变与不变讲解
2016年考研政治大纲解析之史纲的变与不变讲解
2016年考研政治大纲解析之史纲的变与不变2016年的考研政治考试大纲已经下发,纵观各个学科都作了相应的调整,现凯程教育政治教研室老师就史纲的变与不变作一梳理:史纲从框架结构来说,整体框架没有变化,仍然是十章,整体的内容没有太大的变化,变化的是新增的知识点有5处,删除知识点4处。
部分章节的标题作了调整。
第四章开天辟地的大事变马克思主义广泛传播与中国共产党诞生中国共产党诞生的历史必然性及其伟大意义调整为中国共产党创建及其意义第六章中华民族的抗日战争中国共产党成为抗日战争的中流砥柱敌后战场的开辟与游击战争的发展调整为敌后战场的开辟与游击战争的发展及其战略地位第九章社会主义建设在探索中曲折发展建设的成就和探索的成果工业体系和国民经济体系的基本建立调整为独立的、比较完整的工业体系和国民经济体系的基本建立第十章改革开放与现代化建设新时期第一,在新的历史起点上推进中国特色社会主义构建社会主义和谐社会删除;树立和落实科学发展观调整为不断推动经济社会的科学发展。
第二,开拓中国特色社会主义更为广阔的前景(标题改变一是中共十八大制定了全面建成小康社会的战略部署调整为中共十八大确立全面建成小康社会的战略目标。
二是新增考点有:实现民族复兴中国梦的提出;协调推进“四个全面”的战略布局;具有新的历史特点的重大实践的展开。
三是删除的考点有:改革开放以来取得的巨大成就及其根本原因和主要经验。
改革开放前和改革开放后两个历史时期的相互联系和重大区别;党和人民九十多年奋斗、创造、积累的根本成就;坚持和发展中国特色社会主义是实现中华民族伟大复兴的必由之路。
第三,坚定不移沿着中国特色社会主义道路前进(新增新增的考点有:一是新中国发展的两个历史时期及其相互关系。
改革开放以来取得的巨大成就及其根本原因和主要经验。
二是坚持和发展中国特色社会主义,努力实现两个一百年的奋斗目标。
最后衷心地祝愿莘莘学子考研成功!2016考研政治大纲马克思主义基本原理部分变化详细对比随着2016考研政治大纲的发布,马克思主义基本原理(一下简称马原的变化比较多,下面,凯程教育政治教研室老师就分章节梳理一下今年大纲的新变化。
第六单元《商的变化规律》教案
另外，对于教学难点，虽然我通过举例和比较进行了解析，但仍有部分学生表示难以消化。这可能是因为我讲解得不够细致，或者是对学生的前期知识掌握情况了解不够。在接下来的教学中，我会针对这一部分学生进行更有针对性的辅导，确保他们能够真正理解并掌握商的变化规律。
四、教学流程
（一）导入新课（用时5分钟）
同学们，今天我们将要学习的是《商的变化规律》这一章节。在开始之前，我想先问大家一个问题：“你们在日常生活中是否遇到过物品价格变化，数量变化的情况？”比如，超市里的水果打折，买的数量多了，总价会有怎样的变化？这个问题与我们将要学习的内容密切相关。通过这个问题，我希望能够引起大家的兴趣和好奇心，让我们一同探索商的变化规律的奥秘。
五、教学反思
在今天的教学中，我发现同学们对商的变化规律有了初步的理解和掌握。他们在案例分析和实践活动中表现出了较高的兴趣和参与度，这让我感到很欣慰。但同时，我也注意到在讲解过程中，有些学生对背后的数学原理还不够明白，需要我在今后的教学中进一步关注。
在讲授新课的时候，我尽量用生活中的实例来引导学生理解商的变化规律，希望他们能够感受到数学与生活的紧密联系。通过实践活动，同学们能够将所学知识应用于解决实际问题，这说明我们的教学方法是有效的。
2.实验操作：为了加深理解，我们将进行一个简单的实验操作。比如，用计算器演示当除数从4变为8时，被除数32的商如何从8变为4。
3.成果展示：每个小组将向全班展示他们的讨论成果和实验操作的结果。
（四）学生小组讨论（用时10分钟）
1.讨论主题：学生将围绕“商的变化规律在实际生活中的应用”这一主题展开讨论。他们将被鼓励提出自己的观点和想法，并与其他小组成员进行交流。
《商不变的性质》教案
《商不变的性质》教案一、教学目标：1. 让学生理解商不变的性质，即在除法算式中，被除数和除数扩大或缩小相同的倍数（0除外），商不变。
2. 培养学生运用商不变的性质解决问题的能力。
3. 培养学生合作交流、归纳总结的能力。
二、教学重点与难点：重点：商不变性质的运用。
难点：理解商不变性质的含义，并能灵活运用。
三、教学准备：1. 课件或黑板。
2. 各种类型的除法算式。
四、教学过程：1. 导入：通过复习除法算式，引导学生发现除法算式中的规律。
2. 新课讲解：讲解商不变的性质，举例说明。
如：20÷5=4，如果被除数和除数扩大2倍，变成40÷10，商仍然是4。
3. 实践操作：让学生分组讨论，尝试找出更多的例子来验证商不变的性质。
4. 总结归纳：引导学生总结商不变的性质，即被除数和除数扩大或缩小相同的倍数（0除外），商不变。
5. 巩固练习：出示一些题目，让学生运用商不变的性质解决问题。
如：36÷6=？如果被除数扩大2倍，除数扩大3倍，商会发生什么变化？6. 课堂小结：回顾本节课所学内容，让学生复述商不变的性质，并谈谈自己在解决问题时的体会。
五、课后作业：1. 完成练习册的相关题目。
2. 搜集生活中的例子，运用商不变的性质解决问题，并与同学交流分享。
六、教学拓展：1. 引导学生思考：商不变的性质在实际生活中有哪些应用？2. 举例说明：在购物时，如果商品的原价和折扣扩大或缩小相同的倍数，实际支付的价格是否会发生变化？七、课堂互动：1. 提问：同学们认为商不变的性质在除法运算中有什么作用？2. 邀请学生上台演示，运用商不变的性质解决实际问题。
八、教学反思：1. 教师总结本节课的教学效果，学生对商不变性质的掌握程度。
2. 针对学生的不同需求，调整教学方法，提高教学效果。
九、评价与反馈：1. 学生自评：对自己的学习过程进行总结，反思自己在课堂上的表现。
2. 同伴评价：相互评价，互相学习，共同进步。
数学精英版教案 五升六-6 变中抓不变
例3：今年，姐姐的年龄是妹妹的3倍。2年后，姐姐的年龄将是妹妹的2倍。那么，今年姐姐年龄是多少岁？
1.学生读题，明确题意。
2.师生互动，教师讲解。
师：在年龄问题中，什么是不变量？
生：年龄差是不变量。
师：大家借助线段图，你能得出，增加的2岁和年龄差之间有什么关系呢？
（适时出示课件解析线段图）
（二）拓展问题5
5.欢欢和乐乐准备去买礼物，欢欢带的钱是乐乐的3倍，如果欢欢给乐乐10元，那么欢欢的钱数就是乐乐的2倍。欢欢和乐乐一共带了多少钱？
1.学生读题，分析题意。
2.师生合作，教师引导。
师：这道题目中的不变量是什么？
生：欢欢和乐乐的总钱数不变。
师：那么你能根据题目信息，找出总钱数的关系式吗？
师：分析这道题目，通过读题，你认为这道题目和例4有什么区别？
生：上一道题目，甲、乙人数对调之后，甲、乙之间只是单纯的倍数关系，但是这道题目，左手、右手互给之后，不仅是单纯的倍数关系，倍数关系后还有多多少的问题。
师：那么这种情况下，我们还能用上一题的方法吗？大家尝试一下？
生1：因为“左手给右手10元后，则右手所有的钱为左手的3倍”，所以总钱数=现在左手钱数×4。
生：因为调动前，乙队人数是甲队的6倍，所以总人数是甲队的7倍；调动后，乙队人数是甲队的5倍，所以总人数是甲队的6倍。
师：你能分别表示出调动前，调动后的甲队人数吗？尝试解答。
3.学生独立完成，同桌间相互交流。
4.教师总结。
答案：
解：设原来甲队有x人，乙队有6x人，调动后甲队有（x+1）人。
7x=6（x+1）
答：欢欢和乐乐一共带了120元。
四、拓展视野
乐乐今年8岁，他的父亲32岁，几年后，乐乐的年龄是他父亲年龄的 ？
初中数学中考复习考点知识与题型专题讲解11 一次函数 (解析版)
初中数学中考复习考点知识与题型专题讲解专题11 一次函数【知识要点】考点知识一变量与函数变量：在一个变化过程中数值发生变化的量。
常量：在一个变化过程中数值始终不变的量。
【注意】1、变量是可以变化的，而常量是已知数，且它是不会发生变化的。
2、区分常量和变量就是在某个变化过程中该量的值是否发生变化。
函数的定义：一般的，在一个变化过程中，如果有两个变量x和y，并且对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与其对应，那么我们就把x称为自变量，把y称为因变量，y是x的函数。
如果当x=a时y=b，那么b叫做当自变量的值为a时的函数值。
【函数概念的解读】1、有两个变量。
2、一个变量的数值随另一个变量的数值变化而变化。
3、对于自变量每一个确定的值，函数有且只有一个值与之对应。
函数定义域：一般的，一个函数的自变量x允许取值的范围，叫做这个函数的定义域。
确定函数定义域的方法：（自变量取值范围）（1）关系式为整式时，函数定义域为全体实数；（2）关系式含有分式时，分式的分母不等于零；（3）关系式含有二次根式时，被开放方数大于等于零；（4）关系式中含有指数为零的式子时，底数不等于零；（5）实际问题中，函数定义域还要和实际情况相符合，使之有意义。
函数值概念：如果在自变量取值范围内给定一个值a，函数对应的值为b，那么b叫做当自变量取值为a时的函数值。
函数解析式：用来表示函数关系的数学式子叫做函数解析式或函数关系式。
函数的取值范围：使函数有意义的自变量的取值的全体，叫做自变量的取值范围。
画函数图像的一般步骤：1、列表2、描点3、连线函数图像上点的坐标与解析式之间的关系：1、将点的坐标代入到解析式中，如解析式两边成立，则点在解析式上，反之，不在。
2、两个函数图形交点的坐标就是这两个解析式所组成的方程组的解。
函数的三种表示法及其优缺点1、解析法：两个变量间的函数关系，有时可以用一个含有这两个变量及数字运算符号的等式表示，这种表示法叫做解析法。
2024语文新教材培训讲座：初中语文教材修订的变与不变
2024语文新教材培训讲座：初中语文教材修订的变与不变随着《义务教育语文课程标准（2022年版）》（以下简称“义教新课标”）的颁布实施，2022年3月教育部正式组织启动义务教育阶段语文教材修订，经过编写、讨论、修改、审查、试教、特级教师审读等多方面的工作，自2024年秋季学期起七年级上册将在初中起始年级全面使用（这套教材以下简称“修订教材”）。
由于现行教材（2017年秋季至现在使用的教材）进入课堂时间不长，编写期间也已经吸收了较多《普通高中语文课程标准（2017年版）》（以下简称“高中课标”，2015年启动修订）的新理念，且使用过程中每年或多或少都有修改增减，所以得到了众多好评。
因此，本次修订之初确定的一个基本原则就是：守正创新，稳中求进。
最终目标是：在总体保持稳定的前提下，根据义教新课标精神打磨优化、补充完善教材内容及编排体例，特别要突出语文“以文化人”的学科特性，整体提高教材质量。
一、整体保持稳定大家打开七年级上册教材，翻看目录就会觉得：教材没什么变化，还是那几个单元，那些个写作，只是调整了几篇课文，减少了综合性学习（修订教材称为“专题学习活动”）内容而已。
总体来说，这个感觉是对的。
教材建设的一个经验是：守正创新。
守不住传统，无视多年形成的行之有效的经验，创新就会大打折扣。
特别是初中尚处在重要的打基础阶段，必备知识的建构、关键能力的养成还离不开适当的讲解、传授、训练，经典文本的解读也是学生应该具备的语文能力。
为此，修订教材整体保持稳定是大前提。
1.全套教材总体架构基本保持不变总体架构是指每一册教材的单元和构成单元的各个板块的基本框架。
修订教材各册仍然是六个单元，每个单元包括阅读和写作两个基础板块，同时交叉安排专题学习活动（原“综合性学习”）、整本书阅读（原“名著导读”）、课外古诗词诵读、语文知识补白等内容。
现行统编语文教材八年级的“口语交际”板块，如转述、复述、演讲、辩论、讨论等，因这些内容在其他学习板块中多有融入、交叉，所以修订教材将其重点融入专题学习活动，不再单列。
同角三角函数基本关系式与诱导公式知识点讲解+例题讲解(含解析)
同角三角函数基本关系式与诱导公式一、知识梳理1.同角三角函数的基本关系(1)平方关系：sin2α＋cos2α＝1.(2)商数关系：sin αcos α＝tanα.2.三角函数的诱导公式总结：1.同角三角函数关系式的常用变形(sin α±cos α)2＝1±2sin αcos α；sin α＝tan α·cos α.2.诱导公式的记忆口诀“奇变偶不变，符号看象限”，其中的奇、偶是指π2的奇数倍和偶数倍，变与不变指函数名称的变化.3.在利用同角三角函数的平方关系时，若开方，要特别注意判断符号.二、例题精讲 + 随堂练习1.判断下列结论正误(在括号内打“√”或“×”)(1)sin(π＋α)＝－sin α成立的条件是α为锐角.()(2)六组诱导公式中的角α可以是任意角.()(3)若α∈R，则tan α＝sin αcos α恒成立.()(4)若sin(k π－α)＝13(k ∈Z )，则sin α＝13.( ) 解析 (1)中对于任意α∈R ，恒有sin(π＋α)＝－sin α. (3)中当α的终边落在y 轴，商数关系不成立. (4)当k 为奇数时，sin α＝13， 当k 为偶数时，sin α＝－13. 答案 (1)× (2)√ (3)× (4)×2.已知tan α＝－3，则cos 2α－sin 2α＝( ) A.45B.－45C.35D.－35解析 由同角三角函数关系得cos 2α－sin 2α＝cos 2α－sin 2αcos 2α＋sin 2α＝1－tan 2α1＋tan 2α＝1－91＋9＝－45.答案 B3.已知α为锐角，且sin α＝45，则cos (π＋α)＝( ) A.－35B.35C.－45D.45解析 因为α为锐角，所以cos α＝1－sin 2α＝35， 故cos(π＋α)＝－cos α＝－35. 答案 A4.(2017·全国Ⅲ卷)已知sin α－cos α＝43，则sin 2α＝( )A.－79B.－29C.29D.79 解析 ∵(sin α－cos α)2＝1－2sin αcos α＝1－sin 2α， ∴sin 2α＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫432＝－79.答案 A5.(2019·济南质检)若sin α＝－513，且α为第四象限角，则tan α＝( ) A.125B.－125C.512D.－512解析 ∵sin α＝－513，α为第四象限角，∴cos α＝1－sin 2α＝1213，因此tan α＝sin αcos α＝－512. 答案 D6.(2018·上海嘉定区月考)化简：sin 2(α＋π)·cos(π＋α)·cos(－α－2π)tan(π＋α)·sin 3⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α·sin(－α－2π)＝________.解析 原式＝sin 2α·(－cos α)·cos αtan α·cos 3α·(－sin α)＝sin 2αcos 2αsin 2αcos 2α＝1.答案 1考点一 同角三角函数基本关系式 角度1 公式的直接运用【例1－1】 (2018·延安模拟)已知α∈⎝⎛⎭⎪⎫－π，－π4，且sin α＝－13，则cos α＝( ) A.－223 B.223 C.±223 D.23解析 因为α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π，－π4，且sin α＝－13>－22＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π4，所以α为第三象限角，所以cos α＝－1－sin 2α＝－1－⎝ ⎛⎭⎪⎫－132＝－223. 答案 A角度2 关于sin α，cos α的齐次式问题 【例1－2】 已知tan αtan α－1＝－1，求下列各式的值.(1)sin α－3cos αsin α＋cos α；(2)sin 2α＋sin αcos α＋2.解 由已知得tan α＝12. (1)sin α－3cos αsin α＋cos α＝tan α－3tan α＋1＝－53. (2)sin 2α＋sin αcos α＋2＝sin 2α＋sin αcos αsin 2α＋cos 2α＋2＝tan 2α＋tan αtan 2α＋1＋2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫122＋12⎝ ⎛⎭⎪⎫122＋1＋2＝135.角度3 “sin α±cos α，sin αcos α”之间的关系 【例1－3】 已知x ∈(－π，0)，sin x ＋cos x ＝15. (1)求sin x －cos x 的值； (2)求sin 2x ＋2sin 2x 1－tan x 的值.解 (1)由sin x ＋cos x ＝15，平方得sin 2x ＋2sin x cos x ＋cos 2x ＝125， 整理得2sin x cos x ＝－2425.所以(sin x －cos x )2＝1－2sin x cos x ＝4925. 由x ∈(－π，0)，知sin x <0，又sin x ＋cos x >0， 所以cos x >0，则sin x －cos x <0， 故sin x －cos x ＝－75.(2)sin 2x ＋2sin 2x 1－tan x＝2sin x （cos x ＋sin x ）1－sin x cos x＝2sin x cos x （cos x ＋sin x ）cos x －sin x＝－2425×1575＝－24175.【训练1】 (1)(2019·烟台测试)已知sin αcos α＝18，且5π4<α<3π2，则cos α－sin α的值为( )A.－32B.32C.－34D.34(2)已知sin α＋3cos α3cos α－sin α＝5，则cos 2α＋12sin 2α的值是( )A.35B.－35C.－3D.3解析 (1)∵5π4<α<3π2，∴cos α<0，sin α<0且cos α>sin α， ∴cos α－sin α>0.又(cos α－sin α)2＝1－2sin αcos α＝1－2×18＝34， ∴cos α－sin α＝32.(2)由sin α＋3cos α3cos α－sin α＝5得tan α＋33－tan α＝5，可得tan α＝2，则cos 2α＋12sin 2α＝cos 2α＋sin αcos α＝cos 2α＋sin αcos αcos 2α＋sin 2α＝1＋tan α1＋tan 2α＝35.答案 (1)B (2)A考点二 诱导公式的应用【例2】 (1)设f (α)＝2sin （π＋α）cos （π－α）－cos （π＋α）1＋sin 2α＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2＋α－sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α(1＋2sin α≠0)，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫76π＝________. (2)已知cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－θ＝a ，则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π6＋θ＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3－θ的值是________. 解析 (1)∵f (α)＝（－2sin α）（－cos α）＋cos α1＋sin 2α＋sin α－cos 2α＝2sin αcos α＋cos α2sin 2α＋sin α＝cos α（1＋2sin α）sin α（1＋2sin α）＝1tan α，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫76π＝1tan 76π＝1tan π6＝ 3. (2)∵cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π6＋θ＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π－⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－θ＝－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－θ＝－a ，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3－θ＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－θ＝a ， ∴cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π6＋θ＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3－θ＝－a ＋a ＝0.答案 (1)3 (2)0【训练2】 (1)(2019·衡水中学调研)若cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－α＝23，则cos(π－2α)＝( )A.29B.59C.－29D.－59 (2)(2017·北京卷)在平面直角坐标系xOy 中，角α与角β均以Ox 为始边，它们的终边关于y 轴对称.若sin α＝13，则sin β＝________. 解析 (1)由cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－α＝23，得sin α＝23.∴cos(π－2α)＝－cos 2α＝－(1－2sin 2α)＝2sin 2α－1＝2×29－1＝－59. (2)α与β的终边关于y 轴对称，则α＋β＝π＋2k π，k ∈Z ，∴β＝π－α＋2k π，k ∈Z .∴sin β＝sin(π－α＋2k π)＝sin α＝13. 答案 (1)D (2)13考点三 同角三角函数基本关系式与诱导公式的综合应用【例3】 (1)(2019·菏泽联考)已知α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2，2π，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α＝13，则tan(π＋2α)＝( ) A.427B.±225C.±427D.225(2)(2019·福建四地六校联考)已知α为锐角，且2tan(π－α)－3cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋β＋5＝0，tan(π＋α)＋6sin(π＋β)－1＝0，则sin α的值是( ) A.355B.377C.31010D.13解析 (1)∵α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2，2π，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α＝13，∴cos α＝13，sin α＝－223，tan α＝sin αcos α＝－2 2.∴tan(π＋2α)＝tan 2α＝2tan α1－tan 2α＝－421－（－22）2＝427. (2)由已知得⎩⎨⎧3sin β－2tan α＋5＝0，tan α－6sin β－1＝0.消去sin β，得tan α＝3，∴sin α＝3cos α，代入sin 2α＋cos 2α＝1，化简得sin 2α＝910，则sin α＝31010(α为锐角). 答案 (1)A (2)C(3)已知－π<x <0，sin(π＋x )－cos x ＝－15. ①求sin x －cos x 的值； ②求sin 2x ＋2sin 2 x 1－tan x的值.解 ①由已知，得sin x ＋cos x ＝15， 两边平方得sin 2x ＋2sin x cos x ＋cos 2x ＝125，整理得2sin x cos x ＝－2425.∵(sin x －cos x )2＝1－2sin x cos x ＝4925，由－π<x <0知，sin x <0， 又sin x cos x ＝－1225<0， ∴cos x >0，∴sin x －cos x <0， 故sin x －cos x ＝－75.②sin 2x ＋2sin 2x 1－tan x＝2sin x （cos x ＋sin x ）1－sin x cos x＝2sin x cos x （cos x ＋sin x ）cos x －sin x＝－2425×1575＝－24175.【训练3】 (1)(2019·湖北七州市联考)已知α∈(0，π)，且cos α＝－513，则sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－α·tan α＝( ) A.－1213 B.－513C.1213D.513(2)已知θ是第四象限角，且sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝35，则tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π4＝________.解析 (1)∵α∈(0，π)，且cos α＝－513，∴sin α＝1213，因此sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－α·tan α＝cos α·sin αcos α＝sin α＝1213.(2)由题意，得cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝45，∴tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝34.∴tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π4＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4－π2＝－1tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝－43. 答案 (1)C (2)－43三、课后练习1.若sin θ，cos θ是方程4x 2＋2mx ＋m ＝0的两根，则m 的值为( ) A.1＋ 5 B.1－5 C.1± 5D.－1－5解析 由题意知sin θ＋cos θ＝－m 2，sin θ·cos θ＝m4.又()sin θ＋cos θ2＝1＋2sin θcos θ，∴m 24＝1＋m2，解得m ＝1± 5.又Δ＝4m 2－16m ≥0，∴m ≤0或m ≥4，∴m ＝1－ 5. 答案 B2.已知sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2－αcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－7π2＋α＝1225，且0<α<π4，则sin α＝________，cos α＝________.解析 sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2－αcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－7π2＋α＝－cos α·(－sin α)＝sin αcos α＝1225.∵0<α<π4，∴0<sin α<cos α.又∵sin 2α＋cos 2α＝1，∴sin α＝35，cos α＝45. 答案 35 453.已知k ∈Z ，化简：sin （k π－α）cos[（k －1）π－α]sin[（k ＋1）π＋α]cos （k π＋α）＝________.解析 当k ＝2n (n ∈Z )时，原式＝sin （2n π－α）cos[（2n －1）π－α]sin[（2n ＋1）π＋α]cos （2n π＋α）＝sin （－α）·cos （－π－α）sin （π＋α）·cos α＝－sin α（－cos α）－sin α·cos α＝－1；当k ＝2n ＋1(n ∈Z )时，原式＝sin[（2n ＋1）π－α]·cos[（2n ＋1－1）π－α]sin[（2n ＋1＋1）π＋α]·cos[（2n ＋1）π＋α]＝sin （π－α）·cos αsin α·cos （π＋α）＝sin α·cos αsin α（－cos α）＝－1. 综上，原式＝－1. 答案 －14.是否存在α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2，β∈(0，π)，使等式sin(3π－α)＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－β，3cos(－α)＝－2cos(π＋β)同时成立？若存在，求出α，β的值；若不存在，请说明理由. 解 假设存在角α，β满足条件，则由已知条件可得⎩⎨⎧sin α＝2sin β， ①3cos α＝2cos β，②由①2＋②2，得sin 2α＋3cos 2α＝2. ∴sin 2α＝12，∴sin α＝±22.∵α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2，∴α＝±π4. 当α＝π4时，由②式知cos β＝32，又β∈(0，π)，∴β＝π6，此时①式成立； 当α＝－π4时，由②式知cos β＝32，又β∈(0，π)，∴β＝π6，此时①式不成立，故舍去.∴存在α＝π4，β＝π6满足条件.5.已知sin α＝23，α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，则cos(π－α)＝________，cos 2α＝________.解析 cos(π－α)＝－cos α＝－1－sin 2α＝－73，cos 2α＝cos 2α－sin 2α＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－732－⎝ ⎛⎭⎪⎫232＝59.答案 －73 59。
分数变形约分法简算讲解
分数变形约分法简算讲解（原创实用版）目录1.分数变形的概念2.分数变形的方法3.约分的概念4.约分的方法5.简算讲解正文一、分数变形的概念分数变形，就是在保持分数的值不变的情况下，对分数进行简化或者转化。
分数变形通常包括分子分母同乘（除）一个数，或者将一个分数转化为和（差）的形式。
分数变形可以使分数的表达形式更简单，更易于计算。
二、分数变形的方法分数变形的方法主要包括以下两种：1.分子分母同乘（除）一个数：当分子和分母存在公共因子时，可以将分子和分母同时除以这个公共因子，使分数更简洁。
例如：将分数 8/12 变形为 2/3，就是将分子和分母同时除以 4。
2.将一个分数转化为和（差）的形式：当一个分数的分子与分母存在倍数关系时，可以将这个分数转化为和（差）的形式。
例如：将分数 6/4 转化为 1 1/2，就是将6/4拆分为1 + 1/2 + 1/4。
三、约分的概念约分，就是将一个分数的分子和分母同时除以它们的最大公约数，使分数的值不变，但是分数的形式更简洁。
约分是分数变形的一种特殊形式。
四、约分的方法约分的方法主要是找到分子和分母的最大公约数，然后将分子和分母同时除以这个最大公约数。
具体步骤如下：1.找到分子和分母的公因数。
2.从最小的公因数开始，找到分子和分母的最大公约数。
3.将分子和分母同时除以最大公约数，得到约分后的分数。
五、简算讲解在进行分数变形和约分时，需要注意以下几点：1.变形和约分要保持分数的值不变。
2.约分时，要找到分子和分母的最大公约数，避免出现错误。
3.在实际计算中，可以先对分数进行变形，然后再进行约分，这样可能会更简便。
4.对于复杂的分数，可以先将其分解为简单的分数之和（差），然后再进行约分，这样可以使计算更简单。
通过以上讲解，相信大家对分数变形和约分的方法已经有了一定的了解。
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奇效。 • 7、股市奇才巴菲特知道只有以灵活地适应市场的
变化，才能立于不败之地，从而创造了世界股市 的神话。 • 8、当前的改革核心无外乎一个“变”字，是“变” 让中国重新立于世界之林。
• 9、不知变通，因循守旧，只能坐以待毙。
• 7、对处世而言，既要懂变通，又要会坚守。（变 通，方能适时而动，适者生存。坚守，才可高处着 眼，大处入手；只变通不坚守，可能迷失自我，误 入歧途；只坚守而不变通,恐会思想高远,却又惨遭 淘汰。）
• 8、我们应时而变，就是为了坚守美好的人格（节 操、梦想、品质……）；
• 9、不改变（坚守）……，才能让自己变得更好； • 10、以“不变……”应“万变”；（世间唯一不会
• ②时代变迁，社会发展的必然；
• ③但一定不能改变美好的人格；
• ④人生丰富多彩了，欲望也在膨胀，而想要 避免自己迷失其中，就一定坚守自己的真性 情、好人格。
• 三、思辨分析：人生中的变与不变
• 1、人不能改变相貌，但可以改变笑容。
• 2、人不能改变命运，但可以调整改变心态。
• 3、人不能改变身材高度，但可以改变体态宽 度。
就不是“是非选择”关系了，理解为“是变还是不变”， 就不恰当了。 • 二者也可理解为对立统一关系，即“变，是为了不变”， “不变，才能变得更好”，“变必须以不变为基础”， “变有利于不变（坚守）”，或是“变为了更好地坚守。 • 7、进一步明确，材料中“变”与“不变”所指对象不同， 作文中也应具体指明和区分： • 时代变迁了，生活急剧变化了，我们的很多方面都会变， 更重要的是，我们要不断改变自己，提高自己。 • 同时，有一些东西是不能变的，是要始终坚守的，比如原 则，正直、真诚、善良、坚韧、乐观等美好的人格。
• 4、人不能选择父母，但可以选择朋友。近朱 者赤，近墨者黑。人生往往成也朋友，败也朋 友，关键要选准朋友，提协自我，善借人脉资 源，才能成功铸大业。
• 5、人不能改变遗传基因，但可以改变生活习 惯。远离不良嗜好，科学起居饮食。人有一个 良好的生活习惯，人体生物钟不紊乱，免疫功 能强，才能养生促健康。
改变的就是变化。财富名利，荣辱得失，不过镜花 水月，随时会变。只有保持良好的心态，坚守高洁 的品质，才能在各种变化中把持自己，完善自我） • 11、生活在发生着改变，而有些东西不能改变；
• 构思示例：
• 我们要积极改变自己，但一定不能改变美好 的人格
• 改 变，不断突破自身极限；
• 13、当然，我们不能为了变而变，见时尚就好， 遇明星就帅，有时，保持自己的个性是多么的重 要。东施效颦，邯郸学步，我们不可不引以为戒， 否则，把自己变得面目全非，不光别人不认识你， 恐怕自己都会认不出自己了。
• （二）关于不变 • 变有道，不变亦有道，当不可不思。 • 1、万事可变，良好的道德不能变。 • 2、 除法律之外，良好的道德是维系社会秩序的保证。 • 3、个人修养需要道德：诚信、孝道、助人……使社会更
• ----回归材料，看材料中所透露的信息。从材料看，应抓 住两句关键的语句：“人生也总是处在变化之中”，“人 生中有些东西却是不能变化、不会变化或无法变化的”。
• 第一：人生总是处在变化之中； • 第二：举各种外物变化例子； • 第三：强调有些东西——精神内蕴——不变； • 二者可理解为并列共存关系，即“要变，也要不变”，这
加和谐
• 二、根据以上分析与判断立意举例： • 1、无论自己的人生怎么变，美好的人格（道德、公德心、
真诚、做人的原则等）不能变；
• 2、不管生活怎么变，自己那对“真善美的追求”（……） 不能变；
• 3、我们要积极改变人生，但一定不能改变美好的人格 （道德、公德心、真诚、做人的原则等）；
• 4、我们要应时而变，但不能改变“对社会尽有的一份责 任心”（……）；
• （一）关于变 • 1、《易经》中说：“穷则变，变则通，通则久。” • 2、大禹一改其父鲧的围堵之法，而采用疏导之法，
变通让他终治天下之洪水。 • 3、赵武灵王胡服骑射，变通让赵国成为当时七雄
中的佼佼者。 • 4、商鞅变法，才有了秦国的强大，才有了始皇帝
的一统天下。 • 5、北魏孝文帝穿汉服，说汉语，是变通让其融合
• 5、当变则变，该坚守就坚守，彰显人生智慧。（“变” 是一种态度，“不变”是一种深度）
• 观念要变，心境不要变。 • 方法、手段可以变，但追求不能变。
• 6、对做人而言，既要有变的进取心，又要有不变 的操守。（变，才能感受人生的奥妙，追求生命的 灿烂；不变，才能守住自己的精神家园，彰显品格 和修为。）
变与不变讲解
• 一、审题： • 1、给材料命题作文； • 2、此题目基本相当话题作文，只是命题而已； • 3、题目基本结构为并列短语（属关系型话题）
“变与不变”，不过是涉及“人生的”； • 4、回顾复习资料： • 关系型作文话题要素之间的关系主要有：A、对
立统一关系；B、是非取舍关系；C、并非绝对关 系；D、并列共存关系； • 5、此处，“人生的变与不变”，结构并列，而要 素之间应是什么关系呢？ • “变”是“变化、改变”“变迁”“变通”； • “不变”是“保持”“坚守”。
• 10、清政府闭关锁国，无法接受维新，认为祖宗 之法不可变，最后不也落得个被八国联军欺辱， 最辛亥革命赶出了历史舞台吗？
• 11、那些在市场经济大潮中的企业，如果不知变 通，那只能关门大吉。
• 12、对于我们个人，解题时，变换一下思路，可 能会柳暗花明；对于新生的事物，变换一下思维， 可能认识会与众不同。