2020年江苏高考数学全真模拟试卷(四)(南通教研室)(含解析)
江苏省南通市2019-2020学年高考数学仿真第四次备考试题含解析
江苏省南通市2019-2020学年高考数学仿真第四次备考试题一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知F 为抛物线24y x =的焦点，点A 在抛物线上，且5AF =，过点F 的动直线l 与抛物线,B C 交于两点，O 为坐标原点，抛物线的准线与x 轴的交点为M .给出下列四个命题： ①在抛物线上满足条件的点A 仅有一个；②若P 是抛物线准线上一动点，则PA PO +的最小值为 ③无论过点F 的直线l 在什么位置，总有OMB OMC ∠=∠；④若点C 在抛物线准线上的射影为D ，则三点B O D 、、在同一条直线上. 其中所有正确命题的个数为（ ） A ．1 B ．2C ．3D ．4【答案】C 【解析】 【分析】①：由抛物线的定义可知15AF a =+=，从而可求A 的坐标；②：做A 关于准线1x =-的对称点为'A ，通过分析可知当',,A P O 三点共线时PA PO +取最小值，由两点间的距离公式，可求此时最小值'A O ；③：设出直线l 方程，联立直线与抛物线方程，结合韦达定理，可知焦点坐标的关系，进而可求0MB MC k k +=，从而可判断出,OMB OMC ∠∠的关系；④：计算直线,OD OB 的斜率之差，可得两直线斜率相等，进而可判断三点B O D 、、在同一条直线上. 【详解】解：对于①，设(),A a b ，由抛物线的方程得()1,0F ，则15AF a =+=， 故4a =， 所以()4,4A 或()4,4-，所以满足条件的点A 有二个，故①不正确； 对于②，不妨设()4,4A ，则A 关于准线1x =-的对称点为()'6,4A -，故''PA OP PA OP A O +=+≥==， 当且仅当',,A P O 三点共线时等号成立，故②正确；对于③，由题意知，()1,0M - ，且l 的斜率不为0，则设l 方程为：()10x my m =+≠， 设l 与抛物线的交点坐标为()()1122,,,B x y C x y ，联立直线与抛物线的方程为，214x my y x=+⎧⎨=⎩ ，整理得2440y my --=，则12124,4y y m y y +==-，所以21242x x m +=+，()()221212114411x x my my m m =++=-++=则()()()()1221121212121212121122211111MB MCy x y x y y y y my y k k x x x x x x x x ++++++=+==+++++++ 2242404211m m m ⨯-⨯==+++.故,MB MC 的倾斜角互补，所以OMB OMC ∠=∠，故③正确. 对于④，由题意知()21,D y - ，由③知，12124,4y y m y y +==- 则12114,OB OD y k k y x y ===- ，由12211440OB OD y y k k y y y +-=+==， 知OB OD k k =，即三点B O D 、、在同一条直线上，故④正确. 故选:C. 【点睛】本题考查了抛物线的定义，考查了直线与抛物线的位置关系，考查了抛物线的性质，考查了直线方程，考查了两点的斜率公式.本题的难点在于第二个命题，结合初中的“饮马问题”分析出何时取最小值. 2．已知排球发球考试规则：每位考生最多可发球三次，若发球成功，则停止发球，否则一直发到3次结束为止．某考生一次发球成功的概率为()01p p <<，发球次数为X ，若X 的数学期望() 1.75E X >，则p 的取值范围为( )A ．10,2⎛⎫⎪⎝⎭B ．70,12⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．7,112⎛⎫ ⎪⎝⎭【答案】A 【解析】 【分析】根据题意，分别求出()()()123P X P X P X ===，，，再根据离散型随机变量期望公式进行求解即可 【详解】由题可知()1P X p ==，()()21P X p p ==-，()()()()2323111P X p p p p ==-+-=-，则()()()()()()21232131 1.75E X P X P X P X p p p p =====+-+->+2+3解得5122p p ><或，由()0,1p ∈可得10,2p ⎛∈⎫⎪⎝⎭， 答案选A 【点睛】本题考查离散型随机变量期望的求解，易错点为第三次发球分为两种情况：三次都不成功、第三次成功 3．已知数列{}n a 满足：12125 1,6n n n a a a a n -≤⎧=⎨-⎩L …()*n N ∈)若正整数()5k k ≥使得2221212k k a a a a a a ++⋯+=⋯成立，则k =（ ）A ．16B ．17C ．18D ．19【答案】B 【解析】 【分析】计算2226716...5n n a a a a a n ++++=-+-，故2221211...161k k k a a a a k a +++++=+-=+，解得答案.【详解】当6n ≥时，()1211111n n n n n a a a a a a a +--==+-L ，即211n n n a a a +=-+，且631a =.故()()()222677687116......55n n n n a a a a a a a a a n a a n +++++=-+-++-+-=-+-，2221211...161k k k a a a a k a +++++=+-=+，故17k =.故选：B . 【点睛】本题考查了数列的相关计算，意在考查学生的计算能力和对于数列公式方法的综合应用.4．已知抛物线22(0)y px p =>，F 为抛物线的焦点且MN 为过焦点的弦，若||1OF =，||8MN =，则OMN V 的面积为（ ）A ．B ．C ．D ．2【答案】A 【解析】 【分析】根据||1OF =可知24y x =,再利用抛物线的焦半径公式以及三角形面积公式求解即可. 【详解】由题意可知抛物线方程为24y x =,设点()11,M x y 点()22,N x y ,则由抛物线定义知,12|||||2MN MF NF x x =+=++,||8MN =则126x x +=.由24y x =得2114y x =,2224y x =则221224y y +=.又MN 为过焦点的弦,所以124y y =-,则21y y -==所以211||2OMN S OF y y =⋅-=V . 故选：A【点睛】本题考查抛物线的方程应用,同时也考查了焦半径公式等.属于中档题.5．若数列{}n a 为等差数列，且满足5383a a a ++＝，n S 为数列{}n a 的前n 项和，则11S ＝（ ） A ．27 B ．33C ．39D ．44【答案】B 【解析】 【分析】利用等差数列性质，若m n p q ++＝，则m n p q a a a a ++＝ 求出63a ＝，再利用等差数列前n 项和公式得111116+)11(11332a a S a =＝＝【详解】解：因为 5383a a a ++＝，由等差数列性质，若m n p q ++＝，则m n p q a a a a ++＝得，63a ∴＝．n S 为数列{}n a 的前n 项和，则111116+)11(11332a a S a =＝＝．故选：B ． 【点睛】本题考查等差数列性质与等差数列前n 项和.(1)如果{}n a 为等差数列，若m n p q ++＝，则m n p q a a a a ++＝ ()*m n p q N ∈，，，． (2)要注意等差数列前n 项和公式的灵活应用，如21(21)n n S n a -=-.6．已知抛物线24x y =上一点A 的纵坐标为4，则点A 到抛物线焦点的距离为（ ） A ．2 B ．3 C ．4 D ．5【答案】D 【解析】试题分析：抛物线24x y =焦点在y 轴上，开口向上，所以焦点坐标为(0,1)，准线方程为1y =-，因为点A 的纵坐标为4，所以点A 到抛物线准线的距离为415+=，因为抛物线上的点到焦点的距离等于到准线的距离，所以点A 与抛物线焦点的距离为5.考点：本小题主要考查应用抛物线定义和抛物线上点的性质抛物线上的点到焦点的距离，考查学生的运算求解能力.点评：抛物线上的点到焦点的距离等于到准线的距离，这条性质在解题时经常用到，可以简化运算. 7．用数学归纳法证明，则当时，左端应在的基础上加上（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】C 【解析】 【分析】首先分析题目求用数学归纳法证明1+1+3+…+n 1=时，当n=k+1时左端应在n=k 的基础上加上的式子，可以分别使得n=k ，和n=k+1代入等式，然后把n=k+1时等式的左端减去n=k 时等式的左端，即可得到答案． 【详解】当n=k 时，等式左端=1+1+…+k 1，当n=k+1时，等式左端=1+1+…+k 1+k 1+1+k 1+1+…+（k+1）1，增加了项（k 1+1）+（k 1+1）+（k 1+3）+…+（k+1）1． 故选：C ． 【点睛】本题主要考查数学归纳法，属于中档题./8．函数22()2cos (sin cos )2f x x x x =++-的一个单调递增区间是（ ） A ．,44ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ B ．3,88ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ C ．5,88ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．59,88ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦【答案】D 【解析】 【分析】利用同角三角函数的基本关系式、二倍角公式和辅助角公式化简()f x 表达式，再根据三角函数单调区间的求法，求得()f x 的单调区间，由此确定正确选项. 【详解】因为22()2cos (sin cos )2f x x x x =++-1cos 21sin 22224x x x π⎛⎫=+++-=+ ⎪⎝⎭，由()f x 单调递增，则222242k x k πππππ-≤+≤+（k ∈Z ），解得388k x k ππππ-≤≤+（k ∈Z ），当1k =时，D 选项正确.C 选项是递减区间，A ，B 选项中有部分增区间部分减区间. 故选：D 【点睛】本小题考查三角函数的恒等变换，三角函数的图象与性质等基础知识；考查运算求解能力，推理论证能力，数形结合思想，应用意识.9．在ABC ∆中，“tan tan 1B C >”是“ABC ∆为钝角三角形”的（ ） A ．充分非必要条件 B ．必要非充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】C 【解析】分析：从两个方向去判断，先看tan tan 1A B >能推出三角形的形状是锐角三角形，而非钝角三角形，从而得到充分性不成立，再看当三角形是钝角三角形时，也推不出tan tan 1A B >成立，从而必要性也不满足，从而选出正确的结果.详解：由题意可得，在ABC ∆中，因为tan tan 1A B >， 所以sin sin 1cos cos A BA B>，因为0,0A B ππ<<<<，所以sin sin 0A B >，cos cos 0A B >，结合三角形内角的条件，故A,B 同为锐角，因为sin sin cos cos A B A B >， 所以cos cos sin sin 0A B A B -<，即cos()0A B +<，所以2A B ππ<+<，因此02C <<π，所以ABC ∆是锐角三角形，不是钝角三角形，所以充分性不满足，反之，若ABC ∆是钝角三角形，也推不出“tan tan 1B C >，故必要性不成立， 所以为既不充分也不必要条件，故选D.点睛：该题考查的是有关充分必要条件的判断问题，在解题的过程中，需要用到不等式的等价转化，余弦的和角公式，诱导公式等，需要明确对应此类问题的解题步骤，以及三角形形状对应的特征. 10．数列{}n a 满足：21n n n a a a +++=，11a =，22a =，n S 为其前n 项和，则2019S =（ ） A ．0 B ．1C ．3D ．4【答案】D 【解析】 【分析】用1n +去换21n n n a a a +++=中的n ，得312n n n a a a ++++=，相加即可找到数列{}n a 的周期，再利用2019S =6123336S a a a +++计算.【详解】由已知，21n n n a a a +++=①，所以312n n n a a a ++++=②，①+②，得3n n a a +=-，从而6n n a a +=，数列是以6为周期的周期数列，且前6项分别为1，2，1，-1，-2，-1，所以60S =，2019126123336()01214S a a a a a a =++++++=+++=L .故选：D. 【点睛】本题考查周期数列的应用，在求2019S 时，先算出一个周期的和即6S ，再将2019S 表示成6123336S a a a +++即可，本题是一道中档题.11．某四棱锥的三视图如图所示，该几何体的体积是（ ）A ．8B ．83C ．4D ．43【答案】D 【解析】 【分析】根据三视图知，该几何体是一条垂直于底面的侧棱为2的四棱锥，画出图形，结合图形求出底面积代入体积公式求它的体积． 【详解】根据三视图知，该几何体是侧棱PA ⊥底面ABCD 的四棱锥，如图所示：结合图中数据知，该四棱锥底面为对角线为2的正方形， 高为PA=2，∴四棱锥的体积为21242323V =⋅⋅=.故选：D. 【点睛】本题考查由三视图求几何体体积，由三视图正确复原几何体是解题的关键，考查空间想象能力．属于中等题.12．一个正方体被一个平面截去一部分后,剩余部分的三视图如下图,则截去部分体积与剩余部分体积的比值为（ ）A ．18B ．17C ．16D ．15【答案】D 【解析】 【分析】 【详解】试题分析：如图所示，截去部分是正方体的一个角,其体积是正方体体积的16,剩余部分体积是正方体体积的56,所以截去部分体积与剩余部分体积的比值为,故选D. 考点：本题主要考查三视图及几何体体积的计算. 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
【精准解析】江苏省南通市2020届高三下学期第四次调研测试数学试题
江苏省南通市2020届高三第四次调研测试数学试题第Ⅰ卷（必做题，共160分）一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分，请将答案填写在答题卷相应的位置上．）1.已知集合{}3,1,1,3A =--，{}2230B xx x =--=∣，则A B =________．【答案】{1,3}- 【解析】 【分析】解一元二次方程求得集合B ，由此求得AB .【详解】由()()223310x x x x --=-+=解得1x =-或3x =，所以{}1,3B =-，所以A B ={1,3}-故答案为：{1,3}-【点睛】本小题主要考查集合交集的概念和运算，属于基础题.2.已知复数z 满足()24z i -=，其中i 是虚数单位，则z 的实部为________． 【答案】2 【解析】 【分析】由已知求出24z i =-，即得z 的实部. 【详解】由题得24424iz i i i -===-， 所以24z i =-， 所以z 的实部为2. 故答案为：2【点睛】本题主要考查复数的运算和复数实部的概念，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.3.某中学为了了解高三年级女生的体重（单位：千克）情况，从中随机抽测了100名女生的体重，所得数据均在区间[]48,58中，其频率分布直方图如图所示，则在抽测的100名女生中，体重在区间[]50,56的女生数为________．【答案】75 【解析】 【分析】先根据频率分布直方图求出所求区间的频率，然后乘以总人数即为所求. 【详解】由频率分布直方图可知，体重在区间[]50,56的频率为()20.1000.1500.1250.75++=，所以体重在区间[]50,56的女生数为0.7510075.⨯=故答案为：75【点睛】本题主要考查频率分布直方图，属于基础题.4.一个算法的伪代码如图所示，执行此算法，若输出的值为7-，则输入的x 的值为________．【答案】1 【解析】 【分析】模拟程序的运行过程可知该程序的功能是求分段函数的函数值，利用分类讨论即可求出答案．【详解】解：模拟程序的运行过程可知，该程序的功能是求分段函数6,228,23x x y x x-≥⎧⎪=⎨-<⎪-⎩的函数值，当2x ≥时，67x -=-，得1x =-，不符合题意； 当2x <时，2873x-=--，得1x =，符合题意； ∴输入的x 的值为1， 故答案为：1．【点睛】本题主要考查程序与算法的应用，属于基础题．5.在平面直角坐标系xOy 中，已知双曲线2216416x y -=上一点M 到它的一个焦点的距离等于1，则点M 到另一个焦点的距离为________． 【答案】17 【解析】 【分析】设双曲线的左右焦点分别为12,F F ,由题得12||||||16MF MF -=，令2||1MF =即得解. 【详解】设双曲线的左右焦点分别为12,F F ,由题得12||||||2816MF MF -=⨯=,所以11|||1|2816||17MF MF -=⨯=∴=，或15-（舍）. 所以点M 到另一个焦点的距离为17. 故答案为：17.【点睛】本题主要考查双曲线的定义，意在考查学生对该知识的理解掌握水平.6.已知区域{(,)|||2A x y x =，||2}y 和{(,)|0B x y x =>，0y >，2}x y +，若在区域A 内随机取一点，则该点恰好落在区域B 内的概率为________． 【答案】18【解析】 【分析】分别求出集合A ，B 所对应的区域的面积，然后根据几何概型的概率公式即可求解．【详解】因为{(,)|||2A x y x =，||2}y 表示的区域是以4为边长的正方形，面积为16， 由{(,)|0B x y x =>，0y >，2}x y +可知，其区域为如图所示的阴影部分，面积12222S =⨯⨯=，故在区域A 内随机取一点，则该点恰好落在区域B 内的概率21168P ==. 故答案为：18.【点睛】本题主要考查几何概型的概率的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和数形结合分析数学问题的能力.7.若实数x ，y 满足34x y +=，则28x y +的最小值为________． 【答案】8 【解析】 【分析】利用基本不等式求得所求表达式的最小值.【详解】依题意3334282222222228x y x y x y x y ++=+≥⋅===，当且仅当322x y =，即32x y ==时等号成立.所以28x y +的最小值为8. 故答案为：8【点睛】本小题主要考查利用基本不等式求最值，属于基础题.8.已知数列{}n a 满足112n nn n a a a a +++=-，且119a =，则6a 的值为________． 【答案】27 【解析】【分析】根据已知条件判断出数列{}n a 是等比数列，进而求得6a 的值. 【详解】由于112n nn na a a a +++=-，1122n n n n a a a a +++=-，13n n a a +=，所以13n n a a +=，所以数列{}n a 是首项为119a =，公比为3q =的等比数列， 所以55361133279a a q =⋅=⨯==. 故答案为：27【点睛】本小题主要考查根据递推关系求某一项的值，考查等比数列的定义，属于基础题. 9.已知()f x 是定义在R 上的周期为3的奇函数，且(2)2(8)1f f -=+，则(2020)f 的值为________． 【答案】13【解析】 【分析】根据题意可知函数的周期为3，可得()()()(2)1,81-==-f f f f ，然后根据函数的奇偶性可得()1f ，最后利用函数的周期性可得(2020)f【详解】由题可知：函数()f x 是定义在R 上的周期为3的奇函数 所以()()()()(2)1,811-==-=-f f f f f ， 又(2)2(8)1f f -=+所以(1)2(1)1=-+f f ，则1(1)3f =所以()()1(2020)6733113=⨯+==f f f 故答案为：13【点睛】本题考查函数的周期性和奇偶性的综合应用，关键在于观察，利用函数的周期性，把大数变小数，属基础题.10.已知柏拉图多面体是指每个面都是全等的正多边形构成的凸多面体．著名数学家欧拉研究并证明了多面体的顶点数（V ）、棱数（E ）、面数（F ）之间存在如下关系：2V F E +-=．利用这个公式，可以证明柏拉图多面体只有5种，分别是正四面体、正六面体（正方体）、正八面体、正十二面体和正二十面体．若棱长相等的正六面体和正八面体（如图）的外接球的表面积分别为12,S S，则12SS的值为________．【答案】32【解析】【分析】设棱长为a，分别求出正六面体和正八面体的外接球半径即可.【详解】设棱长为a正六面体即正方体，它的外接球的半径等于体对角线的一半，所以13R a=对于正八面体，易得AC BD EF==，故其外接球的球心为AC中点，所以222R a=所以2211222234342424aS RS R aππ===故答案为：32【点睛】本题考查的是几何体外接球，找出球心的位置是解题的关键，属于中档题.11.在平面直角坐标系xOy 中，已知圆M 经过直线2:330x y l -+=与圆22:4C x y +=的两个交点，当圆M 的面积最小时，圆M 的标准方程为________．【答案】2233122x y ⎛⎫⎛⎫++-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭【解析】 【分析】直线l 的方程与圆C 方程联立，求出两交点,A B ，当圆M 的面积最小时，圆M 以AB 为直径，可求得圆的标准方程.【详解】由2:330x y l -+=与22:4C x y +=联立得22(323)4y y -+=， 得1y =或2y =，则两交点坐标为(3,1),(0,2)A B -，当圆M 的面积最小时，圆M 以AB 为直径，则圆心33(,)22-，半径为12AB =， 圆M 的标准方程为2233122x y ⎛⎫⎛⎫++-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.故答案为：2233122x y ⎛⎫⎛⎫++-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭【点睛】本题考查了求直线与圆的交点坐标，求以两点的线段为直径的圆的标准方程，属于基础题.12.如图，四边形ABCD 是以AB 为直径的圆的内接四边形．若2,1AB AD ==，则DC AB ⋅的取值范围是________．【答案】(0,3) 【解析】 【分析】连接,,BD BC AC ，则()2DC AB DA AB AB BC AC CB ⋅=⋅++⋅+，再由直径AB 可得1cos 2DAB ∠=，90ACB ∠=︒，从而可求DC AB ⋅的值. 【详解】连接,,BD BC AC因为AB 为直径，故90ADB ∠=︒，而2,1AB AD ==，所以1cos 2DAB ∠=. 同理90ACB ∠=︒.()2DC AB DA AB BC AB DA AB AB BC AB ⋅=++⋅=⋅++⋅()2112432BC AC CB CB ⎛⎫=⨯⨯-++⋅+=- ⎪⎝⎭，因为C 在BD 之间（异于,B D 两点），故(3BC ∈， 所以()0,3DC AB ⋅∈， 故答案为：(0,3).【点睛】本题考查向量的数量积，其计算方法有定义法、坐标法、基底法等，解题中注意向已知的向量转化.13.已知函数23,0()2,0x x f x x x x <⎧=⎨-≥⎩，则函数(()24)y f f x x =-+的不同零点的个数为________． 【答案】5 【解析】 【分析】先求得()f x 的零点，然后由(()24)0y f f x x =-+=，求得函数(()24)y f f x x =-+的不同零点的个数.【详解】由于函数23,0()2,0x x f x x x x <⎧=⎨-≥⎩，当0x <时，30x <，没有零点.当0x ≥时，220x x -=，解得10x =或22x =.令(()24)0y f f x x =-+=，则()240f x x -+=或()242f x x -+=，即()24f x x =-或()22f x x =-.由3240x x x =-⎧⎨<⎩或22240x x x x ⎧-=-⎨≥⎩或3220x x x =-⎧⎨<⎩或2222x x x x ⎧-=-⎨≥⎩. 解得4x =-或2x =，或2x =-，或2x =±所以函数(()24)y f f x x =-+的不同零点的个数为5.故答案为：5【点睛】本小题主要考查分段函数零点问题，属于中档题. 14.已知点G 是ABC 的重心，且GA GC ⊥，若111tan tan A C+=，则tan B 的值为________． 【答案】12【解析】 【分析】由GA GC ⊥得到0GA GC ⋅=，结合G 是ABC 的重心，得到2225b a c =+，结合余弦定理和正弦定理，求得tan B 的值.【详解】依题意GA GC ⊥，所以0GA GC ⋅=，所以()()0BA BG BC BG -⋅-=①， 因为G 是三角形ABC 的中心，所以()13BG BA BC =+②， 把②代入①并化简得5AC AC BC BC AB AB ⋅=⋅+⋅， 即2225b a c =+，由余弦定理得2222cos a c b ac B +=+， 所以242cos b ac B =，由正弦定理得22sin sin sin cos B A C B =③， 已知111tan tan A C+=， 所以cos cos sin cos cos sin sin sin sin sin A C A C A C A C A C ++=()sin sin 1sin sin sin sin A C BA C A C+===， 所以sin sin sin B A C =④，由③④得2sin cos B B =，所以1tan 2B =. 故答案为：12【点睛】本小题主要考查向量线性运算、数量积的运算，考查正弦定理、余弦定理解三角形，考查同角三角函数关系以及三角恒等变换，属于难题.二、解答题（本大题共6小题，共计90分，请在答题纸指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）15.如图，在三棱锥P ABC -中，PC ⊥平面,10,6,8ABC AB BC AC PC ====，E ，F 分别是,PA PC 的中点，求证：（1）//AC 平面BEF ； （2）PA ⊥平面BCE ．【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析.【解析】 【分析】（1）先证明//EF AC ，//AC 平面BEF 即得证；（2）先证明BC PA ⊥，PA EC ⊥，PA ⊥平面BCE 即得证． 【详解】（1）在PAC 中，E ，F 分别是,PA PC 的中点， 所以//EF AC ．又因为EF ⊂平面BEF ，AC ⊄平面BEF ， 所以//AC 平面BEF ．（2）在ABC 中，10,6,8AB BC AC === ， 所以222AB AC BC =+，所以BC AC ⊥． 因为PC ⊥平面ABC ，BC ⊂平面ABC ， 所以PC BC ⊥．又因为,,BC PC AC PC C AC ⊥⋂=⊂平面,PAC PC ⊂平面PAC ． 所以BC ⊥平面PAC ．因为PA ⊂平面PAC ，所以BC PA ⊥ 在PAC 中，因为AC PC =，E 为PA 的中点， 所以PA EC ⊥．又因为,,PA BC CE BC C CE ⊥⋂=⊂平面,BCE BC ⊂平面BCE ． 所以PA ⊥平面BCE ．【点睛】本题主要考查空间直线平面的位置关系的证明，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和空间想象转化能力.16.已知函数2()2cos cos 2,46f x x x x R ππ⎛⎫⎛⎫=+++∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．（1）求()f x 的最小值； （2）在ABC 中，03A π<<，且1()2f A =-，若2,AC BC ==B 的大小． 【答案】（1）1（2）2B π=.【解析】 【分析】（1）用降次公式，两角和与差公式，辅助角公式化简()f x ，再求得最小值； （2）由1()2f A =-，求得角A ，再由正弦定理求得角B . 【详解】（1）2()2cos cos 246f x x x ππ⎛⎫⎛⎫=+++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭1cos 2cos2cos sin 2sin 266x x x πππ⎛⎫=+++- ⎪⎝⎭11sin 2sin 22x x x =-+-31sin 22x x =+-123x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭．因为当()3x k k Z ππ=+∈时，cos 23x π⎛⎫+ ⎪⎝⎭的最小值为1-，所以()f x 的最小值为1（2）由（1）知，1()1232f A A π⎛⎫=++=- ⎪⎝⎭，即cos 232A π⎛⎫+=- ⎪⎝⎭． 因为03A π<<，所以233A πππ<+<，所以5236A ππ+=，即4A π=．在ABC 中，因为2AC =，BC =由正弦定理sin sin AC BC B A=，得2sin sin 4B π=，所以sin 1B =．因为0B π<<，所以2B π=．【点睛】本题考查了降次公式，两角和与差公式，辅助角公式，已知三角函数值求角，正弦定理，属于中档题.17.如图，在市中心有一矩形空地,100m,75m ABCD AB AD ==．市政府欲将它改造成绿化景观带，具体方案如下：在边,AD AB 上分别取点M ，N ，在三角形AMN 内建造假山，在以MN 为直径的半圆内建造喷泉，其余区域栽种各种观赏类植物．（1）若假山区域面积为2400m ，求喷泉区域面积的最小值； （2）若100m MN =，求假山区域面积的最大值． 【答案】（1）2200m π；（2）212503m . 【解析】 【分析】（1）设,0,2ANM πθθ⎛⎫∠=∈ ⎪⎝⎭，半圆的直径2MN r =，根据假山区域面积为2400m ，找到r 与θ的关系，再表示出喷泉区域面积，求最值，注意验证半圆是否在矩形空地ABCD 内，即验证是否能取到最小值；（2）由（1）根据以MN 为直径的半圆区域在矩形广场内，求得θ的范围，再将假山区域面积用θ表示出来，再求最值.【详解】解：（1）设,0,2ANM πθθ⎛⎫∠=∈ ⎪⎝⎭，半圆的直径2MN r =，半圆的圆心为O ．在直角三角形AMN 中，2MAN π∠=，所以2sin ,2cos AM r AN r θθ==．因为假山区域面积为2400m ， 所以2112sin 2cos sin 240022AM AN r r r θθθ⋅=⨯⨯== 所以2400sin 2r θ=，所以喷泉区域面积22002002sin 2S r πππθ==喷泉， 当且仅当sin 21θ=，即4πθ=时取等号．此时20r =．因为点O 到CD 的距离112d AD AM =-，点O 到BC 的距离212d AB AN =-，所以175sin 7520d r r θ=-=->=，即1d r >，2100cos 10020d r r θ=-=->=，即2d r >．所以以MN 为直径的半圆区域一定在矩形广场内． 所以当4πθ=时，S 喷泉取得最小值2200m π．喷泉区域面积的最小值为2200m π．（2）由（1）知，若100m MN =，则2100,100sin ,100cos r AM AN θθ===． 所以点O 到CD 的距离175sin 7550sin d r θθ=-=-， 点O 到BC 的距离210050cos d θ=-， 因为以MN 为直径的半圆区域在矩形广场内，所以12,,d r d r ⎧⎨⎩即7550sin 50,10050cos 50,θθ-⎧⎨-⎩所以1sin 2θ≤．又因为0,2πθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以0,6πθ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦．所以假山区域面积11100sin 100cos 2500sin 222S AM AN θθθ=⋅=⨯⨯=假山， 因为0,6πθ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦，所以20,3πθ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦， 所以当6πθ=时，假山区域面积的最大值为2．【点睛】本题是三角函数在几何中的应用题，结合考查了直线与圆的位置关系，二倍角公式，还考查了学生的分析理解能力，运算能力，属于中档题.18.在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆221:195x y C +=与()222206:136x y bC b =<<+的离心率相等．椭圆1C 的右焦点为F ，过点F 的直线与椭圆1C 交于A ，B 两点，射线OB 与椭圆2C 交于点C ，椭圆2C 的右顶点为D ．（1）求椭圆2C 的标准方程；（2）若ABO 10，求直线AB 的方程； （3）若2AF BF =，求证：四边形AOCD 是平行四边形．【答案】（1）2213620x y +=；（2）515100x ±-=；（3）证明见解析.【解析】 【分析】（1）由题得22363b -=b 的值，即得椭圆2C 的标准方程；（2）设直线AB 的方程为2x my =+，联立22195x y +=，得到韦达定理，再根据ABOAOFBOFSSS=+11||2OF y =21||2OF y +求出m 的值，即得直线AB 的方程； （3）设()()1122,,,,A x y B x y 先求出,,A B C 的坐标，得到533OA CD k k ==．所以//OA CD ，又53AD OC k k ==，所以//OC AD ．即得四边形AOCD 是平行四边形． 【详解】（1）由题意知，椭圆1C 的长轴长126a =，短轴长1225b =22111224c a b =-=，椭圆2C 的长轴长2212a =，短轴长2b ，焦距222236c b =-． 因为椭圆1C 与2C 的离心相等，所以1212c c a a =，即22363b -= 因为06b <<，所以220b =，所以椭圆2C 的标准方程为2213620x y +=． （2）因为椭圆1C 右焦点为()2,0F ，且A ，O ，B 三点不共线，设直线AB 的方程为2x my =+，联立22195x y +=，消x 得()225920250m y my ++-=．设()11,A x y ，()22,B x y ，()22(20)100590m m ∆=++>，所以1,2259259y m m ==++， 即1212222025,5959m y y y y m m -+=-=++． 因为121212111||||||222ABOAOFBOFSSSOF yOF y O y y y F y =+=+=-=-===， 化简得4259m=，所以m =， 所以直线AB 的方程为2x y =+，即5100x ±-=． （3）因为2AF BF =，所以2AF FB =．因为()()1122,,,,(2,0)A x y B x y F ，所以()()11222,22,x y x y --=-，所以121262,2.x x y y =-⎧⎨=-⎩因为()()1122,,,A x y B x y 在椭圆22195x y +=上，所以221122221,951,95x y x y ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，所以()222222226241,951,95x y x y ⎧-+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩消2y ，得2218x =．代入2222195x y +=，由对称性不妨设120,0y y ><，所以2y =从而得，113,44x y ==，即321,,,4488A B ⎛⎫⎛- ⎪ ⎝⎭⎝⎭．所以OC k =，直线OC 的方程为y x =， 联立2213620x y +=，得244116x =．由题知0x >，所以21,4x y ==21,44C ⎛- ⎝⎭．又(6,0)D ，所以3OA CD k k ==． 又因为,OA CD 不共线，所以//OA CD ，又21AD OC k k ==-，且,OC AD 不共线，所以//OC AD ． 所以四边形AOCD 是平行四边形．【点睛】本题主要考查椭圆标准方程的求法，考查直线和椭圆的位置关系和面积的计算，考查直线方程的求法和位置关系，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和计算能力. 19.已知函数()(1ln )()m R f x x x m =++∈． （1）求曲线()y f x =在1x =处的切线方程； （2）设()()f x g x x x=+，求函数()y g x =的单调区间； （3）若()f x mx ≥对任意的(0,)x ∈+∞恒成立，求满足题意的所有整数m 的取值集合． 【答案】（1）21y x m =+-；（2）答案见解析；（3）{1,2,3}. 【解析】 【分析】（1）利用切点和斜率求得切线方程.（2）求得()g x 的表达式，利用()'g x ，对m 分成0m ≤，0m >两种情况进行分类讨论，由此求得()g x 的单调区间.（3）由()f x mx ≥对任意的(0,)x ∈+∞恒成立，得到(1ln )0x x mx m +-+≥对(0,)x ∀∈+∞成立，由此构造函数()(1ln )m x x x mx m =+-+，利用来导数研究()m x 的单调区间和最值，由此求得整数m 的取值集合.【详解】（1）()2ln '=+f x x ，所以(1)2f '=，()11f m =+， 所以所求切线方程为()121y m x --=-，即21y x m =+-． （2）由已知，()()1ln f x mg x x x x x x=+=+++， 所以2221()1m x x mg x x x x+-'=-+=． 当0m ≤时，()()0,g x g x '>的单调递增区间为(0,)+∞；当0m >时，令()0g x '=，得12x -+=或12x --=（舍去），10,2x ⎛-+∈ ⎝⎭时，()0g x '<，函数()g x 单调递减；x ⎫∈+∞⎪⎪⎝⎭时，()0g x '>，函数()g x 单调递增． 综上，当0m ≤时，()g x 的单调递增区间为(0,)+∞；当0m >时，函数的单调递减区间为⎛ ⎝⎭，函数的单调递增区间为⎫+∞⎪⎪⎝⎭． （3）由已知(1ln )0x x mx m +-+≥对(0,)x ∀∈+∞成立， 设()(1ln )m x x x mx m =+-+，令()'ln 20m x x m =+-=，得2m x e -=．当()20,m x e -∈时，()'0,()m x m x <单调递减；当()2,m x e-∈+∞时，()'0,()m x m x >单调递增．所以()min 22[()]m m m x m e m e--==-，设2()m h m m e-=-，令2()10m h m e -'=-=，得2m =．当),(2m ∈-∞时，()()0,h m h m '>单调递增； 当(2,)m ∈+∞时，()()0,h m h m '<单调递减． 又(0)0h <，1(1)10h e-=->，0(2)20h e =->，(3)30h e =->，2(4)40h e =-<，所以满足题意的整数m 构成的集合为{1,2,3}．【点睛】本小题主要考查利用导数求切线方程，考查利用导数求单调区间，考查利用导数求解不等式恒成立问题，考查分类讨论的数学思想方法，属于难题. 20.已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，nn nS b a =()N n *∈，若{}n b 是公差不为0的等差数列，且2711b b b =．（1）求数列{}n b 的通项公式； （2）证明：数列{}n a 是等差数列； （3）记2nn n a S c =，若存在1k ，2N k *∈（12k k ≠），使得12k k c c =成立，求实数1a 的取值范围． 【答案】（1）1(1)2n b n =+；（2）证明见解析；（3）(]20,log 3. 【解析】 【分析】（1）根据已知条件求得1b 和数列{}n b 的公差，由此求得数列{}n b 的通项公式.（2）由（1）得到*1(1),2n n S n n N a =+∈，进而得到数列n a n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是常数列，求得数列n a n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的通项公式，进而证得数列{}n a 是等差数列.（3）先求得n c 的表达式，然后求得1n n c c +-的表达式，对1a 进行分类讨论，结合数列{}n c 的单调性，求得1a 的取值范围.【详解】（1）设等差数列{}n b 的公差为d ，因为1111S b a ==，所以1(1)n b n d =+-． 由2711b b b =得，(1)(16)110d d d ++=+，即220d d -=， 因为0d ≠，所以12d =，从而1(1)2n b n =+． （2）由（1）知，*1(1),2n n S n n N a =+∈， 即有2(1)n n S n a =+， ① 所以112(2)n n S n a ++=+， ②②-①得，112(2)(1)n n n a n a n a ++=+-+，整理得1(1)n n na n a +=+． 两边除以(1)n n +得，()*101n na a n N n n+-=∈+， 所以数列n a n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是常数列． 所以111n a a a n ==，即1n a na =， 所以11n n a a a +-=， 所以数列{}n a 等差数列．（3）因为n n n S b a =，所以11(1)22n n n n n S a a ++==， 所以111(1)22n n n na a S n n a c ++==． 因为111111111111(1)(2)(1)(1)(2)122222n n na a na na a n n a n n a n n a n c c n ++++++++++⎛⎫-=-=- ⎪+⎝⎭，当*n N ∈时，211,1223n n n ⎡⎫=-∈⎪⎢++⎣⎭． 显然10a ≠，①若10a <，则11111,0222a a nn >->+恒成立， 所以10n n c c +-<，即*1,n n c c n N +<∈，所以{}n c 单调递减，所以不存在12k k c c =； ②若12log 3a >，则111,02322k k a a n n <-<+恒成立， 所以10n n c c +-<，即*1,n n c c n N +<∈，所以{}n c 单调递减，所以不存在12k k c c =； ③若21log 3=a ，则1123k a =，所以当1n =，11022a n n -=+成立， 所以存在12c c =． ④若120log 3a <<，则111132a <<． 当1221a n <-，且*n N ∈时，1n n c c +>，{}n c 单调递增； 当1221a n >-，且*n N ∈时，1n n c c +<，{}n c 单调递减， 不妨取()*0120002log ,2k a k N k k +=∈，则001k k c c +=． 综上，若存在*12,k k N ∈，使得12k k c c =成立，则1a 的取值范围是(]20,log 3.【点睛】本小题主要考查等差数列通项公式的求法，考查由递推关系证明等差数列，考查数列的单调性，考查分类讨论的数学思想方法，属于难题.第II 卷（附加题，共40分）【选做题】本题包括A ，B ，C 三小题，请选定其中两题作答，每小题10分共计20分，解答时应写出文字说明，证明过程或演算步骤． A ．选修4-2：矩阵与变换 21.已知矩阵 1 1 4a A ⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦的一个特征值为2． （1）求实数a 的值；（2）求矩阵A 的另一个特征值及其对应的一个特征向量．【答案】（1）2a =；（2）矩阵A 的另一个特征值为3，其对应的一个特征向量为11⎡⎤⎢⎥⎣⎦. 【解析】 【分析】（1）根据矩阵A 的特征多项式列方程，结合矩阵A 的特征值求得a 的值. （2）由（1）求得另一个特征值，根据特征向量的求法，求得对应的特征向量. 【详解】（1）由已知，矩阵A 的特征多项式为1()(1)(4)14af a λλλλλ--==--+-，令()0f λ=得，2540a λλ-++=．因为矩阵A 的一个特征值为2，所以上述方程有一个实数解2λ=， 所以2a =．（2）由（1）得，2560λλ-+=，解得122,3λλ==， 所以另一个特征值为3λ=． 设其对应的一个特征向量为x y ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，则12314x x y y ⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦⎣⎦，取1x =，则1y =． 所以矩阵A 的另一个特征值为3，其对应的一个特征向量为11⎡⎤⎢⎥⎣⎦．【点睛】本小题主要考查根据特征值求参数，考查特征值和特征向量的求法，属于中档题. B.选修4-4：坐标系与参数方程22.在平面直角坐标系xOy 中，直线l的参数方程为22x m t y t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数），椭圆C 的参数方程为2cos sin x y ϕϕ=⎧⎨=⎩（ϕ为参数）．若直线l 被椭圆C，求实数m 的值．【答案】2m =±． 【解析】 【分析】将椭圆C 的参数方程化为普通方程，将直线l 的参数方程代入椭圆方程，结合直线的参数方程中参数的几何意义与韦达定理即可求出答案．【详解】解：将椭圆C 的参数方程2cos ,sin x y ϕϕ=⎧⎨=⎩（ϕ为参数）化为普通方程得2214x y +=，将直线l的参数方程代入椭圆方程得2244022m t ⎛⎫⎛⎫++⋅-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即225402t m ++-=， 由()22524402m m ∆=-⋅->得，m < 设12,t t 为两交点对应的参数，∴()2121224,55m t t t t -+=-=，∴()()()()222221212128482048425525m mm t t t t t t ---=+-=-=，∵直线l截椭圆所得弦长为5， ∴()28204322525m -=，2m =±，符合>0∆， ∴2m =±．【点睛】本题主要考查参数方程与普通方程的互化，考查直线的参数方程的应用，属于中档题．C．选修4-5：不等式选讲23.若实数a ，b ，c 满足7a b c ++=，求证：2224936a b c ++≥． 【答案】证明见解析. 【解析】 【分析】利用柯西不等式证得不等式成立.【详解】因为()22222221111149232323a b c a b c ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++++⋅+⋅⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦，所以2222()4911149a b c a b c++++++． 又7a b c ++=， 所以2224936a b c ++【点睛】本小题主要考查利用柯西不等式证明不等式，属于中档题.【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分，解答时应写出文字说明，证明过程或演算步骤．24.已知直四棱柱1111ABCD A B C D -的棱长均相等，且60BAD ∠=︒，M 是侧棱1DD 的中点，N 是棱11C D 上的点．（1）求异面直线1BD 与AM 所成角的余弦值； （2）若二面角M AC N --的大小为4π，试确定点N 的位置．【答案】（1）10；（2）点N 与点1C 重合. 【解析】 【分析】连结BD ，取AB 的中点E ，连接DE ，可以证明DE DC ⊥，11,D D DC D D DE ⊥⊥，从而建立如图所示的空间直角坐标系.（1）算出1,BD AM 的坐标后可求1,BD AM 的余弦值，从而得到异面直线所成角的余弦值. （2）算出平面AMC 的法向量和平面ACN 的法向量后再计算它们夹角的余弦值，从而可得二面角的余弦值.【详解】连结BD ，取AB 的中点E ，连接DE ， 因为直四棱柱1111ABCD A B C D -的棱长均相等， 所以底面ABCD 是菱形．又60BAD ∠=︒，所以ABD △是正三角形， 所以DE AB ⊥，因为//AB DC ，所以DE DC ⊥． 因为直四棱柱1111ABCD A B C D -中，1D D ⊥平面ABCD ，DC ，DE ⊂平面ABCD ，所以11,D D DC D D DE ⊥⊥．分别以直线1,,DE DC DD 为x ，y ，z 轴建立如图所示的空间直角坐标系．（1）设直四棱柱1111ABCD A B C D -的棱长均为2，则1(0,0,0),(3,1,0),(3,1,0),(0,2,0),(0,0,2),(0,0,1)D A B C D M -．所以1(3,1,2),(3,1,1)BD AM =--=-， 设异面直线1BD 与AM 所成角的大小为θ，则1113cos |cos ,|||||2BD AM BD AM BD AM θ⋅=〈〉===⋅，所以异面直线1BD 与AM （2）由（1）知，(3,3,0),(3,1,1)AC AM =-=-． 设平面AMC 的法向量为()1111,,n xy z =，则11n AC n AM ⎧⊥⎪⎨⊥⎪⎩即11n ACn AM ⎧⋅⎪⎨⋅⎪⎩，所以1111130,0.y y z ⎧+=⎪⎨++=⎪⎩取13x =，则111,2y z ==，即平面AMC 的一个法向量为1(3,1,2)n =． 设(0,,2),02N λλ，则(0,2,2)CN λ=-．设平面ACN 的法向量为()2222,,n x y z =，则22n AC n CN ⎧⊥⎪⎨⊥⎪⎩即2200n AC n CN ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，所以222230,(2)20.y y z λ⎧+=⎪⎨-+=⎪⎩取23x =，则2221,2y z λ-==， 即平面ACN 的一个法向量为223,1,2n λ-⎛⎫= ⎪⎭． 则121212coscos 42n n n n n n π⋅=<⋅>===⋅ 解得2λ=．所以当二面角M AC N --的大小为4π，点N 与点1C 重合．【点睛】本题考查空间角的计算，此类问题我们可以借助于空间中直线的方向向量和平面的法向量来帮助计算，比如异面直线所成角的的余弦值就是它们所在直线的方向向量夹角的余弦值的绝对值，二面角的平面角的余弦值就是两个平面的法向量的夹角的余弦值或其相反数（结合二面角的大小来考虑）.25.设230123(12)kk k x a a x a x a x a x +=+++++ （2k ≥，k *∈N ）．（1）若展开式中第5项与第7项的系数之比为3∶8，求k 的值；（2）设222n n k +-=（n *∈N ），且各项系数0a ，1a ，2a ，…，k a 互不相同．现把这1k +个不同系数随机排成一个三角形数阵：第1列1个数，第2列2个数，…，第n 列n 个数．设i t 是第i 列中的最小数，其中1i n ≤≤，且i ，n *∈N ．记123n t t t t >>>>的概率为n P ．求证：12(1)!n P n >-．【答案】（1）9k =；（2）证明见解析. 【解析】 【分析】（1）利用题目所给展开式中第5项与第7项的系数之比列方程，解方程求得k 的值. （2）利用相互独立事件概率乘法公式，求得n P 的表达式，构造数列()*(1)22,2n n n n a n n N +=-∈，判断出数列{}n a 的单调性，由此证得不等式成立 【详解】（1）因为在展开式中第5项与第7项的系数之比为3∶8，即44662328k k C C ⋅=⋅，所以4632k k C C =，即303(4)(5)2k k =--，所以292020k k -+=，解得0k =或9k =．因为*2,k k N ≥∈，所以9k =．（2）由题意，最小数在第n 列的概率为2212n n n n =++，去掉第n 列已经排好的n 个数，则余下的(1)(1)22n n n n n +--=个数中最小值在第1n -列的概率为12(1)2n n n n -=-， ………… 以此类推，余下的数中最小数在第2列的概率为23， 所以12222213(1)3(1)!n nnP n nn n n -=⨯⨯⨯==++⨯⨯⨯+． 由于2222n n k +-=，所以2n ≥．设()*(1)22,2nn n n a n n N +=-∈， 所以()*1212,nn n a a n n n N +-=--∈．记()*212,nn b n n n N=--∈，所以1210n n n bb +-=->，所以{}n b 是递增数列，所以210n b b =>；{}n a 是递增数列，所以21n a a =，所以(1)22nn n +>，所以2(1)1(1)!2(1)!2(1)!n n n n n n +>=++-，即12(1)!n P n >-．【点睛】本小题主要考查二项式展开式的系数，考查相互独立事件概率计算，考查数列的单调性，属于难题.。
2020届江苏省南通市高三下学期第四次调研测试数学试题(解析版)
2020届江苏省南通市高三下学期第四次调研测试数学试题一、填空题1．已知集合{}3,1,1,3A =--，{}2230B xx x =--=∣，则A B =________．【答案】{1,3}-【解析】解一元二次方程求得集合B ，由此求得A B .【详解】由()()223310x x x x --=-+=解得1x =-或3x =，所以{}1,3B =-，所以A B ={1,3}-故答案为：{1,3}- 【点睛】本小题主要考查集合交集的概念和运算，属于基础题.2．已知复数z 满足()24z i -=，其中i 是虚数单位，则z 的实部为________． 【答案】2【解析】由已知求出24z i =-，即得z 的实部. 【详解】 由题得24424iz i i i-===-， 所以24z i =-， 所以z 的实部为2. 故答案为：2 【点睛】本题主要考查复数的运算和复数实部的概念，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.3．某中学为了了解高三年级女生的体重（单位：千克）情况，从中随机抽测了100名女生的体重，所得数据均在区间[]48,58中，其频率分布直方图如图所示，则在抽测的100名女生中，体重在区间[]50,56的女生数为________．【答案】75【解析】先根据频率分布直方图求出所求区间的频率，然后乘以总人数即为所求. 【详解】由频率分布直方图可知，体重在区间[]50,56的频率为()20.1000.1500.1250.75++=，所以体重在区间[]50,56的女生数为0.7510075.⨯=故答案为：75【点睛】本题主要考查频率分布直方图，属于基础题.4．一个算法的伪代码如图所示，执行此算法，若输出的值为7-，则输入的x的值为________．【答案】1【解析】模拟程序的运行过程可知该程序的功能是求分段函数的函数值，利用分类讨论即可求出答案．【详解】解：模拟程序的运行过程可知，该程序的功能是求分段函数6,228,23x xyxx-≥⎧⎪=⎨-<⎪-⎩的函数值，当2x ≥时，67x -=-，得1x =-，不符合题意； 当2x <时，2873x-=--，得1x =，符合题意； ∴输入的x 的值为1， 故答案为：1． 【点睛】本题主要考查程序与算法的应用，属于基础题．5．在平面直角坐标系xOy 中，已知双曲线2216416x y -=上一点M 到它的一个焦点的距离等于1，则点M 到另一个焦点的距离为________． 【答案】17【解析】设双曲线的左右焦点分别为12,F F ,由题得12||||||16MF MF -=，令2||1MF =即得解. 【详解】设双曲线的左右焦点分别为12,F F ,由题得12||||||2816MF MF -=⨯=,所以11|||1|2816||17MF MF -=⨯=∴=，或15-（舍）. 所以点M 到另一个焦点的距离为17. 故答案为：17. 【点睛】本题主要考查双曲线的定义，意在考查学生对该知识的理解掌握水平.6．已知区域{(,)|||2A x y x =，||2}y 和{(,)|0B x y x =>，0y >，2}x y +，若在区域A 内随机取一点，则该点恰好落在区域B 内的概率为________． 【答案】18【解析】分别求出集合A ，B 所对应的区域的面积，然后根据几何概型的概率公式即可求解． 【详解】因为{(,)|||2A x y x =，||2}y 表示的区域是以4为边长的正方形，面积为16， 由{(,)|0B x y x =>，0y >，2}x y +可知，其区域为如图所示的阴影部分，面积12222S =⨯⨯=，故在区域A内随机取一点，则该点恰好落在区域B内的概率21 168P==.故答案为：18.【点睛】本题主要考查几何概型的概率的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和数形结合分析数学问题的能力.7．若实数x，y满足34x y+=，则28x y+的最小值为________．【答案】8【解析】利用基本不等式求得所求表达式的最小值.【详解】依题意3334282222222228x y x y x y x y++=+≥⋅===，当且仅当322x y=，即32x y==时等号成立.所以28x y+的最小值为8.故答案为：8【点睛】本小题主要考查利用基本不等式求最值，属于基础题.8．已知数列{}n a满足112n nn na aa a+++=-，且119a=，则6a的值为________．【答案】27【解析】根据已知条件判断出数列{}n a是等比数列，进而求得6a的值.【详解】由于112n nn na aa a+++=-，1122n n n na a a a+++=-，13n na a+=，所以13nnaa+=，所以数列{}na是首项为119a=，公比为3q=的等比数列，所以55361133279a a q =⋅=⨯==. 故答案为：27 【点睛】本小题主要考查根据递推关系求某一项的值，考查等比数列的定义，属于基础题. 9．已知()f x 是定义在R 上的周期为3的奇函数，且(2)2(8)1f f -=+，则(2020)f 的值为________． 【答案】13【解析】根据题意可知函数的周期为3，可得()()()(2)1,81-==-f f f f ，然后根据函数的奇偶性可得()1f ，最后利用函数的周期性可得(2020)f 【详解】由题可知：函数()f x 是定义在R 上的周期为3的奇函数 所以()()()()(2)1,811-==-=-f f f f f ， 又(2)2(8)1f f -=+所以(1)2(1)1=-+f f ，则1(1)3f =所以()()1(2020)6733113=⨯+==f f f 故答案为：13【点睛】本题考查函数的周期性和奇偶性的综合应用，关键在于观察，利用函数的周期性，把大数变小数，属基础题.10．已知柏拉图多面体是指每个面都是全等的正多边形构成的凸多面体．著名数学家欧拉研究并证明了多面体的顶点数（V ）、棱数（E ）、面数（F ）之间存在如下关系：2V F E +-=．利用这个公式，可以证明柏拉图多面体只有5种，分别是正四面体、正六面体（正方体）、正八面体、正十二面体和正二十面体．若棱长相等的正六面体和正八面体（如图）的外接球的表面积分别为12,S S ，则12S S 的值为________．【答案】32【解析】设棱长为a ，分别求出正六面体和正八面体的外接球半径即可. 【详解】 设棱长为a正六面体即正方体，它的外接球的半径等于体对角线的一半，所以13R a =对于正八面体，易得AC BD EF ==，故其外接球的球心为AC 中点，所以222R a =所以2211222234342424aS R S R a ππ=== 故答案为：32【点睛】本题考查的是几何体外接球，找出球心的位置是解题的关键，属于中档题. 11．在平面直角坐标系xOy 中，已知圆M 经过直线2:330x l -+=与圆22:4C x y +=的两个交点，当圆M 的面积最小时，圆M 的标准方程为________．【答案】2233122x y ⎛⎫⎛⎫++-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭【解析】直线l 的方程与圆C 方程联立，求出两交点,A B ，当圆M 的面积最小时，圆M 以AB 为直径，可求得圆的标准方程.【详解】由2:330x y l -+=与22:4C x y +=联立得22(323)4y y -+=， 得1y =或2y =，则两交点坐标为(3,1),(0,2)A B -，当圆M 的面积最小时，圆M 以AB 为直径，则圆心33(,)22-，半径为12AB =， 圆M 的标准方程为2233122x y ⎛⎫⎛⎫++-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.故答案为：2233122x y ⎛⎫⎛⎫++-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭【点睛】本题考查了求直线与圆的交点坐标，求以两点的线段为直径的圆的标准方程，属于基础题.12．如图，四边形ABCD 是以AB 为直径的圆的内接四边形．若2,1AB AD ==，则DC AB ⋅的取值范围是________．【答案】(0,3)【解析】连接,,BD BC AC ，则()2DC AB DA AB AB BC AC CB ⋅=⋅++⋅+，再由直径AB 可得1cos 2DAB ∠=，90ACB ∠=︒，从而可求DC AB ⋅的值. 【详解】连接,,BD BC AC因为AB 为直径，故90ADB ∠=︒，而2,1AB AD ==，所以1cos 2DAB ∠=.同理90ACB ∠=︒.()2DC AB DA AB BC AB DA AB AB BC AB ⋅=++⋅=⋅++⋅()2112432BC AC CB CB ⎛⎫=⨯⨯-++⋅+=- ⎪⎝⎭，因为C 在BD 之间（异于,B D 两点），故(BC ∈， 所以()0,3DC AB ⋅∈， 故答案为：(0,3). 【点睛】本题考查向量的数量积，其计算方法有定义法、坐标法、基底法等，解题中注意向已知的向量转化.13．已知函数23,0()2,0x x f x x x x <⎧=⎨-≥⎩，则函数(()24)y f f x x =-+的不同零点的个数为________． 【答案】5【解析】先求得()f x 的零点，然后由(()24)0y f f x x =-+=，求得函数(()24)y f f x x =-+的不同零点的个数.【详解】 由于函数23,0()2,0x x f x x x x <⎧=⎨-≥⎩，当0x <时，30x <，没有零点.当0x ≥时，220x x -=，解得10x =或22x =.令(()24)0y f f x x =-+=，则()240f x x -+=或()242f x x -+=，即()24f x x =-或()22f x x =-.由3240x x x =-⎧⎨<⎩或22240x x x x ⎧-=-⎨≥⎩或3220x x x =-⎧⎨<⎩或22220x x x x ⎧-=-⎨≥⎩.解得4x =-或2x =，或2x =-，或2x =. 所以函数(()24)y f f x x =-+的不同零点的个数为5. 故答案为：5 【点睛】本小题主要考查分段函数零点问题，属于中档题. 14．已知点G 是ABC 的重心，且GA GC ⊥，若111tan tan A C+=，则tan B 的值为________． 【答案】12【解析】由GA GC ⊥得到0GA GC ⋅=，结合G 是ABC 的重心，得到2225b a c =+，结合余弦定理和正弦定理，求得tan B 的值. 【详解】依题意GA GC ⊥，所以0GA GC ⋅=，所以()()0BA BG BC BG -⋅-=①， 因为G 是三角形ABC 的中心，所以()13BG BA BC =+②， 把②代入①并化简得5AC AC BC BC AB AB ⋅=⋅+⋅， 即2225b a c =+，由余弦定理得2222cos a c b ac B +=+， 所以242cos b ac B =，由正弦定理得22sin sin sin cos B A C B =③，已知111tan tan A C+=， 所以cos cos sin cos cos sin sin sin sin sin A C A C A C A C A C ++=()sin sin 1sin sin sin sin A C BA C A C+===， 所以sin sin sin B A C =④，由③④得2sin cos B B =，所以1tan 2B =. 故答案为：12【点睛】本小题主要考查向量线性运算、数量积的运算，考查正弦定理、余弦定理解三角形，考查同角三角函数关系以及三角恒等变换，属于难题.二、解答题15．如图，在三棱锥P ABC -中，PC ⊥平面,10,6,8ABC AB BC AC PC ====，E ，F 分别是,PA PC 的中点，求证：（1）//AC 平面BEF ； （2）PA ⊥平面BCE ．【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析. 【解析】（1）先证明//EF AC ，//AC 平面BEF 即得证；（2）先证明BC PA ⊥，PA EC ⊥，PA ⊥平面BCE 即得证． 【详解】（1）在PAC 中，E ，F 分别是,PA PC 的中点， 所以//EF AC ．又因为EF ⊂平面BEF ，AC ⊄平面BEF ， 所以//AC 平面BEF ．（2）在ABC 中，10,6,8AB BC AC === ， 所以222AB AC BC =+，所以BC AC ⊥． 因为PC ⊥平面ABC ，BC ⊂平面ABC ， 所以PC BC ⊥．又因为,,BC PC AC PC C AC ⊥⋂=⊂平面,PAC PC ⊂平面PAC ．所以BC ⊥平面PAC ．因为PA ⊂平面PAC ，所以BC PA ⊥ 在PAC 中，因为AC PC =，E 为PA 的中点， 所以PA EC ⊥．又因为,,PA BC CE BC C CE ⊥⋂=⊂平面,BCE BC ⊂平面BCE ． 所以PA ⊥平面BCE ． 【点睛】本题主要考查空间直线平面的位置关系的证明，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和空间想象转化能力. 16．已知函数2()2cos cos 2,46f x x x x R ππ⎛⎫⎛⎫=+++∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭． （1）求()f x 的最小值；（2）在ABC 中，03A π<<，且1()2f A =-，若2,AC BC ==B 的大小．【答案】（1）1-（2）2B π=.【解析】（1）用降次公式，两角和与差公式，辅助角公式化简()f x ，再求得最小值； （2）由1()2f A =-，求得角A ，再由正弦定理求得角B . 【详解】（1）2()2cos cos 246f x x x ππ⎛⎫⎛⎫=+++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭1cos 2cos2cos sin 2sin 266x x x πππ⎛⎫=+++- ⎪⎝⎭11sin 2sin 222x x x =-+-31sin 22x x =+-123x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭．因为当()3x k k Z ππ=+∈时，cos 23x π⎛⎫+ ⎪⎝⎭的最小值为1-，所以()f x 的最小值为1（2）由（1）知，1()13cos 232f A A π⎛⎫=++=- ⎪⎝⎭，即3cos 232A π⎛⎫+=- ⎪⎝⎭． 因为03A π<<，所以233A πππ<+<，所以5236A ππ+=，即4A π=．在ABC 中，因为2AC =，2BC =，由正弦定理sin sin AC BC B A=，得22sin sin 4B π=，所以sin 1B =．因为0B π<<，所以2B π=．【点睛】本题考查了降次公式，两角和与差公式，辅助角公式，已知三角函数值求角，正弦定理，属于中档题.17．如图，在市中心有一矩形空地,100m,75m ABCD AB AD ==．市政府欲将它改造成绿化景观带，具体方案如下：在边,AD AB 上分别取点M ，N ，在三角形AMN 内建造假山，在以MN 为直径的半圆内建造喷泉，其余区域栽种各种观赏类植物．（1）若假山区域面积为2400m ，求喷泉区域面积的最小值； （2）若100m MN =，求假山区域面积的最大值． 【答案】（1）2200m π；（2）212503m . 【解析】（1）设,0,2ANM πθθ⎛⎫∠=∈ ⎪⎝⎭，半圆的直径2MN r =，根据假山区域面积为2400m ，找到r 与θ的关系，再表示出喷泉区域面积，求最值，注意验证半圆是否在矩形空地ABCD 内，即验证是否能取到最小值；（2）由（1）根据以MN 为直径的半圆区域在矩形广场内，求得θ的范围，再将假山区域面积用θ表示出来，再求最值. 【详解】解：（1）设,0,2ANM πθθ⎛⎫∠=∈ ⎪⎝⎭，半圆的直径2MN r =，半圆的圆心为O ． 在直角三角形AMN 中，2MAN π∠=，所以2sin ,2cos AM r AN r θθ==．因为假山区域面积为2400m ， 所以2112sin 2cos sin 240022AM AN r r r θθθ⋅=⨯⨯== 所以2400sin 2r θ=，所以喷泉区域面积22002002sin 2S r πππθ==喷泉， 当且仅当sin 21θ=，即4πθ=时取等号．此时20r =．因为点O 到CD 的距离112d AD AM =-，点O 到BC 的距离212d AB AN =-，所以175sin 7520d r r θ=-=->=，即1d r >，2100cos 10020d r r θ=-=->=，即2d r >．所以以MN 为直径的半圆区域一定在矩形广场内． 所以当4πθ=时，S 喷泉取得最小值2200m π．喷泉区域面积的最小值为2200m π．（2）由（1）知，若100m MN =，则2100,100sin ,100cos r AM AN θθ===． 所以点O 到CD 的距离175sin 7550sin d r θθ=-=-， 点O 到BC 的距离210050cos d θ=-， 因为以MN 为直径的半圆区域在矩形广场内，所以12,,d r d r ⎧⎨⎩即7550sin 50,10050cos 50,θθ-⎧⎨-⎩所以1sin 2θ≤．又因为0,2πθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以0,6πθ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦． 所以假山区域面积11100sin 100cos 2500sin 222S AM AN θθθ=⋅=⨯⨯=假山，因为0,6πθ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦，所以20,3πθ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦， 所以当6πθ=时，假山区域面积的最大值为212503m ．【点睛】本题是三角函数在几何中的应用题，结合考查了直线与圆的位置关系，二倍角公式，还考查了学生的分析理解能力，运算能力，属于中档题.18．在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆221:195x y C +=与()222206:136x y bC b =<<+的离心率相等．椭圆1C 的右焦点为F ，过点F 的直线与椭圆1C 交于A ，B 两点，射线OB 与椭圆2C 交于点C ，椭圆2C 的右顶点为D ．（1）求椭圆2C 的标准方程；（2）若ABO 的面积为10，求直线AB 的方程； （3）若2AF BF =，求证：四边形AOCD 是平行四边形．【答案】（1）2213620x y +=；（2）515100x ±-=；（3）证明见解析.【解析】（1）由题得22363b-=b 的值，即得椭圆2C 的标准方程；（2）设直线AB 的方程为2x my =+，联立22195x y +=，得到韦达定理，再根据ABOAOFBOFSSS=+11||2OF y =21||2OF y +求出m 的值，即得直线AB 的方程； （3）设()()1122,,,,A x y B x y 先求出,,A B C 的坐标，得到533OA CD k k ==．所以//OA CD ，又5321AD OC k k ==-，所以//OC AD ．即得四边形AOCD 是平行四边形． 【详解】（1）由题意知，椭圆1C 的长轴长126a =，短轴长12b =124c ==，椭圆2C 的长轴长2212a =，短轴长2b，焦距22c =．因为椭圆1C 与2C 的离心相等，所以1212c c a a =，即23=因为06b <<，所以220b =，所以椭圆2C 的标准方程为2213620x y +=． （2）因为椭圆1C 右焦点为()2,0F ，且A ，O ，B 三点不共线，设直线AB 的方程为2x my =+，联立22195x y +=，消x 得()225920250m y my ++-=．设()11,A x y ，()22,B x y ，()22(20)100590m m ∆=++>，所以()1,2220259m y m -±==+， 即1212222025,5959m y y y y m m -+=-=++． 因为121212111||||||222ABOAOFBOFSSSOF y OF yO y y y F y =+=+=-=-===， 化简得4259m =，所以m =， 所以直线AB 的方程为2x y =+，即5100x ±-=． （3）因为2AF BF =，所以2AF FB =．因为()()1122,,,,(2,0)A x y B x y F ，所以()()11222,22,x y x y --=-，所以121262,2.x x y y =-⎧⎨=-⎩ 因为()()1122,,,A x y B x y 在椭圆22195x y +=上，所以221122221,951,95x y x y ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，所以()222222226241,951,95x y x y ⎧-+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩消2y ，得2218x =． 代入2222195x y +=，由对称性不妨设120,0y y ><，所以2y =，从而得，113,4x y ==即321,,,4488A B ⎛⎛- ⎝⎭⎝⎭．所以21OC k =-，直线OC的方程为21y x =-， 联立2213620x y +=，得244116x =．由题知0x >，所以21,4x y ==21,4C ⎛ ⎝⎭．又(6,0)D，所以OA CD k k ==又因为,OA CD 不共线，所以//OA CD ，又AD OC k k ==，且,OC AD 不共线，所以//OC AD ． 所以四边形AOCD 是平行四边形． 【点睛】本题主要考查椭圆标准方程的求法，考查直线和椭圆的位置关系和面积的计算，考查直线方程的求法和位置关系，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和计算能力. 19．已知函数()(1ln )()m R f x x x m =++∈． （1）求曲线()y f x =在1x =处的切线方程；（2）设()()f x g x x x=+，求函数()y g x =的单调区间； （3）若()f x mx ≥对任意的(0,)x ∈+∞恒成立，求满足题意的所有整数m 的取值集合． 【答案】（1）21y x m =+-；（2）答案见解析；（3）{1,2,3}. 【解析】（1）利用切点和斜率求得切线方程.（2）求得()g x 的表达式，利用()'g x ，对m 分成0m ≤，0m >两种情况进行分类讨论，由此求得()g x 的单调区间.（3）由()f x mx ≥对任意的(0,)x ∈+∞恒成立，得到(1ln )0x x mx m +-+≥对(0,)x ∀∈+∞成立，由此构造函数()(1ln )m x x x mx m =+-+，利用来导数研究()m x 的单调区间和最值，由此求得整数m 的取值集合. 【详解】（1）()2ln '=+f x x ，所以(1)2f '=，()11f m =+，所以所求切线方程为()121y m x --=-，即21y x m =+-． （2）由已知，()()1ln f x mg x x x x x x=+=+++， 所以2221()1m x x mg x x x x +-'=-+=．当0m ≤时，()()0,g x g x '>的单调递增区间为(0,)+∞；当0m >时，令()0g x '=，得x =或x =（舍去），x ⎛∈ ⎝⎭时，()0g x '<，函数()g x 单调递减；12x ⎛⎫-∈+∞ ⎪ ⎪⎝⎭时，()0g x '>，函数()g x 单调递增． 综上，当0m ≤时，()g x 的单调递增区间为(0,)+∞；当0m >时，函数的单调递减区间为10,2⎛-+ ⎝⎭，函数的单调递增区间为⎫+∞⎪⎪⎝⎭． （3）由已知(1ln )0x x mx m +-+≥对(0,)x ∀∈+∞成立， 设()(1ln )m x x x mx m =+-+，令()'ln 20m x x m =+-=，得2m x e -=．当()20,m x e -∈时，()'0,()m x m x <单调递减；当()2,m x e-∈+∞时，()'0,()m x m x >单调递增．所以()min 22[()]m m m x m e m e--==-，设2()m h m m e-=-，令2()10m h m e -'=-=，得2m =．当),(2m ∈-∞时，()()0,h m h m '>单调递增； 当(2,)m ∈+∞时，()()0,h m h m '<单调递减． 又(0)0h <，1(1)10h e-=->，0(2)20h e =->，(3)30h e =->，2(4)40h e =-<，所以满足题意的整数m 构成的集合为{1,2,3}． 【点睛】本小题主要考查利用导数求切线方程，考查利用导数求单调区间，考查利用导数求解不等式恒成立问题，考查分类讨论的数学思想方法，属于难题. 20．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，nn nS b a =()N n *∈，若{}n b 是公差不为0的等差数列，且2711b b b =．（1）求数列{}n b 的通项公式； （2）证明：数列{}n a 是等差数列； （3）记2nn n a S c =，若存在1k ，2N k *∈（12k k ≠），使得12k k c c =成立，求实数1a 的取值范围． 【答案】（1）1(1)2n b n =+；（2）证明见解析；（3）(]20,log 3.【解析】（1）根据已知条件求得1b 和数列{}n b 的公差，由此求得数列{}n b 的通项公式. （2）由（1）得到*1(1),2n n S n n N a =+∈，进而得到数列n a n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是常数列，求得数列n a n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的通项公式，进而证得数列{}n a 是等差数列.（3）先求得n c 的表达式，然后求得1n n c c +-的表达式，对1a 进行分类讨论，结合数列{}n c 的单调性，求得1a 的取值范围.【详解】（1）设等差数列{}n b 的公差为d ，因为1111S b a ==，所以1(1)n b n d =+-． 由2711b b b =得，(1)(16)110d d d ++=+，即220d d -=， 因为0d ≠，所以12d =，从而1(1)2n b n =+． （2）由（1）知，*1(1),2n n S n n N a =+∈， 即有2(1)n n S n a =+， ① 所以112(2)n n S n a ++=+， ②②-①得，112(2)(1)n n n a n a n a ++=+-+，整理得1(1)n n na n a +=+． 两边除以(1)n n +得，()*101n na a n N n n+-=∈+， 所以数列n a n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是常数列．所以111n a a a n ==，即1n a na =， 所以11n n a a a +-=， 所以数列{}n a 是等差数列． （3）因为n n n S b a =，所以11(1)22n n n n n S a a ++==， 所以111(1)22n n n na a S n n a c ++==．因为111111111111(1)(2)(1)(1)(2)122222n n na a na na a n n a n n a n n a n c c n ++++++++++⎛⎫-=-=- ⎪+⎝⎭，当*n N ∈时，211,1223n n n ⎡⎫=-∈⎪⎢++⎣⎭． 显然10a ≠，①若10a <，则11111,0222a a nn >->+恒成立， 所以10n n c c +-<，即*1,n n c c n N +<∈，所以{}n c 单调递减，所以不存在12k k c c =； ②若12log 3a >，则111,02322k ka a n n <-<+恒成立， 所以10n n c c +-<，即*1,n n c c n N +<∈，所以{}n c 单调递减，所以不存在12k k c c =； ③若21log 3=a ，则1123k a =，所以当1n =，11022a n n -=+成立， 所以存在12c c =． ④若120log 3a <<，则111132a <<． 当1221a n <-，且*n N ∈时，1n n c c +>，{}n c 单调递增； 当1221a n >-，且*n N ∈时，1n n c c +<，{}n c 单调递减， 不妨取()*0120002log ,2k a k N k k +=∈，则001k k c c +=． 综上，若存在*12,k k N ∈，使得12k k c c =成立，则1a 的取值范围是(]20,log 3.【点睛】本小题主要考查等差数列通项公式的求法，考查由递推关系证明等差数列，考查数列的单调性，考查分类讨论的数学思想方法，属于难题.21．已知矩阵 1 1 4a A ⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦的一个特征值为2．（1）求实数a 的值；（2）求矩阵A 的另一个特征值及其对应的一个特征向量．【答案】（1）2a =；（2）矩阵A 的另一个特征值为3，其对应的一个特征向量为11⎡⎤⎢⎥⎣⎦. 【解析】（1）根据矩阵A 的特征多项式列方程，结合矩阵A 的特征值求得a 的值. （2）由（1）求得另一个特征值，根据特征向量的求法，求得对应的特征向量. 【详解】（1）由已知，矩阵A 的特征多项式为1()(1)(4)14af a λλλλλ--==--+-，令()0f λ=得，2540a λλ-++=．因为矩阵A 的一个特征值为2，所以上述方程有一个实数解2λ=， 所以2a =．（2）由（1）得，2560λλ-+=，解得122,3λλ==， 所以另一个特征值为3λ=． 设其对应的一个特征向量为x y ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，则12314x x y y ⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦⎣⎦，取1x =，则1y =． 所以矩阵A 的另一个特征值为3，其对应的一个特征向量为11⎡⎤⎢⎥⎣⎦． 【点睛】本小题主要考查根据特征值求参数，考查特征值和特征向量的求法，属于中档题.22．在平面直角坐标系xOy 中，直线l的参数方程为22x m y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数），椭圆C 的参数方程为2cos sin x y ϕϕ=⎧⎨=⎩（ϕ为参数）．若直线l 被椭圆C，求实数m 的值． 【答案】2m =±．【解析】将椭圆C 的参数方程化为普通方程，将直线l 的参数方程代入椭圆方程，结合直线的参数方程中参数的几何意义与韦达定理即可求出答案．【详解】解：将椭圆C 的参数方程2cos ,sin x y ϕϕ=⎧⎨=⎩（ϕ为参数）化为普通方程得2214xy +=，将直线l的参数方程代入椭圆方程得2244022m ⎛⎫⎛⎫++⋅-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即225402t m ++-=， 由()22524402m m ∆=-⋅->得，m <<， 设12,t t 为两交点对应的参数，∴()2121224,55m t t t t -+=-=，∴()()()()222221212128482048425525m mm t t t t t t ---=+-=-=，∵直线l截椭圆所得弦长为5， ∴()28204322525m -=，2m =±，符合>0∆， ∴2m =±． 【点睛】本题主要考查参数方程与普通方程的互化，考查直线的参数方程的应用，属于中档题． 23．若实数a ，b ，c 满足7a b c ++=，求证：2224936a b c ++≥． 【答案】证明见解析.【解析】利用柯西不等式证得不等式成立. 【详解】因为()22222221111149232323a b c a b c ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++++⋅+⋅⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦，所以2222()4911149a b c a b c++++++． 又7a b c ++=，所以2224936a b c ++ 【点睛】本小题主要考查利用柯西不等式证明不等式，属于中档题.24．已知直四棱柱1111ABCD A B C D -的棱长均相等，且60BAD ∠=︒，M 是侧棱1DD 的中点，N 是棱11C D 上的点．（1）求异面直线1BD 与AM 所成角的余弦值； （2）若二面角M AC N --的大小为4π，试确定点N 的位置． 【答案】（110（2）点N 与点1C 重合. 【解析】连结BD ，取AB 的中点E ，连接DE ，可以证明DE DC ⊥，11,D D DC D D DE ⊥⊥，从而建立如图所示的空间直角坐标系.（1）算出1,BD AM 的坐标后可求1,BD AM 的余弦值，从而得到异面直线所成角的余弦值.（2）算出平面AMC 的法向量和平面ACN 的法向量后再计算它们夹角的余弦值，从而可得二面角的余弦值. 【详解】连结BD ，取AB 的中点E ，连接DE ， 因为直四棱柱1111ABCD A B C D -的棱长均相等， 所以底面ABCD 是菱形．又60BAD ∠=︒，所以ABD △是正三角形， 所以DE AB ⊥，因为//AB DC ，所以DE DC ⊥． 因为直四棱柱1111ABCD A B C D -中，1D D ⊥平面ABCD ，DC ，DE ⊂平面ABCD ，所以11,D D DC D D DE ⊥⊥．分别以直线1,,DE DC DD 为x ，y ，z 轴建立如图所示的空间直角坐标系．（1）设直四棱柱1111ABCD A B C D -的棱长均为2，则1(0,0,0),(3,1,0),(3,1,0),(0,2,0),(0,0,2),(0,0,1)D A B C D M -．所以1(3,1,2),(3,1,1)BD AM =--=-， 设异面直线1BD 与AM 所成角的大小为θ，则11131210cos |cos ,|5||||225BD AM BD AM BD AM θ⋅-+=〈〉===⋅⨯，所以异面直线1BD 与AM 所成角的余弦值为105． （2）由（1）知，(3,3,0),(3,1,1)AC AM =-=-． 设平面AMC 的法向量为()1111,,n x y z =，则11n AC n AM ⎧⊥⎪⎨⊥⎪⎩即11n ACn AM ⎧⋅⎪⎨⋅⎪⎩，所以11111330,30.x y x y z ⎧-+=⎪⎨-++=⎪⎩取13x =，则111,2y z ==，即平面AMC 的一个法向量为1(3,1,2)n =． 设(0,,2),02N λλ，则(0,2,2)CN λ=-．设平面ACN 的法向量为()2222,,n x y z =，则22n AC n CN ⎧⊥⎪⎨⊥⎪⎩即2200n AC n CN ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，所以2222330,(2)20.x y y z λ⎧+=⎪⎨-+=⎪⎩取2x =，则2221,2y z λ-==， 即平面ACN 的一个法向量为223,1,2n λ-⎛⎫= ⎪⎭．则121212coscos 422n n n n n n π⋅=<⋅>===⋅， 解得2λ=．所以当二面角M AC N --的大小为4π，点N 与点1C 重合． 【点睛】本题考查空间角的计算，此类问题我们可以借助于空间中直线的方向向量和平面的法向量来帮助计算，比如异面直线所成角的的余弦值就是它们所在直线的方向向量夹角的余弦值的绝对值，二面角的平面角的余弦值就是两个平面的法向量的夹角的余弦值或其相反数（结合二面角的大小来考虑）. 25．设230123(12)kk k x a a x a x a x a x +=+++++ （2k ≥，k *∈N ）．（1）若展开式中第5项与第7项的系数之比为3∶8，求k 的值；（2）设222n n k +-=（n *∈N ），且各项系数0a ，1a ，2a ，…，k a 互不相同．现把这1k +个不同系数随机排成一个三角形数阵：第1列1个数，第2列2个数，…，第n 列n 个数．设i t 是第i 列中的最小数，其中1i n ≤≤，且i ，n *∈N ．记123nt t t t >>>>的概率为n P ．求证：12(1)!n P n >-．【答案】（1）9k =；（2）证明见解析.【解析】（1）利用题目所给展开式中第5项与第7项的系数之比列方程，解方程求得k 的值.（2）利用相互独立事件概率乘法公式，求得n P 的表达式，构造数列()*(1)22,2n n n n a n n N +=-∈，判断出数列{}n a 的单调性，由此证得不等式成立 【详解】（1）因为在展开式中第5项与第7项的系数之比为3∶8，即44662328k k C C ⋅=⋅，所以4632k k C C =，即303(4)(5)2k k =--，所以292020k k -+=， 解得0k =或9k =．因为*2,k k N ≥∈，所以9k =．（2）由题意，最小数在第n 列的概率为2212n n n n =++，去掉第n 列已经排好的n 个数，则余下的(1)(1)22n n n n n +--=个数中最小值在第1n -列的概率为12(1)2n n n n -=-， ………… 以此类推，余下的数中最小数在第2列的概率为23， 所以12222213(1)3(1)!n nn P n nn n n -=⨯⨯⨯==++⨯⨯⨯+． 由于2222n n k +-=，所以2n ≥．设()*(1)22,2nn n n a n n N +=-∈， 所以()*1212,nn n a a n n n N +-=--∈．记()*212,nn b n n n N=--∈，所以1210n n n bb +-=->，所以{}n b 是递增数列，所以210n b b =>；{}n a 是递增数列，所以21n a a =，所以(1)22nn n +>，所以2(1)1(1)!2(1)!2(1)!n n n n n n +>=++-，即12(1)!n P n >-．【点睛】本小题主要考查二项式展开式的系数，考查相互独立事件概率计算，考查数列的单调性，属于难题.。
2020届江苏省普通高中高三下学期高考全真模拟卷(四)数学试题(解析版)
绝密★启用前
江苏省普通高中
2020届高三下学期高考全真模拟卷(四)
(南通密卷)
数学试题
(解析版)
一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．请把答案填写在答题卡相应位置上．
1.已知集合，，则___________．
【答案】
【解析】
【分析】
根据交集运算即可求解.
【详解】因为，，
所以
【点睛】本题主要考查了集合交集的运算，属于容易题.
2.已知复数，其中i为虚数单位，则的模是___________．
【答案】
【解析】
【分析】
根据复数的运算求出，求复数模即可.
【详解】因为，
所以，
故，
故答案为：
【点睛】本题主要考查了复数的四则运算,复数的模,属于容易题.
3.某地区小学生、初中生、高中生的人数之比为4：3：2．现用分层抽样的方法抽取1个容量为n的样本,若样本中高中生有24人,则样本容量n的值是
___________．
【答案】108
【解析】
【分析】
根据小学生、初中生、高中生的人数之比为4：3：2,可知分层抽样时,高中生按的比例抽样即可求解.
【详解】因为小学生、初中生、高中生的人数之比为4：3：2,
所以样本中高中生人数为,
解得,
故答案为：108
【点睛】本题主要考查了分层抽样,样本容量,属于容易题.
4.执行如图所示的伪代码,如果输入的x的值为5,那么输出的y的值是
___________．
【答案】10
【解析】
【分析】
根据框图,模拟程序运算即可求解.。
2020届江苏省南通市高考数学四模试卷(含解析)
2020届江苏省南通市高考数学四模试卷一、单空题（本大题共14小题，共70.0分）1.若集合A={x|−1≤x<2}，B={x|x>a}，且A∩B≠⌀，则a的取值范围是______ ．2.已知i是虚数单位，复数z=1+2i的虚部是．1+i3.程序框图(算法流程图)如图所示，其输出结果．4.某学院为了调查学生2018年9月“健康使用手机”(健康使用手机指每天使用手机不超过3小时)的天数情况，随机抽取了80名学生作为样本，统计他们在30天内“健康使用手机”的天数，将所得数据分成以下六组：[0,5]，(5,10]，……，(25,30]，由此得到样本的频率分布直方图，如图所示，根据频率分布直方图，可计算出这80名学生中“健康使用手机”超过15天的人数为______．5. 已知曲线C ：mx 2+4y 2−4m =0(x ≤0)，点A(−2,0)，若实数m 与曲线C 同时满足条件曲线C 上存在B 、C ，使△ABC 为正三角形，则实数m 的取值范围是______．6. 甲乙丙丁4人入住宾馆中的4个房间，其中的房号101与102对门，103与104对门，若每人随机地拿了这4个房间中的一把钥匙，则其中的甲、乙两人恰好对门的概率为______．7. 轴截面为等边三角形的圆锥叫作等边圆锥，底面半径为2的等边圆锥的体积为______ ．8. 已知函数f(x)=lnx −x 2，则f(x)在x =1处的切线方程为______．9. 在△ABC 中，点O 满足BO ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =2OC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，过O 点的直线分别交射线AB ，AC 于不同的两点M ，N ，若AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =m AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =n AN⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，则mn 的最大值是______ ． 10. 设z =2x +5y ，其中实数x ，y 满足6≤x +y ≤8且−2≤x −y ≤0，则z 的取值范围是______ ．11. 在平面直角坐标系中，当P(x,y)不是原点时，定义P 的“伴随点”为P′(y x 2+y 2,−xx 2+y 2)；当P 是原点时，定义P 的“伴随点“为它自身，平面曲线C 上所有点的“伴随点”所构成的曲线C′定义为曲线C 的“伴随曲线”.现有下列命题：①若点A 的“伴随点”是点A′，则点A′的“伴随点”是点A ；②单位圆的“伴随曲线”是它自身；③若曲线C 关于x 轴对称，则其“伴随曲线”C′关于y 轴对称；④一条直线的“伴随曲线”是一条直线．其中的真命题是______(写出所有真命题的序列)．12. 已知等比数列{a n }的各项为正数，前n 项和为S n ，若S 3=65，a 3=45，则a 1=______．13. 已知向量a ⃗ =(2,3)，b ⃗ =(6,x)，且a ⃗ ⊥b ⃗ ，则x 的值为______ ．14. 方程|x −1|+|x −3|=2的解集为______．二、解答题（本大题共11小题，共146.0分）15.将函数y=Asin(x+φ)图象的横坐标缩短为原来的1ω，得到函数y= f(x)(A>0,ω>0,0<φ<π)的图象，且y=f(x)的部分图象如图所示．(1)求函数f(x)的解析式；(2)设θ∈(0,π2)，且f(θ)=−3√35，求cos(2θ+7π12)的值．16.如图，在三棱柱ABC−A1B1C1中，CC1⊥平面ABC，D，E，F分别为AA1，AC，A1C1的中点，AB=BC=√5，AC=AA1=2．(Ⅰ)求证：AC⊥平面BEF；(Ⅱ)求三棱锥C1−BCD的体积．17.某服装制造商现有10m2的棉布料，10m2的羊毛料，和6m2的丝调料，做一条裤子需要1m2的棉布料，2m2的羊毛料，1m2的丝绸料．一条裙子雷要1m2的棉布料，1m2的羊毛料，1m2的丝绸料．一条裤子的纯收益是20元，一条裙子的纯收益是40元，为了使收益达到最大，需要安排生产这两种服装的计划，请你列出生产这两种服装件数所要满足的数学关系式，并画出图形，18.如图所示，椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左顶点和上顶点分别为A，B，D(√2,−√22)为椭圆上一点，且e=√32．(1)求椭圆的标准方程；(2)若P为线段OD延长线上一点，直线PA交椭圆于另外一点E，直线PB交椭圆于另外一点F．①求直线PA与PB的斜率之积；②试判断△PEF和△PAB的面积之比是否为PF2PB2？说明理由．19.已知f(x)=lnx，g(x)=12ax2+bx(a≠0)，ℎ(x)=f(x)−g(x)(Ⅰ)当a=4，b=2时，求ℎ(x)的极大值点；(Ⅱ)设函数f(x)的图象C1与函数g(x)的图象C2交于P、Q两点，过线段PQ的中点做x轴的垂线分别交C1、C2于点M、N，证明：C1在点M处的切线与C2在点N处的切线不平行．20.在等比数列{a n}中，a2+a5=18，a3⋅a4=32，且a n+1<a n(n∈N∗)(1)求数列{a n}的通项公式；(2)若T n=lga1+lga2+⋯+lga n，求T n的最大值及此时n的值．21.设M是把坐标平面上的点的横坐标伸长到2倍，纵坐标伸长到3倍的伸压变换．求逆矩阵M−1以及椭圆x24+y29=1在M−1的作用下的新曲线的方程．22. 在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为{x =−√32t y =1+12t，(t 为参数)以坐标原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为ρ=2√3sinθ，(1)求直线l 的普通方程及曲线C 的直角坐标方程；(2)直线l 与x 轴交于点P ，与曲线C 交于A ，B 两点，求|PA|+|PB|的值．23. 已知函数f(x)=e x −ax −1，其中e 为自然对数的底数，a ∈R ．(1)当a >0时，求f(x)的极值；(2)若存在实数x 1，x 2∈[0,2]，得f(x 1)=f(x 2)，且|x 1−x 2|≥1，求证e −1<a <e 2−e ．24. 如图，抛物线C 的方程为y 2=4x ，已知点M(−1,0)，N(1,0)，直线l的方程为y =k(x −1)(k >0)，直线l 与抛物线C 交于A ，B 两点．(1)若S △AMNS △BMN =3时，求直线l 的方程；(2)若tan∠AMN =√32时，求△AMB 的外接圆半径．25.已知的展开式中，第5项的系数与第3项的系数之比是56：3，求展开式中的常数项。
江苏省南通市2020届高三第四次调研测试数学试题含附加题 含答案
江苏省南通市2020届高三第四次调研测试数学试题2020．6第I 卷（必做题，共160分）一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分，请将答案填写在答题卷相应的位置上．）1．已知集合A ＝{﹣3，﹣1，1，3}，B ＝{}2230x x x −−=，则AB ＝ ．2．已知复数z 满足(z ﹣2)i ＝4，其中i 是虚数单位，则z 的实部为 ．3．某中学为了了解高三年级女生的体重（单位：千克）情况，从中随机抽测了100名女生的体重，所得数据均在区间[48，58]中，其频率分布直方图如图所示，则在抽测的100名女生中，体重在区间[50，56]的女生数为 ．4．一个算法的伪代码如图所示，执行此算法，若输出的值为﹣7，则输入的x 的值为 ．5．在平面直角坐标系xOy 中，已知双曲线2216416x y −=上一点M 到它的一个焦点的距离等于1，则点M 到另一个焦点的距离为 ．6．已知区域A ＝{}()2, 2x y x y ≤≤，和B ＝{}()0, 0, 2x y x y x y >>+≤，．若在区域A 内随机取一点，则该点恰好落在区域B 内的概率为 ． 7．若实数x ，y 满足x ＋3y ＝4，则28xy+的最小值为 ． 8．已知数列{}n a 满足112n n n n a a a a +++=−，且119a =，则6a 的值为 ．9．已知()f x 是定义在R 上的周期为3的奇函数， 且(2)2(8)1f f −=+，则(2020)f的值为 ．10．已知柏拉图多面体是指每个面都是全等的正多边形构成的凸多面体．著名数学家欧拉研究并证明了多面体的顶点数(V)、棱数(E)、面数(F)之间存在如下关系：V ＋F ﹣E ＝2．利用这个公式，可以证明柏拉图多面体只有5种，分别是正四面体、正六面体（正方体）、正八面体、正十二面体和正二十面体．若棱长相等的正六面体和正八面体（如图）的外接球的表面积分别为S 1，S 2，则12S S 的值为 ． 11．在平面直角坐标系xOy 中，已知圆M 经过直线l：0x +=与圆C ：224x y += 的两个交点，当圆M 的面积最小时，圆M 的标准方程为 ．12．如图，四边形ABCD 是以AB 为直径的圆的内接四边形．若AB ＝2，AD ＝1，则DC ⋅ AB 的取值范围 是 ．13．已知函数230()20x x f x x x x <⎧=⎨−≥⎩，，，则函数(()24)y f f x x =−+的不同零点的个数为．14．已知点G 是△ABC 的重心，且GA ⊥GC ，若111tan A tan C+=，则tanB 的值为 ． 二、解答题（本大题共6小题，共计90分，请在答题纸指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 15．（本小题满分14分）如图，在三棱锥P—ABC 中，PC ⊥平面ABC ，AB ＝10，BC ＝6，AC ＝PC ＝8，E ，F 分别是PA ，PC 的中点，求证：（1）AC ∥平面BEF ； （2）PA ⊥平面BCE ．已知函数2()2cos ()cos(2)46f x x x ππ=+++，x ∈R ．（1）求()f x 的最小值；（2）在△ABC 中，0＜A ＜3π，且1(A)2f =−，若AC ＝2，BC B 的大小．17．（本小题满分14分）如图，在市中心有一矩形空地ABCD ，AB ＝100m ，AD ＝75m ．市政府欲将它改造成绿化景观带，具体方案如下：在边AD ，AB 上分别取点M ，N ，在三角形AMN 内建造假山，在以MN 为直径的半圆内建造喷泉，其余区域栽种各种观赏类植物．（1）若假山区域面积为400m 2，求喷泉区域面积的最小值； （2）若MN ＝100m ，求假山区域面积的最大值．18．（本小题满分16分）在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C 1：22195x y +=与C 2：222136x y b +=(0＜b ＜6)的离心率相等．椭圆C 1的右焦点为F ，过点F 的直线与椭圆C 1交于A ，B 两点，射线OB 与椭圆C 2交于点C ，椭圆C 2的右顶点为D ．（1）求椭圆C 2的标准方程；（2）若△ABO AB 的方程； （3）若AF ＝2BF ，求证：四边形AOCD 是平行四边形．已知函数()(1ln )f x x x m =++(m ∈R)． （1）求曲线()y f x =在x ＝1处的切线方程；（2）设()()f x g x x x=+，求函数()y g x =的单调区间； （3）若()f x mx ≥对任意的x ∈(0，+∞)恒成立，求满足题意的所有整数m 的取值集合． 20．（本小题满分16分）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，n n nS b a =(n N *∈)，若{}n b 是公差不为0的等差数列，且2711b b b =．（1）求数列{}n b 的通项公式； （2）证明：数列{}n a 是等差数列； （3）记2nn n a S c =，若存在1k ，2N k *∈（12k k ≠），使得12k k c c =成立，求实数1a 的取值范围．第II 卷（附加题，共40分）21．【选做题】本题包括A ，B ，C 三小题，请选定其中两题作答，每小题10分共计20分，解答时应写出文字说明，证明过程或演算步骤． A ．选修4—2：矩阵与变换已知矩阵A ＝1 1 4a ⎡⎤⎢⎥−⎣⎦的一个特征值为2． （1）求实数a 的值；（2）求矩阵A 的另一个特征值及其对应的一个特征向量．B ．选修4—4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy 中，直线l的参数方程为22x m t y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数），椭圆C 的参数方程为2cos sin x y ϕϕ=⎧⎨=⎩（ϕ为参数）．若直线l 被椭圆C所截得的弦长为5，求实数m的值．C ．选修4—5：不等式选讲若实数a ，b ，c 满足a ＋b ＋c ＝7，求证：2224936a b c ++≥．【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分，解答时应写出文字说明，证明过程或演算步骤．22．（本小题满分10分）已知直四棱柱ABCD—A 1B 1C 1D 1的棱长均相等，且∠BAD ＝60︒，M 是侧棱DD 1的中点，N 是棱C 1D 1上的点．（1）求异面直线BD 1与AM 所成角的余弦值； （2）若二面角M—AC—N 的大小为4π，试确定点N 的位置．23．（本小题满分10分）设230123(12)kk k x a a x a x a x a x +=+++++（2k ≥，N k *∈）． （1）若展开式中第5项与第7项的系数之比为3：8，求k 的值；（2）设222n n k +−=（N n *∈），且各项系数0a ，1a ，2a ，…，k a 互不相同．现把这k ＋1个不同系数随机排成一个三角形数阵：第1列1个数，第2列2个数，…，第n 列n 个数．设i t 是第i 列中的最小数，其中1i n ≤≤，且i ，n N *∈．记123n t t t t >>>>的概率为n P ．求证：12(1)n P n >−！．江苏省南通市2020届高三第四次调研测试数学试题参考答案1．{﹣1，3} 2．2 3．75 4．1 5．17 6．187．8 8．279．13 10．32 11．223(()122x y ++−= 12．(0，3) 13．5 14．1215．16．17．解：18．19．20．21．ABC22．23．。
2020年高考江苏(专用)全真模拟 数学试题(附答案与全解全析)
2020年高考江苏（专用）全真模拟试题数 学（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
回答非选择题时，将答案写在答题卡上。
写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
4．测试范围：高中全部内容。
一、填空题：本题共14个小题，每题5分，满分70分.1．定义一种集合运算(){|AB x x A B =∈⋃，且()}x A B ∉⋂}，设{}|22M x x =-<<，{}|13N x x =<<，则MN 所表示的集合是________.2．已知复数z 满足(1)13i z i +=+，则z =________.3．已知数列{}n a 为等差数列，若159a a a π++=，则28sin()a a +=________ 4．函数()f x =的定义域为_______. 5．已知sin cos 11cos 2ααα=-，1tan()3αβ-=，则tan β=________.6．如图，在ABC V 中，若AB a =u u u v v ，AC b =u u u v v，线段AP 的中点为Q ，BQ 的中点为R ，CR 的中点为P ，若AP ma nb =+u u u v v v，则m n +=_____．7．在5张卡片上分别写有数字1,2,3,4,5,然后将它们混合,再任意排列成一行,则得到的数能被2或5整除的概率是___________.8．设样本数据x 1，x 2，…，x 2 017的方差是4，若y i ＝x i －1(i ＝1，2，…，2 017)，则y 1，y 2，…，y 2 017的方差为______．9．在长方体1111ABCD A B C D -中，底面ABCD 是边长为1的正方形，若其外接球的表面积为16π，则异面直线1BD 与1CC 所成的角的余弦值为__________．10．曲线()x f x xe =在点(1,(1))f 处的切线在y 轴上的截距是_______. 11．定义在R 上的奇函数()f x ，若()1f x +为偶函数，且()12f -=，则()()1213f f +的值等于______.12．根据如图所示算法流程图，则输出S 的值是__．13．已知双曲线()2222:10,0x y C a b a b -=>>的左焦点为F ，圆222:O x y a +=与双曲线的渐近线在第二象限相交于点M （O 为坐标原点），若直线MF 的斜率为ba，则双曲线C 的离心率为______. 14．已知偶函数满足，若在区间内，函数有4个零点，则实数的取值范围_________．二、解答题：本大题共6小题，共90分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15．在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，且满足cos sin 0b A a B -=. （1）求角A 的大小； （2）已知b =ABC ∆的面积为1，求边a .16．如图，已知PA ⊥平面ABCD ，底面ABCD 是矩形，1PA AB ==，AD =，F 是PB 中点，点E在BC 边上．()f x []2(2)(),1,0()f x f x x f x x -=∈-=且当时，[]13-，()()()log 2a g x f x x =-+a（1）求三棱锥E PAD -的体积； （2）求证：AF PE ⊥；（3）若//EF 平面PAC ，试确定E 点的位置．17．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的离心率为2，右焦点为F ，以原点O 为圆心，椭圆C 的短半轴长为半径的圆与直线0x y -=相切.（1）求椭圆C 的方程；（2）如图，过定点(2,0)P 的直线l 交椭圆C 于,A B 两点，连接AF 并延长交C 于M ，求证：PFM PFB ∠=∠.18．已知函数()2ln 1f x x x kx =+--.（I ）讨论函数()f x 的单调性；（II ）若()f x 存在两个极值点()1212,x x x x <，求证：()()210f x f x <<. 19．已知数列{}n a 中，11a =, 且()21232,1n n n na a n n n N n -*-=+≥∈-g . （1）求23,a a 的值及数列{}n a 的通项公式；（2）令()13n n nb n N a -*=∈, 数列{}n b 的前n 项和为n S , 试比较2nS 与n 的大小；（3）令()11n n a c n N n *+=∈+, 数列()221n n c c ⎧⎫⎪⎪⎨⎬-⎪⎪⎩⎭的前n 项和为n T , 求证: 对任意n N *∈, 都有2n T <. 20．如图所示，某镇有一块空地OAB ∆，其中3OA km =，OB =，AOB 90∠=o 。
2020年江苏高考数学全真模拟试卷(四)(南通教研室)学生版
(θ 为参数)求直线 l 与曲线 C 的交点坐标.
y＝2 ｜c o s θ ｜，
19
2020 年江苏高考数学全真模拟试卷三
（南通教研室）---立体几何 22
主讲：朱俊杰
您的关注是我们进的动力
20
22．（本小题满分 10 分）
如图,在三棱锥 P-ABC 中,PA⊥底面 ABC,AB⊥ AC,AP=AC=4,AB=2,D,E
您的关注是我们进的动力
16
20.(本小题满分 16 分) 对 于 给 定 的 数 列 {an},{bn}, 设 ck= max{ka1+b1,ka2+b2, … ,
kak+bk}(k=1,2,… ,n), 即 ck 是 ka1+b1,ka2+b2,… , kak+bk 中的最大值,则称数列{cn}是数列{an},{bn}的 “和谐数列” (1)设 an=n+1,bn=2n 求 c1,c2, c3 的值,并证明数列{cnn }是等差数列； (2)设数列{an},{bn}都是公比为 q 的正项等比数列,若数列{cn}是等差数列,求公比 q 的取值范围; (3) 设数列{an}满足 an＞0,数列{cn}是数列{an},{bn}的“和谐数列”,且 kai＋ bi＋
主讲：朱俊杰
您的关注是我们进的动力
22
23.(本小题满分 10 分) 在我国南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法》一书中,用如图所示的三角形
(杨辉三角)解释了二项和的乘方规律.右边的数字三角形可以看作当 n 依次取 0,1,2,3,… 时(a＋b)n 展开式的二项式系数,相邻两斜线间各数的和组成数列{an}. 例:a1=1,a2=1+1,a3=1+2 ,… .
2020年江苏南通高三下学期高考模拟数学试卷
，
．
，
，求函数 的单调增区间．
16. 如图，在四棱锥
锐角
所在平面
中，底面
底面
，
为梯形，
，
， 交 于，
，点 在侧棱 上，且
．
2
（ 1 ） 求证： （ 2 ） 求证：
平面
．
．
17. 在平面直角坐标系 中，圆
，直线
点，弦 过点 ，过点 作 的垂线交 于点 ．
（1） 若
，求
的面积．
（ 2 ） 判断直线 与圆 的位置关系，并证明．
2 若对任意 ，
，必存在
使得
，求数列 的通项公式．
（ ， ， 为常
，已知
，且
20. 若实数 满足 （ 1 ） 求函数
，则称
为函数
的不动点．
的不动点．
3
（ 2 ） 设函数
1若
时，存在一个实数
，其中 ， ， 为实数．
，使得
既是
点（
是函数 的导函数），求实数 的取值范围．
2令
，若存在实数 ，使 ，
，
为正数的等比数列，求证：函数 存在不动点．
， ，
， ，
，所以直线
， 与圆 相切，得证．
时，体积最大．
设
，则
，
，
若以 为底、 为高，则圆柱底面半径
，
，
，
，
当
时，
，当
时，
，
所以
，
若以 为底， 为高，则圆柱底面半径
，
，
，
当 所以
时，
，令
，得
、
，
，当
时，
，
，
2020年江苏高考数学全真模拟试卷四全卷+学生
2020年江苏高考数学全真模拟试卷四（南通教研室）数学Ⅰ试题A ．必做题部分一、填空题:本大题共14小题,每小题5分,共计70分.请把答案填写在答题卡相应位置上1.已知集合A ={x ｜x ≥0},B =(－2,－1,0,2)，则A ∩B =▲．2.已知复数z ＋i =－3＋ii,其中i 为虚数单位，则z 的模是▲．3.某地区小学生、初中生、高中生的人数之比为4:3:2.现用分层抽样的方法抽取1个容量为n 的样本,若样本中高中生有24人,则样本容量n 的值是▲．4.执行如图所示的伪代码,如果输入的x 的值为5,那么输出的y 的值是▲．5.函数y =log 3(－x ＋5x －6)的定义域是▲．6.某国家队“短道速滑”项目有A ,B ,C ,D ，4名运动员.若这四人实力相当,现从中任选2名参加2022年北京冬奥会,则A ,B 至少有1人被选中的概率是▲．7.在平面直角坐标系xOy 中,若双曲线C :x 2a 2－y 2b 2=1(a >0，b >0)的一条渐近线垂直于直线y ＝2x －1则双曲线C 的离心率是▲．8.如图,某沙漏由上、下两个圆锥组成,圆锥的底面直径和高均为6cm .当细沙全部在上部时,其高度为圆锥高度的23(细管长度忽略不计).细沙全部漏入下部后,恰好堆成一个盖住沙漏底部的圆锥形沙堆,则此圆锥形沙堆的高是▲．注意事项考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求:1.本试卷共4页，均为非选择题(第1题~第20题,共20题).本卷满分为160分,考试时间为120分钟考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回.2.答题前，请您务必将自己的姓名、准考证号用0.5毫米色水的签字笔填写在答题卡的规定位置.3.请认真核对监考员在答题卡上所粘點的条形码上的姓名、准考证号与您本人是否相符.4.作答试题必须用0.5毫米色墨水的签字笔在答题卡的指定位置作答，在其他位置作答律无效.5.如需作图，须用2B 铅笔绘、写楚,线条、符号等须加黑、加粗.（第4题图）Read x If x ≤4Theny ←6x Elsey ←x ＋5End If Print y（第8题）9.若S n ,是等比数列{a n }的前n 项和,S 3,S 9,S 6成等差数列,则a 9a 6＝▲．10.已知f (x )是定义在R 上的奇函数,且f (x ＋4)=f (x ),当0≤x ≤2时,f (x )=－x 2+ax ＋b ,对f (－1)的值是▲．11.已知三角形ABC 按如图所示的方式放置，AB =4，点A 、B 分别在x 轴的正半轴和y 轴的正半轴上滑动,则OA →・OC →的最大值是▲．12.在平面直角坐标系xOy 中,已知圆C 的方程为x 2+（y －1）2=4.过点P (x 0，y 0)存在直线l 被圆C 截得的弦长为23,则实数x 0的取值范围是▲．13.已知函数f (x )=（a ＋1）x 2－bx ＋a ，若函数f (x )有零点、且与函数y ＝f (f (x ))的零点完全相同，则实数b 的取值范围为▲．14.如图，在ABC 中已知2BC 2+AB 2=2AC 2,且BC 长线上的点D 足DA =DB ,则∠DAC 的最大值是▲．二、解答题:本大题共6小题,共计90分.请在答题卡指定区域内作答,解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.(本小题满分14分)如图,在直四棱柱ABCD -A 1B 1C 1D 1中,四边形ABCD 为菱形、E 为棱A 1A 的中点,且O 为A 1C 1与B 1D 1的交点.(1)求证:OE ∥平面ABC 1;(2)求证:平面AA 1C 1⊥平面B 1D 1E.O（第11题）ACBy x（第14题）ACBD（第15题）ACBDEOC 1A 1D 1B 116.(本小题满分14分)已知函数f (x )=Asin(ωx +φ)(A >0,ω>0,0≤φ<2π)的图象如图所示.(1)求函数f (x )的解析式;(2)若角α满足f (α)=2,α∈(3π4,7π4)求sinα的值.17.(本小题满分14分)图1是某高架桥箱梁的横截面,它由上部路面和下部支撑箱两部分组成.如图2,路面宽度AB =10m,下部支撑箱CDEF 为等腰梯形(CD >EF ),且AC =BD .为了保证承重能力与稳定性,需下部支撑箱的面积为8m 2,高度为2m 且2m ≤EF ≤3m 若路面AB 、侧边CF 和DE 、底部EF 的造价分别为4a 千元/m,5a 千元/m,6a 千元/m (a 为正常数),∠DCF =θ.(1)试用θ表示箱梁的总造价y (千元);(2)试确定cos θ的值,使总造价最低?并求最低总造价.（第17题）（图1）（图2）A CFBD Eθ如图,在平面直角坐标系xOy 中,已知A (0,1)为椭圆Ex 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的上顶点，P 为椭圆E 上异于上、下顶点的一个动点.当点P 的横坐标为233时,OP ＝2.(1)求椭圆E 的标准方程；(2)设M 为x 轴的正半轴上的一个动点.①若点P 在第一象限内,且以AP 为直径的圆恰好与x 轴相切于点M ,求AP 的长.②若MA =MP ,是否存在点N ,满足PN →＝4PM →,且AN 的中点恰好在椭圆E 上?若存在,求点N的坐标;若不存在,请说明理由.19.(本小题满分16分)已知函数f (x )=e x －ax ,其中e 为自然对数的底数.(1)若函数f (x )的图象在点(0,f (0))处的切线方程为y =x ＋1,求实数a 的值;(2)若函数f (x )有2个不同的零点x 1,x 2.①求实数a 的取值范围;②求证:2<x 1＋x 2<2ln a.（第18题）APxy OM对于给定的数列{a n},{b n},设c k=max{ka1+b1,ka2+b2,…,ka k+b k}(k=1,2,…,n),即c k是ka1+b1,ka2+b2,…,ka k+b k中的最大值,则称数列{c n}是数列{a n},{b n}的“和谐数列”}是等差数列；(1)设a n=n+1,b n=2n求c1,c2,c3的值,并证明数列{c nn(2)设数列{a n},{b n}都是公比为q的正项等比数列,若数列{c n}是等差数列,求公比q的取值范围;(3)设数列{a n}满足a n＞0,数列{c n}是数列{a n},{b n}的“和谐数列”,且ka i＋b i＋c k-i+1＝m(m为常数,i=1,2,…,k),求证:c n=m a n＋b n．2020年江苏高考数学全真模拟试卷(四)（南通教研室）数学Ⅱ附加题A ．必做题部分21【选做題】本题包括A 、B 、C 三小题,请选定其中两小题．．．．．．．．,并在相应的答题区域内作答．．．．．．．．．．．．，．若多做,按作答的前两小题评分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步聚A.[选修4-2:矩阵与变换](本小题满分10分)已知矩阵A ＝2211,矩阵B 的逆矩阵B -1＝10012.若矩阵M ＝AB ,求矩阵M .B.[选修4:坐标系与参数方程](本小题满分10分)在平面直角标系xOy 中,已知直线l ＝1－t ，＝t －1，,(t 为参数,曲线C 的参数＝2sinθ，＝2｜cos θ｜，(θ为参数)求直线l 与曲线C 的交点坐标.注意事项考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求:1.本试卷共4页,均为非选择题(第21题~第23题).本卷满分为40分,考试时间为30分钟,考试结束后,请将本试卷和答题卡一并交回2.答题前,请您务必将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色墨水的签字笔填写在答题卡的规定位置3.请认真核对监考员在答题卡上所枯贴的条形码上的姓名、准考证号与您本人是否相符4.作答试题必须用0.5毫米黑色墨水的签字笔在答题卡的指定位置作答,在其他位置作答一律无效5.如需作图,须用2B 铅笔绘、写清楚,线条、符号等须加黑、加粗.C.[选修45:不等式选讲](本小题满分10分)已知x ,y ,z 均是正实数,且x 2＋9y 2＋4z 2＝36，求证x ＋y ＋z ≤7.【必做题】第22题、第23题,每小题10分,共计20分.请在答题卡指定区域内作答,解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．22．（本小题满分10分）如图,在三棱锥P -ABC 中,PA ⊥底面ABC ,AB ⊥AC ,AP =AC =4,AB =2,D ,E 分别为棱BC ,PC 的中点,点F 在棱PA 上,设t ＝PFAF.(1)当t ＝13时,求异面直线DF 与BE 所成角的余弦值；(2)试确定t 的值，使二面角C -EF -D 的平面角的余弦值为42121.（第22题）BACDEPF23.(本小题满分10分)在我国南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法》一书中,用如图所示的三角形(杨辉三角)解释了二项和的乘方规律.右边的数字三角形可以看作当n依次取0,1,2,3,…时(a＋b)n展开式的二项式系数,相邻两斜线间各数的和组成数列{a n}.例:a1=1,a2=1+1,a3=1+2,….(1)写出数列{a n}的通项公式(结果用组合数表示),无需证明;(2)猜想a1＋a2＋a3＋…＋a n,与a n+2的大小关系,并用数学归纳法证明.。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
2020年高考数学全真模拟试卷四（教研室）数学Ⅰ试题A ．必做题部分一、填空题:本大题共14小题,每小题5分,共计70分.请把答案填写在答题卡相应位置上 1.已知集合A ={x ｜x ≥0},B =(－2,－1,0,2) ，则A ∩B = ▲ ． 2.已知复数z ＋i =－3＋ii,其中i 为虚数单位，则z 的模是 ▲ ． 3.某地区小学生、初中生、高中生的人数之比为4:3:2.现用分层抽样的方法抽取1个容量为n 的样本,若样本中高中生有24人,则样本容量n 的值是 ▲ ． 4.执行如图所示的伪代码,如果输入的x 的值为5,那么输出的y 的值是 ▲ ． 5.函数y =log 3(－x ＋5x －6)的定义域是 ▲ ．6.某国家队“短道速滑”项目有A ,B ,C ,D ，4名运动员.若这四人实力相当,现从中任选2名参加2022年冬奥会,则A ,B 至少有1人被选 中的概率是 ▲ ．7.在平面直角坐标系xOy 中,若双曲线C : x 2a 2－y 2b2=1 (a >0，b >0)的一条渐近线垂直于直线y ＝2x －1则双曲线C 的离心率是 ▲ ． 8.如图,某沙漏由上、下两个圆锥组成,圆锥的底面直径和高均为6cm . 当细沙全部在上部时,其高度为圆锥高度的23 (细管长度忽略不计).细沙全部漏入下部后,恰好堆成一个盖住沙漏底部的圆锥形沙堆, 则此圆锥形沙堆的高是 ▲ ．注意事项 考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求:1.本试卷共4页，均为非选择题(第1题~第20题,共20题).本卷满分为160分,考试时间为120分钟考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回.2.答题前，请您务必将自己的姓名、准考证号用0.5毫米色水的签字笔填写在答题卡的 规定位置.3.请认真核对监考员在答题卡上所粘點的条形码上的姓名、准考证号与您本人是否相符.4.作答试题必须用0.5毫米色墨水的签字笔在答题卡的指定位置作答，在其他位置作答 律无效.5.如需作图，须用2B 铅笔绘、写楚,线条、符号等须加黑、加粗. （第4题图）Read xIf x ≤4 Theny ←6x Elsey ← x ＋5 End If Print y（第8题）9.若S n ,是等比数列{a n }的前n 项和, S 3, S 9 , S 6成等差数列,则a 9a 6＝ ▲ ． 10. 已知 f (x )是定义在 R 上的奇函数,且f (x ＋4)=f (x ),当0≤x ≤2时, f (x )=－x 2+ax ＋b ,对f (－1)的值是 ▲ ．11.已知三角形ABC 按如图所示的方式放置，AB =4，点A 、B 分别在x 轴的正半轴和y 轴的正半轴上滑动,则OA → ・OC →的 最大值是 ▲ ．12.在平面直角坐标系xOy 中,已知圆C 的方程为x 2+（y －1）2= 4.过点P (x 0，y 0)存在直线l 被圆C 截得的弦长为2 3 ,则实数x 0的取值围是 ▲ ． 13.已知函数f (x )=（a ＋1）x 2－bx ＋a ，若函数f (x )有零点、且与函 数y ＝f (f (x ))的零点完全相同，则实数b 的取值围为 ▲ ． 14.如图，在ABC 中已知2BC 2+AB 2=2AC 2,且BC 长线上的点D 足DA =DB ,则∠DAC 的最大值是 ▲ ．二、解答题:本大题共6小题,共计90分.请在答题卡指定区域作答,解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15.(本小题满分14分)如图,在直四棱柱 ABCD -A 1B 1C 1D 1中,四边形ABCD 为 菱形、E 为棱A 1A 的中点,且O 为A 1C 1与B 1D 1的交点. (1) 求证: OE ∥平面ABC 1; (2) 求证: 平面AA 1C 1⊥平面B 1D 1E.16.(本小题满分14分)已知函数f (x ) = Asin(ωx +φ)(A >0, ω>0,0≤的图象如图所示.(1) 求函数f (x )的解析式; (2) 若角α满足f (α)=2, α∈(3π4 ,7π4 )求sin（第11题）（第14题）ACBD（第15题） CBDEOC 1A 1D 1 B 117.(本小题满分14分)图1是某高架桥箱梁的横截面,它由上部路面和下部支撑箱两部分组成.如图2,路面宽度AB =10m,下部支撑箱CDEF 为等腰梯形(CD >EF ),且AC =BD .为了保证承重能力与稳定性,需下部支撑箱的面积为8m 2,高度为2m 且2m ≤EF ≤3m 若路面AB 、侧边CF 和DE 、底部EF 的造价分别为4a 千元/m,5a 千元/m,6a 千元/m (a 为正常数),∠DCF = θ. (1) 试用θ表示箱梁的总造价y (千元);(2) 试确定cos θ的值,使总造价最低?并求最低总造价.18.(本小题满分16分)如图,在平面直角坐标系xOy 中,已知A (0,1)为椭圆E x 2a 2＋y 2b2＝1 (a >b >0)的上顶点，P为椭圆E 上异于上、下顶点的一个动点.当点P 的横坐标为2 33 时,OP ＝ 2 .(1) 求椭圆E 的标准方程；(2) 设M 为x 轴的正半轴上的一个动点.① 若点P 在第一象限,且以AP 为直径的圆恰好与x 轴相切于点M ,求AP 的长.② 若MA =MP ,是否存在点N ,满足PN → ＝4 PM →,且AN 的中点恰好在椭圆E 上?若存在,求点N的坐标;若不存在,请说明理由.（第17题）（图1）（图2）A CFBD Eθ （第18题）APx y OM19.(本小题满分16分)已知函数f (x )=e x－ax ,其中e 为自然对数的底数.(1) 若函数f (x )的图象在点(0,f (0))处的切线方程为y =x ＋1,数a 的值; (2) 若函数f (x )有2个不同的零点x 1,x 2. ①数a 的取值围;②求证:2< x 1＋x 2<2ln a.20.(本小题满分16分)对于给定的数列{a n },{b n },设c k = max {ka 1+b 1,ka 2+b 2,…, ka k +b k }(k =1,2,…,n ), 即c k 是ka 1+b 1,ka 2+b 2,…, ka k +b k 中的最大值,则称数列{c n }是数列{a n },{b n }的“和谐数列”(1)设a n =n +1,b n =2n 求c 1,c 2, c 3的值,并证明数列{c nn}是等差数列；(2)设数列{a n },{b n }都是公比为q 的正项等比数列,若数列{c n }是等差数列,求公比q 的取值围; (3) 设数列{a n }满足a n ＞0,数列{c n }是数列{a n },{b n }的“和谐数列”,且ka i ＋b i ＋c k -i +1＝m (m 为常数,i =1,2, …, k ),求证:=m a n ＋b n ．2020年高考数学全真模拟试卷(四)（教研室）数学Ⅱ附加题21【选做題】本题包括A 、B 、C 三小题,请选定其中两小题．．．．．．．．,并在相应的答题区域．．．．．．．．．作答．．，．若多做,按作答的前两小题评分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步聚 A.[选修4-2:矩阵与变换] (本小题满分10分)已知矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2 21 1 ,矩阵B 的逆矩阵B -1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1 00 12 .若矩阵M ＝AB ,求矩阵M .B.[选修4:坐标系与参数方程] (本小题满分10分)在平面直角标系xOy 中,已知直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1－t ，y ＝t －1， ,(t 为参数,曲线C 的参数 方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2sin θ，y ＝2｜cos θ｜，(θ为参数)求直线l 与曲线C 的交点坐标.C.[选修45:不等式选讲] (本小题满分10分)已知x ,y ,z 均是正实数,且x 2＋9y 2＋4z 2＝36，求证x ＋y ＋z ≤7.【必做题】第22题、第23题,每小题10分,共计20分.请在答题卡指定区域作答,解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 22．（本小题满分10分）如图,在三棱锥P -ABC 中,PA ⊥底面ABC ,AB ⊥AC ,AP =AC =4,AB =2,D ,E 分别为棱BC ,PC 的中点,点F 在棱PA 上,设t ＝PFAF. (1)当t ＝13时,求异面直线DF 与BE 所成角的余弦值；(2)试确定t 的值，使二面角C -EF -D 的平面角的余弦值为42121 .23.(本小题满分10分)在我国南宋数学家辉所著的《详解九章算法》一书中,用如图所示的三角形(辉三角)解释了二项和的乘方规律.右边的数字三角形可以看作当n 依次取0,1,2,3,…时(a ＋b )n展开式的二项式系数,相邻两斜线间各数的和组成数列{a n }.例:a 1=1,a 2=1+1,a 3=1+2 ,….(1) 写出数列{a n }的通项公式(结果用组合数表示),无需证明;（第22题）BACEPF(2) 猜想a1＋a2＋a3＋…＋a n,与a n+2的大小关系,并用数学归纳法证明.。