物理学中的群论PPT模板
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第2部分第3章 空间群(2) 群论讲义PPT
[ 答案: 是 ]
[ 思考题: T 群的不可约表示是几维的? 为什么? ]
[ 答案: 都是一维的, 因为阿贝尔群各元素自成一类, 故不
可约表示数 r 和类数 c 都等于群元数 h ( r = c = h ),
又因为 j nj 2 = h ( j = 1 ---- r ), 则nj 皆为1. ] *
因此有 PT = C ( T )
10
B2 = A-1 B1 A = C4-1 C2 C4 = C2 ( 习题 )
B1 = B2 = C2 D3 ( B1 ) = D4 ( B2 ) = -1 D3 ( B2 ) = D4 ( B1 ) = -1
以上两计算结果表明群C2v 的3 和4 是相对于群C4v 的共轭表示
习题: 用新的点群操作表示法证明下列关系式
则称 1 和 2 为群 H 相对于群 G 的共轭表示 (2) 例1: 群C2v 的 3 和 4 是相对于群C4v 的共轭表示
H: C2v E C2 v’ v” D1 1 1 1 1 1
G: C4v E C2 2v 2d 2C4
D2 2 1 1 -1 -1
D3 3 1 -1 1 -1
D4 4 1 -1 -1 1
Ck = Ck1 Ck2 Ck3 = exp [- 2 i ( P1/N1 + P2/N2 + P3/N3 ) ] = exp [-2 i i (Pi /Ni)] (i = 1, 2, 3) [提问:多少个不可约表示?]
三维平移群 { | R n } 有 N1 N2 N3 个 (群元数) 不可约表示 *
二, 平移群不可约表示的性质
6
(1) 平移群 T = { | R n } 的不可约表示 Ck 为 exp ( i k • R n ),
群论群论基础课件
f ：A → B 或写为 f ：x → y = f ( x ) ,
式中 y 称为 x 在B 上的象，而 x 称为 y 在 A 上的原象。
对应规则：与函数的比较
群论-群论基础-集合与运算
满射 单射 一一映射 逆映射： f -1 恒等映射：e
变换： 体系A 的一个自身映射f 称为A 的一个变换 若f 是一一映射，则称为对称变换 一一变换有性质：
物理学中的群论
—— 群论基础
主讲 翦知渐
群论
教材与参考书
教材： 自编
参考书：群论及其在固体物理中的应用 （徐婉棠）
物理学中的群论 （马中骐）
物理学中的群论基础 （约什）
群论
物理学中的群论
第一章 群论基础 第二章 晶体对称群 第三章 群表示理论 第四章 三维转动群 第五章 群论在量子力学中的应用
群论-群论基础
二元运算一般也称为“乘法”—— 数值加法 数值乘法 对称操作……
集合的所有代数性质都由其乘法结果决定
群论-群论基础-集合与运算
乘法表：有限集
A
l
m
O
D3
e
a
b
B
k
l
k
m
C
ee
a
b
k
l
m
aa
b
e
m
k
l
bb
e
a
l
m
k
kk
l
m
e
a
b
ll
m
k
b
e
a
mm
k
l
a
b
e
4 同态与同构
群论-群论基础-集合与运算
设 A 和 B 是两个不同集合，其中分别定义了乘法 ·和 ×； 若有满射 f ，使得对于 yi = f ( xi ), yj = f ( xj )来说有
式中 y 称为 x 在B 上的象，而 x 称为 y 在 A 上的原象。
对应规则：与函数的比较
群论-群论基础-集合与运算
满射 单射 一一映射 逆映射： f -1 恒等映射：e
变换： 体系A 的一个自身映射f 称为A 的一个变换 若f 是一一映射，则称为对称变换 一一变换有性质：
物理学中的群论
—— 群论基础
主讲 翦知渐
群论
教材与参考书
教材： 自编
参考书：群论及其在固体物理中的应用 （徐婉棠）
物理学中的群论 （马中骐）
物理学中的群论基础 （约什）
群论
物理学中的群论
第一章 群论基础 第二章 晶体对称群 第三章 群表示理论 第四章 三维转动群 第五章 群论在量子力学中的应用
群论-群论基础
二元运算一般也称为“乘法”—— 数值加法 数值乘法 对称操作……
集合的所有代数性质都由其乘法结果决定
群论-群论基础-集合与运算
乘法表：有限集
A
l
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D3
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4 同态与同构
群论-群论基础-集合与运算
设 A 和 B 是两个不同集合，其中分别定义了乘法 ·和 ×； 若有满射 f ，使得对于 yi = f ( xi ), yj = f ( xj )来说有
群论chaPPT课件
第五章 空间群
1
第一节 广义空间群
1 转动平移算符 空间中有两点（x1,x2,x3）,(y1,y2,y3) 间距：d2=(x1-y1)2+(x2-y2)2+(x3-y3)2
作一个变换，两点的坐标变为 （x1’,x2’,x3’）,(y1’,y2’,y3’)
间距： d’2=(x1’-y1’)2+(x2’-y2’)2+(x3’-y3’)2
平移群是广义空间群的正规子群
8
第二节 晶体空间群
1 基本概念 格点:周期性排列的点 点阵：格点的总和 晶格：点阵构成的网格 原胞：晶格最小的周期性单元 格矢：沿原胞的边矢量 晶体空间群：两点距离在变化前后不变，转 动部分与平移部分匹配
9
晶体最主要的特征：周期性重复平移。
两个主要因素：
(1)认定重复排列的单元—基元(basis)，基 元中的原子的种类、数量、相对取向、位置
18
2.空间群的由来 1.简单空间群
点群 平移群
晶系
立方 四角
布拉 维格
3
2
点群 数
5
7
乘积
15 14
群中的各元都是{R︱Rm} 正交 4
3
12
这种类型的算符
单斜 2
3
6
其中Rm=m1a1+m2a2+m3a三3 斜 1
三角 1
2
2
5
5
六角 1
7
7
总数 14 32 61
32种点群+14种点阵=73种简单空间群
13
(3) 正交晶系 特征 晶胞的a,b,c是二次旋转轴方向或镜面法线方
向的最短平移矢量 点群 D2,C2v,D2h 晶胞几何形状 a≠b≠c α=β=γ=90o 简单正交，底心正交，体心正交，面心正交
1
第一节 广义空间群
1 转动平移算符 空间中有两点（x1,x2,x3）,(y1,y2,y3) 间距：d2=(x1-y1)2+(x2-y2)2+(x3-y3)2
作一个变换，两点的坐标变为 （x1’,x2’,x3’）,(y1’,y2’,y3’)
间距： d’2=(x1’-y1’)2+(x2’-y2’)2+(x3’-y3’)2
平移群是广义空间群的正规子群
8
第二节 晶体空间群
1 基本概念 格点:周期性排列的点 点阵：格点的总和 晶格：点阵构成的网格 原胞：晶格最小的周期性单元 格矢：沿原胞的边矢量 晶体空间群：两点距离在变化前后不变，转 动部分与平移部分匹配
9
晶体最主要的特征：周期性重复平移。
两个主要因素：
(1)认定重复排列的单元—基元(basis)，基 元中的原子的种类、数量、相对取向、位置
18
2.空间群的由来 1.简单空间群
点群 平移群
晶系
立方 四角
布拉 维格
3
2
点群 数
5
7
乘积
15 14
群中的各元都是{R︱Rm} 正交 4
3
12
这种类型的算符
单斜 2
3
6
其中Rm=m1a1+m2a2+m3a三3 斜 1
三角 1
2
2
5
5
六角 1
7
7
总数 14 32 61
32种点群+14种点阵=73种简单空间群
13
(3) 正交晶系 特征 晶胞的a,b,c是二次旋转轴方向或镜面法线方
向的最短平移矢量 点群 D2,C2v,D2h 晶胞几何形状 a≠b≠c α=β=γ=90o 简单正交，底心正交，体心正交，面心正交
群论第二章ppt
5
§2.1 群的概念
显然只有群元素比较少时这乘法表才排得出来，在乘法表 中每列与每行，每个元素出现一次，也仅一次，这为乘法表 的重排定理。 若群是Abel群（交换群），则乘法表中对主对角线是对称 的。下面给出几个例子 例1 G 1, 1 乘法为普通数乘法，单位元素为1 e ,a=-1逆元素为 自 己，其乘法定律 ee=e, aa=e, ea=ae=a, 这群在量子力学中很重要，这群与空间反演相对应，三维 空间矢量 r 作用 er r ar r e保持 r 不变的恒等变换 a 使 r 反演的反演变换，则 e, a 构成反演群。 我们称群G与反演群同构。
11
§2.1 群的概念
给出乘法表如下表：从表中看出，群中元素任一个u乘 积 ug a ， 给出并且仅一次给出G所有元素，满足重排定理。 e a b c d f —— |—————————————— e | e a b c d f a | a e d f b c b | b f e d c a c | c d f e a b d | d c a b f e f | f b c a e d 后面看到重排定理大大限制了互相不同构有限群数目。还 可以证明，阶数为相同素数的有限群都同构。三客体置换群 S 3 与平面正三角形对称群D3 同构。
a G
ae ea a
4
§2.1 群的概念
2. 乘法表与群示例
如果我们知道群中每两个元素的乘积，则群 结构就确定了。这乘积可以排列成一个乘法 表，例如G中有元素e,a,b,c,d，乘法表为 e a b c d e ee=e ea=a b c d
a b c d ae=a aa b c d ba ca da ab bb cb db ac bc cc dc ad ba cd dd
群论课件ppt
有限集合
元素数量是有限的集合。
03
02
置换
将一个有限集合的元素重新排列。
乘法
置换之间的运算。
04
循环群
01
02
03
循环群
由一个元素生成的群，即 置换群中所有元素都是该 元素的循环。
循环
将一个元素替换为另一个 元素，其它元素保持不变 。
元素生成
由一个元素开始，通过重 复应用某种变换得到的所 有元素。
群论课件
目录
• 群论基础 • 置换群 • 群论的应用 • 群表示论 • 群论中的问题与挑战 • 群论与其他数学领域的联系
01
CATALOGUE
群论基础
群的定义
群是由一个集合和定义在这个集合上 的一个二元运算所组成的一个代数结 构。这个二元运算被称为群中的“乘 法”。
群中的元素可以是有理数、整数、矩 阵、变换等，具体取决于实际应用和 研究领域。
群论与几何学的联系
对称性
群论在几何学中广泛应用于描述对称性。例 如，晶体学中的晶格结构可以用群论来描述 其对称性。此外，在几何图形中，我们也可 以用群论来描述图形的对称变换。
几何形状的分类
通过群论的方法，我们可以对几何形状进行 分类。例如，根据其对称性，我们可以将几 何形状分为不同的类型。这种分类方法有助 于我们更好地理解和研究几何形状的性质和
群表示是群论中一个重要的概念，它有助于将群的结构和性质转化为线性 代数的语言，从而更好地理解和研究群。
特征标与维数
01
特征标是群表示的一个重要概念 ，它描述了群在某个向量空间上 的作用方式。
02
特征标是一个函数，将群中的每 元素映射到复数域上，它反映
了群元素的性质和作用方式。
元素数量是有限的集合。
03
02
置换
将一个有限集合的元素重新排列。
乘法
置换之间的运算。
04
循环群
01
02
03
循环群
由一个元素生成的群，即 置换群中所有元素都是该 元素的循环。
循环
将一个元素替换为另一个 元素，其它元素保持不变 。
元素生成
由一个元素开始，通过重 复应用某种变换得到的所 有元素。
群论课件
目录
• 群论基础 • 置换群 • 群论的应用 • 群表示论 • 群论中的问题与挑战 • 群论与其他数学领域的联系
01
CATALOGUE
群论基础
群的定义
群是由一个集合和定义在这个集合上 的一个二元运算所组成的一个代数结 构。这个二元运算被称为群中的“乘 法”。
群中的元素可以是有理数、整数、矩 阵、变换等，具体取决于实际应用和 研究领域。
群论与几何学的联系
对称性
群论在几何学中广泛应用于描述对称性。例 如，晶体学中的晶格结构可以用群论来描述 其对称性。此外，在几何图形中，我们也可 以用群论来描述图形的对称变换。
几何形状的分类
通过群论的方法，我们可以对几何形状进行 分类。例如，根据其对称性，我们可以将几 何形状分为不同的类型。这种分类方法有助 于我们更好地理解和研究几何形状的性质和
群表示是群论中一个重要的概念，它有助于将群的结构和性质转化为线性 代数的语言，从而更好地理解和研究群。
特征标与维数
01
特征标是群表示的一个重要概念 ，它描述了群在某个向量空间上 的作用方式。
02
特征标是一个函数，将群中的每 元素映射到复数域上，它反映
了群元素的性质和作用方式。
第6章 分子对称性与群论基础PPT课件
an1
an2
an
m bm 1
am2
amk
cn1
cn2
cnk
n×m
m×k
n×k
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2020/10/31
6.1 矩 阵
其中:
m
cij aip bp j
(i1,2, ,n;j1,2, ,k)
p1
[注意]只有前一矩阵的列数与后一矩阵的行数相等时才 能相乘。
1 0 3 A2 1 0
恒等操作 在进行对称操作时，分子中至少有1点是不动的，同
时这种对称操作不改变分子中任意两点之间的距离
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2020/10/31
6.2 对称操作与对称元素
NH3分子的对称操作
2 对称操作的分类 统一分类并用标准符号表示之，其中的映面、象转及
反演操作能把右手变为左手，称为“非真的”或虚操作。
Sn 旋转2π/n，继之对垂直于旋转轴的平面进行反映
i 相对于对称中心的反演
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2020/10/31
6.2 对称操作与对称元素
（1）旋转轴与旋转操作 分子中若存在一条轴线，绕此轴旋转
一定角度能使分子复原，就称此轴为旋转轴, 符号为Cn . 旋转可 以实际进行，为真操作；相应地，旋转轴也称为真轴.
称 中 心 i, 这 种 操 作
就是反演.
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2020/10/31
6.1 矩 阵
(3) 数与矩阵相乘
若 kA=C， 则：Cij=kAij
例如：
2 3 0 6 9 0 31 5 33 15 9
（4）矩阵和矩阵的乘法
第2部分第3章 空间群(1) 群论讲义PPT
第二部分 群论应用
第三章 空间群 (1)
(一) 广义空间群
2
一, 转动平移算符 { | t } ( 由此构成广义空间群 )
坐标变换: x’ = R11 x + R12 y + R13 z + t1
y’ = R21 x + R22 y + R23 z + t2 z’ = R31 x + R32 y + R33 z + t3
r’ = r + t
令 { | t } r = r + t = r ’ -------------------- (1)
二, { | t } r 的性质
(1) 不变操作 { | 0 }
{ | 0 } ( 纯转动操作 ) , { | t } ( 纯平移操作 )
(2) 乘积关系 ( 和封闭性 )
一, 狭义空间群的定义 ( 此为群论的定义, 它符合晶体对称性)
如{ | t } 群的不变子群{ | t }为{ | R n },
则该 { | t } 群为狭义空间群, 简称空间群. 其中, R n 为晶体的格矢, R n = n1 a 1 + n2 a 2 + n3 a 3
a 1, a 2 , a 3 为晶格的元胞基矢, 是彼此线性独立的. n1, n2 , n3 为正整数 二, ( 狭义) 空间群的性质 ( 符合晶体对称性的要求 ) (1) 如 R n 是晶体格矢, 则 R n 也是晶体格矢.
根据定义, 群{ | R n } 是群{ | t }的不变子群 ,
则 { | t}{ | R n} {| t }-1 = { | R n + t }{-1| - -1 t }
= { | - t + R n + t } = { | R n }, 为 { | R m },
第三章 空间群 (1)
(一) 广义空间群
2
一, 转动平移算符 { | t } ( 由此构成广义空间群 )
坐标变换: x’ = R11 x + R12 y + R13 z + t1
y’ = R21 x + R22 y + R23 z + t2 z’ = R31 x + R32 y + R33 z + t3
r’ = r + t
令 { | t } r = r + t = r ’ -------------------- (1)
二, { | t } r 的性质
(1) 不变操作 { | 0 }
{ | 0 } ( 纯转动操作 ) , { | t } ( 纯平移操作 )
(2) 乘积关系 ( 和封闭性 )
一, 狭义空间群的定义 ( 此为群论的定义, 它符合晶体对称性)
如{ | t } 群的不变子群{ | t }为{ | R n },
则该 { | t } 群为狭义空间群, 简称空间群. 其中, R n 为晶体的格矢, R n = n1 a 1 + n2 a 2 + n3 a 3
a 1, a 2 , a 3 为晶格的元胞基矢, 是彼此线性独立的. n1, n2 , n3 为正整数 二, ( 狭义) 空间群的性质 ( 符合晶体对称性的要求 ) (1) 如 R n 是晶体格矢, 则 R n 也是晶体格矢.
根据定义, 群{ | R n } 是群{ | t }的不变子群 ,
则 { | t}{ | R n} {| t }-1 = { | R n + t }{-1| - -1 t }
= { | - t + R n + t } = { | R n }, 为 { | R m },
群论课件第二章
12
两个相继操作：先操作右（第二）因子，后操作左（第一）因子 例如：AB=D
B D A
BC=D
C D
B
作业：D2=？ D3=？DA=？AD=？
13
D3群的乘法表
14
3. 置换群
以变换位置的操作为群元，以相继操作为 群乘， 构成置换群
（1）置换操作
┌1 2 3┐
f=∣ ∣ └3 1 2┘ 位置1上的粒子换到位置3上了……
9
重排定理： Ak G = G Ak = G
求证: GAk = G 证明: 第一步：证明每个元素必出现在 GAk 中 （即证明若元素 X G，则必 X GAk） 令 Ar = X Ak-1 ∵ X，Ak-1 G, ∴ Ar G ( 封闭性 ) 则 X = ArAk G Ak 第二步：证明每个元素只出现一次 （即证明若又有一元素As G 使 AsAk = X, 则必有As =Ar ） ∵ AsAk = X, 又由前面可知 X = ArAk， ∴ ArAk = AsAk 则 Ar = Ar（AkAk-1）=（ArAk）Ak-1 =（AsAk）Ak-1 = As（AkAk-1）= As
不一定成立
----交换群或者阿贝尔群：满足交换律 （循环群都是阿贝尔群）
----非交换群：不满足交换律
按运算方法分：交换群和非交换群
4
1.3 群元的基本性质
1. 单位元
E-1 = E , E 的逆元仍为E
2. 逆元
(A-1)-1 = A, 逆元之逆元为元素本身
3. 乘积的逆元
(AB)-1 = B-1 A-1
28
3.2 共轭类
(1)定义：群G中所有互相共轭的元素形成的完全集 合----群中的共轭类，常用C表示 即 XCX-1=C X∈G 式中：C={C1,C2,…,Cn}, XCiX-1=Cj (i,j=1,2,…,n) (2)性质 ①单位元自成一类 ②不同的类中没有共同元 ③除单位元这一类外，其余各类都不是子群，因为 这些类中不包含单位元 ④Abel群的每个元自成一类（请证明）
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§9-3单纯李代数的分 类
§9-4单纯李代数的线 性表示
§9-5A<sub> </sub>李代数和SU
（ ＋1）群
§9-6B<sub> </sub>李代数和SO
（2 ＋1）群
第九章李群和李代 数
§9-7D<sub> </sub>李代数和SO （2 ）群 §9-8C<sub> </sub>李代数和Sp （2 ）群 §9-9例外单纯李代数 习题 §9-8C<sub> </sub>李 代数和Sp（2 ）群 §9-9例外单纯李代数 习题
§6-6置换群 不可约表示
的外积
§6-4置换群 的不可约表
示
§6-5不可约 表示的实正
交形式
§6-1置换群 的一般性质
§6-2群代数 的理想和幂
等元
§6-3杨图杨 表和杨算符
第六章置换群
§6-7辫子群 习题
08 第七章SU（N）群
第七章SU（N）群
§7-1SU（N）群的一 般性质
§7-2SU（N）群的不 可约表示
§7-3协变张量和逆变 张量
§7-4SU（N）群不可 约表示的具体形式
§7-5克莱布施-戈登系 数
§7-6SU（3）对称性 和强子波函数
第七章SU（N） 群
§7-7SU（NM）群和SU（N＋ M）群 §7-8开西米尔算子 习题
09 第八章SO（N）群
第八章SO（N）群
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单击此处添加文本具体内容， 简明扼要的阐述您的观点。根 据需要可酌情增减文字，以便 观者准确的理解您传达的思想。
§8-6SO（4） 群和洛伦兹 群
§8-4Г矩阵 群
§8-5SO （N）群的 旋量表示
§8-1SO （N）群的 一般性质
§8-2SO （N）群的 张量表示
§8-3O（N） 群的张量表 示
第八章SO（N） 群
习题
10 第九章李群和李代数
第九章李群和李代数
§9-1李代数和结构常 数
§9-2半单李代数的正 则形式
05 第四章三维转动群
第四章三 维转动群
01 § 4 - 1 三维空间转 动
变换
03 § 4 - 3 二维幺模幺 正
矩阵群
05 § 4 - 5 李氏定理
02 § 4 - 2 李群的基本 概
念
04 § 4 - 4 S U （2 ） 群的
不等价不可约表示
06 § 4 - 6 克莱布施- 戈
登系数
第四章三维转动群
物理学中的群论
演讲人
2 0 2 X - 11 - 11
01 目录
目录
02 第一章线性代数复习
A
§1-1线 性空间和
矢量基
第一章线性代数复习
B
§1-2线 性变换和 线性算符
C
§1-3相 似变换
D
§1-4本 征矢量和 矩阵对角
化
E
§1-5矢 量内积
F
§1-6几 种重要的
矩阵
第一章线性代数复 习
11 第 十 章 李 代 数 理 论 的 新 发 展
第十章李代数理论的新发展
§10-1维喇索洛代数
§10-3非扭曲卡茨-穆 迪代数的分类
§10-5扭曲的卡茨-穆 迪代数
§10-2非扭曲的卡茨穆迪代数
§10-4非扭曲卡茨-穆 迪代数最高权表示
习题
12 参考文献
参考文献
13 汉-英人名对照表
汉-英人名对照表
§1-7矩阵的直接乘积 习题
03 第二章群的基本概念
第二章群的基本概念
01
§2-1对称
04
§2-4群的 同态关系
02
§2-2群及 其乘法表
05
§2-5正多 面体的固有 对称变换群
03
§2-3群的 各种子集
06
§2-6群的 直接乘积和 非固有点群
第二章群
的基本概
习题
念
04 第三章群的线性表示理论
14 索引
索引
感谢聆听
表第 示三 理章 论群
的 线 性
01
§3-1群的 线性表示
04
§3-4有限 群的不等价 不可约表示
02
§3-2标量 函数的变换
算符
05
§3-5有限 群的特征标
表
03
§3-3等价 表示和表示
的幺正性
06
§3-6物理 应用
第三章群 的线性表 示理论
§3-7克莱布施-戈登系数 §3-8投影算符和正则表示的约化 习题
§4-7张量和旋量 §4-8不可约张量算符及其矩阵元 习题
06 第五章晶体的对称性
第五章晶体 的对称性
06
习题
01
§5-1晶体的 对称变换群
05
§5-5空间群 的线性表示
02
§5-2晶格点 群
04
§5-4空间群
03
§5-3晶系和 布拉菲格子
07 第六章置换群
第六章置换群
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