伯努利方程式
伯努利方程三种形式公式
伯努利方程三种形式公式
第一种形式的伯努利方程公式是：
P₁ + 1/2ρv₁² + ρgh₁ = P₂ + 1/2ρv₂² + ρgh₂
其中P₁和P₂分别表示两个位置的压力，ρ表示流体的密度，v₁和v₂表示两个位置的流速，g为重力加速度，h₁和h₂表示两个位置的高度。
这个公式描述了流体在两个位置之间能量守恒的关系。
等式左边的第
一项表示压力能，第二项表示动能，第三项表示单位质量的重力势能。
等
式右边的三项表示相应位置的压力能、动能和重力势能。
这个公式适用于
流体在不完全关闭的管道、管道两端处于同一高度的情况。
第二种形式的伯努利方程公式是：
P + 1/2ρv² + ρgh = const
这是一个简化形式的伯努利方程，它将两个位置的参数合并成一个常数。
这个公式的物理意义是，当流体在流动过程中没有受到外界力的作用时，流体的总能量保持不变。
这个公式适用于理想的水平管道、无摩擦的
流动。
第三种形式的伯努利方程公式是：
P + 1/2ρv² = const
这是伯努利方程的最简形式，它忽略了重力势能的影响。
这个公式适
用于理想的非粘性流体在无重力情况下的流动，如气体等。
这三种形式的伯努利方程公式分别适用于不同的流体力学问题。
选择
适用的公式取决于具体的流动条件和需要分析的问题。
无论选择哪种形式，
伯努利方程都提供了一个重要的工具，可以帮助我们研究流体力学中的能量转换和守恒。
伯努利定律
伯努利定律在一个流体系统，比如气流、水流中，流速越快，流体产生的压力就越小，这就是被称为“流体力学之父”的丹尼尔·伯努利1738年发现的“伯努利定律”。
这个压力产生的力量是巨大的，空气能够托起沉重的飞机，就是利用了伯努利定律。
飞机机翼的上表面是流畅的曲面，下表面则是平面。
这样，机翼上表面的气流速度就大于下表面的气流速度，所以机翼下方气流产生的压力就大于上方气流的压力，飞机就被这巨大的压力差“托住”了。
当然了，这个压力到底有多大，一个高深的流体力学公式“伯努利方程”会去计算它。
方程式v=流动速度伯努利定律g=地心加速度(地球)h=流体处于的高度(从某参考点计)p=流体所受的压强ρ=流体的密度伯努利方程伯努利理想正压流体在有势彻体力作用下作定常运动时，运动方程（即欧拉方程）沿流线积分而得到的表达运动流体机械能守恒的方程。
因著名的瑞士科学家D.伯努利于1738年提出而得名。
对于重力场中的不可压缩均质流体，方程为p+ρgz+(1/2)*ρv^2=C式中p、ρ、v分别为流体的压强、密度和速度；z 为铅垂高度；g为重力加速度。
上式各项分别表示单位体积流体的压力能p、重力势能ρg z和动能(1/2)*ρv ^2，在沿流线运动过程中，总和保持不变，即总能量守恒。
但各流线之间总能量（即上式中的常量值）可能不同。
对于气体，可忽略重力，方程简化为p+(1/2)*ρv ^2=常量(p0)，各项分别称为静压、动压和总压。
显然，流动中速度增大，压强就减小；速度减小，压强就增大；速度降为零，压强就达到最大(理论上应等于总压)。
飞机机翼产生举力，就在于下翼面速度低而压强大，上翼面速度高而压强小，因而合力向上。
据此方程，测量流体的总压、静压即可求得速度，成为皮托管测速的原理。
在无旋流动中，也可利用无旋条件积分欧拉方程而得到相同的结果但涵义不同，此时公式中的常量在全流场不变，表示各流线上流体有相同的总能量，方程适用于全流场任意两点之间。
流体力学_第三章_伯努利方程及动量方程
1 , 2
hw
第三节 恒定总流的伯努利方程
沿程水头损失：沿管长均匀发生 的均匀流损失
水头损失 局部水头损失：局部障碍引起的 急变流损失。 适用范围：
管道弯头、接头、闸 阀、水表
1、恒定流； 2、不可压缩流体； 3、质量力只有重力； 3、所取过流断面为渐变流断面； 4、两断面间无分流和汇流。
2 u12 u2 dQ p1 Z1 2 g dQ p2 Z 2 2 g dQ hw A1 A2 Q
分三种类型积分
8
第三节 恒定总流的伯努利方程
一、势能积分
p Z dQ p Z dQ 表单位时间通过断面的流体势 能
2 v2 H 00 hw 2g
1
1 总水头线 H 测压管水头线 0
v2 2 g H hw 4.43m / s
Q v2 A2 0.35m3 / s
2 2
0
24
作水头线
第三节 恒定总流的伯努利方程
例：定性作水头线
总水头线
总水头线 测压管水头线
测压管水头线
p
p
25
第三节 恒定总流的伯努利方程
4根线具有能量 意义： 总水头线 测压管水头线 水流轴线 基准面线
23
第三节 恒定总流的伯努利方程
例 用直径d=100mm的水管从水箱引水，水管水面与
管道出口断面中心高差H=4m，水位保持恒定，水头 损失hw=3m水柱，试求水管流量，并作出水头线 解：以0-0为基准面，列1-1、2-2断面的伯努利方程
v1 2 gh d1 1 d 2
4
4
2 1
天津大学化工原理第5讲伯努利方程的应用
解：1、选取衡算截面及基准水平面
取水箱水面为上游截面1-1’ ，排出管口内侧为下游截面2-2’ ，
并以截面2-2’ 的管道中心线为基准水平面，则有Z1= H；Z2=0
2、在1-1’与2-2’之截面间列伯努利方程
gz1
u12 2
p1
We
gz2
u22 2
p2
hf
已知：p1=p2=0 , (均为表压) ,u1≈0，Σhf=15u2，We=0
（5）单位必须一致 伯努利方程式中各项的单位必须统一。建议采用SI制。
2、伯努利方程的应用示例 1）确定管道中流体的流量
例1-12 水在如本图所示的管道内由 下而上自粗管内流入细管，粗管内径为 0.3m，细管内径为0.15m。已测得图中11’及2-2’ 面上的静压强分别为1.69×105Pa 及1.4×105Pa（均为表压），两测压口垂 直距离为1.5m，流体流过两测压点的阻 力损失为10.6J/kg，试求水在管道中的质 量流量为多少(kg/h)？
第5讲 1.3.5 伯努利方程式的应用
教学内容：1、掌握管内稳态流动的连续性方程及其 应用； 2、掌握伯努利方程及其应用。
教学重点：1、伯努利方程的解题要点； 2、伯努利方程的实际应用过程计算。
教学难点：伯努利方程应用中衡算截面的选取。
伯努利方程的几种表达形式
1) 以单位质量流体（1kg流体）为衡算基准。
u2
Vs A
4Vs
d2
418.3 3600 3.14 0.0542
2.22m / s
9.81H 2.222 15 2.222 76.39 H 7.79m 2
即水箱内的水面至少应高出管道排出口7.79m。
（2）输水量增加后，水箱内水面上升的高度。
实际流体恒定总流的伯努利方程讲解
u2 dQ＝ u3dA＝ v3A＝v2 Q
Q 2g
2g A
2g
2g
3.水头损失积分：
h' l12
dQ
Q
物理含义：表示单位时间内流体克服1-2流段的摩擦阻 力作功所损失的机械能
为了计算方便，设 hw 为单位重量流体
在两过流断面上的平均能量损失。
h' l12
——实际流体恒定总流的能量方程式， 也称之为恒定总流伯努利方程。
伯努利方程的目的：确立了恒定总流流动中势能和动能、 流速和压强相互转化的普遍规律。
（二）恒定总流能量方程式的应用 船吸现象
案例： 1912年秋季的某一天,当时世界上最大的远洋轮船—— “奥林匹克号”正航行在大海上,在离“奥林匹克号”100m的地方,有 一比它小得多的铁甲巡洋舰“豪克号”与它平行疾驶着,这时却发生 了一件意外的事情:小船好像被大船吸过去似的,完全失控,一个劲地 向“奥林匹克号”冲去，最后,“豪克号”的船撞在“奥林匹克号”的 船舷上,把“奥林匹克撞了个大洞。是什么原因造成这次事故呢?
5.两断面间没有分流或合流
18
假设两断面间有分流或合流的情况：
19
z1＋
p1
g
＋ 1 v12
2g
＝z
＋
2
p2
g
＋ 2 v12
2g
＋h
l1-2
z1＋
p1
g
＋ 1 v12
2g
＝z
＋
3
p3
g
＋
3
v
2 3
2g
＋h
l1-3
结论：对于断面有分支的流动，在列方程时，只需 计入所列断面间的能量损失，不需要考虑另一股分 支流的能量损失。
流體力學第四章伯努利方程
第四章 伯努利方程4.1 伯努利方程4.1.1 理想流体沿流线的伯努利方程1. 伯努利方程的推导将欧拉运动微分方程式积分可以得到流体的压力分布规律，但只能在特殊的条件下，不可能在任何的情况下都可求得其解，故我们需对流场作出如下假设：（1）理想流体（2）定常流动（3）质量力有势（4）不可压缩流体（5）沿流线积分在定常流动的条件下，理想流体的运动微分方程（欧拉运动微分方程）可以写成 ⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧∂∂+∂∂+∂∂=∂∂-∂∂+∂∂+∂∂=∂∂-∂∂+∂∂+∂∂=∂∂-z v v y v v x v v z p f z v v y v v x v v y p f z v v y v v x v v x p f z z z y z x z y z y y y x y x z x y x x x ρρρ111 (4.1) 将这个方程沿流线积分，如图4.1所示，可得到伯努利方程。
为此，将式(4.1)的第一式乘以x d 得x zv v x y v v x x v v x x p x f x z x y x x x d d d d 1d ∂∂+∂∂+∂∂=∂∂-ρ （1） 按照流线方程 zy x v z v y v x d d d == 将有，y v x v x y d d =，z v x v x z d d =故式（1）可写成x x x x x x x x x v v z zv v y y v v x x v v x x p x f d d d d d 1d =∂∂+∂∂+∂∂=∂∂-ρ （2） 式(4.1)的另外两式分别乘y d 、z d 后，作类似的代换，可得y y y v v y yp y f d d 1d =∂∂-ρ （3）z z z v v z zp z f d d 1d =∂∂-ρ （4） 将式（2）、（3）和式（4）相加，得 z z y y x x z y x v v v v v v z zp y y p x x p z f y f x f d d d )d d d (1d d d ++=∂∂+∂∂+∂∂-++ρ （5） p 的全微分可以表示为 dz zp dy y p dx x p dp ∂∂+∂∂+∂∂= 质量力有势，则必存在势函数U ，满足y f y f x f z zU y y U x x U U y y x d d d d d d d ++=∂∂+∂∂+∂∂=而 2/d d d d 2v v v v v v v z z y y x x =++式中等号右端的v 为平均速度。
伯努利原理公式
伯努利原理公式伯努利原理往往被表述为p+1/2ρv2+ρgh=C，这个式子被称为伯努利方程。
式中p为流体中某点的压强，v为流体该点的流速，ρ为流体密度，g为重力加速度，h为该点所在高度，C是一个常量。
它也可以被表述为p1+1/2ρv12+ρgh1=p2+1/2ρv22+ρgh2。
伯努利方程是丹尼尔•伯努利在 1726 年研究理想液体作稳定流动时提出的。
静压是流体真实存在的压强值，动压也称为速压或速度头，其单位也是Pa。
动压起到调节静压在总压中所占比例的作用：动压越大，静压越小；动压越小，静压越大；动压为零时，即流速为零，静压最大且等于总压值。
因此，伯努利方程式的物理含义也可以说成是流体的压强能和动能之间可以相互转化，但流动的总机械能保持不变。
伯努利方程是流体力学的基本方程，它反映了理想液体作稳定流动时，压强、流速和高度三者之间的关系。
答案】一、一般条件下伯努利方程在各项的意义P +1/2ρv2 +ρgh = 常量该方程说明理想流体在流管中作稳定流动时,单位体积的动能1/2ρv2 、重力势能ρgh 、该点的压强P 之和为一个常量.其中1/2ρv2相与流速有关,常称为动压,ρgh 和P 相与流速无关,常称为静压.二、单位重量流体中伯努利方程各项的物理意义ρg =m/u g =mg/u表示单位体积的重力,以ρg 除各项得:p/ρg+v平方/2 g+ h = 常量该方程表示流场中一点上单位重量流体所具有的总机械能. 其中p/ρg表示流场中一点上单位重量流体所具有的压力潜能,也就是压力对单位体积重量流体所做的功,v平方/2 g 表示单位重量流体所具有的动能, h 就是流场中该点的高度.由于v平方/2 g+ p/ρg+ z = 常数,定理中每一项都具有长度的量纲. 所以p/ρg 表示所考察点的压力潜能的同时也可表示它能将流体压升到某一高度的能力.三、单位质量流体中伯努利方程p/ρ项的物理意义以ρ除各项得:p/ρ+1/2 v平方 + gh = 常量该方程中:p/ρ项表示流场中某一点上单位质量流体所具有的压力或弹性势能,从能量的角度讨论p/ρ项也可理解为单位质量流体相对于p = 0 状态所蕴涵的能量.综上所述：通过以上的分析推导可以看出伯努利方程是能量方程式,尽管分析问题所用的动力学原理不同,但导出方程的意义是完全相同的,说明在管内作稳定流动的理想液体具有压力能、势能和动能三种形式的能量,在适合限定条件的情况下,流场中的三种能量都可以相互转换,但其总和却保持不变,这三种能量统称为机械能. 由此可以得出:伯努利方程在本质上是机械能的转换与守恒.。
伯努利方程伯努利方程式
在实际应用中，管道流体传输需要考虑到安全、环保等方面的要求，而伯努 利方程可以为这些问题的解决提供理论支持和实践指导。
其他领域的应用
航空航天：飞机设计中的流体动力学分析 船舶工程：船舶推进器优化设计 化工领域：分离过程的优化控制 气象学：气象预报中的风速计算
伯努利方程的局限性
添加标题
伯努利方程的推导
推导过程：通过 微分方程和积分 方程的推导，得 到伯努利方程的 形式
初始条件和边界 条件：在推导过 程中需要考虑的 初始条件和边界 条件
推导结论：得到 伯努利方程后， 对其进行分析和 解释
应用场景：介绍 伯努利方程在流 体力学、航空航 天等领域的应用
伯努利方程的应用场景
航空领域：飞机飞行时，机翼上 下的空气流速不同，产生升力
气象学：风速与气压的关系，如 风向标和气象气球
添加标题
添加标题
添加标题
添加标题
管道流动：液体在管道中流动时， 流速快的地方压力小，流速慢的 地方压力大
船舶工程：船只航行时，船体下 方的水流速度更快，产生向上的 升力
04
伯努利方程的应用
航空领域的应用
飞机起飞和降落：伯努利方程解 释了气流对飞机机翼的作用力， 影响起飞和降落的安全。
重要支持。
随着科技的不 断进步，伯努 利方程的理论 研究将更加深 入，有望为解 决复杂流体问 题提供更多思
路和方法。
未来发展中， 伯努利方程的 应用前景将更 加广阔，为人 类社会的进步 和发展做出更
大的贡献。
YOUR LOGO
THANK YOU
汇报人：XX
对航空航天的影响
飞机机翼设计：利用伯努利方程 原理，设计出机翼形状，实现升 力产生和飞行稳定性。
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1．流体在流动过程中能量的相互转换关系
动能
静压能
能量损失
位能
管流伯努利方程式及应用
管流伯努利方程式
gz1
P1
1 2
v12
gz2
P2
1 2
v
2 2
h失
(1 2流动)
（1）黏性流体在水平管内流动
1
2
简化：z1=z2，v1=v2 P1 P2 h失 P1 P2 h失
1
2
p h失 （不可逆过程）
管流伯努利方程式及应用
(2)毕托管测流量原理
v1 0
v2
2( p1 p2 )
m/s
如何求qv?
管流伯努利方程式及应用
(3)节流装置测流量原理
qv
A2
1
A2 A1
2
A2
A0
qv ABiblioteka 1 2m22( p1 p2 )
m3/s
m A0 A1
2( p1 p2 )
qv A0
2( p1 p2 )
静压能
能量损失
管流伯努利方程式及应用
（1）理想流体在变截面水平管内流动
1
2
简化：h失=0，z1=z2
P1
1 2
v12
P2
1 2
v
2 2
1
2
P1
P2
1 2
(
v
2 2
v12 )
＜0
思 流体由2 考 面流向1
面
动能
静压能
管流伯努利方程式及应用
（2）理想流体在具有一定倾斜度的变截面管中流动
简化：h失=0
gz1
P1
1 2
v12
gz2
P2
1 2
v
2 2
(1 2流动)
z2 z1
P1
P2
1 2
(v
2 2
v12 )
g ( z 2
z1 )
＜0
＞0
P1 P2 ＞＜=0？
思 考
流体由2面流向1面
管流伯努利方程式及应用
动能
静压能
能量损失
位能
管流伯努利方程式及应用
文丘利管 、 毕托管 、 孔板测流量原理
，流场特征及分类，流体的质量平衡方程（连续性方程），黏性流 体的动量平衡方程（纳维-斯托克斯方程），理想流体的动量平衡方 程（欧拉方程），伯努利方程及其应用。
重点：伯努利方程及其应用。
难点：黏性流体的动量平衡方程（纳维-斯托克斯方程）。
基本要求：掌握自然流动与强制流动，稳定流动与不稳定流动， 黏性动量通量与对流动量通量基本概念，掌握连续性方程及其应用 ，掌握伯努利方程及其应用，理解纳维-斯托克斯方程的推导方法。
m3/s
—流量系数，取决于孔板结构。
管流伯努利方程式及应用
3．流体流出
例题
直径d=50mm的垂直管与盘状间隙相连，如图所示。 当盘的半径R=0.3m，盘的间距δ=1.6mm，水在垂直管
中的流速为3m/s时，求A、B、C、D各点的压力(已知
H=1m，环隙D处为水喷口)。
解：环缝D处为水的喷口
PD=1.0132×105 Pa
gz1
P1
1 2
v12
gz2
P2
1 2
v
2 2
h失
简化： z1 z2 h失 0
P1
1 2
v12
P2
1 2
v22
管流伯努利方程式及应用
2．流量测量 (1)文丘里管测流量原理
v1A1 v2A2
v1
v2
A2 A1
qv
A2
2
1
A2 A1
2( p1 p2 )
m3/s
A1，A2，ρ已知，测出P1-P2，即可测出流量qv
v1A1 v2A2 (一维稳定流动, const)
vA
d
4
2
vD
2
R
vD
vA d 2
8R
1.953m / s
管流伯努利方程式及应用
A-D列伯努利方程：
gH
PA
1 2
v
2 A
PD
1 2
v
2 D
PA=0.8892×105 Pa
静压力平衡方程： gH PA PB PB=0.9873×105 Pa
vC
2
R 2
vD
2
R
vC=3.906m/s
C-D列伯努利方程：
PC
1 2
v
2 C
PD
1 2
v
2 D
PC=0. 9560×105 Pa
PA=0.8892×105 Pa PB=0.9873×105 Pa PC=0.9560×105 Pa PD=1.0132×105 Pa
本章小结
主要内容：流体流动的分类，质点与连续介质，微团与控制体