2020高考数学押题卷及答案(文理合卷)

2020届高考数学仿真押题卷——四川卷（文理合卷2）第Ⅰ卷一．选择题：本卷共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．集合{}{}11,lg(2)M y y x x N x y x ==++-==-，则()N M I ðR 为（ ）A ．∅B ．MC ．ND ．{2}2．（理）已知,x y ∈∈R R ，i 为虚数单位，且[(2)i +](1i)20081004i x y --=-，则1i 1i x y++⎛⎫⎪-⎝⎭的值为 （ ） A ．20102B ．-1C ．2020+2020iD ．20102i（文）已知数列{}n a 的前n 项和是(0n n S a m a =-≠且1)a ≠，那么“数列{}n a 是等比数列”的充要条件是（ ） A ．1m =B ．1m ≥C ．1m ≤D ．m 为任意实数3．已知圆C 与直线0x y -=及40x y --=都相切，圆心在直线0x y +=上，则圆C 的方程为A ．22(1)(1)2x y ++-=B ．22(1)(1)2x y -++=C ．PF PA +D ．22(1)(1)2x y +++=4．设()f x '是函数()f x 的导函数,()y f x '=的图象如图所示，则()y f x =的图象最有可能的是5．若函数22()cos ()sin ()y a b x a b x x =++-∈R 的值恒等于2，则点(,)a b 关于原点对称的点的坐标是 （ ） A ．（2,0）B ．（-2,0）C ．（0，-2）D ．（-1,1）6．在长方体1111ABCD A B CD -中，11,AA AD DC ===1AC 与11D C 所成的角的正切值为 （ ） AB CD 7．如图，正五边形ABCDE 中，若把顶点,,,,A B C D E 种，使得相邻顶点所染颜 色不同，则不同的染色方法共有（ ） A ．30种 B ．27种 C ．24种D ．21种8．已知,,A B C 是平面上不共线的三点，O 为平面ABC 内任一点，动点P 满足等式1[(1)(1)3OP OA OBλλ=-+-u u u r u u u r u u u r(12)](OC λλ++∈u u u r R 且0)λ≠，则P 的轨迹一定通过ABC ∆的（ ） A ．内心B ．垂心C ．重心D ．AB 边的中点9．已知函数()f x =1201x x <<<，则（ ） A ．1212()()f x f x x x >B ．1212()()f x f x x x =C ．1212()()f x f x x x <D ．无法判断11()f x x 与22()f x x 的大小10．定义：若数列{}n a 为任意的正整数n ，都有1(n n a a d d ++=为常数)，则称{}n a 为“绝对和数列”，d 叫做“绝对公和” ．已知“绝对和数列”{}n a 中，12a =，绝对公和为3，则其前2020项的和2009S 的最小值为（ ）A ．-2020B ．-3010C ．-3014D ．302811．已知12,F F 分别为双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左，右焦点，M 为双曲线上除顶点外的任意一点，且12F MF ∆的内切圆交实轴于点N ，则12||||F N NF g 的值为（ ） A ．2bB ．2aC ．2cD12．函数()f x 的定义域为D ，若对于任意12,x x D ∈，当12x x <时，都有12()()f x f x ≤，则称函数()f x 在D 上为非减函数．设函数()f x 在[0，1]上为非减函数，且满足以下三个条件： ①(0)0f = ②1()()32x f f x = ③(1)1()f x f x -=-则11()()38f f +等于( )A ．34B ．12C ．1D ．23第Ⅱ卷二．填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上．13．31nx ⎛⎫⎪⎝⎭的展开式中第二项与第三项的系数之和等于27，则n 等于 ；系数最大的项是第 项．14．若数列{}n a 满足112,(1)2n n a na n a +=-+=，则数列{}n a 的通项公式n a = ．15．（理）若函数321()3f x x a x =-满足：对任意12,[0,1]x x ∈都有12()()1f x f x -≤恒成立，则a 的取值范围是 ．（文）过曲线2(0)xy a a =≠上任意一点处的切线与两坐标轴构成的三角形的面积是 ．16．（理）已知s 是正实数，如果不等式组：00x y s x y y +≤⎧⎪-≥⎨⎪≥⎩表示的区域内存在一个半径为1的圆，则s 的最小值为 ．（文）tan18tan 42tan120tan18tan 42tan 60++=o o oo o o．三．解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17．（本小题满分10分） 设ABC ∆的内角,,A B C 所对的边分别为,,,a b c 且1cos 2a C cb +=． （Ⅰ）求角A 的大小；（Ⅱ）若1a =，求ABC ∆的周长l 的取值范围．18．（本小题满分12分）某商场为吸引顾客消费推出一项优惠活动．活动规则如下：消费额每满100元可转动如图所示的转盘一次，并获得相应金额的返券，假定指针等可能地停在任一位置． 若指针停在A 区域返券60元；停在B 区域返券30元；停在C 区域不返券． 例如：消费218元，可转动转盘2次，所获得的返券金额是两次金额之和．（Ⅰ）若某位顾客消费128元，求返券金额不低于30元的概率；（Ⅱ）若某位顾客恰好消费280元，并按规则参与了活动，他获得返券的金额记为X （元）．求随机变量X 的分布列和数学期望．第18题图19．（本小题满分12分）如图，三棱柱111ABC A B C -中，侧面11AAC C⊥底面ABC ，112,AA AC AC AB BC ====, 且AB BC ⊥,O 为AC 中点． （Ⅰ）证明：1A O ⊥平面ABC ；（Ⅱ）求直线1AC 与平面1A AB 所成角的正弦值； （Ⅲ）在1BC 上是否存在一点E ，使得//OE 平面1A AB ，若不存在，说明理由；若存在，确定点E 的位置． 20．（本小题满分12分）如图，设抛物线21:4(0)C y mx m =>的准线与x 轴交于1F ，焦点为2F ；以12,F F 为焦点，离心率12e =的椭圆2C 与抛物线1C 在x 轴上方的交点为P ，延长2PF 交抛物线于点Q ，M 是抛物线1C 上一动点，且M 在P 与Q1ABCO A 1B 1C 第19题图之间运动．（Ⅰ）当1m =时，求椭圆2C 的方程；（Ⅱ）当12PF F ∆的边长恰好是三个连续的自然数时，求MPQ ∆面积的最大值．21．(本小题满分12分) 已知数列{}n x 满足14x =，21324n n n x x x +-=-．（Ⅰ）求证：3n x >； （Ⅱ）求证：1n n x x +<； （Ⅲ）求数列{}n x 的通项公式． 22．（本小题满分12分）PyxQ第20题图已知函数1ln ()xf x x+=． （Ⅰ）若函数在区间1(,)2a a +（其中0a >）上存在极值，求实数a 的取值范围；（Ⅱ）如果当1x ≥时，不等式()1kf x x ≥+恒成立，求实数k 的取值范围；（Ⅲ）求证[]22(1)(1)()n n n e n -*+>+⋅∈！N ．参考答案一：1-5 D （理）B （文）A BCB 6-10 BADCB 11-12 AA 二： 13．【答案】：9 5 14．【答案】：4n-215．【答案】：（理）⎡⎢⎣⎦ （文）22a16．【答案】：（理）2+（文）-1三：17．解：（Ⅰ）由1cos 2a C cb +=得1sin cos sin sin 2A C CB += …1分 又()sin sin sin cos cos sin B AC A C A C =+=+ …3分1sin cos sin 2C A C ∴=，sin 0C ≠Q ，1cos 2A ∴=， 又0A <<πQ 3A π∴= …5分（Ⅱ）由正弦定理得：sinsin a B b B A ==，c C =…7分 )())1sin sin 1sin sinl a b c B C B A B =++=+=++112cos 2B B ⎫=++⎪⎪⎝⎭12sin 6B π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭,3A π=Q 20,,3B π⎛⎫∴∈ ⎪⎝⎭5,666B πππ⎛⎫∴+∈ ⎪⎝⎭ 1sin ,162B π⎛⎫⎛⎤∴+∈ ⎪ ⎥⎝⎭⎝⎦故ABC ∆的周长l 的取值范围为(]2,3．…10分（Ⅱ）另解：周长l 1a b c b c =++=++ 由（Ⅰ）及余弦定理2222cos a b c bc A =+-221b c bc ∴+=+22()1313()2b c b c bc +∴+=+≤+ 2b c +≤又12b c a l a b c +>=∴=++> 即ABC ∆的周长l 的取值范围为(]2,3．…10分18．解：设指针落在A,B,C 区域分别记为事件A,B,C ． 则111(),(),()632P A P B P C ===．…3分（Ⅰ）若返券金额不低于30元，则指针落在A 或B 区域．111()()632P P A P B ∴=+=+=…6分即消费128元的顾客，返券金额不低于30元的概率是12． （Ⅱ）由题意得，该顾客可转动转盘2次． 随机变量X 的可能值为0，30，60，90，120．…7分111(0)224P X ==⨯=； 111(30)2233P X ==⨯⨯=；11115(60)2263318P X ==⨯⨯+⨯=；111(90)2369P X ==⨯⨯=；111(120)6636P X ==⨯=．…10分所以，随机变量X 的分布列为：其数学期望115110306090120404318936EX =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯= ．…12分19．解：（Ⅰ）证明：因为11A A AC =，且O 为AC 的中点， 所以1AO AC ⊥．…1分又由题意可知，平面11AAC C ⊥平面ABC ，交线为AC ，且1A O ⊂平面11AAC C ， 所以1A O ⊥平面ABC ．…4分（Ⅱ）如图，以O 为原点，1,,OB OC OA 所在直线分别为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系．由题意可知，112,A A AC AC ===又,AB BC AB BC =⊥; 112OB AC ∴==． 所以得:11(0,0,0),(0,1,0),(0,1,0),(1,0,0)O A A C C B -则有：11(0,1,(1,1,0).AC AA AB ===u u u u r u u u r u u u r设平面1AA B 的一个法向量为(,,)x y z =n ，则有 10000AA y x y AB ⎧⎧⋅==⎪⎪⇔⎨⎨+=⎪⋅=⎪⎩⎩u u u ru u u rn n ，令1y =，得1,x z =-= 所以(1,1,=-n ．…6分 1第19题图111cos ,|||A C A C A C ⋅<>==u u u u ru u u u r u u u u r n n |n因为直线1AC 与平面1A AB 所成角θ和向量n 与1AC u u u u r所成锐角互余，所以sin θ= …8分（Ⅲ）设0001(,,),,E x y z BE BC λ==u u u ru u u u r即000(1,,)(x y z λ-=-，得00012x y z λλ⎧=-⎪=⎨⎪=⎩所以(1,2),E λλ=-得(1,2),OE λλ=-u u u r…10分令//OE 平面1A AB ，得=0OE ⋅u u u rn ，即120,λλλ-++-=得1,2λ=即存在这样的点E ，E 为1BC 的中点．…12分20．解：（Ⅰ）当1m =时， 24y x =，则12(1,0),(1,0)F F -设椭圆方程为22221(0x y a b a b +=>>），则1,c =又12c e a ==，所以22,3a b ==所以椭圆C 2方程为22143x y += …4分（Ⅱ）因为c m =，12c e a ==，则2a m =，223b m =，设椭圆方程为2222143x y m m +=由222221434x y m m y mx ⎧+=⎪⎨⎪=⎩，得22316120x mx m +-= …6分即(6)(32)0x m x m +-=，得23P mx =代入抛物线方程得p y =，即2(3m P 212557,24333p m m m PF x m PF a PF m =+==-=-=，12623mF F m ==， 因为12PF F ∆的边长恰好是三个连续的自然数，所以3m =…8分此时抛物线方程为212y x =，(2,P ，直线PQ方程为：3)y x =--．联立23)12y x y x⎧=--⎪⎨=⎪⎩，得2213180x x -+=，即(2)(29)0x x --=，所以92Q x =，代入抛物线方程得Q y =-，即9(,2Q -∴252PQ ==． 设2(,)12t M t 到直线PQ 的距离为d，(t ∈-则2752d t ==- …10分当t =max 752d =即MPQ ∆面积的最大值为12522⨯． …12分 21．解：(Ⅰ) 证明：用数学归纳法证明 1）当1n =时， 143x =>．所以结论成立． 2）假设(1)n k n =≥时结论成立,即3n x >,则2213(3)3302424n n n n n x x x x x +---=-=>--．所以13n x +>．即1n k =+时,结论成立．由1)2)可知对任意的正整数n ，都有3n x >．…4分（Ⅱ）证明：221343(1)(3)242424n n n n n n n n n n n x x x x x x x x x x x +--+-----=-==---．因为3n x >，所以(1)(3)024n n n x x x ---<-，即10n n x x +-<．所以1n n x x +<．…8分（Ⅲ）解：2213(1)112424n n n n n x x x x x +---=-=--，2213(3)332424n n n n n x x x x x +---=-=--，所以21111()33n n n n x x x x ++--=--． 又111413343x x --==--， 所以133111log 2log 33n nn n x x x x ++--=--．…10分又1311log 13x x -=-， 令31log 3n n n x a x -=-，则数列{}n a 是首项为1,公比为2的等比数列． 所以12n n a -=． 由31log 3n n n x a x -=-，得133n a n n x x -=-． 所以11121231313131n n n n a n a x --++--==--．…12分22．解：（Ⅰ）因为1ln ()x f x x+=，0x > ，则ln ()xf x x'=-，… 1分当01x <<时，()0f x '>；当1x >时，()0f x '<．所以()f x 在（0，1）上单调递增；在(1,)+∞上单调递减，所以函数()f x 在1x =处取得极大值．… 2分因为函数()f x 在区间1(,)2a a +（其中0a >）上存在极值，所以1,112a a <⎧⎪⎨+>⎪⎩ 解得11.2a <<… 4分（Ⅱ）不等式()1kf x x ≥+， 即为(1)(1ln ),x x k x ++≥ 记(1)(1ln )(),x x g x x++=所以22[(1)(1ln )](1)(1ln )ln (),x x x x x x xg x x x '++-++-'==…6分令()ln ,h x x x =-则1()1h x x'=-，1,()0.x h x '≥∴≥Q ()h x ∴在[1,)+∞上单调递增，min [()](1)10h x h ∴==>， 从而()0g x '>故()g x 在[1,)+∞上也单调递增，min [()](1)2g x g ∴==，所以2k ≤…8分（Ⅲ）由（Ⅱ）知：2()1f x x >+恒成立，即122ln 11,11x x x x x -≥=->-++ 令(1)x n n =+，则2ln[(1)]1(1)n n n n +>-+，所以 2ln(12)1,12⨯>-⨯ 2ln(23)1,23⨯>-⨯ 2ln(34)1,34⨯>-⨯ ………… ……2ln[(1)]1(1)n n n n +>-+．叠加得：22ln[123⨯⨯⨯ (211)(1)]2[1223n n n ⨯+>-++⨯⨯…1](1)n n + 112(1)2211n n n n n =-->-+>-++… 10分则22123⨯⨯⨯…22(1)n n n e -⨯+>，所以[]22(1)(1)()n n n e n -*+>+⋅∈！N…12分。