《复变函数与积分变换》期末考试试卷A及答案

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复变函数与积分变换期末考试试卷A及答案

复变函数与积分变换期末试题（A ）答案及评分标准复变函数与积分变换期末试题（A ）一．填空题（每小题3分，共计15分）1．231i -的幅角是（Λ2,1,0,23±±=+-k k ππ）；2.)1(i Ln +-的主值是（i 432ln 21π+ ）；3. 211)(z z f +=，=)0()5(f（ 0 ）；4．0=z 是 4sin z z z -的（一级）极点；5． z z f 1)(=，=∞]),([Re z f s （-1）；二．选择题（每小题3分，共计15分）1．解析函数),(),()(y x iv y x u z f +=的导函数为（ B ）；（A ） y x iu u z f +=')(；（B ）y x iu u z f -=')(；（C ）y x iv u z f +=')(；（D ）x y iv u z f +=')(.2．C 是正向圆周3=z ，如果函数=)(z f （ D ），则0d )(=⎰Cz z f ．（A ）23-z ；（B ）2)1(3--z z ；（C ）2)2()1(3--z z ；（D ）2)2(3-z .3．如果级数∑∞=1n nnz c 在2=z 点收敛，则级数在（ C ）（A ）2-=z 点条件收敛；（B ）i z 2=点绝对收敛；（C ）i z+=1点绝对收敛；（D ）i z 21+=点一定发散．４．下列结论正确的是( B )（A ）如果函数)(z f 在0z 点可导，则)(z f 在0z 点一定解析；(B) 如果)(z f 在C 所围成的区域内解析，则0)(=⎰Cdz z f（C ）如果0)(=⎰Cdz z f ，则函数)(z f 在C 所围成的区域内一定解析；（D ）函数),(),()(y x iv y x u z f +=在区域内解析的充分必要条件是),(y x u 、),(y x v 在该区域内均为调和函数．5．下列结论不正确的是（ D ）．(A) 的可去奇点；为z1sin ∞ (B) 的本性奇点；为z sin ∞(C) ;1sin 1的孤立奇点为z∞ (D) .sin 1的孤立奇点为z ∞ 三．按要求完成下列各题（每小题10分，共计40分）（1）设)()(2222y dxy cx i by axy x z f +++++=是解析函数，求.,,,d c b a（2）．计算⎰-Czz z z e d )1(2其中C 是正向圆周：2=z ；（3）计算⎰=++3342215d )2()1(z z z z z（4）函数3232)(sin )3()2)(1()(z z z z z z f π-+-=在扩充复平面上有什么类型的奇点，如果有极点，请指出它的级. 四、（本题14分）将函数)1(1)(2-=z z z f 在以下区域内展开成罗朗级数；（1）110<-<z ，（2）10<<z ，（3）∞<<z 1五．（本题10分）用Laplace 变换求解常微分方程定解问题⎩⎨⎧='==+'-''-1)0()0()(4)(5)(y y e x y x y x y x六、（本题6分）求)()(0>=-ββtet f 的傅立叶变换，并由此证明：te d t ββπωωβω-+∞=+⎰2022cos三．按要求完成下列各题（每小题10分，共40分）（1）．设)()(2222y dxy cx i by axy x z f +++++=是解析函数，求.,,,d c b a解：因为)(z f 解析，由C-R 条件y v x u ∂∂=∂∂ xvy u ∂∂-=∂∂ y dx ay x 22+=+,22dy cx by ax --=+,2,2==d a ，,2,2d b c a -=-=,1,1-=-=b c给出C-R 条件6分，正确求导给2分，结果正确2分。

复变函数与积分变换期末试题(附有答案解析)

复变函数与积分变换期末试题一．填空题（每小题3分，共计15分）1．231i -的幅角是；2.)1(i Ln +-的主值是（）；3.211)(z z f +=，=)0()5(f（ 0 ），4．0=z 是4sin z z z -的（一级）极点；5． zz f 1)(=，=∞]),([Re z f s （-1 ）；二．选择题（每题3分，共15分）1．解析函数),(),()(y x iv y x u z f +=的导函数为（）；（A ）y x iu u z f +=')(；（B ）y x iu u z f -=')(；（C ）y x iv u z f +=')(；（D ）x y iv u z f +=')(.2．C 是正向圆周3=z ，如果函数=)(z f （），则0d )(=⎰Cz z f ．（A ）23-z ；（B ）2)1(3--z z ；（C ）2)2()1(3--z z ；3．如果级数∑∞=1n nnz c在2=z 点收敛，则级数在（A ）2-=z点条件收敛；（B ）i z 2=点绝对收敛；（C ）i z +=1点绝对收敛；（D ）i z 21+=点一定发散．４．下列结论正确的是( )（A ）如果函数)(z f 在0z 点可导，则)(z f 在0z 点一定解析；（C ）如果0)(=⎰Cdz z f ，则函数)(z f 在C 所围成的区域内一定解析；（D ）函数),(),()(y x iv y x u z f +=在区域内解析的充分必要条件是),(y x u 、),(y x v 在该区域内均为调和函数．5．下列结论不正确的是（）．(A) 的可去奇点；为z1sin ∞(B) 的本性奇点；为z sin ∞(C) 1sin 1的孤立奇点为z∞三．按要求完成下列各题（每小题10分，共40分）（1）．设)()(2222y dxy cx i by axy x z f +++++=是解析函数，求.,,,d c b a解：因为)(z f 解析，由C-R 条件y v x u ∂∂=∂∂ xv y u ∂∂-=∂∂ y dx ay x 22+=+,22dy cx by ax --=+,2,2==d a ，,2,2d b c a -=-=,1,1-=-=b c给出C-R 条件6分，正确求导给2分，结果正确2分。

复变函数与积分变换2014-2015_1_A_参考答案

+
4
，求其
Laplace
逆变换
L−1
[
F
(s)]。
解：由，因此 F
(s)
=
(s
(s +1) + 2 +1)[(s +1)2 +
3]
2
L−1
[
F
(
s)]
=
e−t
⋅
L−1
s s(s
+2 2 + 3)
=
e−t
⋅
L−1
2 3
⋅
1 s
+
1 3
s2
3 +
3
−
2⋅ 3
s2
s +
3
= e−t [2 + 3 sin( 3t) − 2 cos( 3t)] 3
=
z −2 1⋅1−
1
1 z −1
=
∞
2
n=0
(z −1)−n−1
=
−1
2 (z −1)n
n=−∞
因此，。 ∑ f
(z)
=
z
1 −1
+
−2
2
n=−∞
(
z
−1)n
六、〖12 分〗利用 Laplace 变换求解微分初值问题：
。
y′′′ + y′′(0)
6 y′′ + 12 y′ + 8y = t = y′(0) = 0, y(0) = 1
点，记。于是，。因此，实 z0 = 2
R = min{ z1 − z0 , z2 − z0 , zy − z0 | y >1} = 5

《复变函数与积分变换》期末考试试卷及答案

得分得分«复变函数与积分变换»期末试题（A ）正文：一．填空题（每小题3分，共计15分）1．231i -的幅角是（）；2.)1(i Ln +-的主值是（）；3. 211)(zz f +=，=)0()5(f （）； 4．0=z 是 4sin z z z -的（）极点；5． z z f 1)(=，=∞]),([Re z f s （）；二．选择题（每小题3分，共计15分）1．解析函数),(),()(y x iv y x u z f +=的导函数为（）；（A ）y x iu u z f +=')(；（B ）y x iu u z f -=')(；（C ）y x iv u z f +=')(；（D ）x y iv u z f +=')(.2．C 是正向圆周3=z ，如果函数=)(z f （），则0d )(=⎰C z z f ．（A ） 23-z ；（B ）2)1(3--z z ；（C ）2)2()1(3--z z ；（D ）2)2(3-z . 3．如果级数∑∞=1n n nz c 在2=z 点收敛，则级数在（A ）2-=z点条件收敛；（B ）i z 2=点绝对收敛；（C ）i z +=1点绝对收敛；（D ）i z 21+=点一定发散．４．下列结论正确的是( )（A ）如果函数)(z f 在0z 点可导，则)(z f 在0z 点一定解析；(B) 如果)(z f 在C 所围成的区域内解析，则0)(=⎰C dz z f （C ）如果0)(=⎰C dz z f ，则函数)(z f 在C 所围成的区域内一定解析；（D ）函数),(),()(y x iv y x u z f +=在区域内解析的充分必要条件是),(y x u 、),(y x v 在该区域内均为调和函数．5．下列结论不正确的是（）． (A) 的可去奇点；为z1sin ∞(B) 的本性奇点；为z sin ∞ (C) ;1sin 1的孤立奇点为z∞(D) .sin 1的孤立奇点为z ∞ 三．按要求完成下列各题（每小题10分，共计40分）（1）设)()(2222y dxy cx i by axy x z f +++++=是解析函数，求.,,,d c b a（2）．计算⎰-C z z z z e d )1(2其中C 是正向圆周：2=z ；得分（3）计算⎰=++3342215d )2()1(z z z z z（4）函数323 2)(sin)3 ()2)(1()(z zzzzzfπ-+-=在扩充复平面上有什么类型的奇点？，如果有极点，请指出它的级.四、（本题14分）将函数)1(1)(2-=z z z f 在以下区域内展开成罗朗级数；（1）110<-<z ，（2）10<<z ，（3）∞<<z 1五．（本题10分）用Laplace 变换求解常微分方程定解问题 ⎩⎨⎧='==+'-''-1)0()0()(4)(5)(y y e x y x y x y x得分得分六、（本题6分）求)()(0>=-ββt e t f 的傅立叶变换，并由此证明：t e d t ββπωωβω-+∞=+⎰2022cos«复变函数与积分变换»期末试题（A ）答案及评分标准一．填空题（每小题3分，共计15分）得分1．231i -的幅角是（ 2,1,0,23±±=+-k k ππ）；2.)1(i Ln +-的主值是（ i 432ln 21π+ ）；3. 211)(z z f +=，=)0()5(f （ 0 ），4．0=z 是4sin z z z -的（一级）极点；5． zz f 1)(=，=∞]),([Re z f s （-1 ）；二．选择题（每题3分，共15分）1----5 B D C B D三．按要求完成下列各题（每小题10分，共40分）（1）．设)()(2222y dxy cx i by axy x z f +++++=是解析函数，求.,,,d c b a解：因为)(z f 解析，由C-R 条件y v x u ∂∂=∂∂ xv y u ∂∂-=∂∂ y dx ay x 22+=+,22dy cx by ax --=+,2,2==d a ，,2,2d b c a -=-=,1,1-=-=b c给出C-R 条件6分，正确求导给2分，结果正确2分。

复变函数与积分变换期末考试试卷及答案

一、单项选择题(本大题共15小题，每小题2分，共30分) 1．下列复数中，位于第三象限的复数是（）A. 12i +B. 12i --C. 12i -D. 12i -+ 2．下列等式中，不成立的等式是（）4.34arctan3A i π-+-的主辐角为 .arg(3)arg()B i i -=-2.rg(34)2arg(34)C a i i -+=-+2.||D z z z ⋅=3．下列命题中，正确．．的是（） A. 1z >表示圆的内部B. Re()0z >表示上半平面C. 0arg 4z π<<表示角形区域D. Im()0z <表示上半平面4．关于0limz zz zω→=+下列命题正确的是（） A.0ω=B. ω不存在C.1ω=-D.1ω=5．下列函数中，在整个复平面上解析的函数是（）.z A z e +2sin .1z B z + .tan z C z e + .sin zD z e +6．在复平面上，下列命题中，正确．．的是（）A. cos z 是有界函数B. 22Lnz Lnz =.cos sin iz C e z i z =+.||D z =7．在下列复数中，使得ze i =成立的是（）.ln 223iA z i ππ=++.ln 423iB z i ππ=++.ln 226C z i ππ=++.ln 426D z i ππ=++8．已知31z i =+，则下列正确的是（）12.iA z e π=34.i B z π=712.i C z eπ=3.iD z π=9．积分||342z dz z =-⎰的值为（）A. 8i πB.2C. 2i πD. 4i π10．设C 为正向圆周||4z =, 则10()zC e dz z i π-⎰等于（） A.110!B.210!iπ C.29!iπ D.29!iπ- 11．以下关于级数的命题不正确的是（）A.级数0327nn i ∞=+⎛⎫⎪⎝⎭∑是绝对收敛的B.级数212(1)n n in n ∞=⎛⎫+ ⎪-⎝⎭∑是收敛的 C. 在收敛圆内，幂级数绝对收敛D.在收敛圆周上，条件收敛12．0=z 是函数(1cos )ze z z -的（）A. 可去奇点B.一级极点C.二级极点D. 三级极点13．1(2)z z -在点 z =∞ 处的留数为（）A. 0.1B C.12D. 12-14．设C 为正向圆周1||=z , 则积分 sin z c e dzz⎰等于（）A ．2πB ．2πiC ．0D ．－2π15．已知()[()]F f t ω=F ，则下列命题正确的是（） A. 2[(2)]()j f t eF ωω-=⋅FB. 21()[(2)]j ef t F ωω-⋅=+FC. [(2)]2(2)f t F ω=FD. 2[()](2)jte f t F ω⋅=-F二、填空题（本大题共5小题，每小题2分，共10分） 16. 设121,1z i z =-=，求12z z ⎛⎫=⎪⎝⎭____________. 17. 已知22()()()f z bx y x i axy y =++++在复平面上可导，则a b +=_________. 18. 设函数)(z f =cos zt tdt ⎰，则)(z f 等于____________.19. 幂极数n n2n 1(2)z n ∞=-∑的收敛半径为_______. 20. 设3z ω=，则映射在01z i =+处的旋转角为____________，伸缩率为____________.20. 设函数2()sin f t t t =，则()f t 的拉氏变换等于____________.三、计算题（本大题共4小题，每题7分，共28分） 21．设C 为从原点到3－4i 的直线段，计算积分[()2]CI x y xyi dz =-+⎰22. 设2()cos ze f z z z i=+-. (1)求)(z f 的解析区域，（2）求).(z f '24．已知22(,)4u x y x y x =-+，求一解析函数()(,)(,)f z u x y iv x y =+，并使(0)3f = 23. 将函数1()(1)(2)f z z z =--在点0=z 处展开为洛朗级数.25. 计算2||3(1)()(4)z dzz z i z =++-⎰.四、综合题（共4小题，每题8分，共32分） 25. 计算201.54cos d πθθ-⎰26. 求分式线性映射()f z ω=，使上半平面映射为单位圆内部并满足条件(2)0f i =，arg (0)1f =.27. 求函数2,10(),010,t f t t t --<≤⎧⎪=<≤⎨⎪⎩其它的傅氏变换。

云南师范大学《复变函数与积分变换》期末试卷-A卷及答案

云南师范大学2007 --2008 学年下学期统一考试__复变函数与积分变换__试卷学院物电班级__06 __专业电子类学号__ __姓名__ ___考试方式：闭卷考试时间：120 分钟试卷编号：A 卷题号一二三四总分评卷人得分评卷人一．单项选择题（本大题共5题，每题2分，共10分）请在每小题的括号中填上正确的答案。

选项中只有一个答案是正确的，多选或不选均不得分1.设y e y x V ax sin ),(=是调和函数，则常数=a （）A.0B.1C.2D.32.设i iz z z f 48)(3++=，则=-'),1(i f （）A.-2iB.2iC.-2D.23.设C 为正向圆周0)(a >=-a a z ，则积分⎰-C a z dz 22=（） A.ai2π- B. a i π- C. a i 2π D. ai π 4.设C 为正向圆周|z-1|=1，则⎰=-C dz z z 53)1(（） A.0B.πiC.2πiD.6πi 5.f(z)=211z +在z=1处的泰勒展开式的收敛半径为（） A.23 B.1C.2D.3 得分评卷人二、填空题（本大题共10个题，每题3分，共30分）请在每小题的空格中填上正确的答案。

填错、不填均无分。

1、FT 解决的问题主要是： _____ ______.2、傅立叶级数中系数n a 、n b 和n c 之间的关系为__________________________.3、)(t f 的傅立叶积分公式为：____ ________.4、)(t f 的傅立叶变换为__ _____________.5、幂级数50n n nz +∞=∑的收敛半径为________________.6、函数21()1f z z =+的幂级数展开式为______________________________. 7、积分==⎰∞∞-ωπωd e t f t i 21)( . 8、.=)(at δ ____ ___________。

《复变函数与积分变换》期末考试试卷含答案

一．填空题（每小题3分，共计15分）1．231i -的幅角是（ 2,1,0,23±±=+-k k ππ）； 2.)1(i Ln +-的主值是（ i 432ln 21π+ ）； 3. 211)(z z f +=，=)0()5(f （ 0 ）， 4．0=z 是 4sin zzz -的（一级）极点； 5．zz f 1)(=，=∞]),([Re z f s （-1 ）；二．选择题（每题4分，共24分） 1．解析函数),(),()(y x iv y x u z f +=的导函数为（B ）；（A ） y x iu u z f +=')(；（B ）y x iu u z f -=')(；（C ）y x iv u z f +=')(；（D ）x y iv u z f +=')(.2．C 是正向圆周3=z ，如果函数=)(z f （ D ），则0d )(=⎰Cz z f ．（A ）23-z ；（B ）2)1(3--z z ；（C ）2)2()1(3--z z ；（D ）2)2(3-z .3．如果级数∑∞=1n n nz c 在2=z 点收敛，则级数在（C ）（A ）2-=z 点条件收敛；（B ）i z 2=点绝对收敛；（C ）i z +=1点绝对收敛；（D ）i z 21+=点一定发散．４．下列结论正确的是( B )（A ）如果函数)(z f 在0z 点可导，则)(z f 在0z 点一定解析；(B) 如果)(z f 在C 所围成的区域内解析，则0)(=⎰Cdz z f（C ）如果0)(=⎰Cdz z f ，则函数)(z f 在C 所围成的区域内一定解析；（D ）函数),(),()(y x iv y x u z f +=在区域内解析的充分必要条件是),(y x u 、),(y x v在该区域内均为调和函数．5．下列结论不正确的是（ D ）．的可去奇点；为、z A 1sin )(∞的本性奇点；为、z B sin )(∞.sin )(的孤立奇点为、z C 11∞的孤立奇点；为、z D sin )(1∞ 三．按要求完成下列各题（每小题10分，共40分）（1）．设)()(2222y dxy cx i by axy x z f +++++=是解析函数，求.,,,d c b a解：因为)(z f 解析，由C-R 条件y v x u ∂∂=∂∂ xvy u ∂∂-=∂∂ y dx ay x 22+=+,22dy cx by ax --=+,2,2==d a ，,2,2d b c a -=-=,1,1-=-=b c给出C-R 条件6分，正确求导给2分，结果正确2分。

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和函数． 5．下列结论不正确的是（ D ）． (A) (B) (C) (D)
三．按要求完成下列各题（每小题10分，共计40分）
（1）设是解析函数，求（2）．计算其中C是正向圆周：；（3）计算（4）函数在扩充复平面上有什么类型的奇点？，如果有极点，请指出它的级. 四、（本题14分）将函数在以下区域内展开成罗朗级数；
六、（6分）求的傅立叶变换，并由此证明：解： --------3分
------4分 - -------5分， -------6分
«复变函数与积分变换»期末试题（B)
1．填空题（每小题3分，共计15分）
2． 1．的幅角是（
）；2.的主值是（
）；3. =（），在复平面内处处解析．4．是
的（
）极点；5．，（
（1），（2），（3）五．（本题10分）用Laplace变换求解常微分方程定解问题
六、（本题8分）求的傅立叶变换，并由此证明：
«复变函数与积分变换»期末试题简答及评分标准（B）一．填空题（每小题3分，共计15分）
1．的幅角是（）；2.的主值是（，（ 0 ）；5．，（ 0 ）；
）；3. ，（ 0 ）；4．
）．
（A）、是复平面上的多值函数；是无界函数；
是复平面上的有界函数；（D）、是周期函数．
三．按要求完成下列各题（每小题8分，共计50分）
得分
（1）设是解析函数，且，求．（2）．计算．其中C是正向圆周；（3）．计算，其中C是正向圆周；（4）．利用留数计算．其中C是正向圆周；（5）函数在扩充复平面上有什么类型的奇点？，如果有极点，请指出它的级. 四、（本题12分）将函数在以下区域内展开成罗朗级数；
二．选择题（每小题3分，共计15分）
1----5 A A C C C
三．按要求完成下列各题（每小题10分，共计40分）
（1）求使是解析函数，解：因为解析，由C-R条件
，给出C-R条件6分，正确求导给2分，结果正确2分。（2）．．其中C是正向圆周；解：本题可以用柯西公式\柯西高阶导数公式计算也可用留数计算洛朗展开计算，仅给出用前者计算过程因为函数在复平面内只有两个奇点，分别以为圆心画互不相交互不包含的小圆且位于c内（3）．计算，其中C是正向圆周；解：设在有限复平面内所有奇点均在：内，由留数定理
)
（A）如果函数在点可导，则在点一定解析；
(B) 如果,其中C复平面内正向封闭曲线, 则在C所围成的区域内一
定解析；
（C）函数在点解析的充分必要条件是它在该点的邻域内一定可以
展开成为的幂级数，而且展开式是唯一的；
（D）函数在区域内解析的充分必要条件是、在该区域内均为调和函
数．
5．下列结论不正确的是（
-----（5分）
（4）函数在扩充复平面上有什么类型的奇点？，如果有极点，请指出它的级.
给出全部奇点给5分。其他酌情给分。四、（本题14分）将函数在以下区域内展开成罗朗级数；
（1），（2），（3）
（1），（2），（3）解：（1）当
而 --------6分
（2）当
= -----10分
（3）当
--------14分
2．C是正向圆周，如果函数（ D ），则．（A）；（B）；（C）；（D）.
3．如果级数在点收敛，则级数在（ C ）（A）点条件收敛；（B）点绝对收敛；（C）点绝对收敛；（D）点一定发散．
４．下列结论正确的是( B ) （A）如果函数在点可导，则在点一定解析； (B) 如果在C所围成的区域内解析，则（C）如果，则函数在C所围成的区域内一定解析；（D）函数在区域内解析的充分必要条件是、在该区域内均为调
）；
二．选择题（每小题3分，共计15分）
1．解析函数的导函数为（）；
（A）；（B）；
（C）；（D）. 2．C是正向圆周，如果函数（），则．
（A）；（B）；（C）；（D）.
3．如果级数在点收敛，则级数在
（A）点条件收敛；（B）点绝对收敛；
（C）点绝对收敛；（D）点一定发散．
４．下列结论正确的是(
无论采用那种方法给出公式至少给一半分，其他酌情给分。
（3）．解：设在有限复平面内所有奇点均在：内，由留数定理
-----（5分） ----（8分）
--------（10分）（4）函数在扩充复平面上有什么类型的奇点？，如果有极点，请指出它的级. 解：（1）（2）（3）（4）（5）备注：给出全部奇点给5分，其他酌情给分。四、（本题14分）将函数在以下区域内展开成罗朗级数；
五．（本题10分）用Laplace变换求解常微分方程定解问题解：对的Laplace变换记做，依据Laplace变换性质有
…（5分）整理得
…（7分） …（10分）
六、（本题6分）求的傅立叶变换，并由此证明：
得分
解： -------2分
----- 4分 ----------- 5分 = --------------6分
«复变函数与积分变换»期末试题（A）答案及评分
标准
«复变函数与积分变换»期末试题（A）
一．填空的主值是（）；3. ，（ 0 ）； 4．是的（一级）极点；5．，（-1）；
二．选择题（每小题3分，共计15分）
1．解析函数的导函数为（ B ）；（A）；（B）；（C）；（D）.
（1），（2），（3）解：（1）当
而 -------6分
（2）当
= -------10分
（3）当
------14分
每步可以酌情给分。
五．（本题10分）用Laplace变换求解常微分方程定解问题：解：对的Laplace变换记做，依据Laplace变换性质有
…（5分）整理得
…（7分） …（10分）
（1），（2），（3）
五．（本题10分）用Laplace变换求解常微分方程定解问题
六、（本题6分）求的傅立叶变换，并由此证明：
三．按要求完成下列各题（每小题10分，共40分）
（1）．设是解析函数，求解：因为解析，由C-R条件
，给出C-R条件6分，正确求导给2分，结果正确2分。（2）．计算其中C是正向圆周：解：本题可以用柯西公式\柯西高阶导数公式计算也可用留数计算洛朗展开计算，仅给出用前者计算过程因为函数在复平面内只有两个奇点，分别以为圆心画互不相交互不包含的小圆且位于c内

《复变函数与积分变换》期末考试试卷A及答案