现代控制报告之一超精密车床振动控制系统设计

现代控制理论基础
上机实验报告之一
亚微纳米超精密机床振动控制系统的状态空间法设计
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哈尔滨工业大学
一、 工程背景及物理描述
超精密机床是实现超精密加工的关键设备，而环境振动又是影响超精密加工精度的重要因素。

为了充分隔离基础振动对超精密机床的影响，目前国内外均采用空气弹簧作为隔振元件，并取得了一定的效果，但是这属于被动隔振，这类隔振系统的固有频率一般在2Hz 左右。

这种被动隔振方法难以满足超精密加工对隔振系统的要求。

为了解决这个问题，有必要研究被动隔振和主动隔振控制相结合的混合控制技术。

其中，主动隔振控制系统采用状态空间法设计，这就是本次上机实验的工程背景。

上图表示了亚微米超精密车床隔振控制系统的结构原理，其中被动隔振元件为空气弹簧，主动隔振元件为采用状态反馈控制策略的电磁作动器。

上图表示一个单自由度振动系统，空气弹簧具有一般弹性支承的低通滤波特性，其主要作用是隔离较高频率的基础振动，并支承机床系统；主动隔振系统具有高通滤波特性，其主要作用是有效地隔离较低频率的基础振动。

主、被动隔振系统相结合可有效地隔离整个频率范围内的振动。

床身质量的运动方程为：
p a 0ms
F F ++= （1） p F ——空气弹簧所产生的被动控制力；
a F ——作动器所产生的主动控制力。

假设空气弹簧内为绝热过程，则被动控制力可以表示为：
p 0r r r e e {1[/()]}n F cy
k y p V V A y A =++-+ （2） r V ——标准压力下的空气弹簧体积；
0y s s =-——相对位移（被控制量）；
r p ——空气弹簧的参考压力；
r A ——参考压力下单一弹簧的面积；
e r 4A A =——参考压力下空气弹簧的总面积； n ——绝热系数。

电磁作动器的主动控制力与电枢电流、磁场的磁通量密度及永久磁铁和电磁铁之间的间隙面积有关，这一关系具有强非线性。

由于系统工作在微振动状况，且在低于作动器截止频率的低频范围内，因此主动控制力可近似线性化地表示为：
a e a F k I =（3）
e k ——力-电流转换系数；
a I ——电枢电流。

其中，电枢电流a I 满足微分方程：
a a a
(,)()LI RI E I y u t ++= （4） L ——控制回路电枢电感系数；
R ——控制回路电枢电阻；
E ——控制回路反电动势；
u ——控制电压。

二、 实验目的
通过本次上机实验，使同学们熟练掌握：
1. 控制系统机理建模；
2. 时域性能指标与极点配置的关系；
3. 状态反馈控制律设计；
4. MATLAB 语言的应用。

三、
闭环系统的性能指标
闭环系统单位阶跃响应的超调量不大于5%，过渡过程时间不大于0.5秒（0.02∆=）。

四、 实际给定参数
已知一个机床的实际参数如下：
01200N/m k =，980N/A e k =，kg 120=m ，2.0=c ，Ω300=R ，
H 95.0=L 。

五、 开环系统状态空间数学模型的推导
选取状态变量2x y =，1x y ∙
=，3a x I =
()1p a 1
x s F F m
∙
==-
+
21
00e 3123x x Rk Lk Rc k Lc Rm x x x x u
Lm Lm Lm Lm
∙
∙
=++=---- 0a e
my cy k y I k ω+++=- 0a e my cy k y I k ω+++=-
代入，得：
00a e e
(,)()my cy k y my
cy k y L R E I y
u t k k ωω++++++--+= ()()00e a e (,)()Lmy Lc Rm y Lk Rc y Rk y L R k E I y k u t ωω+++++++-=- 将非线性项e a (,)L R k E I y ωω+- 视为干扰信号，略去不计，可得线性化模型：
()()00e ()Lmy Lc Rm y
Lk Rc y Rk y k u t +++++=- 将参数代入，可得本系统的状态空间表达式：
[]112200e 33123010
00010100x x x x u
Rk Lk Rc k Lc Rm x x Lm Lm Lm Lm x y x x ⎧⎡
⎤⎡⎤
⎪⎢⎥⎢⎥⎡⎤⎡⎤⎪⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=+⎪⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎪⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥++⎪⎣⎦⎣
⎦----⎢⎥⎢⎥
⎨⎣⎦⎣⎦
⎪
⎡⎤⎪
⎢⎥
⎪=⎢⎥⎪
⎢⎥⎪⎣⎦⎩
六、 状态反馈控制律的设计
本系统可以配置成为二阶系统，将多余的极点配置到较远处，从而产生两个
闭环主导极点。

根据性能指标p 100%5%e σ=⨯≤，解得0.69ζ≥，046.36θ≤；
根据性能指标s 4
0.5n
t ζω≈
≤，解得8n ζω≥。

为留出一定的余量，取0
45θ=，
10n ζω=。

取11010s j =-+，21010s j =--。

第三个极点取为380s =-。

于是，期望闭环特征多项式为
()()()()()()1231010101080s s s s s s s j s j s ---=+++-+
()()22020080s s s =+++32100180016000s s s =+++
根据状态反馈添加的原则，设计状态反馈控制律为：
[]11
2
323x u k k k x x ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦
则闭环系统的状态空间表达式为：
120e 1
0e 2
e 33010
00
1x
x Rk k k Lk Rc k k Lc Rm k k x Lm Lm
Lm ⎡
⎤
⎢⎥⎡⎤⎢⎥
⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥+++++⎣⎦--
-⎢⎥
⎣
⎦
[]123100x y x x ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦
其特征多项式为
32e 30e 20e 10Lc Rm k k Lk Rc k k Rk k k s s s Lm Lm Lm
++++++
++=
比较系数，得关于1k 、2k 、3k 的代数方程组：
e 30e 2
0e 1100180016000Lc Rm k k Lm Lk Rc k k Lm Rk k k Lm
++⎧=⎪⎪++⎪=⎨⎪
+⎪=⎪⎩求解得：3e 02e 0
1e 100180016000Lm Lc Rm
k k Lm Lk Rc k k Lm Rk k k ⎧--=⎪⎪⎪--⎪=⎨⎪⎪-=⎪⎪⎩
状态反馈控制律为
00123e e e
160001800100Lm Rk Lm Lk Rc Lm Lc Rm u x x x k k k -----=
++
七、 闭环系统数字仿真
求取状态空间表达式对应的闭环传递函数：
e 32
3
2()8.596()()100180016000100180016000
k Y s Lm s R s s s s s s s Φ==-=-++++++求其阶跃响应，编写Matlab 程序：
sys=tf(-8.596,[1,100,1800,16000]);
step(sys);
假设系统的初始值为：
51(0)610m x -=⨯，52(0)210m/s x -=⨯，523(0)110m/s x -=-⨯
最终的响应为：
满足指标要求
八、 实验结论及心得
通过本次试验，对于应用状态反馈这种改进控制对象特性的方法有了更深刻的认识。

-4
Step Response
Time (sec)
A m p l i t u d e
-5。