高考物理一轮复习 第六章 静电场专家专题讲座 新人教版

【创新方案】2014年高考物理一轮复习专家专题讲座：第六章

静电场

用等效法解决带电体在匀强电场中的圆周运动问题

(1)等效思维方法就是将一个复杂的物理问题，等效为一个熟知的物理模型或问题的方法。常见的等效法有“分解”“合成”“等效类比”“等效替换”“等效变换”“等效简化”等。

带电粒子在匀强电场和重力场组成的复合场中做圆周运动的问题是一类重要而典型的题型。对于这类问题，若采用常规方法求解，过程复杂，运算量大。若采用“等效法”求解，则过程比较简捷。

(2)解题思路：

①求出重力与电场力的合力，将这个合力视为一个“等效重力”。 ②将a ＝

F 合

m

视为“等效重力加速度”。 ③将物体在重力场中做圆周运动的规律迁移到等效重力场中分析求解。

[典例] 在水平向右的匀强电场中，有一质量为m 、带正电的小球，用长为l 的绝缘细线悬挂于O 点，当小球静止时，细线与竖直方向夹角为θ，如图1所示，现给小球一个垂直于悬线的初速度，小球恰能在竖直平面内做圆周运动，试问：

图1

(1)小球在做圆周运动的过程中，在哪一位置速度最小？速度最小值多大？ (2)小球在B 点的初速度多大？

[解析] 如题图所示，小球所受到的重力、电场力均为恒力，二力的合力为F ＝mg

cos θ。重力场与电场的叠加场为等效重力场，F

为等效重力，小球在叠加场中的等效重力加速度为g ′＝

g

cos θ

，其方向斜向右下，与竖直方向成θ角。小球在竖直平面内做圆周运动的过程中，只有等效重力做功，动能与等效重力势能可相互转化，其总和不变。与重力势能类比知，等效重力势能为E p ＝mg ′h ，其中h 为小球距等效重力势能零势能点的高度。

(1)设小球静止的位置B 为零势能点，由于动能与等效重力势能的总和不变，则小球位

于和B 点对应的同一直径上的A 点时等效重力势能最大，动能最小，速度也最小。设小球在

A 点的速度为v A ，此时细线的拉力为零，等效重力提供向心力，则：mg ′＝m v 2A

l

，得小球的最

小速度为v A ＝

gl

cos θ

。 (2)设小球在B 点的初速度为v B ，由能量守恒得： 12mv 2B ＝12mv 2A ＋mg ′·2l ，将v A 的数值代入得：v B ＝ 5gl

cos θ

。 [答案] (1)A 点速度最小 v A ＝ gl

cos θ

(2)v B ＝

5gl

cos θ

[专题小测验]

1．如图2所示，绝缘光滑轨道AB 部分为倾角为30°的斜面，AC 部分为竖直平面上半径为R 的圆轨道，斜面与圆轨道相切。整个装置处于场强为E 、方向水平向右的匀强电场中。现有一个质量为m 的小球，带正电荷量为q ＝3mg

3E ，要使小球能安全通过圆轨道，在O 点的初速度应为多大？

图2

解析：小球先在斜面上运动，受重力、电场力、支持力，然后在圆轨道上运动，受重力、电场力、轨道作用力，如图所示，类比重力场，将电场力与重力的合力视为等效重力mg ′，大小为mg ′＝

qE

2

＋mg

2

＝23mg 3，tan θ＝qE mg ＝33

，

得θ＝30°，等效重力的方向与斜面垂直指向右下方，小球在斜面上匀速运动，因要使小球能安全通过圆轨道，在圆轨道的等效“最高点”(D 点)满足等效重力刚好提供向心力，即

有：mg ′＝mv 2

D

R

，因θ＝30°与斜面的倾角相等，由几何关系可知AD ＝2R

令小球以最小初速度v 0运动，由动能定理知：－mg ′·2R ＝12mv 2D －12mv 2

解得v 0＝

103gR

3，因此要使小球安全通过圆轨道，初速度应为v ≥ 103gR

3

答案：v ≥

103gR

3

2．(2012·合肥质检)如图3所示，在竖直平面内固定的圆形绝缘轨道的圆心为O 、半径为r 、内壁光滑，A 、B 两点分别是圆轨道的最低点和最高点。该区间存在方向水平向右的匀强电场，一质量为m 、带负电的小球在轨道内侧做完整的圆周运动(电荷量不变)，经过C 点时速度最大，O 、C 连线与竖直方向的夹角θ＝60°，重力加速度为g 。

图3

(1)求小球所受到的电场力的大小；

(2)求小球在A 点速度v 0多大时，小球经过B 点时对圆轨道的压力最小？ 解析：(1)小球在C 点速度最大，则在该点电场力与重力的合力沿半径方向，所以小球受到的电场力大小F ＝mg tan 60°＝3mg

(2)小球要到达B 点，必须到达D 点时速度最小，在D 点速度最小时，小球经B 点时对轨道的压力也最小。设在D 点时轨道对小球的压力恰为零。

mg

cos 60°＝m v 2

r ，得v ＝2gr

由轨道上A 点运动到D 点的过程得：

mgr (1＋cos θ)＋Fr sin θ＝1

2mv 20－12

mv 2

解得：v 0＝22gr

答案：(1)3mg (2)22gr

3.如图4所示的装置是在竖直平面内放置的光滑绝缘轨道，处于水平向右的匀强电场中，带负电荷的小球从高h 的A 处由静止开始下滑，沿轨道ABC 运动并进入圆环内做圆周运动。已知小球所受电场力是其重力的3/4，圆环半径为R ，斜面倾角为θ＝60°，s BC ＝2R 。若使小球在圆环内能做完整的圆周运动，h 至少为多少？(sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8，重力加速度为g )

图4

解析：小球所受的重力和电场力都为恒力，故可将两力等效为一个力F ，如图所示。可知F ＝1.25mg ，方向与竖直方向成37°角。由图可知，小球做

完整的圆周运动的临界点是D 点。设小球恰好能通过D 点，即达到D 点时圆环对小球的弹力恰好为零。

由圆周运动知识得：

F ＝m v 2D

R ，即：1.25mg ＝m v 2

D R

①

由动能定理有：

mg (h －R －R cos 37°)－3

4mg (h cot θ＋2R ＋R sin 37°)＝12

mv 2

D

②

联立①②解得h ＝7.7R 。 答案：7.7R