二次根式的乘除(第一课时)学案
《二次根式的乘除》第一课时学案
《二次根式的乘除》第一课时学案一、内容和内容解析．内容二次根式的乘法法则和积的算术平方根的性质，化简二次根式.2．内容解析二次根式是初中阶段“数与式”内容的最后一章，因此承担着整理“数与式”的内容、方法和基本思想的任务.本节研究二次根式的乘法运算.运算法则是运算的依据，因此教材通过“探究”栏目，引导学生利用二次根式的性质，从具体数字运算中发现规律，进而归纳得出二次根式的乘法法则.基于以上分析，确定本节课的教学重点：探究二次根式的乘法法则和积的算术平方根的性质.二、目标和目标解析．教学目标（1）经历二次根式的乘法法则和积的算术平方根的性质的形成过程；会进行简单的二次根式的乘法运算；（2）会用公式化简二次根式.2．目标解析（1）学生能通过计算发现规律并对其进行一般化的推广，得出乘法法则的内容；（2）学生能利用二次根式的乘法法则和积的算术平方根的性质，化简二次根式.三、教学问题诊断分析本节课的学习中，学生在得出乘法法则和积的算术平方根的性质后，对于何时该选用何公式简化运算感到困难.运算习惯的养成与符号意识的养成、运算能力的形成紧密相关，由于该内容与以前学过的实数内容有较多的联系，例如，整式中的乘法公式在二次根式的运算中也成立，在教学中，要多从联系性上下力气.，培养学生良好的运算习惯.在教学时，通过实例运算，对于将一个二次根式化为最简二次根式，一般有两种情况：（1）如果被开方数是分数或分式（包括小数），可以采用直接利用分式的性质，结合二次根式的性质进行化简（例见教科书例6解法1），也可以先写成算术平方根的商的形式，再利用分式的性质处理分母的根号（例见教科书例6解法2）；（2）如果被开方数不含分母，可以先将它分解因数或分解因式，然后吧开得尽方的因数或因式开出来，从而将式子化简.本节课的教学难点为：二次根式的性质及乘法法则的正确应用和二次根式的化简.四、教学过程设计．复习引入，探究新知我们前面已经学习了二次根式的概念和性质，本节课开始我们要学习二次根式的乘除.本节课先学习二次根式的乘法.问题1 什么叫二次根式？二次根式有哪些性质？师生活动学生回答。
16.2.1 二次根式的乘除（第一课时）人教版数学八年级下册教案
16.2.1 二次根式的乘除（第一课时）二次根式的乘法教学目标知识技能1、掌握二次根式乘法法则，能根据二次根式的乘法公式进行乘法计算2、会逆用二次根式乘法法则，熟练地将二次根式化简过程方法体验二次根式乘法法则的应用过程，培养逆向思维，引导学生从特殊到一般总结归纳的方法以及类比的方法，解决数学问题情感态度培养学生用分类讨论的思想分析生活中出现的不同事物.培养学生良好的运算习惯重点abba=⋅（a≥0，b≥0），baab⋅=（a≥0，b≥0）及它们的运用．难点二次根式乘法法则的正确应用和二次根式的化简。
教学难点设想分析：1. 通过从具体数字运算中发现规律，进而归纳得出二次根式的乘法法则探究特殊练习，总结归纳一般规律，二次根式乘法法则a·b＝ab（a≥0，b≥0），再进行逆向思维得ab=a·b（a、b取值有何要求）。
2.通过讲练结合，掌握二次根式乘法计算与化简。
【教学环节安排】环节教学问题设计教学活动设计与意图复习提问1.什么叫二次根式？2.二次根式的两个基本性质？教师出示问题：让学生复习旧知，同时为这节课中的计算化简做好准备。
情境引入计算下列各式，观察计算结果，你发现什么规律.____94_____,94)1(=⨯=⨯(2)2549______,2549_____⨯=⨯=教师出示问题，引导学生观察运算结果，发现和总结式子有什么规律？学生计算，观察，分小组讨论．线上交流，体会结果特点.自主探究合作交流【问题1】1.参考上面的结果，用“>、<或＝”填空．×_____，4925⨯________4925⨯3.总结归纳：你能找出二次根式怎样进行乘法运算吗？字母表达式怎样？两个非负数的算术平方根的积等于这两数积的算术平方根。
结论：得到二次根式乘法法则：·＝（a≥0，b≥0）例1 计算：531⨯）（27312⨯）（总结：a·b＝ab可推广为：a·b·c＝abc( a ≥0，b≥0，c ≥0 )【问题2】把abba=⋅（a≥0，b≥0）反过来，仍然成立吗？baab⋅=（a≥0，b≥0）思考：（1）a,b的取值有什么特点？（2）这个公式与二次根式乘法在用法上有什么区别和联系？注意:1、公式中的非负数的条件；2、在被开方数相乘时，就应该考虑因式分解（或因数分解）；学生通过计算，能对于公式有些感性上的认识，并且能举一些类似的式子.学生先完成填空，对于公式的推导有更深一步的认识，再通过观察，分析，合作交流，得出公式.·＝（a≥0，b≥0）学生说出结论并且能分析公式的特点及注意点.小组内讨论验证，得出结论.分析、总结，交流学生口答，并说明理由，学生补充.小组讨论得出结论：（1）a≥0，b≥0（2）两个公式可以相互转化.方法归纳：你能体会出何时用a·b＝ab（a≥0，b≥0）何时用baab⋅=（a≥0，b≥0）吗二次根式乘法公式的逆用：其他同学先独立完成，然后交流；4949⨯a b aba b ab例题讲解尝试应用baba•=•. (a≥0 ,b≥0 )例2 化简：81161⨯）（）（）（0,04232≥≥baba例3 计算：7141⨯）（102532⨯）（结论：教师巡视发现共性的问题及时讲解教师要提醒学生应用公式要注意解题灵活性.通过练习培养学生养成良好的分析问题能力和习惯．拓展提高1、下列计算：1072354363332=⨯=⨯；②①其中正确的是：__________.2、如图，从一个大正方形中裁去面积为15cm2和24cm2的两个小正方形，求留下部分（即阴影部分）的面积.学生独立完成回答.教师可适当点拨.教师巡回辅导，对于重点问题进行强化、点拨方法、总结规律，对于共性问题，做好补教.提问学生，让学生讲述做题思路；通过练习使学生进一步理解公式，进一步熟练应用公式.小结这节课你学到了哪些知识？二次根式乘法法则及其逆运用；教师引导学生回顾本节课的重点、难点知识，在计算中帮助学生找出自己运用知识的不足。
二次根式的乘除导学案(第一课时)
八年级(下) 人民教育 数学
3.化简:(1) (-25) (-36) ; (2) 202 -162 ; (3) (-4) 64 (-144) .
9 解:(1) (-25) (-36) 25 36 =
6=30. 25 36 =5× (2) 202 -162 (20 16)(20-16) = 2=12. 36 4 36 4 =6× (3) (-4) 64 (-144) 4 64 144 =
25 25
4 12 25 =4 12 =8 3 .
25
解:(1)不正确. 改正: (-4) (-9) 4 9 4 9 = 2× 3=6. (2)不正确. 改正: 4 12 25 112 25 =
25 25
112 25 112 16 7 =4 7 . 25
3 3
(3) 9 27 9 27 92 3 =9 3 . (4)3 ab 1 =3 ab 1 =3 a .
b b
规律总结:二次根式相乘,把它们的被开方数相乘,根指数不变,如果 积中有能开得尽方的因数或因式,一定要开尽方.
八年级(下) 人民教育 数学
●跟踪训练
1.计算:(1)4 5 × 3 15 ;
八年级(下) 人民教育 数学
6.仿照课本 P6 例 1 计算: (1) 3 7 ; 解: 21 (2) 1 8 .
2
解:2 7. ab
=
a· b (a≥0,b≥0).
八年级(下) 人民教育 数学
8.仿照课本 P7 例 2 化简: (1) 44 176 ; 解:原式= 44 44 4 442 22 442 22 =44× 2=88. (2) 16m3n4 . 解:原式= 16 m3 n4 =4· m2 m · n2=4mn2 m 9.仿照课本 P7 例 3 计算: (1) 16 8 ; 解:原式= 16 8 128 64 2 =8 2 . (2)3 6 × 2 10 ; 解:原式=(2× 3) 60 =6 4 15 =12 15 . (3) 5a 1 ay .
人教版数学八年级下册16.2二次根式的乘除第一课时优秀教学案例
2.要求学生认真完成作业，并及时给予反馈，了解学生对知识点的掌握情况。如：“请同学们认真完成作业，明天我们将进行作业讲评。”
五、案例亮点
（二）问题导向
1.设计具有启发性的问题，引导学生思考二次根式乘除法的运算规律，如：“如何将二次根式的乘除法转化为我们已经学过的加减法？”等。
2.引导学生通过问题发现知识点之间的联系，如：提问：“二次根式的乘除法与实数的乘除法有什么异同？”等，让学生在思考中掌握知识。
（三）小组合作
1.组织学生进行小组讨论，分享各自的想法和解决问题的方法，让学生在合作中发现问题、解决问题，培养团队合作精神。
针对这一知识点，我设计了一节以学生为主体、注重实践与思考的优秀教学案例。首先，我会通过复习导入，引导学生回顾已学的二次根式知识，为新课的学习做好铺垫。接着，我将会引导学生通过小组合作、讨论交流的方式，探索二次根式的乘除运算规律，培养学生的主体探究能力和团队合作精神。在探索过程中，我会适时给予学生反馈和指导，帮助他们克服困难，理解并掌握二次根式的乘除运算方论，让学生分享各自对二次根式乘除法的理解和运算方法。如：“你们认为二次根式乘除法应该如何运算？请你们小组讨论一下，并分享给其他小组。”
2.引导学生通过讨论，发现和总结二次根式乘除法的运算规律。如：“通过讨论，我们发现二次根式乘除法可以转化为加减法，只需要将根号内的数相乘（或相除）即可。”
（四）总结归纳
1.教师引导学生总结本节课所学的二次根式乘除法的运算规律。如：“我们可以总结一下，二次根式的乘法可以理解为将根号内的数相乘，除法可以理解为将根号内的数相除。”
二次根式的乘除(第一课时)教案
（2） ；
（3） ；
（4） .
3.一个矩形的长和宽分别是 cm和 ，求这个矩形的面积.
活动6：回顾小结→整体感知
1. ( ≥0，b≥0)
的正反两方向在计算和化简中的应用；
2.注意,运算的结果，应该尽量化到最简形式.
活动7：布置作业→巩固加深
习题21.2 P121，3、（1）（2）
板书设计：
在具体操作过程中应注重学生的合作学习，以小组分别计算一部分数值，然后归纳各组意见，这样既提高了学生合作交流、主动探究、互惠提高的能力，促进对知识的真正理解，
巩固练习,为各层次学生设计习题，使各层次的学生都得到充分发展。
整节课通过师生双方的互动，学生接受新知较快，探究、归纳能力不断地得到提高，在教学过程中体现了“发现问题、提出问题、分析问题、解决问题”的教学思想。整节课的课堂气氛一直是热烈的，学生的参与是积极的，随说个别学生在描述概念时出现不准确、不完整的错误，但通过教师的指证，及时解决了问题。
年级：九年级
课题：二次根式的乘除（第一课时）
课型：新授课
学习目标：
1、〔知识〕．使学生能够利用积的算术平方根的性质进行二次根式的化简与运算；会进行简单的二次根式的乘法运算．
2、〔过程与方法〕让学生进一步了解数学知识之间是相互联系的.使学生能联系几何课中学习的勾股定理解决实际问题
3、〔情感、态度与价值观〕培养学生努力探索事物之间内在联系的学习习惯.
给予学生充分的思考问题的时间和空间，这样才能充分展示学生的创新能力．
整个教学过程注意了类比法、发现法、观察法、归纳法等的综合运用，重视了归纳思想的运用。
教师的态度非常重要，教师若以亲切和蔼的话语鼓励赞许的目光面对学生，就能创设一个平等和谐的学习氛围，从而给予学生无穷的探究热情，激活整个探究过程，否则就会扼杀学生的探究意愿。在本节课中充满着民主、平等与关爱，尤其是一些弱势群体也得到了关注。
21.2 二次根式的乘除 第1课时教学案
21.2 二次根式的乘除(第１课时)
【学习重难点】
1a≥0，b≥0）a≥0，b≥0），并利用它们进行计算和化简
2a≥0，b≥0）并运用它进行解题和化简．
一【温故知新】
1.二次根式的双重非负性
2.二次根式的性质2＝_____（a≥0）．(2) a≥0 )
二【探究新知】、
1．填空（1，；
（2=_______，．
（3，．
参考上面的结果，用“>、<或＝”填空．
2．用你发现的规律填空
（1（2
（3（4
3.归纳: 一般地，对二次根式的乘法规定为
反过来:
三【新知应用】、
例1．计算（1（2（3（4
例2 化简（1（2
（3（4）
巩固练习1.计算：① ②×
2. 化简= =
=
3.判断下列各式是否正确，不正确的请予以改正：
（1= 改
（2 改
四、【课堂小结】、 二次根式的乘法步骤: 4.教材P8练习全部.
五、 【课堂检测】1.选择题
(1)．，•那么此直角三角形斜边长
是（ ）． A ． B ． C ．9cm D ．27cm
(2) （ ）
A ．x≥1
B ．x≥－1
C ．－1≤x≤1
D ．x≥1或x≤－1
(3)．下列各等式成立的是（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．2.计算 (1));33(35-⨯- (2)． ;8223⨯
3.化简 (1)=12 ；(2)=x 18
4.综合提高题 化简：(1)=-+1110)12()12( ；
(2)=-⋅+)13()13( ．。
人教版八年级数学下册《二次根式的乘除(第1课时)》示范教学设计
二次根式的乘除（第1课时）教学目标1．让学生经历从特殊到一般、从具体到抽象的过程，从而归纳出二次根式的乘法法则．2．通过对二次根式乘法法则的正用、逆用，加强学生对乘法法则的理解，掌握二次根式的乘法运算及化简．教学重点二次根式乘法法则的正用、逆用．教学难点能灵活应用二次根式的乘法法则进行计算和化简．教学过程知识回顾【问题】二次根式都有哪些性质？【师生活动】教师提出问题，学生回答．【答案】（10(a≥0)；（2）2＝a(a≥0)；（3|a|＝0.a aa a⎧⎨-⎩，≥，，＜【思考】…都是实数．当a取某个非负数值时，a的算术平方根，也是一个实数．这类实数的运算满足怎样的运算法则呢？我们该如何进行二次根式的加、减、乘、除运算呢？【师生活动】教师提出问题，学生思考，教师继续讲解．【设计意图】通过复习已学过的二次根式知识，教师提出问题，学生交流探讨，激起学生的好奇心，为引出本节课的新知作铺垫．新知探究一、探究学习【思考】计算下列各式，观察计算结果，你能发现什么规律？（1___________＝___________；（2______________________；（3＝___________＝___________．【师生活动】学生回答：（1）6 6 （2）2020 （3）3030教师追问：观察计算结果，你能发现什么规律？学生分小组交流，并派代表发言．教师补充总结：两个二次根式相乘，把被开方数相乘，根指数不变．=a≥0，b≥0)．b ab拓展：（1b c abc=a≥0，b≥0，c≥0)．（2）n b=a≥0，b≥0)．【设计意图】教师提出问题，学生分小组合作交流，激发学生的学习兴趣．通过引导，学生逐步抽象出二次根式的乘法运算规律，增强学生学习过程中的体验感和成功感．二、典例精讲【例1】计算：（1（2（3）(-．【师生活动】教师提出问题，学生作答，教师巡查，并纠错．【答案】解：（1==（23；（3）[]-=⨯--(3(2)【归纳】二次根式相乘时，把被开方数和各个根号外面的乘数分别相乘，将乘数相乘的积作为积的乘数，把被开方数相乘的积作为积的被开方数．【设计意图】通过例1的练习与讲解，巩固学生对二次根式乘法法则的理解及应用．=b ab=，利用它可以进行二次根式的化简．b在本章中，如果没有特别说明，所有的字母都表示正数．【例2】化简：（1（2（3【师生活动】教师提出问题，学生独立作答，教师巡查，纠错并总结．【答案】解：（14936=⨯=；（223 a b =22 a b b =22 b =2=（322 2x x =+4=【归纳】在逆用二次根式的乘法法则时，要注意以下两点：（1）注意公式中被开方数的范围；（2【设计意图】通过例2的练习与讲解，加深学生对二次根式乘法法则逆运用的理解及应用．【例3】计算：（1；（2）（31 3xy ． 【师生活动】教师提出问题，学生独立作答，教师巡查，纠错并总结．【答案】解：（1===（2）3⨯=6=⨯=；（3211 3 33xy x xy x y == y x ==． 【归纳】（1）被开方数的开得尽方的因数，可以开方后移到根号的外面．（2）化简时，根号外的乘数可先相乘．提示：本章中根号下含有字母的二次根式的化简与运算是选学内容．【设计意图】通过例3的练习与讲解，检测学生对所学知识的理解及应用．课堂小结板书设计一、二次根式的乘法法则二、二次根式乘法法则的逆用课后任务完成教材第7页练习第1～3题．。
海南省万宁市思源实验学校九年级数学上册 21.2 二次根式的乘除（第1课时）学案
21.2 二次根式的乘除学习目标1.经历二次根式乘法法那么 a ·b ＝ab （a ≥0，b ≥0），ab =a ·b （a ≥0，b ≥0）的形成进程，会进行简单的二次根式的乘法运算.2.会利用积的算术平方根的性质化简二次根式.学习重点和难点 1.重点：二次根式的乘法法那么。
2.难点：利用积的算术平方根的性质化简二次根式.学习进程:一、自主学习（一）温习引入1．填空：（1）4×9=____，49⨯=____；4×9__49⨯ （2）16×25=____，1625⨯=___；16×25__1625⨯ （3）100×36=___，10036⨯=___．100×36__10036⨯ （二）、探讨新知一、 学生交流活动总结规律．二、一样地，对二次根式的乘法规定为a ·b ＝ab （a ≥0，b ≥0）3、反过来，把二次根式的乘法公式反过来，就取得ab =a ·b （a ≥0，b ≥0），利用它能够进行二次根式的化简。
例1．计算（1）5×7 （2）139 （3）610（45a 15ay 例2 化简（1）916⨯ （2）1681⨯（3）324b a （4）229x y（5）8（3）教材P 8练习 三、学生小组交流解疑，教师点拨、拓展（一）例3．判定以下各式是不是正确，不正确的请予以更正：（1）(4)(9)49-⨯-=-⨯-（2）12425×25=4×1225×25=41225×25=412=83 （二）归纳小结（1）a ·b ＝ab =（a ≥0，b ≥0），ab =a ·b （a ≥0，b ≥0）及其运用．（2）要明白得ab （a<0,b<0）=b -a -•，如(2)(3)-⨯-=(2)(3)--⨯--或(2)(3)-⨯-=23⨯=2×3．四、课后检测（一）、选择题1．直角三角形两条直角边的边长别离为15cm 和12cm ，那么直角三角形斜边是﹙ ﹚A. 32cm B ．33cm C ．9cm D ．27cm2．化简a 3a -的结果是（ ）．A ．2a a -B ．2a aC ．-2a a -D ．-2a a3．等式1-x ·112+=-x x 成立的条件是（ ）A ．x ≥1B ．x ≥-1C ．-1≤x ≤1D ．x ≥1或x ≤-1( 二)、填空题1．1014=_______．;656)3122(43⨯-⨯= 2．已知xy ＜0，那么=y x 2______．)12()321(123143z xy x x ⋅-⋅⋅．=3．实数a，b在数轴上的位置如下图，那么化简22ba的结果是_____．。
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二次根式的乘除（第一课时）学案
第一课时
教学内容
a≥0，b≥0〕〔a≥0，b≥0〕及其运用．
教学目标
〔a≥0，b≥0〕〔a≥0，b≥0〕，并利用它
们进行运算和化简
教学过程
一、复习引入
1．填空
〔1=______；
〔2=_______．
〔3．
参考上面的结果，用〝>、<或＝〞填空．
×_____，×_____，×
2．利用运算器运算填空
〔1，〔2
〔3〔4，
〔5．
二、探究新知
〔学生活动〕让3、4个同学上台总结规律．
老师点评：〔1〕被开方数差不多上正数；
〔2〕两个二次根式的乘除等于一个二次根式，•同时把这两个二次根式中的数相乘，作为等号另一边二次根式中的被开方数．
一样地，对二次根式的乘法规定为
反过来:
例1．运算
〔1〔2〔3〔4
分析：a≥0，b≥0〕运算即可．
解：〔1
〔2
〔3
〔4
例2 化简
〔1〔2〔3
〔4〔5
〔a≥0，b≥0〕直截了当化简即可．
解：〔1×4=12
〔2×9=36
〔3×10=90
〔4
〔5
三、巩固练习
〔1〕运算〔学生练习，老师点评〕
①②×2
(2) 化简:;
教材P11练习全部
四、应用拓展
例3．判定以下各式是否正确，不正确的请予以改正：
〔1
〔2=4
解：〔1〕不正确．
×3=6
〔2〕不正确．
五、归纳小结
本节课应把握：〔1＝〔a≥0，b≥0〕〔a≥0，b
≥0〕及其运用．
六、布置作业
1．课本P151，4，5，6．〔1〕〔2〕．
2．选用课时作业设计．
第一课时作业设计
一、选择题
1，•那么此直角三角形斜边长是〔〕．
A．cm B．C．9cm D．27cm
2．化简〕．
A B． D．
311
x-=〕
A．x≥1 B．x≥-1 C．-1≤x≤1 D．x≥1或x≤-1
4．以下各等式成立的是〔〕．
A．．
C．× D．×
二、填空题
1．
2．自由落体的公式为S=1
2
gt2〔g为重力加速度，它的值为10m/s2〕，假设物体下落的
高度为720m，那么下落的时刻是_________．
三、综合提高题
1．一个底面为30cm×30cm长方体玻璃容器中装满水，•现将一部分水例入一个底面为
正方形、高为10cm铁桶中，当铁桶装满水时，容器中的水面下降了20cm，铁桶的底面边长是多少厘米？
2．探究过程：观看以下各式及其验证过程．
〔1〕
验证：=
=
〔2〕
验证：
=
同理可得：=
=，……
通过上述探究你能推测出：〔a>0〕,并验证你的结论．。