卓越联盟2020-2021学年新高考省份高三年级9月份检测数学试题
2020-2021年河北省某校高三(上)9月月考数学试卷有答案
2020-2021年河北省某校高三（上）9月月考数学试卷一、选择题1. 已知集合A ={x|x 2−5x +6≤0}，B ={x ∈Z |1<x <5}，则A ∩B =( )A.[2,3]B.(1,5)C.{2,3}D.{2,3,4}2. 命题“对于任意x ∈R ，都有e x >0”的否定是( )A.对于任意x ∈R ，都有e x ≤0B.不存在x ∈R ，使得e x ≤0C.存在x 0∈R ，使得e x 0>0D.存在x 0∈R ，都有e x 0≤03. 函数f (x )=ln x +e x （e 为自然对数的底数）的零点所在的区间是( )A.(e,+∞)B.(0,1e )C.(1e ,1)D.(1,e )4. 已知cos α=14，则sin (π2−2α)=( )A.18B.−18C.78D.−785. 已知函数f(x)=kx −2ln x 在区间(1, +∞)上单调递增，则k 的取值范围是( )A.(2,+∞)B.(1, +∞)C.[2,+∞)D.[1, +∞)6. 俗语云：天王盖地虎，宝塔镇河妖．萍乡塔多，皆因旧时萍城多水患，民不聊生．迷信使然，建塔以辟邪镇邪．坐落在萍城小西门汪公潭境内的宝塔岭上就有这么一座“如愿塔”．此塔始建于唐代，后该塔曾因久失修倒塌，在清道光年间重建．某兴趣小组为了测量塔的高度，如图所示，在地面上一点A 处测得塔顶B 的仰角为60∘，在塔底C 处测得A 处的俯角为45∘．已知山岭高CD 为36米，则塔高BC 为( )A.(36√2−36)米B.(36√3−36)米C.(36√6−36)米D.(72√3−36)米7. 函数y=sin(2x+φ)的图象沿x轴向左平移π8个单位后，得到一个偶函数的图象，则φ的一个可能的值为( )A.3π4B.π4C.0D.−π48. 已知函数f(x)=e x−2x−1（其中e为自然对数的底数），则y=f(x)的图象大致为( )A. B.C. D.9. 在平面直角坐标系中，动点M在单位圆上按逆时针方向作匀速圆周运动，每12分钟转动一周．若点M的初始位置坐标为(12,√32)，则运动到3分钟时，动点M所处位置的坐标是( )A.(−√32,12) B.(−12,√32) C.(√32,12) D.(−√32,−12)10.定义域为R的可导函数y=f(x)的导函数f′(x)，满足f(x)<f′(x)，且f(0)=2，则不等式f(x)>2e x的解集为()A.(−∞, 0)B.(−∞, 2)C.(0, +∞)D.(2, +∞)11. 已知△ABC是斜三角形，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若c=2√21，c sin(B+C)+√3a cos(A+B)=0，且sin C+sin(B−A)=5sin2A，则△ABC的面积为( )A.5√34B.54C.5D.5√312. 已知函数f(x)=x22+(m+1)e x+2(m∈R)有两个极值点，则实数m的取值范围为( )A.[−1e , 0] B.(−1−1e, −1) C.(−∞, −1e) D.(0, +∞)二、填空题在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若C=π3，b=√2，c=√3，则A=________．已知函数f(x)=x3−2kx2+x−3在R上不单调，则k的取值范围是________.已知α为锐角，且sin(α+5π6)=−35，则cosα=________.已知函数f(x)=2x+1x2+1，函数g(x)=(12)x−m，若对任意的x1∈[1, 2]，存在x2∈[−1, 1]，使得f(x1)≥g(x2)，则实数m的取值范围为________．三、解答题已知0<β<α<π2，sinα=45，sin(α−β)=√55.(1)求sin2α；(2)求cos(α+β).已知函数f(x)=A sin(ωx+φ)(A>0,ω>0,|φ|<π2)的图象如图所示．(1)求f(x)的解析式；(2)将函数f(x)的图象向右平移π6个单位长度，得到函数y=g(x)，设ℎ(x)=g(x)+f (x )，求函数ℎ(x )在[0,π2]上的最大值．设f(x)=a ln x −x +4(a ∈R )，曲线y =f(x)在点（1, f(1)）处的切线垂直于y 轴．(1) 求a 的值；(2) 求函数f(x)的极值．如图，在△ABC 中，已知B =π3，AC =4√3，D 为BC 边上一点．(1)若AD =2，S △DAC =2√3，求DC 的长；(2)若AB =AD ，试求△ADC 的周长的最大值．已知函数f (x )=ax 2+b ln x 在x =12处取得极小值12+ln 2. (1)求f (x );(2)令函数g (x )=mx 3−ln x +2，若f (x )≤g (x )对x ∈[1,4]恒成立，求m 的取值范围．已知函数f (x )=ln x −x−1a .(1)当a =1时，求f (x )的最大值；(2)若f (x ) 在区间(2,e )上存在零点，求实数a 的取值范围．参考答案与试题解析2020-2021年河北省某校高三（上）9月月考数学试卷一、选择题1.【答案】C【考点】一元二次不等式的解法交集及其运算【解析】(1)根据题目所给信息进行求解即可.【解答】解：已知集合A={x|x2−5x+6≤0}={x|2≤x≤3}，集合B={x∈Z|1<x<5}={2,3,4}，则A∩B={2,3} .故选C.2.【答案】D【考点】命题的否定【解析】直接利用全称命题的否定是特称命题，写出结果即可．【解答】解：因为全称命题的否定是特称命题，所以命题“对于任意x∈R，都有e x>0”的否定是：存在x0∈R，都有e x0≤0．故选D.3.【答案】B【考点】函数零点的判定定理【解析】无【解答】解：因为函数f(x)=ln x+e x在(0,+∞)上为增函数，所以若函数f(x)存在零点，零点个数有且只有一个，)=−1+e1e>0，又f(e)=1+e e>0，f(1)=e>0，f(1e且x→0，f(x)→−∞，)，使f(x0)=0，所以∃x0∈(0,1e).即f(x)的零点所在的区间是(0，1e故选B ．4.【答案】D【考点】二倍角的余弦公式诱导公式【解析】此题暂无解析【解答】解：∵ cosα=14，∴ sin(π2−2α)=cos2α=2cos 2α−1=2×(14)2−1=−78.故选D .5.【答案】C【考点】已知函数的单调性求参数问题利用导数研究函数的单调性【解析】【解答】解：∵ 函数f(x)=kx −2ln x 在区间(1, +∞)上单调递增，∴ 当x >1时，f ′(x)=k −2x ≥0恒成立， 即k ≥2x 在区间(1,+∞)上恒成立.∵ y =2x 在区间(1, +∞)上单调递减， ∴ k ≥2.故选C .6.【答案】B【考点】解三角形【解析】根据题意结合图形，利用三角形的边角关系，即可求出塔高BC 的值．【解答】解：如图所示，在Rt△ACD中，∠CAD=45∘，CD=36米，所以AD=36米；在Rt△ABD中，∠BAD=60∘，所以BD=AD tan∠BAD=36√3米，所以BC=BD−CD=(36√3−36)米.故选B.7.【答案】B【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换正弦函数的奇偶性【解析】利用函数y＝A sin(ωx+φ)的图象变换可得函数y＝sin(2x+φ)的图象沿x轴向左平移π8个单位后的解析式，利用其为偶函数即可求得答案．【解答】解：令y=f(x)=sin(2x+φ)，则f(x+π8)=sin[2(x+π8)+φ]=sin(2x+π4+φ)，∵f(x+π8)为偶函数，∴π4+φ=kπ+π2，∴φ=kπ+π4，k∈Z，∴当k=0时，φ=π4．故φ的一个可能的值为π4．故选B.8.【答案】C【考点】函数图象的作法【解析】找出四个选项的区别，用特值法验证．【解答】解：∵f(0)=e0−2×0−1=0，f(1)=e−2−1=e−3<0，∴ 函数图象过(0, 0)点，且在y轴右侧，x轴下方有图象.故选C.9.【答案】A【考点】诱导公式在实际问题中建立三角函数模型【解析】计算出运动3分钟时动点M转动的角，再利用诱导公式可求得结果．【解答】解：如图，动点每12分钟转动一周，则运动到3分钟时，转过的角为312×2π=π2.设点M的初始位置的坐标为(cosα,sinα)，则cosα=12,sinα=√32，运动到3分钟时动点M所处位置的坐标是M′(cos(α+π2),sin(α+π2))，由诱导公式可得cos(α+π2)=−sinα=−√32，sin(α+π2)=cosα=12，所以点M′的坐标为(−√32,1 2 ).故选A．10.【答案】C【考点】利用导数研究函数的单调性【解析】根据条件构造函数g(x)=f(x)e x，求函数的导数，利用函数的单调性即可得到结论．【解答】解：设g(x)=f(x)e x，则g′(x)=f′(x)−f(x)e x，∵ f(x)<f′(x)，∴ g ′(x)>0，即函数g(x)在定义域内单调递增．∵ f(0)=2，∴ g(0)=f(0)=2.则不等式f(x)>2e x 等价于g(x)>g(0)，∵ 函数g(x)在定义域内单调递增．∴ x >0.∴ 不等式的解集为(0, +∞).故选C ．11.【答案】D【考点】解三角形余弦定理正弦定理【解析】此题暂无解析【解答】解：由 c sin (B +C )+√3a cos (A +B )=0得：c sin A −√3a cos C =0，由正弦定理，得 sin C sin A =√3sin A cos C ，显然 sin A ≠0 ，所以 tan C =√3，又C ∈(0，π)，所以 C =π3. 又sin C +sin (B −A )=5sin 2A ，所以 sin (B +A )+sin (B −A )=5sin 2A ，变形得 2sin B cos A =10sin A cos A .又A ≠π2 ，所以 sin B =5sin A ，所以 b =5a ，由余弦定理得 (2√21)2=b 2+a 2−2ab cos π3=21a 2，解得 a =2，b =10，所以 S △ABC =12ab sin C =12×2×10×√32=5√3.故选D.12.【答案】B【考点】利用导数研究函数的极值【解析】此题暂无解析【解答】解：函数的定义域为R ，f ′(x)=x +(m +1)e x ，∵ 函数f(x)有两个极值点，∴ f ′(x)=x +(m +1)e x 有两个不同的零点，故关于x 的方程−m −1=x e x 有两个不同的解.令g(x)=xe x ，则g ′(x)=1−xe x ，当x ∈(−∞, 1)时，g ′(x)>0，当x ∈(1, +∞)时，g ′(x)<0，∴ 函数g(x)=xe x 在区间(−∞, 1)上单调递增，在区间(1, +∞)上单调递减， 又当x →−∞时，g(x)→−∞，当x →+∞时，g(x)→0，g(1)=1e ，故0<−m −1<1e ，∴ −1−1e <m <−1. 故选B .二、填空题【答案】5π12【考点】正弦定理【解析】由已知利用正弦定理可得sin B =√22，利用大边对大角可得B 为锐角，可得B =π4，根据三角形内角和定理即可解得A 的值．【解答】解：∵ C =π3，b =√2，c =√3， ∴ 由正弦定理b sin B =c sin C ，可得：√2sin B =√3√32， 即sin B =√22. ∵ b <c ，∴ B =π4，∴ A =π−B −C =5π12．故答案为：5π12.【答案】(−∞，−√32)∪(√32，+∞) 【考点】已知函数的单调性求参数问题 【解析】 此题暂无解析 【解答】解：由已知得：f ′(x)=3x 2−4kx +1，因为函数 f(x)=x 3−2kx 2+x −3 在R 上不单调， 所以f ′(x)与x 轴有交点，即Δ=(−4k)2−4×3>0， 解得：k <−√32或k >√32， 故答案为：(−∞，−√32)∪(√32，+∞).【答案】4√3−310 【考点】两角和与差的余弦公式同角三角函数间的基本关系 三角函数值的符号 【解析】 此题暂无解析 【解答】 解：因为sin (α+5π6)=−35，α为锐角，则α+5π6∈(π,4π3)，则cos (α+5π6)=−45， 故cos α=cos (α+5π6−5π6)=cos (α+5π6)cos 5π6+sin (α+5π6)sin 5π6=(−45)×(−√32)+(−35)×12=4√3−310. 故答案为：4√3−310. 【答案】[−72, +∞) 【考点】利用导数研究函数的最值利用导数研究不等式恒成立问题 【解析】条件等价于f(x)min≥g(x)min，利用导数可求得f(x)在[1, 2]上单调递增，根据指数函数性质可得g(x)在[−1, 1]上单调递减，进而得到f(1)≥g(1)，解得即可【解答】解：对任意的x1∈[1, 2]，存在x2∈[−1, 1]，使得f(x1)≥g(x2)，等价于f(x)min≥g(x)min，令f′(x)=2−2x3=0，解得x=1，且当x>1时，f′(x)>0，则f(x)在[1, 2]上单调递增，所以f(x)min=f(1)=2+1+1=4，又g(x)在[−1, 1]上单调递减，所以g(x)min=g(1)=12−m，则4≥12−m，解得m≥−72.故答案为：[−72, +∞)．三、解答题【答案】解：(1)因为0<α<π2，sinα=45，所以cosα=35，从而sin2α=2sinαcosα=2425．(2)由题知，cos2α=1−2sin2α=−725．因为0<β<α<π2，所以0<α−β<π2，所以cos(α−β)=√1−sin2(α−β)=2√55，所以cos(α+β)=cos[2α−(α−β)]=cos2αcos(α−β)+sin2αsin(α−β)=−725×2√55+2425×√55=2√525．【考点】二倍角的正弦公式二倍角的余弦公式两角和与差的余弦公式同角三角函数间的基本关系【解析】【解答】解：(1)因为0<α<π2，sinα=45，所以cosα=35，从而sin2α=2sinαcosα=2425．(2)由题知，cos2α=1−2sin2α=−725．因为0<β<α<π2，所以0<α−β<π2，所以cos(α−β)=√1−sin2(α−β)=2√55，所以cos(α+β)=cos[2α−(α−β)]=cos2αcos(α−β)+sin2αsin(α−β)=−725×2√55+2425×√55=2√525．【答案】解：(1)由图象可得A=2，最小正周期T=4×(7π12−π3)=π，则ω=2πT=2，由f(712π)=2sin(7π6+φ)=−2，又|φ|<π2，则易求得φ=π3，所以f(x)=2sin(2x+π3)；(2)由题意知g(x)=2sin[2(x−π6)+π3]=2sin2x，所以ℎ(x)=g(x)+f(x)=2sin(2x+π3)+2sin2x=2sin2x cos π3+2cos2x sinπ3+2sin2x=3sin2x+√3cos2x =2√3sin(2x+π6).因为0≤x≤π2，所以π6≤2x+π6≤7π6，所以ℎ(x)max=2√3.【考点】两角和与差的正弦公式三角函数的最值由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式正弦函数的图象【解析】此题暂无解析【解答】解：(1)由图象可得A=2，最小正周期T=4×(7π12−π3)=π，则ω=2πT=2，由f(712π)=2sin(7π6+φ)=−2，又|φ|<π2，则易求得φ=π3，所以f(x)=2sin(2x+π3)；(2)由题意知g(x)=2sin[2(x−π6)+π3]=2sin2x，所以ℎ(x)=g(x)+f(x)=2sin(2x+π3)+2sin2x=2sin2x cos π3+2cos2x sinπ3+2sin2x=3sin2x+√3cos2x =2√3sin(2x+π6).因为0≤x≤π2，所以π6≤2x+π6≤7π6，所以ℎ(x)max=2√3.【答案】解：(1)∵f(x)=a ln x−x+4，∴f′(x)=ax−1.由于曲线y=f(x)在点（1, f(1)）处的切线垂直于y轴，故该切线斜率为0，即f′(1)=a−1=0，∴a=1.(2)由(1)知，f(x)=ln x−x+4(x>0)，f′(x)=1x −1=1−xx.令f′(x)>0，解得0<x<1，故f(x)在(0, 1)上为增函数；令f′(x)<0，解得x>1，故f(x)在(1, +∞)上为减函数；故f(x)在x=1处取得极大值f(1)=3．【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程利用导数研究函数的极值【解析】(1)求导函数，利用曲线y=f(x)在点（1, f(1)）处的切线垂直于y轴，可得f′(1)=0，从而可求a的值；(2)由(1)知，f(x)=ln x−x+4(x>0)，f′(x)=1x −1=1−xx，确定函数的单调性，即可求得函数f(x)的极值．【解答】解：(1)∵f(x)=a ln x−x+4，∴ f′(x)=ax −1.由于曲线y =f(x)在点（1, f(1)）处的切线垂直于y 轴， 故该切线斜率为0，即f′(1)=a −1=0， ∴ a =1.(2)由(1)知，f(x)=ln x −x +4(x >0)， f′(x)=1x −1=1−x x.令f′(x)>0，解得0<x <1，故f(x)在(0, 1)上为增函数； 令f′(x)<0，解得x >1，故f(x)在(1, +∞)上为减函数； 故f(x)在x =1处取得极大值f(1)=3． 【答案】解：(1)∵ S △DAC =2√3，AC =4√3，AD =2， ∴ 12⋅AD ⋅AC ⋅sin ∠DAC =2√3，∴ sin ∠DAC =12，∵ B =π3，∴ ∠DAC <∠BAC <π−π3=2π3，∴ ∠DAC =π6，在△ADC 中，由余弦定理得：DC 2=AD 2+AC 2−2AD ⋅AC cos π6， ∴ DC 2=4+48−2×2×4√3×√32=28，∴ DC =2√7；(2)∵ AB =AD ，B =π3，∴ △ABD 为正三角形，∵ ∠DAC =π3−C ，∠ADC =2π3，在△ADC 中，根据正弦定理，可得：ADsin C =4√3sin 2π3=DCsin (π3−C)，∴ AD =8sin C ，DC =8sin (π3−C)，∴ △ADC 的周长为AD +DC +AC =8sin C +8sin (π3−C)+4√3 =8(sin C +√32cos C −12sin C)+4√3 =8(12sin C +√32cos C)+4√3=8sin (C +π3)+4√3， ∵ ∠ADC =2π3，∴ 0<C <π3，∴ π3<C +π3<2π3，∴当C+π3=π2，即C=π6时，sin(C+π3)的最大值为1，则△ADC的周长最大值为8+4√3．【考点】三角函数的最值解三角形余弦定理正弦定理【解析】（1）利用三角形的面积公式表示出三角形ADC的面积，把已知的面积，以及AC、AD 的长代入，求出sin∠DAC的值，由B的范围，得到∠BAC的范围，进而确定出∠DAC的范围，利用特殊角的三角函数值求出∠DAC的度数，再由AD，AC及cos∠DAC的值，利用余弦定理即可求出DC的长；（2）由B=π3，AB=AD，得到三角形ABD为等边三角形，可得出∠ADC为2π3，进而得到∠DAC+∠C=π3，用∠C表示出∠DAC，在三角形ADC中，由AC，以及sin∠ADC，sin C，sin∠DAC，利用正弦定理表示出AD及DC，表示出三角形ADC的周长，整理后再利用特殊角的三角函数值及两角和与差的正弦函数公式化为一个角的正弦函数，由∠ADC的度数，得到C的范围，可得出这个角的范围，根据正弦函数的图象与性质得到正弦函数的值域，确定出正弦函数的最大值，即可得到周长的最大值．【解答】解：(1)∵S△DAC=2√3，AC=4√3，AD=2，∴12⋅AD⋅AC⋅sin∠DAC=2√3，∴sin∠DAC=12，∵B=π3，∴∠DAC<∠BAC<π−π3=2π3，∴∠DAC=π6，在△ADC中，由余弦定理得：DC2=AD2+AC2−2AD⋅AC cosπ6，∴DC2=4+48−2×2×4√3×√32=28，∴DC=2√7；(2)∵AB=AD，B=π3，∴△ABD为正三角形，∵∠DAC=π3−C，∠ADC=2π3，在△ADC中，根据正弦定理，可得：ADsin C =4√3sin2π3=DCsin(π3−C)，∴AD=8sin C，DC=8sin(π3−C)，∴△ADC的周长为AD+DC+AC=8sin C+8sin(π3−C)+4√3=8(sin C +√32cos C −12sin C)+4√3 =8(12sin C +√32cos C)+4√3=8sin (C +π3)+4√3， ∵ ∠ADC =2π3，∴ 0<C <π3， ∴ π3<C +π3<2π3，∴ 当C +π3=π2，即C =π6时，sin (C +π3)的最大值为1， 则△ADC 的周长最大值为8+4√3． 【答案】解：(1)因为f ′(x)=2ax +bx ， 所以f ′(12)=a +2b =0，因为f (12)=14a −bln2=12+ln2， 所以a =2，b =−1， 所以f(x)=2x 2−lnx ． (2)若f(x)≤g(x)，则2x 2−lnx ≤mx 3−lnx +2，即2x 2−mx 3−2≤0对x ∈[1,4]恒成立， 等价于m ≥2x 2−2x 3对x ∈[1,4]恒成立，令ℎ(x)=2x 2−2x 3， 则ℎ′(x)=6−2x 2x 4=2(√3−x)(√3+x)x 4， 令ℎ′(x)>0，得1≤x <√3；令ℎ′(x)<0，得√3<x ≤4，所以ℎ(x) 在[1,√3) 上单调递增，在(√3,4]上单调递减， 所以ℎ(x)max =ℎ(√3)=4√39， 即m ∈[4√39,+∞)．【考点】利用导数研究函数的极值 利用导数研究函数的单调性 利用导数研究函数的最值 利用导数研究不等式恒成立问题 【解析】左侧图片未给出解析．左侧图片未给出解析． 【解答】解：(1)因为f ′(x)=2ax +bx ，所以f ′(12)=a +2b =0， 因为f (12)=14a −bln2=12+ln2，所以a =2，b =−1，所以f(x)=2x 2−lnx ． (2)若f(x)≤g(x)，则2x 2−lnx ≤mx 3−lnx +2，即2x 2−mx 3−2≤0对x ∈[1,4]恒成立， 等价于m ≥2x 2−2x 3对x ∈[1,4]恒成立，令ℎ(x)=2x 2−2x 3， 则ℎ′(x)=6−2x 2x 4=2(√3−x)(√3+x)x 4，令ℎ′(x)>0，得1≤x <√3； 令ℎ′(x)<0，得√3<x ≤4，所以ℎ(x) 在[1,√3) 上单调递增，在(√3,4]上单调递减， 所以ℎ(x)max =ℎ(√3)=4√39， 即m ∈[4√39,+∞)．【答案】解：(1)当a =1时，f (x )=ln x −x +1，定义域为(0,+∞) ， 则f ′(x )=1x −1，令f ′(x )=0， 解得x =1.当x ∈(0,1)时，f ′(x )>0，f (x )单调递增； 当x ∈(1,+∞)时，f ′(x )<0，f (x )单调递减， 所以f (x )max =f (1)=0. (2)由题意知，方程f (x )=ln x −x−1a=0在(2,e )上有实根．因为ln x ≠0 ， 所以方程可转化为a =x−1ln x.设g (x )=x−1ln x，则g ′(x )=ln x−1x(x−1)(ln x )2=ln x+1x−1(ln x )2.设ℎ(x )=ln x +1x −1，则ℎ′(x)=1x −1x2.当2<x<e时，ℎ′(x)>0，所以ℎ(x)在(2,e)上单调递增，所以ℎ(x)>ℎ(2)=ln2−12>0，于是g′(x)>0，所以g(x)在(2,e)上单调递增，所以g(2)<g(x)<g(e)，即1ln2<g(x)<e−1.综上所述，实数a的取值范围是(1ln2,e−1).【考点】利用导数研究与函数零点有关的问题利用导数研究函数的最值【解析】此题暂无解析【解答】解：(1)当a=1时，f(x)=ln x−x+1，定义域为(0,+∞)，则f′(x)=1x−1，令f′(x)=0，解得x=1.当x∈(0,1)时，f′(x)>0，f(x)单调递增；当x∈(1,+∞)时，f′(x)<0，f(x)单调递减，所以f(x)max=f(1)=0.(2)由题意知，方程f(x)=ln x−x−1a=0在(2,e)上有实根．因为ln x≠0，所以方程可转化为a=x−1ln x.设g(x)=x−1ln x，则g′(x)=ln x−1x(x−1)(ln x)2=ln x+1x−1(ln x)2.设ℎ(x)=ln x+1x−1，则ℎ′(x)=1x −1x2.当2<x<e时，ℎ′(x)>0，所以ℎ(x)在(2,e)上单调递增，所以ℎ(x)>ℎ(2)=ln2−12>0，于是g′(x)>0，所以g(x)在(2,e)上单调递增，所以g(2)<g(x)<g(e)，<g(x)<e−1.即1ln2,e−1). 综上所述，实数a的取值范围是(1ln2。
2021年高三三校9月联考数学(文)试题 含答案
2021年高三三校9月联考数学（文）试题含答案本试卷分选择题和非选择题两部分，共4页，满分150分，考试用时120分钟。
注意事项：1．答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的校名、姓名、考号填写在答题卡的密封线内。
2．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案；不能答在试卷上。
3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在另发的答题卷各题目指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答的答案无效。
4．考生必须保持答题卡的整洁。
第一部分选择题（共50分）一、选择题：(本大题共10小题，每小题5分，共50分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．已知全集,集合,,则集合（）A．B． C．D．2.如果复数为纯虚数,则实数的值 ( )A. 等于1B. 等于2C. 等于1或2D. 不存在3．为假命题,则的取值范围为（）A． B. C. D.4．对某商店一个月30天内每天的顾客人数进行了统计，得到样本的茎叶图（如图所示），则该样本的中位数、众数、极差分别是（）A．46，45，56 B．46，45，53C．47，45，56 D．45，47，535．设是两条不同直线,是两个不同的平面,下列命题正确的是（）A．且则B．且,则C．则D．则6.如图,三棱柱的棱长为2,底面是边长为2的正三角形,,正视图是边长为2 的正方形,俯视图为正三角形,则左视图的面积为（）A．4 B． C． D．27．若是2和8的等比中项，则圆锥曲线的离心率是（）A．B．C．或D．8．函数的图像大致是( )9．在平面直角坐标系中，若不等式组（为常数）所表示平面区域的面积等于2，则的值为（）A. -5B. 1C. 2D. 310．已知函数在点（1,2）处的切线与的图像有三个公共点，则的取值范围是（ ）A ．B ．C ．D ．第二部分 非选择题（100分）二、填空题：本题共5小题，考生作答4小题，每小题5分，共20分(一)必做题(11～13题)11．已知向量(3,1),(0,1),(,3),2,a b c k a b c k ===+=若与垂直则 .12．在中，角的对边为，若，则角= .13．数列满足表示前n 项之积,则=_____________.（二）选做题（14、15题,考生只能从中选做一题,两题全答的,只计前一题的得分）14. （几何证明选讲选做题）如图所示，是⊙的两条切线，是圆上一点，已知，则= .15. （坐标系与参数方程选做题）已知曲线的极坐标方程为,曲线的极坐标方程为（，曲线、曲线的交点为，则弦长为 .三、解答题:本大题共6小题,满分80分,解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤.16．（本小题满分12分）已知向量，函数·，且最小正周期为．（1）求的值；（2）设，求的值．17.（本小题满分12分）某市为增强市民的环境保护意识，面向全市征召义务宣传志愿者。
2021届高三数学9月教育教学质量监测考试试题理【含答案】
2021届高三数学9月教育教学质量监测考试试题理注意事项：1.本试卷分第I卷(选择题)和第II卷(非选择题)两部分。
2.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试卷相应的位置。
3.全部答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。
4.本试卷满分150分，测试时间120分钟。
5.考试范圃：必修1～5，选修2－1，2－2，2－3。
第I卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.若z＝2－i，则|z2－z|＝A.3B.2C.10D.262.若集合A＝{x|y＝log3(x2－3x－18)}，B＝{－5，－2，2，5，7}，则A∩B＝A.{－2，2，5}B.{－5，7}C.{－5，－2，7}D.{－5，5，7}3.我国古代的宫殿金碧辉煌，设计巧夺天工，下图(1)为北京某宫殿建筑，图(2)为该宫殿某一“柱脚”的三视图，其中小正方形的边长为1，则根据三视图可知，该“柱脚”的表面积为A.9π＋2＋9B.18π＋2＋9C.18π＋2＋18D.18π＋2＋184.已知抛物线C1：y2＝6x上的点M到焦点F的距离为92，若点N在C2：(x＋2)2＋y2＝1上，则点M到点N距离的最小值为264333 1 D.25.根据散点图可知，变量x，y呈现非线性关系。
为了进行线性回归分析，设u＝2lny，v＝(2x－3)2，利用最小二乘法，得到线性回归方程u＝－13v＋2，则A.变量y的估计值的最大值为eB.变量y的估计值的最小值为eC.变量y的估计值的最大值为e2D.变量y的估计值的最小值为e26.函数f(x)＝ln2x －x 3的图象在点(12，f(12))处的切线方程为 A.5344y x =- B.524y x =-+ C.1144y x =- D.14y x =- 7.已知函数f(x)＝3cos(ωx ＋φ)(ω>0)，若f(－3π)＝3，f(3π)＝0，则ω的最小值为 A.12 B.34 C.2 D.3 8.(3x －2)2(x －2)6的展开式中，x 4的系数为A.0B.4320C.480D.38409.已知圆C 过点(1，3)，(0，2)，(7，－5)，直线l ：12x －5y －1＝0与圆C 交于M ，N 两点，则|MN|＝A.3B.4C.6D.810.已知角α的顶点在原点，始边与x 轴的非负半轴重合，终边过点(1，m)，其中m>0；若tan2α＝－125，则cos(2α＋mπ)＝ A.－613 B.－1213 C.613 D.1213 11.已知三棱锥S －ABC 中，△SBC 为等腰直角三角形，∠BSC ＝∠ABC ＝90°，∠BAC ＝2∠BCA ，D ，E ，F 分别为线段AB ，BC ，AC 的中点，则直线SA ，SB ，AC ，SD 中，与平面SEF 所成角为定值的有A.1条B.2条C.3条D.4条12.已知函数f(x)＝x e x －m(lnx ＋x ＋2x)恰有两个极值点，则实数m 的取值范围为 A.(－∞，12] B.(12，＋∞) C.(12，3e )∪(3e ，＋∞) D.(－∞，12]∪(3e ，＋∞)第II 卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分。
高三数学上学期9月调研考试试题理含解析试题
宝安区2021届高三数学上学期9月调研考试试题理〔含解析〕本套试卷满分是150分，考试时间是是120分钟．一、选择题：此题一共12小题，每一小题5分，一共60分．在每一小题给出的四个选项里面，只有一项是哪一项符合题目要求的．的一共轭复数是〔〕A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】先化形式，再根据一共轭复数概念求解.【详解】因为,所以一共轭复数是，选B.【点睛】此题重点考察复数的根本运算和复数的概念，属于基此题.首先对于复数的四那么运算，要实在掌握其运算技巧和常规思路，如. 其次要熟悉复数相关根本概念，如复数的实部为、虚部为、模为、对应点为、一共轭为，，假设，那么实数的取值集合为〔〕A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】先求出集合M={x|x2=1}={﹣1，1}，当a=0时，N=∅，成立；当a≠0时，N={}，由N⊆M，得或者=1．由此能求出实数a的取值集合．【详解】∵集合M={x|x2=1}={﹣1，1}，N={x|ax=1}，N⊆M，∴当a=0时，N=∅，成立；当a≠0时，N={}，∵N⊆M，∴或者=1．解得a=﹣1或者a=1，综上，实数a的取值集合为{1，﹣1，0}．应选：D．【点睛】此题考察实数的取值范围的求法，考察子集、不等式性质等根底知识，考察运算求解才能，考察函数与方程思想，是根底题．的运算原理如右边的流程图所示，那么〔〕A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根据流程图知运算为分段函数，根据分段函数进展计算.【详解】由流程图得所以,选A.【点睛】算法与流程图的考察，侧重于对流程图循环构造的考察.先明晰算法及流程图的相关概念，包括选择构造、循环构造、伪代码，其次要重视循环起点条件、循环次数、循环终止条件，更要通过循环规律，明确流程图研究的数学问题，是求和还是求项.4.某景区在开放时间是内，每个整点时会有一趟观光车从景区入口发车，某人上午到达景区入口，准备乘坐观光车，那么他等待时间是不多于10分钟的概率为〔〕A. B. C. D.【答案】B【解析】由题意，此人在50分到整点之间的10分钟内到达，等待时间是不多于10分钟，所以概率.应选B．的零点是和，那么〔〕A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】先求函数零点得零点关系，再根据两角和正切公式求结果.【详解】由得，，所以, 因此，选C.【点睛】此题考察两角和正切公式以及韦达定理，考察根本求解才能.，满足，，，，那么，，的大小关系为〔〕A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】推导出0=log a1＜log a b＜log a a=1，由此利用对数函数的单调性能比拟m，n，l的大小．【详解】∵实数a，b满足a＞b＞1，m=log a〔log a b〕，，，∴0=log a1＜log a b＜log a a=1，∴m=log a〔log a b〕＜log a1=0，0＜＜1，1＞=2log a b＞．∴m，n，l的大小关系为l＞n＞m．应选：B．【点睛】此题考察三个数的大小的比拟，考察对数函数的单调性等根底知识，考察运算求解才能，考察函数与方程思想，是根底题．中，“〞是“为锐角三角形〞的〔〕A. 充分非必要条件B. 必要非充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】C【解析】分析：从两个方向去判断，先看能推出三角形的形状是锐角三角形，而非钝角三角形，从而得到充分性不成立，再看当三角形是钝角三角形时，也推不出成立，从而必要性也不满足，从而选出正确的结果.详解：由题意可得，在中，因为，所以，因为，所以，，结合三角形内角的条件，故A,B同为锐角，因为，所以，即，所以，因此，所以是锐角三角形，不是钝角三角形，所以充分性不满足，反之，假设是钝角三角形，也推不出“，故必要性不成立，所以为既不充分也不必要条件，应选D.点睛：该题考察的是有关充分必要条件的判断问题，在解题的过程中，需要用到不等式的等价转化，余弦的和角公式，诱导公式等，需要明确对应此类问题的解题步骤，以及三角形形状对应的特征.的展开式中，含项的系数为〔〕A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】把x+看作一项，写出的展开式的通项，再写出的展开式的通项，由x的指数为5求得r、s的值，那么答案可求．【详解】的展开式的通项为．的展开式的通项为=．由6﹣r﹣2s=5，得r+2s=1，∵r，s∈N，∴r=1，s=0．∴在的展开式中，含x5项的系数为．应选：B．【点睛】求二项展开式有关问题的常见类型及解题策略r＋1项，再由特定项的特点求出r值即可.(2)展开式的某项，求特定项的系数.可由某项得出参数项，再由通项写出第r＋1项，由特定项得出r值，最后求出其参数.，满足，那么的最小值为〔〕A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】先确定所表示区域，再根据M表示区域内点到定点〔1，0〕间隔平方减去1求最小值【详解】,而表示正方形及其外部〔如图〕，所以的最小值为点〔1，0〕到AB：y=-x+2的间隔平方减去1，即,选D.【点睛】线性规划问题，首先明确可行域对应的是封闭区域还是开放区域、分界限是实线还是虚线，其次确定目的函数的几何意义，是求直线的截距、两点间间隔的平方、直线的斜率、还是点到直线的间隔等等，最后结合图形确定目的函数最值取法、值域范围.10.如图，在平面四边形ABCD中，假设点E为边CD上的动点，那么的最小值为〔〕A. B. C. D.【答案】A【解析】分析：由题意可得为等腰三角形，为等边三角形，把数量积分拆，设，数量积转化为关于t的函数，用函数可求得最小值。
2021年高三数学9月月考试题 文(含解析)
2021年高三数学9月月考试题文（含解析）【试卷综析】注重基础知识，基本技能的考查，符合新课程标准和命题的意图及宗旨。
解答题中，梯度明显，考查的都是集合与函数中的基本概念和基本方法，在关注学生基本能力的考查的同时，仍然紧扣双基。
总体感觉试题对学生双基的考查既全面又突出重点，对教师的教和学生的学检测到位，同时对后续的教与学又起到了良好的导向和激励.第1卷（选择题共50分）一．选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个备选项中，只有一项是符合题目要求的．【题文】1．设集合M={1,2,3}，N={x|），则=( )A．{3} B．{2,3} C．{1,3} D．{1,2,3}【知识点】解不等式；集合运算. E1 A1【答案解析】A 解析：N={x|x>2}，所以={3}，故选A.【思路点拨】解出集合N中的不等式，从而求得.【题文】2．已知等比数列{}满足：．等，则=( )A． B． C．± D．±【知识点】等比数列的性质. D3【答案解析】B 解析：，所以，所以cos=，故选B.【思路点拨】由等比数列的性质得，所以cos=.【题文】3．已知，则的值为( )A． B． C． D．【知识点】诱导公式；二倍角公式. C2 C6【答案解析】D 解析：由得，所以，故选D.【思路点拨】由诱导公式得，再由二倍角公式得.【题文】4．已知命题，命题,则( )A．命题是假命题 B．命题是真命题C．命题是真命题 D．命题是假命题【知识点】基本逻辑连结词及量词. A3【答案解析】C 解析：因为命题p是真命题，命题q是假命题，所以命题是真命题，所以命题是真命题，故选C.【思路点拨】先判断题干中各命题的真假，再确定正确选项.【题文】5．若x>0, y>0且，则的最小值为( )A．3 B． C．2 D．3+【知识点】基本不等式求最值. E6【答案解析】D 解析：因为，所以x=-2y+1,即x+2y=1，又x>0, y>0，所以=（x+2y）（）=3+，当且仅当时等号成立，故选D.【思路点拨】由已知条件得到x+2y=1，又x>0, y>0，所以=（x+2y）（）=3+，当且仅当时等号成立.【题文】6．函数的大致图象是( )【知识点】导数的应用. B12【答案解析】B 解析：因为函数的定义域，所以得，经检验在上递增，在上递减，且最大值，故选B.【思路点拨】利用导数确定函数的单调性和最大值，从而求得正确选项.【题文】7．若是奇函数，且是函数的一个零点，则一定是下列哪个函数的零点( ) A． B． C． D．【知识点】奇函数定义；函数零点的意义. B4 B9【答案解析】C 解析：因为是函数的一个零点，所以，把，代入个选项得，选项C中，成立，故选C.【思路点拨】由已知得，把，代入个选项得，选项C正确.【题文】8．在△ABC中，内角A,B,C所对的边分别是a,b,c,已知，，则cosA=( ) A． B． C． D．【知识点】解三角形. C8【答案解析】A 解析：由已知得，代入得，故选A.【思路点拨】根据已知条件可得a,b关于c的表达式，将其代入得所求结果.【题文】9．已知为区域内的任意一点，当该区域的面积为4时，的最大值是( )A．6 B．0 C．2 D．【知识点】线性规划. E5【答案解析】A 解析：画出可行域，由可行域面积为4得a=2，平移目标函数为0的直线y=2x，得使目标函数取得最大值的最优解是点（2，-2），所以的最大值是6，故选A.【思路点拨】画出可行域，根据已知得a=2，平移目标函数为0的直线y=2x，得使目标函数取得最大值的最优解是点（2，-2），所以的最大值是6.【题文】10．在△ABC中，E，F分别在边AB,AC上，D为BC的中点，满足，,则 cos A = ( ) A．0 B． C． D．【知识点】向量的线性运算；向量的数量积. F1 F3【答案解析】D 解析：AC=b, ,则AB=2b,根据题意得：= ,同理,因为，所以,整理得,即,所以，故选D.【思路点拨】把已知中涉及到的线段所对应的向量，都用向量表示，再用，得向量间的等量关系，从而求得cos A的值.第Ⅱ卷（非选择题共100分）二．填空题：本大题共5小题，每小l15分，共25分，把答案填写在答题卡相应位置上．【题文】11．已知，其中i为虚数单位，则=____________.【知识点】复数的运算. L4【答案解析】5 解析：由得，所以a=2,b=3,所以a+b=5.【思路点拨】利用复数乘法变形已知等式，得，所以a=2,b=3,所以a+b=5.【题文】12．已知等差数列{}的前n项和为，若，则=____________.【知识点】等差数列的性质及前n项和公式. D2【答案解析】36 解析：由已知得，所以.【思路点拨】利用等差数列的性质及前n项和公式求解.【题文】13.已知为单位向量，,则____________.【知识点】向量的坐标运算. F2【答案解析】23 解析：设，因为为单位向量，所以①，又,所以②，由①②得3x+4y=23,所以3x+4y=23.【思路点拨】设，利用已知得到关于x,y的方程组求得x,y的值，或x,y的关系，代入关于x,y的表达式即可.【题文】14．设m，n，p∈R，且，，则p的最大值和最小值的差为__ __．【知识点】直线与圆有公共点的条件. H4【答案解析】解析：把m,n看成变量p看成字母常数，则方程有解的条件是，把直线代入圆消去n整理得：,由判别式得，解得，所以p的最大值和最小值的差为.【思路点拨】把m,n看成变量p看成字母常数，利用直线与圆有公共点的条件得p的最大值与最小值，从而求得p的最大值和最小值的差.【题文】15．函数⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧<-≤≤>-=,1)21(2,2sin2),1(log)(2015xxxxxxfxπ，若a,b,c,d是互不相等的实数，且，则a+b+c+d的取值范围为___ .【知识点】分段函数. B1【答案解析】(4，xx) 解析：设=m，a<b<c<d，由函数的图像可知，平移直线y=m可得：当m趋向于0时，a、b都趋向于0，c、d都趋向于2，a+b+c+d趋向于0+0+2+2=4；当m趋向于1时，a趋向于-1，b、c都趋向于1，而d趋向于xx，a+b+c+d趋向于-1+1+1+xx=xx，所以a+b+c+d的取值范围为(4，xx).【思路点拨】作函数的图像，设=m，a<b<c<d，由函数的图像可知，平移直线y=m可得结论. 三．解答题：本大题6个小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．【题文】16．（13分）等差数列{}满足：，，其中为数列{}前n项和．(I)求数列{}通项公式；(II)若，且，，成等比数列，求k值．【知识点】等差数列；等比数列. D2 D3【答案解析】（Ⅰ）n；（Ⅱ）4. 解析：（Ⅰ）由条件，；（Ⅱ），∵22329(21)4 k k ka a S k k k k k=⋅⇒=⋅+⇒=．【思路点拨】（Ⅰ）把等差数列的通项公式、前n项和公式，代入已知等式得关于的方程组，求得，进而求；（Ⅱ）利用等差数列的通项公式、前n项和公式，求得，，，代入得关于k的方程解出k值.【题文】17．（13分）某中学高二年级的甲、乙两个班中，需根据某次数学预赛成绩选出某班的5名学生参加数学竞赛决赛，已知这次预赛他们取得的成绩（满分100分）的茎叶图如图所示，其中甲班5名学生成绩的平均分是83，乙班5名学生成绩的中位数是86．求出x，y的值，且分别求甲、乙两个班中5名学生成绩的方差、，并根据结果，你认为应该选派哪一个班的学生参加决赛？(II)从成绩在85分及以上的学生中随机抽取2名．求至少有1名来自甲班的概率．【知识点】茎叶图；一组数据的数字特征；古典概型；I2 K2【答案解析】(Ⅰ)x=5，y=6，，，应选甲班参加；(Ⅱ) .解析：(Ⅰ)甲班的平均分为1748284(80)908355xx x+++++==⇒=，易知．；又乙班的平均分为，∴；∵，，说明甲班同学成绩更加稳定，故应选甲班参加．(Ⅱ) 分及以上甲班有人，设为；乙班有人，设为，从这人中抽取人的选法有：，共种，其中甲班至少有名学生的选法有种，则甲班至少有名学生被抽到的概率为.【思路点拨】(Ⅰ)根据平均数、中位数、方差的计算公式求得各值，通过比较平均数、方差得选派参加比赛的班；(Ⅱ) 分及以上甲班有人，乙班有人，用列举法写出，从这人中抽取人的选法共种，其中甲班至少有名学生的选法有种，则甲班至少有名学生被抽到的概率为. 【题文】18．（13分）已知函数(I)当a=2时，求曲线在点A(1，f（1）)处的切线方程；(II)讨论函数f(x)的单调性与极值．【知识点】导数的应用. B12【答案解析】（Ⅰ）；（Ⅱ）①当时，在上单调递增，无极值；②当时，在上单调递减，在上单调递增，，无极大值.解析：（Ⅰ）时，，，∴，又，故切线方程为：即.（Ⅱ）函数的定义域为，令①当时，在上单调递增，无极值；②当时，在上单调递减，在上单调递增，，无极大值.【思路点拨】（Ⅰ）根据导数的几何意义求得曲线在点A处切线的斜率，从而写出切线方程；（Ⅱ）先确定函数的定义域，再求函数的导函数，由导函数大于0得，所以，①当时，在上单调递增，无极值；②当时，在上单调递减，在上单调递增，，无极大值.【题文】19．（12分）设函数)0(41coscos)6sin()(2>-+⋅-=ϖϖϖπϖxxxxf图像上的一个最高点为A，其相邻的一个最低点为B，且|AB|=．(I)求的值；(II)设△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，且b+c=2，，求的值域．【知识点】函数的图像与性质；解三角形. C4 C8【答案解析】(Ⅰ) ；(Ⅱ) . 解析：(Ⅰ) ，由条件得，.(Ⅱ)由余弦定理：bcbccbAbccba343)(cos22222-=-+=-+=又，故，又，故由，，所以的值域为.【思路点拨】(Ⅰ)由二倍角公式、两角和与差的三角函数得，再由相邻最高点与最低点间距离为得周期T=2，从而求得的值；(Ⅱ)由已知条件及余弦定理得，又，故，又，故，由，，所以的值域为：.【题文】20.（12分）已知数列{}的前n 项和为，且满足．(I)证明：数列为等比数列，并求数列{}的通项公式；(II)数列{}满足，其前n 项和为，试求满足的最小正整数n ．【知识点】数列综合问题. D5【答案解析】（Ⅰ）证明数列为等比数列.略, ；（Ⅱ）8.解析：（Ⅰ）当时，；当时，1111212221(1)2n nn n n n n n n S n a a a a a a S n a ----+=⎫⇒+=-⇒=+⎬+-=⎭；即（），且，故为等比数列（）.（Ⅱ）设 ………………① 23121222(1)22n n n K n n +=⨯+⨯++-⨯+⨯… …………② ①②：231112(12)222222(1)2212n n n n n n K n n n +++--=++++-⨯=-⨯=-⨯--…∴， ∴，21(1)22201582n n n n T n n +++=-⨯+>⇒≥，∴满足条件的最小正整数【思路点拨】（Ⅰ）利用公式将已知递推公式转化为关于的递推公式，从而证得数列为等比数列，由此进一步求得；（Ⅱ）由条件求得，从而求得数列的前n 项和，所以21(1)22201582n n n n T n n +++=-⨯+>⇒≥，∴满足条件的最小正整数.【题文】21.（12分）对于函数与常数a ，b ，若恒成立，则称（a ，b ）为函数的一个“P 数对”：设函数的定义域为，且f(1)=3．(I)若（a ，b ）是的一个“P 数对”，且，，求常数a ，b 的值；(Ⅱ)若(1，1)是的一个“P 数对”，求；(Ⅲ)若()是的一个“P 数对”，且当时，，求k 的值及在区间上的最大值与最小值．【知识点】函数综合问题. B14【答案解析】（Ⅰ）；（Ⅱ）；（Ⅲ）当时，在上的最大值为，最小值为3；当且为奇数时，在上的最大值为，最小值为；当为偶数时，在上的最大值为，最小值为．解析：（Ⅰ）由题意知，即，解得：（Ⅱ）由题意知恒成立，令，可得，∴是公差为1的等差数列故，又，故．（Ⅲ）当时，，令，可得，解得，所以，时，，故在上的值域是．又是的一个“数对”，故恒成立，当时，，…，故为奇数时，在上的取值范围是；当为偶数时，在上的取值范围是．所以当时，在上的最大值为，最小值为3；当且为奇数时，在上的最大值为，最小值为；当为偶数时，在上的最大值为，最小值为．【思路点拨】（Ⅰ）根据“P数对”的定义及已知得，关于a,b的方程组，求得a,b值；（Ⅱ）因为(1，1)是的一个“P数对”，所以恒成立，令，可得，∴是公差为1的等差数列，因为，故.（Ⅲ）因为当时，，又f(1)=3，所以，所以，时，，故在上的值域是．又是的一个“数对”，故恒成立，当时，，…，故为奇数时，在上的取值范围是；当为偶数时，在上的取值范围是．所以当时，在上的最大值为，最小值为3；当且为奇数时，在上的最大值为，最小值为；当为偶数时，在上的最大值为，最小值为． 22768 58F0 声J21875 5573 啳29828 7484 璄i 34377 8649 虉j 34293 85F5 藵25978 657A 敺20705 50E1 僡 +。
高三数学9月教学质量检测试题理含解析试题
2021届高三数学9月教学质量检测试题 理〔含解析〕考前须知：1.在答题之前，所有考生必须将本人的姓名、准考证号填写上在套本套试卷相应的位置；2.全部答案在答题卡上完成，答在本套试题卷上无效；3.在在考试完毕之后以后，将本试题卷和答题卡一并上交。
一、选择题：此题一共12小题，每一小题5分，一共60分。
在每一小题给出的四个选项里面，只有一项是哪一项符合题目要求的。
{}2|230A x x x =--≤，{}|31B x x =-<<，那么A B =〔〕A. {}|31x x -<<B. {}|33x x -<≤C. {}|11x x -≤<D.{}|11x x -<<【答案】C 【解析】 【分析】利用集合的交集运算求解【详解】{}{}2|230|13A x x x A x x =--≤⇒=-≤≤，那么AB ={}|11x x -≤<答案选C【点睛】此题考察集合的交集运算，需注意端点取不获得到的问题。
21z i=-，在复平面内复数z 的一共轭复数对应的点位于〔〕 A. 第一象限 B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限 【答案】D 【解析】 【分析】 先对21z i=-进展化简，再求z 的一共轭复数及z 的一共轭复数在复平面对应的点【详解】21i 1iz ==+-，那么1z i =-，1z i =-在复平面内对应的点为()1,1-，为第四象限 答案选D【点睛】此题考察复数除法运算，一共轭复数的概念及复数与复平面的点的对应关系，难度不大，综合性强{}n a 的前n 项和为n S ，假设1530S =，104a ，那么9a 等于〔〕A. 2B. 3C. 4D. 8【答案】B 【解析】 【分析】根据1530S =，可算出8a ，又104a ，根据等差中项的性质求解即可【详解】由158815302S a a ==⇒=，又104a ，98109263a a a a =+=⇒=答案选B【点睛】此题考察等差数列根本量的求法，常规思路为求解首项和公差，本通解题思路运用了()2121n n S n a -=-和等差中项的性质，简化了运算()2,1a =，()2,sin 1b α=-，()2,cos c α=-，假设()a bc +，那么tan α的值是〔〕A. 2B.12C. 12-D. -2【答案】D 【解析】 【分析】 由()a bc +表示出sin α与cos α的根本关系，化简求解即可【详解】()4,sin a b α+=，()4cos 2sin tan 2a b c ααα+⇒=-⇒=-答案选D【点睛】此题考察向量平行的坐标表示法、三角函数的化简求值，需熟记向量平行的坐标表示法为：1221x y x y =或者1122x y x y = 5.某校有1200人参加某次模拟考试，其中数学考试成绩近似服从正态分布()()2105,0N σσ>，试卷满分是150分，统计结果显示数学成绩优秀〔高于120分〕的人数占总人数的15，那么此次数学考试成绩在90分到105分之间的人数约为〔〕 A. 180 B. 240C. 360D. 480【答案】C 【解析】 【分析】根据正态分布对称性特征，成绩高于120分和成绩低于90分概率值应该一样，成绩在90分到105分的占余下的12，代入数值进展运算即可 【详解】由题知，1(120)(90)5P X P X >==<， 所以13(90120)1255P X =-⨯=，所以133(90105)2510P X =⨯=，所以此次数学考试成绩在90分到105分之间的人数约为3120036010⨯=人。
2021年高三上学期9月月考数学试卷含解析
2021年高三上学期9月月考数学试卷含解析一、填空题：（每题5分，共计70分）1．已知A={﹣1，0，2}，B={﹣1，1}，则A∪B= ．2．已知复数z=，（i为虚数单位）则复数z的实部为．3．写出命题：“若x=3，则x2﹣2x﹣3=0”的否命题：．4．一位篮球运动员在最近的5场比赛中得分的茎叶图如图，则他在这5场比赛中得分的方差是．5．如图所示的流程图，输出的n= ．6．已知抛物线y2=8x的焦点是双曲线的右焦点，则双曲线的渐近线方程为．7．若实数x，y满足不等式组，则z=x+2y的最大值为．8．已知圆柱的轴截面是边长为2的正方形，则圆柱的表面积为．9．在等差数列{a n}中，S n为其前n项的和，若a3=8，S3=20，则S5= ．10．将y=sin2x的图象向右平移φ单位（φ＞0），使得平移后的图象仍过点（），则φ的最小值为．11．若直线l：y=x+a被圆（x﹣2）2+y2=1截得的弦长为2，则a= ．12．已知函数f（x）=，为奇函数，则不等式f（x）＜4的解集为．13．在三角形ABC中，已知AB=3，A=120°，△ABC的面积为，则•的值= ．14．设点P，M，N分别在函数y=2x+2，y=，y=x+3的图象上，且=2，则点P横坐标的取值范围为．二、解答题：（满分90分，作答请写出必要的解答过程）15．已知f（x）=sinx+acosx，（1）若a=，求f（x）的最大值及对应的x的值．（2）若f（）=0，f（x）=（0＜x＜π），求tanx的值．16．已知三棱锥P﹣ABC中，PA⊥平面ABC，AB⊥BC，D为PB中点，E为PC的中点，（1）求证：BC∥平面ADE；（2）求证：平面AED⊥平面PAB．17．小张于年初支出50万元购买一辆大货车，第一年因缴纳各种费用需支出6万元，从第二年起，每年都比上一年增加支出2万元，假定该车每年的运输收入均为25万元．小张在该车运输累计收入超过总支出后，考虑将大货车作为二手车出售，若该车在第x年年底出售，其销售收入为25﹣x万元（国家规定大货车的报废年限为10年）．（1）大货车运输到第几年年底，该车运输累计收入超过总支出？（2）在第几年年底将大货车出售，能使小张获得的年平均利润最大？（利润=累计收入+销售收入﹣总支出）18．已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）的离心率为，且过点A（1，）．（1）求椭圆C的方程；（2）若点B在椭圆上，点D在y轴上，且=2，求直线AB方程．19．已知数列{a n}满足a1=1，a2=a＞0，数列{b n}满足b n=a n•a n+1（1）若{a n}为等比数列，求{b n}的前n项的和s n；（2）若b n=3n，求数列{a n}的通项公式；（3）若b n=n+2，求证：++…+＞2﹣3．20．已知函数f（x）=e x，g（x）=lnx，（1）求证：f（x）≥x+1；（2）设x0＞1，求证：存在唯一的x0使得g（x）图象在点A（x0，g（x0））处的切线l与y=f（x）图象也相切；（3）求证：对任意给定的正数a，总存在正数x，使得|﹣1|＜a成立．xx学年江苏省淮安市淮阴中学高三（上）9月月考数学试卷参考答案与试题解析一、填空题：（每题5分，共计70分）1．已知A={﹣1，0，2}，B={﹣1，1}，则A∪B= {﹣1，0，1，2} ．考点：并集及其运算．专题：集合．分析：利用并集的性质求解．解答：解：∵A={﹣1，0，2}，B={﹣1，1}，∴A∪B{﹣1，0，1，2}，故答案为：{﹣1，0，1，2}．点评：本题考查并集的求法，是基础题，解题时要认真审题．2．已知复数z=，（i为虚数单位）则复数z的实部为 1 ．考点：复数代数形式的乘除运算．专题：数系的扩充和复数．分析：利用复数的运算法则、实部的定义即可得出．解答：解：∵复数z===i+1．∴复数z的实部为1．故答案为：1．点评：本题考查了复数的运算法则、实部的定义，属于基础题．3．写出命题：“若x=3，则x2﹣2x﹣3=0”的否命题：“若x≠3则x2﹣2x﹣3≠0”．考点：四种命题．专题：简易逻辑．分析：若原命题的形式是“若p，则q”，它的否命题是“若非p，则非q”，然后再通过方程根的有关结论，验证它们的真假即可．解答：解：原命题的形式是“若p，则q”，它的否命题是“若非p，则非q”，∴命题：“若x=3，则x2﹣2x﹣3=0”的否命题是“若x≠3则x2﹣2x﹣3≠0”．故答案为：“若x≠3则x2﹣2x﹣3≠0”．点评：写四种命题时应先分清原命题的题设和结论，在写出原命题的否命题、逆命题、逆否命题，属于基础知识．4．一位篮球运动员在最近的5场比赛中得分的茎叶图如图，则他在这5场比赛中得分的方差是 2 ．考点：茎叶图．专题：概率与统计．分析：先求得数据的平均数，再利用方差计算公式计算．解答：解：==10，∴方差Dx=×（4+1+0+1+4）=2．故答案为：2．点评：本题考查了由茎叶图求数据的方差，熟练掌握方差的计算公式是解题的关键．5．如图所示的流程图，输出的n= 4 ．考点：程序框图．专题：算法和程序框图．分析：由已知中的程序框图可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量n的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．解答：解：当n=1时，S=1，不满足退出循环的条件，故n=2，S=4；当S=4，不满足退出循环的条件，故n=3，S=9；当S=9，不满足退出循环的条件，故n=4，S=16；当S=16，满足退出循环的条件，故输出的n值为4，故答案为：4点评：本题考查的知识点是程序框图，当循环的次数不多，或有规律时，常采用模拟循环的方法解答．6．已知抛物线y2=8x的焦点是双曲线的右焦点，则双曲线的渐近线方程为．考点：双曲线的简单性质．专题：计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：根据抛物线的方程，算出它的焦点为F（2，0），即为双曲线的右焦点，由此建立关于a的等式并解出a值，进而可得此双曲线的渐近线方程．解答：解：∵抛物线方程为y2=8x，∴2p=8，=2，可得抛物线的焦点为F（2，0）．∵抛物线y2=8x的焦点是双曲线的右焦点，∴双曲线的右焦点为（2，0），可得c==2，解得a2=1，因此双曲线的方程为，可得a=1且b=，∴双曲线的渐近线方程为y=x，即．故答案为：点评：本题给出双曲线的右焦点与已知抛物线的焦点相同，求双曲线的渐近线方程．着重考查了抛物线的简单性质、双曲线的标准方程与简单几何性质等知识，属于基础题．7．若实数x，y满足不等式组，则z=x+2y的最大值为 6 ．考点：简单线性规划．专题：计算题；不等式的解法及应用．分析：作出题中不等式组对应的平面区域如图，将直线l：z=x+2y进行平移，并观察它在轴上截距的变化，可得当l经过区域的右上顶点A时，z达到最大值．由此求出A点坐标，不难得到本题的答案．解答：解：作出不等式组对应的平面区域如右图，是位于△ABO及其内部的阴影部分．将直线l：z=x+2y进行平移，可知越向上平移，z的值越大，当l经过区域的右上顶点A时，z达到最大值由解得A（2，2）∴z max=F（2，2）=2+2×2=6故答案为：6点评：本题给出线性约束条件，求目标函数的最大值，着重考查了二元一次不等式组表示的平面区域和简单线性规划等知识点，属于基础题．8．已知圆柱的轴截面是边长为2的正方形，则圆柱的表面积为6π．考点：棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积．专题：计算题；空间位置关系与距离．分析：由圆柱的轴截面是边长为2的正方形可得圆柱底面圆的直径长为2，高为2．解答：解：∵圆柱的轴截面是边长为2的正方形，∴圆柱底面圆的直径长为2，高为2．则圆柱的表面积S=2•π•2+2•π•12=6π．故答案为6π．点评：考查了学生的空间想象力．9．在等差数列{a n}中，S n为其前n项的和，若a3=8，S3=20，则S5= 40 ．考点：等差数列的前n项和．专题：等差数列与等比数列．分析：设出等差数列的首项和公差，由已知列式求出首项和公差，则答案可求．解答：解：设等差数列{a n}的首项为a1，公差为d，由若a3=8，S3=20，得，解得：．∴．故答案为：40．点评：本题考查了等差数列的前n项和，考查了等差数列的通项公式，是基础的计算题．10．将y=sin2x的图象向右平移φ单位（φ＞0），使得平移后的图象仍过点（），则φ的最小值为．考点：由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式；函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．专题：计算题．分析：利用正弦函数的函数值相等，结合三角函数的图象的平移，判断平移的最小值即可．解答：解：因为y=sin2×=sin=，所以函数y=sin2x的图象向右平移单位，得到的图象仍过点（），所以φ的最小值为．故答案为：．点评：本题考查三角函数的值与函数的图象的平移，考查计算能力．11．若直线l：y=x+a被圆（x﹣2）2+y2=1截得的弦长为2，则a= ﹣2 ．考点：直线与圆的位置关系．专题：计算题；直线与圆．分析：由圆的方程，得到圆心与半径，根据直线l：y=x+a被圆（x﹣2）2+y2=1截得的弦长为2，可得直线l：y=x+a过圆心，即可求出a的值．解答：解：∵圆（x﹣2）2+y2=1，∴圆心为：（2，0），半径为：1∵直线l：y=x+a被圆（x﹣2）2+y2=1截得的弦长为2，∴直线l：y=x+a过圆心，∴a=﹣2．故答案为：﹣2．点评：本题主要考查直与圆的位置关系及其方程的应用，是常考题型，属中档题．12．已知函数f（x）=，为奇函数，则不等式f（x）＜4的解集为（﹣∞，4）．考点：其他不等式的解法．专题：函数的性质及应用．分析：根据函数奇偶性的定义，求出a，b，即可得到结论．解答：解：若x＞0，则﹣x＜0，则f（﹣x）=bx2+3x，∵f（x）是奇函数，∴f（﹣x）=﹣f（x），即bx2+3x=﹣x2﹣ax，则b=﹣1，a=﹣3，即f（x）=，若x≥0，则不等式f（x）＜4等价x2﹣3x＜4，即x2﹣3x﹣4＜0，解得﹣1＜x＜4，此时0≤x＜4，若x＜0，不等式f（x）＜4等价﹣x2﹣3x＜4，即x2+3x+4＞0，此时不等式恒成立，综上x＜4．即不等式的解集为（﹣∞，4）．点评：本题主要考查不等式的求解，根据函数奇偶性的性质求出函数的解析式是解决本题的关键．13．在三角形ABC中，已知AB=3，A=120°，△ABC的面积为，则•的值= ．考点：平面向量数量积的运算．专题：解三角形．分析：利用三角形面积公式列出关系式，将c，sinA及已知面积代入求出b的值，再利用余弦定理列出关系式，把b，c，cosA的值代入计算即可求出a的值，然后利用余弦定理求cosB，结合数量积的定义求•的值．解答：解：∵AB=c=3，A=120°，△ABC的面积为，∴S△ABC=bcsinA=b=，即b=5，由余弦定理得：a2=b2+c2﹣2bccosA=25+9+15=49，则BC=a=7．由余弦定理得cosB=•=accosB=7×3×=．点评：此题考查了余弦定理，三角形的面积公式以及向量的数量积的运算，熟练掌握定理及公式是解本题的关键．14．设点P，M，N分别在函数y=2x+2，y=，y=x+3的图象上，且=2，则点P横坐标的取值范围为．．考点：向量数乘的运算及其几何意义．专题：平面向量及应用．分析：如图所示，由=2，可得点P是线段MN的中点．设M（x1，y1），P（x，y），N（x2，y2）．可得，，，（0≤x1≤4），y2=x2+3，y=2x+2．化为2x=﹣1﹣x1（0≤x1≤4）．令f（t）=（0≤t≤4）．利用导数研究其单调性极值与最值，即可得出．解答：解：如图所示，∵=2，∴点P是线段MN的中点．设M（x1，y1），P（x，y），N（x2，y2）．∴，，，（0≤x1≤4），y2=x2+3，y=2x+2．化为2x=﹣1﹣x1（0≤x1≤4）．令f（t）=（0≤t≤4）．f′（t）=﹣1，当2≤t≤4时，f′（t）＜0，函数f（t）单调递减．当0≤t＜2时，f′（t）=0，解得，则当时，函数f（t）单调递增；当时，函数f（t）单调递减．而极大值即最大值=﹣3，又f（0）=﹣1，f（4）=﹣5．∴点P横坐标的取值范围为．故答案为：．点评：本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值、向量的共线、分类讨论思想方法，考查了推理能力和计算能力，属于难题．二、解答题：（满分90分，作答请写出必要的解答过程）15．（14分）（xx秋•泗洪县校级期中）已知f（x）=sinx+acosx，（1）若a=，求f（x）的最大值及对应的x的值．（2）若f（）=0，f（x）=（0＜x＜π），求tanx的值．考点：两角和与差的正弦函数；三角函数线．专题：三角函数的求值；三角函数的图像与性质．分析：（1）a=时，利用两角和的正弦值化简f（x），求出x取何值时f（x）有最大值；（2）由f（）=0求出a的值，再由f（x）=，求出cosx、sinx的值，从而求出tanx的值．解答：解：（1）a=时，f（x）=sinx+cosx=2sin（x+），…（2分）当sin（x+）=1，即x+=+2kπ（k∈Z），∴x=+2kπ（k∈Z）时，f（x）有最大值2；…（6分）（2）∵f（）=sin+acos=+a=0，∴a=﹣1；…（8分）∴f（x）=sinx﹣cosx=，∴，∴，即（cosx+）cosx=；整理得，25cos2x+5cosx﹣12=0，解得，cosx=，或cosx=﹣；当cosx=时，sinx=，当cosx=﹣时，sinx=﹣；又∵x∈（0，π）∴取；∴tanx=．…（14分）点评：本题考查了三角恒等变换的应用问题以及三角函数求值的问题，也考查了一定的计算能力，是较基础题．16．已知三棱锥P﹣ABC中，PA⊥平面ABC，AB⊥BC，D为PB中点，E为PC的中点，（1）求证：BC∥平面ADE；（2）求证：平面AED⊥平面PAB．考点：直线与平面平行的判定；平面与平面垂直的判定．专题：证明题；空间位置关系与距离．分析：（1）由中位线定理和线面平行的判定定理，即可得证；（2）由线面垂直的性质和判定定理，以及通过面面垂直的判定定理，即可得证．解答：（1）证明：∵PE=EC，PD=DB，∴DE∥BC，∵DE⊂平面ADE，BC⊄平面ADE，∴BC∥平面ADE；（2）证明：∵PA⊥平面PAC，BC⊂平面PAC，∴PA⊥CB，∵AB⊥CB，AB∩PA=A，∴BC⊥平面PAB，∵DE∥BC∴DE⊥平面PAB，又∵DE⊂平面ADE，∴平面ADE⊥平面PAB．点评：本题考查线面平行的判定定理和线面垂直的判定和性质，以及面面垂直的判定定理，注意定理的条件的全面，属于基础题．17．小张于年初支出50万元购买一辆大货车，第一年因缴纳各种费用需支出6万元，从第二年起，每年都比上一年增加支出2万元，假定该车每年的运输收入均为25万元．小张在该车运输累计收入超过总支出后，考虑将大货车作为二手车出售，若该车在第x年年底出售，其销售收入为25﹣x万元（国家规定大货车的报废年限为10年）．（1）大货车运输到第几年年底，该车运输累计收入超过总支出？（2）在第几年年底将大货车出售，能使小张获得的年平均利润最大？（利润=累计收入+销售收入﹣总支出）考点：根据实际问题选择函数类型；基本不等式．专题：综合题；函数的性质及应用．分析：（1）求出第x年年底，该车运输累计收入与总支出的差，令其大于0，即可得到结论；（2）利用利润=累计收入+销售收入﹣总支出，可得平均利润，利用基本不等式，可得结论．解答：解：（1）设大货车运输到第x年年底，该车运输累计收入与总支出的差为y万元，则y=25x﹣[6x+x（x﹣1）]﹣50=﹣x2+20x﹣50（0＜x≤10，x∈N）由﹣x2+20x﹣50＞0，可得10﹣5＜x＜10+5∵2＜10﹣5＜3，故从第3年，该车运输累计收入超过总支出；（2）∵利润=累计收入+销售收入﹣总支出，∴二手车出售后，小张的年平均利润为=19﹣（x+）≤19﹣10=9当且仅当x=5时，等号成立∴小张应当在第5年将大货车出售，能使小张获得的年平均利润最大．点评：本题考查函数模型的构建，考查基本不等式的运用，考查学生的计算能力，属于中档题．18．已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）的离心率为，且过点A（1，）．（1）求椭圆C的方程；（2）若点B在椭圆上，点D在y轴上，且=2，求直线AB方程．考点：直线与圆锥曲线的综合问题．专题：圆锥曲线中的最值与范围问题．分析：（1）由已知得，，由此能求出椭圆方程．（2）设B（x0，y0），D（0，m），则，，由此能求出直线方程．解答：解：（1）∵椭圆C：+=1（a＞b＞0）的离心率为，且过点A（1，），∴，∴a=2c，…（2分）∴b2=a2﹣c2=3c2设椭圆方程为：，∴∴椭圆方程为：…（7分）（2）设B（x0，y0），D（0，m），则，，∴﹣x0=2，m﹣y0=3﹣2m，即x0=﹣2，y0=3m﹣3，代入椭圆方程得m=1，∴D（0，1），…（14分）∴．…（16分）点评：本题主要考查椭圆方程的求法，考查直线方程的求法，考查直线与椭圆等知识，同时考查解析几何的基本思想方法和运算求解能力．19．已知数列{a n}满足a1=1，a2=a＞0，数列{b n}满足b n=a n•a n+1（1）若{a n}为等比数列，求{b n}的前n项的和s n；（2）若b n=3n，求数列{a n}的通项公式；（3）若b n=n+2，求证：++…+＞2﹣3．考点：数列与不等式的综合；数列的求和；数列递推式．专题：等差数列与等比数列；不等式的解法及应用．分析：（1）分a=1和a≠1求出等比数列{a n}的通项公式，进一步求得{b n}是等比数列，则其前n项和s n可求；（2）把b n=3n代入b n=a n•a n+1，然后分n为奇数和偶数得到数列{a n}的偶数项和奇数项为等比数列，由等比数列的通项公式得答案；（3）由b n=n+2得到a n a n+1=n+2，进一步得到，代入++…+整理后利用基本不等式证得结论．解答：（1）解：由a1=1，a2=a＞0，若{a n}为等比数列，则，∴．当a=1时，b n=1，则s n=n；当a≠1时，．（2）解：∵3n=a n•a n+1，∴3n﹣1=a n﹣1•a n（n≥2，n∈N），∴．当n=2k+1（k∈N*）时，∴；当n=2k，（k∈N*）时，∴．∴．（3）证明：∵a n a n+1=n+2 ①，∴a n﹣1a n=n+1（n≥2）②，①﹣②得∴=（a3﹣a1）+（a4﹣a2）+…+（a n+1﹣a n﹣1）=a n+a n+1﹣a1﹣a2∴=．∵，∴＞﹣3．点评：本题是数列与不等式综合题，考查了等比关系的确定，考查了首项转化思想方法，训练了放缩法证明数列不等式，是压轴题．20．已知函数f（x）=e x，g（x）=lnx，（1）求证：f（x）≥x+1；（2）设x0＞1，求证：存在唯一的x0使得g（x）图象在点A（x0，g（x0））处的切线l与y=f（x）图象也相切；（3）求证：对任意给定的正数a，总存在正数x，使得|﹣1|＜a成立．考点：利用导数研究曲线上某点切线方程；利用导数求闭区间上函数的最值．分析：（1）构造函数F（x）=e x﹣x﹣1，求函数的导数即可证明f（x）≥x+1；（2）求函数的导数，利用导数的几何意义即可证明存在唯一的x0使得g（x）图象在点A （x0，g（x0））处的切线l与y=f（x）图象也相切；（3）求函数的导数，利用导数和不等式之间的关系即可证明对任意给定的正数a，总存在正数x，使得|﹣1|＜a成立．解答：解：（1）令F（x）=e x﹣x﹣1，x∈R，∵F'（x）=e x﹣1=0得x=0，∴当x＞0时F'（x）＞0，F（x）递增；当x＜0时F'（x）＜0，F（x）递减；∴F（x）min=F（0）=0，由最小值定义得F（x）≥F（x）min=0即e x≥x+1．（2）g（x）在x=x0处切线方程为①设直线l与y=e x图象相切于点，则l：②，由①②得，∴⑤下证x0在（1，+∞）上存在且唯一．令，，∴G（x）在（1，+∞）上递增．又，G（x）图象连续，∴存在唯一x0∈（1，+∞）使⑤式成立，从而由③④可确立x1．故得证．（1）由（1）知即证当a＞0时不等式e x﹣1﹣x＜ax即e x﹣ax﹣x﹣1＜0在（0，+∞）上有解．令H（x）=e x﹣ax﹣x﹣1，即证H（x）min＜0，由H'（x）=e x﹣a﹣1=0得x=ln（a+1）＞0．当0＜x＜ln（a+1）时，H'（x）＜0，H（x）递减，当x＞ln（a+1）时，H'（x）＞0，H（x）递增．∴H（x）min=H（ln（a+1））=a+1﹣aln（a+1）﹣ln（a+1）﹣1．令V（x）=x﹣xlnx﹣1，其中x=a+1＞1则V'（x）=1﹣（1+lnx）=﹣lnx＜0，∴V（x）递减，∴V（x）＜V（1）=0．综上得证．点评：本题主要考查导数的综合应用，综合性较强，运算量较大．25479 6387 掇36279 8DB7 趷h31814 7C46 籆31899 7C9B 粛c>37172 9134 鄴638874 97DA 韚21629 547D 命Q23777 5CE1 峡。
高三9月模块诊断数学试题(解析版)
高三9月模块诊断数学试题数学注意事项：1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。
一、单选题1．设集合，，则A ．B ．C ．D ．2．下列函数中，满足“对任意，当时，都有”的是A ．B ．C ．D ．3．函数的单调递增区间是ABCD4．函数的零点个数为A ． 0B ． 1C ． 2D ． 35．设曲线在点处的切线与直线垂直，则＝A ．B ．C ．D ．6．在△ABC 中，“A ＞30°”是“sinA ＞”的A ． 充分而不必要条件B ． 必要而不充分条件C ． 充分必要条件D ． 既不充分也不必要条件7．已知下列不等式①②③④⑤中恒成立的是A ． 1个B ． 2个C ． 3个D ． 4个 8．，则A ． 1-aB ．C ． a-1D ． -a9．如果方程lg2x+(lg5+lg7)lgx+lg5·lg7=0的两根是α、β，则α·β的值是 A ． lg5·lg7 B ． lg35 C ． 35 D ．10．已知函数f(x)=log 2(x+1)且a>b>c>0, 则,,的大小关系是A ．>> B ．>>C ．>> D ．>>11．已知函数，当时，取得最小值，则函数的图象为12．已知定义在R 上的函数满足且在上是增函数，不等式对任意恒成立，则实数的取值范围是 A ．B ．C ．D ．二、填空题此卷只装订不密封班级 姓名 准考证号 考场号 座位号13．函数，的单调递减区间为__________．14．设是定义在上的奇函数，且当时，，若对任意，不等式恒成立，则实数的取值范围是．15．定义在上的函数的图像关于对称，且当时，（其中是的导函数），若，则的大小关系是________．16．已知函数的定义域为，部分对应值如下表.的导函数的图象如图所示.下列关于函数的命题：①函数是周期函数；②函数在上是减函数；③如果当时的最大值是2，那么的最大值为4；④当时，函数有4个零点.其中真命题的序号是_______.三、解答题17．（1）已知,求值;（2）若，求值.18．在中，角的对边分别为且.(1)求;(2)若，求的面积.19．已知函数f(x)在(－1，1)上有定义，当且仅当0<x<1时f(x)<0,且对任意x、y∈(－1,1)都有f(x)+f(y)=f(),试证明(1)f(x)为奇函数；(2)f(x)在(－1，1)上单调递减20．已知函数(1)若的定义域为(－,+)，求实数的取值范围；(2)若的值域为(－,+)，求实数的取值范围21．已知函数(其中)．若为的极值点，解不等式．22．设，函数.（1）当时,求曲线在处的切线方程;（2）当时,求函数的最小值.高三9月模块诊断数学试题数学答案参考答案1．B【解析】【分析】先根据不等式的性质，化简集合A、B，再根据交集的定义求出A∩B．【详解】∵A={x|x2-4＞0}={x|x＞2或x＜-2}={x|x＜-2}∴A∩B={x|x＜-2}故选：B．【点睛】本题考查二次不等式的解法、指数不等式的解法及两个交集的求法：借助数轴．2．C【解析】依题意，函数为上的减函数，在选项中只有选项是符合题意的.3．A【解析】【分析】由二次函数的性质和复合函数的单调性及函数的定义域可得结论．【详解】由题可得x2-3x+2＞0，解得x＜1或x＞2，由二次函数的性质和复合函数的单调性可得函数的单调递增区间为：（-∞，1）故选：A．【点睛】本题考查对数函数的单调性和复合函数的单调性，属基础题．4．D【解析】【分析】根据题目条件：“函数的零点个数”转化为方程lnx=x2-2x的根的个数问题及一次函数2x+1=0的根的个数问题，分别画出方程lnx=x2-2x左右两式表示的函数图象即得．【详解】∵对于函数f（x）=lnx-x2+2x的零点个数∴转化为方程lnx=x2-2x的根的个数问题，分别画出左右两式表示的函数：如图．由图象可得两个函数有两个交点．又一次函数2x+1=0的根的个数是：1．故函数的零点个数为3故选：D．【点睛】本题考查函数的零点个数的藕断．在判断方程是否有解、解的个数及一次方程根的分布问题时，我们往往构造函数，利用函数的图象解题．体现了数形结合的数学思想．5．A【解析】试题分析：因为，所以，在点处的切线斜率，直线的斜率，与直线垂直的斜率，所以，解得．考点：导数的几何意义．6．B【解析】【分析】解题时注意三角形内角和是180度，不要丢掉这个大前提．【详解】：∵在△ABC中，∠A+∠B+∠C=180°∵A＞30°∴30°＜A＜180°∴0＜sin A＜1∴可判读它是sinA ＞的必要而不充分条件故选：B．【点睛】此题要注意思维的全面性，不能因为细节大意失分．7．C【解析】【分析】①取a=-1，b=-2，即可判断出；②考察指数函数y=2x在R上单调性，即可判断出；③取a=1，b=-2，即可判断出；④考察幂函数在R上单调递增，即可判断出；⑤考察指数函数在R上单调性，即可判断出．【详解】①取a=-1，b=-2，虽然满足-1＞-2，但是（-1）2＞（-2）2不成立，因此a2＞b2不正确；②考察指数函数y=2x在R上单调递增，∵a＞b，∴2a＞2b，因此正确；③取a=1，b=-2，虽然满足1＞-2，但是不成立，因此不正确④考察幂函数在R上单调递增，∵a＞b ，∴正确；⑤考察指数函数在R上单调递减，∵a＞b ，∴，正确，故选：C．【点睛】本题考查了指数函数、幂函数的单调性、不等式的性质，属于基础题．8．A【解析】本题考查对数的运算.代数式的变形和运算.又，所以.故选A9．D【解析】lg2x+(lg5+lg7)lgx+lg5·lg7=0,选D.10．B【解析】【分析】把,,分别看作函数f（x）=log2（x+1）图象上的点（a，f（a）），（b，f（b）），（c，f（b））与原点连线的斜率，对照图象可得答案．【详解】由题意可得，,,分别看作函数f（x）=log2（x+1）图象上的点（a，f（a）），（b，f（b）），（c，f（b））与原点连线的斜率，结合图象可知当a＞b＞c＞0时，>>．故选：B．【点睛】本题考查了对数函数的图象，数形结合判断函数单调性的方法，利用单调性比较大小，转化化归的思想方法．11．B【解析】试题分析：因为，所以，则（当且仅当，即时取等号），即，即，则在上单调递减，在上单调递增，当时，取得最大值1；故选B．考点：1.基本不等式；2.函数的图象与性质．12．B【解析】【分析】根据函数的对称性判断函数的单调性，采取排除法，由四个选项的特征代入特值求解【详解】，则函数关于对称函数在上是增函数函数在是减函数，即在上是减函数当时，不等式变为，根据函数的图象特征可得出：，解得或，满足不等式对任意恒成立，由此排除两个选项当时，不等式变为，根据函数的图象特征可得出：，解得，不满足不等式对任意恒成立，由此排除综上所述，选项是正确的故选【点睛】本题主要考查了抽象函数的性质探究方法与应用，解答本题直接求解较为复杂，采取排除法来求解，由四个选项中的特征找出切入点，通过验证特殊值来排除错误答案。
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且函数 在 上为增函数，由 ，可得 ，
，即 ，解得 .
因此，不等式 的解集为 .
故选：A.
【点睛】
6．股票价格上涨10%称为“涨停”，下跌10%称为“跌停”．某位股民购进某只股票，在接下来的交易时间内，这只股票先经历了3次跌停，又经历了3次涨停，则该股民在这只股票上的盈亏情况（不考虑其他费用）为（）
A．略有盈利B．略有亏损
C．没有盈利也没有亏损D．无法判断盈亏情况
7．已知 ， 是圆 上的点，点 在双曲线 的右支上，则 的最小值为（）
4．D
【分析】
由向量的坐标运算法则计算出 ，再判断 与 的关系.
【详解】
，所以向量 芳与 平行且反向.
故选：D.
【点睛】
本题考查平面向量的坐标运算及向量垂直、共线的判断，属于简单题.
5．A
【分析】
利用函数 为偶函数将所求不等式变形为 ，利用该函数在区间 上的单调性可得出 ，解此不等式即可得解.
【详解】
（1）求这300名同学作文得分的平均数和中位数；
（2）由于去年的成功举办，今年吸引了更多的参赛者，累计达1000人，为提高评选效率和公平性，结合去年的得分情况，组委会将在校外邀请评委老师进行评分，其评分规则为：评分分两个阶段，第一阶段，每篇作文由3个评委老师依次来打分，但是一旦出现有2个评分没有达到76分，则该作文停止评审且淘汰；若3个评分都达到76分，则将三个分数的平均值作为该作文的最终得分，该作文停止评审；若3个评分中恰有1个评分没有达到76分，则该作文进入下一阶段评分，由另外指定的2个评委老师依次打分，一旦出现有1个评分没有达到76分，则该作文也停止评审且淘汰；若2个老师的评分都达到76分，则将四个达标分数的平均值作为该作文的最终得分．最后，组委会将按照最终得分的高低来评奖．己知每位老师对每篇作文的打分是相互独立的，使用了相同的评分方法和评分标准（以频率作为概率）．若每篇作文批改一次的费用为1元，学校预计拨款3000元给大赛组委会用于此次比赛的批改费用，试判断这1000篇作文的批改费用是否会超过预算？通过计算说明．
22．已知函数 的图象在 处的切线方程为： ．
（1）求 和 的值；
（2）求证： ．
参考答案
1．A
【分析】
根据集合的运算法则运算即可.
【详解】
因为全集 ， ， ，
所以 ， ，
则 .
故选：A.
【点睛】
本题考查集合的交集、补集运算，属于简单题.
2．B
【分析】
先由复数的除法运算，化简 ，再由纯虚数的概念，即可得出结果.
C． D．
12．在 中，角 、 、 的对边分别为 、 、 ， ，则（）
A． B．
C． D． 可能为锐角三角形
三、填空题
13． 展开式的常数项为______．
14．已知等比数列 的前 项和为 ，且 ， ，则 ______．
15．已知 是抛物线 的焦点， ， 是抛物线上两点， 在第一象限， 在第四象限，满足 ，则直线 的斜率为______．
【详解】
因为 ，
又 为纯虚数，所以 ，即 .
故选：B．
【点睛】
本题主要考查由复数类型求参数，考查复数的运算，属于基础题型.
3．D
【分析】
根据三角函数的伸缩变换原则，可直接得出结果.
【详解】
函数 图象上的点的横坐标变为原来的2倍，纵坐标保持不变，
所得函数图像的解析式为 .
故选：D．
【点睛】
本题主要考查求三角函数图像变换后的解析式，属于基础题型.
卓越联盟2020-2021学年新高考省份高三年级9月份检测数学试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．若全集 ， ， ，则 （）
A． B． C． D．
2．已知 为虚数单位，若 为纯虚数，则实数 的值为（）
A．2B． C． D．
（1）求 的解析式；
（2）在 中，角 、 、 的对边分别为 、 、 ， ， ， ，求 的值．
19．如图（1）所示，在直角梯形 中， ， ， ， ， 为 的中点，连接 ，将三角形 沿着 翻折成图（2）所示的四棱锥 ，使得 ．
（1）（2）
（1）证明：平面 平面 ．
（2）求二面角 的余弦值．
20．已知椭圆 ： 的离心率为 ， 是椭圆 的上顶点， 是其的左焦点， 的周长为 ， 是坐标原点．
3．将函数 图象上的点的横坐标变为原来的2倍，纵坐标保持不变，则所得函数图象的解析式为（）
A． B．
C． D．
4．已知点 ， ，向量 ，则向量 与 （）
A．垂直B．不垂直也不平行
C．平行且同向D．平行且反向
5．若 是偶函数且在 上为增函数，又 ，则不等式 的解集为（）
A． B． 或
C． 或 D． 或
（1）求椭圆 的方程；
（2）过椭圆左焦点 的直线与椭圆交于 、 两点（ 、 都位于 轴的左侧），过 、 作 轴的垂线，垂足分别是 、 ，求四边形 面积的最大值．
21．某中学为提高学生的文学素养，从2019年开始每年举办一场作文大赛，为将2020年的比赛举办得更成功，该校作文大赛组委会从去年600名参赛同学中随机调查了300名，他们的得分均在 （单位：分）内，得到如图所示的频率分布直方图．
A．9B． C．8D5个候选节目中选出4个节目参加“艺术节”的汇演，其中第一出场节目不能是“舞蹈”，也不能是“相声”，则不同的演出方案种数是（）
A．48B．72C．96D．108
二、多选题
9．已知 ， ， 是空间不同的三个平面，则正确的命题是（）
A． ， B． ，
C． ， D． ，
10．已知 与 之间的四组数据如下表：
2
3
4
5
1.5
3.5
上表数据中 的平均值为2.5，若某同学对 赋了两个值，分别为2，2.5，得到两条回归直线方程分别为 ， ，对应的相关系数分别为 ， ，则（）
A．变量 与 呈正相关B．两条回归直线的交点为
C． D．
11．若 ，则（）
A． B．
16．函数 的最小值为______．
四、解答题
17．已知数列 是首项为1，公比为2的等比数列，其前 项和为 ，是否存在正项数列 ， ，满足 ，且当 时，有______？
请在① ，② ，③ ，这三个条件中任选一个，补充在上面的横线中，若数列 存在，求出其通项公式；若不存在，请说明理由．
18．已知函数 的部分图象如图所示．