2021年南通市高考数学模拟试卷(含答案)

高考数学模拟试卷(1)

第Ⅰ卷（必做题，共160分）

一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分 ． 1． 已知{}2A x x =＜，{}1B x x =＞ ，则A B = ▲ ． 2． 已知复数z 满足(1i)2i z -=+，则复数z 的实部为 ▲ ． 3． 函数5()log (9)f x x =+ 的单调增区间是 ▲ ．

4． 将一颗质地均匀的正方体骰子（每个面上分别写有数字1，2，3，4，5，6）先后抛掷2次，观

察向上的点数，则点数之和是6的的概率是 ▲ ．

5． 执行如图所示的伪代码，若输出的y 的值为13，则输入的x 的值是 ▲ ． 6． 一种水稻品种连续5年的平均单位面积产量（单位：t/hm 2）分别为：

9.4，9.7，9.8，10.3，10.8，则这组样本数据的方差为 ▲ ． 7． 已知函数()sin()(030)f x x ω?ω?=+<<<<π，．若4

x π=-为函数()f x 的

一个零点，3x π=为函数()f x 图象的一条对称轴，则ω的值为 ▲ ．

8． 已知1==a b ，且()()22+?-=-a b a b ，则a 与b 的夹角为 ▲ ． 9． 已知() 0 αβ∈π，

，，且()1tan 2

αβ-=，1tan 5β=-，则tan α的值为 ▲ ． 10．已知关于x 的一元二次不等式2 >0ax bx c ++的解集为()1 5-，，其中a b c ，，为常数．则不等式

2 0cx bx a ++≤的解集为 ▲ ．

11．已知正数x ，y 满足121x y

+=，则22log log x y +的最小值为 ▲ ．

12．在平面直角坐标系xOy 中，已知圆C ：22280x y x ++-=，直线l ：(1) ()y k x k =-∈R 过定点A ，

且交圆C 于点B ，D ，过点A 作BC 的平行线交CD 于点E ，则三角形AEC 的周长为 ▲ ． 13．设集合{}*2n A x x n ==∈N ，，集合{}*n B x x b n ==∈N ， 满足A B =?，且*A B =N ．若对

任意的*n ∈N ，1n n b b +<，则2017b 为 ▲ ．

14．定义：{}max a b ，

表示a ，b 中的较大者．设函数{}()max 11f x x x =-+，，2()g x x k =+， 若函数()()y f x g x =-恰有4个零点，则实数k 的取值范围是 ▲ ．

二、解答题：本大题共6小题，共90分.

（第5题）

（第17题）

15．（本小题满分14分）

在三角形ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ．已知cos

cos 02C C +=．

（1）求C 的值．

（2）若c =1，三角形ABC ，求a ，b 的值．

16．（本小题满分14分）

如图，在多面体ABC —DEF 中，若AB //DE ，BC //EF ． （1）求证：平面ABC //平面DEF ；

（2）已知CAB ∠是二面角C -AD -E 的平面角． 求证：平面ABC ⊥平面DABE ．

17．（本小题满分14分）

如图，长方形ABCD 表示一张6?12（单位：分米）的工艺木板，其四周有边框（图中阴影部分）， 中间为薄板．木板上一瑕疵（记为点P ）到外边框AB ，AD 的距离分别为1分米，2分米． 现欲经过点P 锯掉一块三角形废料MAN ，其中M N ，分别在AB ，AD 上．设AM ，AN 的 长分别为m 分米，n 分米．

（1）为使剩下木板MBCDN 的面积最大，试确 定m ，n 的值；

（2）求剩下木板MBCDN 的外边框长度（MB ， BC CD DN ，，的长度之和）的最大值．

18．（本小题满分16分）

A F

E

D C

B

（第16题）

如图，在平面直角坐标系xOy 中，设椭圆C ：2

221x y a +=（a ＞1）.

（1）若椭圆C 的焦距为2，求a 的值；

（2）求直线1y kx =+被椭圆C 截得的线段长（用a ，k 表示）；

（3）若以A （0，1）为圆心的圆与椭圆C 总有4个公共点，求椭圆C 的离心率e 的

取值范围.

19．（本小题满分16分）

已知函数32()2()f x x ax bx c a b c =+++∈R ，，．

（1）若函数()f x 为奇函数，且图象过点(12)-，，求()f x 的解析式； （2）若1x =和2x =是函数()f x 的两个极值点． ①求a ，b 的值；

②求函数()f x 在区间[03]，上的零点个数．

20．（本小题满分16分）

设等差数列{}n a 与等比数列{}n b 共有m * ( )m ∈N 个对应项相等． （1）若110a b =>，11110a b =>，试比较66a b ，的大小； （2）若34n a n =-，()

1

2n n b -=--，求m 的值．

（3）若等比数列{}n b 的公比0q >，且1q ≠，求证：3m ≠．

【参考结论】若R 上可导函数()f x 满足()()f a f b =（a b <），则()a b ξ?∈，，()0f ξ'=．

第II 卷（附加题，共40分）

（第18题）

（第21- A 题）

21.【选做题】本题包括A, B,C,D 四小题，每小题10分，请选定其中两小题，并在相应的答题区域．．．．．．．．．内作答．．．

. A ，（选修4-1；几何证明选讲） 如图，四边形ABCD 是圆的内接四边形，BC BD =，BA 的延长线

交CD 的延长线于点E ．求证：AE 是四边形ABCD 的外角DAF ∠的平分线．

B ．（选修4-2：矩阵与变换） 已知矩阵1002??=??

??A ，11201??

??=???

?

B ，求矩阵AB

C ．（选修4-4：坐标系与参数方程）在极坐标系中，求圆24sin 50ρρθ--=截直线π()3

θρ=∈R

所得线段长． D ．

（选修4-5：不等式选讲）

求证：5． 【选做题】第22题、23题，每题10分，共计20分.

22．在平面直角坐标系xOy 中，设点2(2)A a a ，，2(2)B b b ，，(12)C ，均在抛物线

22(0)y px p =>上，且90BCA ∠=?． （1）求p 的值； （2）试用a 表示b ；

（3）求直线5x =与直线AB 交点的纵坐标． 23．

(1)

2

n n +（2n n ∈*N ≥，）个不同数随机排成如下的一个三角形：

k M ()

1 k n k ∈*N ≤≤，是从上往下数第k 行中的最大数，n p 为12n M M M <

（2）猜想n p 的表达式，并证明．

＊ ＊ ＊ ＊ ＊ ＊ …………………… ＊ ＊ … ＊ ＊

高考模拟试卷(1)参考答案

一、填空题

1．()12，．A B =()12，．

2．12． (2)(1)2i 13.1i (1)(1)2

i i i

z i i ++++===--+，则复数z 的实部为 12．

3．（-9，+∞）．函数5()log (9)f x x =+的单调增区间（-9，+∞）.

4． 536．点数之和是6包括(15)(24)(33)(42)(15)，，，，，，，，，共5种情况，则所 求概率是536

．

5． 8．若613x =，则1326x =>，不符；若513x +=，则82x =>．

6． 0. 244．这组数据的平均数为10，方差为

222221(109.4)(109.7)(109.8)(1010.3)(1010.8)0.245

??-+-+-+-+-=??. 7． 76．函数()f x 的周期4(3T π=?)43π7π+=，又Τω2π=，所以ω的值为7

6. 8． π．依题意，2220+?-=a a b b ，又1==a b ，故1?=a b ，则a 与b 的夹角为π． 9． 113．()()()()

11

tan tan 25tan tan 11

1tan tan 125

αββααββαββ--+=-+===????---?-113． 10． 115??-???

?，．因为不等式2 >0ax bx c ++的解集为()1 5-，，所以(1)(5)>0a x x +-，且0a <，即245>0ax ax a --，则45b a c a =-=-，，则2 0cx bx a ++≤即为254 0ax ax a --+≤，从而254 1 0x x +-≤，故解集为115??-????

，． 11．3．由121x y +=得，02

y x y =>-，则()2

22222

222log log log log log 22y y x y xy y y -++===-- ()224log 24log 832y y ??=-++=??-??

≥． 12． 5．易得圆C ：22(1)9x y -+=，定点A (10)-，，EA ED =，则3EC EA EC ED +=+=， 从而三角形AEC 的周长为5．

13． 2027．易得数列{}n b ：1，3，5，6，7，9，10，11，12，13，14，15，17，…，

则1137++++…12121k k k ++-=--，当10k =，1

2120372017k k +--=>，

2037201720-=，从而第2017项为1121202027--=． 14． ()()5114-∞-，

，．{}()max 11f x x x =-+，

2

()()g x x k k =+∈R 恰有4个零点， 当54

k =时，()f x 与()g x 相切．如图，

结合图形知，实数k 的取值范围是()

)

5114-∞-，

，． 二、解答题

15． （1）因为cos cos 02

C C +=，

所以2

2cos cos 1022

C C +-=，

解得cos 12C =-或1cos 22

C =， 又0C π＜＜ ，故22

C π0＜＜，

从而23C π=，即23C π=．

（2）由余弦定理2222cos c a b ab C =+-得，

221a b ab ++=， ① 由三角形ABC 的面积1sin 2ab C ==

13

ab =， ②

由①②得，a b ==．

16． （1）因为AB //DE ，

又AB ?平面DEF ， DE ?平面DEF ，

所以AB //平面DEF ， 同理BC //平面DEF ， 又因为AB

BC C =，

AB BC ?，平面ABC ，

所以平面ABC //平面DEF . （2）因为CAB ∠是二面角C -AD -E 的平面角，

所以CA AD BA AD ⊥⊥，， 又因为CA AB A =， AB ，CA ?平面ABC ，

所以DA ⊥平面ABC ， 又DA ?平面DABE ，

所以平面ABC ⊥平面DABE .

17． （1）过点P 分别作AB ，AD 的垂线，垂足分别为E ，F ， 则△PNF 与△MPE 相似，

从而PF NF EM PE

=，

所以2121

n m -=-，

即211m n

+=． 欲使剩下木板的面积最大，即要锯掉的三角形废料MAN 的面积 12

S mn =最小．

由211m n =+≥8mn ≥ （当且仅当21m n =，即4m =，2n =时，

“=”成立），此时min 4S =（平方分米）． （2）欲使剩下木板的外边框长度最大，即要m n +最小．

由（1）知，()()

212333n m m n m n m n m n +=++=++=≥，

（当且仅当2n m m n =即2m =，1n 时，“=”成立），

答：此时剩下木板的外边框长度的最大值为33-分米．

18． （1）由椭圆C ：2221x y a

+=（a ＞1）知， 焦距为2=， 解得a =

因为a ＞1，所以a =

（第17题）

（2）设直线1y kx =+被椭圆截得的线段长为ΑΡ， 由22

211y kx x y a

=+??

?+=??，，得()

2222120a k x a kx ++=， 解得10x =，2222

21a k

x a k

=-+．

因此21222

21a k

ΑΡx a k

=-=+． （3）因为圆与椭圆的公共点有4个，由对称性可设y 轴左侧的椭圆上有2个不同的公共点为

P ，Q ，满足AP AQ =．

记直线AP ，AQ 的斜率分别为1k ，2k ，且1k ，20k >，12k k ≠． 由（2

）知，1AP

2AQ ，

12，

所以22222222

121212)1(2)0k k k k a a k k ??-+++-=??（，

因为1k ，20k >，12k k ≠，

所以222222

12

121(2)0k k a a k k +++-=， 变形得，()()

22221211111(2)a a k k ++=+-， 从而221+(2)1a a -＞，

解得a

则)

1c e a =． 19． （1）因为函数()f x 为偶函数，

所以()()f x f x -=-，即()()()3

2

3222x a x b x c x ax bx c -+-+-+=----， 整理得，20ax c +=，

所以0a c ==，从而3()2f x x bx =+，

又函数()f x 图象过点(12)-，，所以4b =-． 从而3()24f x x x =-．

（2）①32()2()f x x ax bx c a b c =+++∈R ，，的导函数2()62f x x ax b '=++． 因为()f x 在1x =和2x =处取得极值，

所以(1)0(2)0f f ''==，， 即6202440a b a b ++=??++=?

，，

解得912a b =-=，． ②由（1）得32()2912()f x x x x c c =-++∈R ，()6(1)(2)f x x x '=--． 列表：

显然，函数()f x 在[0，3]上的图象是一条不间断的曲线．

由表知，函数()f x 在[0，3]上的最小值为(0)f c =，最大值为(3)9f c =+． 所以当0c >或90c +<（即9c <-）时，函数()f x 在区间[03]，上的零点个数为0． 当50c -<<时，因为(0)(1)(5)0f f c c =+<，且函数()f x 在(0，1)上是单调增函数，

所以函数()f x 在(0，1)上有1个零点．

当54c -<<-时，因为(1)(2)(5)(4)0f f c c =++<，且()f x 在(1，2)上是单调减函数， 所以函数()f x 在(1，2)上有1个零点．

当94c -<<-时，因为(2)(3)(4)(9)0f f c c =++<，且()f x 在(2，3)上是单调增函数， 所以函数()f x 在(2，3)上有1个零点．

综上，当0c >或9c <-时，函数()f x 在区间[03]，上的零点个数为0；

当95c -<-≤或40c -<≤时，零点个数为1； 当4c =-或5c =-时，零点个数为2；

当54c -<<-时，零点个数为3．

20．（1）依题意，11111166022

a a a a

a b ++=

- （当且仅当111a a =时，等号成立）．

（2）易得()

1

342n n --=--，当n 为奇数时，()

1

3420n n --=--<，所以43

n <，

又*n ∈N ，故1n =，此时111a b ==-；

当n 为偶数时，()

1

3420n n --=-->，所以43

n >，

又*n ∈N ，故246n =，，，…

若2n =，则222a b ==，若4n =，则448a b ==， 下证：当6n ≥，且n 为偶数时，()

1

342n n --<--，即()

1

2134

n n --->-．

证明：记()1

2()34n p n n ---=-，则()()()1

12434(2)341()3232

2n n n p n n p n n n +----+-=?=>++--， 所以()p n 在6n ≥，且n 为偶数时单调递增， 从而17()(6)17

p n p >=>．

综上，124n =，，，所以m 的值为3． （3）证明：假设3m =，不妨123n n n <<，满足11n n a b =，22n n a b =，33n n a b =， 设1(1)n a a n d =+-，11n n b b q -=，其中0q >，且1q ≠， 记11()(1)x

b f x a x d q q

=+--?， 则1()ln x b f x d q q q '=-

?，()2

1()ln x b f x q q q

''=-?，

由参考结论，知112()n n ξ?∈，，1()0f ξ'=，223()n n ξ?∈，，2()0f ξ'=， 同理，12()ηξξ?∈，，()0f η''=，即()2

1()ln 0b f q q q

ηη''=-?=， 这与()2

1()ln 0b f q q q

ηη''=-

?≠矛盾，故假设不成立，从而3m ≠．

第Ⅱ卷（附加题，共40分）

A ．因为ABCD 是圆的内接四边形，

所以DAE BCD ∠=∠，FAE BAC BDC ∠=∠=∠． 因为BC BD =，所以BCD BDC ∠=∠， 所以DAE FAE ∠=∠，

所以AE 是四边形ABCD 的外角DAF ∠的平分线． B ．因为1002??

=????A ，11201??

??=???

?B ， 所以11101

122020

10

2????

?????

?==????????????

AB ．

由逆矩阵公式得，1114()102-??

-?

?=?

?????

AB ． C ．以极点O 为原点，极轴Ox 为x 轴正半轴建立平面直角坐标系xOy ． 则圆24sin 50ρρθ--=化为普通方程22450x y y +--=，

即22(2)9x y +-=．

直线π()3

θρ=∈R

化为普通方程y =

0y -=．

圆心(02)，

0y -=

的距离为1d =

=，

于是所求线段长为 D ．由柯西不等式可得，

((

)2

2222

215?++=?

≤，

（当且仅当=16[34]5

x =∈，

时，“=”成立．） 22． （1）依题意，将(12)C ，代入22(0)y px p =>得，2p =； （2）因为 90BCA ∠=?，

所以0CA CB ?=，

其中2(122)CA a a =--，，2(122)CB b b =--，， 从而22(1)(1)4(1)(1)0a b a b --+--=，

化简得，51

a b a +=-+；

（3）易得直线AB 的方程为222()y a x a b a

-=-+， 令5x =得，

22(5)2251

y a a a a a =

-+=-+-++． 23．当2n =时，1，2，3排成一个三角形有：

1

2 3

1 3

2 2 1

3 2 3 1

3 1 2

3 2 1

共有6种，其中满足12M M <的有如下4种：

所以24263p ==；

（2）设当n k =时，12k M M M <

则当1n k =+时，121k k M M M M +<

12(1)(11)2

2

k k k k +=++++， 所以12(2)2k k p p k k +=

+≥，即12(2)2k k p k p k +=+≥， 故3224

p p =，432

5p p =，5426p p =，…，121n n p p n -=+， 叠乘，得

()2

2214n n p p n n -=

+??????，其中24263

p ==， 所以n p 2(1)!

n n =+．

1 2 3

1 3

2 2 1

3 2 3 1