绘制根轨迹的基本法则(1)
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根轨迹的绘制法则
注意：分离点、会合点一定在实轴上
▼
a
6、 根轨迹的渐近线 ——有独立的(n-m)条
渐近线包括 ⑴ 渐近线的倾角 设在无穷远处有特征根sk ，则s平面上所有开环有限零点 渐近线的倾角 渐近线的交点 两方面内容
-zi和极点-pj到sk的矢量辐角都相等，即：i=j=
代入幅角条件，得：
本 节 返 回
根轨迹的绘制法则
绘制根轨迹的一般法则
本 章 返 回
根轨迹的绘制法则
绘制根轨迹的一般法则
绘制根轨迹应确定以下几个方面的内容： (9项) 起点、终点、根轨迹数、实轴上的根轨迹、
分离点和汇合定、根轨迹的渐近线、根轨迹的出射
本 节 返 回
角和入射角、根轨迹和虚轴的交点、根轨迹的走向。 注意：实际绘制根轨迹时应根据具体情 况有选择性地考虑以上9项内容。
本 节 返 回
本 章 返 回
4.2 根轨迹的绘制方法
5、分离点与会合点
D' (s) N(s) N' (s)D(s) 0
注意：
求出s=-d后，应把它代入特征方程计算Kd， 只有Kd为正值， s=-d才是分离点或会合点。 6、根轨迹的渐近线
本 节 返 回
180 (1 2 ) 渐近线的倾角： nm
本 节 返 回
N (s) D(s)
j 1 i 1 n
m
( s zi )
sm sn
i 1 n j 1
m
zi s m 1
z
i 1 n j 1
m
i
本 章 返 回
(s p j )
p j s n 1
p
▼
a
6、 根轨迹的渐近线 ——有独立的(n-m)条
渐近线包括 ⑴ 渐近线的倾角 设在无穷远处有特征根sk ，则s平面上所有开环有限零点 渐近线的倾角 渐近线的交点 两方面内容
-zi和极点-pj到sk的矢量辐角都相等，即：i=j=
代入幅角条件，得：
本 节 返 回
根轨迹的绘制法则
绘制根轨迹的一般法则
本 章 返 回
根轨迹的绘制法则
绘制根轨迹的一般法则
绘制根轨迹应确定以下几个方面的内容： (9项) 起点、终点、根轨迹数、实轴上的根轨迹、
分离点和汇合定、根轨迹的渐近线、根轨迹的出射
本 节 返 回
角和入射角、根轨迹和虚轴的交点、根轨迹的走向。 注意：实际绘制根轨迹时应根据具体情 况有选择性地考虑以上9项内容。
本 节 返 回
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4.2 根轨迹的绘制方法
5、分离点与会合点
D' (s) N(s) N' (s)D(s) 0
注意：
求出s=-d后，应把它代入特征方程计算Kd， 只有Kd为正值， s=-d才是分离点或会合点。 6、根轨迹的渐近线
本 节 返 回
180 (1 2 ) 渐近线的倾角： nm
本 节 返 回
N (s) D(s)
j 1 i 1 n
m
( s zi )
sm sn
i 1 n j 1
m
zi s m 1
z
i 1 n j 1
m
i
本 章 返 回
(s p j )
p j s n 1
p
根轨迹的绘制法则
例2：系统的特征方程为：
*
求根轨迹分离点。
*
K 1 G( s) H ( s) 1 0 s ( s 1)( s 2)
jω
j 2 ( K * 6)
解：因为系统根轨迹方程为：
K 1 s ( s 1)( s 2)
K s ( s 1)( s 2)
*
(4) 实轴上的根轨迹区间为：
j 2*
j 2
( K * 6)
( K 6)
(, 2];[1, 0]
法则5：根轨迹轨迹的分离点。 两条或两条以上的根轨迹分支在s平面上相 遇又立即分开的点，称根轨迹的分离点。 一般常见的分离点多位于实轴上 , 但有时 也产生于共轭复数对中。分离点必然是重根点, 系统的闭环特征方程写为
j i
j 1
j i
证明： 在根轨迹上靠近起点P1较远处取一点S1,显然满足 相角条件，有 ( s1 z1 ) [( s1 p1 ) ( s1 p2 ) ( s1 p3 )] (2k 1) jω s1
当S1无限趋近于P1点时， θ p1 p 1 即 ( s1 p1 ) 为P1点的 θ 出射角 p ，一般情况下， φ z1p1 p3 0 开环复数极点Pk的出射 z1 θ p2p1 角为： m m
法则3：根轨迹的渐近线。 如果开环零点的数目m小于开环极点数n, 即 n＞m, 则有(n-m)条根轨迹沿着某条渐近线终止 于无穷远处。 渐近线的可由下面的方程决定。 渐近线与实轴的交点坐标:
a
p z
i 1 i j 1
n
m
j
nm
渐近线与实轴正方向的夹角:
(2k 1) a nm (k 0,1, 2 n m 1)
自动控制原理根轨迹法
21
二、根轨迹绘制的基本法则（4）
法则2
根轨迹的分支数和对称性 根轨迹的分支数与开环极点数n相等（n>m），或与开
环有限零点数m相等（n<m)。 根轨迹连续：根轨迹增益是连续变化导致特征根也连
续变化。 实轴对称：特征方程的系数为实数，特征根必为实数
或共轭复数。
22
二、根轨迹绘制的基本法则（5）
法则3
s(s 2.5)( s 0.5 j1.5)( s 0.5 j1.5)
试绘制该系统概略根轨迹。
解：将开环零、极点画在后面图中。按如下典型步骤
1）确定实轴上的根轨迹。本例实轴上区域
和
为轨迹。
0，－1.5
2）确定－根2.轨5，迹－的渐 近线。本例n＝4，m＝3，故只有
一条 的渐近线。 180
36
K均* 有关。
15
一、 根轨迹法的基本概念（13）
4 -1- 4 根轨迹方程
1、系统闭环特征方程
由闭环传函可得系统闭环特征方程为：
(s)
G(s)
1 G(s)H(s)
1 G(s)H (s) 0
2 、根轨迹方程
当系统有m个开环零点和n个开环极点时，下式称为
根轨迹方程
m
(s z j )
K * j1 n
i 1
j 1
n
n
n
(s si ) sn ( si )sn1 ... (si ) 0
i 1
i 1
i 1
式中，s i 为闭环特征根。
31
二、根轨迹绘制的基本法则（14）
当n m 2 时，特征方程第二项系数与K * 无关，无
论 K * 取何值，开环n个极点之和总是等于闭环特征方程n
4-2根轨迹绘制的基本法则
0
0
0
0
0
同学们，头昏了吧？
j
j
j
0
j j 0 0
14
0
2015-1-28
4-2根轨迹绘制的基本法则
作业
• • • • 4 －1 4－3（1）（2） 4—4（1） 4-8(1)
2015-1-28
4-2根轨迹绘制的基本法则
15
4 3 2 * s 5 s 8 s 6 s k 0 2）渐近线。由于n m 4 ，故有四条渐近线， a 1.25 a 45 , 135 应用劳思判据
3）确定分离点。
1 0 i 1 d pi
n
s4 1 s3 5 s 2 34 / 5 s1 (204 25 K * ) / 34 s0 K*
R( s )
K * ( s 1) s( s 2)( s 3)
C ( s)
j
a (2k 1)180o / (3 1) 90o
a (0 2 3) (1) / (3 1) 2
（4）分离点（用试探法求解）
1 1 1 1 d 1 d d 2 d 3 d 2.47
5)利用模值条件，可得分离点的根轨迹增益
2 4 . 75 7 . 25 K d* i 1 16.37 |d z| 15 .25 i
| d p |
3
所以，当
2015-1-28
K * 16.37
系统输出产生振荡
4-2根轨迹绘制的基本法则 13
根轨迹示例
j
j j 0
j
j j
4-2根轨迹绘制的基本法则
12
例子4-5 P150
解:1) m=1,n=3, K * (s 20) G( s) z1=-20,p1=0,p2=p3=-12, 2 s ( s 24 s 144 ) 2）实轴上0--12 ,-12--20 必为根轨迹。 3）渐近线。n-m=2 故有2条渐近线. 180 12 12 (20) 90 2 2 2 1 2 1 4）确定分离点。 d d 12 d 20 试探法：d=-4.75
180根轨迹绘制法则
s(s 2.5)(s 0.5 1.5 j)(s 0.5 1.5 j)
解：将开环零极点标注在s平面上。
j
由法则1，确定根轨迹起点和终点。
由法则2，确定有4条根轨迹分支。
由法则4，确定实轴上的根轨迹 [-∞,-2.5]、[-1.5,0] 。
由法则3，确定根轨迹有1条渐近线
-3 -2 -1 0
K1 K1 0
K1 0
m
1
n
1
j1 d z j i1 d pi
K1
分分离点离点
分离角： (2k 1) / l
K1
K1 0
K1
会合? 点? ?
K1 0
式中，zi , pj 分别为开环系统 的零点和极点; l 为在s平面上 相遇又立即分开的根轨迹的条 数，k 0,1, , l 1。
称为终值角，以 zi 标志。
根轨迹的
j
起始角 [s]
p1 p1
p3
0
p2
p2
根轨迹的j 终止角
p1
z1
p1
z1
z1
0
z2
z2 p2 z2源自p2j[s] p1
p1
[s]
0
p2 p2
出射角对(a)复极点，
(b入) 射角对复零点。
法则6：根轨迹起始角和终值角。
用试探法得d≈-2.3。
由法则6，确定起始角和终止角。
p3 (2k 1) (135o 90o 26.6o ) 71.6o p4 71.6o 本题无须确定终止角。
由法则7，确定根轨迹与虚轴的交点。
闭环特征方程为：s4 5s3 8s2 6s K* 0
解：将开环零极点标注在s平面上。
j
由法则1，确定根轨迹起点和终点。
由法则2，确定有4条根轨迹分支。
由法则4，确定实轴上的根轨迹 [-∞,-2.5]、[-1.5,0] 。
由法则3，确定根轨迹有1条渐近线
-3 -2 -1 0
K1 K1 0
K1 0
m
1
n
1
j1 d z j i1 d pi
K1
分分离点离点
分离角： (2k 1) / l
K1
K1 0
K1
会合? 点? ?
K1 0
式中，zi , pj 分别为开环系统 的零点和极点; l 为在s平面上 相遇又立即分开的根轨迹的条 数，k 0,1, , l 1。
称为终值角，以 zi 标志。
根轨迹的
j
起始角 [s]
p1 p1
p3
0
p2
p2
根轨迹的j 终止角
p1
z1
p1
z1
z1
0
z2
z2 p2 z2源自p2j[s] p1
p1
[s]
0
p2 p2
出射角对(a)复极点，
(b入) 射角对复零点。
法则6：根轨迹起始角和终值角。
用试探法得d≈-2.3。
由法则6，确定起始角和终止角。
p3 (2k 1) (135o 90o 26.6o ) 71.6o p4 71.6o 本题无须确定终止角。
由法则7，确定根轨迹与虚轴的交点。
闭环特征方程为：s4 5s3 8s2 6s K* 0
42 绘制根轨迹的基本原则
例：开环传递函数为 GK ( s ) 并计算临界开环增益。 K ,试 求 根 轨 迹 和 虚 轴 的点 交， s( s 1)(s 2)
解：（ 1） 把s j代 入1 G ( s ) H ( s ) 0得1 G （ j ） H ( j ) 0 令 Re[ 1 G （ jω） H（jω） ] 0， Im [ 1 G ( jω)H ( jω)] 0解 得及K c jω 3 3ω 2 j 2ω K 0 K 3ω 2 0 ω 3 2ω 0 由此解得 ω1 0 ω2 3 2 rad S K C 6
s1 4 2 2 1.172 分离点
s1 4－2 2 6.828
会合点
(s 4) - s - (s 2) 180
在复平面上，s j ，于是得
( j 4) - ( j) - ( j 2) 180
即
9.闭环极点的和与积 s n a n -1s n -1 a1s a 0 0 设根为s1 , s 2 ,, s n , 则有 (s - s1 )(s - s 2 ) (s - s n ) 0 由代数方程根与系数的 关系, 有
s
i 1
n
i
-an -1
( si ) a 0
K K GK ( s) s(0.5s 1) s( s 2)
解：（1）起点：有两个开环极点，所以起点为
s1 ＝0 ，s2 ＝ －2 。
（2）终点：因没有有限零点，所以两条根轨迹都将趋于无穷远。 （3）实轴上的根轨迹：根据法则4，根轨迹存在的区间为［－2，0］。
（4）计算分离点：将 N(s) ＝ 1，D(s)＝s(s＋2) 代入分离点计算公式
解：（ 1） 把s j代 入1 G ( s ) H ( s ) 0得1 G （ j ） H ( j ) 0 令 Re[ 1 G （ jω） H（jω） ] 0， Im [ 1 G ( jω)H ( jω)] 0解 得及K c jω 3 3ω 2 j 2ω K 0 K 3ω 2 0 ω 3 2ω 0 由此解得 ω1 0 ω2 3 2 rad S K C 6
s1 4 2 2 1.172 分离点
s1 4－2 2 6.828
会合点
(s 4) - s - (s 2) 180
在复平面上，s j ，于是得
( j 4) - ( j) - ( j 2) 180
即
9.闭环极点的和与积 s n a n -1s n -1 a1s a 0 0 设根为s1 , s 2 ,, s n , 则有 (s - s1 )(s - s 2 ) (s - s n ) 0 由代数方程根与系数的 关系, 有
s
i 1
n
i
-an -1
( si ) a 0
K K GK ( s) s(0.5s 1) s( s 2)
解：（1）起点：有两个开环极点，所以起点为
s1 ＝0 ，s2 ＝ －2 。
（2）终点：因没有有限零点，所以两条根轨迹都将趋于无穷远。 （3）实轴上的根轨迹：根据法则4，根轨迹存在的区间为［－2，0］。
（4）计算分离点：将 N(s) ＝ 1，D(s)＝s(s＋2) 代入分离点计算公式
2绘制根轨迹的基本法则
K
g
s ( s + 1 )( s + 5 )
，试确定根轨
上例已经确定了渐近线、实轴上的根轨迹段和分离（会合）点等， 下面确定根轨迹与虚轴的交点。
方法一：闭环特征方程： 3 + 6s 2 + 5s + K g = 0 ，令 s = jω 代入闭环特 s 征方程 ( jω ) 3 + 6( jω ) 2 + 5( jω ) + K g = 0 分解为实部和虚部： K g − 6ω 2 ) + j (5ω − ω 3 ) = 0 ( K g − 6ω 2 = 0 ω = 1,± 5 于是有： ，显然交点为 ⇒ 3 K g = 0,30 5ω − ω = 0 方法二：构造劳斯表
根据根轨迹相角条件可以写出的方向角其它各极点指向的方向角各零点指向的方向角其它各极点指向的方向角由各零点指向的方向角其它各极点指向的方向角由各零点指向的方向角其它各极点指向的方向角由各零点指向考虑到k的取值为所以上式可以写成为
4.2 绘制根轨迹的基本法则
一、 180°根轨迹作图法则
法则1：根轨迹的起点和终点 根轨迹的起点是指根轨迹增益 K g = 0 时，闭环极点在s平面上的位置， K g时闭环极点在s平面上的位置。 =∞ 而根轨迹的终点则是指 根轨迹起始于系统的开环极点（包括重极点），而终止于开环零点。 根轨迹起始于系统的开环极点（包括重极点），而终止于开环零点。 ），而终止于开环零点 法则2：根轨迹的连续性和对称性 根轨迹具有连续性，且对称于实轴。 根轨迹具有连续性，且对称于实轴。 法则3：根轨迹的分支数 根轨迹的分支数取传递函数分子、分母阶数 和 的大者 的大者。 根轨迹的分支数取传递函数分子、分母阶数m和n的大者。 法则4：根轨迹的渐近线 当系统的开环增益Kg→∞时趋向无穷远处的根轨迹共有n-m条，n-m条 根轨迹趋向无穷远的方位由渐近线决定。
g
s ( s + 1 )( s + 5 )
，试确定根轨
上例已经确定了渐近线、实轴上的根轨迹段和分离（会合）点等， 下面确定根轨迹与虚轴的交点。
方法一：闭环特征方程： 3 + 6s 2 + 5s + K g = 0 ，令 s = jω 代入闭环特 s 征方程 ( jω ) 3 + 6( jω ) 2 + 5( jω ) + K g = 0 分解为实部和虚部： K g − 6ω 2 ) + j (5ω − ω 3 ) = 0 ( K g − 6ω 2 = 0 ω = 1,± 5 于是有： ，显然交点为 ⇒ 3 K g = 0,30 5ω − ω = 0 方法二：构造劳斯表
根据根轨迹相角条件可以写出的方向角其它各极点指向的方向角各零点指向的方向角其它各极点指向的方向角由各零点指向的方向角其它各极点指向的方向角由各零点指向的方向角其它各极点指向的方向角由各零点指向考虑到k的取值为所以上式可以写成为
4.2 绘制根轨迹的基本法则
一、 180°根轨迹作图法则
法则1：根轨迹的起点和终点 根轨迹的起点是指根轨迹增益 K g = 0 时，闭环极点在s平面上的位置， K g时闭环极点在s平面上的位置。 =∞ 而根轨迹的终点则是指 根轨迹起始于系统的开环极点（包括重极点），而终止于开环零点。 根轨迹起始于系统的开环极点（包括重极点），而终止于开环零点。 ），而终止于开环零点 法则2：根轨迹的连续性和对称性 根轨迹具有连续性，且对称于实轴。 根轨迹具有连续性，且对称于实轴。 法则3：根轨迹的分支数 根轨迹的分支数取传递函数分子、分母阶数 和 的大者 的大者。 根轨迹的分支数取传递函数分子、分母阶数m和n的大者。 法则4：根轨迹的渐近线 当系统的开环增益Kg→∞时趋向无穷远处的根轨迹共有n-m条，n-m条 根轨迹趋向无穷远的方位由渐近线决定。
第04_2章 常规根轨迹绘制的基本法则
点d，满足:
n 1 1 d z d p j 1 i 1 j i m
1 1 1 1 d 1 d d 2 d 3
用试凑法解出d≈-2.47，最后画出系统概略根轨迹如
图4-9(b)。
例4-4 设单位反馈系统的开环传递函数为
K (0.5s 1) G (s) 0 .5 s 2 s 1
当 | s | （无穷远处点 ）：① n m 时， * K
n
（终点），② n m 时，K * 0 （起点）。
即：当n≥m时，有n-m 条根轨迹的终点将在无穷远处 （开环无限零点)。若n＜m, 则有m-n条根轨迹始于无 穷远处（开环无限极点）。
图4-4 根轨迹的起点和终点表示图
zi
m
出 :
p (2k 1) ( z
i
j 1
m
j pi
p j pi );
j 1 ( j i )
n
n
k 0,1,2, (4-23)
k 0,1,2, (4-24)
z (2k 1) ( z z p z );
i
j 1 ( j i )
则仍然适用。用这些基本法则绘出的根轨迹，其相
角遵循180◦+2kπ的条件，因此称为180◦根轨迹。
1 绘制根轨迹的基本法则
法则1 根轨迹的起点和终点。根轨迹起始于开环 极点, 终于开环零点。
根轨迹起点是指根轨迹增益Κ*= 0的根轨迹点，
而终点则是指Κ*→∞的根轨迹点。
在实际系统中，由于m≤n，因此有n-m条根轨迹
分离角定义：根轨迹分支进入分离点的切线方向与离
开分离点的切线方向之间的夹角。 当l条根轨迹分支进入并立即离开分离点时，分离 角可由(2k+1)π/l确定，其中k=0，1，…，l-1。 显然，l=2时，分离角必为直角。
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4.2 根轨迹的绘制
低阶系统（如二阶系统）
解析法求根轨迹 （【例4.1.1】）
高阶系统
根轨迹绘制法则，8条
1
4.2.1 绘制根轨迹的基本法则
法则1：根轨迹的分支数、对称性和连续性 分支数＝MAX（n,m）
G(s)H (s) M (s) N (s)
1 M (s) 0 M (s) N(s) 0 N (s)
s3 3s2 2s K * 0
25
s3 3s2 2s K * 0
计算劳斯表
s3 1
2
s2 s1
3 6 K*
K* 0
3
s0 K*
6K* 0 K* 6 3
用s2行构造辅助方程
Imaginary Axis
例4.2.4
2
K*=6,s=1.414j
1
0
p3=-2
p2=-1
p1=0
-1
-2
3
3
与实轴交角为
(2k
1)
3
,k
0,1, 2
60,180,300
9
开环极点用×表示
例4.2.1
5
开环零点用○表示
一条根轨迹起于p1, 终止于z1
其他三条终止于无 穷远处
Imaginary Axis
=-1.67
p3=-1+j
0
p2=-4
z1=-1 p1=0 p4=-1-j
有三条渐近线
-5
-5
-4
证明：当 n m 2
征方程
1 G(s)H (s) 0
时，系统闭环特
n
m
(s pi ) K * (s z j ) 0
i 1
j 1
n
m
n
(s pi ) K * (s z j ) (s si )
i 1
j 1
i 1
n
n
m
m
sn ( pi )sn1 ( pi ) K *[sm ( z j )sm1 (z j )]
l
情况下l=2）,k=0,1, …，l-1
分离点的坐标d是可由如下方法确定：
(1)公式法（凑试 法）
m
1
n
1
j1 d z j i1 d pi
14
(2)重根法
闭环特征方程： 即：
1 K * M (s) 0 N (s)
N(s) K *M (s) 0
F(s) N(s) K *M (s)
-5
-10
-4
-3
-2
-1
Real Axis
(2) (p2,p3)之间的分离点
1 1 1 1 d 1 d d 2 d 3
分离角
d 2.47
(2k 1) 90, 270
2
16
p1=0
0
1
（3） n-m=2, 有2条根轨迹趋于无穷
渐近线的参数为
a
(2k
1)
2
a
90, 270
3
1
a
i 1
p2=-1
p1=0
-1
-2
-3
-2
-1
0
1
Real Axis
所以，与虚轴的交点为 2 ，j 临界增益为6
27
法则8：闭环极点的和
当 n m 时2 ，开环极点之和等于闭环极点之和，即
n
n
si pi
i 1
i 1
由于开环极点之和为常数，所以当某些闭环极点在s平面 上左移时，另外某些极点必然右移
28
1 1 1 d 2 d 1 j d 1 j d 2 2 3.414
尝试其它方法
2.5
2
1.5
1
d=-3.414
0.5
p1=-1+j
Imaginary Axis
0
z1=-2
-0.5
p2=-1-j
-1
-1.5
-2
-2.5
-4
-3
-2
-1
0
1
22
Real Axis
（2）p1点的出射角为
p1 (2k 1) ( p1 z1 ) p1 p2 (2k 1) (1 j) (2 j)
p
j
)
m
n
zi
(2k 1)
(zi j1
ji
z j ) (zi i1
p j )
7 虚轴交点 （1）由劳斯阵列求得
（2）闭环特征方程 1 G(s)H(s) 0 令s j
8 闭环极点 当 n m 2 时 ， 闭环极点之和等于开环极点之和
之和
K*计算
模值条件：
n
(s pj )
角度相同，都设为
a a
a atga
相角条件
ma na (2k 1)
a
(2k 1)
mn
根轨迹对称于实轴，也可写为
(2k 1)
nm
交角有n-m个，交点只有一个
7
【例4.2.1】一个系统开环传递函数为
GK
(s)
s(s
K *(s 4)(s 2
1) 2s
2)
根据前面3个根轨迹法则确定根轨迹基本特性
制其根轨迹
GK
(s)
s(s
K* 3)(s2
2s
2)
解：1）绘制零极点分布
p1 0
p2 3
p3 1 j
p4 1 j
zi
(2k
1)
m
j1 ji
z j zi
n
j1
p j zi
,
k 0,1,2,
其中
z j zi (zi z j )
p j zi (zi p j )
19
证明：在极点pi附近根轨迹上取一点s1，连线角度近似为起
始角，则
正负一样
m
j1 z js1
n
j1 ji
p js1
pis1
m
j1 ji
z j zi
n
j1 p j zi
,
k 0,1,2,
21
【例4.2.3】绘制如下开环传递函数的根轨迹草图
GK
(s)
K * (s 2) s2 2s 2
解：n 2, m 1, p1 1 j, p2 1 j, z1 2
（1） (,2有) 根轨迹，且有会合点，分离角为 90
5
法则3：根轨迹的渐近线
当 n m时，有 n m条根轨迹分支沿着与实轴交角 为 、交点为 的一组渐近线趋向于无穷远处，
且有
n
m
pi z j
i 1
j 1
nm
a a
(2k 1)
nm
,
k 0,1,, n m 1
a atga
6
证明：角度的简单证明
sK 无穷远处的一个闭环特征根
与有限零点和有限极点所成
K*
j1 m
(s z j )
i1
31
绘制根轨迹基本步骤
• 计算开环极点、零点，并标注 • 确定根轨迹分支数 • 确定根轨迹起点和终点 • 确定实轴上的根轨迹 • 确定渐近线 • 确定分离点或会合点 • 确定初始角和终止角 • 确定与虚轴的交点 • 计算要求的参数
32
【例4.2.5】单位负反馈系统开环传递函数如下，绘
解：1)根轨迹起始于开环极点
p1 0, p2 4, p3 1 j, p4 1 j
终于开环无穷远零点和有限零点 z1 1 2)根轨迹有4条，且对称于实轴
8
GK
(s)
s(s
K *(s 4)(s 2
1) 2s
2)
3)有n-m=3条渐近线，其与实轴交点为
pi z1 (4 2) (1) 1.67
(2k
1)
m
n
z j pi
j 1
p j pi
j 1
pi
(2k
1)
ji
其中 z j pi ( pi z j ) pj pi ( pi p j )
20
整理即得
m
n
pi
(2k
1)
z j pi
j 1
p j pi
j 1
ji
终止角的证明类似
zi
(2k 1)
0.419
| d zj |
j 1
p1=0
0
1
17
法则6：起始角与终止角
起始角（出射角）：根轨迹在开环极点处切线的角度
pi
(2k 1)
m
j1
z
j
pi
n
j1 p j pi
ji
,
k 0,1,2,
其中
z j pi ( pi z j )
p j pi ( pi p j )
18
终止角（入射角）：根轨迹在开环零点处切线的角度
12
法则5：根轨迹的分离点与分离角
两条或两条以上根轨迹分支在s平面上相遇又立即 分开的点，称为根轨迹的分离点（会合点）
若相邻两极点间有根轨迹，则必有分离点 若相邻两零点间有根轨迹，则必有会合点 分离点实际上是相同的闭环特征值，即特征方程有重根
13
分离角为
(2k 1) l为分离的根轨迹条数（一般
所以根轨迹终于开环零点
4
一般情况下 n m
有n-m条根轨迹终于无穷远处
n
| s pi |
K * lim s
i 1 m
lim | s |nm s
|s，那么根轨迹终 止于开环零点
如果包括无穷零点，则有： 开环零点数（有限零点＋无穷零点）＝开环极点数
GK
(s)
K * (s 1) s(s 2)(s 3)
?4.2.2??? 10
低阶系统（如二阶系统）
解析法求根轨迹 （【例4.1.1】）
高阶系统
根轨迹绘制法则，8条
1
4.2.1 绘制根轨迹的基本法则
法则1：根轨迹的分支数、对称性和连续性 分支数＝MAX（n,m）
G(s)H (s) M (s) N (s)
1 M (s) 0 M (s) N(s) 0 N (s)
s3 3s2 2s K * 0
25
s3 3s2 2s K * 0
计算劳斯表
s3 1
2
s2 s1
3 6 K*
K* 0
3
s0 K*
6K* 0 K* 6 3
用s2行构造辅助方程
Imaginary Axis
例4.2.4
2
K*=6,s=1.414j
1
0
p3=-2
p2=-1
p1=0
-1
-2
3
3
与实轴交角为
(2k
1)
3
,k
0,1, 2
60,180,300
9
开环极点用×表示
例4.2.1
5
开环零点用○表示
一条根轨迹起于p1, 终止于z1
其他三条终止于无 穷远处
Imaginary Axis
=-1.67
p3=-1+j
0
p2=-4
z1=-1 p1=0 p4=-1-j
有三条渐近线
-5
-5
-4
证明：当 n m 2
征方程
1 G(s)H (s) 0
时，系统闭环特
n
m
(s pi ) K * (s z j ) 0
i 1
j 1
n
m
n
(s pi ) K * (s z j ) (s si )
i 1
j 1
i 1
n
n
m
m
sn ( pi )sn1 ( pi ) K *[sm ( z j )sm1 (z j )]
l
情况下l=2）,k=0,1, …，l-1
分离点的坐标d是可由如下方法确定：
(1)公式法（凑试 法）
m
1
n
1
j1 d z j i1 d pi
14
(2)重根法
闭环特征方程： 即：
1 K * M (s) 0 N (s)
N(s) K *M (s) 0
F(s) N(s) K *M (s)
-5
-10
-4
-3
-2
-1
Real Axis
(2) (p2,p3)之间的分离点
1 1 1 1 d 1 d d 2 d 3
分离角
d 2.47
(2k 1) 90, 270
2
16
p1=0
0
1
（3） n-m=2, 有2条根轨迹趋于无穷
渐近线的参数为
a
(2k
1)
2
a
90, 270
3
1
a
i 1
p2=-1
p1=0
-1
-2
-3
-2
-1
0
1
Real Axis
所以，与虚轴的交点为 2 ，j 临界增益为6
27
法则8：闭环极点的和
当 n m 时2 ，开环极点之和等于闭环极点之和，即
n
n
si pi
i 1
i 1
由于开环极点之和为常数，所以当某些闭环极点在s平面 上左移时，另外某些极点必然右移
28
1 1 1 d 2 d 1 j d 1 j d 2 2 3.414
尝试其它方法
2.5
2
1.5
1
d=-3.414
0.5
p1=-1+j
Imaginary Axis
0
z1=-2
-0.5
p2=-1-j
-1
-1.5
-2
-2.5
-4
-3
-2
-1
0
1
22
Real Axis
（2）p1点的出射角为
p1 (2k 1) ( p1 z1 ) p1 p2 (2k 1) (1 j) (2 j)
p
j
)
m
n
zi
(2k 1)
(zi j1
ji
z j ) (zi i1
p j )
7 虚轴交点 （1）由劳斯阵列求得
（2）闭环特征方程 1 G(s)H(s) 0 令s j
8 闭环极点 当 n m 2 时 ， 闭环极点之和等于开环极点之和
之和
K*计算
模值条件：
n
(s pj )
角度相同，都设为
a a
a atga
相角条件
ma na (2k 1)
a
(2k 1)
mn
根轨迹对称于实轴，也可写为
(2k 1)
nm
交角有n-m个，交点只有一个
7
【例4.2.1】一个系统开环传递函数为
GK
(s)
s(s
K *(s 4)(s 2
1) 2s
2)
根据前面3个根轨迹法则确定根轨迹基本特性
制其根轨迹
GK
(s)
s(s
K* 3)(s2
2s
2)
解：1）绘制零极点分布
p1 0
p2 3
p3 1 j
p4 1 j
zi
(2k
1)
m
j1 ji
z j zi
n
j1
p j zi
,
k 0,1,2,
其中
z j zi (zi z j )
p j zi (zi p j )
19
证明：在极点pi附近根轨迹上取一点s1，连线角度近似为起
始角，则
正负一样
m
j1 z js1
n
j1 ji
p js1
pis1
m
j1 ji
z j zi
n
j1 p j zi
,
k 0,1,2,
21
【例4.2.3】绘制如下开环传递函数的根轨迹草图
GK
(s)
K * (s 2) s2 2s 2
解：n 2, m 1, p1 1 j, p2 1 j, z1 2
（1） (,2有) 根轨迹，且有会合点，分离角为 90
5
法则3：根轨迹的渐近线
当 n m时，有 n m条根轨迹分支沿着与实轴交角 为 、交点为 的一组渐近线趋向于无穷远处，
且有
n
m
pi z j
i 1
j 1
nm
a a
(2k 1)
nm
,
k 0,1,, n m 1
a atga
6
证明：角度的简单证明
sK 无穷远处的一个闭环特征根
与有限零点和有限极点所成
K*
j1 m
(s z j )
i1
31
绘制根轨迹基本步骤
• 计算开环极点、零点，并标注 • 确定根轨迹分支数 • 确定根轨迹起点和终点 • 确定实轴上的根轨迹 • 确定渐近线 • 确定分离点或会合点 • 确定初始角和终止角 • 确定与虚轴的交点 • 计算要求的参数
32
【例4.2.5】单位负反馈系统开环传递函数如下，绘
解：1)根轨迹起始于开环极点
p1 0, p2 4, p3 1 j, p4 1 j
终于开环无穷远零点和有限零点 z1 1 2)根轨迹有4条，且对称于实轴
8
GK
(s)
s(s
K *(s 4)(s 2
1) 2s
2)
3)有n-m=3条渐近线，其与实轴交点为
pi z1 (4 2) (1) 1.67
(2k
1)
m
n
z j pi
j 1
p j pi
j 1
pi
(2k
1)
ji
其中 z j pi ( pi z j ) pj pi ( pi p j )
20
整理即得
m
n
pi
(2k
1)
z j pi
j 1
p j pi
j 1
ji
终止角的证明类似
zi
(2k 1)
0.419
| d zj |
j 1
p1=0
0
1
17
法则6：起始角与终止角
起始角（出射角）：根轨迹在开环极点处切线的角度
pi
(2k 1)
m
j1
z
j
pi
n
j1 p j pi
ji
,
k 0,1,2,
其中
z j pi ( pi z j )
p j pi ( pi p j )
18
终止角（入射角）：根轨迹在开环零点处切线的角度
12
法则5：根轨迹的分离点与分离角
两条或两条以上根轨迹分支在s平面上相遇又立即 分开的点，称为根轨迹的分离点（会合点）
若相邻两极点间有根轨迹，则必有分离点 若相邻两零点间有根轨迹，则必有会合点 分离点实际上是相同的闭环特征值，即特征方程有重根
13
分离角为
(2k 1) l为分离的根轨迹条数（一般
所以根轨迹终于开环零点
4
一般情况下 n m
有n-m条根轨迹终于无穷远处
n
| s pi |
K * lim s
i 1 m
lim | s |nm s
|s，那么根轨迹终 止于开环零点
如果包括无穷零点，则有： 开环零点数（有限零点＋无穷零点）＝开环极点数
GK
(s)
K * (s 1) s(s 2)(s 3)
?4.2.2??? 10