初等数学研究(程晓亮、刘影)版课后习题答案教程文件

初等数学研究（程晓亮、刘影）版课后习题答案 第一章 数

1添加元素法和构造法，自然数扩充到整数可以看成是在自然数的基础上添加0到扩大的自然数集，再添加负数到整数集；实数扩充到复数可以看成是在实数的基础上构造虚数单位i 满足12-=i ，和有序实数对),(b a 一起组成一个复数

bi a +. 2（略）

3从数的起源至今，总共经历了五次扩充：

为了保证在自然数集中除法的封闭性，像b ax =的方程有解，这样，正分数就应运而生了，这是数的概念的第一次扩展，数就扩展为正有理数集.

公元六世纪，印度数学家开始用符号“0”表示零.这是数的概念的第二次扩充，自然数、零和正分数合在一起组成算术数集.

为了表示具有相反意义的量，引入了负数.并且直到17世纪才对负数有一个完整的认识，这是数的概念的第三次扩充，此时，数的概念就扩展为有理数集.

直到19世纪下半叶，才由皮亚诺、戴德金、维尔斯特拉斯等数学家的努力下构建了严格的实数理论.这是数的概念的第四次扩充，形成了实数集.

虚数作为一种合乎逻辑的假设得以引进，并在进一步的发展中加以运用.这是数学概念的第五次扩充，引进虚数，形成复数集.

4证明：设集合D C B A ,,,两两没有公共元素d c b a ,,,分别是非空有限集D C B A ,,,的基数，根据定义，若b a >，则存在非空有限集'A ，使得B A A ~'⊃；若d c ≥从而必存在非空有限集'C ，使得D C C ~'⊃，所以)(C A ⋃)(D B ⋃⊃所以集合

C A ⋃的基数c a +大于集合

D B ⋃的基数d b +，所以d b c a +>+.

5（1）解：按照自然数序数理论加法定义， 15

55555155155)25(2535''=++=++⋅=+⋅=+⋅=⋅=⋅ （2）解：按照自然数序数理论乘法定义

8

7)6(])15[()15()25(2535'''''''''===+=+=+=+=+ 6证明：︒1当2=n 时，命题成立.（反证法）

()()()()()()()0

1121,

1111

1

11,1

11101111111,,2,1,0111,,2,1,0)2(2121221212

12

12

1

2

1212

2

22

12

12

122

111

112

111212

222121≥++-+⇒

≥++-++≥

+-+-≥

++++∴≥⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-++⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛->-=-++-+-=+++++=>+=≥+++=+++=>≥=︒+++++++++++++++++k k k k k k k k k k k k k k k i k k k k k k i k k i a k a k k a k k a k k a k

a a k

a a a a a k a a a a a a a a a a a a a a a a a a k i a k n k

a a a a a a k i a k k n ，即要证由归纳假设，得，且得，，且时，由当。

。，且成立，即时假设ΛΛΛΛΛΛΛΛ7证明：︒1当8=n 时，命题成立.（538+=）

︒2设),7(N k k k n ∈>=时命题成立.

k 角邮资可能是：

（1）完全用3角的邮票来支付；（2）至少用一张5角的邮票来支付.

在（1）下，3角的邮票至少有3张.把它们换成两张5角的邮票便可支付1+k 角的邮票.

在（2）下，把一张5角的邮票换成两张3角的邮票便可以支付1+k 角的邮票.

综合︒1、︒2，命题对于不小于8的所有自然数成立. 8证明：（1）()()()32164,2133,12++==+===f f f

（2）()()()12

1

121-=

-+++=n n n n f Λ ︒1当4,3,2=n 时，命题成立.

︒2假设),7(N k k k n ∈>=时命题成立，即()()12

1

-=

k k k f .那么1+=k n 时，原k 条直线有)1(2

1

-k k 个交点.由条件知，第1+k 条直线与原k 条直线各有一个交点，

且互不相同.故新增k 个交点，所以()()()()[]1112

1

1-++=+=+k k k k f k f .

综合︒1、︒2，命题对于不小于2的所有自然数成立. 9举例：正整数集N 上定义的整除关系“|”满足半序关系.

证明：（1）（自反性）任意的正整数x ，总有x x |； （2）（反对称性）如果x y y x |,|，那么y x =；

（3）（传递性）如果z y y x |,|，那么z x |. 通常意义的小于等于也构成半序关系，同理可证.

10证明：设N M ⊆，且 ①M ∈1

②若M a ∈，则M a ∈'.

若N M ≠.

令A 是所有不属于M 的自然数组成的集合，则A 是N 的非空子集，按照最小数原理，A 中有最小数，设为b .由①知1≠b ，于是存在自然数c ，使b c ='，这样就有b c <，所以M c ∈，但根据②有M c ∈'，这与M b ∉矛盾.所以N M =. 11证明：（1）根据自然数减法定义有，c d c d b a b a =-+-+=)(),(，两式相加得：c b a b d c d a +-+=-++)()(，于是)()()()(b a c b d c d a -++=-++， 若d c b a -=-，则c b d a +=+ 若c b d a +=+，则d c b a -=-

（2）)()()(d b d c b a ++-+-c a d c d b a b +=-++-+=)()( （3）先证bc ac c b a -=-)(

事实上，由ac c b a b c b a bc =-+=-+)]([)( 可知要证明的自然数乘法对减法的分配律成立.

由此，为了证明（3），只要证明)()()()(bc ad bd ac d c b d c a +-+=---， 根据（1）上式就是)()()()(bd ac d c b bc ad d c a ++-=++- 于是只要证明ac bc bc ac +=+

显然，这个等式是成立的，所以（3）成立.

12证明：（1）根据自然数除法定义有c d

c

d b a b a =⋅⋅=,，两式相乘，得

b

a bc d c ad ⋅=⋅，所以有：若bc ad =，则d c

b a =；若d c

b a =，则b

c a

d =

（2）bc ad d c

d b b a b d d c b a bd +=⋅+⋅=+)()()(，根据除法定义，（2）成立.

（3）ac d c

d b a b d c b a bd =⋅⋅=⋅))(()(，根据除法定义，（3）成立.

13证明：'''''''')()(n m m n m n n m +=+=+=+.