相似三角形的判定预备定理
相似三角形的判定定理
(一)相似三角形1、定义：对应角相等，对应边成比例的两个三角形，叫做相似三角形．2、相似三角形对应边的比叫做相似比．3、相似三角形的预备定理：平行于三角形的一条边直线，截其它两边所在的直线，截得的三角形与原三角形相似． 强调：①定理的基本图形有三种情况，如图其符号语言： ∵DE ∥BC ，∴△ABC ∽△ADE ；②这个定理是用相似三角形定义推导出来的三角形相似的判定定理．它不但本身有着广泛的应用，同时也是证明相似三角形三个判定定理的基础，故把它称为“预备定理”； ③有了预备定理后，在解题时不但要想到 “见平行，想比例”，还要想到“见平行，想相似”．(二)相似三角形的判定 1、相似三角形的判定：判定定理1：如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似。
可简单说成：两角对应相等，两三角形相似。
例1、已知：如图，∠1=∠2=∠3，求证：△ABC ∽△ADE ．例2、如图，E 、F 分别是△ABC 的边BC 上的点，DE ∥AB,DF ∥AC , 求证：△ABC ∽△DEF.ABCDEF判定定理2：如果三角形的两组对应边的比相等，并且相应的夹角相等，那么这两个三角形相似。
简单说成：两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似．例1、△ABC中，点D在AB上，如果AC2=AD•AB，那么△ACD与△ABC相似吗？说说你的理由．例2、如图，点C、D在线段AB上，△PCD是等边三角形。
（1）当AC、CD、DB满足怎样的关系时，△ACP∽△PDB？（2）当△ACP∽△PDB时，求∠APB的度数。
判定定理3：如果三角形的三组对应边的比相等，那么这两个三角形相似。
简单说成：三边对应成比例，两三角形相似．强调：①有平行线时，用预备定理；②已有一对对应角相等(包括隐含的公共角或对顶角)时，可考虑利用判定定理1或判定定理2；③已有两边对应成比例时，可考虑利用判定定理2或判定定理3．但是，在选择利用判定定理2时，一对对应角相等必须是成比例两边的夹角对应相等．2、直角三角形相似的判定：斜边和一条直角边对应成比例，两直角三角形相似．例1、已知：如图，在正方形ABCD中，P是BC上的点，且BP＝3PC，Q是CD的中点．求证：△ADQ∽△QCP．例2、如图,AB ⊥BD,CD ⊥BD,P 为BD 上一动点,AB=60 cm,CD=40 cm,BD=140 cm,当P 点在BD 上由B 点向D 点运动时,PB 的长满足什么条件,可以使图中的两个三角形相似?请说明理由.例3、已知：AD 是Rt △ABC 中∠A 的平分线，∠C =90°，EF 是AD 的垂直平分线交AD 于M ，EF 、BC 的延长线交于一点N 。
相似三角形(预备定理)
例。
步骤3
03
根据步骤1和步骤2，得出两个三角形相似的结论。
感谢您的观看
THANKS
性质
相似三角形预备定理具有传递性 、反身性和对称性，即如果两个 三角形相似，则它们的对应边和 对应角都成比例。
预备定理的重要性
基础性
相似三角形预备定理是三角形相似判 定定理的基础，对于理解三角形相似 的概念和性质至关重要。
应用广泛
在几何学、三角函数、解析几何等领 域中，相似三角形预备定理都有广泛 的应用。
等，则这两个三角形相 似。
具体来说，如果$angle A = angle A'$、$angle B = angle B'$、$angle C = angle C'$，则三角形ABC与三角形A'B'C'相 似。
边边判定法
如果两个三角形的三组对应边成比例，则这两个三角形相似。
相似三角形(预备定理)
目录
• 相似三角形预备定理的定义 • 相似三角形的判定方法 • 相似三角形的性质 • 相似三角形在几何中的应用 • 相似三角形的实际应用 • 相似三角形预备定理的证明
01
相似三角形预备定理的定义
定义与性质
定义
相似三角形预备定理是指，如果 两个三角形有两边对应成比例， 且夹角相等，则这两个三角形相 似。
离与实际距离之间的关系。
地形表示
在地图上表示地形起伏时，可以使 用相似三角形来表示不同高度之间 的相对关系。
地理位置定位
在地图上确定地理位置时，可以使 用相似三角形来确定两点之间的相 对位置和距离。
在物理学中的应用（光的折射、反射等）
光学仪器设计
在设计和制造光学仪器（如望远镜和显微镜）时，需要使 用相似三角形来计算透镜的形状和位置，以确保光线正确 地折射和聚焦。
湘教版九年级数学上册《相似三角形判定 》知识全解
《相似三角形判定》知识全解
课标要求
理解相似三角形几种判定，并能简单地应用．
知识结构
内容解析
（1）相似三角形判定预备定理：平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似．
（2）相似三角形判定1：如果两个三角形的三组对应边的比相等，那么这两个三角形相似．
（3）相似三角形判定2：如果两个三角形的两组对应边的比相等，并且相应的夹角相等，那么这两个三角形相似．
（4）相似三角形判定3：如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似．
重点难点
本节的重点是：三角形相似的判定方法及其应用．
难点：探究两个三角形相似判定方法的过程．
教法导引
（1）注重将新知识与旧知识进行联系与类比．
培养学生的观察﹑发现﹑比较﹑归纳能力，感受两个三角形相似的判定方法与全等三角形判定方法的区别与联系，体验事物间特殊与一般的关系．
复习全等三角形判定方法SSS与SAS，类比全等三角形判定方法SSS与SAS，提出两个三角形相似的两个判定．
（2）让学生经历从实验探究到归纳证明的过程，发展学生的合情推理能力．
教学活动的本质是一种合作，一种交流．学生是数学学习的主人，教师是数学学习的组织者、引导者与合作者，本节课主要采用自主学习，合作探究，引领提升的方式展开教学．依据学生的年龄特点和已有的知识基础，本节课注重加强知识间的纵向联系，加强与全等三角形相关内容的联系，使学生的学习形成正迁移．
学法建议
新的教学理念要求在课堂中注重探究学习，在本课中，其实有许多内容可以进行这方面的尝试．如何进行判定三角形相似呢？可以让学生进行探究和归纳．若能在探究的基础上归纳出方法，学习的效果会提高很多，学习的能力也会不断提高．。
3.4.1相似三角形的判定定理3
B AC 1 ∠C =∠C ′= 90°，且 A AB AC 2 求证：△ ABC∽△ABC.
还可以根据相似三角形 的判定定理2，来证明这两 个直角三角形相似.
练习 1.如图,O为△ABC内一点，D、E、F
分别是OA、OB、OC中点. 求证：△ABC∽△DEF.
= 4 BC 2 =(2 BC )2. 由此得出，BC = 2BC .
BC 1 AB AC . 从而 BC 2 AB AC
因此△ AB C ∽△ABC.
(三边对应成比例的两个三角形相似)
说一说
在例2的证明中，还可以根据哪个判定定理说明 △ ABC ∽ △ABC ？
AD AE DE AB AC BC AD AB A B AE DE AB AC BC A ' B ' A ' C ' BC AB AC BC ∴ AE= A'C', DE= B'C',
A
A'
D B' C' B E
C
∴△A'B'C' ≌ △ADE ∴ △A'B'C' ∽ △ABC
证明： E O
A D F
B
C
D, E , F 分别为OA,OB,OC的中点， 1 1 1 DE = AB , EF BC , DF AC . 2 2 2 DE EF DF 1 . AB BC AC 2 △ABC∽△DEF.
练习
AB AC BC 2.如图， = = , AD AE DE
AB AC 1 ∠C =∠C ′= 90°，且 AB AC 2
6、《相似三角形的判定预备定理
•不经历风雨，怎么见彩虹 •没有人能随随便便成功!
又∵∠A= ∠A ∴△ADE∽△ABC
定理：平行于三角形一边的直线和其他两边（或 两边的延长线）相交, 截得 的三角形与原三角形 相似 （注：这个定理称为相似三角形预备定理）
平行于三角形一边的直线与其它两边(或延长线)相交, 相似 所得的三角形与原三角形________.
“A”型
A
D B
（图1）
“X”型
300
450
探究
如图,在△ABC 中，D为AB上任意一点，过点D作BC的平行线 交AC于点E,那么△ADE与△ABC有相似吗?说明理由. 相似 证明:过点D作AC的平行线，交BC于点F. AD AE ∵ DE//BC ∵DF∥AC ∴ AB AC
∵DBFE是平行四边形
A
D B
F
∴DE=FC
E
C
D O E
E C
B （图2） C
1、如图,已知EF∥CD∥AB，请尽可 练习： 能多地找出图中的相似三角形，并 说明理由。 O
E
F
1. EF∥AB 2.EF∥CD 3.AB∥CD
或：
Δ OEFF∽Δ OCD Δ OAB∽Δ OCD
三角形相似具有
传递性!
Δ OEF∽Δ OAB Δ OEF∽Δ OCD
△ADE∽△ABC （2）
∴AC=AE+EC=80cm ∵BC=70cm ∴
相似三角形的定义 相似比的性质 相似三角形判定的预备定理
巩固练习：课本第72页练习题
作业： AB上任意一点D，作
1.如图、过△ABC的边
DE∥BC交AC于点E，求证 2.如图，DE∥BC， （1）如果AD=2，DB=3，求DE:BC的值； （2）如果AD=8，DB=12，AC=15，DE=7， 求AE和BC的长．
九年级数学上册《相似三角形判定的预备定理》教案、教学设计
三、教学重难点和教学设想
（一）教学重难点
1.理解并掌握相似三角形的定义，能够准确识别相似三角形。
2.掌握相似三角形的判定方法，特别是预备定理的应用。
3.学会运用相似三角形的性质解决实际问题，如计算未知长度、证明线段平行等。
九年级数学上册《相似三角形判定的预备定理》教案、教学设计
一、教学目标
（一）知识与技能
在本章节《相似三角形判定的预备定理》的教学中，学生将掌握以下知识与技能：
1.理解并掌握相似三角形的定义，能够准确区分和识别相似三角形。
2.掌握并运用相似三角形的判定方法，如AA、SSS、SAS等，能够解决实际问题。
3.学会使用相似三角形的性质进行问题求解，如对应边成比例、对应角相等等。
2.相似三角形的判定方法：
- AA（角角相似）：如果两个三角形中有两组角对应相等，则这两个三角形相似。
- SSS（边边相似）：如果两个三角形的三组对应边成比例，则这两个三角形相似。
- SAS（边角相似）：如果两个三角形中有两组对应边成比例且夹角相等，则这两个三角形相似。
3.相似三角形的性质：
-对应角相等，对应边成比例。
5.培养学生的创新意识，鼓励他们在学习过程中提出不同的观点和解决问题的方法，培养他们的创新思维。
二、学情分析
九年级的学生已经具备了一定的几何基础，他们已经掌握了三角形的基本概念、全等三角形的判定及应用等知识。在此基础上，本章节《相似三角形判定的预备定理》的学习，对学生来说既是对已有知识的巩固，也是对几何思维能力的进一步提升。学生在这个阶段，正处于形象思维向抽象思维过渡的关键时期，他们对几何图形的观察、分析、推理能力有待加强。因此，在教学过程中，教师需关注以下学情：
九年级数学上册《相似三角形判定的预备定理》优秀教学案例
3.撰写一篇学习心得，总结自己在学习相似三角形过程中的收获和体会。
五、案例亮点
1.生活化的情景创设，激发学生学习兴趣
本案例以学生熟悉的生活场景为背景，将相似三角形的知识与实际生活相结合，让学生在轻松愉快的氛围中感受几何学的魅力。这种情景创设不仅有助于激发学生的学习兴趣，还能提高他们运用几何知识解决实际问题的能力。
4.通过课堂练习、课后作业和小组讨论等多种形式，巩固所学知识，提高学生的几何解题技巧。
（三）情感态度与价值观
1.培养学生对几何学的兴趣，激发他们探索数学知识的热情，树立学好数学的信心。
2.通过对相似三角形判定方法的学习，让学生认识到几何知识在生活中的重要性，提高他们对数学学科的价值认同。
3.培养学生的耐心和毅力，使他们学会面对困难和挑战时，保持积极的心态，勇于克服问题。
4.反思与评价，促进学生的自我提升
在教学过程中，本案例注重学生的反思与评价，让学生在学习过程中不断总结自己的优点和不足，为后续学习制定合理的学习计划。这种教学策略有助于提高学生的自主学习能力和自我提升意识。
5.重视知识的应用与拓展，提升学生的数学素养
本案例在教授相似三角形判定方法的基础上，强调其在实际问题中的应用，引导学生将所学知识拓展到生活实际和其他几何知识中。这种教学方式有助于提高学生的数学素养，培养他们运用几何知识解决复杂问题的能力。
在小组合作过程中，学生可以相互交流思路、分享经验，共同解决问题。同时，我会引导学生在小组内进行角色分工，确保每个成员都能积极参与，发挥自己的优势，共同为完成学习任务贡献力量。
（四）反思与评价
教学反思是提高教学效果的重要手段。在本章节的教学结束后，我将组织学生进行反思与评价，总结自己在学习相似三角形判定方法过程中的收获和不足。
2721相似三角形的判定(1)(预备定理)PPT课件
A'B'C'与AB的 C 相似比 1. 为
A'
B'
k
（相似三角形的定义可以作为 三角形相似的一种判定方法）
6
L1 L2
A
D
B
E
C
F
请说出其中的对应线段!
L3 L4 L5
7
三条平行线截两条直线,所得的对应线段的比相等.
定理的符号语言 L1 L2
L3//L4//L5
A
D
L3
B
E
AB
DE
=
C
L4 F
L5
1
观察回顾：
相似多边形的判定：
对应角相等，对应边的比相等 的两个多边形为相似多边形。
两个条件要 同时具备
2
问题1：这两个三角形是否为 相似形？
对应角……？ 对应边……？
3
相似三角形定义：我们把对应角相
等、对应边成比例的两个三角形叫做 相似三角形。
4
△ABC与△ A'B'C'相似
C
表示为：
△ABC∽△ A'B'C'
A B
C/
读作：
△ABC相似于△ A'B'C' A/'
B/
注意 在写两个三角形相似时应
把表示对应顶点的字母写在对 应的位置上。
5
相似三角形定义用符号语言表示：
∵∠A= ∠A' 、∠B= ∠B' 、∠C=C'
C
ABBCCAk A'B' B'C' C'A'
A
B ∴ △ABC∽△A'B'C'
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ASA
制作钟岳梨
2018年10月31日星期三
回 顾
制作钟岳梨
3.4 §相似三角形的判定
2018年10月31日星期三
1
E
D
A
)2
B
C
小 结
制作钟岳梨
2018年10月31日星期三
9
平行关系就能得出三角形相似。
应 用
制作钟岳梨
3.4 §相似三角形的判定
2018年10月31日星期三
1
例2 已知：如图是一束光线射入室内的平面图，上檐边缘射入的 光线照在距窗户2.5m处，已知窗户AB高为2m，B点距地面高为 1.2m，求下檐光线的落地点N与窗户的距离NC.
D D B
等吗？为什么？ ②△ADE与△ABC的边长是否对应 成比例？为什么？
③△ADE与△ABC相似吗？
E E C
④平行移动DE的位置，两三角形还相似吗？
结 论
制作钟岳梨
3.4§预备定理
相似三角形的判定的
2018年10月31日星期三
Байду номын сангаас
5
平行于三角形一边的直线与其他两边(或两边 的延长线)相交,截得的三角形与原三角形相似.
定理
DE ∥ BC ADE ∽ ABC
例1.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°.正方形EFCD
例 题
制作钟岳梨
2018年10月31日星期三
7
的三个顶点E，F，D分别在边AB，BC，AC上.已知 AC=7.5，BC=5，求正方形的边长.
例 题
制作钟岳梨
例2：如图，点D为△ABC的边AB的中点，过点D作DE∥BC，
C′
A A ,B B ,C C
烦，有没有更简洁的办法呢？
探 索
制作钟岳梨
只须平行关系就能得出三角形相似。
定理如何被人们发现的：
§相似预备定理 3.4
2018年10月31日星期三
3
如图△ABC中，D，E为中点。显然DE∥BC
A
①△ADE与△ABC的三个角分别相
回 顾
制作钟岳梨
一、什么叫中位线？ 二、中位线定理
2018年10月31日星期三
1
连接三角形两边中点的线段叫中位线 三角形的中位线平行且等于第三边的一半
三、平行线分线段成比例定理的推论 平行于三角形一边的直线截其它两边（或其 E D 它两边的反向延长线），所得到线段对应成 A. 比例 已知平行就有线段成比例 四、结合两图，若DE平行BC，写出“上比下” B. .C AD AE AB AC
回 顾
制作钟岳梨
相似三角形的判定
先回顾全等三角形的判定
2018年10月31日星期三
1
一、定义（什么全等三角形？）
三边对应相等，三角对应相等的两个三角形全等
二、全等三角形的判定方法（满足什么样条件的两三角形全等？）
三边对应相等
SSS SAS
两边及其夹角对应相等 二角与一边对应相等
AAS
导 入
制作钟岳梨
3.4 §相似三角形的判定
2018年10月31日星期三
２
一、相似三角形的定义：
三边对应成比例，三角对应相等的两个三角形相似
A′
二、要证明两个三角形相似，必须证以下条件成立 A
AB BC CA AB BC C A
B
△ABC ∽△A'B'C'
C B′
2018年10月31日星期三
8
交边AC于点E.延长DE至点F，使DE=EF.求证：△CFE∽△ABC.
解：因为DE ∥ BC 所以：ADE ∽ ABC AD AE 因为： 且AD BD BD EC 所以：AE EC 在ADE与CFE中 1 2 所以△ADE≌△CFE（SAS） DE EF 即：△CFE∽△ABC AE EF