方程组的解法举例

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线性方程组的几种求解方法

线性方程组的几种求解方法

线性方程组的几种解法线性方程组形式如下:常记为矩阵形式其中一、高斯消元法高斯(Gauss)消元法的基本思想是:通过一系列的加减消元运算,也就是代数中的加减消去法,将方程组化为上三角矩阵;然后,再逐一回代求解出x向量。

现举例说明如下:(一)消元过程第一步:将(1)/3使x1的系数化为1 得再将(2)、(3)式中x1的系数都化为零,即由(2)-2×(1)(1)得由(3)-4×(1)(1)得)1(32)2(......3432=+xx)1(321)1(......23132=++xxx第二步:将(2)(1)除以2/3,使x 2系数化为1,得再将(3)(1)式中x 2系数化为零,即 由(3)(1)-(-14/3)*(2)(2),得第三步:将(3)(2)除以18/3,使x 3系数化为1,得经消元后,得到如下三角代数方程组:(二)回代过程由(3)(3)得 x 3=1, 将x 3代入(2)(2)得x 2=-2, 将x 2 、x 3代入(1)(1)得x 2=1 所以,本题解为[x]=[1,2,-1]T(三)、用矩阵演示进行消元过程第一步: 先将方程写成增广矩阵的形式第二步:然后对矩阵进行初等行变换初等行变换包含如下操作(1) 将某行同乘或同除一个非零实数(2) 将某行加入到另一行 (3) 将任意两行互换第三步:将增广矩阵变换成上三角矩阵,即主对角线全为1,左下三角矩阵全为0,形)3(3)3(......1-=x )2(3)3( (63)18-=x )2(32)2(......02=+x x )1(32)3( (63)10314-=--x x示例:(四)高斯消元的公式综合以上讨论,不难看出,高斯消元法解方程组的公式为1.消元(1)令a ij(1) = a ij , (i,j=1,2,3,…,n)b i(1) =b i , (i=1,2,3,…,n)(2)对k=1到n-1,若a kk(k)≠0,进行l ik = a ik(k) / a kk(k) , (i=k+1,k+2,…,n)a ij(k+1) = a ij(k) - l ik * a kj(k), (i,j= k+1,k+2,…,n)b i(k+1) = b i(k) - l ik * b k(k), (i= k+1,k+2,…,n)2.回代若a nn(n) ≠0x n = b n(n) / a nn(n)x i = (b i(i) – sgm(a ij(i) * x j)/- a ii(i),(i = n-1,n-2,…,1),( j = i+1,i+2,…,n )(五)高斯消元法的条件消元过程要求a ii(i) ≠0 (i=1,2,…,n),回代过程则进一步要求a nn(n) ≠0,但就方程组Ax=b 讲,a ii(i)是否等于0时无法事先看出来的。

一元一次方程组的概念与解法

一元一次方程组的概念与解法

一元一次方程组的概念与解法一、概念在数学中,一元一次方程是指只含有一个未知数,并且该未知数的最高次幂为1的方程。

而一元一次方程组则是由若干个一元一次方程组成的方程组。

一元一次方程组的一般形式如下:a₁x + b₁y = c₁a₂x + b₂y = c₂其中,a₁、a₂、b₁、b₂、c₁、c₂为已知系数,x和y为未知数。

二、求解方法为了求解一元一次方程组,我们可以使用以下两种方法:1. 等价变换法通过等价变换,即对方程组进行加减乘除等运算,将一元一次方程组转化为更简单的形式,从而得到解。

(例1)考虑如下一元一次方程组:2x + 3y = 74x - y = 1首先,我们可以通过倍乘第二个方程,得到其系数与第一个方程相等的结果:2x + 3y = 78x - 2y = 2然后,我们可以将第二个方程加到第一个方程上,消去y的项: 2x + 3y + 8x - 2y = 7 + 210x + y = 9接着,我们通过等式变换将y的系数变为1,然后解得x的值: y = 9 - 10x10x + (9 - 10x) = 99 = 9最后,将x的值代入一元一次方程中,求解得到y的值:2x + 3y = 72(1) + 3y = 73y = 5y = 5/3因此,该一元一次方程组的解为 x = 1,y = 5/3。

2. 代入法通过将一个方程的解代入另一个方程,逐步消去未知数,最终求得解的方法。

(例2)考虑如下一元一次方程组:x - 2y = 13x + 4y = 14首先,可以通过第一个方程解得x的值:x = 1 + 2y (式1)接着,将式1代入第二个方程,得到:3(1 + 2y) + 4y = 143 + 6y + 4y = 1410y = 11y = 11/10最后,将y的值代入一元一次方程中,求解得到x的值:x = 1 + 2(11/10)x = 32/10因此,该一元一次方程组的解为 x = 16/5,y = 11/10。

方程组和不等式组的解法

方程组和不等式组的解法

方程组和不等式组的解法随着数学的发展,方程组和不等式组的解法成为数学中的重要内容。

解方程组和不等式组可以帮助我们解决各种实际问题,比如平衡化学方程、确定数值范围等。

本文将介绍方程组和不等式组的常见解法方法。

一、方程组的解法方程组是由多个方程组成的集合。

解方程组的方法有多种,其中最常见的是代入法、消元法和判别式法。

1. 代入法代入法是一种简单而直观的解方程组方法。

它的基本思想是将一个方程的解代入到另一个方程中,从而得到新的方程,进而求解出未知数的值。

示例:```方程组:2x + 3y = 7 (方程1)3x + 4y = 10 (方程2)解:由方程1可得:2x = 7 - 3y代入方程2,得到:3(7 - 3y) + 4y = 10化简得:21 - 9y + 4y = 10合并同类项,得到:5y = 11解得:y = 11/5将y的值代入方程1,得到:2x + 3(11/5) = 7化简得:2x = 7 - 33/5合并同类项,得到:2x = 12/5解得:x = 6/5所以,方程组的解为:x = 6/5,y = 11/5```2. 消元法消元法是一种通过消去未知数的系数从而简化方程组的解法方法。

它常用于线性方程组的解法。

示例:```方程组:2x + 3y = 7 (方程1)3x + 4y = 10 (方程2)将方程1乘以4,方程2乘以3,得到:8x + 12y = 28 (方程3)9x + 12y = 30 (方程4)将方程3减去方程4,得到新方程:-x = -2解得:x = 2将得到的x的值代入方程1,得到:2(2) + 3y = 7化简得:4 + 3y = 7解得:y = 1所以,方程组的解为:x = 2,y = 1```3. 判别式法判别式法是通过计算方程组的行列式来判断方程组是否有解,以及解的唯一性。

当判别式不为零时,方程组有唯一解;当判别式为零时,方程组无解或有无穷多解。

示例:方程组:2x + 3y = 7 (方程1)4x + 6y = 14 (方程2)解:由第一个方程乘以2,得到:4x + 6y = 14 (方程3)将方程2和方程3写成矩阵形式,计算行列式:| 2 3 | = 0| 4 6 |判别式为零,说明方程组有无穷多解。

联立方程组的解法

联立方程组的解法

联立方程组的解法
解联立方程的时候,我们会用到记号=(等号)。

=的左侧被称为左边,右侧被称为右边。

此时,等号就相当于天平。

也就是说,我们将左右两侧平衡的状态用=来表示,若同时在=左右两边进行相同的操作,“平衡”不会被打破,=可以保留。

1联立方程例题
x+y=1①
x-y=5②
然后把其中一个式子的x或y化到一边,如②可化为x=5+y。

然后把x=5+y 带入①中,可得5+y+y=1,可得y=-2。

2什么是联立方程式
方程式是数学中很普通的概念。

如果方程式含有一个以上的未知数时,就有一个以上的方程式。

有几个未知数就须有几个方程式,这样方程式中的各个未知数才能有确定的数值解。

这些方程式联合起来组成一组,叫联立方程式。

联立方程式可表示多种事物之间的复杂关系,在生产和科研中有着广泛的应用。

三元一次方程组解法举例

三元一次方程组解法举例
5. 将已得到的两个未知数的值代入原方程组中的任意一个方 程,求解出第三个未知数的值。
6. 写出方程组的解,并检验解的正确性。
代入法应用举例
例如,对于三元一次方程组
$\left\{ \begin{array}{l} x + y + z = 6 \ x - y + 2z = 3 \ 3x + 2y - z = 8 \end{array} \right.$可以使用代入法求解
解法选择策略与注意事项
选择策略
在面对三元一次方程组时,首先观察方程组 的系数特点,如果系数简单且易于代入,可 以选择代入法;如果存在明显可消元的变量 ,可以尝试消元法;对于复杂方程组,建议 采用矩阵法进行求解。
注意事项
在使用代入法和消元法时,要注意选择合适 的变量进行代入或消元,避免计算过于复杂 ;在使用矩阵法时,需要确保理解矩阵运算 的基本原理,正确构建系数矩阵和常数矩阵 ,以保证求解的准确性。
三元一次方程组解法 举例
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目录
• 三元一次方程组概述 • 三元一次方程组解法——代入法 • 三元一次方程组解法——消元法 • 三元一次方程组解法——矩阵法 • 三种解法的比较与总结
01
三元一次方程组概述
三元一次方程组的定义
定义
三元一次方程组是指包含三个未知数的一次方程所组成的方程组。
杂的方程组,可以通过计算机进行高效求解。
• 缺点:需要一定的线性代数基础知识,对于初学者可能难以
03
理解。
适用范围的讨论
代入法
适用于变量系数较为简单 ,易于进行代入计算的情 况。
消元法
适用于方程组中存在较为 明显的可消元变量的情况 。
矩阵法

二元一次方程解法大全

二元一次方程解法大全

二元一次方程解法大全1、直接开平方法:直接开平方法就是用直接开平方求解二元一次方程的方法。

用直接开平方法解形如(x-m)2=n(n≥0)的方程,其解为x=±根号下 n+m.例1.解方程(1)(3x+1)2=7(2)9x2-24x+16=11分析:(1)此方程显然用直接开平方法好做,(2)方程左边是完全平方式(3x-4)2 ,右边=11>0,所以此方程也可用直接开平方法解。

(1)解:(3x+1)2=7×∴(3x+1)2=5∴3x+1=±(注意不要丢解)∴x=∴原方程的解为 x1=,x2=(2)解:9x2-24x+16=11∴(3x-4)2=11∴3x-4=±∴x=∴原方程的解为 x1=,x2=2.配方法:用配方法解方程ax2+bx+c=0(a≠0)先将常数c移到方程右边: ax2+bx=-c将二次项系数化为1:x2+x=-方程两边分别加上一次项系数的一半的平方:x2+x+()2=-+()2方程左边成为一个完全平方式:(x+)2=当b^2-4ac≥0时,x+=±∴x=(这就是求根公式 )例2.用配方法解方程3x^2-4x-2=0( 注:X^2是X的平方)解:将常数项移到方程右边3x^2-4x=2将二次项系数化为1:x2-x=方程两边都加上一次项系数一半的平方:x2-x+()2=+()2配方:(x-)2=直接开平方得:x-=±∴x=∴原方程的解为 x1=,x2=.3.公式法:把一元二次方程化成一般形式,然后计算判别式△ =b2-4ac的值,当b2-4ac ≥0时,把各项系数a,b,c 的值代入求根公式x=[-b±(b^2-4ac)^(1/2)]/(2a),(b^2-4ac ≥0)就可得到方程的根。

例3.用公式法解方程2x2-8x=-5解:将方程化为一般形式: 2x2-8x+5=0∴a=2,b=-8,c=5b^2-4ac=(-8)2-4 ×2×5=64-40=24>0∴x=[(-b±(b^2-4ac)^(1/2)]/(2a)∴原方程的解为 x1=,x2=.4.因式分解法:把方程变形为一边是零,把另一边的二次三项式分解成两个一次因式的积的形式,让两个一次因式分别等于零,得到两个一元一次方程,解这两个一元一次方程所得到的根,就是原方程的两个根。

高中数学中的方程组的解法

高中数学中的方程组的解法

高中数学中的方程组的解法方程组是高中数学中的重要内容之一,它是由多个方程组成的集合,其中每个方程都包含有未知数。

解方程组意味着找到满足所有方程的未知数的值。

在高中数学中,我们学习了几种常见的解方程组的方法,包括代入法、消元法和矩阵法。

一、代入法代入法是解方程组最直观的方法之一。

它的基本思想是将一个方程的解代入到另一个方程中,从而得到一个只包含一个未知数的方程。

通过逐步代入,我们可以求解出所有的未知数。

例如,考虑以下方程组:2x + y = 7x - 3y = -1我们可以通过代入法来解决这个方程组。

首先,我们可以将第一个方程中的x 表示为y的函数:x = 7 - y。

然后,将这个表达式代入到第二个方程中,得到:7 - y - 3y = -1通过整理,我们可以得到一个只包含y的方程:-4y = -8。

解这个方程可以得到y的值为2。

将y的值代入第一个方程,可以求得x的值为3。

因此,方程组的解为x = 3,y = 2。

二、消元法消元法是解方程组的另一种常见方法。

它的基本思想是通过适当的变换,将方程组中的某个未知数的系数或常数项相互抵消,从而简化方程组的形式。

最终,我们可以得到一个只包含一个未知数的方程,从而求解出这个未知数的值。

考虑以下方程组:2x + y = 74x - 2y = 10我们可以通过消元法来解决这个方程组。

首先,我们可以将第一个方程的两边乘以2,得到:4x + 2y = 14然后,我们将这个方程和第二个方程相减,得到:(4x + 2y) - (4x - 2y) = 14 - 104y = 4通过解这个方程,我们可以得到y的值为1。

将y的值代入第一个方程,可以求得x的值为3。

因此,方程组的解为x = 3,y = 1。

三、矩阵法矩阵法是解方程组的一种更为简洁和高效的方法。

它将方程组表示为一个矩阵方程,并通过矩阵的运算来求解未知数的值。

考虑以下方程组:2x + y = 74x - 2y = 10我们可以将这个方程组表示为矩阵方程:⎡ 2 1 ⎤⎡ x ⎤⎡ 7 ⎤⎣ 4 -2 ⎦ * ⎣ y ⎦ = ⎣ 10 ⎦通过矩阵的逆运算,我们可以求解出未知数的值。

各类方程组的解法

各类方程组的解法

一、一元一次方程步骤:系数化整、去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化1。

1、系数化整:分子分母带有小数或分数的系数化成整数,方法是分子分母同时乘一个数使得系数变成整数;2、去分母:将包含的分母去掉,方法是等式两边同时乘所有分母的最小公倍数;3、去括号:根据去括号法则将括号去掉;4、移项:过等号要变号,将含未知数的放等号左边,常数放等号右边;5、合并同类项:根据合并同类项法则将同类项合并:6、系数化1:将未知数的系数化成1,方法是等式两边同时除以未知数的系数。

注:不一定严格按照步骤,例如移项的同时可以合并同类项,a(A)=b(a、b是已知数,A是含未知数的一次二项式)型方程可以先将括号前的系数化成1,第5步系数为1时省略1且第6步不需要写。

二、二元一次方程(组)一个二元一次方程有无数个解,它表示平面内一条直线,直线上每个点的坐标都是方程的解。

由两个二元一次方程联立成的二元一次方程组代表空间内两条直线,其公共点坐标就是方程组的解。

当然,若两直线平行则方程组无解,若两直线重合则方程组有无数个解。

当方程组形式复杂时先根据一元一次方程的解法化简成一般形式,然后求解。

1、代入消元法:⑴将任意一个方程变形成“y=带x的式子”或者“x=带y的式子”的形式,代入另一个方程,变成一个一元一次方程;⑵解一元一次方程;⑶将解代入任意一个原方程解出另一个未知数的值,并写出解。

2、加减消元法:⑴方程两边同时乘一个合适的数使得有同一个未知数的系数的绝对值相等(若已有系数的绝对值相等则这一步跳过);⑵两个方程左右加或减变成一元一次方程(系数相等用减,系数互为相反数用加);⑶解一元一次方程;⑷将解代入任意一个方程解出另一个未知数的值,并写出解。

3、图像解法:根据图像与方程的关系,在同一个平面直角坐标系中画出两个方程代表的直线,找出公共点的横坐标与纵坐标(不推荐此方法,因为当解为分数时看不出,这只能表示一种关系)。

*当x、y系数不成比例时有唯一解,当x、y系数成比例且比值不等于常数的比值时无解,当x、y的系数与常数都成比例时有无数个解。

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三元一次方程组的解法举例
1).三元一次方程组的概念:
三一次方程组中含有三个未知数,每个方程的未知项的次数都是1,并且一共有三个方程。

注:(1)“未知项”与“未知数”不同。

(2)每个方程不一定都含有三个未知数。

它的一般形式是
未知项的系数不全为零,其中每一个方程都可以是三元、二元、一元一次方程,但方程组中一定要有三个未知数。

2).解三元一次方程组的基本思想方法是:
【例1】解方程组
分析:方程①只含x,z,因此,可以由②,③消去y,再得到一个只含x,z的方程,与方程①组成一个二元一次方程组.
解:②×3+③,得11x+10z=35.(4)
①与④组成方程组
解这个方程组,得
把x=5,z=-2代入②,得2×5+3y-2=9,
∴.

【例2】解方程组
分析:三个方程中,z的系数比较简单,可以考虑用加减法,设法先消z。

解:①+③,得5x+6y=17 ④
②+③×2,得,5x+9y=23 ⑤
④与⑤组成方程组
解这个方程组,得把x=1,y=2代入③得:
2×1+2×2-z=3,∴z=3

另解:②+③-①,得 3y=6,∴y=2
把y=2分别代入①和③,得
解这个方程组,得:

注:①此题确定先消去z后,就要根据三个方程消两次z(其中一个方程要用两次),切忌消一次z,再消一次其他未知数,这样得不到一个二元一次方程组,达不到消元的目的。

②此题的“另解”是先同时消去两个未知数,直接求出一个未知数的值,然后把所求得的未知数的值代入方程组中的两个方程组中,得到一个二元一次方程组,再求出另两个未知数的值。

这种解法是一种特殊解法,只有认真观察,才能做出。

简单的二元二次方程组的解法举例
(1)二元二次方程及二元二次方程组
观察方程,此方程的特点:①含有两个未知数;②是整式方程;③含有未知数的项的最高次数是2.
定义①:含有两个未知数,并且含有未知数的项的最高次数是2的整式方程叫做二元二次方程.
二元二次方程的一般形式是:(a、b、c不同时为零).其中叫做二次项,叫做一次项,叫做常数项.
定义②:二元二次方程组即有两个未知数且未知数的最高次数为二次的方程组
由一个二元二次方程和一个二元一次方程组成的方程及两个二元二次方程组成的方程组是我们所研究的二元二次方程组.
例如:都是二元二次方程组.
(2)二元二次方程组求解的基本思想是“转化”,即通过“降次”、“消元”,将方程组转化为一元二次方程或二元一次方程组。

由于这类方程组形式庞杂,解题方法灵活多样,具有较强的技巧性,因而在解这类方程组时,要认真分析题中各个方程的结构特征,选择较恰当的方法。

由一个二元一次方程和一个二元二次方程组成的二元二次方程组的解法.
我们已经学过二元一次方程组的解法,所谓解二元一次方程组就是求方程组中两个方程的公共解,同样,解二元二次方程组也就是求方程组中两个方程的公共解.
解二元二次方程组的基本思想是消元和降次,消元就是化二元为一元,降次就是把二次降为一次,因此可以通过消元和降次把二元二次方程组转化为二元一次方程组、一元二次方程甚至一元一次方程.
对于由一个二元一次方程和一个二元二次方程组成的二元二次方程组来说,代入消元法是解这类方程组的基本方法.
【例1】解方程组
分析:由于方程组是由一个二元一次方程和二元二次方程组成的,所以通过代入可以达到消元的目的,通过②得再代入①可以求出的值,从而得到方程组的解.
解:由②,得
把③代入①,整理,得
解这个方程,得.
把代入③,得;
把代入③,得.
所以原方程的解是
【例1】 解方程组⎩⎨⎧==+)2(10)1(7
xy y x
分析:可用“代入法”解。

也可以根据一元二次方程的根与系数的关系,把x 、y 看作一元二次方程的两个根,通过解这个一元二次方程来求x ,y 。

解:从根与系数的关系,这个方程组的解,可以看作一元二次方程01072=+-t t 的两个根。

解此方程得5,221==t t ,t 的这两个值,不论哪一个作为x 、y 都可以。

因此,
所求的解为 ⎩⎨⎧==⎩⎨⎧==2
5522211y x y x 或。

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