洛必达法则
洛必达法则
0 ( 型) 0 0 ln x 1 1 ( 型) x 1 0 ln x
x
练习
3.03： （2）
作业
3.01： （8） 3.02： （2） 3.03： （3） （ 4）
3.2函数曲线的切线与法线
函数y f ( x) 在其上一点 M ( x0 , y0 ) 处， 切线方程： y y0 f ( x0 )( x x0 )
或能断定 的极限，
f ( x ) g ( x )
无极限，
则洛必达法则失效.
此时需用别的办法判断未定式
f ( x) g( x )
例7
1 x sin x 求 lim x 0 sin x
2
0 型未定式，但分子分母分别 解 这个问题是属于 0
求导后得
1 1 2 x sin cos x x cos x
例5 求
tan x lim x tan 3 x
2
2 2
2
解:
tan x sec2 x 1 cos2 3 x lim lim lim 2 x tan 3 x x 3 sec 3 x 3 x cos2 x
1 2 cos3 x( 3 sin x ) lim 3 x 2 cos x( sin x )
如果
f ( x ) lim x a g ( x )
0 还是 型未定式，且 f ( x ) 与 g ( x ) 0
能满足定理中 f ( x )与 g( x ) 应满足的条件，
f ( x) f ( x ) f ( x ) lim lim lim x a g ( x ) x a g ( x ) x a g ( x )
极值
驻点： 若 f ( x0 ) 0 ，则 x0 叫函数 y f ( x) 的驻点。 结论一：极值点一定是驻点，但驻点不一定是极值 点。（前提是 f ( x0 ) 存在） 结论二： x0 是驻点（或导数不存在的点），x 的取 值从 x0 的左边变化到右边时，若 （1）f ( x)变号，先正后负，x0 是极大值点。 （2）f ( x)变号，先负后正，x0 是极小值点。
洛必达法则概念
洛必达法则概念
洛必达法则是指在平面直角坐标系中一边固定的直线上，点到该直线距离的平方和最小等于每个点到该直线垂线距离的平方和。
该法则常被应用于线性回归分析中，用于确定最佳拟合直线。
具体而言，洛必达法则包含以下几个概念：
1. 直线：指在坐标系中固定的一条直线，其位置可以由方程y = mx + b表示，其中m为直线的斜率，b为其截距。
2. 点到直线距离的平方：指点到直线的垂线段长度的平方，可以用勾股定理求得。
3. 最小值：指在一组数据中，最小的数值，可以用微积分中的极值定理求得。
4. 拟合直线：指通过最小二乘法求得的最佳拟合直线，该直线与数据点的距离平方和最小。
洛必达法则的应用范围广泛，不仅可以在统计学中使用，还可以用于机器学习、金融、物理学等领域。
其原理简单易懂，但需要熟练掌握相关的数学知识才能进行有效的应用。
- 1 -。
洛必达法则
洛必达法则洛必达法则是一种由雷洛必达（RaymondLoewy）提出的设计原则，指的是设计者通过其革新能力来完成有效的设计。
洛必达提出这一原则的目的是强调设计的可操作性，并为设计者提供更多的自主权，以满足客户的需求并创造出更好的作品。
洛必达法则包括三个要素：可理解性、可操纵性和可部署性。
可理解性要求设计图形应即刻易懂，使用者不必事先读取它们。
可操纵性要求用户能够迅速找到有用信息，而可部署性要求设计能够在实际环境中进行灵活的部署。
洛必达法则的实施有助于简化复杂的设计问题，使设计者不必耗费过多的时间来完成任务。
让设计者只需要花费较少的时间就可以获得令人满意的结果。
此外，它还有助于提升设计者的设计效率，使设计者更有可能在更紧凑的时间内完成更多的任务。
洛必达法则有助于创造出简单易懂、高效操作的设计，为用户提供很大的便利。
同时，这一原则使设计者更有可能在限制条件之下完成任务，并节省时间和金钱。
洛必达法则的实施也可以帮助人们更深入的理解其所使用的设计理念，辅助设计者完成设计任务。
这一原则可以帮助人们更好地识别设计中的易操作性、可理解性和可部署性，从而更好地完成所面临的设计任务。
洛必达法则不仅仅适用于设计专业，还可以广泛应用于各行各业。
在工业设计方面，洛必达法则可以帮助企业更快捷地完成生产工业产品设计任务。
在软件设计领域，这一原则还可以帮助企业更快地完成软件的开发任务。
在建筑方面，洛必达法则可以帮助设计者寻求更加实用的方案，从而提高建筑设计的可操作性。
总之，洛必达法则是一种重要的设计原则，在不同行业中都可以得到广泛应用。
它有助于提高设计者的设计效率，同时为用户提供便利。
实施洛必达法则也有助于在限制条件下完成任务，使设计者更有可能以更实用和更易操作的方式完成设计任务。
洛必达法则
洛必达法则简介洛必达法则（L’Hôpital’s rule），又称洛必达法则（L’Hospital’s rule），是微积分中的一条重要定理，用于求解某些形式的极限。
这一定理由法国数学家洛必达（Guillaume-Roger-François, Marquis de L’Hôpital）在18世纪提出，被认为是微积分学中的重要工具之一。
洛必达法则主要用于解决形如f(x) / g(x)形式的函数极限问题，其中f(x)和g(x)是两个可导函数，并且极限结果存在不定型。
通过洛必达法则，我们可以将其转化为求f’(x) / g’(x)的极限，从而得到准确的结果。
洛必达法则的条件洛必达法则适用于以下情况：1.极限形式为f(x) / g(x)；2.函数f(x)和g(x)在极限点的附近均连续；3.函数g’(x)不为零，除了可能在极限点上。
洛必达法则的表述洛必达法则的一般形式可表示为：若函数f(x)和g(x)满足洛必达法则的条件，并且极限：存在或为无穷大时，那么：其中，f’(x) 和g’(x) 分别表示函数f(x)和g(x)的导数。
洛必达法则的应用步骤使用洛必达法则解决极限问题的步骤如下：1.将函数f(x)和g(x)分别求导，得到f’(x)和g’(x)；2.计算f’(x) / g’(x)的极限值。
若结果存在或为无穷大，则该极限值就是原始极限的结果；3.若求导后的函数又出现不定型，可以继续应用洛必达法则，依次求导，直到结果不再出现不定型。
示例让我们通过一个简单的例子来说明洛必达法则的应用。
假设我们需要求解如下极限问题：可以看到，分母g(x)在极限点0的附近为零，因此我们可以尝试使用洛必达法则来求解。
首先，我们计算函数f(x)和g(x)的导数：然后，我们计算f’(x) / g’(x)的极限：因此，根据洛必达法则，原始极限的结果为1。
总结洛必达法则是微积分中解决某些形式的极限问题的重要工具。
高数洛必达法则
与夹逼定理（Squeeze Theorem）结合使用，可以 求解一些复杂的不定式极限
问题。
与单调有界定理（Monotone Bounded Theorem）相关联， 可用于判断数列或函数的收敛
性。
02
洛必达法则证明过程
构造函数法证明
构造函数
01
通过构造一个与原函数在某点处切线斜率相同的辅助函数，将
适用范围及条件
适用于0/0型和∞/∞型的不定式极限。
使用条件：当x趋向于某一值时（可以是无穷大），函数f(x)与g(x)都趋向于0或者无穷大，且两者的导函数存在且比值为常（Taylor's Theorem）有密切关系，洛必 达法则是泰勒公式在求解极限
时的特殊应用。
变量替换法
在某些情况下，通过变量替换可以简化极限的计算过程。
05
洛必达法则拓展与延伸
多元函数洛必达法则
多元函数洛必达法则的定 义
对于多元函数，当其在某点的偏导数存在且 连续时，该点处的极限值可以通过洛必达法 则求解。
多元函数洛必达法则的应用 条件
要求函数在考察点处偏导数存在且连续，同时需要 满足一定的限制条件，如分母不为零等。
高数洛必达法则
• 洛必达法则基本概念 • 洛必达法则证明过程 • 洛必达法则应用举例 • 洛必达法则注意事项 • 洛必达法则拓展与延伸
01
洛必达法则基本概念
洛必达法则定义
洛必达法则（L'Hôpital's Rule）是微 积分学中的一个重要定理，用于求解 不定式极限。
该法则以法国数学家纪尧姆·弗朗索瓦· 安托万·德·洛必达命名。
解不等式
将不等式转化为函数值比较问题，利用洛必 达法则求解函数的极值点，进而确定不等式 的解集。
洛必达法则
求
lim
x0
(1
3x cos
sin 3x x)ln(1
2
x
)
.
解
当 x 0 时,
1
cos
x
~
1 2
x2,
ln(1
2x)
~
2
x,
故
lim
x0
(1
3x cos
x
sin 3x )ln(1
2
x
)
lim
x0
3
x
sin x3
3
x
lim
x0
3
3cos 3x2
3
x
lim
x0
3
sin 3 2x
x
9. 2
完
1
ln cot x
解 lim (cot x)ln x lim e ln x
x0
x0
e lim x0
ln cot ln x
x
e lim x0
tan
xcsc2 1
x
x
e lim x0
cos1xsinx
x
e1.
完
例22 求 lim (e3x 5 x)1x.(0 ) x
解
lim (e3x
1
5x) x
洛必达法则
取何值无关,故可补充定义 f (a) g(a) 0.
根据定理的条件,知函数 f ( x)与 g( x)在以 a与 x
为端点的区间上满足柯西中值定理的条件, 于是
f (x) g( x)
f (x) g(x)
f (a) g(a)
f '( ) g'( )
( 在
x 与 a
洛必达法则
§3.2 罗必达法则当( 或)时，两个函数与都趋向于零或都趋向于无穷大，那么，极限可能存在，也可能不存在。
通常把这种极限叫做不定式，并分别简记为型或型。
对不定式，不能简单地用“商的极限等于极限商”这一求极限法则来处理。
求不定式极限有一种简便方法 —— 罗必达法则，见下述两个重要定理。
一、基本类型的不定式 型【定理一】设(1)、当 时，函数及都趋于零；(2)、及在点的某个邻域内(点本身除处)存在，且；(3)、存在(或无穷大)，则。
【证明】因为求极限 与函数值 、无关， 那么我们可设：， 这并不会影响极限。
由这一假设及条件(1)、(2)两款知：与在点 的某个邻域内是连续的， 设是这邻域内的一点，x a →x →∞f x ()F x ()lim()()()x a x f x F x →→∞00∞∞00,∞∞x a →f x ()F x ()'f x ()'F x ()a a '≠F x ()0lim()()x a f x F x →''lim()()lim()()x a x a f x F x f x F x →→=''lim()()x a f x F x →f a ()F a ()f a F a ()()==0lim()()x a f x F x →f x ()F x ()ax那么在以及为端点的区间上， 与全部地满足柯西中值定理的条件，因此有当时， ，而由(3)款知故。
为了更好地使用这一定理求极限，给出几点重要注解：1、此定理用来处理时的型不定式极限问题。
这种通过分子与分母导数之比的极限来确定不定式极限的方法称之为罗必达法则。
2、如果极限仍属于型， 且、又满足定理中的条件，则可以再使用罗必达法则。
即3、如果不存在，不能断言也不存在，只能说明该极限不适合用罗必达法则来求。
反例：极限存在， 而使用罗必达法则 不存在。
【例1】求极限(1)、(2)、x a f x ()F x ()f x F x f x f a F x F a f F ()()()()()()()()=--=''ξξx a →ξ→a lim ()()lim ()()x a x a f F f x F x →→''=''ξξlim()()lim()()x a x a f x F x f x F x →→=''x a →00lim()()x a f x F x →''00'f x ()'F x ()lim()()lim ()()lim()()x a x a x a f x F x f x F x f x F x →→→=''=''''lim()()x a f x F x →''lim()()x a f x F x →limsinlim sin x x x x x x x →→⋅=⋅=020110limsinlim(sin cos )x x x x x x x x →→⋅=⋅-0201211lim x e x x→-01limcos x x x →-012【解】上述定理仅是适合于时的型不定式；对于时的型不定式，我们也有相应定理。
洛必达法则
洛必达法则(L'Hôpital's rule）是在一定条件下通过分子分母分别求导再求极限来确定未定式值的方法。
0/0型不定式极限若函数和满足下列条件：⑴，；⑵在点的某去心邻域内两者都可导，且；⑶（可为实数，也可为±∞ ），则洛必达法则∞/∞型不定式极限若函数和满足下列条件：⑴，；⑵在点的某去心邻域内两者都可导，且；⑶（可为实数，也可为或），则洛必达法则其他类型不定式极限不定式极限还有，，，，等类型。
经过简单变换，它们一般均可化为型或型的极限。
(1)型可将乘积中的无穷小或无穷大变形到分母上，化为型或型。
例：求解：原式=(2)型把两个无穷大变形为两个无穷小的倒数，再通分使其化为型。
例：求解：原式=(3)型可利用对数性质将函数化简成以e为底数的指数函数，对指数进行求极限。
针对不同的问题，还可以利用等价无穷小作替换，化简算式。
例：求解：原式======上式求解过程中，利用了等价无穷小的替换，即把替换成了。
(4)型同上面的化简方法例：求解：原式=(5)型同上面的化简方法例：求解：原式=洛必达法则注意不能在数列形式下直接用洛必达法则，因为对于离散变量是无法求导数的。
但此时有形式类近的斯托尔兹－切萨罗定理（Stolz－Cesàro theorem）作为替代。
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1
t0
2
4
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课后练习
P138 1
第三节 目录 上页 下页 返回 结束
备用题 求下列极限 :
1) lim [x2 ln(1 1) x];
x
x
2)
lim
x0
1 x100
e
1 x2
;
3) lim ln(1 x x2 ) ln(1 x x2 ).
x0
sec x cos x
u 0时 ln(1 u) ~ u
lim ln (1 x2 x4 ) lim x2 x4 x0 sec x cos x x0 sec x cos x
洛
lim
2x 4x3
x0 sec x tan x
lim
x0
x sin
x
2 sec2
4x2 x 1
第三节 目录 上页 下页 返回 结束
1
原式＝lim x
xx
x
1 2
1
下一步计算很繁 !
法2. 利用例3结果.
11
原式 lim n2 (nn 1)
1
nn
e
1 n
ln
n
例3
1
n
lim
n
e
1 n
ln
n
1
n
1 2
eu 1 ~ u
lim
n
1 n
ln
n
n
1 2
lim
n
ln n
1
n2
例3
0
例3 目录 上页 下页 返回 结束
内容小结
洛必达法则
x0
洛
lim 1
x0
cos 3x2
x
lim
x0
1 2
x2
3x2
1 6
1
cos
x
～
1 2
x
2
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4. 求
解: 令 t 1 , 则 x
原式 lim t0
1 2t 2 1t 1 t2
洛
(1
2
t
)
1 2
(1
t
)
1 2
lim
t0
2t
洛
lim
(1
2t
)
3 2
1 2
(1
t)
3 2
= lim t50
t
et
lim
t
t 50 et
t
lim
50t 49 et
lim
t
50! et
0
(用洛必达法则) (继续用洛必达法则)
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3) lim ln(1 x x2) ln(1 x x2)
x0
sec x cos x
解: 原式 = lim ln[(1 x2 )2 x2 ] x0 sec x cos x
3
2
x 0 时， ln(1 x) ~ x
分析:
原式
1
lim
3sin
x
x2
cos
1 x
1
(3
1 0)
cos
x
2
2 x0
x
2
说明3) 目录 上页 下页 返回 结束
1
3.
6
分析:
原式
lim
x0
cos
x x
(x sin 2
sin x
x)
lim
x0
x
sin x3
x
sin x ～ x
lim cos x 1
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3) lim f (x) 时, 结论仍然成立. ( 证明略 ) xa F (x)
说明: 定理中 x a 换为 x a, x a,
x ,
x , x
之一, 条件 2) 作相应的修改 , 定理仍然成立.
定理2 目录 上页 下页 返回 结束
例3. 求
解:
1
原式
x a ,
x ,
条件 2) 作相应的修改 , 定理 1 仍然成立.
推论 2. 若 lim f (x) F ( x)
理1条件, 则
定理1 目录 上页 下页 返回 结束
例1. 求
0型 0
解:
原式
洛 lim
x1
3x2 3 3x2 2x 1
洛 lim 6x 3 x1 6x 2 2
注意: 不是未定式不能用洛必达法则 !
x
π 2
cos x
cos x
x
π 2
cos x
洛
lim
cos
x
x
π 2
sin
x
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0
00
通分
转化
0 取倒数
取对数
0
转化
转化
1
0
例7. 求 lim xx.
x0
00 型
解: lim xx lim exln x
x0
x0
利用 例5
e01
例5 目录 上页 下页 返回 结束
例8. 求
lim
x
x
nxn1
lim
x
1 nxn
0
型
例4.
求
lim
x
xn ex
(n 0 , 0).
型
解: (1) n 为正整数的情形.
原式
lim
x
n xn1
ex
洛
lim
x
n (n 1)xn2
2 e x
洛 洛 lim
x
n!
n e x
0
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例4.
求 lim
x
xn ex
(n 0 , 0).
即
lim f (x) lim f (x) .
F ( x)
F ( x)
例如, lim x sin x
lim 1 cos x
x x
x 1
极限不存在
lim (1 sin x) 1
x
x
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三、其他未定式:
解决方法:
0
00
通分
转化
0 取倒数
取对数
0
转化
转化
1
0
例5. 求 lim xn ln x (n 0).
(2) n 不为正整数的情形.
存在正整数 k , 使当 x > 1 时,
xk xn xk1
从而 由(1)
xk ex
xn ex
xk 1 ex
lim
x
xk ex
lim
x
xk 1 ex
0
lim
x
xn ex
0
用夹逼准则
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说明:
1) 例3 , 例4 表明 x 时,
ln x,
ex ( 0)
3)
lim f (x) xa F(x)
存在 (或为
)
lim f (x) lim f (x) xa F (x) xa F(x)
(洛必达法则)
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定理条件:
2) f (x)与F(x) 在U (a)内可导,
3)
lim f (x) xa F(x)
存在 (或为
)
证: 无妨假设 f (a) F(a) 0, 在指出的邻域内任取
lim
x0
tan x x x2 sin x
.
0型 0
解: 注意到
原式
lim
x0
tan x x3
x
洛
lim
x0
sec2 x 3x2
1
lim
x0
tan 2 3x2
x
sec2 x 1 tan2 x
1 3
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例9. 求 lim n ( n n 1). 0型
n
法1. 直接用洛必达法则.
则
在以 x, a 为端点的区间上满足柯
西定理条件, 故
f (x) f (x) f (a) f ( ) ( 在 x , a 之间) F (x) F (x) F (a) F( )
lim f ( ) 3) xa F( )
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洛必达法则
推论1. 定理 1 中x a 换为下列过程之一:
定理 2.
2) f (x)与F(x) 在U (a)内可导,
3) lim f (x) 存在 (或为∞) xa F(x) lim f (x) lim f (x) xa F (x) xa F(x)
(洛必达法则)
证: 仅就极限 lim f (x) 存在的情形加以证明 . xa F (x)
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1) lim f (x) 0的情形 xa F (x)
1
lim f (x) lim F (x) xa F (x) xa 1
f (x)
0型
Байду номын сангаас
0 lim
F
1 2 ( x)
F
(
x)
xa
f
1 2 ( x)
f
( x)
lim
xa
f (x) 2 F (x)
F ( x) f (x)
lim xa
f (x) 2 F (x)
型
f
g
1 g
1 f
1 g
1 f
00 ,1 , 0 型
0型 0 型
f g eg ln f
0 型
f
g
f
1