第三章离散傅里叶变换(DFT)
数字信号第三章 离散傅里叶变换
第三章离散傅里叶变换DFT: Discrete Fourier Transform第三章学习目标z理解傅里叶变换的几种形式z掌握离散傅里叶变换(DFT)及性质，圆周移位、共轭对称性，掌握圆周卷积、线性卷积及两者之间的关系z掌握频域抽样理论z掌握DFT的应用引言DFT要解决两个问题：一是频谱的离散化；二是算法的快速计算(FFT)。
这两个问题都是为了使计算机能够实时处理信号。
Fourier变换的几种可能形式时间函数频率函数连续时间、连续频率—傅里叶变换连续时间、离散频率—傅里叶级数离散时间、连续频率—序列的傅里叶变换可以得出一般的规律：一个域的离散对应另一个域的周期延拓；一个域的连续必定对应另一个域的非周期。
−jwndw e jwn 时域离散、非周期频域连续、周期z 时域周期化→频域离散化z 时域离散化→频域周期化离散连续周期性非周期性引言Fourier变换的几种可能形式时间函数频率函数连续时间、连续频率—傅里叶变换连续时间、离散频率—傅里叶级数离散时间、连续频率—序列的傅里叶变换离散时间、离散频率—周期序列的傅里叶级数由DTFT到DFS离散时间、离散频率的傅立叶级数（DFS）由上述分析可知，对DTFT，要想在频域上离散化，那么在时域上必须作周期延拓。
对长度为M的有限长序列x(n)，以N为周期延拓（N≥M）。
注意：周期序列的离散傅里叶级数（DFS）只对有限长序列作周期延拓或周期序列成立。
……四种傅里叶变换形式的归纳时间函数频率函数连续和非周期非周期和连续连续和周期(T0)非周期和离散(Ω=2π/T)离散(T)和非周期周期(Ωs=2π/T)和连续离散(T)和周期(T0)周期(Ωs=2π/T)和离散(Ω=2π/T)在进行DFS 分析时，时域、频域序列都是无限长的周期序列周期序列实际上只有有限个序列值有意义长度为N 的有限长序列可以看成周期为N 的周期序列的一个周期（主值序列）借助DFS 变换对，取时域、频域的主值序列可以得到一个新的变换—DFT ，即有限长序列的离散傅里叶变换3.1 离散傅里叶变换（DFT ）的定义及物理意义——有限长序列的离散频域表示x(n)的N 点DFT 是¾x(n)的z 变换在单位圆上的N 点等间隔抽样；¾x(n)的DTFT 在区间[0，2π）上的N 点等间隔抽样。
第三章_DFT定义及性质2016S
e j e
j
N
2 j
N
2 j
X (k )
N 1 k 0
e
j j
N
2 N j
k
N
2
e
e
N
2
j
k
N
2
X ( )
( 1)k e e
j
1 2 k j 2 N
e 2 N k ( 1) sin( ) 2 1 2 k sin( ( )) 2 N
1 ( N 1) WN
( N 1) ( N 1) WN
( N 1) 0 WN ( N 1)1 WN
T X Wx W x 则： 1 1 * 1 x W X W X N N
10
频域内插公式：由频域取样 DFT X(k) 表示 DTFT X(ejw)
1 X (e ) N
j
1 zN X (k ) k 1 1 WN z k 0
N 1 N 1 k 0
z e j
1 N 1 N 1 N
X (k )
N 1 k 0
1 e j N 1 e e e
从 Z 变换的角度看：
DFT结果包含了 z 平面上 N 个离散点处的 Z 变换结 果，这 N 个离散点均匀地 分布在单位圆上，由此也
e
j 2 k N
Im
Z平面
2 k N
e
j
2 N
2 N
Re
称DFT为单位圆上的取样
Z 变换。
Z 1
14
3.3.2 DFT 与 Z 变换的关系：频域内插
离散傅里叶变换(DFT)
~
将 x(n)以N为周期进行周期延拓得到 x(n) = x(( n)) N 将
~
x(n) = x((n)) N 左移m位得到 x(n + m)
(3.2.4)
例： ( n) = 3e n , o ≤ n ≤ 15 ，求 f ( n) = x(( n + 5))15 R15 (n) x
的16点离散傅立叶变换DFT。
N=16; n=0:N-1; xn=3*exp(n); m=5; fn=xn(mod((n+m),N)+1); XK=fft(xn, N); subplot(2, 2, 1); stem(n,xn); subplot(2, 2, 2); stem(n,abs(XK)); FK=fft(fn,N); subplot(2, 2, 3); stem(n,fn); subplot(2, 2, 4); stem(n,abs(FK));
x(n)为长度为N的有限长序列
x(n) 是长度为N的有限长序列x(n)的周期延拓序列
x (n ) =
~
~
m =∞
∑
∞
x ( n + mN )
(3.1.5) (3.1.6)
x (n ) = x ( n ) RN (n )
~
~
主值区间：周期序列 x( n) 从n=0到N-1的第一个周期。
~
主值序列：而主值区间上的序列称为 x( n) 的主值序列。
m
~2 m )) N) R x 2 (( (( m )) N ( n ) x (m x
2
第三章离散傅里叶变换及其快速计算方法(DFT、FFT)
X (e jw )
（2）Z 变换 -- 提供任意序列的 z 域表示。
n
x( n)e jnw
X (z)
n
x ( n) z n
这两种变换有两个共同特征：
（1）变换适合于无限长序列 （2）它们是连续变量 ω 或 z 的函数
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3
3.1 问题的提出：可计算性
X (z)
而对于
n
x ( n) z n
n
x ( n) z n
找不到衰减因子使它绝对可和（收敛）。为此，定义新函 数，其 Z 变换：
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15
DFS 定义：正变换
X ( z)
n
x ( n) z n ~ ( n ) z n x
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6
3.1 问题的提出：傅里叶变换的四种形式 （3）
2. 周期连续时间信号：傅里叶级数 FS
~ (t ) x X (n 0 )
t T
时域周期频域离散
0
2 T
x(t)
~
n -
X(n 0 )e jn0t
时域连续函数造成频域是非周期的谱。 频域的离散对应时域是周期函数。
X (e jT )
T T
X (e jT )e jnT d
取样定理
n
x(nT )e jnT
1 X ( 0 ) T n
时域的离散化造成频域的周期延拓 时域的非周期对应于频域的连续
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8
第3章 离散傅里叶变换(DFT)C
(3.4.9)
def 1 ' 1 ' X (k ) X a f k k X a kF f = T T NT T
p
k 0,1, 2,, N 1
由此可得： ' kF =TX (k ) T DFT[ x(n)] X a N
k 0,1, 2,, N 1
解：
1 1 Tp 0.1 s F 10
因此Tp min=0.1 s。因为要求Fs≥2fc，所以
Tmax
N min
1 1 0.2 103 s 2 f c 2 2500 2 f c 2 2500 500 F 10
第3章 离散傅里叶变换(DFT)
为使用DFT的快速算法FFT，希望N符合2的整数幂，为此 选用N =512点。 为使频率分辨率提高1倍，即F=5 Hz，要求：
说明了X(k)与Xa(jΩ)的关系. 为了符合一般的频谱描述习惯，以频率f为自变量
第3章 离散傅里叶变换(DFT)
令：
X a' ( f ) X a j X a j2πf 2 πf ' 2πf Xa ( f ) X X a a 2 πf
第3章 离散傅里叶变换(DFT)
x ( n) 如果 ~ 的周期预先不知道，可先截取M点进行DFT，即
(n) RM (n) xM (n) x X M (k ) DFT[ xM (n)]
再将截取长度扩大1倍，截取
0 k M 1
（3.4.18）
x (n)的频谱结构，只是在k=im 由此可见，XM(k)也能表示 ~ (i) ，表示 ~ x (n) 的i次谐波谱线，其幅度扩 时，X (im) mX
《离散傅里叶变换-第三章》
n0 0 = kn 8 7
3
3
2π − j kn 8
3 − j kπ 8
(2) 设变换区间N=16， 则
X(k) = ∑ x(n)W
n= 0
3π k −j 16
π
N= 0 = n0 0
2 = ∑ e, k = 0,1, ⋅ ⋅ ⋅, 7 π N =0 sin( k ) 8
2. 时域循环移位定理 设x(n)是长度为N的有限长序列，y(n)为x(n)的循环移位，即： y(n)=x((n+m))NRN(n) 则: Y(k)=DFT[y(n)]=W-kmNX(k) 其中:X(k)=DFT[x(n)], 0≤k≤N-1
kn 证明： Y ( k ) = DFT [ y (n )] = x (( n + m )) N RN (n )WN ∑ N− 令n+m=n′，则有1 n =0 N −1
~
~ ∞
x (n ) =
m =−∞
∑
x ( n + mN )
(3.1.5)
(3.1.6) ••
~
x (n ) ••
0
••
N-1
•
n
x (n ) = x ( n ) ⋅ RN (n )
~
~
••
••
~(n ) x
•• •
0
••
•
••
•• •
~
••
N-1
•
n
一般定义周期序列 x(n) 中从n=0到N-1的第一个周期为 x(n)的主 n) x(n) (3.1.7) x( 值区间，而主值区间上的序列称为x(n) 的主值序列。(3.1.7) x(n)
离散傅里叶变换
第三章离散傅立叶变换(DFT)3．1 引言有限长序列在数字信号处理是很重要的一种序列，当然可以用Z变换和傅里叶变换来研究它，但是，可以导出反映它的"有限长"特点的一种有用工具是离散傅里叶变换(DFT)。
离散傅里叶变换除了作为有限长序列的一种傅里叶表示法在理论上相当重要之外，而且由于存在着计算离散傅里叶变换的有效快速算法，因而离散傅里叶变换在各种数字信号处理的算法中起着核心的作用。
有限长序列的离散傅里叶变换(DFT)和周期序列的离散傅里叶级数(DFS)本质上是一样的。
为了更好地理解DFT，需要先讨论周期序列的离散傅里叶级数DFS。
而为了讨论离散傅里叶级数及离散傅里叶变换，我们首先来回顾并讨论傅里叶变换的几种可能形式。
(连续时间信号：如果在讨论的时间间隔内，除若干不连续点之外，对于任意时间值都可给出确定的函数值，此信号就称为连续时间信号。
)一、连续时间、连续频率——连续傅立叶变换（FT）设x(t)为连续时间非周期信号，傅里叶变换关系如下图所示：可以看出时域连续函数造成频域是非周期的谱，而时域的非周期造成频域是连续的谱。
二、连续时间，离散频率------傅 里 叶 级 数设f(t)代表一个周期为T 1的周期性连续时间函数，f(t)可展成傅里叶级数，其傅里叶级数的系数为n F ，f(t)和n F 组成变换对，表示为:tjn n n e F t f 1)(Ω∞-∞=∑=（112Ω=πT ）dte tf T F TT t jn n ⎰-Ω-=221111)(1注意符号：如果是周期性的采样脉冲信号p(t)，周期用T 表示（采样间隔）。
采样脉冲信号的频率为Ts π2=Ω可以看出时域连续函数造成频域是非周期的谱，而时域的周期造成频域是离散的谱三、离散时间，连续频率------序列的傅里叶变换正变换：DTFT[x(n)]=()()j nj n X e x n eωω∞-=-∞=∑反变换：DTFT-11[()]()()2j n j j X e x n X e e d πωωωπωπ-==⎰)(ωj e X 级数收敛条件为|()j nn x n eω∞-=-∞∑|=∞<∑∞-∞=n n x )(可以看出时域离散函数造成频域是周期的谱，而时域的非周期造成频域是连续的谱四、离散时间，离散频率------离散傅里叶变换上面讨论的三种傅里叶变换对，都不适用在计算机上运算，因为至少在一个域(时域或频域)中，函数是连续的。
第三章离散傅里叶变换DFT(一)
F2
1 2
e j 4
3.1连续时间信号的傅里叶变换
非周期连续信号傅里叶变换
F j f (t)e j t dt
f (t)
1
F je j t d
2
该变换存在的充分条件： f t dt
频谱密度函数
周期信号的傅氏级数：
f (t)
F en
n
jn0t
(0
2 T
)
(1)
周期信号的频谱：
3.3连续时间信号的抽样
抽样原理（采样、sample）
周期 序列
3.3连续时间信号的抽样
需要解决的问题
fs (t) f (t) s(t)
1
Fs ( j) 2 F( j) * S( j)
由f sf(st
)
t
Fs j与F 能否恢复f t
j的关系
理想冲激序列抽样
s(t) Ts (t) (t nTs )
2
f (t) 1 sin t 2 cos t cos 2t
Fne jnt
4
n 2
1 2
e
j
4e
j 2t
[1
1 2j
]e
jt
1 [1 1 ]e jt 2j
1 e j 4e j2t 2
F2
1 2
e
j
4
F1
1
1 2j
1.12e
j 0.15
F0 1
F1
1
1 2j
1.12e
j 0.15
周期连续信号傅里叶级数展开
周期信号f(t)=f(t+nT) ，满足狄氏条件（有限区间逐 段光滑）时，可展成：
f (t)
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7
3
x(n)W8nk W8nk
n0
n0
j 2 k
j 2 2k
j 2 3k
1e 8 e 8 e 8
X (0) 4 X (1) 1 j 2 1 X (2) 0 X (3) 1 j 2 1
X (4) 0 X (5) 1 j 2 1 X (6) 0 X (7) 1 j 2 1
X (0) 60 X (1) 9 j3 3 X (2) 3 j 3
X (3) 0 X (4) 3 j 3 X (5) 9 j3 3
例：已知序列x(n) R4 (n), 将x(n)以N 8为周期 进行周期延拓成x(n)，求x(n)的DFS。
解法一：数值解
N 1
X (k) x(n)WNnk
X ( j) x(t)e jtdt
x(t) 1 X ( j)e jtd
2
时域连续函数造成频域是非周期的谱， 而时域的非周期造成频域是连续的谱密度函数。
FT演示
连续时间、离散频率—傅里叶级数
X
(
jk
0
)
1 T0
T0 / 2 x(t)e jk0tdt
T0 / 2
x(t) X ( jk0 )e jk0t k
6
解：方法1 整理x(n)有(N=12)：
x(n)
1
j 2π n
e 12
1
e
j 2π n 12
1
j 2
e 12
n
1
j 2
e 12
(11) n
2
2
2
2
与DFS定义对比知：在 k 112r 和 k 1112r时：
X (k) N / 2 6, 其他 X (k) 0。
方法2 由定义式直接计算，得
X
因此，我们感兴趣的是时域及频域都是离散 的情况。
离散时间、离散频率—离散傅里叶变换
N 1
j 2 nk
X (k) x(n)e N
n0
x(n)
1
N 1jBiblioteka 2 nkX (k)e NN k0
DFS演示
一个域的离散造成另一个域的周期延拓， 因此离散傅里叶变换的时域和频域都是离 散的和周期的
四种傅里叶变换形式的归纳
k次谐波分量：e jk0n
周期序列的DFS正变换和反变换：
X (k)
DFS[x(n)]
N 1
j 2 nk
x(n)e N
N 1
x(n)WNnk
n0
n0
x(n)
IDFS[ X (k)]
1 N
N 1
j 2 nk
X (k)e N
k 0
1 N
N 1
X (k )WNnk
k 0
其中：
WN
j 2
e N
周期序列：x(n) x(n rN )
r为任意整数 N为周期
连续周期函数：
xa (t) xa (t kT0 ) T0为周期
xa (t) A(k )e jk0t
k
基频：0 2 / T0
k次谐波分量：e jk0t
N为周期的周期序列：
x(n) A(k )e jk0n
k
基频：0 2 / N
例：已知序列x(n)是周期为6的周期序列， 如图所示，试求其DFS的系数。
解：根据定义求解
N 1
X (k ) x(n)WNnk
n0
5
x(n)W6nk
n0
j 2 k
j 2 2k
14 12e 6 10e 6
j 2 3k
j 2 4k
j 2 5k
8e 6 6e 6 10e 6
(k)
11 n0
1
2
j 2
e 12
n
e
j 2 12
kn
1 2
e
j 2 12
n
e
j 2 12
kn
X~ (k) 1
1 11 j 2 ( k 1)n e 12
11 j 2 ( k 11)n
e 12
2 n0
2 n0
j 2 ( k 1)12
j 2 ( k 11)12
1 1 e 12
1 1 e 12
第三章 离散傅里叶变换（DFT）
Chapter 3: The Discrete Fourier Transform (DFT)
第三章学习目标
• 理解傅里叶变换的几种形式
• 了解周期序列的傅里叶级数及性质，掌握 周期卷积过程
• 理解离散傅里叶变换及性质，掌握圆周移 位、共轭对称性，掌握圆周卷积、线性卷 积及两者之间的关系
2
2 j 2 ( k 1)
j 2 ( k 11)
1 e 12
1 e 12
6, k 1 12r
6,
k
11
12r
x(n)
co0s,
其 它 的k n
6
6, k 112r X~(k) 6, k 1112r
时域连续函数造成频域是非周期的谱， 而频域的离散对应时域是周期函数。
FS演示
周期连续信号的频谱具有以下特点： ①离散性，即谱线是离散的； ②谱波性，即谱线只出现在基波频率的整数倍
上，且具有非周期性，是一种线谱； ③收敛性，即各次谐波的幅度随谐波次数的增
高而减小； ④各次谐波的幅度的衰减速度与信号波形有关，
时域波形变化愈慢，高频分量衰减愈快，高 频成分愈少；反之，时域波形变化愈剧烈， 高频分量愈多。
离散时间、连续频率—序列的傅里叶变换
X (e j ) x(n)e jn n
x(n) 1 X (e j )e jnd
2
SFT演示
时域的离散化造成频域的周期延拓， 而时域的非周期对应于频域的连续
易见，前三种傅里叶变换对都不适于计算机 上运算，因为它们至少在一个域（时域或频域）中 函数是连续的。
解法二：公式解
X
k
DFS
x
n
N
1
x(n)e
j 2 N
kn
7
x
n0
n
e
j 2 8
n0
kn
3
e
n0
j kn 4
j k4
1e 4
j k
1e 4
j k
j k
j k
e 2 e 2 e 2
j k
j k
j k
e 8 e 8 e 8
e
j 3 k 8
sin 2
k
sin k
8
例：周期序列 x(n) cos n展开为DFS，求其系数。
• 了解频域抽样理论
• 理解频谱分析过程
• 了解序列的抽取与插值过程
一、Fourier变换的几种可能形式
时间函数
频率函数
连续时间、连续频率—傅里叶变换 连续时间、离散频率—傅里叶级数 离散时间、连续频率—序列的傅里叶变换 离散时间、离散频率—离散傅里叶变换
四种信号频谱 演示
连续时间、连续频率—傅里叶变换
时间函数
频率函数
连续和非周期 非周期和连续
连续和周期(T0) 非周期和离散(Ω0=2π/T0) 离散(T)和非周期 周期(Ωs=2π/T)和连续
离散(T)和周期(T0) 周期(Ωs=2π/T)和离散(Ω0=2π/T0)
二 、周期序列的DFS及其性质
DFS: Discrete Fourier Series