高一数学培优专题(已修正)
高一数学培优专题一答案解析
高一数学培优专题一---------二次函数1．【2018豫南九校期末考】已知函数()223f x x ax =--在区间[]1,2上是单调增函数，则实数a 的取值范围为（ ）A ．(),1-∞B ．(],1-∞C ．()2,+∞D ．[)2,+∞【答案】B【解析】函数f (x )＝x 2－2ax －3的图象开口向上，对称轴为直线x ＝a ，画出草图如图所示．由图象可知，函数在[a ，＋∞)上是单调增函数，因此要使函数f (x )在区间[1，2]上是单调增函数，只需a ≤1，从而a ∈(－∞，1]，故选B ．2【2018安徽宣城三校联考】函数()()2325f x kx k x =+--在[)1+∞，上单调递增，则k取值范围是（ ）【答案】D【名师点睛】解答本题时注意以下两点：（1）对于函数()()2325f x kx k x =+--，需要通过讨论k 的取值情况来判断函数的类型．（2）对于二次函数的单调性问题，在解决过程中要依据二次函数图象的开口方向和对称轴与所给区间的位置关系进行分析讨论求解．3【2018河北保定一模】已知函数()f x 既是二次函数又是幂函数，函数()g x 是R 上的奇函数，函数()()()11g x h x f x =++，则()()()()()()()()()201820172016101201620172018h h h h h h h h h ++++++-++-+-+-=（ ）A ．0B ．2018C ．4036D ．4037A ．()0+∞，B ．2,5⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦C ．23⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭，D ．25⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭，【答案】D【解析】因为函数()f x 既是二次函数又是幂函数，所以()()()2211g x f x x h x x =∴=++，因此()()()()()()220112,0111101g x g x g h x h x h x x -+-=+++==+=+++，因此()()()()()()()()()2018201720161012016201720182018214037h h h h h h h h h ++++++-+-+-+-=⨯+=，故选D ．4．设二次函数()22f x ax bx =+-，如果()()12f x f x = ()12x x ≠，则()12f x x +=_________________ 【答案】－2所以()212222b b b f x x f a b a a a ⎛⎫⎛⎫+=-=⋅+⋅--=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭5．（本小题满分12分）已知函数2()(0)f x ax bx c a =++≠满足(0)1f =，对任意x R ∈，都有1()x f x -≤，且()(1)f x f x =-． 求函数()f x 的解析式；6．【2018安徽宣城三校联考】（本小题满分10分）已知,a b 为常数，且0a ≠，()2f x ax bx =+， ()20f =．（1）若方程()0f x x -=有唯一实数根，求函数()f x 的解析式； （2）当1a =时，求函数()f x 在区间[]1,2-上的最大值与最小值； 【解析】试题分析：（1）由()20f =可得2b a =-，故()()22f x a x x =-，根据方程有唯一实数根，可得判别式为0，求得a 后可得解析式．（2）当1a =时， ()22f x x x =-，结合抛物线的开口方向和对称轴与区间的关系求最值． 试题解析：()2420f a b =+=，∴2b a =-，∴()()2222f x ax ax a x x =-=-．（1）∵方程()0f x x -=有唯一实数根，即方程()2210ax a x -+=有唯一实数根，∴∆=()2210a +=，解得12a =-，∴()212f x x x =-+． （2）当1a =时， ()22f x x x =-， []1,2x ∈-，∴函数()f x 在[]1,1-上单调递减，在[]1,2上单调递增．∴()()min 11f x f ==-，又()()13,20f f -==，∴()()max 13f x f =-=． ∴函数()f x 在区间[]1,2-上的最大值与最小值分别为3， 1-．。
高一年段数学培优教材(5)
高一年段数学培优教材第五讲 平面向量（1）一、基础知识：1．向量的运算： 加法：;AB BC AC +=设1122(,),(,)a x y b x y ==则1212(,)a b x x y y +=++减法：;AB AC CB -=设1122(,),(,)a x y b x y ==则1212(,)a b x x y y -=--实数与向量的积： 向量a λ与a的关系； 设(,),a x y =则(,)()a x y R λλλλ=∈||||||||a a a λλ==⋅22||a a a a =⋅=向量的数量积： ||||c o s (a b a b θθ⋅=⋅⋅ 是a 与b 的夹角）； 设1122(,),(,)a x y b x y ==则1212a b x x y y ⋅=+2．向量的关系： ①不等关系： ||||||||||||a b a b a b -≤±≤+ ||||||a b a b ⋅≤⋅（注意等号的条件） ②设1122(,),(,),0a x y b x y b ==≠则a b ⇔,a b λ=12210a b x y x y ⇔-=12120;0a b a b a b x x y y ⊥⇔⋅=⊥⇔+=3．平面向量的基本定理：如果12,e e是同一平面内的不共线向量，那么对于这个平面内的任一向量a，有且只有一对实数,λμ，使12a e e λμ=+。
相关结论：如果12,e e 是同一平面内的不共线向量，且120e e λμ+=，则0λμ==点O 、A 、B 、C 在同一平面内，A 、B 、C 共线的充要条件是：(1)OA xOB yOC x y =++=4．常用公式：22222()2()()a b a a b b a b a b a b ±=±⋅++⋅-=-ABC ∆中，M 为BC 边的中点，G 为重心， 则10;();02AB BC CA AM AB AC GA GB GC ++==+++=二、综合应用：例1：求证：三角形的三条中线交于一点。
高一年级数学培优辅导专题(必修1)
高一年级数学培优辅导专题（必修1）一、选择题1. 已知集合{}{}260,1,2,3,4M x Z x N =∈-<=，则MN = ( )A ．{}1,2,3B ．{}2,3,4C ．{}2,3D ．{}1,2 2. 设},4|{},4|{2<=<=x x Q x x P 则 （ ）A.Q P ⊆B.Q P ⊆C.Q C P R ⊆D.P C Q R ⊆ 3. 设集合{}1->∈=x Q x A ，则（ ）A ．A ∅∉B ．2A ∉C ．{2}A ∈D ．{}2A4．已知全集U ＝Z ，{}x x x A ==2，B ＝{－1,0,1,2}，则图中的阴影部分所表示的集合等于 ( )A. {－1,2}B. {－1,0}C. {0,1}D. {1,2}5．设全集U 是实数集R ，集合}2|{2x x x M >=，}0)1(log |{2≤-=x x N ，则N M C )(U 为A ．}21|{<<x xB ．}21|{≤≤x xC ．}21|{≤<x xD ．}21|{<≤x x6．下列式子中，不正确．．．的是 A ．{}34x x ∈≤ B ．{}{}33R -=- C ．{}0∅=∅ D ．{}{}10x x -⊆<7. 若)12(log 1)(5.0+=x x f ，则函数)(x f 的定义域为 ( )A.),21(+∞-B. ),0(+∞C. )0,21(-D. ]0,21(- 8. 若1)31(-a 31<，则a 的取值范围是 ( ) A ．()1,-+∞ B ．(),2-∞ C ．(),1-∞- D ．[)2,+∞9. 下列给出函数()f x 与()g x 的各组中，表示同一函数的是 （ ）A.2()1,()1x f x x g x x=-=- B. 2)()(,)(x x g x x f == C.33)(,)(x x g x x f == D. ||x y x =与1,01,0x y x ≥⎧=⎨-<⎩10. 函数y = ）A ．{}|0x x ≥B ．{}|1x x ≥C ．{}|01x x ≤≤D ．{}{}|10x x ≥11．函数())f x x =-的定义域为A ．[)0,1B ．()0,1C ．(]0,1D ．[]0,1 12．已知a ，b R ∈，若a b >，则下列不等式成立的是A ．lg lg a b >B ．0.50.5ab> C ．1122a b > D >13. 已知⎩⎨⎧<+≥-=)6()2()6(5)(x x f x x x f ，则)3(f 为（ ）A.2B.3C.4 D ．5 14. 若函数()f x =3442++-mx mx x 的定义域为R ,则实数m 的取值范围是 （ ）A ．),(+∞-∞ B. ⎪⎭⎫⎢⎣⎡43,0C. ⎪⎭⎫⎝⎛+∞,43 D. ⎥⎦⎤ ⎝⎛43,015. 定义在R 上的偶函数()f x 满足：对任意的1212,[0,)()x x x x ∈+∞≠，有2121()()0f x f x x x -<-，则 ( )A ．(3)(2)(1)f f f <-< B. (1)(2)(3)f f f <-<C. (2)(1)(3)f f f -<<D. (3)(1)(2)f f f <<-16．下列图形中，不可作为函数)(x f y =图象的是 ( )17.函数12x y +=的图象是 （ ）18．函数1()(0,1)xf x a a a a=->≠的图象可能是 D.C.B.A.O1yx1O1yx1O1yx1O1yx119. 若函数)1,0()(≠>=a a a x f x为增函数，那么11log )(1+=x x g a的图象是（ ） yxO AyxO ByxO CyxO D20．函数()32xf x x =+-的零点所在的一个区间是A ．()1,2B ．()0,1C ．()2,1--D ．()1,0-21.如果函数2()2(1)2f x x a x =+-+在区间(],4-∞上单调递减，那么实数a 的取值范（ ）A ．3a ≤-B ．3a ≥-C ．5a ≤D ．5a > 二、填空题1. 已知集合⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈-∈=N x N x A 68|，试用列举法表示集合A = 2.已知集合{}{},2,1,0,,=c b a 且下列三个关系：21≠a ）（；2)2(=b ；0)3(≠c 有且只有一个正确，则c b a ++10100等于 .3．已知函数()f x 的定义域和值域都是{}1,2,3,4,5，其对应关系如下表所示，则((4))f f = ．x1 2 3 4 5()f x5431 24．函数()f x 满足：(1)(3),f x x x x R +=+∈，则()f x = ． 5. 函数y =|x －1|的减区间是 ．6、函数1322+-+-=x x x x y 的值域为 ．7．奇函数)(x f 在),0(+∞上的解析式是)1()(-=x x x f ，则在)0,(-∞上)(x f 的函数析式是_______________. 8. 设函数f(x)是定义在R 上的奇函数，且f(3)=5，求满足f(-3)＝三、解答题1．（本小题满分8分）已知集合{},71|≤≤=x x U {}52|≤≤=x x A ，{}73|≤≤=x x B ，求:（1）A B ；（2）()U C A B ；（3）)(B C A U2．（本小题满分9分）设集合2{320}A x x x =-+=，22{2(1)(5)0}B x x a x a =+++-= (1)若{2}A B =，求实数a 的值；(2)若A B A =，求实数a 的取值范围．3.已知函数0.5()l g (42)f x o x =-，（Ⅰ）求函数f(x)的定义域；（Ⅱ）判断并证明函数)(x f y =在定义域上的单调性；4．（本小题满分10分）已知函数21)(xbx x f ++=为奇函数。
高考数学专题培优20讲(含答案)
培优点一 函数的图象与性质1.单调性的判断例１：（1）函数()212log (4)f x x -=的单调递增区间是（ ）A ．(0,)+∞B ．(0),-∞C ．(2,)+∞D ．(),2-∞-（2）223y x x +-+=的单调递增区间为________． 【答案】（1）D ；（2）(],1-∞-，[]0,1【解析】（1）因为12log y t =，0t >在定义域上是减函数，所以求原函数的单调递增区间，即求函数24t x =-的单调递减区间，结合函数的定义域，可知所求区间为(),2-∞-． （2）由题意知，当0x ≥时，222314()y x x x =-+=--++；当0x <时，222314()y x x x =-+=-+-+，二次函数的图象如图．由图象可知，函数223y x x +-+=在(],1-∞-，[]0,1上是增函数．2．利用单调性求最值例2：函数1y x x =+-________． 【答案】1【解析】易知函数1y x x =+-[1,)+∞上为增函数，∴1x =时，min 1y =．3．利用单调性比较大小、解抽象函数不等式例3：（1）已知函数()f x 的图象向左平移1个单位后关于y 轴对称，当211x x >>时，()()2121()0f x f x x x -⋅-⎡⎤⎣⎦<恒成立，设12a f ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，()2b f =，()3c f =，则a ，b ，c 的大小关系为 （ ） A ．c a b >> B ．c b a >>C ．a c b >>D ．b a c >>（2）定义在R 上的奇函数()y f x =在(0,)+∞上递增，且102f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，则满足19log 0f x ⎛⎫> ⎪⎝⎭的x 的集合为________________．【答案】（1）D ；（2）1|0133x x x ⎧⎫<<<<⎨⎬⎭⎩或【解析】（1）根据已知可得函数()f x 的图象关于直线=1x 对称，且在(1,)+∞上是减函数，因为1522a f f ⎛⎫⎛⎫=-=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，且52<<32，所以b a c >>．（2）由题意知102f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，102f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，由19log 0f x ⎛⎫> ⎪⎝⎭得191log 2x >或191log 02x -<<解得103x <<或13x <<．４．奇偶性例４：已知偶函数()f x 在区间[0,)+∞上单调递增，则满足1(21)3f x f ⎛⎫-< ⎪⎝⎭的x 的取值范围是（ ）A ．12,33⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．12,33⎡⎫⎪⎢⎣⎭C ．12,23⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．12,23⎡⎫⎪⎢⎣⎭【答案】A【解析】因为()f x 是偶函数，所以其图象关于y 轴对称，又()f x 在[0,)+∞上单调递增，1(21)3f x f ⎛⎫-< ⎪⎝⎭，所以1|21|3x -<，所以1233x <<．５．轴对称例５：已知定义域为R 的函数()y f x =在[]0,7上只有1和3两个零点，且()2y f x =+与()7y f x =+都是偶函数，则函数()y f x =在[]0,2013上的零点个数为（ ）A ．404B ．804C ．806D ．402【答案】C 【解析】()2f x +，()7f x +为偶函数()()22f x f x ∴+=-+，()()77f x f x +=-+，()f x ∴关于2x =，7x =轴对称，()f x ∴为周期函数，且()27210T =⋅-=，∴将[]0,2013划分为[)[)[)[]0,1010,202000,20102010,2013()f x 关于2x =，7x =轴对称()()4f x f x ∴=-，()()14f x f x =- ()()160f f ==，()()()814860f f f =-==，()()()34310f f f =-==∴在[)0,10中只含有四个零点，而[)[)[)0,1010,202000,2010共201组所以2014804N =⨯=；在[]2010,2013中，含有零点()()201110f f ==，()()201330f f ==共两个，所以一共有806个零点６．中心对称例６：函数()f x 的定义域为R ，若()1f x +与()1f x -都是奇函数，则（ ） A ．()f x 是偶函数B ．()f x 是奇函数C ．()()2f x f x =+D ．()3f x +是奇函数【答案】D【解析】从已知条件入手可先看()f x 的性质，由()1f x +，()1f x -为奇函数分别可得到：()()11f x f x +=--+，()()11f x f x -=---，所以()f x 关于()1,0，()1,0-中心对称，双对称出周期可求得()2114T =⋅--=⎡⎤⎣⎦，所以C 不正确，且由已知条件无法推出一定符合A ，B ．对于D 选项，因为4T =，所以()()()511f x f x f x +=+=--+，进而可推出()f x 关于()3,0中心对称，所以()3f x +为()f x 图像向左平移3个单位，即关于()0,0对称，所以()3f x +为奇函数，D 正确．７．周期性的应用例７：已知()f x 是定义在R 上的偶函数，()g x 是定义在R 上的奇函数，且()()1g x f x =-， 则()()20172019f f +的值为（ ） A ．1- B ．1 C ．0 D ．无法计算【答案】C【解析】由题意，得(()1)g x f x ---=，∵()f x 是定义在R 上的偶函数，()g x 是定义在R 上的奇函数，∴()()g x g x -=-，()()f x f x -=，∴()()11f x f x =--+， ∴()(2)f x f x +=-，∴()()4f x f x =+，∴()f x 的周期为4， ∴()20171f f =（），()()20193(1)f f f ==-， 又∵()1100()f f g -===（），∴()()201720190f f +=．一、选择题1．若函数()2||f x x a =+的单调递增区间是[3,)+∞，则a 的值为（ ） A ．2- B ．2C ．6-D ．6【答案】C【解析】由图象易知函数()2||f x x a =+的单调增区间是,2a ⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭，令=32a -，∴6a =-．2．已知函数2(og 1)l y ax =-在()1,2上是增函数，则实数a 的取值范围是（ ） A ．(]0,1 B ．[]1,2C ．[1,)+∞D ．[2,)+∞【答案】C【解析】要使2(og 1)l y ax =-在()1,2上是增函数，则0a >且10a -≥，即1a ≥． 3．设函数()()()ln 1ln 1f x x x =-+-，则()f x 是（ ） A ．奇函数，且在(0,1)内是增函数 B ．奇函数，且在(0,1)内是减函数 C ．偶函数，且在(0,1)内是增函数 D ．偶函数，且在(0,1)内是减函数 【答案】A【解析】易知()f x 的定义域为()1,1-，且()()()ln 1l (n 1)f x x x f x -+-=-=-，则()y f x =为对点增分集训奇函数，又ln 1ln 1()()y x y x =+=--与在(0,1)上是增函数，所以()()()ln 1ln 1f x x x =-+-在(0,1)上是增函数．4．已知函数()y f x =的图象关于1x =对称，且在(1,)+∞上单调递增，设12a f ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，()2b f =，()3c f =，则a ，b ，c 的大小关系为（ ）A ．c b a <<B ．b a c <<C ．b c a <<D ．a b c <<【答案】B【解析】∵函数图象关于1x =对称，∴1522a f f ⎛⎫⎛⎫=-=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，又()y f x =在(1,)+∞上单调递增，∴5(2)(3)2f f f ⎛⎫<< ⎪⎝⎭，即b a c <<，故选B ．5．已知()f x 是奇函数，()g x 是偶函数，且()2(11)f g -+=，())114(f g -=+，则()1g 等于（ ） A ．4 B ．3 C ．2 D ．1【答案】B【解析】由已知得()()11f f -=-，()()11g g -=，则有()()()()112114f g f g -+=⎧⎪⎨+=⎪⎩解得()13g =，故选B ．6．函数1()cos (0)f x x x x x x ⎛⎫=--π≤≤π≠ ⎪⎝⎭且的图象可能为（ ）【答案】D【解析】因为11()cos()cos ()f x x x x x f x x x ⎛⎫⎛⎫-=-+-=--=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，x -π≤≤π且0x ≠，所以函数()f x 为奇函数，排除A ，B ．当x =π时，1()cos 0f x ⎛⎫=π-π< ⎪π⎝⎭，排除C ，故选D ．7．奇函数()f x 的定义域为R ，若()1f x +为偶函数，且()12f =，则()()45f f +的值为（ ） A ．2 B ．1 C ．1- D ．2-【答案】A【解析】∵()1f x +为偶函数，∴1()()1f x f x -=++，则(()2)f x f x +-=， 又()y f x =为奇函数，则()2()()f x f x f x -=+-=，且()00f =． 从而()2(()4)f x f x f x -+=+=，()y f x =的周期为4． ∴()()()()4501022f f f f +=+=+=，故选A ．8．函数()f x 的图象向右平移1个单位，所得图象与曲线e x y =关于y 轴对称，则()f x 的解析式为（ ） A ．()1e x f x += B ．()1e x f x -= C ．()1e x f x -+= D ．()1e x f x --=【答案】D【解析】与e x y =的图象关于y 轴对称的函数为e x y -=．依题意，()f x 的图象向右平移一个单位，得e x y -=的图象．∴()f x 的图象由e x y -=的图象向左平移一个单位得到．∴()1)1(e e x x f x +---==．9．使2)og (l 1x x <+-成立的x 的取值范围是（ ） A ．()1,0- B ．[)1,0-C ．()2,0-D ．[)2,0-【答案】A【解析】在同一坐标系内作出2(log )y x -=，1y x =+的图象，知满足条件的,0()1x ∈-，故选A ．10．已知偶函数()f x 对于任意R x ∈都有()()1f x f x +=-，且()f x 在区间[]0,1上是单调递增的，则()65f -．，1()f -，()0f 的大小关系是（ ） A ．()0 6.5()()1f f f <-<- B ．()6.5()()01f f f -<<- C ．()()(60)1.5f f f -<-< D ．()10()( 6.5)f f f -<<-【答案】A【解析】由()()1f x f x +=-，得()1(()2)f x f x f x -+=+=，∴函数()f x 的周期是2． ∵函数()f x 为偶函数，∴ 6.50.5()()(0.)5f f f -=-=，()()11f f -=．∵()f x 在区间[]0,1上是单调递增的，∴()()00.5(1)f f f <<，即()0 6.5()()1f f f <-<-． 11．对任意的实数x 都有()()()221f x f x f -=+，若(1)y f x =-的图象关于1x =对称，且()02f =，则()()20152016f f +=（ ） A ．0 B ．2C ．3D ．4【答案】B【解析】(1)y f x =-的图象关于1x =对称，则函数()y f x =的图象关于0x =对称， 即函数()f x 是偶函数，令1x =-，则()121(12)()f f f --=+-， ∴()()()11210f f f -==，即()10f ＝，则()()2(210)f x f x f -=+=，即()2()f x f x +=，则函数的周期是2，又()02f =， 则()()()()2015201610022f f f f +=+=+=．12．已知函数()e 1x f x =-，()243g x x x =-+-，若存在()()f a g b =，则实数b 的取值范围为（ ） A ．[0,3]B ．(1,3)C．2⎡⎣ D．(2+【答案】D【解析】由题可知()e 11x f x =->-，()2243211()g x x x x -=---++≤=， 若()()f a g b =，则(),1(]1g b -∈，即2431b b -->-+，即2420b b +<-，解得22b <+b的取值范围为(2+，故选D ．二、填空题13．设函数()10010x x x f x >⎧⎪==⎨⎪-<⎩，()21()g x x f x -=，则函数()g x 的递减区间是_______．【答案】[0,1)【解析】由题意知()22111g x x x x x x ⎧>⎪==⎨⎪-<⎩，函数的图象如图所示的实线部分， 根据图象，()g x 的减区间是[0,1)．14．若函数()R ()f x x ∈是周期为4的奇函数，且在[0,2]上的解析式为()()101sin 12x x x xx f x ⎧-≤≤⎪=⎨π<≤⎪⎩，则294146f f ⎛⎫⎛⎫+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭________． 【答案】516【解析】由于函数()f x 是周期为4的奇函数，所以294137373724244646435si 64n 161666f f f f f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=⨯-+⨯-=-+-=--= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭π-⎝⎭⎝⎭⎝⎭+=⎝⎭．15．设函数()||f x x a =+，()1g x x =-，对于任意的R x ∈，不等式()()f x g x ≥恒成立，则实数a 的取 值范围是________． 【答案】[)1,-+∞【解析】如图作出函数()||f x x a =+与()1g x x =-的图象，观察图象可知：当且仅当1a -≤，即1a ≥-时，不等式()()f x g x ≥恒成立，因此a 的取值范围是[)1,-+∞．16．设定义在R 上的函数()f x 同时满足以下条件：①()0()f x f x +-=；②()()2f x f x =+；③当01x ≤≤时，()21x f x =-，则()1351(2)222f f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭________．【解析】依题意知：函数f (x )为奇函数且周期为2，∴()1351(2)222f f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ ()1111(0)222f f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++-++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭()1111(0)222f f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭()()11021102121212f f f ⎛⎫=++=-++= ⎪⎝⎭--三、解答题17．已知函数()ln(2)af x x x=+-，其中a 是大于0的常数． （1）求函数()f x 的定义域；（2）当4()1,a ∈时，求函数()f x 在[2,)+∞上的最小值； （3）若对任意,[)2x ∈+∞恒有()0f x >，试确定a 的取值范围． 【答案】（1）见解析；（2）ln 2a；（3）(2,)+∞．【解析】（1）由20a x x+->，得220x x ax -+>，当1a >时，220x x a +>-恒成立，定义域为(0,)+∞， 当1a =时，定义域为0{|}1x x x >≠且，当01a <<时，定义域为{|011x x x <<>．（2）设()2a g x x x=+-，当4()1,a ∈，,[)2x ∈+∞时，∴222()10a x ag x x x -'=-=>．因此()g x 在[2,)+∞上是增函数，∴()f x 在[2,)+∞上是增函数．则min ()(2)ln 2af x f ==． （3）对任意,[)2x ∈+∞，恒有()0f x >．即21ax x+->对,[)2x ∈+∞恒成立． ∴23a x x >-．令()23h x x x =-，,[)2x ∈+∞．由于239()24h x x ⎛⎫=--+ ⎪⎝⎭在[2,)+∞上是减函数，∴()()max 22h x h ==．故2a >时，恒有()0f x >．因此实数a 的取值范围为(2,)+∞．18．设()f x 是定义域为R 的周期函数，最小正周期为2，且()1()1f x f x =+-，当10x -≤≤时，()f x x =-．（1）判定()f x 的奇偶性；（2）试求出函数()f x 在区间[]1,2-上的表达式．【答案】（1）()f x 是偶函数；（2）()[]()[]1,00,121,2x x xx x x f x ⎧-∈-⎪=∈⎨⎪-+∈⎩． 【解析】（1）∵()1()1f x f x =+-，∴(()2)f x f x =+-．又()2()f x f x +=，∴()()f x f x -=．又()f x 的定义域为R ，∴()f x 是偶函数． （2）当1[]0,x ∈时，1,[]0x --∈，则()()f x f x x =-=；进而当12x ≤≤时，120x -≤-≤，()2()2()2f x f x x x ==-=---+． 故()[]()[]1,00,121,2x x xx x x f x ⎧-∈-⎪=∈⎨⎪-+∈⎩．培优点二 函数零点1．零点的判断与证明例1：已知定义在()1,+∞上的函数()ln 2f x x x =--， 求证：()f x 存在唯一的零点，且零点属于()3,4． 【答案】见解析 【解析】()111x f x x x-'=-=，()1,x ∈+∞，()0f x '∴>，()f x ∴在()1,+∞单调递增，()31ln30f =-<，()42ln 20f =->，()()340f f ∴<，()03,4x ∴∃∈，使得()00f x =因为()f x 单调，所以()f x 的零点唯一．2．零点的个数问题例2：已知函数()f x 满足()()3f x f x =，当[)1,3x ∈，()ln f x x =，若在区间[)1,9内， 函数()()g x f x ax =-有三个不同零点，则实数a 的取值范围是（ ） A ．ln 31,3e ⎛⎫⎪⎝⎭B ．ln 31,93e ⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．ln 31,92e ⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．ln 3ln 3,93⎛⎫ ⎪⎝⎭【答案】B 【解析】()()()33x f x f x f x f ⎛⎫=⇒= ⎪⎝⎭，当[)3,9x ∈时，()ln 33x x f x f ⎛⎫== ⎪⎝⎭，所以()ln 13ln 393xx f x xx ≤<⎧⎪=⎨≤<⎪⎩，而()()g x f x ax =-有三个不同零点⇔()y f x =与y ax =有三个不同交点，如图所示，可得直线y ax =应在图中两条虚线之间，所以可解得：ln3193ea <<3．零点的性质例3：已知定义在R 上的函数()f x 满足：()[)[)2220,121,0x x f x xx ⎧+∈⎪=⎨-∈-⎪⎩，且()()2f x f x +=，()252x g x x +=+，则方程()()f x g x =在区间[]5,1-上的所有实根之和为（ ） A ．5- B ．6- C ．7- D ．8-【答案】C【解析】先做图观察实根的特点，在[)1,1-中，通过作图可发现()f x 在()1,1-关于()0,2中心对称，由()()2f x f x +=可得()f x 是周期为2的周期函数，则在下一个周期()3,1--中，()f x 关于()2,2-中心对称，以此类推。
高中数学培优班专题资料（包含答案）
空间几何体的表面积和体积培优班专题资料考点一 几何体的表面积(1)一个正方体的棱长为m ，表面积为n ，一个球的半径为p ，表面积为q .若m p ＝2，则n q＝( ) A.8πB.6πC.π6D.π8解析 由题意可以得到n ＝6m 2，q ＝4πp 2，所以n q ＝6m 24πp 2＝32π×4＝6πB. 答案 B(2)某一几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为( )A ．54B ．58C ．60D ．63解析 由三视图可知，该几何体是一个棱长为3的正方体截去一个长、宽、高分别为1，1，3的长方体，所以该几何体的表面积S 表＝6×32＋2×1×3＝60. 答案 C(3)(2015·陕西，5)一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为A ．3πB ．4πC ．2π＋4D ．3π＋4解析 由三视图可知原几何体为半圆柱，底面半径为1，高为2，则表面积为：S ＝2×12π×12＋12×2π×1×2＋2×2＝π＋2π＋4＝3π＋4. 答案 D(4)(2015·安徽，7)一个四面体的三视图如图所示，则该四面体的表面积是( )A ．1＋ 3B ．2＋ 3C ．1＋2 2D ．2 2解析 由空间几何体的三视图可得该空间几何体的直观图，如图，∴该四面体的表面积为S 表＝2×12×2×1＋2×34×(2)2＝2＋3，故选B. 答案 B(5)(2015·新课标全国Ⅱ，9)已知A ，B 是球O 的球面上两点，∠AOB ＝90°，C 为该球面上的动点，若三棱锥O －ABC 体积的最大值为36，则球O 的表面积为( ) A ．36πB ．64πC ．144πD ．256π解析 如图，要使三棱锥O －ABC 即C －OAB 的体积最大，当且仅当点C 到平面OAB 的距离，即三棱锥C －OAB 底面OAB 上的高最大，其最大值为球O 的半径R ，则V O －ABC 最大＝V C －OAB 最大＝13×12S △OAB ×R ＝13×12×R 2×R ＝16R 3＝36，所以R ＝6，得S 球O ＝4πR 2＝4π×62＝144π，选C. 答案 C(6)(2014·重庆，7)某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为( )A ．54B ．60C ．66D ．72解析 该几何体的直观图如图所示，易知该几何体的表面是由两个直角三角形，两个直角梯形和一个矩形组成的，则其表面积S ＝12×3×4＋12×3×5＋2＋52×5＋2＋52×4＋3×5＝60.选B.答案 B(7)(2014·浙江，3)某几何体的三视图(单位：cm)如图所示，则此几何体的表面积是( )A ．90 cm 2B ．129 cm 2C ．132 cm 2D ．138 cm 2解析 由三视图可知该几何体由一个直三棱柱与一个长方体组合而成(如图)，其表面积为S ＝3×5＋2×12×4×3＋4×3＋3×3＋2×4×3＋2×4×6＋3×6＝138(cm 2)．答案 D(8)(2014·大纲全国，8)正四棱锥的顶点都在同一球面上．若该棱锥的高为4，底面边长为2，则该球的表面积为( ) A.81π4B ．16πC ．9πD.27π4解析 设球的半径为R ，由题意可得(4－R )2＋(2)2＝R 2，解得R ＝94，所以该球的表面积为4πR 2＝81π4.故选A.(9)(2014·安徽，7)一个多面体的三视图如图所示，则该多面体的表面积为( )A ．21＋ 3B ．18＋3C ．21D ．18解析 根据题意作出直观图如图，该多面体是由正方体切去两个角而得到的，根据三视图可知其表面积为6(22－12×1×1)＋2×34×(2)2＝6×72＋3＝21＋ 3.故选A.答案 A(10)(2012·安徽，12)某几何体的三视图如图所示，该几何体的表面积是________．解析 由三视图可知，该几何体为底面是直角梯形且侧棱垂直于底面的棱柱，故该几何体的表面积为S＝2×12×(2＋5)×4＋[2＋5＋4＋42＋（5－2）2]×4＝92.答案 92考点二 几何体的体积(1)某几何体的三视图如图所示，且该几何体的体积是3，则正视图中的x 的值是( )A ．2 B.92 C.32D ．3解析 根据三视图判断几何体为四棱锥，其直观图是：V ＝13×1＋22×2x ＝3⇒x ＝3. 故选D. 答案 D(2)(2015·山东，7)在梯形ABCD 中，∠ABC ＝π2，AD ∥BC ，BC ＝2AD ＝2AB ＝2.将梯形ABCD 绕AD 所在的直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体的体积为( ) A.2π3B.4π3C.5π3D ．2π解析 如图，由题意，得BC ＝2，AD ＝AB ＝1.绕AD 所在直线旋转一周后所得几何体为一个圆柱挖去一个圆锥的组合体．所求体积V ＝π×12×2－13π×12×1＝53π.答案 C(3)(2015·重庆，5)某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为( )A.13＋π B.23＋π C.13＋2π D.23＋2π解析 这是一个三棱锥与半个圆柱的组合体，V ＝12π×12×2＋13⎝⎛⎭⎫12×1×2×1＝π＋13，选A.答案 A (4)(2015·新课标全国Ⅱ，6)一个正方体被一个平面截去一部分后，剩余部分的三视图如图所示，则截去部分体积与剩余部分体积的比值为()A.18B.17C.16D.15解析 如图，由题意知，该几何体是正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1被过三点A 、B 1、D 1的平面所截剩余部分，截去的部分为三棱锥A －A 1B 1D 1，设正方体的棱长为1，则截去部分体积与剩余部分体积的比值为111111A A B D B C D ABCDV V --＝1111111111A AB D A BCD ABCD A A B D V V V ----＝13×12×12×113－13×12×12×1＝15，选D.答案 D(5)某几何体的三视图如图所示，它的体积为()A ．72πB ．48πC ．30πD ．24π解析 由三视图可知，该几何体是半个球体和一个倒立圆锥体的组合体，球的半径为3，圆锥的底面半径为3，高为4，则根据体积公式可得几何体的体积为30π，故选C.答案 C(6)(2014·陕西，5)已知底面边长为1，侧棱长为2的正四棱柱的各顶点均在同一个球面上，则该球的体积为( ) A.32π3B ．4πC ．2πD.4π3解析 如图为正四棱柱AC 1.根据题意得AC ＝2，∴对角面ACC 1A 1为正方形，∴外接球直径2R ＝A 1C ＝2，∴R ＝1，∴V 球＝4π3，故选D.答案 D(7)(2014·湖北，8)《算数书》竹简于上世纪八十年代在湖北省江陵县张家山出土，这是我国现存最早的有系统的数学典籍，其中记载有求“囷盖”的术：置如其周，令相乘也．又以高乘之，三十六成一．该术相当于给出了由圆锥的底面周长L 与高h ，计算其体积V 的近似公式V ≈136L 2h .它实际上是将圆锥体积公式中的圆周率π近似取为3.那么，近似公式V ≈275L 2h 相当于将圆锥体积公式中的π近似取为( ) A.227B.258C.15750D.355113解析 圆锥的体积V ＝13πr 2h ＝13π⎝⎛⎭⎫L 2π2h ＝L 2h 12π，由题意得12π≈752，π近似取为258，故选B.答案 B(8)(2014·新课标全国Ⅱ，6)如图，网格纸上正方形小格的边长为1(表示1 cm)，图中粗线画出的是某零件的三视图，该零件由一个底面半径为3 cm ，高为6 cm 的圆柱体毛坯切削得到，则切削掉部分的体积与原来毛坯体积的比值为( )A.1727B.59C.1027D.13解析 由三视图知该零件是两个圆柱的组合体．一个圆柱的底面半径为2 cm ，高为4 cm ；另一个圆柱的底面半径为3 cm ，高为2 cm.则零件的体积V 1＝π×22×4＋π×32×2＝34π(cm 3)．而毛坯的体积V ＝π×32×6＝54π(cm 3)，因此切削掉部分的体积V 2＝V －V 1＝54π－34π＝20π(cm 3)，所以V 2V ＝20π54π＝1027.故选C.答案 C (9)(2012·新课标全国，11)已知三棱锥S ABC 的所有顶点都在球O 的球面上， △ABC 是边长为1的正三角形，SC 为球O 的直径，且SC ＝2，则此棱锥的体积为( ) A.26B.36C.23D.22解析 如图，H 为△ABC 的外接圆圆心，则∠BHC ＝120°，设△ABC 的外接圆半径为r ，则1＝BC 2＝HC 2＋HB 2－2HC ·HB ·cos 120°＝3r 2， ∴r ＝33. 连接OH ，根据球的截面性质知，OH ⊥平面ABC ，∴OH ＝OC 2－CH 2＝1－13＝63∵O 为SC 的中点，∴S 到平面ABC 的距离为2OH ＝263，∴V S ABC ＝13S △ABC ×263＝13×34×263＝26.答案 A(10)(2015·江苏，9)现有橡皮泥制作的底面半径为5，高为4的圆锥和底面半径为2、高为8的圆柱各一个．若将它们重新制作成总体积与高均保持不变，但底面半径相同的新的圆锥与圆柱各一个，则新的底面半径为________．解析 设新的底面半径为r ，由题意得13πr 2·4＋πr 2·8＝13π×52×4＋π×22×8，解得r ＝7.答案7(11)(2014·江苏，8)设甲、乙两个圆柱的底面积分别为S 1，S 2，体积分别为V 1，V 2，若它们的侧面积相等，且S 1S 2＝94，则V 1V 2的值是________．解析 设圆柱甲的底面半径为r 1，高为h 1，圆柱乙的底面半径为r 2，高为h 2.由题意得S 1S 2＝πr 21πr 22＝94，∴r 1r 2＝32. 又∵S 甲侧＝S 乙侧，即2πr 1h 1＝2πr 2h 2，∴h 1h 2＝r 2r 1＝23， 故V 1V 2＝S 1h 1S 2h 2＝S 1S 2·h 1h 2＝94×23＝32答案 32(12)(2013·江苏，8)如图，在三棱柱A 1B 1C 1ABC 中，D ，E ，F 分别是AB ，AC ，AA 1的中点，设三棱锥F ADE 的体积为V 1，三棱柱A 1B 1C 1ABC 的体积为V 2，则V 1∶V 2＝________.解析 由题意可知点F 到面ABC 的距离与点A 1到面ABC 的距离之比为1∶2，S △ADE ∶S △ABC ＝1∶4. 因此V 1∶V 2＝13AF ·S △AED 2AF ·S △ABC＝1∶24.答案 1∶24。
高一数学培优拔高讲义第四讲精编版
高一数学培优拔高讲义 第四讲 函数的整体性质与函数图像【知识方法导航】1.函数的奇偶性与周期性：奇函数；偶函数；周期函数。
2.判断函数奇偶性的方法：定义法；等价转化法；性质法；图象法。
3.判断函数周期性的方法：定义法；公式法；迭代法；图象法。
4.两个重要函数的性质：线性分式函数的性质；对勾函数的性质。
5.函数的图像：描点法作图；变换法作图(平移、伸缩、对称、翻折)。
6..简单的对称问题：关于直线a x =对称问题；关于点),(b a 对称问题。
【题型策略导航】1. 已知函数y=()f x 是偶函数，y=(2)f x -在[0,2]上是单调减函数，则( )A. (0)f <(1)f -<(2)fB. (1)f -<(0)f <(2)fC. (1)f -<(2)f <(0)fD. (2)f <(1)f -<(0)f变式：1. 定义在R 上的奇函数()f x 在(0,)+∞上是增函数，又(3)0f -=，则不等式()0xf x <的解集为：（ ）A.(3,0)(0,3)-B.(,3)(3,)-∞-+∞C.(3,0)(3,)-+∞D.(,3)(0,3)-∞-2. 若函数()f x 是定义在R 上的偶函数，且在(,0]-∞上是减函数，(2)0f =，则使得()f x <0的x 的取值范围是 。
3.若)(x f 在),4(+∞上为减函数，且对任意实数x ，都有)4()4(x f x f -=+，则（ ）.A )3()2(f f > .B )5()2(f f > .C )5()3(f f > .D )6()3(f f >2. 奇函数()f x 的定义域是R,当x>0时，22)(2++-=x x x f ，求()f x 在R 上的表达式，并作出的图像。
变式：1.设函数()f x 是R 上的奇函数，并且当[0,)x ∈+∞时，()f x =(1x ，当(,0)x ∈-∞时，求()f x 。
高一上期数学(必修1+必修4)期末复习培优专题卷附详解
高一上期数学(必修1+必修4)期末复习培优专题卷附详解高一上学期数学（必修1+必修4）期末复培优专题卷一．选择题1.已知定义域为实数集的函数f（x）的图像经过点（1，1），且对任意实数x1<x2，都有f(x1)≤f(x2)，则不等式的解集为（）。
A。
（-∞，1）∪(1，+∞) B。
（-∞，+∞）C。
（1，+∞） D。
（-∞，1）2.对任意x∈[0，2π]，任意y∈（-∞，+∞），不等式-2cosx≥asinx-x恒成立，则实数a的取值范围是（）。
A。
[-3，3] B。
[-2，3] C。
[-2，2] D。
[-3，2]3.定义在实数集上的偶函数f（x）满足f（2-x）=f（x），且当x∈[1，2]时，f（x）=lnx-x+1，若函数g（x）=f（x）+mx有7个零点，则实数m的取值范围为（）。
A。
(-∞，-1/2) B。
(-∞，0)C。
(-1，+∞) D。
(0，+∞)4.定义在实数集上的函数y=f（x）为减函数，且函数y=f （x-1）的图像关于点（1，0）对称，若f（x-2x）+f（2b-b）≤0，且-2≤x≤2，则x-b的取值范围是（）。
A。
[-2，0] B。
[-2，2] C。
[0，2] D。
[0，4]5.设函数f（x）=x^2-2x+1，当x∈[-1，1]时，恒有f（x+a）＜f（x），则实数a的取值范围是（）。
A。
(-∞，-1) B。
(-1，+∞)C。
(-∞，1) D。
(-∞，-2)6.定义域为实数集的函数f（x）满足f（x+2）=2f（x），当x∈[0，2）时，f（x）=x^2-x，若当x∈[-4，-2）时，不等式f（x）≥-t+2恒成立，则实数t的取值范围是（）。
A。
[2，3] B。
[1，3] C。
[1，4] D。
[2，4]7.已知函数f（x）的定义域为D，若对于∀a，b，c∈D，f（a），f（b），f（c）分别为某个三角形的三边长，则称f （x）为“三角形函数”．给出下列四个函数：①f（x）=lg（x+1）（x＞0）；②f（x）=4-cosx；③f（x）=|sinx|；④f（x）=|x|+1.其中为“三角形函数”的个数是（）。
高一数学培优卷三
高一数学培优卷三1.已知三个不等式0342<+-x x ①，0862<+-x x ②，0922<+-m x x ③，要使同时满足①和②的所有x 的值都满足③，则实数m 的取值范围是 （ ）A ．9>mB ．9=mC ．m ≤9D ．m <0≤9答案：C2.不等式①x 2－4x+3<0 ②x 2－6x+8<0 ③2x 2－9x+m<0如果同时满足①、②的变量x 也满足③时，则m 范围为（ ）A ．m>9B ．m<6C ．m ≤6D ．m ≤9答案：D3.已知集合{}{}141,01522+≤≤+=≤--=a x a x B x xx A，且AB ⊆，则a 的取值范围是（ ）(A) 1≤a (B)≥a (C) 10≤≤a (D)14≤≤-a答案：A4若不等式02>++c bx ax 的解集为},21|{<<-x x 那么不等式axc x b x a 2)1()1(2>+-++的解集为( )（A ）{}30|<<x x （B ）{}30|><x x x 或 （C ）{}12|<<-x x (D)}12|{>-<x x x 或答案：A5.若条件p:|x+1|≤4，条件q :x 2＜5x －6，则﹁p 是﹁q 的A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充要条件D.既不充分又不必要条件 答案：A6.若不等式02>++c bx ax 的解集为()2,1-，则不等式ax c x b x a 2)1()1(2>+-++的解集为( )（A ）()1,2- （B ）()()+∞∞-,30, （C ）()3,0 (D ) ()()+∞-∞-,12, 答案：C7．已知抛物线方程为b a c bx ax y ,0(2>++=、)R c ∈.则“此抛物线顶点在直线y=x下方”是“关于x 的不等式x c bx ax<++2有实数解”的 （ ）A ．充分非必要条件B ．必要非充分条件C ．充分必要条件D ．既非充分也非必要条件 答案：A 8.命题p :如果x 2+2x +1－a 2<0,那么－1+a <x <－1－a . 命题q :a <1.那么，q 是p 的（ ）条件. A.必要不充分 B.充分不必要 C.充要D.既不充分也不必要 答案：A9.若集合{}{}2||,0A x x x B x x x ===+≥，则A B =A.[1,0]-B.[0,)+∞C. [1,)+∞D.(,1]-∞- 答案：B10.不等式x x >+2的解集是（ ）A ．（－1，2）B ．[0，2]C ．[2，－2]D ．[0，+∞]答案：A 11.若不等式052>++c x ax的解集是⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈<<R x x x ,2131|，则c a -= 答案-512.若关于x 的方程4x 2-4x +m =0在[-1，1]上至少有一个实根，则m 取值范围是_________.答案：-8≤m ≤1。
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厦大附中高一数学培优专题（一）（2010-3-6/13）知识要点梳理本节公式中，,2a b cs ++=,r 为切圆半径，R 为外接圆半径，Δ为三角形面积. （一). 三角形中的各种关系设△ABC 的三边为a 、b 、c ，对应的三个角A 、B 、C ． 1．角与角关系：A +B +C = π，2．边与边关系：a + b > c ，b + c > a ，c + a > b ，a －b <c ，b －c < a ，c －a < b ．3．边与角关系：正弦定理； R C cB b A a 2sin sin sin ===余弦定理； c 2 = a 2+b 2－2ba cos C ，b 2 = a 2+c 2－2ac cos B ，a 2 = b 2+c 2－2bc cos A ．它们的变形形式有：a = 2R sin A ，b aB A =sin sin ，bca cb A 2cos 222-+=． 3）射影定理：a ＝b ·cos C ＋c ·cos B ，b ＝a ·cos C ＋c ·cos A ， c ＝a ·cos B ＋b ·cos A ．4）面积公式：11sin 224a abcS ah ab C rs R ∆=====（二）、关于三角形角的常用三角恒等式： 1.三角形角定理的变形由A ＋B ＋C ＝π，知A ＝π－（B ＋C ）可得出： sin A ＝sin （B ＋C ），cos A ＝－cos （B ＋C ）． 而222CB A +-=π．有：2cos 2sinC B A +=，2sin 2cosCB A +=．2.常用的恒等式：（1）sin A ＋sin B ＋sin C ＝4cos 2A cos 2B cos 2C ；（2）cos A ＋cos B ＋cos C ＝1＋4sin 2A sin 2B sin 2C ；（3）sin A ＋sin B －sin C ＝4sin 2A sin 2B cos 2C ；（4）cos A ＋cos B －cos C ＝－1＋4cos 2A cos 2B sin 2C ．3．余弦定理判定法：如果c 是三角形的最大边，则有：a 2＋b 2＞c 2⇔ 三角形ABC 是锐角三角形 a 2＋b 2＜c 2 ⇔ 三角形ABC 是钝角三角形 a 2＋b 2=c 2 ⇔ 三角形ABC 是直角三角形(三) 三角形度量问题：求边、角、面积、周长及有关圆半径等。
其中“边边角”（abA ）类型利用正弦定理求角时应判定三角形的个数：(四)积化和差公式)]sin()[sin(21cos sin βαβαβα-++=；)]sin()[sin(21sin cos βαβαβα--+=；)]cos()[cos(21cos cos βαβαβα-++=；)]cos()[cos(21sin sin βαβαβα--+-=(五)和差化积公式2cos 2sin 2sin sin βαβαβα-+=+；2sin2cos2sin sin βαβαβα-+=-； 2cos2cos 2cos cos βαβαβα-+=+；2sin2sin2cos cos βαβαβα-+-=-（一）课前练习（1）ABC ∆中，A 、B的对边分别是 a b 、，且A=60 4,a b ==，那么满足条件的ABC ∆ A 、 有一个解 B 、有两个解 C 、无解 D 、不能确定（2）在△ABC 中，A=60°,b=1,面积为3， 则C B A cb a sin sin sin ++++= .（3）在ABC ∆中， 112(tan A)(tan B )++=，则2log sinC ＝_____(4)在ABC ∆中，a,b,c 分别是角A 、B 、C 所对的边，若(a b c )(sin A sin B +++3sinC )a sin B -=，则C ∠＝____（5）在ABC ∆中，若其面积222a b c S +-=， 则C ∠=30答案：（1）C ；（2）338（3）12-（4）60（5）30；（6）在ABC ∆中，60 1A ,b ==，这个三角形的面积为，则ABC ∆外接圆的直径是_______（7）在△ABC 中，a 、b 、c 是角A 、B 、C 的对边，21,cos 32B C a A +==则= ，22b c+的最大值为（8）在△ABC 中AB=1，BC=2，则角C 的取值围是（9）设O 是锐角三角形ABC 的外心，若75C ∠=，且,,AOB BOC COA ∆∆∆的面积满足关系式AOB BOC COA S S ∆∆∆+=，求A ∠．答案：（6）3；（7）1932;；（8）06C π<≤；（9）45；例题精讲：例1. 在△ABC 中，已知3=a ，2=b ， B=45︒ 。
求A 、C 及c解法一：由正弦定理得：23245sin 3sin sin === b B a A ∵B=45︒<90︒ 即b <a ∴A=60︒或120︒ 当A=60︒时，C=75︒， 22645sin 75sin 2sin sin +===BC b c 当A=120︒时，C=15︒， 22645sin 15sin 2sin sin -===B C b c 解法二：设c =x 由余弦定理 B ac c a bcos 2222-+=将已知条件代入，整理：0162=+-x x ， 解之：226±=x , (1)当226+=c 时 2)13(231226223)226(22cos 22221=++=+⋅⋅-++=-+=bc a c b A从而A=60︒ ，C=75︒(2)当226-=c 时同理可求得：A=120︒ ，C=15︒例 2.已知三角形的一个角为60°，面积为103c ｍ2，周长为20c ｍ，求此三角形的各边长.解析：设三角形的三边长分别为a 、b 、c ，B ＝60°，则依题意得⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=++=︒⋅-+=︒2031060sin 21260cos 222c b a ac ac b c a ⎪⎩⎪⎨⎧=-+==++∴4020222ac ac c a b c b a 由①式得：b 2＝［20－（a ＋c ）］2＝400＋a 2＋c 2＋2ac －40（a ＋c ） ④将②代入④得400＋3ac －40（a ＋c ）＝0再将③代入得a ＋c ＝13由⎩⎨⎧==⎩⎨⎧==⎩⎨⎧==+588540132211c a c a ac c a 或解得 ∴b 1＝7，b 2＝7所以，此三角形三边长分别为5c ｍ，7c ｍ，8c ｍ。
①②③例3. △ABC 中，a 、b 、c 分别是角A 、B 、C 的对边.已知tan A +tan B +3=tan A ·tan B ·3， (1)求∠C 的大小；(2)若c =27，△ABC的面积S△ABC =233，求a +b 的值.解析；(1)tan C =－tan(A +B )=－B A BA tan tan 1tan tan ⋅-+=－BA B A tan tan 1)1tan (tan 3⋅--⋅⋅=3.∵0°＜C ＜180°，∴C =60°.(2)由c =27及余弦定理，得a 2+b 2－2ab cos60°=(27)2.又由S △ABC =21ab sin60°=233，整理得⎪⎩⎪⎨⎧==-+.6,44922ab ab b a ∴(a+b)2=4121，即a+b=211.例4.在△ABC中，AB＝5，AC＝3，D为B C 中点，且AD＝4，求B C边长。
解析：设BC边为ｘ，则由D为BC中点，可得BD＝DC＝2x，在△ADB中，cos ADB＝,2425)2(42222222xxBDADABBDAD⨯⨯-+=⋅⋅-+在△ADC中，cos ADC＝.2423)2(42222222xxDCADACDCAD⨯⨯-+=⋅⋅-+又∠ADB＋∠ADC＝180°∴cos ADB＝cos（180°－∠ADC）＝－cos ADC。
∴2423)2(42425)2(4222222xxxx⨯⨯-+-=⨯⨯-+解得，ｘ＝2, 所以，BC边长为2。
例5. 在△ABC 中，三边长为连续的自然数，且最大角是最小角的2倍，求此三角形的三边长。
解析：设三角形的三边长分别为ｘ，ｘ＋1，ｘ＋2， 其中ｘ∈Ｎ*，又设最小角为α，则ααααcos sin 222sin 2sin ⋅+=+=x x x ,x x 22cos +=∴α---① 又由余弦定理可得ｘ2＝（ｘ＋1）2＋（ｘ＋2）2－2（ｘ＋1）（ｘ＋2）cos α-----②将①代入②整理得：ｘ2－3ｘ－4＝0解之得ｘ1＝4，ｘ2＝－1(舍)所以此三角形三边长为4，5，6例6.如图，在ABC ∆中，2AC =，1BC=，43cos =C ．（1）求AB 的值； （2）求()C A +2sin 的值.解析；（Ⅰ） 由余弦定理，2222..cos AB AC BC AC BC C =+-341221 2.4=+-⨯⨯⨯= 那么， 2.AB =（Ⅱ）解：由3cos 4C =，且0,C π<<得27sin 1cos .4C C =-=由正弦定理，,sin sin AB BCC A=解得sin 14sin 8BC C A AB ==。
所以，52cos 8A =。
由倍角公式57sin 2sin 2cos 16A A A =⋅=，且29cos 212sin 16A A =-=，故()37sin 2sin 2cos cos 2sin 8A C A C A C +=+=例7.在45,5ABC B AC C∆∠=︒==中，,求（1）?BC=(2)若点D AB是的中点，求中线CD的长度。
解析：（1）由cos sin55C C==得sin sin(18045)(cos sin)210A C C C=--=+=由正弦定理知sinsin102ACBC AB=⋅=⋅=（2）sin2sin52ACAB CB=⋅=⋅=112BD AB==由余弦定理知CD===例8.在锐角ABC △中，角AB C ，，所对的边分别为a b c ，，，已知sin 3A =，（1）求22tan sin 22B C A++的值；（2）若2a =，ABC S =△，求b 的值．解析：（1）因为锐角△ABC 中，A ＋B ＋C ＝π，sin 3A =，所以cosA ＝13，则；22222B Csin B C A A 2tan sin sin B C 222cos 21cos B C 11cos A 171cos A 1cos B C 21cosA 33＋＋＋＝＋＋－（＋）＋＝＋（－）＝＋＝＋（＋）－ （2）ABC ABC 11S 2S bcsin A bc 223•因为＝，又＝＝， 则bc ＝3。