内蒙古赤峰市平煤高中2019届高三第一次学情测试

2019年高三第一次学情测试一、选择题（本大题共8个小题，每小题5分，共40分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

） 1．已知集合},2||0|{},1,lg |{Z x x x B x x y y A ∈≤<=>==则下列结论正确的是（ ） A ．}1,2{--=B A B ．}0|{<=x x B AC ．}0|{≥=x x B AD ．}2,1{=B A2．已知)2009(,0)(log 0)5()(2f x x x x f x f 则⎩⎨⎧<≥-=等于 （ ）A ．0B ．－1C ．2D ．1 3．“x>1”是“x x >2”成立的（ ）A ．充要条件B ．必要不充分条件C ．充分不必要条件D ．既不充分又不必要条件4．x x x y 2cos 32sin)2sin(sin ππ++=的最大值 和最小正周期分别是 （ ）A ．231+ B ．2，2πC ．2，2πD ．1，2π5．已知实数x ，y 满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≤-≤≥021y x y x 则y x z -=2的取值范围是（ ）A ．[1，2]B ．[0，2]C ．[1， 3]D ．[0，1] 6．设|)7||3lg(|,++-<∈x x a R x 如果恒成立，那么 （ ）A ．1≥aB ．a>1C ．10≤<aD ．a<17．若nxx )21(+的展开式中的二项式系数之和为256，则展开式中x 4的系数为 （ ）A ．6B ．7C ．8D ．9 8．如右图，在平面直角坐标系xoy 中，A （1，0），B （1，1），C （0，1），映射f 将xOy 平面上的点P （x ，y ）对应到另一个平面直角坐标系uo ′v 上的点P ′（2xy ，x 2 – y 2），则当点P 沿着折线A —B —C 运动时，在映射f 的作用下，动点P ′的轨迹是 （ ）二、填空题（本大题共7个小题，每小题5分，共35分，请把答案填在题中横线上） 9．函数)1()(≥-=x x x f 的反函数是 ．10．某单位青年、中年、老年职员的人数之比为10：8：7，从中抽取200 名职员作为样本，若每人被抽取的概率为0．2，则该单位青年职员的人数为____________．11．从颜色不同的5 个球中任取4 个放入3 个不同的盒子中，要求每个盒子不空，则不同的方法总数为____________．（用数字作答） 12．设γβα,,是三个不重合的平面，l 是直线，给出下列四个命题：①若αββα//,,l l 则⊥⊥；②若βαβα⊥⊥则,//,l l ；③若l 上有两点到α的距离相等，则l //α； ④若βγγαβα⊥⊥则,//,．其中正确命题的序号是____________．13．已知函数)(x f 是R 上的偶函数，且在（0，+∞）上有f '（x ）> 0，若f （－1）= 0，那么关于x 的不等式x f （x ）< 0 的解集是____________．14．设向量),1,1(2),3,3(,-=-=θ若直线082=--y x 沿向量平移，所得直线过双曲线122222=-y m x 的右焦点，（i ）θcos =（ii ）双曲线12222=-y m x 的离 心率e= ． 15．对正整数n ，设曲线2)1(=-=x x x y n在处的切线与y 轴交点的纵坐标为n a ，（i ）n a =（ii ）数列}1{+n a n的前n 项和S n = 三、解答题（本大题共6 个小题，共75 分，解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．） 16．（本小题满分12 分）已知函数a x x x x f ++-++=cos )6sin()6sin()(ππ的最大值为1．（1）求常数a 的值；（2）求)(x f 的单调递增区间；（3）求)(x f ≥ 0 成立的x 的取值集合．17．（本小题满分12 分） 从甲地到乙地一天共有A 、B 两班车，由于雨雪天气的影响，一段时间内A 班车正点到达乙地的概率为0．7，B 班车正点到达乙地的概率为0．75。

（1）有三位游客分别乘坐三天的A 班车，从甲地到乙地，求其中恰有两名游客正点到达的概率（答案用数字表示）。

（2）有两位游客分别乘坐A 、B 班车，从甲地到乙地，求其中至少有1 人正点到达的概率（答案用数字表示）。

18．（本小题满分12 分）已知{n a }是整数组成的数列，a 1 = 1，且点*))(,(1N n a a n n ∈+在函数12+=x y 的图象上，（1）求数列{n a }的通项公式；（2）若数列{n b }满足1b = 1，n an n b b 21+=+，求证：212++<⋅n n n b b b19．（本小题满分13 分） 如图（1）是一正方体的表面展开图，MN 和PB 是两条面对角线，请在图（2）的正方体中将MN 和PB 画出来，并就这个正方体解决下面问题。

（1）求证：MN//平面PBD ； （2）求证：AQ ⊥平面PBD ；（3）求二面角P —DB —M 的大小．20．（本题满分13 分） 已知椭圆的右焦点F 与抛物线y 2 = 4x 的焦点重合，短轴长为2．椭圆的右准线l 与x 轴交于E ，过右焦点F 的直线与椭圆相交于A 、B 两点，点C 在右准线l 上，BC//x 轴． （1）求椭圆的标准方程，并指出其离心率； （2）求证：线段EF 被直线AC 平分． 21．（本题满分13 分）已知函数)(,1)(23R a ax x x f ∈++-=（1）若在)(x f 的图象上横坐标为32的点处存在垂直于y 轴的切线，求a 的值； （2）若)(x f 在区间（-2，3）内有两个不同的极值点，求a 取值范围；（3）在（1）的条件下，是否存在实数m ，使得函数1)2(5)(234+-+-=x m x x x g 的图象与函数)(x f 的图象恰有三个交点，若存在，试出实数m 的值；若不存在，说明理由．参考答案一、选择题（每小题5 分，共40 分） DACDA DBA二、填空题（每小题5 分，共35分）9．)1(2-≤=x x y 10．400 11．180 12．②④ 13．)1,0()1,(⋃--∞14．（i ）10103（3分） （ii ）332（2分） 15．（i ）nn 2)1(+（3分）； （ii ）221-+n （2分）16．（1）a x x x f ++=cos 6cos sin 2)(πa x a x x ++=++=)6sin(2cos sin 3π当,1)6sin(时=+πx.1,12)(max -==+=a a x f 所以 ……………………4分（2）令,,22622Z k k x k ∈+≤+≤-πππππ ………………6分解得：Z k k x k ∈+≤≤-,32322ππππ所以，)(x f 的单调递增区间是.],32,322[Z k k k ∈+-ππππ…………8分（3）由21)6sin(0)(≥+≥πx x f 得，……………………10分所以，,,652662Z k l x k ∈+≤+≤+πππππ解得：Z k k x k ∈+≤≤,3222πππ所以，x x f 成立的0)(≥的取值集合},3222|{Z k k x k x ∈+≤≤πππ……12分17．解：（1）坐A 班车的三人中恰有2 人正点到达的概率为P 3（2）= C 230．72×0．31 = 0．441 ……………………（6 分）（2）记“A 班车正点到达”为事件M ，“B 班车正点到达冶为事件N 则两人中至少有一人正点到达的概率为 P = P （M ·N ）+ P （M ·N ）+ P （M ·N ）= 0.7 ×0.75 + 0.7 ×0.25 + 0.3 ×0.75 = 0.525 + 0.175 + 0.225 = 0.925 （12 分）18．解：由已知得,11+=+n n a a 所以数列{n a }是以1为首项，公差为1的等差数列；（2分） 即n a =1+n n =⋅-1)1(…………………………4分 （2）由（1）知n a n n nb b 221==-+ ……………………6分112211)()()(b b b b b b b b n n n n n +-++-+-=---12222321+++++=--- n n n122121-=--=n n…………………………8分212212)12()12)(12(----=-++++n n n n n n b b b022425<-=⋅+⋅-=n n n ……………………10分所以：212++<⋅n n n b b b …………………………12分19．解：M 、N 、Q 、B 的位置如右图示。

（正确标出给1分） （1）∵ND//MB 且ND=MB ∴四边形NDBM 为平行四边形 ∴MN//DB ………………3分∴BD ⊆平面PBD ，MN PBD 平面⊄∴MN//平面PBD ……………………4分（2）∵QC ⊥平面ABCD ，BD ⊂平面ABCD ， ∴BD ⊥QC ……………………5分 又∵BD ⊥AC ，∴BD ⊥平面AQC …………………………6分 ∵AQ ⊂面AQC∴AQ ⊥BD ，同理可得AQ ⊥PB ， ∵BD PD=B ∴AQ ⊥面PDB ……………………………8分 （3）解法1：分别取DB 、MN 中点E 、F 连结 PE 、EF 、PF ………………9分∵在正方体中，PB=PB∴PE ⊥DB ……………………10分 ∵四边形NDBM 为矩形 ∴EF ⊥DB∴∠PEF 为二面角P —DB —M 为平面角…………11分 ∵EF ⊥平面PMN ∴EF ⊥PF设正方体的棱长为a ，则在直角三角形EFP 中∵a PF a EF 22,==∴22tan ==∠EF PF PEF 22arctan=∠PEF …………………………13分解法2：设正方体的棱长为a ，以D 为坐标原点建立空间直角坐标系如图： 则点A （a,0，0），P （a,0,a ），Q （0,a,a ）…………9分 ∴),,(),0,,(a a a a a -=-=………………10分 ∵PQ ⊥面DBM ，由（2）知AQ ⊥面PDB∴,分别为平面PDB 、平面DBM 的法向量……………………12分∴,cos PQ AQ >=<363222=⋅=aa a∴22arctan ,,22,tan >=<>=<………………13分 20．解：（1）由题意，可设椭圆的标准方程为)0(12322>>=+b a by a x ……1分x y 42= 的焦点为F （1，0）,22,1==∴b c 又,2,1222=+==∴c b a b ……………………3分所以，椭圆的标准方程为.1222=+y x其离心率为22=e ……………………5分 （2）证明：∵椭圆的右准线1的方程为：x=2， ∴点E 的坐标为（2， 0）设EF 的中点为M ，则)0,23(M 若AB 垂直于x 轴，则A （1，y 1），B （1，－y 1），C （2，－y 1） ∴AC 的中点为)0,23(N∴线段EF 的中点与AC 的中点重合，∴线段EF 被直线AC 平分，…………………………6分 若AB 不垂直于x 轴，则可设直线AB 的方程为),(),,(,0),1(2211y x B y x A k x k y -≠-=则),2(2y C -…………………………7分把12)1(22=+-=y x x k y 代入 得.0)1(24)21(2222=-+-+k x k x k ………………8分则有2221222121)1(2,214kk x x k k x x +-=+=+………………9分 ∴23)1(231111--=-=x x k x y k AM ).1(2232,32)1(22211-=-=--=x k yk x x k CM ……………………10分∵)3(232)1()1(21121-----=-x x x x kk k CM AM03242)(3212121=---+=x x x x x k∴,CM AM k k =∴A 、M 、C 三点共线，即AC 过EF 的中点M ，∴线段EF 被直线AC 平分。