考点14 轴对称巩固应用(原卷版)
轴对称的应用(人教版)(含答案)
轴对称的应用（人教版）试卷简介:本套试卷主要检测同学们对前期重点训练的内容——折叠问题及最短路径问题的掌握情况，强化对折叠问题、轴对称最短路径问题解决方法的理解.一、单选题(共10道，每道10分)1.如图，将长方形ABCD沿EF折叠，点C落在点，点D落在点处．若∠EFC=119°，则为( )A.58°B.45°C.60°D.42°答案：A解题思路：由折叠可得：，∵∠EFB+∠EFC=180°，∠EFC=119°，∴，∠EFB=61°，∴．故选A．试题难度：三颗星知识点：折叠问题2.如图，把长方形ABCD折叠，使点C落在点A处，点D落在点G处．若∠FED=120°，且DE=2，则边BC的长为( )A.4B.6C.8D.10答案：B解题思路：由折叠可知，DE=GE=2，∠G=90°，∠GAF=∠C=90°，∠CFE=∠EFA，在长方形ABCD中，AD=BC，AD∥BC，∴∠FED+∠CFE=180°，∵∠FED=120°，∴∠CFE=60°∴∠EFA=60°，∴△AEF是等边三角形，∴∠GAE=30°，在Rt△AGE中，∠GAE=30°，则AE=2GE=4，∴AD=AE+DE=6，∴BC=6．故选B．试题难度：三颗星知识点：折叠问题3.如图，△ABC的周长为15cm，把△ABC的边AC对折，使顶点C和点A重合，折痕交BC 边于点D，交AC边于点E，连接AD．若AE=2cm，则△ABD的周长是( )A.13cmB.12cmC.11cmD.10cm答案：C解题思路：由折叠可知：AE=EC=2，AD=CD，∴AC=4，∵△ABD的周长为AB+BD+AD=AB+BD+CD=AB+BC，又∵AB+BC+AC=15，∴AB+BC=11（cm）．故选C．试题难度：三颗星知识点：折叠问题4.如图，AD是Rt△ABC斜边BC上的高，将△ADC沿AD所在直线折叠，点C恰好落在BC 的中点E处，则∠B等于( )A.25°B.30°C.45°D.60°答案：B解题思路：由折叠可知，AC=AE，在Rt△ABC中，E为斜边BC的中点，∴AE=BE=CE，∴AC=AE=EC，∴△AEC是等边三角形，∴∠C=60°，∴∠B=30°．故选B．试题难度：三颗星知识点：折叠问题5.如图，在三角形纸片ABC中，AC=BC．把△ABC沿着AC翻折，点B落在点D处，连接BD．若∠BAC=40°，则∠CBD的度数为( )A.9°B.10°C.15°D.20°答案：B解题思路：∵AC=BC，∠BAC=40°，∵∠ABC=∠BAC=40°，由折叠可得：∠CAD=∠BAC=40°，AB=AD，∴∠BAD=80°，∠ABD=∠ADB=50°，∴∠CBD=∠ABD-∠ABC=10°．故选B．试题难度：三颗星知识点：折叠问题6.如图，在△ABC中，∠A=30°，沿BE将此三角形对折，又沿再一次对折，点C落在BE上的点处，此时，则原三角形中∠ABC的度数为( )A.60°B.65°C.70°D.75°答案：D解题思路：解：∵△ABC沿BE对折，∴，再沿对折一次，点C落在BE上的点处，∴，，∴，设∠CBD=x，则∠ABC=3x，在△ABC中，∠C=180°-∠A-∠ABC=180°-30°-3x=150°-3x，在△BCD中，∠C=180°-∠CBD-∠CDB=180°-x-80°=100°-x，∴150°-3x=100°-x，解得x=25°，∴∠ABC=3x=3×25°=75°．故选D．试题难度：三颗星知识点：折叠问题7.如图，点D，E分别在等边△ABC的边AB，BC上，将△BDE沿直线DE翻折，使点B落在处，，分别交边AC于点F，G．若∠BDE=50°，则∠CGE的度数为( )A.60°B.70°C.80°D.90°答案：C解题思路：1．思路点拨：①求∠CGE的度数，可以放到△CGE中，结合已知条件，只需求∠CEG即可．②求∠CEG的度数，需借助折叠的处理思路，借助折叠进行角度的转移．2．解题过程：如图，在△BDE中，∠B=60°，∠BDE=50°，∴∠1=180°-50°-60°=70°．由折叠的性质可知，∠2=∠1=70°，∴∠CEG=180°-140°=40°，∴∠CGE=180°-60°-40°=80°．故选C试题难度：三颗星知识点：折叠问题8.如图，将等腰△ABC沿DE折叠，使顶角顶点A落在其底角平分线的交点F处．若BF=DF，则∠C的度数是( )A.80°B.75°C.72°D.60°答案：C解题思路：1．思路点拨：①遇到折叠问题，要考虑借助折叠转移边和角；②遇到等腰三角形，要考虑等腰三角形的性质，等边对等角、等角对等边以及等腰三角形的“三线合一”．2．解题思路：如图，连接CF，AF．∵点F是底角平分线的交点，∴∠FCB=∠FBC∴点F是△ABC角平分线的交点，设∠1=∠2=x，则∠ACB=∠ABC=2x，∴∠BAC=180°-4x，∴∠3=90°-2x由折叠的性质可知，AD=DF∴∠3=∠4=90°-2x∴∠5=∠3+∠4=180°-4x∵BF=DF∴∠2=∠5即x=180°-4x，解得x=36°，∴∠C=2x=72°，选C3．易错点：①对等腰三角形的性质不清楚，不能想到“三线合一”，进而连接AF；②不能借助折叠来转移边，借助等边对等角进行边和角的转移．试题难度：三颗星知识点：折叠问题9.如图，在等腰△ABC中，AB=BC，∠B=120°，M，N分别是AB，BC边上的中点．若三角形ABC的边AC上的高为1，点P是边AC上的动点，则MP+NP的长度最小为( )A.1B.2C.3D.4答案：B解题思路：作点M关于AC的对称点，连接交AC于点P，则点P即为所求；如图所示，连接，MP，BP∵点和点M关于AC对称∴，，又∵PA=PA∴，∴，，又∵AB=BC∴∠BAC=∠C∴又∵M，N分别为AB，BC边上的中点∴AM=NC即，又∵∴，∴AP=PC∴BP为AC边上的高又∵在Rt△ABP中，∠BAP=30°∴，又∵∠ABP=60°．∴△BMP为等边三角形，∴MP=BP=1，同理：NP=1，∴MP+NP的最短长度为2．故选B．试题难度：三颗星知识点：轴对称—最短路径问题10.如图，等腰△ABC的底边BC长为4，面积是16，腰AC的垂直平分线EF交AB边于点F，若点D为BC边上的中点，M为线段EF上一动点，则△CDM周长的最小值为( )A.6B.8C.10D.12答案：C解题思路：如图，连接AD．∵EF垂直平分AC，∴AM=CM∴△CDM的周长为CD+DM+CM=CD+DM+AM=CD+AD ∵D是BC边的中点∴AD⊥BC∵，∴AD=8∵CD=2∴△CDM的周长为:8+2=10，选C．试题难度：三颗星知识点：轴对称—最短路径问题。
轴对称全章复习与巩固(基础)知识讲解与巩固练习
轴对称全章复习与巩固（基础）【学习目标】1. 认识轴对称、轴对称图形，理解轴对称的基本性质及它们的简单应用；2. 了解垂直平分线的概念，并掌握其性质；3. 了解等腰三角形、等边三角形的有关概念，并掌握它们的性质以及判定方法.【知识网络】【要点梳理】要点一、轴对称1.轴对称图形和轴对称（1）轴对称图形如果一个图形沿着某一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形，这条直线就是它的对称轴.轴对称图形的性质：轴对称图形的对称轴，是任何一对对应点所连线段的垂直平分线.（2）轴对称定义：把一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这条直线对称，这条直线叫做对称轴.成轴对称的两个图形的性质：①关于某条直线对称的两个图形形状相同，大小相等，是全等形；②如果两个图形关于某条直线对称，则对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线；③两个图形关于某条直线对称，如果它们的对应线段或延长线相交，那么它们的交点在对称轴上.（3）轴对称图形与轴对称的区别和联系区别: 轴对称是指两个图形的位置关系，轴对称图形是指具有特殊形状的一个图形；轴对称涉及两个图形，而轴对称图形是对一个图形来说的.联系：如果把一个轴对称图形沿对称轴分成两个图形，那么这两个图形关于这条轴对称；如果把成轴对称的两个图形看成一个整体，那么它就是一个轴对称图形．2.线段的垂直平分线线段的垂直平分线的性质：线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等.反过来，与一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上.要点二、作轴对称图形1.作轴对称图形（1）几何图形都可以看作由点组成，我们只要分别作出这些点关于对称轴的对应点，再连接这些点，就可以得到原图形的轴对称图形；（2）对于一些由直线、线段或射线组成的图形，只要作出图形中的一些特殊点（如线段端点）的对称点，连接这些对称点，就可以得到原图形的轴对称图形.2.用坐标表示轴对称点（x,y）关于x轴对称的点的坐标为（x,－y）；点（x,y）关于y轴对称的点的坐标为（－x,y）；点（x,y）关于原点对称的点的坐标为（－x,－y）.要点三、等腰三角形1.等腰三角形（1）定义：有两边相等的三角形，叫做等腰三角形.（2）等腰三角形性质①等腰三角形的两个底角相等，即“等边对等角”；②等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线与底边上的高线互相重合（简称“三线合一”）.特别地，等腰直角三角形的每个底角都等于45°.（3）等腰三角形的判定如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（即“等角对等边”）.2.等边三角形（1）定义：三条边都相等的三角形，叫做等边三角形.（2）等边三角形性质：等边三角形的三个角相等，并且每个角都等于60°.（3）等边三角形的判定：①三条边都相等的三角形是等边三角形；②三个角都相等的三角形是等边三角形；③有一个角为 60°的等腰三角形是等边三角形.3.直角三角形的性质定理：在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半. 【典型例题】类型一、轴对称的判断与应用1、如图所示的是在一面镜子里看到的一个算式，该算式的实际情况是怎样的？图1【答案与解析】该算式的情况是：120＋85＝205【总结升华】从镜子里看物体——左右相反举一反三：【变式】如图,是一只停泊在平静水面上的小船,它的“倒影”应是图中的（）.【答案】B ；提示：从水中看物体——上下颠倒2、如图，C、D、E、F是一个长方形台球桌的4个顶点，A、B•是桌面上的两个球，怎样击打A 球，才能使A 球撞击桌面边缘CF 后反弹能够撞击B 球？请画出A•球经过的路线，并写出作法．【答案与解析】解：作点A 关于直线CF 对称的点G ，连接BG 交CF 于点P ，则点P 即为A•球撞击桌面边缘CF 的位置，A•球经过的路线如下图.【总结升华】这道题利用了轴对称的性质，把AP 转化成了线段GP ，通过找A 点的对称点，从而确定点P 的位置.举一反三：【变式】（2016春•深圳校级期中）如图，∠AOB=30°，∠AOB 内有一定点P ，且OP=10．在OA 上有一点Q ，OB 上有一点R ．若△PQR 周长最小，则最小周长是（ ）A ．10B ．15C ．20D ．30【答案】A ；提示：根据轴对称的性质，,QE QP RP RF ==，△PQF 的周长等于EF .3、如图，ΔABC 中，点A 的坐标为（0，1），点C 的坐标为（4，3），点B 的坐标为 （3，1），如果要使ΔABD 与ΔABC 全等，求点D 的坐标．【思路点拨】关于AB直线对称，且与△ABC全等的△ABD有一个，此时的△ABC与△ABD绕着AB的中点旋转180°，又可以找到两个与△ABC全等的三角形.【答案与解析】解：满足条件的点D的坐标有3个（4，－1）；（－1，－1）；（－1，3）.【总结升华】有一条边相同的全等三角形，可以通过轴对称和旋转的方法找出，注意不要漏解.举一反三：【变式】在直角坐标系xoy中，△ABC关于直线y＝1轴对称，已知点A坐标是（4，4），则点B的坐标是（）A.（4，－4）B.（－4，2）C.（4，－2）D.（－2，4）【答案】C；提示：点A和点B是关于直线y＝1对称的对应点，它们到y＝1的距离相等是3个单位长度，所以点B的坐标是（4，－2）．类型二、等腰三角形的性质与判定4、已知：一等腰三角形的两边长x，y满足方程组23328x yx y-=⎧⎨+=⎩，则此等腰三角形的周长为（）A.5B.4C.3D.5或4【思路点拨】通过解方程组算出等腰三角形的两边长，由于没有指定边长是腰还是底，所以需要分类讨论，最后还要注意检验能否构成三角形.【答案】A；【解析】解：解方程组23328x yx y-=⎧⎨+=⎩得21xy=⎧⎨=⎩，当腰为1，2为底时，1＋1＝2，不能构成三角形，当腰为2，1为底时，能构成三角形，周长为2＋2＋1＝5【总结升华】本题从边的方面考查等腰三角形，涉及分类讨论的思想方法．求三角形的周长，不能盲目地将三边长相加起来，而应养成检验三边长能否组成三角形的好习惯，把不符合题意的舍去．举一反三：【变式】已知等腰三角形的一个内角为70°，则另两个内角的度数是（）A.55°，55°B.70°，40°C.55°，55°或70°，40°D.以上都不对【答案】C；提示：当70°为顶角时,另外两个角是底角，它们的度数是相等的，为（180°－70°）÷2＝55°，当70°为底角时,另外一个底角也是70°,顶角是180°－140°＝40°．5、（2015秋•淮安校级期末）如图：（1）P是等腰三角形ABC底边BC上的一个动点，过点P作BC的垂线，交AB于点Q，交CA的延长线于点R．请观察AR与AQ，它们有何关系？并证明你的猜想．（2）如果点P沿着底边BC所在的直线，按由C向B的方向运动到CB的延长线上时，（1）中所得的结论还成立吗？请你在图（2）中完成图形，并给予证明．【思路点拨】（1）由已知条件，根据等腰三角形两底角相等及三角形两直角互余的性质不难推出∠PRC与∠AQR的关系；（2）由已知条件，根据等腰三角形两底角相等及三角形两直角互余的性质不难推出∠BQP 与∠PRC的关系．【答案与解析】解：（1）AR=AQ，理由如下：∵AB=AC，∴∠B=∠C．∵RP⊥BC，∴∠B+∠BQP=∠C+∠PRC=90°，∴∠BQP=∠PRC．∵∠BQP=∠AQR，∴∠PRC=∠AQR，∴AR=AQ；（2）猜想仍然成立．证明如下：∵AB=AC，∴∠ABC=∠C．∵∠ABC=∠PBQ，∴∠PBQ=∠C，∵RP⊥BC，∴∠PBQ+∠BQP=∠C+∠PRC=90°，∴∠BQP=∠PRC，∴AR=AQ．【总结升华】本题考查了等腰三角形的性质及判定；题中有两个类别的特殊三角形，等腰三角形是两个底角相等，直角三角形是两个锐角互余，还有对顶角相等的条件，为角的关系转化提供依据．举一反三：【变式1】（2016·常州）如图，已知△ABC中，AB=AC，BD、CE是高，BD与CE相交于点O．（1）求证：OB=OC；（2）若∠ABC=50°，求∠BOC的度数.【答案】（1）证明：∵AB=AC．∴∠ABC＝∠ACB，∵BD、CE是高，∴∠DBC＝∠ECB，∴OB=OC（2）∵∠ABC＝50°，AB=AC，∴∠A=180°-2×50°=80°，∴∠BOC=180°-80°=100°.【变式2】如图，∠BAC＝90°，以△ABC的边AB、AC为直角边向外作等腰直角△ABE和△ACD，M是BC的中点，请你探究线段DE与AM之间的数量关系．【答案】ED＝2AM解：连接DE，∵∠BAC＝90°，M是BC的中点∴AM＝BM＝MC＝12 BC∠EAD＝∠BAC＝90°，AE＝AB，AC＝AD∴△ABC≌△AED∴ED＝BC∴ED＝2AM类型三、等边三角形的性质与判定6、如图，设D为等边△ABC内一点，且AD＝BD，BP＝AB, ∠DBP＝∠DBC.求∠BPD的度数.【答案与解析】解：如图，连接CD，∵△ABC是等边三角形，∴AB＝AC＝BC，又AD＝BD，DC是公共边，∴△BDC≌△ADC（SSS），∴∠DCB＝∠DCA＝12×60°＝30°，∠DBC＝∠DAC，∵∠DBP＝∠DBC，∴∠DAC＝∠DBP，又已知BP＝AB，∴BP＝AC，∴△DBP≌△DAC（SAS），∴∠P＝∠ACD＝30°．【总结升华】本题主要考查了等边三角形的性质和全等三角形的判定与性质，在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定条件．举一反三：【变式】（2014秋•东胜区校级期中）如图，已知点B、C、D在同一条直线上，△ABC和△CDE 都是等边三角形．BE交AC于F，AD交CE于H．（1）求证：△BCE≌△ACD；（2）求证：FH∥BD．【答案】证明：（1）∵△ABC和△CDE都是等边三角形，∴BC=AC，CE=CD，∠BCA=∠ECD=60°，∴∠BCA+∠ACE=∠ECD+∠ACE，即∠BCE=∠ACD，∴在△BCE和△ACD中，∵，∴△BCE≌△ACD （SAS）．（2）由（1）知△BCE≌△ACD，则∠CBF=∠CAH，BC=AC又∵△ABC和△CDE都是等边三角形，且点B、C、D在同一条直线上，∴∠ACH=180°﹣∠ACB﹣∠HCD=60°=∠BCF，在△BCF和△ACH中，∵，∴△BCF≌△ACH （ASA），∴CF=CH，又∵∠FCH=60°，∴△CHF为等边三角形∴∠FHC=∠HCD=60°，∴FH∥BD．【巩固练习】一.选择题1. （2016•北京）甲骨文是我国的一种古代文字，是汉字的早期形式，下列甲骨文中，不是轴对称的是（）A．B．C．D．2．（2015•威海模拟）如图，△ABC 中BD 、CD 平分∠ABC、∠ACB，过D 作直线平行于BC ，交AB 、AC 于E 、F ，AB=5，AC=7，BC=8，△AEF 的周长为（ ）A ．13B ． 12C ． 15D ． 203. 以下叙述中不正确的是（ ）A ．等边三角形的每条高线都是角平分线和中线B ．其中有一内角为60°的等腰三角形是等边三角形C ．等腰三角形一定是锐角三角形D ．在一个三角形中，如果两条边不相等，那么它们所对的角也不相等；反之，在一个三角形中，如果两个角不相等，那么它们所对的边也不相等4．下列条件①有一个角为60°的三角形；②三个外角都相等的三角形；③一边上的高与中线重合的三角形；④有一个角为60°的等腰三角形．能判定三角形为等边三角形的有（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个5. 如图，BD 是△ABC 的角平分线，DE ∥BC ，DE 交AB 于E, 且AB ＝BC ，则下列结论中错误．．的是（ ）A ．BD⊥ACB ．∠A＝∠EDAC ．BC ＝2AD D ．BE ＝ED6. 如图，△ABC 中，∠ACB ＝90°，CD 是AB 边上的高，∠BAC 的角平分线AF 交CD 于E ，则△CEF 必为（ ）A.等腰三角形B.等边三角形C.直角三角形D.等腰直角三角形7.下列说法中不正确的是（ ）A.等边三角形是轴对称图形B.若两个图形的对应点连线都被同一条直线垂直平分，则这两个图形关于这条直线对称C.若△ABC ≌△111C B A ,则这两个三角形一定关于一条直线对称D.直线MN 是线段AB 的垂直平分线，若P 点使PA ＝PB ，则点P 在MN 上，若11P A PB ，P不在MN上则18．如图所示,Rt△ABC中，∠C＝90°,AB的垂直平分线DE交BC于D，交AB于点E．当∠B ＝30°时，图中不一定相等的线段有（）A．AC＝AE＝BE B．AD＝BD C．CD＝DE D．AC＝BD二.填空题9. 如图，O是△ABC内一点，且 OA＝OB＝OC，若∠OBA＝20°,∠OCB＝30°，则∠OAC＝_________.10. 如图，△ABC中，∠A＝90°，BD为∠ABC平分线，DE⊥BC，E是BC的中点，∠C的度数为_________.11. 如图，△ABC中，∠C＝90°，D是CB上一点，且DA＝DB＝4，∠B＝15°,则AC的长为．12.（2014•宝应县二模）如图，在△ABC中，AB=AC，D、E是△ABC内两点，AD平分∠BAC，∠EBC=∠E=60°，若BE=60cm，DE=2cm，则BC= cm．13. 点D、E分别在等边△ABC的边AB、BC上，将△BDE沿直线DE翻折，使点B落在B1处，DB1、EB1分别交边AC于点F、G．若∠ADF＝80º，则∠CEG＝．14．一个汽车车牌在水中的倒影为，则该车的牌照号码是______．15.（2016·厦门校级模拟）在等腰△ABC中，AB=AC，AC腰上的中线BD将三角形周长分为15和21两部分，则这个三角形的底边长为_________.16. 三角形纸片ABC中，∠A＝60°，∠B＝80°，将纸片的一角折叠，使点C•落在△ABC内，如图所示∠1＝30°，则∠2＝_______．三.解答题17.（2015春•宜春期末）已知，在平面直角坐标系中，点M、N的坐标分别为（1，4）和（3，0），点Q是y轴上的一个动点，且M、N、Q三点不在同一直线上，当△MNQ的周长最小时，求点Q的坐标．18. 如图，上午9时，一条渔船从A出发，以12海里/时的速度向正北航行，11时到达B处，从A、B处望小岛C，测得∠NAC＝15°，∠NBC＝30°.若小岛周围12.3海里内有暗礁，问该渔船继续向正北航行有无触礁危险？19．如图所示，在四边形ABCD中，对角线AC与BD相交于点E，若AC平分∠DAB，•且AB ＝AE，AC＝AD，求证∠DBC＝12∠DAB．20．如图所示，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝BC，BD＝CE，M是AC边的中点，求证△DEM 是等腰三角形．CEBADM【答案与解析】一.选择题1. 【答案】D；【解析】A、是轴对称图形，故本选项错误；B、是轴对称图形，故本选项错误；C、是轴对称图形，故本选项错误；D、不是轴对称图形，故本选项正确．2. 【答案】B；【解析】解：∵EF∥BC，∴∠EDB=∠DBC，∵BD平分∠ABC，∴∠EBD=∠CBD，∴∠EDB=∠EBD，∴BE=ED，同理DF=CF，∴△AEF的周长是AE+EF+AF=AE+ED+DF+AF=AE+BE+CF+AF=AB+AC=5+7=12．故选B．3. 【答案】C；【解析】等腰三角形还有钝角三角形和直角三角形．4. 【答案】B；【解析】②④均能判定三角形为等边三角形.5. 【答案】C；【解析】因为BD是△ABC的角平分线，DE∥BC，所以∠EBD＝∠DBC＝∠EDB，故B、D成立，由等腰三角形三线合一的性质知A成立.6. 【答案】A；【解析】∠CFA＝∠B＋∠BAF，∠CEF＝∠ECA＋∠EAC，而∠B＝∠ECA，∠BAF＝∠EAC，故△CEF为等腰三角形.7. 【答案】C；【解析】全等的两个三角形不一定关于一条直线对称.8. 【答案】D；【解析】由角平分线的性质结合∠B＝30°，可知A、B、C均成立.二.填空题9. 【答案】40°；【解析】△AOB与△BOC与△AOC均为等腰三角形,∠OAC＝180220302︒-⨯︒+︒（）＝40°.10.【答案】30°；【解析】证△BDE≌△CDE，∠ABD＝∠DBE＝∠C＝30°.11.【答案】2；【解析】∠ADC＝30°，122AC AD==.12.【答案】62；【解析】解：延长ED交BC于M，延长AD交BC于N，作DF∥BC，∵AB=AC，AD平分∠BAC，∴AN⊥BC，BN=CN，∵∠EBC=∠E=60°，∴△BEM为等边三角形，∴△EFD为等边三角形，∵BE=60，DE=2，∴DM=58，∵△BEM为等边三角形，∴∠EMB=60°，∵AN⊥BC，∴∠DNM=90°，∴∠NDM=30°，∴NM=29，∴BN=31，∴BC=2BN=62，故答案为62．13.【答案】40°；【解析】∠BDE ＝18080502︒-︒=︒，∠BED ＝∠DEG ＝180°－50°－60°＝70°，所以∠CEG ＝40°.14.【答案】 W 5236499【解析】只需将倒影沿垂直旋转180°即可，因此该车的牌照号码为：W 5236499.15.【答案】16或8；【解析】∵BD 是等腰△ABC 的中线，可设AD=CD=x ，则AB=AC=2x ，根据题意可分两种情况：①AB+AD=15，即315x =，解得5x =，此时BC=21516-=；②AB+AD=21，即321x =，解得7x =，此时BC=1578-=；经验证，这两种情况都是成立的.∴这个三角形的底边长为8或16.16.【答案】50°；【解析】∠C ＝40°，根据折叠图形对应角相等及三角形内角和定理，∠2＝50°.三.解答题17.【解析】解：作点N 关于y 轴的对称点N′，连接MN′交y 轴于点Q ，则此时△MNQ 的周长最小，理由：∵点N 的坐标是（3，0），∴点N′的坐标是（﹣3，0），过点M 作MD⊥x 轴，垂足为点D∵点M 的坐标是（1，4）∴N′D=MD=4∴∠MN′D=45°，∴N′O=OQ=3，即点Q 的坐标是（0，3）．18.【解析】解：该渔船继续向正北航行有触礁危险作CD ⊥AB 于D ，由题意AB ＝24，∵∠NAC ＝15°，∠NBC ＝30°∴∠ACB ＝15°，AB ＝BC ＝24在直角三角形BCD 中，DC ＝12BC ＝12， ∵12＜12.3，∴该渔船继续向正北航行有触礁危险.19.【解析】证明：∵AC 平分∠DAB ，∴∠DAE ＝∠CAB在△DAE 和△CAB 中，,,,AD AC DAE CAB AE AB =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△DAE ≌△CAB （SAS ），∴∠BDA ＝∠ACB ，又∵∠AED ＝∠CEB ，∴∠ADE ＋∠AED ＝∠ACB ＋∠CEB ，∵∠DAE ＝180°－（∠ADE ＋∠AED ），∠DBC ＝180°－（∠ACB ＋∠CEB ）， ∴∠DAE ＝∠DBC ，∵∠DAE ＝12∠DAB ， ∴∠DBC ＝12∠DAB ． 20．【解析】证明：连接BM ，∵AB ＝BC ，AM ＝MC ，∴BM ⊥AC ，且∠ABM ＝∠CBM ＝12∠ABC ＝45°， ∵AB ＝BC ，所以∠A ＝∠C ＝1802ABC ︒-∠＝45°， ∴∠A ＝∠ABM ，所以AM ＝BM ，∵BD ＝CE ，AB ＝BC ，∴AB －BD ＝BC －CE ，即AD ＝BE ，在△ADM和△BEM中，,45,,AD BEA EBMAM BM=⎧⎪∠=∠=︒⎨⎪=⎩∴△ADM≌△BEM（SAS），∴DM＝EM，∴△DEM是等腰三角形．。
中考语文_考点14：文言文阅读(单篇)(压轴模拟)(原卷版)
考点14：文言文阅读（单篇）【2019年题组】一、【2019年中考四川内江卷】阅读《岳阳楼记》选文，完成下列小题。
予观夫巴陵胜状，在洞庭一湖。
衔远山，吞长江，浩浩汤汤，横无际涯，朝晖夕阴，气象万千，此则岳阳楼之大观也，前人之述备矣。
然则北通巫峡，南极潇湘，迁客骚人，多会于此，览物之情，得无异乎？若夫淫雨霏霏，连月不开，阴风怒号，浊浪排空，日星隐曜，山岳潜形，商旅不行，樯倾楫摧，薄暮冥冥，虎啸猿啼。
登斯楼也，则有去国怀乡，忧谗畏讥，满目萧然，感极而悲者矣。
至若春和景明，波澜不惊，上下天光，一碧万顷，沙鸥翔集，锦鳞游泳，岸芷汀兰，郁郁青青。
而或长烟一空，皓月千里，浮光跃金，静影沉璧，渔歌互答，此乐何极！登斯楼也，则有心旷神怡，宠辱偕忘，把酒临风，其喜洋洋者矣。
嗟夫！予尝求古仁人之心，或异二者之为，何哉？不以物喜，不以己悲，居庙堂之高则忧其民，处江湖之远则忧其君。
是进亦忧，退亦忧。
然则何时而乐耶？其必曰“先天下之忧而忧，后天下之乐而乐”乎！噫！微斯人，吾谁与归？时六年九月十五日。
1．下面句子中，对加点的词语解释有误．．的一项是（）A．前人之述备．矣（详尽）B．连月不开．（天气放晴）C．则有去国．怀乡（国家）D．至若春和景．明（日光）2．下面各组句子中，加点的词意义和用法相同的一项是（）A．此则岳阳楼之．大观也/行道之．人弗受B．然．则北通巫峡/康肃忿然．曰C．感极而．悲者矣/狼亦黠矣，而．顷刻两毙D．其．必曰/其．真无马邪3．下面对文章内容的理解和分析，不正确．．．的一项是（）A．“微斯人，吾谁与归”是一个倒装句，起突出强调作用，正常的语序应该是“微斯人，吾与谁归”。
B．选文语言充分体现了汉语的音乐美：记叙多用散句，长短错落，质朴平实；写景多用偶句，两两相对，珠联璧合。
C．选文中间两段，所写的景象特点截然不同，却都写了游人的“览物之情”，而这“览物之情”与“古仁人”的理念也并无不同。
D．作者在尾段拟出一问一答，假托古圣立言，发出了“先天下之忧而忧，后天下之乐而乐”的豪言壮语，点明了全篇主旨。
2024年中考数学二轮复习模块专练—轴对称和中心对称(含答案)
2024年中考数学二轮复习模块专练—轴对称和中心对称（含答案）一、轴对称1．轴对称图形的定义：一个图形沿着某直线折叠，直线两旁的部分能完全重合，这个图形就叫做轴对称图形，该直线就是它的对称轴．2．轴对称：对于两个图形，如果沿一条直线对折后，它们能够完全重合，那么这两个图形关于这条直线成轴对称．3．轴对称的性质（1）对应线段相等，对应角相等；（2）对应点所连的线段被对称轴垂直平分；4．轴对称作图（1）找出图形中的关键点；（2）作关键点的对称点：一垂二延三相等；（3）连接关键点；二、中心对称1．中心对称定义：如果把一个图形绕着某一点旋转180°，它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这个点对称或中心对称，这个点叫做它们的对称中心．2．中心对称图形定义：把一个图形绕某个点旋转180°如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点叫做它的对称中心．区别：中心对称→两个图形的关系，中心对称图形→一种图形的特征．3．中心对称性质：成中心对称的两个图形中，对应点所连线段经过对称中心，且被对试卷第2页，共12页称中心平分．同心对称具有旋转的性质．4．中心对称图形作图（1）找出图形中的关键点；（2）作关键点的对称点：一连（关键点与对称中心连接）二延三相等；（3）连接关键点；《义务教育数学课程标准》2022年版，学业质量要求：1．理解轴对称和中心对称的概念；2．知道轴对称和中心对称的性质；3．会用轴对称和中心对称的运动认识、理解和表达现实世界中相应的现象；4．理解几何图形的对称性，感悟现实世界中的对称美，知道可以用数学语言表达对称；【例1】（2023·青海西宁·统考中考真题）1．河湟剪纸被列入青海省第三批省级非物质文化遗产名录，是青海劳动人民结合河湟文化，创造出独具高原特色的剪纸．以下剪纸图案既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）A ．B ．C ．D．【变1】（2023·山东青岛·统考中考真题）2．生活中有许多对称美的图形，下列是中心对称图形但不是轴对称图形的是（）A．B．C．D．【例1】（2023·河北沧州·统考二模）的3．如图由66⨯个边长为1的小正方形组成，每个小正方形的顶点称为格点，ABC绕着点O顺时针三个顶点A，B，C均在格点上，O是AC与网格线的交点，将ABC旋转180︒．以下是嘉嘉和淇淇得出的结论，下列判断正确的是（）嘉嘉：旋转后的三角形的三个顶点均在格点上；淇淇：旋转前后两个三角形可形成平行四边形A．只有嘉嘉对B．只有淇淇对C．两人都对D．两人都不对试卷第4页，共12页【例1】（2023·安徽亳州·校联考模拟预测）5．如图，在平面直角坐标系中，(1)作出ABC 关于y 轴对称的A B C ''' ；(2)作出ABC 关于点O 成中心对称的111A B C △；(3)在x 轴上找一点P ，使1PB PC =，并写出点P 的坐标．【变1】（2023·四川广安·统考中考真题）6．将边长为2的正方形剪成四个全等的直角三角形，用这四个直角三角形拼成符合要求的四边形，请在下列网格中画出你拼成的四边形（注：①网格中每个小正方形的边长为1；②所拼的图形不得与原图形相同；③四边形的各顶点都在格点上）．一、选择题（2023·江苏·统考中考真题）7．剪纸是中国优秀的传统文化．下列剪纸图案中，是轴对称图形的是（）．A．B．C．D．（2023·河北衡水·统考二模）8．三个全等的等边三角形按图1所示位置摆放，现添加一个大小相同的等边三角形，使四个等边三角形组成一个中心对称图形（如图2），则添加的等边三角形所放置的位置是（）A．①B．②C （2023·黑龙江·统考中考真题）9．如图，在平面直角坐标中，矩形ABCD的边直线OE折叠到如图所示的位置，线段OD恰好经过点A．()1,2B．(-二、填空题（2023·吉林长春·统考中考真题）10．如图，将正五边形纸片ABCDE试卷第6页，共12页（2023·黑龙江绥化·统考中考真题）的半径为2cm，12．如图，O翻折，使点C与圆心O重合，则阴影部分的面积为（2023·湖北武汉·统考中考真题）13．如图，DE平分等边交于,G H两点．若DG（2023·江苏扬州·统考中考真题）14．如图，已知正方形ABCD着EF翻折，点B恰好落在积比为3∶5，那么线段FC的长为（2023·江苏泰州·统考二模）15．如图，在平面直角坐标系中，B-，点D的交点，点(2,0)且D、F两点关于y轴上某点成中心对称，连接（2023·山东济南·统考中考真题）16．如图，将菱形纸片ABCD折痕CP交AD于点P．若三、解答题（2023·浙江温州·统考中考真题）试卷第8页，共12页(1)在图中画一个等腰三角形画出该三角形绕矩形ABCD△(2)在图中画一个Rt PQR角形向右平移1个单位后的图形．（2023·江西南昌·校考二模）18．如图，在矩形ABCD中，(1)在图1中作矩形ABCD关于点E成中心对称的图形．(2)在图2中作以E为顶点的矩形．（2023·湖北宜昌·统考中考真题）(1)画出线段OA绕点O顺时针旋转关于直线OB对称的图形，点(2)画出与AOB∠的度数为_________(3)填空：OCB试卷第10页，共12页（2023·山东枣庄·统考中考真题）20．（1）观察分析：在一次数学综合实践活动中，老师向同学们展示了图①，图②，图③三幅图形，请你结合自己所学的知识，观察图中阴影部分构成的图案，写出三个图案都具有的两个共同特征：___________，___________．（2）动手操作：请在图④中设计一个新的图案，使其满足你在（1）中发现的共同特征．（2023·江苏南通·统考一模）21．如图，矩形ABCD 中，63AB AD ==，．E 为边AB 上一动点，连接DE ．作AF D E ⊥交矩形ABCD 的边于点F ，垂足为G ．(1)求证：AFB DEA ∠=∠；(2)若1CF =，求AE 的长；(3)点O 为矩形ABCD 的对称中心，探究OG 的取值范围．（2023·江苏无锡·统考中考真题）22．如图，四边形ABCD 是边长为4的菱形，60A ∠=︒，点Q 为CD 的中点，P 为线段AB 上的动点，现将四边形PBCQ 沿PQ 翻折得到四边形PB C Q ''．(1)当45QPB ∠=︒时，求四边形BB C C ''的面积；(2)当点P 在线段AB 上移动时，设BP x =，四边形BB C C ''的面积为S ，求S 关于x 的函数表达式．（2023·内蒙古通辽·统考中考真题）23．综合与实践课上，老师让同学们以“正方形的折叠”为主题开展数学活动，有一位同学操作过程如下：操作一：对折正方形纸片ABCD ，使AD 与BC 重合，得到折痕EF ，把纸片展平；操作二：在AD 上选一点P ，沿BP 折叠，使点A 落在正方形内部点M 处，把纸片展平，连接PM 、BM ，延长PM 交CD 于点Q ，连接BQ ．(1)如图1，当点M 在EF 上时，EMB ∠=___________度；(2)改变点P 在AD 上的位置（点P 不与点A ，D 重合）如图2，判断MBQ ∠与CBQ ∠的数量关系，并说明理由．（2023·山东枣庄·统考中考真题）24．问题情境：如图1，在ABC 中，1730AB AC BC ===，，AD 是BC 边上的中线．如图2，将ABC 的两个顶点B ，C 分别沿,EF GH 折叠后均与点D 重合，折痕分别交,,AB AC BC 于点E ，G ，F ，H ．试卷第12页，共12页猜想证明：(1)如图2，试判断四边形AEDG 的形状，并说明理由．问题解决；(2)如图3，将图2中左侧折叠的三角形展开后，重新沿MN 折叠，使得顶点B 与点H 重合，折痕分别交,AB BC 于点M ，N ，BM 的对应线段交DG 于点K ，求四边形MKGA 的面积．参考答案：1．D【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的特点逐项判断即可．【详解】解：A．是轴对称图形，不是中心对称图形，故该选项不符合题意；B．既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故该选项不符合题意；C．既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故该选项不符合题意；D．既是轴对称图形，又是中心对称图形，故该选项符合题意．故选D．【点睛】本题考查识别轴对称图形与中心对称图形．识别轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．识别中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与自身重合．2．D【分析】根据中心对称图形定义：把图形沿某点旋转180︒得到的新图形与原图形重合的图形叫中心对称图形，轴对称图形定义：把一个图形沿某条直线对折两边完全重合的图形叫轴对称图形，逐个判断即可得到答案．【详解】解：由题意可得，A选项图形即是中心对称图形又是轴对称图形，不符合题意，B选项图形即是中心对称图形又是轴对称图形，不符合题意，C选项图形即是中心对称图形又是轴对称图形，不符合题意，D选项图形是中心对称图形但不是轴对称图形，符合题意，故选：D；【点睛】本题考查中心对称图形定义：把图形沿某点旋转180︒得到的新图形与原图形重合的图形叫中心对称图形，轴对称图形定义：把一个图形沿某条直线对折两边完全重合的图形答案第2页，共28页叫轴对称图形．3．C【分析】画出旋转后的图形，根据图形解答．【详解】如图，取格点B '，连接OB '，OB ，取格点E ，F ．∵,,AEO CFO AOE COF AE CF ∠=∠∠=∠=，∴AOE COF △≌△，∴OA OF =，∴点A 关于点O 的对称点与点C 重合，点C 关于点O 的对称点与点A 重合．同理可证：点B 与点B '关于点O 对称，∴旋转后的三角形的三个顶点均在格点上，故嘉嘉说法正确；由中心对称的性质得A ABC B C '''≌△△，∴AB A B ''=，BC B C ''=，∴四边形ABA B ''是平行四边形，∴旋转前后两个三角形可形成平行四边形，故淇淇说法正确．故选C ．【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，的关键．4．210【分析】取BC中点H，连接AH，取由折叠可知AD CD DE x===则DF=三角形中位线定理得到15BG=，从而推导出答案第4页，共28页答案第6页，共28页A B C '''∴△即为所求；（2）解：如图所示：111A B C ∴ 即为所求；（3）如图所示：1,0-．【点睛】本题考查作图﹣旋转变换，轴对称变换，熟练掌握基本作图知识是解题的关键．6．见解析（答案不唯一，符合题意即可）【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的性质进行作图即可．【详解】解：①要求是轴对称图形但不是中心对称图形，则可作等腰梯形，如图四边形ABCD 即为所求；②要求是中心对称图形但不是轴对称图形，则可作一般平行四边形，如图四边形ABCD即为所求；③要求既是轴对称图形又是中心对称图形，则可作菱形、矩形等，如图四边形ABCD即为所求；④要求既不是轴对称图形又不是中心对称图形，则考虑作任意四边形，如图四边形ABCD即为所求．答案第8页，共28页【点睛】本题考查轴对称图形和中心对称图形的概念及作图，轴对称图形：把一个图形沿着某条直线折叠，能够与另一个图形重合；中心对称图形：把一个图形绕着某个点旋转180 能够和原图形重合．7．B【分析】根据轴对称图形的概念逐项分析判断即可，轴对称图形的概念：平面内，一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形．【详解】解：选项A 、C 、D 均不能找到这样的一条直线，使直线两旁的部分能够完全重合的图形，所以不是轴对称图形；选项B 能找到这样的一条直线，使直线两旁的部分能够完全重合的图形，所以是轴对称图形；故选：B ．【点睛】本题考查了轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．8．D【分析】根据中心对称图形的定义：把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形可得答案．【详解】解：依题意，添加的等边三角形④，可得中心对称图形，【点睛】本题考查了矩形的判定和性质，理的应用等知识，通过证明三角形相似，10．45【分析】根据题意求得正五边形的每一个内角为'答案第10页，共28页∵将 AB 沿弦AB 翻折，使点∴AC AO =，OC AB⊥答案第12页，共28页答案第14页，共28页则90FGK DHK ∠=∠=︒，记FD 交y 轴于点K ，∵D 点与F 点关于y 轴上的∴KF KD =，答案第16页，共28页【点睛】本题主要考查了菱形的性质，折叠的性质，解直角三角形，解题的关键是熟练掌握菱形和折叠的性质，正确画出辅助线，构造直角三角形求解．17．(1)见解析(2)见解析答案第18页，共28页（2）画法不唯一，如图3或图4．【点睛】本题主要考查了格点作图，解题关键是掌握网格的特点，灵活画出相等的线段和互相垂直或平行的线段．18．(1)见解析；(2)见解析【分析】（1）连接AE 并延长至点M ，使得AE ME =；连接BE 并延长至点N ，使得BE NE =，连接DN 、MN 、CN ，即可得到矩形DCMN 为所求作；（2）连接AC 、BD ，交点为点O ，连接EO 并延长交AB 于点F ，根据中位线定理，得到EF AD BC ∥∥，即可得到矩形ADEF 或矩形BCEF 为所求作．【详解】（1）解：如图1中，矩形DCMN 即为所求；（2）解：如图2中，矩形ADEF 或矩形BCEF 即为所求．【点睛】本题考查了画中心对称图形，矩形的判定和性质，三角形中位线定理等知识，根据相关性质正确作图是解题关键．19．(1)详见解析(2)详见解析(3)45︒【分析】（1）根据题目叙述画出图形即可；（2）根据题目叙述画出图形即可；（3）由（1）作图可得AOB 是等腰直角三角形，且=45A ︒∠，由对称的性质可得45OCB ∠=︒．【详解】（1）在方格纸中画出线段OA 绕点O 顺时针旋转90︒后得到的线段OB ，连接AB ,如图；（2）画出与AOB 关于直线OB 对称的图形，点A 的对称点是C ；如上图所示：（3）由（1）作图可得AOB 是等腰直角三角形，且=45A ︒∠，再根据对称的性质可得45OCB A ∠=∠=︒．故答案为：45︒．【点睛】此题考查了旋转作图及作轴对称图形，解答本题的关键是仔细审题，得出旋转三要素，进而得出旋转后的图形．20．（1）观察发现四个图形都是轴对称图形，且面积相等；（2）见解析【分析】（1）应从对称方面，阴影部分的面积等方面入手思考；（2）应画出既是轴对称图形，且面积为4的图形．【点睛】此题主要考查了利用轴对称图形设计图案，关键是掌握利用轴对称的作图方法来作图，通过变换对称轴来得到不同的图案．21．(1)见解析答案第20页，共28页同（1）可证DAF DEA∠=∠tan tanDAF DEA∴∠=∠，∴DF ADAD AE=，即533AE=，95AE∴=，1 AE∴=或9 5；答案第22页，共28页则OG OH HG ≥-．90AGE AGD ∠=∠=︒ ，1322HG AD ∴==，∵点O 为矩形ABCD 的对称中心，∴点O 为AC 的中点．答案第24页，共28页答案第26页，共28页∵1122 CHGS CH HG=⋅=∴154302CG HE⋅=⨯=，平行四边形的判定和性质．熟练掌握相关知识点，并灵活运用，是解题的关键．答案第28页，共28页。
考点14 轴对称巩固应用(解析版)
考点14 轴对称巩固应用一．选择题（共12小题）1．（2020·四川达州期末）下列交通标志是轴对称图形的是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】A、不是轴对称图形，故此选项错误；B、不是轴对称图形，故此选项错误；C、是轴对称图形，故此选项正确；D、不是轴对称图形，故此选项错误．故选C．2．（2020·海林市朝鲜族中学月考）如图，点D，E分别在线段AB，AC上，CD与BE相交于O点，已知AB=AC，现添加以下的哪个条件仍不能判定△ABE△△ACD（）A．△B=△C B．AD=AE C．BD=CE D．BE=CD【答案】D添加A可以利用ASA来进行全等判定；添加B可以利用SAS来进行判定；添加C选项可以得出AD=AE，然后利用SAS来进行全等判定.3．（2020·河南汝阳期末）如图，△ABC的面积为6，AC=3，现将△ABC沿AB所在直线翻折，使点C落在直线AD上的C′处，P为直线AD上的一点，则线段BP的长不可能是（）A．3B．4C．5.5D．10【答案】A【解析】如图：过B作BN△AC于N，BM△AD于M，△将△ABC沿AB所在直线翻折，使点C落在直线AD上的C′处，△△C′AB=△CAB，△BN=BM，△△ABC的面积等于6，边AC=3，△12×AC×BN=6，△BN=4，即点B到AD的最短距离是4，△BP的长不小于4，即只有选项A的3不正确，故选A．4．（2020·江阴市夏港中学月考）如图，AC＝AD，BC＝BD，则有（）A．AB垂直平分CD B．CD垂直平分ABC．AB与CD互相垂直平分D．CD平分△ACB【答案】A【解析】解：△AC＝AD，BC＝BD，△点A在CD的垂直平分线上，点B在CD的垂直平分线上，△AB是CD的垂直平分线．即AB垂直平分CD．故选A．5．（2020·无锡市积余实验学校月考）如图，△ABC中，AB=5，AC=6，BC=4，边AB的垂直平分线交AC于点D，则△BDC的周长是（）A．8B．9C．10D．11【答案】C【解析】解：△ED是AB的垂直平分线，△AD=BD，△△BDC的周长=DB+BC+CD，△△BDC的周长=AD+BC+CD=AC+BC=6+4=10．故选C．6．（2020·湖南岳阳期中）如图，在△ABC中，CD△AB于D，BE△AC于E，且BD＝CD，BE与CD相交于F，下列结论中：△DF＝DA；△△A＋△DFE＝180°；△BF＝AC；△若BE平分△ABC，则CE＝12 BF．正确的有（）A．1个B．2个C．3个D．4个【答案】D【解析】△CD△AB，BE△AC，△△BDC＝△CDA＝90°，△BEA＝90°．又△△ABE＋△A＋△BEA＝180°，△ACD＋△A＋△CDA＝180°，△△DBF＝△ACD，在△BDF和△CDA中，△BDF CDA BD CDDBF ACD ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩△△BDF△△CDA（ASA），△DF＝DA，BF＝AC，△结论△△正确．△△FDA＋△A＋△AEF＋△EFD＝360°，△FDA＝△AEF＝90°，△△A＋△DFE＝180°，△结论△正确．△CD△AB，BD＝CD，△△ABC＝45°．又△BE平分△ABC，△△ABE＝12△ABC＝22.5°．又△△BEA＝90°，△△A＝67.5°．又△△A＋△ABC＋△ACB＝180°，△△ACB＝67.5°，△△ABC是等腰三角形，△CE＝12 AC．又△BF＝AC，△CE＝12 BF，△结论△正确．综上所述，正确的结论为△△△△．7．（2020·海口市第十四中学月考）如图，在△ABC中，△ABC＝60°，△C＝45°，AD是BC 边上的高，△ABC的平分线BE交AD于点F，则图中共有等腰三角形( )A．2个B．3个C．4个D．5个【答案】B【解析】△△ABC＝60°，△ACB＝45°，AD是高，△△DAC＝45°，△CD＝AD，△△ADC为等腰直角三角形，△△ABC＝60°，BE是△ABC平分线，△△ABE＝△CBE＝30°，在△ABD中，△BAD＝180°−△ABD−△ADB＝180°−60°−90°＝30°，△△ABF＝△BAD＝30°，△AF＝BF即△ABF是等腰三角形，在△ABC中，△BAC＝180°−△ABC−△ACB＝180°−60°−45°＝75°，△△AEB＝△CBE＋△ACB＝30°＋45°＝75°，△△BAE＝△BEA，△AB＝EB即△ABE是等腰三角形，△等腰三角形有△ACD，△ABF，△ABE；故答案选：B．8．（2020·山东岱岳期末）下列定理中，逆命题是假命题的是（）A．在一个三角形中，等角对等边B．全等三角形对应角相等C．有一个角是60度的等腰三角形是等边三角形D．等腰三角形两个底角相等【答案】B【解析】解：A、逆命题为：在一个三角形中等边对等角，逆命题正确，是真命题；B、逆命题为：对应角相等的三角形是全等三角形，逆命题错误，是假命题；C、逆命题为：如果一个三角形是等边三角形，那么它是一个等腰三角形而且有一个内角等于60°，逆命题正确，是真命题；D、逆命题为：两个角相等的三角形是等腰三角形，逆命题正确，是真命题；9．（2020·南京师范大学附属中学月考）如图，△ABD与△ACE均为正三角形，且AB＜AC，则BE与CD之间的大小关系是（）、A．BE=CD B．BE＞CD C．BE＜CD D．大小关系不确定【答案】A【解析】由全等三角形的判定可证明△BAE△△DAC，从而得出BE=CD．△△ABD与△ACE均为正三角形△BA=DA，AE=AC，△BAD=△CAE=60°△△BAE=△DAC△△BAE△△DAC△BE=CD故选A．10．（2020·兴仁市真武山街道办事处黔龙学校月考）如图，在△ABC中，△C=90°，△ABC=60°，BD平分△ABC，若AD=6，则CD等于（）A．3B．4C．5D．6【解析】解：△△C=90°，△ABC=60°，△△A=30°，△BD平分△ABC，△△CBD=△ABD=△A=30°，△BD=AD=6，△CD= 12BD=6×12=3．故填空答案：A．11．（2020·山东历城期中）如图，在△ABC中，△BAC＝90°，△C＝30°，AD△BC于D，BE 是△ABC的平分线，且交AD于P，如果AP＝2，则AD的长为（）A．2B．3C．4D．6【答案】B【解析】解：△△BAC＝90°，△C＝30°，△△ABC＝60°，△AD△BC，△△BAD＝30°，△BE是△ABC的平分线，△△ABP＝△DBP＝30°，△PB ＝P A ＝2，在Rt△PBD 中，PD ＝12PB ＝1， △AD ＝AP +PD ＝2+1＝3故选：B ．12．（2020·沙坪坝·重庆南开中学月考）如图，ABC ADE DFG ∆∆∆、、均为等边三角形，C E F 、、三点共线，且E 是CF 的中点，下列结论：△ADG EDF ∆≅∆；△AEC ∆为等腰三角形；△=+DF AD GE ；△BAG BCE ∠=∠△60GEB ︒∠=，其中正确的个数为（ ）A ．2B ．3C ．4D ．5【答案】B【解析】 解：△△ADE 、△DFG ，△ABC 为等边三角形，△DA=DE ，DF=DG ，△ADE=△FDG=△AED=△ACB=△DAE=△BAC=60°，△△ADG=△EDF ，△DAB=△CAE ，△△ADG△△EDF ，故△正确，△AG=EF,△AG= EC,如下图，当D 、G 、E 共线时，显然AG≠AE ，AG≠AB ，△EC≠AE，EC≠AC，∆不是等腰三角形, 故△错误，△AEC△AD+EG=DE+GE＞DG，DG=DF△AD+EG＞DF，故△错误．△△ADG△△EDF，△△DEF=△DAG，△△DEF+△AED=△EAC+△ACE=△EAC+△ACB-△BCE，△△EAC-△DEF=△BCE，△△BAG=△DAB-△DAG=△EAC-△DEF，△△BAG=△BCE，故△正确，△△ADG△△EDF，△AG=EF=EC,△△BAG=△BCE，AB=BC△△ABG△△BCE，△△ABG=△EBC，BG=BE,△△EBG=△ABC=60︒，△ΔBEG为等边三角形,△△BEG =60︒，故△正确，故选：B．二．填空题（共6小题）13．（2020·湖南岳阳期中）如图所示，在△ABC中，△BAC＝130°，AB的垂直平分线ME 交BC于点M，交AB于点E，AC的垂直平分线NF交BC于点N，交AC于点F，则△MAN 为________．【答案】80°【解析】解：△△BAC＝130°，△△B＋△C＝180°－130°＝50°．△ME是线段AB的垂直平分线，NF是线段AC的垂直平分线，△MA＝MB，NA=NC，△△MAB＝△B，△NAC＝△C，△△MAB＋△NAC＝△B＋△C＝50°，△△MAN＝130°－50°＝80°．故答案为：80°．=，14．（2020·南京师范大学附属中学树人学校月考）如图，在ABC中，AB AC∠=︒，BAC40BAC∠沿EF（E在BC上，∠的平分线与AB的垂直平分线交于点O，将C∠为______︒F在AC上）折叠，点C与点O恰好重合，则OEC【答案】80【解析】如图，连接OB 、OC ，△40BAC ∠=︒，AO 为BAC ∠的平分线， △11402022BAO CAO BAC ∠=∠=∠=⨯︒=︒， △AB AC =， △()()11180180407022ABC BAC ∠=︒-∠=⨯︒-︒=︒， △DO 是AB 的垂直平分线，△OA OB =，△20ABO BAO ∠=∠=︒，△7020OBC ABC ABO ∠=∠-∠=︒-︒=50︒，在AOB 与AOC △中，AB AC BAO CAO AO AO =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，△△AOB△△AOC （SAS ），△OB OC =，△50OCB OBC ∠=∠=︒，根据翻折的性质可得OE CE =，△50OCE OCE ∠=∠=︒，△80OEC ∠=︒．故答案为：8015．（2020·南京师范大学附属中学树人学校月考）如图，在ABC ∆中，AD 平分BAC ∠交BC 于点D ，点,M N 分别是AD 和AB 上的动点，当12ABC S ∆=，8AC =时，BM MN +的最小值等于__________．【答案】3【解析】解：如图，△AD 是△BAC 的平分线，△点B 关于AD 的对称点B′在AC 上，过点B′作B′N△AB于N交AD于M，由轴对称确定最短路线问题，点M即为使BM+MN最小的点，B′N=BM+MN，过点B作BE△AC于E，△AC=8，S△ABC=20，△12×8•BE=12，解得BE=3，△AD是△BAC的平分线，B′与B关于AD对称，△AB=AB′，△11''22AB B N AB BE⋅=⋅,△B′N=BE=3，即BM+MN的最小值是3．故答案为3．16．（2020·遵义市第十六中学）如图，△ABC中，△C＝90°，AB的垂直平分线DE交BC 于D，若△CAD＝20°，则△B＝_____．【答案】35°【解析】解：△AB的垂直平分线DE交BC于D，△AD＝BD，△△B＝△DAB，△△C＝90°，△CAD＝20°，△△CDA＝70°，△△DAB＝△B＝35°，故答案为：35°．17．（2020·江苏建湖·汇文实验月考）.如图，等边△ABC的边长为2cm，D，E分别是AB，AC上的点，将△ADE沿直线DE折叠，点A落在点A'处，且点A'在△ABC外部，则阴影部分图形的周长为______ cm【答案】6【解析】解：将△ADE沿直线DE折叠，点A落在点A′处，所以AD=A′D，AE=A′E．则阴影部分图形的周长等于BC+BD+CE+A′D+A′E，=BC+BD+CE+AD+AE，=BC+AB+AC，=6cm．18．（2020·海口市第十四中学月考）如图，已知等边三角形ABC，AB=2，点D在AB上，点F在AC的延长线上，BD=CF，DE△BC于E，FG△BC于G，DF交BC于点P，则下列结论：△BE=CG；△△EDP△△GFP；△点P是BG的中点；△EP=1．其中一定正确的是_________．(填写序号)【答案】△△△【解析】△已知等边三角形ABC∠=∠△B ACB∠=∠△ACB GCF∠=∠△B GCF△DE△BC ，FG△BC△90BED CGF ∠=∠=△BD=CF△BED GCF △≌△△DE=GF ，BE=CG ，故△正确；又△DE△BC ，FG△BC△//DE GF△EDP GFP ∠=∠△EPD GPF ∠=∠△△EDP△△GFP ，故△正确；△EP GP =△=BP BE EP GP +>△点P 不是BG 的中点，故△错误；△CG EC BE CE BC +=+=又△等边三角形ABC ，AB=2△2BC AB ==△2CG EC BC +== △112EP GP BC ===，故△正确； 故答案为：△△△．三．解析题（共6小题）19．（2020·湖南岳阳期中）如图，等边三角形ABC的边长为12，D为AC边上一动点，E 为AB延长线上一动点，DE交CB于点P，点P为DE中点．（1）求证：CD＝BE；（2）若DE△AC，求BP的长．【答案】（1）见解析；（2）BP=4．【解析】（1）如图，过点D作DF△AB，交BC于F，△△ABC是等边三角形，△△A＝△ABC＝△C＝60°．△DF△AB，△△CDF＝△A＝60°，△DFC＝△ABC＝60°，△DFP＝△EBP，△△CDF是等边三角形，△CD＝DF．△点P为DE中点，△PD＝PE，在△PDF和△PEB中，PFD PBEDPF EPB PD PE∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩△△PDF△△PEB （AAS ），△DF ＝BE ，△CD ＝BE ．（2）△DE△AC ，△△ADE ＝90°，△△E ＝90°－△A ＝30°，△AD ＝12AE ，△BPE ＝△ABC －△E ＝30°＝△E ， △BP ＝BE ．由（1）得CD ＝BE ，△BP ＝BE ＝CD ，设BP ＝x ，则BE ＝CD ＝x ，AD ＝12－x ．△12－x ＝12（12＋x ）， 解得x ＝4，即BP 的长为4．20．（2020·南京师范大学附属中学树人学校月考）在ABC 中，90BAC ∠>︒，AB 的垂直平分线交BC 于M ，交AB 于E ，AC 的垂直平分线交BC 于N ，交AC 于F ．（1）若AB AC =，120BAC ∠=︒，求证BM MN NC ==；（2）由（1）可知AMN 是______三角形；（3）去掉（1）中的“120BAC ∠=︒”的条件，其他不变，判断AMN 的形状，并证明你的结论；（4）当B 与C ∠满足怎样的数量关系时，AMN 是等腰三角形？直接写出所有可能的情况．【答案】（1）见解析；（2）等边；（3）等腰三角形，理由见解析；（4）△当B C ∠=∠时，AM AN =；△当290B C ∠+∠=︒时，MN NA =；△当290B C ∠+∠=︒时，MN MA =【解析】（1）连接AM ，AN ，△AB AC =，120BAC ∠=︒，△30B C ∠=∠=︒，△AB 的垂直平分线交BC 于M ，AC 的垂直平分线交BC 于N ，△BM AM =，CN AN =，△30C CAN ∠=∠=︒，30B BAM ∠=∠=°，△60AMN B BAM ∠=∠+∠=︒，60ANM C CAN ∠=∠+∠=︒，△60MAN ∠=︒，即AMN 是等边三角形，△AM MN NA ==，△BM MN NC ==；（2）等边，证明过程见（1）；（3）等腰三角形，理由如下：△AB AC =，△B C ∠=∠，△AB 的垂直平分线交BC 于M ，AC 的垂直平分线交BC 于N ，△BM AM =，CN AN =，△B BAM ∠=∠，C CAN ∠=∠，△2AMN B BAM B ∠=∠+∠=∠，2ANM C CAN C ∠=∠+∠=∠，△B C ∠=∠，△AMN ANM ∠=∠，△AM AN =，△AMN 是等腰三角形；（4）根据上面的证明过程，得到：2AMN B ∠=∠，2ANM C ∠=∠，()18022MAN B C ∠=︒-∠+∠，△当AM AN =时，AMN ANM ∠=∠，即B C ∠=∠；△当MN NA =时，AMN MAN ∠=∠，即()218022B B C ∠=︒-∠+∠，整理得290B C ∠+∠=︒；△当MN MA =时，ANM MAN ∠=∠，即()218022C B C ∠=︒-∠+∠，整理得290B C ∠+∠=︒，综上：当B C ∠=∠或290B C ∠+∠=︒或290B C ∠+∠=︒时AMN 是等腰三角形． 21．（2020·乐清市英华学校期中）如图，在平面直角坐标系中，△ABC 的顶点A （0，1），B （3，2），C （1，4）均在正方形网格的格点上．（1）画出△ABC 关于x 轴的对称图形△A 1B 1C 1；（2）将△A 1B 1C 1沿x 轴方向向左平移3个单位后得到△A 2B 2C 2，写出顶点A 2，B 2，C 2的坐标．【答案】（1）答案见解析；（2）A 2（﹣3，﹣1），B 2（0，﹣2），C 2（﹣2，﹣4）．【解析】解：(1)、如图所示：△A 1B 1C 1，即为所求；(2)、如图所示：△A 2B 2C 2，即为所求，点A 2（﹣3，﹣2），B 2（0，﹣3），C 2（﹣2，﹣5）22．（2020·山东岱岳期末）如图，在△ABC 中，AB AC =,点D E F 、、分别在AB BC AC 、、 边上，且BE CF =, BD CE = .△.求证：△DEF 是等腰三角形；△.当40A ∠= 时，求DEF ∠的度数.【答案】（1）证明见解析；（2）70°【解析】证明：△AB =AC ，△△ABC =△ACB ．在△DBE 和△CEF 中，△BE CF ABC ACB BD CE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，△△DBE △△CEF ，△DE =EF ，△△DEF 是等腰三角形；（2）△△DBE △△CEF ，△△1=△3，△2=△4．△△A +△B +△C =180°，△△B=12（180°﹣40°）=70°，△△1+△2=110°，△△3+△2=110°，△△DEF=70°．23．（2020·常州市武进区遥观初级中学月考）在等边三角形ABC中,点E在AB上,点D在CB的延长线上,且AE=BD,（1）当点E为AB的中点时,如图1,求证:EC=ED;（2）当点E不是AB的中点时,如图2,过点E作EF//BC,求证:△AEF是等边三角形;（3）在第(2)小题的条件下,EC与ED还相等吗,请说明理由.【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）EC ED，见解析.【解析】（1）如图1，在等边△ABC中，AB=BC=AC，△△ABC=△ACB=△A=60°，△AE=EB=BD ， △△ECB=12△ACB=30°，△EDB=△DEB=12△ACB=30°， △△EDB=△ECB ，△EC=ED ；（2）如图2，△EF△BC ，△△AEF=△ABC=60°，△AFE=△C=60°，△△AEF 为等边三角形；（3）EC=ED ；理由：△△AEF=△ABC=60°，△△EFC=△DBE=120°，△AB=AC ，AE=AF ，△AB -AE=AC -AF ，即BE=FC ，在△DBE 和△EFC 中，DB EF DBE EFC BE FC =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，△△DBE△△EFC（SAS），△ED=EC．24．（2020·沭阳县修远中学月考）如图△，△ABC中，AB=AC，△ABC、△ACB的平分线交于O点，过O点作EF△BC交AB、AC于E、F．（1）猜想：EF与BE、CF之间有怎样的关系，并说明理由．（2）如图△，若AB≠AC，其他条件不变，在第（1）问中EF与BE、CF间的关系还存在吗？若存在，请说明理由．（3）如图△，若△ABC中△ABC的平分线BO与三角形外角平分线CO交于O，过O点作OE△BC交AB于E，交AC于F．这时EF与BE、CF关系又如何？请说明理由．【答案】（1）EF=BE+FC，理由见解析；（2）还存在，理由见解析；（3）EF=BE﹣FC，理由见解析．【解析】解：（1）EF、BE、FC的关系是EF=BE+FC．理由如下：△OB、OC平分△ABC、△ACB，△△ABO=△OBC，△ACO=△OCB，△EF△BC，△△EOB=△OBC，△FOC=△OCB，△△EOB =△EBO，△FOC =△FCO，△EO=EB，FO=FC，△EF=EO+OF，△EF =BE+CF；（2）当AB≠AC时，EF =BE+CF仍然成立．理由如下：△OB、OC平分△ABC、△ACB，△△ABO=△OBC，△ACO=△OCB，△EF△BC，△△EOB=△OBC，△FOC=△OCB，△△EOB =△EBO，△FOC =△FCO，△EO=EB，FO=FC，△EF=EO+OF，△EF =BE+CF；（3）EF=BE﹣FC．理由如下：如图△，△OB、OC平分△ABC、△ACG，△△ABO=△OBC，△ACO=△OCG，△EF△BC，△△EOB=△OBC，△FOC=△OCG，△△EOB =△EBO，△FOC =△ACO，△EO=EB，FO=FC，△EF=EO－OF，△EF=BE－CF．。
中考复习第十四章轴对称(含答案)
第十四章轴对称【课标要求】【知识梳理】掌握这部分内容，首先弄明白轴对称及轴对称图形之间的区别与联系；以及中心对称与中心对称图形之间的区别与联系。
知道哪些图形是轴对称图形，哪些图形是中心对称图形，中考中常以填空、选择形式出现。
【能力训练】一、填空题1．轴对称图形的对称轴是一条_____________。
110，则其它两个内角为_____________度。
2．等腰三角形的一个内角为3．写出6个是轴对称图形的英文字母：_________________________ 。
4．写出五个具有轴对称性质的汉字：______ 。
5．等腰三角形有_____________条对称轴；五角星有_____________条对称轴；角的对称轴是这个角的_________________；。
6．平面上不重合的两点的对称轴是____ _________，线段是轴对称图形，它有_____________条对称轴。
7．一个等腰三角形有两边分别为4和8厘米，则周长是______ _______厘米。
8．举出生活中具有轴对称性质的事物（至少三个）：____________________________________________________________。
9．若AC 是等腰∆ABC 的高，则AC 也是____ _________，还是_____________。
10．等边三角形的周长是30厘米，一边上的高是8厘米，则三角形的面积为______ _______。
二、选择题1．下列图形中，不是轴对称图形的是( ) A ．等边三角形B ．等腰直角三角形C ．不等边三角形D ．线段2．如图，轴对称图形有（ ）A ．3 个B ．4个C ．5个D ．6个 3．下列说法中，正确的是（ ）A ．关于某直线对称的两个三角形是全等三角形B ．全等三角形是关于某直线对称的C ．两个图形关于某直线对称，则这两个图形一定分别位于这条直线的两侧D ．有一条公共边的两个全等三角形关于公共边所在的直线对称4．在线段、两条相交直线、等腰三角形和圆四个图形中，是轴对称图形的个数是（ ）A ．1个B ．2个C ．4个D ．3个5．如图，DE 是∆ABC 中AC 边的垂直平分线，若BC=8厘米， AB=10厘米，则∆ABC 的周长为（ ）厘米 A ．16 B ．28 C ．26 D ．18 6．下列图形中，不是轴对称图形的是（ ）A ．有两条边相等的三角形B ．有一个角为︒60的Rt ∆C ．有一个角为︒60的等腰三角形D ．一个内角为︒40，一个内角为︒100的三角形7．当你看到镜子中的你在用右手往左梳理你的头发时，实际上你是（ ） A ．右手往左梳 B ．右手往右梳 C ．左手往左梳 D ．左手往右梳 8．下列说法正确的是( )A ．等腰三角形的高、中线、角平分线互相重合B ．顶角相等的两个等腰三角形全等C ．等腰三角形一边不可以是另一边的二倍D ．等腰三角形的两个底角相等三、作图题1．找出下列图形的所有的对称轴，并一一画出来。
轴对称单元复习与巩固
轴对称单元复习与巩固一、目标与策略明确学习目标及主要的学习方法是提高学习效率的首要条件，要做到心中有数！学习目标：● 理解轴对称图形和两个图形成轴对称的概念，了解轴对称图形的对称轴，两个图形关于某直线对称的对称轴、对应点；● 能按要求作出简单平面图形经过一次或两次轴对称后的图形；● 掌握等腰三角形的性质，并能运用等腰三角形的性质进行证明和计算．重点难点：● 重点：轴对称的性质（其它轴对称变换及应用；利用轴对称设计图案；用坐标轴表示轴对称等都是围绕这一性质进行的）；等腰三角形的性质与判定（是证明线段和角相等的重要根据，应用也比较广泛）． ● 难点：推理证明．学习策略：● 通过对生活中的轴对称现象的认识，进一步理解轴对称的性质、轴对称变换，并能作出一些简单的平面图形关于一条直线的对称图形，在此基础上，通过操作和思考，进一步认识特殊的轴对称图形──等腰三角形，并探究等腰三角形的性质及等腰三角形的判定．在探究等腰三角形的相关问题后，再对等边三角形的相关内容进行深入研究．二、学习与应用知识网络详细内容请参看网校资源ID ：#tbjx1#214712“凡事预则立，不预则废”．科学地预习才能使我们上课听讲更有目的性和针对性．我们要在预习的基础上，认真听讲，做到眼睛看、耳朵听、心里想、手上记．知识点一：轴对称和轴对称图形（一）轴对称（1）定义：如果一个图形沿着一条直线折叠，能够和另一个图形相互重合，那么这关于这条直线对称，这条直线就是它的 ，也可以说这两个图形关于这条直线成轴对称，如下图：（2）特征：①关于某条直线对称的两个图形形状 ，大小 ． ②如果两个图形关于某条直线对称，则对称轴是对应点连线的 ．③两个图形关于某条直线对称，如果它们的对应线段或延长线相交，那么它们的交点在 上．④成轴对称的两个图形全等．（二）轴对称图形（1）定义：如果 沿着一条直线折叠，直线两旁的部分能够相互重合，那么 叫做轴对称图形，这条直线就是它的 ．例如，等腰三角形是轴对称图形，它的底边的垂直平分线是它的对称轴．其它如，等边三角形、矩形、圆、菱形、等腰梯形等都是轴对称图形．如图1．知识要点——预习和课堂学习认真阅读、理解教材，尝试把下列知识要点内容补充完整，带着自己预习的疑惑认真听课学习．请在虚线部分填写预习内容，在实线部分填写课堂学习内容．课堂笔记或者其它补充填在右栏．预习和课堂学习更多知识点解析请学习网校资源ID ：#tbjx5#214712（2）轴对称图形的性质：轴对称图形的对称轴，是．（三）轴对称与轴对称图形的区别和联系（1）区别：轴对称是指个图形的位置关系，轴对称图形是指个具有特殊形状的个图形．（2）联系：轴对称的两个图形和轴对称图形，都能沿某一条折叠后重合；如果把轴对称图形沿对称轴分成两部分，那么这两个图形就关于这条直线成；如果把两个成轴对称的图形看成一个整体，那么它就是一个．知识点二：线段的垂直平分线的性质线段的垂直平分线的一点，到这条线段的两端的相等．反过来，到线段的两个端点的的点，在这条线段的上．知识点三：等腰三角形（一）等腰三角形性质（1）等腰三角形的两个底角相等，即“”注意：常结合三角形内角和定理及推论解决角度的计算问题．（2）等腰三角形的平分线、上的中线与上的高线互相重合（简称“三线合一”）．注意：等腰是前提条件，一条线段为顶角平分线（或底边上的中线或底边上的高线）是必要条件，这两个条件必须同时具备，才能得出这条线段也是底边上的中线和底边上的高线（其他两条）的结论，如下图：特别地，等腰直角三角形的每个底角都等于 ． （二）等腰三角形的判定如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的 也相等（即“等角对 ”）知识点四：等边三角形（一）等边三角形性质：等边三角形的三个角 ，并且每个角都等于 ．（二）等边三角形的判定（1）有三条 相等的三角形是等边三角形． （2）有三个 相等的三角形是等边三角形． （3）有一个角为 的等腰三角形是等边三角形．（三）在直角三角形中，如果一个锐角等于 ，那么它所对的直角边等于斜边的一半．类型一：最短路问题例1．要在河边l 修建一个水泵站，分别向A、B 两村送水，水泵站应修建在河边的什么地方，可使所用的水管最短？思路点拨：要解决这个问题，需找出点A 或点B 关于直线l 的对称点，根据轴对称的性A ．B ．l经典例题-自主学习认真分析、解答下列例题，尝试总结提升各类型题目的规律和技巧，然后完成举一反三．若有其它补充可填在右栏空白处．更多精彩请参看网校资源ID ：#jdlt0#214712质及三角形的三边关系即可得到答案．总结升华：举一反三：☆【变式1】公园里两条小河MO、NO在O处汇合，两河形成的半岛上有一处古迹P，如图，现计划在两条小河上各建一座小桥Q和R，并在半岛上修三段小路，连通两座小桥与古迹，这两座小桥应建在何处，才能使修路费用最少？【变式2】如图，在平面直角坐标系中，点P（2，3），Q（3，2），请在x轴和y轴上分别找到M点和N点，使四边形PQMN周长最小试作出M点和N点.类型二：判断对称例2．（1）0-9十个数字中，哪些是轴对称图形？（2）在英文字母“A，C，D，E，F，J”中是轴对称图形的有哪些？（3）中国的汉字有没有轴对称性？（举例）思路点拨：按照轴对称图形的概念，对其中每个字母或数字认真分析比较．总结升华：．举一反三：【变式1】下列几何图形是轴对称图形吗？如果是，请指出对称轴的条数．【变式2】下列图案是轴对称图形的有( )类型三：需要添加辅助线的题目☆☆例3．已知△ABC中，∠B=2∠A，AB=2BC．求证：△ABC是直角三角形．思路点拨：当由已知很难推出某角为直角时，不妨试着作出直角，再证明待求角等于作出的直角．总结升华：．举一反三：☆☆【变式1】已知：如图，AB＝AC，E为AB上一点，F是AC延长线上一点，且BE＝CF，EF交BC于点D. 求证：DE＝DF.【变式2】已知：如图，在ABC∆中，AD平分BAC∠，ACBDAB=+，求CB∠∠:的值．第 10 题图CDBA☆☆【变式3】已知在△ABC中，∠C=2∠B．求证：AC2AB<．类型四：等腰三角形性质的应用例4．有一个等腰三角形，三边分别是3x－2，4x－3，6－2x，求等腰三角形的周长．思路点拨：已知等腰三角形三边长，说明必有两边相等，但必须分_____种情况分析．总结升华：涉及到边的问题时，可以按、分类讨论．举一反三：☆【变式1】如图，△ABC中，AB＝AC，∠A＝36°，BD平分∠ABC，CE平分∠ACB，CE与BD交于点O，求图中所有的等腰三角形．☆【变式2】在△ABC中，AB=AC，∠1=12∠ABC，∠2=12∠ACB，BD与CE相交于点O，如图，∠BOC的大小与∠A的大小有什么关系？若∠1=13∠ABC，∠2=13∠ACB，则∠BOC与∠A大小关系如何？若∠1=1n ∠ABC，∠2=1n∠ACB，则∠BOC与∠A大小关系如何？类型五：综合应用例5．（2011山东泰安）已知：在△ABC中，AC=BC，∠ACB=900，点D是AB的中点，点E 是AB边上一点。
2021年中考数学总复习突破-轴对称(原卷版)
2021年数学中考一轮单元总复习达标精准突破（原卷版）轴对称单元知识点呈现知识点1：轴对称1.对称轴：如果一个图形沿某条直线折叠后，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫做轴对称图形；这条直线叫做对称轴。
2.对称点：把一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这条直线对称，这条直线叫做对称轴，折叠后重合的点是对应点，叫做对称点。
3.线段的垂直平分线定义：经过线段中点并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线。
线段的垂直平分线的性质（1）轴对称图形的对称轴，是任何一对对应点所连线段的垂直平分线。
（2）角平分线上的点到角两边距离相等。
（3）线段垂直平分线上的任意一点到线段两个端点的距离相等。
（4）与一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。
（5）轴对称图形上对应线段相等、对应角相等。
知识点2：画轴对称图形的方法几何图形都可以看作由点组成，对于某些图形，只要画出图形中的一些特殊点（如线段端点）的对称点，连接这些对称点，就可以得到原图形的轴对称图形。
知识点3：等腰三角形与等边三角形1.等腰三角形的性质：等腰三角形的两个底角相等，（等边对等角）2.等腰三角形的顶角平分线、底边上的高、底边上的中线互相重合，简称为“三线合一”。
3.等腰三角形的判定：等角对等边。
4.等边三角形角的特点：三个内角相等，等于60°，5.等边三角形的判定：三个角都相等的三角形是等腰三角形。
有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形有两个角是60°的三角形是等边三角形。
6.直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半。
7．直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。
重点及方法解读一、学习线段的垂直平分线要求1.掌握线段的垂直平分线的性质定理及其逆定理，能够利用尺规作已知线段的垂直平分线．2.会证明三角形的三条中垂线必交于一点.掌握三角形的外心性质定理.3.已知底边和底边上的高，求作等腰三角形.4.能运用线段的垂直平分线的性质定理及其逆定理解决简单的几何问题及实际问题．二、线段的垂直平分线要点梳理要点一、线段的垂直平分线1. 线段的垂直平分线定义。
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考点14 轴对称巩固应用
一．选择题（共12小题）
1．（2020·四川达州期末）下列交通标志是轴对称图形的是（）
A．B．C．D．
2．（2020·海林市朝鲜族中学月考）如图，点D，E分别在线段AB，AC上，CD与BE相交于O点，已知AB=AC，现添加以下的哪个条件仍不能判定△ABE△△ACD（）
A．△B=△C B．AD=AE C．BD=CE D．BE=CD 3．（2020·河南汝阳期末）如图，△ABC的面积为6，AC=3，现将△ABC沿AB所在直线翻折，使点C落在直线AD上的C′处，P为直线AD上的一点，则线段BP的长不可能是（）
A．3B．4C．5.5D．10 4．（2020·江阴市夏港中学月考）如图，AC＝AD，BC＝BD，则有（）
A．AB垂直平分CD B．CD垂直平分AB
C．AB与CD互相垂直平分D．CD平分△ACB
5．（2020·无锡市积余实验学校月考）如图，△ABC中，AB=5，AC=6，BC=4，边AB的垂直平分线交AC于点D，则△BDC的周长是（）
A．8B．9C．10D．11 6．（2020·湖南岳阳期中）如图，在△ABC中，CD△AB于D，BE△AC于E，且BD＝CD，BE与CD相交于F，下列结论中：
△DF＝DA；△△A＋△DFE＝180°；△BF＝AC；△若BE平分△ABC，则CE＝1
2 BF．
正确的有（）
A．1个B．2个C．3个D．4个7．（2020·海口市第十四中学月考）如图，在△ABC中，△ABC＝60°，△C＝45°，AD是BC 边上的高，△ABC的平分线BE交AD于点F，则图中共有等腰三角形( )
A．2个B．3个C．4个D．5个8．（2020·山东岱岳期末）下列定理中，逆命题是假命题的是（）
A．在一个三角形中，等角对等边
B．全等三角形对应角相等
C．有一个角是60度的等腰三角形是等边三角形
D．等腰三角形两个底角相等
9．（2020·南京师范大学附属中学月考）如图，△ABD与△ACE均为正三角形，且AB＜AC，则BE与CD之间的大小关系是（）、
A．BE=CD B．BE＞CD C．BE＜CD D．大小关系不确定10．（2020·兴仁市真武山街道办事处黔龙学校月考）如图，在△ABC中，△C=90°，△ABC=60°，BD平分△ABC，若AD=6，则CD等于（）
A．3B．4C．5D．6 11．（2020·山东历城期中）如图，在△ABC中，△BAC＝90°，△C＝30°，AD△BC于D，BE 是△ABC的平分线，且交AD于P，如果AP＝2，则AD的长为（）
A ．2
B ．3
C ．4
D ．6
12．（2020·沙坪坝·重庆南开中学月考）如图，ABC ADE DFG ∆∆∆、、均为等边三角形，
C E F 、、三点共线，且E 是CF 的中点，下列结论：△ADG EDF ∆≅∆；△AEC ∆为等
腰三角形；△=+DF AD GE ；△BAG BCE ∠=∠△60GEB ︒∠=，其中正确的个数为（ ）
A ．2
B ．3
C ．4
D ．5
二．填空题（共6小题）
13．（2020·湖南岳阳期中）如图所示，在△ABC 中，△BAC ＝130°，AB 的垂直平分线ME
交BC 于点M ，交AB 于点E ，AC 的垂直平分线NF 交BC 于点N ，交AC 于点F ，则△MAN
为________．
14．（2020·南京师范大学附属中学树人学校月考）如图，在ABC 中，AB AC =，
40BAC ∠=︒，BAC ∠的平分线与AB 的垂直平分线交于点O ，
将C ∠沿EF （E 在BC 上，F 在AC 上）折叠，点C 与点O 恰好重合，则OEC ∠为______︒
15．（2020·南京师范大学附属中学树人学校月考）如图，在ABC ∆中，AD 平分BAC ∠交BC 于点D ，点,M N 分别是AD 和AB 上的动点，当12ABC S ∆=，8AC =时，BM MN +的最小值等于__________．
16．（2020·遵义市第十六中学）如图，△ABC 中，△C ＝90°，AB 的垂直平分线DE 交BC 于D ，若△CAD ＝20°，则△B ＝_____．
17．（2020·江苏建湖·汇文实验月考）.
如图，等边△ABC 的边长为2cm ，D ，E 分别是AB ，AC 上的点，将△ADE 沿直线DE 折叠，
点A 落在点A '处，且点A '在△ABC 外部，则阴影部分图形的周长为______ cm
18．（2020·海口市第十四中学月考）如图，已知等边三角形ABC，AB=2，点D在AB上，点F在AC的延长线上，BD=CF，DE△BC于E，FG△BC于G，DF交BC于点P，则下列结论：△BE=CG；△△EDP△△GFP；△点P是BG的中点；△EP=1．其中一定正确的是
_________．(填写序号)
三．解析题（共6小题）
19．（2020·湖南岳阳期中）如图，等边三角形ABC的边长为12，D为AC边上一动点，E 为AB延长线上一动点，DE交CB于点P，点P为DE中点．
（1）求证：CD＝BE；
（2）若DE△AC，求BP的长．
20．（2020·南京师范大学附属中学树人学校月考）在ABC 中，90BAC ∠>︒，AB 的垂直平分线交BC 于M ，交AB 于E ，AC 的垂直平分线交BC 于N ，交AC 于F ．
（1）若AB AC =，120BAC ∠=︒，求证BM MN NC ==；
（2）由（1）可知AMN 是______三角形；
（3）去掉（1）中的“120BAC ∠=︒”的条件，其他不变，判断AMN 的形状，并证明你的结论；
（4）当B 与C ∠满足怎样的数量关系时，AMN 是等腰三角形？直接写出所有可能的情况．
21．（2020·乐清市英华学校期中）如图，在平面直角坐标系中，△ABC 的顶点A （0，1），B （3，2），C （1，4）均在正方形网格的格点上．
（1）画出△ABC 关于x 轴的对称图形△A 1B 1C 1；
（2）将△A 1B 1C 1沿x 轴方向向左平移3个单位后得到△A 2B 2C 2，写出顶点A 2，B 2，C 2的坐标．
22．（2020·山东岱岳期末）如图，在△ABC 中，AB AC =,点D E F 、、分别在AB BC AC 、、 边上，且BE CF =, BD CE = .
△.求证：△DEF 是等腰三角形；
△.当40A ∠= 时，求DEF ∠的度数.
23．（2020·常州市武进区遥观初级中学月考）在等边三角形ABC 中,点E 在AB 上,点D 在CB 的延长线上,且AE=BD,
（1）当点E 为AB 的中点时,如图1,求证:EC=ED;
（2）当点E 不是AB 的中点时,如图2,过点E 作EF//BC,求证:△AEF 是等边三角形; （3）在第(2)小题的条件下,EC 与ED 还相等吗,请说明理由.
24．（2020·沭阳县修远中学月考）如图△，△ABC中，AB=AC，△ABC、△ACB的平分线交于O点，过O点作EF△BC交AB、AC于E、F．
（1）猜想：EF与BE、CF之间有怎样的关系，并说明理由．
（2）如图△，若AB≠AC，其他条件不变，在第（1）问中EF与BE、CF间的关系还存在吗？若存在，请说明理由．
（3）如图△，若△ABC中△ABC的平分线BO与三角形外角平分线CO交于O，过O点作OE△BC交AB于E，交AC于F．这时EF与BE、CF关系又如何？请说明理由．。