2020届江苏省高三高考数学考前最后押题卷(一) (解析版)

则动点P的轨迹方程为 ，又因为直线l上存在唯一的一个点P，所以直线l和动点P的轨迹（圆）相切，则 ，解得，a＝2或a＝－18.
故答案为：2或－18
【点睛】
此题考查直线与圆的位置关系，结合弦长分析点M的轨迹，转化成直线与圆相切，充分体现了转化与化归思想.
13．已知函数f(x)＝x3－ax＋1，g(x)＝3x－2，若函数F(x)＝ 有三个零点，则实数a的取值范围是__________．
（1）若假山区域面积为 ，求喷泉区域面积的最小值；
（2）若 ，求假山区域面积的最大值．
【答案】（1） ；（2） .
【解析】（1）设 ，半圆的直径 ，根据假山区域面积为 ，找到 与 的关系，再表示出喷泉区域面积，求最值，注意验证半圆是否在矩形空地 内，即验证是否能取到最小值；
（2）由（1）根据以 为直径的半圆区域在矩形广场内，求得 的范围，再将假山区域面积用 表示出来，再求最值.
所以由正弦定理可知BC2－ BC·AB＝AC2－AB2，
BC2＋AB2－AC2＝ BC·AB，
cosB＝ ＝ .
因为在 中，B∈(0，π)，所以B＝ .
所以cos(B＋ )＝cosBcos －sinBsin ＝ .
(2)由余弦定理可知，在 中，
，
因为C∈(0，π)，所以sinC＞0，sinC＝ ＝ ＝ .
【答案】48
【解析】直接根据分层抽样的定义求解即可．
【详解】
解：设出样本容量为 ，
由题意知产品的数量之比依次为 ，
，
，
故答案为：48．
【点睛】
本题主要考查分层抽样的定义的应用，属于基础题．
4．如图是某算法的伪代码，输出的结果 的值为_______.
【答案】18
【解析】模拟程序运行，观察变量值的变化，判断循环条件可得结论．
2020届江苏省高三高考数学考前最后押题卷（一）
一、填空题
1．已知集合 ， ，则集合 =________．
【答案】{1}
【解析】先化简集合B，然后利用集合的交集运算求解.
【详解】
因为集合 ， ，
所以 ＝{1}．
故答案为：{1}
【点睛】
本题主要考查集合的基本运算以及一元二次不等式的解法，还考查了运算求解的能力，属于基础题.
【答案】
【解析】求出每市分配两名医生的方法数，再求出甲､乙两人恰好分配在同一个城市的方法数后可得为 ，甲､乙两人恰好分配在同一个城市的方法数是2，
所求概率为 ．
故答案为： ．
【点睛】
本题考查古典概型，解题关键是求出基本事件的个数．平均分组时要注意组间有无区别．
【详解】
解：（1）设 ，半圆的直径 ，半圆的圆心为O．
在直角三角形 中， ，所以 ．
因为假山区域面积为 ，
所以
所以 ，所以喷泉区域面积 ，
当且仅当 ，即 时取等号．此时 ．
因为点O到 的距离 ，点O到 的距离 ，
所以 ，即 ，
，即 ．
所以以 为直径的半圆区域一定在矩形广场内．
所以当 时， 取得最小值 ．
（1）求 的值；
（2）若D是BC边上一点，AD＝5，AC＝7，DC＝3，求AB的长．
【答案】（1） ；（2） .
【解析】（1）利用正弦定理的边角互化以及余弦定理求出B＝ ，再利用两角和的余弦公式即可求解.
（2）在 中，利用余弦定理求出 ，在 中，利用正弦定理即可求解.
【详解】
(1)因为A＋B＋C＝π，sin2A－ sinA·sinC＝sin2(A＋C)－sin2C，
【点睛】
本题考查三角函数的图像与性质，考查简单三角方程的解，考查图形识别与运算求解能力，属于基础题.
8．已知等差数列 的前n项和为 ．若 与 的等差中项为8，则 ______．
【答案】2
【解析】由 为等差数列，且 ，可得 ，又根据等差中项，可得 ，即可求出 的值，代入公式，即可求解.
【详解】
因为 ，由等差数列的性质可得 ，
【答案】
【解析】当a≤0时，函数f(x)在R上单调递增，F(x)至多两个零点，不满足题意．当a＞0时，根据图像可知：当f( ) 0时，所以F(x)至多两个零点；当f( )＜0，即 时，列式f( )＜0或者 ，可解得结果.
【详解】
易得f'(x)＝3x2－a．
当a≤0时， ，函数f(x)在R上单调递增，F(x)至多两个零点，不满足题意．
（2）因为 平面 ， 平面 ，
所以 .
又因为 ， ， 平面 ， 平面 ，
所以 平面 .
因为 平面 ，所以 .
在△ 中，因为 ， 为 的中点，
所以 .
又因为 ， ， 平面 ， 平面 ，
所以 平面 ．
【点睛】
本题考查利用线线平行证明线面平行、利用线线垂直证明线面垂直，是中档题.
17．如图，在市中心有一矩形空地 ．市政府欲将它改造成绿化景观带，具体方案如下：在边 上分别取点M，N，在三角形 内建造假山，在以 为直径的半圆内建造喷泉，其余区域栽种各种观赏类植物．
6．已知双曲线 的两条渐近线与直线 围成正三角形，则双曲线的离心率为__________．
【答案】
【解析】求出双曲线的渐近线方程，利用两条渐近线与直线 围成正三角形，求出渐近线的倾斜角，然后求解离心率即可．
【详解】
解：双曲线 的两条渐近线与直线 围成正三角形，
所以双曲线的渐近线的倾斜角为 和 ，
所以 ，所以 ，
所以双曲线的离心率为： .
故答案为： ．
【点睛】
本题考查双曲线的简单性质的应用，涉及双曲线渐近线方程和离心率，是基本知识的考查．
7．若函数 的部分图象如图所示，则 的值为_______________．
【答案】 .
【解析】由所给函数图像过点 , ，列式 ，利用诱导公式可得.
【详解】
由函数图像过点 , ,得 ， ，所以 ，又两点在同一周期，所以 ， .故答案为4.
又由余弦定理 ，
代入可得 ，
所以 ，当且仅当 时取等号，
则 ，所以 ，
即 ，所以 ，
则 的最大值为 .
故答案为： .
【点睛】
本题考查了同角三角函数关系式的综合应用，正弦和角公式化简三角函数关系式，正弦定理与余弦定理在解三角形中的应用，基本不等式求最值，综合性强，属于难题.
二、解答题
15．如图，在 中，已知sin2A－ sinA·sinC＝sin2(A＋C)－sin2C.
由正弦定理可知，在 中， ＝ ，
所以 ＝ ，所以AB＝ .
【点睛】
本题考查了正弦定理的边角互化、余弦定理解三角形，考查了基本运算求解能力，属于基础题.
16．如图，在三棱锥P－ABC中，PC平面ABC，ACBC，AC＝PC，E，F分别是PA，PC的中点．
求证：（1）AC//平面BEF；
（2）PA平面BCE．
设BC的中点为D，连结AD，过点P作PO 平面ABC，交AD于点O，
则AO=PO=R=2，AD=3，AB=BC= ，
所以 ，
所以挖去的正三棱锥的体积为 .
【点睛】
本题主要考查了组合体的结构特征，以及三棱锥的体积的计算，以及空间中线线、线面、面面位置关系等基础题知识，其中解答中根据组合体的结构特征，求得正三棱锥的底面边长和三棱锥的高，利用体积公式求解是解答的关键，着重考查了数形结合思想，以及推理与计算能力，属于中档试题.
【答案】
【解析】设BC的中点为D，连结AD，过点P作PO 平面ABC，角AD于点O，则A0=PO=R=2，AD=3，AB=BC= ，由此能求出挖去的正三棱锥的体积，得到答案.
【详解】
由题意，某中螺帽是由一个半径为R=2的半球体挖去一个正三棱锥P-ABC构成的几何体，
该正三棱锥P-ABC的底面三角形ABC内接于半球底面的大圆，顶点P在半球面上，
18．如图，在平面直角坐标系 中，已知椭圆 ，其右焦点F到其右准线的距离为1，离心率为 ，A，B分别为椭圆 的上、下顶点，过点F且不与x轴重合的直线l与椭圆 交于C，D两点，与y轴交于点P，直线 与 交于点Q.
【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析.
【解析】（1）先证明 ∥ ，再结合 平面 ， 平面 ，最后证明 ∥平面 ；
（2）先证明 ，结合 和 证明 平面 ，从而证明 ，再证明 ，最后结合 ，证明 平面 .
【详解】
（1）在△ 中， 分别是 的中点，
所以 ∥ .
又因为 平面 ， 平面 ，
所以 ∥平面 .
所以 ，即 ，所以 时，
要使得F(x)有三个不同的零点，则f( )＜0或者 ，
即 或 ，即 或 ，解得a＞ ．
又 且 ，所以 .
故答案为： .
或
【点睛】
本题考查了数形结合思想，考查了利用导数研究函数的单调性，考查了利用导数研究函数的零点，属于中档题.
14．在 中，若 ，则 的最大值为_____.
【答案】
2．已知复数 满足 (i为虚数单位)，则 ______．
【答案】5
【解析】根据复数的代数形式的四则运算法则可求出 ，再根据复数的模的计算公式即可求出．
【详解】
因为 ，所以 ，即 ．
故答案为：5．
【点睛】
本题主要考查复数的代数形式的四则运算法则和复数的模的计算公式的应用，属于容易题．
3．某工生产 、 、 三种不同型号的产品，产量之比为 ．现用分层抽样的方法抽取1个容量为 的样本，若样本中 种型号的产品有8件，则样本容量 的值为______．
喷泉区域面积的最小值为 ．
（2）由（1）知，若 ，则 ．
所以点O到 的距离 ，
点O到 的距离 ，
因为以 为直径的半圆区域在矩形广场内，
所以 即 所以 ．
又因为 ，所以 ．
所以假山区域面积 ，
因为 ，所以 ，
所以当 时，假山区域面积的最大值为 ．