示矩形ABCD 和CDP 的面积，并确定sin θ的取值范围；

（2）若大棚I 内种植甲种蔬菜，大棚II 内种植乙种蔬菜，且甲、乙两种蔬菜的单位面积年产值之比为4:3．求当θ为何值时，能使甲、乙两种蔬菜的年总产值最大．

22．已知椭圆()22

22:10x y C a b a b

+=>>的一个焦点为

)

5,0，离心率为53

.

（1）求椭圆C 的标准方程；

（2）若动点()00,P x y 为椭圆外一点，且点P 到椭圆C 的两条切线相互垂直，求点P 的轨迹方程.

23．已知函数()3

f x ax bx c =++在点2x =处取得极值16c -.

(1)求,a b 的值；

(2)若()f x 有极大值28，求()f x 在[]3,3-上的最小值． 24．已知函数2()sin(

)sin 32

f x x x x π

=-.

(1)求()f x 的最小正周期和最大值； (2)求()f x 在2[

,]63

ππ

上的单调区间

25．如图在三棱锥-P ABC 中， ,,D E F 分别为棱,,PC AC AB 的中点，已知

,6,8,5PA AC PA BC DF ⊥===.

PA平面DEF；

求证：（1）直线//

（2）平面BDE 平面ABC.

【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除

一、选择题

1．C

解析：C

【解析】

【分析】

根据函数图象理解二分法的定义，函数f（x）在区间[a，b]上连续不断，并且有f（a）?f （b）＜0．即函数图象连续并且穿过x轴．

【详解】

解：能用二分法求零点的函数必须在给定区间[a，b]上连续不断，并且有f（a）?f（b）＜0A、B中不存在f（x）＜0，D中函数不连续．

故选C．

【点睛】

本题考查了二分法的定义，学生的识图能力，是基础题．

2．C

解析：C

【解析】

【分析】

从正视图和侧视图上分析，去掉的长方体的位置应该在的方位，然后判断俯视图的正确图形．

【详解】

由正视图可知去掉的长方体在正视线的方向，从侧视图可以看出去掉的长方体在原长方体的右侧，由以上各视图的描述可知去掉的长方体在原长方体的右上方，其俯视图符合C选

故选C ．

点评：本题考查几何体的三视图之间的关系，要注意记忆和理解“长对正、高平齐、宽相等”的含义． 考点：三视图．

3．D

解析：D 【解析】 【分析】 【详解】

试题分析：M ＝{x|x 2＋2x ＝0，x ∈R}＝{0，-2}，N ＝{x|x 2－2x ＝0，x ∈R}＝{ 0，2}，所以

M N ?={-2,0,2}，故选D ．

考点：1、一元二次方程求根；2、集合并集的运算．

4．B

解析：B 【解析】 【分析】

先分别对分子和分母用乘法公式化简，再分子分母同时乘以分母的共轭复数，化简即得最后结果. 【详解】 由题意得，复数()()()3

1i 2i 13i i 13i 3i i i

i i

--+-+?-+===----?．故应选B

【点睛】

本小题主要考查复数的乘法和除法的运算，乘法的运算和实数的运算类似，只需要记住

2i 1=-.除法的运算记住的是分子分母同时乘以分母的共轭复数，这一个步骤称为分母实

数化，分母实数化的主要目的是将分母变为实数，然后将复数的实部和虚部求出来.属于基础题.

5．C

解析：C 【解析】 【分析】

这是求甲独自去一个景点的前提下，三个人去的景点不同的概率，求出相应的基本事件的个数，即可得出结果. 【详解】

甲独自去一个景点，则有3个景点可选，乙、丙只能在剩下的两个景点选择，根据分步乘法计数原理可得，对应的基本事件有32212??=种；另外，三个人去不同景点对应的基本事件有3216??=种，所以61

(/

)122

P A B =

=，故选C.

本题主要考查条件概率，确定相应的基本事件个数是解决本题的关键.

6．B

解析：B 【解析】 【分析】

本道题设2MF x =,利用双曲线性质,计算x ，结合余弦定理，计算离心率，即可． 【详解】

结合题意可知,设22,,,MF x NF x MN ===则

则结合双曲线的性质可得,21122,2MF MF a MF MN NF a -=+-=

代入,解得x =,所以12

2,NF a NF =+=,0

1245F NF ∠= 对三角形12F NF 运用余弦定理,得到

(

)(

)

()()()

2

2

2

02222cos45a c a ++-=+?,解得c

e a

=

= 故选B. 【点睛】

本道题考查了双曲线的性质，考查了余弦定理，关键利用余弦定理，解三角形，进而计算x ，即可，难度偏难．

7．B

解析：B 【解析】

设甲、乙、丙、丁、戊所得钱分别为2,,,,2a d a d a a d a d --++,则

22a d a d a a d a d -+-=++++,解得6a d =-,又

225,

a d a d a a d a d -+-+++++=1a

,则4

422633a a d a a ??-=-?-

== ???

,故选B.

8．B

解析：B 【解析】 【分析】

分层抽样按比例分配,即可求出各年龄段分别抽取的人数. 【详解】

由于样本容量与总体中的个体数的比值为

201

1005

=，故各年龄段抽取的人数依次为14595?=，1

2555?=，20956--=.故选：B

【点睛】

本题考查分层抽样方法,关键要理解分层抽样的原则,属于基础题.

9．A

解析：A 【解析】 【分析】

根据充分条件和必要条件的定义，结合祖暅原理进行判断即可. 【详解】

根据祖暅原理，当12,S S 总相等时，12,V V 相等，所以充分性成立；

当两个完全相同的四棱台，一正一反的放在两个平面之间时，此时体积固然相等但截得的面积未必相等，所以必要性不成立.

所以“12,S S 总相等”是“12,V V 相等”的充分不必要条件. 故选：A 【点睛】

本题考查充分条件与必要条件的判断，属于基础题.

10．C

解析：C 【解析】 【分析】

由不等式的性质，对各个选项逐一验证即可得，其中错误的可举反例． 【详解】

选项A ，当c ＝0时，由a ＞b ，不能推出ac 2

＞bc 2

，故错误； 选项B ，当a ＝﹣1，b ＝﹣2时，显然有a ＞b ，但a 2

＜b 2

，故错误； 选项C ，当a ＞b 时，必有a 3＞b 3，故正确；

选项D ，当a ＝﹣2，b ＝﹣1时，显然有a 2

＞b 2

，但却有a ＜b ，故错误． 故选：C ． 【点睛】

本题考查命题真假的判断，涉及不等式的性质，属基础题．

11．D

解析：D 【解析】 【分析】

利用方差公式结合二次函数的单调性可得结论； 【详解】

解：1111

()013333a E X a +=?+?+?=，

222111111()()()(1)333333

a a a D X a +++=?+-?+-? 2222212211[(1)(21)(2)](1)()279926

a a a a a a =

++-+-=-+=-+

01a <<，()D X ∴先减小后增大 故选：D ． 【点睛】

本题考查方差的求法，利用二次函数是关键，考查推理能力与计算能力，属于中档题．

12．B

解析：B 【解析】 【分析】

由题意可得

2b

a

=，设点A 位于第一象限，且(),A m n ，结合图形的对称性列出方程组确定p 的值即可确定焦点坐标. 【详解】

2222

2

222

15c a b b e a a a

+===+=，∴2b a =， 设点A 位于第一象限，且(),A m n ，结合图形的对称性可得：

22322n

m mn n pm ?=??

=??=??

，解得：8p =，∴抛物线的焦点为()4,0，故选B . 【点睛】

本题主要考查圆锥曲线的对称性，双曲线的渐近线，抛物线焦点坐标的求解等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.

二、填空题

13．【解析】【分析】由利用正弦定理求得再由余弦定理可得利用基本不等式可得从而利用三角形面积公式可得结果【详解】因为又所以又为锐角可得因为所以当且仅当时等号成立即即当时面积的最大值为故答案为【点睛】本题主

解析：4+

【解析】 【分析】

由4c =

，a A =，利用正弦定理求得4

C π

=

.

，再由余弦定理可得

2

2

16a b =+

，利用基本不等式可得(82ab ≤

=+，从而利用三角形

面积公式可得结果. 【详解】

因为4c =，又sin sin c a C A

==

所以sin 2

C =

，又C 为锐角，可得4C π=.

因为(2

2

2

2

162cos 2a b ab C a b ab =+-=+≥，

所以(82

ab ≤

=+，

当且仅当a b =时等号成立，

即1sin 42ABC S ab C ab ?=

=≤+

即当a b ==时，ABC ?面积的最大值为4+. 故答案为4+. 【点睛】

本题主要考查余弦定理、正弦定理以及基本不等式的应用，属于简单题. 对余弦定理一定要

熟记两种形式：（1）2

2

2

2cos a b c bc A =+-；（2）222

cos 2b c a A bc

+-=，同时还要熟

练掌握运用两种形式的条件.另外，在解与三角形、三角函数有关的问题时，还需要记住

30,45,60o o o 等特殊角的三角函数值，以便在解题中直接应用.

14．6【解析】【分析】画出不等式组表示的可行域由可得平移直线结合图形可得最优解于是可得所求最小值【详解】画出不等式组表示的可行域如图中阴影部分所示由可得平移直线结合图形可得当直线经过可行域内的点A 时直线

解析：6 【解析】 【分析】

画出不等式组表示的可行域，由32z x y =-可得322z y x =-，平移直线322

z

y x =-，结合图形可得最优解，于是可得所求最小值． 【详解】

画出不等式组表示的可行域，如图中阴影部分所示．

由32z x y =-可得322

z y x =-． 平移直线322z y x =

-，结合图形可得，当直线322

z

y x =-经过可行域内的点A 时，直线在y 轴上的截距最大，此时z 取得最小值． 由题意得A 点坐标为(2,0)，

∴min 326z =?=，

即32z x y =-的最小值是6． 故答案为6． 【点睛】

求目标函数(0)z ax by ab =+≠的最值时，可将函数z ax by =+转化为直线的斜截式：

a z

y x b b =-+，通过求直线的纵截距z b 的最值间接求出z 的最值．解题时要注意：①当

0b >时，截距z b 取最大值时，z 也取最大值；截距z

b 取最小值时，z 也取最小值；②当

0b <时，截距z b 取最大值时，z 取最小值；截距z

b

取最小值时，z 取最大值．

15．-1【解析】【分析】画出约束条件表示的平面区域由图形求出最优解再计算目标函数的最小值【详解】画出约束条件表示的平面区域如图所示由图形知当目标函数过点A 时取得最小值由解得代入计算所以的最小值为故答案为

解析：-1 【解析】 【分析】

画出约束条件表示的平面区域，由图形求出最优解，再计算目标函数1

z x y 2

=-+的最小值． 【详解】

画出约束条件102100x y x y x --≤??

-+≥??≥?

表示的平面区域如图所示，

由图形知，当目标函数1

z x y 2

=-+过点A 时取得最小值，由{

x 0

x y 10=--=，解得

()A 0,1-，代入计算()z 011=+-=-，所以1

z x y 2

=-+的最小值为1-．

故答案为1-． 【点睛】

本题考查了线性规划的应用问题，也考查了数形结合的解题方法，是基础题．

16．8【解析】分析：先判断是否成立若成立再计算若不成立结束循环输出结果

详解：由伪代码可得因为所以结束循环输出点睛：本题考查伪代码考查考生的读图能力难度较小

解析：8 【解析】

分析：先判断6I <是否成立，若成立，再计算I S ，，若不成立，结束循环，输出结果.详解：由伪代码可得3,2;5,4;7,8I S I S I S ======，因为76>，所以结束循环，输出8.S =

点睛：本题考查伪代码，考查考生的读图能力，难度较小.

17．11【解析】因为样本数据x1x2???xn 的均值x=5所以样本数据2x1+12x2+1???2xn+1的均值为2x+1=2×5+1=11所以答案应填：11考点：均值的性质 解析：

【解析】 因为样本数据

，

，

，

的均值

，所以样本数据，

，

，

的均值为

，所以答案应填：

．

考点：均值的性质．

18．【解析】【分析】由条件得MN 则结合对数的运算法则可得αβ=1【详解】由条件得MN 可得即α=loβ=lo 所以αβ=lo·lo=1【点睛】本题主要考查幂函数的

性质对数的运算法则及其应用等知识意在考查学生解析：【解析】

【分析】

由条件,得M

12

,

33

??

?

??

,N

21

,

33

??

?

??

,

则

1221

,

3333

αβ

????

==

? ?

????

,结合对数的运算法则可得αβ=1.【详解】

由条件,得M

12

,

33

??

?

??

,N

21

,

33

??

?

??

,

可得

1221

,

3333

αβ

????

==

? ?

????

,

即α=lo2

3

1

3

g,β=lo

1

3

2

3

g.

所以αβ=lo2

3

1

3

g·lo

1

3

12

233

·

21

3

33

lg lg

g

lg lg

==1.

【点睛】

本题主要考查幂函数的性质，对数的运算法则及其应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.

19．画画【解析】以上命题都是真命题∴对应的情况是：则由表格知A在跳舞B 在打篮球∵③C在散步是A在跳舞的充分条件∴C在散步则D在画画故答案为画画解析：画画

【解析】

以上命题都是真命题，

∴对应的情况是：

则由表格知A在跳舞，B在打篮球，

∵③“C 在散步”是“A 在跳舞”的充分条件， ∴C 在散步， 则D 在画画， 故答案为画画

20．【解析】试题分析：的定义域为由得所以①若由得当时此时单调递增当时此时单调递减所以是的极大值点；②若由得或因为是的极大值点所以解得综合①②：的取值范围是故答案为考点：1利用导数研究函数的单调性；2利用 解析：

【解析】

试题分析：()f x 的定义域为()()1

0,,'f x ax b x

+∞=--，由()'00f =，得1b a =-，所以()()()11'ax x f x x

+-=

.①若0a ≥，由()'0f x =，得1x =，当01x <<时，

()'0f x >，此时()f x

单调递增，当1x >时，()'0f x <，此时()f x 单调递减，所以1x =是()f x 的极大值点；②若0a <，由()'0f x =，得1x =或1

x a

=-

.因为1x =是()f x 的极大值点，所以1

1a

-

>，解得10a -<<，综合①②：a 的取值范围是1a >-，故答案为()1,-+∞. 考点：1、利用导数研究函数的单调性；2、利用导数研究函数的极值. 三、解答题

21．（1）()8004cos cos sin θθθ+， ()1600cos cos ,sin θθθ- 1,14??????

；（2）6

π． 【解析】

分析：（1）先根据条件求矩形长与宽，三角形的底与高，再根据矩形面积公式以及三角形面积公式得结果，最后根据实际意义确定sin θ的取值范围；（2）根据条件列函数关系

式，利用导数求极值点，再根据单调性确定函数最值取法.

详解：

解：（1）连结PO 并延长交MN 于H ，则PH ⊥MN ，所以OH =10． 过O 作OE ⊥BC 于E ，则OE ∥MN ，所以∠COE =θ， 故OE =40cos θ，EC =40sin θ，

则矩形ABCD 的面积为2×40cos θ（40sin θ+10）=800（4sin θcos θ+cos θ）， △CDP 的面积为

12

×2×40cos θ（40–40sin θ）=1600（cos θ–sin θcos θ）． 过N 作GN ⊥MN ，分别交圆弧和OE 的延长线于G 和K ，则GK =KN =10． 令∠GOK =θ0，则sin θ0=14，θ0∈（0，π

6

）． 当θ∈[θ0，

π

2

）时，才能作出满足条件的矩形ABCD ， 所以sin θ的取值范围是[

1

4

，1）． 答：矩形ABCD 的面积为800（4sin θcos θ+cos θ）平方米，△CDP 的面积为 1600（cos θ–sin θcos θ），sin θ的取值范围是[

1

4

，1）． （2）因为甲、乙两种蔬菜的单位面积年产值之比为4∶3，

设甲的单位面积的年产值为4k ，乙的单位面积的年产值为3k （k >0）， 则年总产值为4k ×

800（4sin θcos θ+cos θ）+3k ×1600（cos θ–sin θcos θ） =8000k （sin θcos θ+cos θ），θ∈[θ0，π

2）． 设f （θ）= sin θcos θ+cos θ，θ∈[θ0，

π

2

）， 则()()

()()2

2

2

'sin sin 2sin 1211f cos sin sin sin θθθθθθθθ=--=-+-=--+．

令()'=0f θ，得θ=π6

， 当θ∈（θ0，π

6

）时，()'>0f θ，所以f （θ）为增函数； 当θ∈（

π6，π

2

）时，()'<0f θ，所以f （θ）为减函数， 因此，当θ=

π

6

时，f （θ）取到最大值．

答：当θ=

π

6

时，能使甲、乙两种蔬菜的年总产值最大． 点睛：解决实际应用题的步骤一般有两步：一是将实际问题转化为数学问题；二是利用数学内部的知识解决问题.

22．（1）22194

x y +=；（2）22

013x y +=. 【解析】 【分析】 【详解】

试题分析：（1）利用题中条件求出c 的值，然后根据离心率求出a 的值，最后根据a 、

b 、

c 三者的关系求出b 的值，从而确定椭圆C 的标准方程；（2）分两种情况进行计算：

第一种是在从点P 所引的两条切线的斜率都存在的前提下，设两条切线的斜率分别为1k 、

2k ，并由两条切线的垂直关系得到121k k =-，并设从点()00,P x y 所引的直线方程为

()00y k x x y =-+，将此直线的方程与椭圆的方程联立得到关于x 的一元二次方程，利用

0?=得到有关k 的一元二次方程，最后利用121k k =-以及韦达定理得到点P 的轨迹方

程；第二种情况是两条切线与坐标轴垂直的情况下求出点P 的坐标，并验证点P 是否在第一种情况下所得到的轨迹上，从而得到点P 的轨迹方程. （1）由题意知

553a =?=，且有2235b -=2b =，

因此椭圆C 的标准方程为22

194

x y +=；

（2）①设从点P 所引的直线的方程为()00y y k x x -=-，即()00y kx y kx =+-， 当从点P 所引的椭圆C 的两条切线的斜率都存在时，分别设为1k 、2k ，则121k k =-， 将直线()00y kx y kx =+-的方程代入椭圆C 的方程并化简得

()()()2

2

2000094189360k

x k y kx x y kx ++-+--=，

()(

)

()2220000184949360k y kx k y kx ?????=--?+--=????

， 化简得()2

2

00

940y kx k ---=，即()()2

2

20

00

9240x k kx y y --+-=，

则1k 、2

k 是关于k 的一元二次方程()()22

20

00

9240x k kx y y --+-=的两根，则

201220419

y k k x -==--，

化简得22

0013x y +=；

②当从点P 所引的两条切线均与坐标轴垂直，则P 的坐标为()3,2±±，此时点P 也在圆

2213x y +=上.

综上所述，点P 的轨迹方程为2

2

13x y +=.

考点：本题以椭圆为载体，考查直线与圆锥曲线的位置关系以及动点的轨迹方程，将直线与二次曲线的公共点的个数利用?的符号来进行转化，计算量较大，从中也涉及了方程思想的灵活应用.

23．(1) 1,12a b ==-;(2) 4-. 【解析】 【分析】

（1）f′（x ）=3ax 2+b ，由函数f （x ）=ax 3+bx+c 在点x=2处取得极值c ﹣16．可得f′（2）=12a +b=0，f （2）=8a+2b+c=c ﹣16．联立解出．

（2）由（1）可得：f （x ）=x 3﹣12x+c ，f′（x ）=3x 2﹣12=3（x+2）（x ﹣2），可得x=﹣2时，f （x ）有极大值28，解得c ．列出表格，即可得出． 【详解】

解：因()3

f x ax bx c =++.故()2

3f x ax b '=+

由于()f x 在点x=2处取得极值c-16.

故有()()

20,216,f f c ?'=??=-??即120,8216,a b a b c c +=??++=-?化简得120,48,a b a b +=??+=-?解得a=1，b=-12.

（2）由（1）知()3

12f x x x c =-+；

()()()2312322f x x x x ==-'-+.

令()0f x '=，得12x =-，22x =.

当(),2x ∈-∞-时，()0f x '>，故()f x 在(),2-∞-上为增函数； 当()2,2x ∈-时，()0f x '<，故()f x 在()2,2-上为减函数； 当()2,x ∈+∞时，()0f x '>，故()f x 在()2,+∞上为增函数.

由此可知()f x 在12x =-处取得极大值；()216f c -=+，()f x 在22x =处取得极小值

()216f c =-.

由题设条件知16+c=28，得c=12.

此时()3921f c -=+=，()393f c =-+=，()2164f c =-+=-，因此()f x 在

[]3,3-上的最小值为()24f =-.

【点睛】

本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值、分类讨论方法、方程与不等式的解法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．

24．（1）f (x )的最小正周期为π，最大值为

22

-

（2）f (x )在5[,

]612ππ

上单调递增；在52[

,]123

ππ

上单调递减． 【解析】 【分析】

（1）由条件利用三角恒等变换化简函数的解析式，再利用正弦函数的周期性和最值求得()f x 的最小正周期和最大值．

（2）根据[]20,3

x π

π-∈，利用正弦函数的单调性，即可求得()f x 在2[,

]6

3

ππ

上的单调区

间． 【详解】

解：（1）函数2()sin()sin cos sin cos2)2f x x x x x x x π=-=+

1sin 22sin(2)23x x x π==-，

即()sin(2)3f x x π=-

故函数的周期为22T ππ==，最大值为1． （2）当2[,

]63

x ππ

∈ 时，[]20,3

x π

π-∈，

故当023

2

x ππ

-时，即5[

,]612

x ππ

∈时，()f x 为增函数； 当

22

3

x π

π

π-

时，即52[

,]123

x ππ∈时，()f x 为减函数； 即函数()f x 在5[,

]612ππ

上单调递增；在52[

,]123

ππ

上单调递减． 【点睛】

本题主要考查三角恒等变换，正弦函数的周期性和最值，正弦函数的单调性，属于中档题．

25．(1)证明见解析；（2）证明见解析． 【解析】 【分析】

（1）本题证明线面平行，根据其判定定理，需要在平面DEF 内找到一条与PA 平行的直线，由于题中中点较多，容易看出//PA DE ，然后要交待PA 在平面DEF 外，DE 在平面DEF 内，即可证得结论；（2）要证两平面垂直，一般要证明一个平面内有一条直线与另一个平面垂直，由（1）可得DE AC ⊥，因此考虑能否证明DE 与平面ABC 内的另一条与AC 相交的直线垂直，由已知三条线段的长度，可用勾股定理证明DE EF ⊥，因此要找的两条相交直线就是,AC EF ，由此可得线面垂直. 【详解】

（1）由于,D E 分别是,PC AC 的中点，则有//PA DE ，又PA ?平面DEF ，DE ?平面DEF ，所以//PA 平面DEF ．

（2）由（1）//PA DE ，又PA AC ⊥，所以DE AC ⊥，又F 是AB 中点，所以

1

32DE PA =

=，142

EF BC ==，又5DF =，所以222DE EF DF +=，所以DE EF ⊥，,EF AC 是平面ABC 内两条相交直线，所以DE ⊥平面ABC ，又DE ?平

面BDE ，所以平面BDE ⊥平面ABC ． 【考点】

线面平行与面面垂直．