等效法处理重力场和电场的复合场问题(可编辑修改word版)
高考典型例题：等效重力场
运用等效法巧解带电粒子在匀强电场中的运动一、等效法将一个过程或事物变换成另一个规律相同的过程和或事物进行分析和研究就是等效法。
中学物理中常见的等效变换有组合等效法（如几个串、并联电阻器的总电阻）；叠加等效法（如矢量的合成与分解）；整体等效法（如将平抛运动等效为一个匀速直线运动和一个自由落体运动）；过程等效法（如将热传递改变物体的内能等效为做功改变物体的内能）概念的全面类比为了方便后续处理方法的迁移，必须首先搞清“等效重力场”中的部分概念与复合之前的相关概念之间关系。
具体对应如下： 等效重力场重力场、电场叠加而成的复合场 等效重力重力、电场力的合力 等效重力加速度等效重力与物体质量的比值 等效“最低点”物体自由时能处于稳定平衡状态的位置 等效“最高点”物体圆周运动时与等效“最低点”关于圆心对称的位置 等效重力势能等效重力大小与物体沿等效重力场方向“高度”的乘积二、题型归类（1）单摆类问题（振动的对称性）例1、如图2-1所示`，一条长为L 的细线上端固定在Ｏ点，下端系一个质量为m 的小球，将它置于一个很大的匀强电场中，电场强度为Ｅ，方向水平向右，已知小球在Ｂ点时平衡，细线与竖直线的夹角为α。
求：当悬线与竖直线的夹角为多大时，才能使小球由静止释放后，细线到竖直位置时，小球速度恰好为零？运动特点：小球在受重力、电场力两个恒力与不做功的细线拉力作用下的运动，对应联想：在重力场只受重力与细线拉力作用下的运动的模型：单摆模型。
等效分析：对小球在B 点时所受恒力力分析（如图2-2），将重力与电场力等效为一个恒力，将 其称为等效重力可得：αcos mgg m ='，小球就做只受“重力”mg ′与绳拉力运动，可等效为单摆运动。
规律应用：如图2-3所示，根据单摆对称运动规律可得，B 点为振动的平衡位置，竖直位置对应小球速度为零是最大位移处，另一最大位移在小球释放位置，根据振动对称性即可得出，当悬线与竖直线的夹角满足αβ2=，小球从这一位置静止释放后至细线到竖直位置时，小球速度恰好为零。
等效法处理重力场和电场的复合场问题
等效法处理重力场和电场的复合场问题作者：赵鹏飞来源：《理科考试研究·高中》2014年第11期物体仅在重力场中的运动是最常见、最基本的运动，但是对处在匀强电场中的带电物体而言，它的周围不仅有重力场，还有匀强电场，同时研究这两种场对物体运动的影响，问题就会变得复杂一些.此时，若能将重力场与电场合二为一，用一个全新的“复合场”（可形象称之为“等效重力场”）来代替，不仅能得到“柳暗花明”的效果，同时也是一种思想的体现.那么，如何实现这一思想方法呢？一、概念的全面类比为了方便后续处理方法的迁移，必须首先搞清“等效重力场”中的部分概念与之前的相关概念之间关系.具体对应如下：等效重力场是重力场、电场叠加而成的复合场等效重力是重力、电场力的合力等效重力加速度等于等效重力与物体质量的比值等效“最低点”是物体自由时能处于稳定平衡状态的位置等效“最高点”是物体圆周运动时与等效“最低点”关于圆心对称的位置等效重力势能等于等效重力大小与物体沿等效重力场方向“高度”的乘积二、等效重力场中的典型模型1.类平抛运动例1如图1所示，倾角α=37°的光滑绝缘斜面处于水平向右的匀强电场中，电场强度E=103N/C，有一个质量为m=3×10-3kg的带电小球，以速度v=1 m/s沿斜面匀速下滑，求：（1）小球带何种电荷？电荷量为多少？（2）在小球匀速下滑的某一时刻突然撤去斜面，此后经t=0.2 s小球的位移是多大？（g取10 m/s2）解析（1）由于小球匀速运动，所受重力与电场力的合力和斜面对小球的支持力平衡，如图2可知，小球必带正电，且tanα=Eqmg，所以；q=mgtanαE=2.25×10-5C.从“等效重力场”观点看，实际上就是小球所受等效重力与斜面对小球的支持力平衡，故等效重力大小、等效重力加速度大小可分别表示为G′=mg′=mgcosα、g′=gcosα.（2）撤去斜面后，小球仅受等效重力作用，且具有与等效重力方向垂直的初速度，所以小球做类平抛运动，处理的基本方法是运动的分解.如图3，小球在x轴方向做匀速直线运动，在y轴方向做“自由落体运动”，则有x=vty=12g′t2，其中v=1 m/s， t=0.2 s，g′=gcosα=1045m/s2=12.5 m/s2.解得y=0.25 m，所以t=0.2 s内的总位移大小为s=x2+y2=0.32 m.考虑到分析习惯，实际处理时可将上述示意图顺时针转过α角，让小球的运动和重力场中的平抛运动更接近.2.单摆类问题例2如图4所示，一条长为L的细线，上端固定，下段拴一质量为m的带电小球，将它置于一匀强电场中，电场强度大小为E，方向水平向右.已知当细线偏离竖直位置的夹角为α时，小球处于平衡状态，如果使细线的偏转角由α增大到φ，然后将小球由静止开始释放，则：（1）φ应为多大，才能使细线到达竖直位置时小球的速度恰好为零？（2）若α≤5°，那么（1）问中带电小球由静止释放至到达竖直位置需要多少时间？解析（1）从“等效重力场”观点看，小球原来的平衡位置是它的等效“最低点”，初始释放点M和几何最低点N是小球在等效“最低点”两侧做机械振动的两个端点，如图4所示，它们应该关于等效“最低点”对称，所以φ=2α；（2）α≤5°时，小球的振动可近似看成简谐运动，由静止释放至到达竖直位置需要的时间为周期的一半，即t=T2=2πLg′2=πLg′其中g′=G′m=mgcosαm=gcosα，所以小球从释放至第一次到达竖直位置的时间为t=πLcosαg.与传统的处理方法相比较，等效重力场法回避了复杂的数学表达式化简和三角函数变换的过程，达到了事半功倍的效果.3.竖直平面内圆周运动例3光滑绝缘的圆形轨道竖直放置，半径为R，在其最低点A处放一质量为m的带电小球，整个空间存在匀强电场，小球受到的的电场力大小为33mg，方向水平向右，现给小球一个水平向右的初速度v0，使小球沿轨道向上运动，若小球刚好能做完整的圆周运动，求v0大小.解析小球同时受到重力和电场力作用，可认为小球处在等效重力场中.小球所受的等效重力大小为G′=mg′=（mg）2+（33mg）2=233mg，其中g′=233g，且如图5又有tanθ=33mgmg=33，即θ=30°，也就是等效重力的方向与竖直方向成30°.故图6中B为等效“最低点”，C为等效“最高点”.小球能做完整圆周运动的临界条件是恰能通过等效“最高点”C，在C点等效重力提供向心力，即Fn=G′=mv2cR，可得vc=g′R=233gR，对小球从A运动到C的过程应用动能定理-mg′（R+Rcosθ）=12mv2c-12mv20.代入相关物理量解得 v0=2（3+1）gR此处，借助等效重力势能的概念使用等效机械能守恒定律也可以求解，不过需要准确理解等效重力场中“参考面”和“高度”的含义.。
用等效法解决带电体在电场
用等效法解决带电体在电场、重力场中的运动等效思维方法是将一个复杂的物理问题，等效为一个熟知的物理模型或问题的方法。
带电粒子在匀强电场和重力场组成的复合场中做圆周运动的问题，是高中物理教学中一类重要而典型的题型。
对于这类问题，若采用常规方法求解，过程复杂，运算量大。
若采用“等效法”求解，则能避开复杂的运算，过程比较简捷。
先求出重力与电场力的合力，将这个合力视为一个“等效重力”，将a ＝F 合m 视为“等效重力加速度”。
再将物体在重力场中的运动规律迁移到等效重力场中分析求解即可。
[典例] 如图6-4-12所示，绝缘光滑轨道AB 部分为倾角为30°的斜面，AC 部分为竖直平面上半径为R 的圆轨道，斜面与圆轨道相切。
整个装置处于电场强度为E 、方向水平向右的匀强电场中。
现有一个质量为m 的小球，带正电荷量为q ＝3mg3E，要使小球能安全通过圆轨道，在O 点的初速度应满足什么条件？图6-4-12[思路点拨](1)试分析小球的受力情况，画出受力分析图。
提示：(2)小球在斜面上做什么运动？要使小球能安全通过圆轨道，那么临界状态是什么情况？提示：小球在斜面上做匀速直线运动；在圆轨道上临界状态是恰好能过“等效最高点”。
[解析] 小球先在斜面上运动，受重力、电场力、支持力，然后在圆轨道上运动，受重力、电场力、轨道作用力，如图所示，类比重力场，将电场力与重力的合力视为等效重力mg ′，大小为mg ′＝(qE )2＋(mg )2＝23mg 3，tan θ＝qE mg ＝33，得θ＝30°，等效重力的方向与斜面垂直指向右下方，小球在斜面上匀速运动。
因要使小球能安全通过圆轨道，在圆轨道的“等效最高点”(D 点)满足“等效重力”刚好提供向心力，即有：mg ′＝m v D 2R ，因θ＝30°与斜面的倾角相等，由几何关系知AD ＝2R ，令小球以最小初速度v 0运动，由动能定理知：－2mg ′R ＝12m v D 2－12m v 02解得v 0＝ 103gR3，因此要使小球安全通过圆轨道，初速度应满足v ≥ 103gR3。
等效法处理带电粒子在电场和重力场中的运动
度垂直时，速度最小.设F合与竖直方向夹角为θ，
则 tan θ＝mEqg＝43，则 θ＝37°，故 F 合＝sinE3q7°＝54mg.
设此时的速度为 v，由于合力恰好提供小球圆周运动的向心力，
由牛顿第二定律得：5m4 g＝mvR2
解得 v＝
5gR 4
从A点到该点由动能定理：
－mgR(1＋cos 37°)－3m4gR(13＋sin 37°)＝12mv2－12mv02 解得 v0＝25 gR
答案
3 4h
解析 剪断细线，小球在竖直方向做自由落体运动，水平方向做加速度为a的
匀加速运动，
由Eq＝ma x＝12at2 h＝12gt2 联立解得：x＝43h
(3)现将细线剪断，带电小球落地前瞬间的动能.
答案
25 16mgh
解析 从剪断细线到落地瞬间，由动能定理得：Ek＝mgh＋qEx＝2156mgh.
最高点
mg
重力场 竖直面内
E 最高点
最低点 重力场、电场 光滑地面上 mg=FN qE为等效重力 qE=mv2/R
E 最高点
最低点 重力场、电场 光滑地面上
题型二 用“等效法”处理带电粒子在电场和重力场中的运动能力考点 师生共研
1.等效重力法
将重力与电场力进行合成，如图3所示，则F合为等效重力场中
专题解读
1.本专题主要讲解带电粒子(带电体)在电场中运动时动力学和能量观点的综合 运用，高考常以计算题出现.
2.学好本专题，可以加深对动力学和能量知识的理解，能灵活应用受力分析、 运动分析(特别是平抛运动、圆周运动等曲线运动)的方法与技巧，熟练应用 能量观点解题.
3.用到的知识：受力分析、运动分析、能量观点.
题型三 电场中的力电综合问题
5.18(读背)等效法处理重力场和电场的复合场问题
难点分析：为了方便后续处理方法的迁移，必须首先搞清“等效重力场”中的部分概念与复合之前的相关概念之间关系。
具体对应如下：等效重力场： 重力场、电场叠加而成的复合场。
等效重力： 重力、电场力的合力。
等效重力加速度： 等效重力与物体质量的比值。
等效“最低点”： 物体自由时能处于稳定平衡状态的位置。
等效“最高点”： 物体圆周运动时与等效“最低点”关于圆心对称的位置。
等效重力势能： 等效重力大小与物体沿等效重力场方向“高度”的乘积。
突破策略在解答重力不可忽略的带电物体在匀强电场中运动问题及相关的能量问题时，我们常采用的方法是：把物体的运动分解成沿重力和电场力方向的两个分运动，然后根据要求解答有关的问题。
用该种方法处理一些电场问题时，显的烦琐。
根据匀强电场和重力场的等效性，如果把重力场和匀强电场两场的问题转化为一个场的问题——建立“等效重力场”来处理该类有些题目，就会显得简洁，而且便于理解。
“等效重力场”建立方法当一个质量为m 、带电量为q 的物体同时处在重力场和场强为E 的匀强电场中，可将两场叠加为一个等效的重力场。
等效重力场的“重力加速度”可表示为qEg g m'=+，g '的方向与重力mg 和电场力qE 合力的方向一致；若合力的方向与重力mg 方向夹角为θ，则g 也可表示为cos gg θ=。
解题应用解圆周运动例. 如图所示，在沿水平方向的匀强电场中有一固定点O ，用一根长度0.40m L =的绝缘细绳把质量为0.10kg m =、带有正电荷的金属小球悬挂在O 点，小球静止在B 点时细绳与竖直方向的夹角为37θ=。
现将小球拉至位置A 使细线水平后由静止释放，求：⑴小球通过最低点C 时的速度的大小； ⑵小球在摆动过程中细线对小球的最大拉力。
（210m/s g =，sin 370.60=，cos370.80=）解析： ⑴建立“等效重力场”如图8所示，“等效重力加速度”g '， 方向：与竖直方向的夹角30，大小： 1.25cos 37gg g '==由A 、C 点分别做绳OB 的垂线，交点分别为A'、C'，由动能定理得带电小球从A 点运动到C 点等效重力做功21m ()(cos sin )2OA OC Cg L L mg L mv θθ''''-=-= 代入数值得 1.4C v ≈m/s（2）当带电小球摆到B 点时，绳上的拉力最大，设该时小球的速度为B v ，绳上的拉力为F ，则21sin 2B mg L L mv θ'-=（） ① 2B v F mg mL'-=②联立①②两式子得 2.25F =N 。
高中物理人教版选修3-1分类题型5：等效场-重力与电场的复合场
高中物理选修3-1题型5（等效场-重力与电场复合场）1、复合场物体仅在重力场中的运动时最常见、最基本的运动，但是对处在匀强电场中的宏观物体而言，它的周围不仅有重力场，还有匀强电场，同时研究这两种场对物体运动的影响，问题就会变得复杂一些。
此时，可以将重力场与电场合二为一，用“复合场”来代替两个分立的场。
形象的把这个复合场叫做等效场或等效重力场。
2、处理思路（1）受力分析，计算等效重力（重力与电场力的合力）的大小和方向；（2）在复合场中找出等效最低点、最高点。
过圆心做等效重力的平行线与圆相交。
（3）根据圆周运动供需平衡结合动能定理列方程处理。
1、如图所示，在竖直向上的匀强电场中，一根不可伸长的绝缘细绳的一端系着一个带电小球，另一端固定于O点，小球在竖直平面内做匀速圆周运动，最高点为a，最低点为b．不计空气阻力，则（B）A．小球带负电B．电场力跟重力平衡C．小球在从a点运动到b点的过程中，电势能减小D．小球在运动过程中机械能守恒2、如图所示，竖直放置的光滑绝缘圆环上套有一带正电的小球，圆心O处固定有一带负电的点电荷，匀强电场场强方向水平向右，小球绕O点做圆周运动，那么以下说法错误的是（D）A．在A点小球有最大的电势能B．在B点小球有最大的重力势能C．在C点小球有最大的机械能D．在D点小球有最大的动能3、如图所示，水平向左的匀强电场场强大小为E，一根不可伸长的绝缘细线长度为L，细线一端拴一个质量为m、电荷量为q的带负电小球，另一端固定在O点。
把小球拉到使细线水平的位置A，然后由静止释放，小球沿弧线运动到细线与水平方向成角θ=60°的位置B时速度为零。
以下说法中正确的是（B）A．A点电势低于的B点的电势B．小球受到的重力与电场力的关系是C．小球在B时，细线拉力为T=2mgD．小球从A运动到B过程中，电场力对其做的功为4、如图所示，竖直平面内有一固定的光滑椭圆大环，其长轴长BD=4L、短轴长AC=2L。
用“等效法”处理带电粒子在电场和重力场中的运动
用“等效法”处理带电粒子在电场和重力场中的运动1．等效重力法将重力与电场力进行合成，如图所示，则F 合为等效重力场中的“重力”，g ′＝F 合m 为等效重力场中的“等效重力加速度”，F 合的方向等效为“重力”的方向，即在等效重力场中的“竖直向下”方向． 2．物理最高点与几何最高点在“等效力场”中做圆周运动的小球，经常遇到小球在竖直平面内做圆周运动的临界速度问题．小球能维持圆周运动的条件是能过最高点，而这里的最高点不一定是几何最高点，而应是物理最高点．几何最高点是图形中所画圆的最上端，是符合人眼视觉习惯的最高点．而物理最高点是物体在圆周运动过程中速度最小的点．【题型1】在水平向右的匀强电场中，有一质量为m 、带正电的小球，用长为l 的绝缘细线悬挂于O 点，当小球静止时，细线与竖直方向夹角为θ，如图所示，现给小球一个垂直于悬线的初速度，小球恰能在竖直平面内做圆周运动，试问：(1)小球在做圆周运动的过程中，在哪一位置速度最小？速度最小值多大？ (2)小球在B 点的初速度多大？【题型2】如图所示的装置是在竖直平面内放置的光滑绝缘轨道，处于水平向右的匀强电场中，带负电荷的小球从高为h 的A 处由静止开始下滑，沿轨道ABC 运动并进入圆环内做圆周运动．已知小球所受电场力是其重力的34，圆环半径为R ，斜面倾角为θ＝60°，s BC ＝2R .若使小球在圆环内能做完整的圆周运动，h 至少为多少？(sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8)【题型3】如图所示，一质量为m1＝1 kg，带电荷量为q＝＋0.5 C的小球以速度v0＝3 m/s，沿两正对带电平行金属板(板间电场可看成匀强电场)左侧某位置水平向右飞入，极板长0.6 m，两极板间距为0.5 m，不计空气阻力，小球飞离极板后恰好由A点沿切线落入竖直光滑圆弧轨道ABC，圆弧轨道ABC的形状为半径R<3 m的圆截去了左上角127°的圆弧，CB为其竖直直径，在过A点竖直线OO′的右边界空间存在竖直向下的匀强电场，电场强度为E ＝10 V/m.(取g＝10 m/s2)求：(1)两极板间的电势差大小U；(2)欲使小球在圆弧轨道运动时不脱离圆弧轨道，求半径R的取值应满足的条件．【题型4】如图所示，竖直平面内的直角坐标系O–xy中，第二象限内有一半径为R的绝缘光滑管道，其圆心坐标为(0，R)，其底端与x轴相切于坐标原点处，其顶端与y轴交于B点(0，2R)；第一象限内有一与x轴正方向夹角为45°、足够长的绝缘光滑斜面，其底端坐标为(R，0)；x轴上0≤x≤R范围内是水平绝缘光滑轨道，其左端与管道底端相切、右端与斜面底端平滑连接；在第二象限内有场强大小E1=3mg、方向水平向右的匀强电场区域Ⅰ；在第一象限内x≥R范围内有场强大小E2=mgq、方向水平向左的匀强电场区域Ⅱ。
巧用等效变换法寻找复合场中的等效重力
巧用等效变换法寻找复合场中的等效重力ʏ江西省宜春中学 邓子刚等效变换法是科学研究中常用的思维方法之一,其本质是在确保效果相同的前提下,将抽象㊁复杂的情境化问题转换成直观㊁简单的常见模型,达到突出主要因素,显现问题本质的目的㊂当我们遇到一些涉及多个物体㊁多个力作用㊁多个运动过程的复杂物理情境问题时,如果能够找到等效的物理模型,将复杂问题简单化,那么就可以达到事半功倍的效果㊂下面以寻找带电物体在重力场和匀强电场共存的复合场中的等效重力为着力点,探寻利用等效变换法求解物理问题的技巧,供同学们参考㊂一㊁无约束带电物体所受等效重力因为电场与重力场的性质具有一定的相似性,所以当一个带电物体处在重力场和匀强电场共存的区域内时,可以先将二者的叠加场等效为一个重力场,将物体受到的重力和静电力的合力视为等效重力,再采用我们所熟悉的物体在重力场中的运动规律进行分析与求解㊂图1例1 如图1所示,空间内分布着沿水平方向的匀强电场,图中五条虚线表示等间距的匀强电场的等势面,其电势如图中标注㊂一带电油滴以与水平方向成α角的初速度v 0从A 点射入电场,沿与初速度v 0方向相同的直线(实线)运动至B 点后再返回至A 点㊂(1)判断油滴所带电荷的电性㊂(2)若当地重力加速度为g ,求油滴从A 点运动至B 点再返回A 点的过程中所用的时间㊂解析:若油滴自身重力可以不计,则油滴将做曲线运动㊂因此油滴自身重力不可忽略,且重力场和匀强电场叠加后的等效重力场的重力加速度g '与A B 连线在同一条直线上㊂(1)根据图中所标数据可知,匀强电场水平向右㊂因为油滴从A 点运动至B 点,速度减小,动能减小,电势能增大,所以油滴所受静电力做负功,油滴带负电㊂(2)类比物体在重力场中的运动情况可知,油滴沿A B 连线做竖直上抛运动,根据竖直上抛运动规律可得,油滴从A 点抛出至返回抛出点所用的时间t =2v 0g',其中g '=g s i n α,解得t =2v 0s i n αg㊂点评:利用等效重力场,可以把复杂的叠加场变成简单的单一场,将陌生的问题转化为我们所熟悉的重力场中的问题,从而简化解题过程,提高解题效率㊂二㊁轻绳约束下带电物体所受等效重力轻绳约束下的带电物体在重力场和匀强电场共存的复合场中运动时,物体可能受到重力㊁静电力和轻绳拉力的作用,其中重力和静电力的大小和方向均保持不变,可以将二者的合力视为等效重力,轻绳松弛时对物体的作用力为0,轻绳绷紧时对物体产生拉力㊂图2例2 如图2所示,在竖直平面内分布着水平向右的匀强电场,电场强度E =1ˑ104N /C ,一质量m =0.04k g,带电荷量q =3ˑ10-5C 的小球,用长l =0.4m 的细绳悬挂在O 点,取重力加速度g =10m /s 2㊂(1)当小球处于平衡状态时,求轻绳偏离竖直方向的角度α㊂(2)若使小球能够在竖直平面内做完整的圆周运动,则在平衡位置至少应以多大的线速度释放小球?解析:(1)因为小球在运动过程中所受的重力与静电力始终保持不变,所以可将二者的合力视为等效重力G ',则等效重力的大小G '=(m g )2+(qE )2=0.5N ,G '的方向与竖直方向间的夹角β满足关系式t a n β=qE m g=4 解题篇 经典题突破方法 高考理化 2024年3月34,即β=37ʎ㊂因此当小球处于平衡状态时,偏离竖直方向的角度α=β=37ʎ㊂(2)类比物体在重力场中的运动情况可知,小球在等效重力场中做圆周运动时,等效最低点是平衡位置A ,等效最高点是过O 点与竖直方向成α=37ʎ角的直径A B 的端点图3B ,如图3所示㊂设小球到达等效最高点B 时的最小速度为v ,根据G '=mv2l,解得v =5m /s ㊂在小球从A 点运动到B 点的过程中,根据动能定理得-G '㊃2l =12m v 2-12m v 20,解得小球从A 点释放时的最小速度v 0=5m /s ㊂点评:轻绳约束下带电物体在复合场中做圆周运动时,虽然带电物体的受力分析中多了一个轻绳的拉力,但是求解策略依然是先将重力场和匀强电场的叠加场等效为一个重力场,再采用重力场中物体的运动规律求解相关问题㊂三、轨道约束下物体所受等效重力轨道约束下的带电物体在重力场和匀强电场共存的复合场中运动时,物体可能受到重力㊁静电力和轨道弹力的作用,其中重力和静电力的大小和方向均保持不变,可以将二者的合力视为等效重力,单侧外轨道对带电物体提供指向圆心的弹力,单侧内轨道对带电物体提供背离圆心的弹力㊂图4例3 如图4所示,水平轨道A B 与半圆形轨道B C D 相切于B 点,半圆形轨道B C D 的半径为R ,固定在竖直平面内,轨道表面均光滑绝缘㊂在竖直平面内分布着水平向右的匀强电场,电场强度E =3m g 4q ㊂一质量为m ,带电荷量为+q 的小球,从距离B 点为R3处的M 点以一定的初速度v 0沿水平方向向左运动,经过B 点后恰能运动至半圆形轨道的最高点D ㊂已知重力加速度为g ㊂(1)求小球的初速度v 0㊂(2)小球从轨道最高点D 抛出后落在水平轨道上的N 点(图中未标出),求小球落点N 到B 点间的距离x ㊂解析:(1)因为小球在运动过程中所受的重力与静电力始终保持不变,所以可将二者的合力视为等效重力G ',则等效重力的大小G '=(m g )2+(qE )2=54m g ,G '的方向与竖直方向间的夹角θ满足关系式t a n θ=qE m g =34,即θ=37ʎ㊂小球在半圆形轨道上运动,速度减小至最小时,所受等效重力G '与速度垂直,等效重力G '恰好提供小球做圆周运动所需的向心力㊂设小球沿半圆形轨道运动过程中的最小速度为v m i n ,根据牛顿第二定律得G '=m v 2m i n R ,解得v m i n =5g R 4㊂在小球从M 点运动到速度达最小位置的过程中,根据动能定理得-G 'R (1+c o s θ)-q E ㊃R3=12m v 2m i n -12m v 20,解得v 0=52g R ㊂(2)设小球运动到D 点时的速度为v D ,在小球从M 点运动到D 点的过程中,根据动能定理得-G '㊃2R c o s θ-q E ㊃R3=12m v 2D -12m v 20,解得v D =7g R 2㊂小球离开D 点后,在水平方向上受静电力做加速度a =q E m =3g4的匀加速直线运动,在竖直方向上受重力做自由落体运动㊂设小球从D 点运动到N 点所用的时间为t ,则x =v D t +12a t 2,2R =12g t 2,解得x =7+32R ㊂点评:轨道约束下带电物体在复合场中做圆周运动时,带电物体的受力分析中多了一个轨道弹力,先将重力场和匀强电场的叠加场等效为一个重力场,再采用重力场中物体的运动规律求解相关问题,依然可以达到简化解题步骤,化难为易的效果㊂(责任编辑 张 巧)14解题篇 经典题突破方法 高考理化 2024年3月。
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等效法处理重力场和电场的复合场问题
教学目标
（一）知识与技能
1.了解带电粒子在匀强电场中的运动——只受电场力，带电粒子做匀变速运动。
2.重点掌握物理中等效代换法
3.把物体在重力场中运动的规律类比应用到复合场中分析解决问题。
（二）过程与方法
培养学生综合运用力学和电学知识，分析解决带电粒子在复合场中的运动的能力。
（三）情感态度与价值观
1.渗透物理学方法的教育：复合场与重力场类比。
2.培养学生综合分析问题的能力，体会物理知识的实际应用。
重点：带电粒子在复合场（重力场与电场）中的运动规律
难点：复合场的建立。
教学过程：
复习提问：重力、电场力做功的特点？（强调类比法）
我们今天就研究重力和电场力的这个相同点！
一、等效法
E E
二、复合场中的典型模型
1、振动对称性：
重力环境对比：
如图所示，在水平方向的匀强电场中的O 点，用长为l 的轻、软绝缘细线悬挂一质量为m 的带电
小球在A—B—C 之间小球，当小球位于B 点时处于静止状态，此时细线与竖直方向（即OA 方向）成θ角．现将小球
往复运动，则α、β的拉至细线与竖直方向成2θ 角的C 点，由静止将小球释放．若重力加速度为g ，则对于此后小球
关系为：
的受力和运动情况，下列判断中正确的是
A．α = β
A.小球所受电场力的大小为mg tanθ
B.小球到B 点的速度最大
C.小球可能能够到达A 点，且到A 点时的速度不为零
D.小球运动到A 点时所受绳的拉力最大
A C
B
2、“竖直上抛运动”重力环境对比：
在竖直向下的匀强电场中，以V0初速度竖直向上发射一个质量为m 带电量小为球q以的V带0 初正速电度小竖球直，
求上升的最大高度。
3、“单摆”向上抛出一个质量为m 的物体，求物体上升的
重力环境对比：
摆球质量为m，带电量为+q，摆线为绝缘细线，摆长为L，整个装置处在竖直向下的匀强电场中，场强为E，求单摆振动的周期。
单摆的周期公式：分析解答：摆球摆动过程中始终受不变的重力场、电场作用，即“等效”场力
L
qE
G’=qE+mg，“等效”场加速度g’= m E +g,所以T=2=2
g
qE
m
4、“竖直平面圆周运动”
水平向右的匀强电场中，用长为R 的轻质细线在O 点悬挂一质量为m 的带重电力小环球境，对静比止：在A 处，AO 的连线与竖直方向夹角为370，现给小球施加一个沿圆弧切线方向的初速度V0，小球便在竖直面内运动，为使小球能在竖直面内完成圆周运动，这个初速度V0至少应为竖多直大面？内的圆周运动
静止时对球受力分析如右图
B
3
: O 且F=mgtg370= 4 mg, （1）最高点的最小速度
（2）为使小球能在竖
370
A
L
g' O
θ
θ
E
C
A B
B
与 T 反向
“等效”场力 G’=
5
5
(mg )2 F 2
= 4 mg
“等效”场加速度 g’= 4 g
与重力场相类比可知: 小球能在竖直面内完成圆周运动的临界速度位置在 AO 连线 B 处, 且最小的 V B =
1 1
从 B 到 A 运用动能定理: G’2R= 2 m V 0 2-- 2 m V 2 5 1 1 5
4 mg2R= 2 m V 0 2-- 2 m 4 gR
5 V 0 = 2 gR
5、类平抛运动
水平放置带电的两平行金属板，相距 d,质量为 m 的微粒由板中间以某一初重速力平环行境于对板比的：方向进入，若微粒不带电，因重力作用在离开电场时，向下偏转 d/4，若微粒带正电，电量为 q ，仍以
相同的初速度进入电场，微粒恰好不再射出电场，则两板的电势差应为多平少抛？运并动说规明律上：
下板间带 电性？
分析与解：当微粒不带电时，只受重力做平抛运动 d/4=1/2gt 2，带电后，应根据极板电
性不同分两种情况讨论
+
（1） 若上极板带正电，下极板带负电（如图 a ）
G 微粒水平方向仍作匀速直线运动时间为 t ，竖直方向受 F
_
_
(a) 重力和电场力均向下，竖直位移 s=1/2(g+qU/md) t 2 ，F 要使
微粒不再射出电场，则 s>d/2,解得 U>mgd/q.
（2） 若上极板带负电，下极板带正电（如图 b ）
G
+ (b)
g ' R
3
3
且F=mgtg330000= 3
C V CY V CX
D
A
(mg)2 F 2
分析方法上同，只是此时电场力向上，竖直位移
s=1/2(qU/md-g) t2，要使微粒不再射出电场，则s>d/2,
解得U>3mgd/q.由于微粒不带电时能射出电场，故当重
力大于电场力时，微粒一定能射出，满足条件。
练习：
1、质量为m，带正电q 的小球用细绳悬挂在两块无限大的平行板电容器间。
小球悬点O，摆长
L=6cm，摆球质量为m=0.02kg，两板间距为d=8cm 高。
两板间加电压U=2000V。
今向正极板方向将摆球拉到水平位置然后无初速释放，小球在B、A 间来回振动。
求：B （1）q=？O
平衡位置
（3）小球最大速率
（2）
+ -
A
2、在水平方向的匀强电场中，用长为L 的轻质绝缘细线悬挂一质量为m 的带电小球，小球
静止在A 处，悬线与竖直方向成300 角，现将小球拉至B 点，使悬线水平，并由静止释放，求小球运动到最低点D 时的速度大小。
T
:
O F
B
mg, mg
2 3
3
“等效”场力G’== mg 与T 反向
3 2g' s gL 3gL
(2 3 1)gL
D 2 3
“等效”场加速度g’= 3 g
从B 到C 小球在等效场力作用下做初速度为零的匀加速直线运动,
S= L V C= =2 所以V CX=V C sin600=
V CY在绳子拉力作用下，瞬时减小为零
1 1
从C 到D 运用动能定理: W G+W F= 2 m V 2-- 2 m V CX2
V D=
小结：
物理问题中有很多知识都是很有规律的，都是关联的，我们只要利用它们之间的相似，利用等效替代，把问题归入已知的规律中，就能把问题简化，复合场问题的等效处理就体现了这一点。