中考数学新定义型专题
中考数学题号复习：25题 新定义题型
中考题号复习：25题 新定义题型射影1. 如图所示，在平面内有一线段AB ，分别过A 点，B 点向x 轴作垂线，垂足分别为C 、D ，我们把线段CD 称之为线段AB 在x 轴上的射影，线段CD 的长称之为线段AB 在x 轴上的射影长.（1）双曲线x y 4=上有两点A 、B ，A(m ，4)，B(n ，1)，求AB 在x 轴上 的射影长；（2）直线a x y +=21的图像上有两点A 、B ，AB 在x 轴上的射影长为4， 求AB 的长；（3）已知抛物线c bx ax y ++=2和直线bx y -=，其中c b a 、、满足 c b a >>，抛物线过点(1，0)，且与直线相交于A 、B 两点，求线段AB 在x 轴上的射影长CD 的取值范围.限变点若⎩⎨⎧<-≥=1,1,'a b a b b ，则点Q 为点P 的限变点，例如：点（2，3）的限变点的坐标是（2，3），点（-2，5）的限变点的坐标是（-2，-5）.（1）①点（1,3）的限变点的坐标是 ；②在点A （-2，-1），B （-1，2）中有一个点是函数y=x2的图像上某一个点的有限变点，这个点是 ；（2）若点P 在函数y=-x+3（2,2->≤≤-k k x ）的图像上，其限变点Q 的坐标'b 的取值范围是25'≤≤-b ，求k 的取值范围；(3)若点P 在关于x 的二次函数t t tx x y ++-=222的图像上，其限变点Q 的纵坐标'b 的取值范围是，求令其中或n -m s ,m ,b ''=><≥n n m b s 关于t 的函数解析式及s 的取值范围.联姻函数3. 定义若存在实数对坐标（x ，y ）同时满足一次函数y=px+q 和反比例函数y=x k，则二次函数y=k qx px -+2为一次函数与反比例函数的“联姻”函数．（1）试判断（需要写出判断过程）：一次函数y=-x+3和反比例函数y=x 2是否存在“联姻”函数，若存在，写出它们的“联姻”函数和实数对坐标；（2）已知：整数m ，n ，t 满足条件t<n<8m,并且一次函数y=（1+n ）x+2m+2与反比例函数xy 2015=存在“联姻”函数2015)10()(2--++=x t m x t m y ,求m 的值； （3）若同时存在两组实数对坐标),(11y x 和),(22y x 使一次函数y=ax+2b 和反比例函数x c y =为“联姻”函数，其中a>b>c,a+b+c=0，设L=| x1－x2 |,求L 的取值范围．和谐点4. 在平面直角坐标系中，如果点P 的横坐标和纵坐标都相等，则称点P 为和谐点．例如点（1，1），（21-，21-）（2-，2-）……都是和谐点． （1）分别判断函数23+-=x y 的图象上是否存在和谐点，若存在，求出其和谐点的坐标；（2）若二次函数)0(242≠-+=a x ax y 的图象经过和谐点（2，2），且当m x ≤≤0时，函数（3）直线3:+=kx y l 经过和谐点P ，与x 轴交于点D ，与反比例函数x n y G =:的图象交于N M ,两点（点M 在点N 的左侧），若点P 的横坐标为23，且24＜DN DM +，求n 的取值范围．梦之点5. 在平面直角坐标系中，我们不妨把横坐标和纵坐标相等的点称为“梦之点”．例如点)1,1(--，)0,0(，)2,2(，…都是“梦之点”．显然，这样的“梦之点”有无数个．（1）若点P （2，m ）是反比例函数n y x =（n 为常数，n ≠0）的图象上的“梦之点”，求这个反比例函数的解析式；（2）函数31y kx s =+-（k ，s 是常数）的图象上存在“梦之点”吗？若存在，请求出“梦之点”的坐标；若不存在，说明理由；（3）若二次函数21y ax bx =++（a ，b 是常数，a ＞0）的图象上存在两个不同的“梦之点”157值范围．定义域、值域、区间6. 定义：自变量为x 的某个函数记为)(x f ，当自变量x 取某个实数0x 时的函数值记为)(0x f ，自变量x 的取值范围称为函数的定义域，定义域内的自变量x 对应的所有函数值的集合称为函数的值域．若b a ,是任意两个不相等的实数，我们规定：满足不等式b x a ≤≤的实数x 的所有取值的全体叫做闭区间，记为[]b a ,．(1)设反比例函数)0()(＞k xk x f =的定义域是[]6,3，值域为[]a ,2，求a k ,的值； (2)一次函数)0()(≠+=k b kx x f 的定义域是[]1,3-，值域为[]9,5，求函数的解析式；(3)是否存在这样的c b ,，使得二次函数c bx x x f ++=2)(的定义域是[]2,4-，值域为[]10,6，若存在，求出c b ,的值；若不存在，说明理由．相反点7. 已知y 是关于x 的函数，若其图象经过点),(t t P -，则称点P 为函数图象上的“相反点”．例如：直线32-=x y 上存在“相反点”)1,1(-P ．(1)在双曲线x y 1-=上是否存在“相反点”？若存在，请求出P 点的坐标；若不存在，说明理由；(2)若抛物线192)132(2122+---+-=a a x a x y 上有“相反点”，且与直线x y -=相交于点),(11y x A 和),(22y x B ，求2221x x +的最小值；(3)若函数2)1(412-++--+=k m x k n x y 的图象上存在唯一的一个“相反点”，且当21≤≤-n 时，m 的最小值为k ，求k 的值．美丽抛物线8. 已知如图，直线b x y l +=31:，经过点)41,0(M ，一组抛物线的顶点),1(11y B ，),2(22y B ，),3(33y B ……),(n n y n B (n 为正整数)依次是直线l 上的点，这组抛物线与x 轴正半轴的交点依次是：)0,(11x A ，)0,(22x A ，)0,(33x A ……)0,(11++n n x A ，设)10(1＜＜x d x =． (1)求b 的值；(2)设过211,,A B A 三点的二次函数的表达式为n m x a y ++=2)(，求此表达式(用含d 的代数式表示);(3)定义：若抛物线的顶点与x 轴的两个交点构成的三角形是直角三角形，则这种抛物线就称为“美丽抛物线”．探究：当)10(＜＜x d 的大小变化时，这组抛物线是否存在美丽抛物线？若存在，请你求出相应的d 值．特征数9. 定义：任何一个一次函数q px y +=，取出它的一次项系数p 和常数项q ，有序数组[]q p ,为其特征数．例如：52+=x y 的特征数是[]5,2，同理，[]c b a ,,为二次函数c bx ax y ++=2的特征数．(1)若特征数是[]1,2+m 的一次函数为正比例函数，求m 的值；(2)以y 轴为对称轴的二次函数c bx ax y ++=2的图象经过),2(m A 、)1,(n B 两点(其中0＞m ，0＜n )，连接AB OB OA ,,,得到OB OA ⊥，10=∆AOB S ，求二次函数c bx ax y ++=2的特征数．伴随函数10. 如果把y 是以x 为自变量的函数，记作为)(x f y =，给出如下定义：对自变量取值范围的任意实数t ，当自变量x 满足1+≤≤t x t 时，函数)(x f y =的最大值为t M ，最小值为t m ，t M -t m 是以t 为自变量的函数，记作t t m M t g -=)(，我们把函数t t m M t g -=)(称为函数)(x f y =的“伴随函数”．(1)函数53+-=x y 的“伴随函数”为)(t g = ；(2)已知函数)40(42≤≤-=x x x y ，求出函数y 的“伴随函数”的表达式；(3)当函数b x y +=的图象与)40(42≤≤-=x x x y 的“伴随函数”的图象恰好只有两个公共点，求b 的取值范围．。
九年级数学中考复习新定义专题练习
九年级数学中考复习新定义专题练习1.用“☆”定义一种新运算：对于任意有理数a 和b ，规定a ☆b = ab 2 + a .如：1☆3=1×32+1=10.则（-2）☆3的值为 .2.（2019•德州）已知：[x ]表示不超过x 的最大整数．例：[4.8]＝4，[﹣0.8]＝﹣1．现定义：{x }＝x ﹣[x ]，例：{1.5}＝1.5﹣[1.5]＝0.5，则{3.9}+{﹣1.8}﹣{1}＝ ．3. 用“△”定义新运算：对于任意有理数a ，b ，当a ≤b 时，都有2a b a b ∆=；当a ＞b 时，都有2a b ab ∆=．那么，2△6 = ，2()3-△(3)-= ． 4. 如图,在平面内，两条直线l 1，l 2相交于点O ，对于平面内任意一点M ，若p 、q 分别是点M 到直线l 1，l 2的距离，则称(p ，q )为点M 的“距离坐标”．根据上述规定，“距离坐标”是(2，1)的点共有______个．5. 定义：圆中有公共端点的两条弦组成的折线称为圆的一条折弦．阿基米德折弦定理：如图1，AB 和BC 组成圆的折弦，AB BC >，M 是弧ABC 的中点，MF AB ⊥于F ，则AF FB BC =+．如图2，△ABC 中，60ABC ∠=︒，8AB =，6BC =，D 是AB 上一点，1BD =，作DE AB ⊥交△ABC 的外接圆于E ，连接EA ，则EAC ∠=________°6.（2019•枣庄）对于实数a 、b ，定义关于“⊗”的一种运算：a ⊗b ＝2a +b ，例如3⊗4＝2×3+4＝10．（1）求4⊗（﹣3）的值；（2）若x ⊗（﹣y ）＝2，（2y ）⊗x ＝﹣1，求x +y 的值．7. 阅读材料：规定一种新的运算：a c =b ad bc d -．例如：1214-23=-2.34××= （1）按照这个规定，请你计算5624的值．（2）按照这个规定，当5212242=-+-x x 时求x 的值．8. 对于平面直角坐标系xOy 中的点M 和图形G ，若在图形G 上存在一点N ，使M ，N 两点间的距离等于1，则称M 为图形G 的和睦点．（1）当⊙O 的半径为3时，在点P 1（1,0），P 2,1），P 3（72,0），P 4（5,0）中，⊙O 的和睦点是________；（2）若点P （4,3）为⊙O 的和睦点，求⊙O 的半径r 的取值范围；（3）点A 在直线y =﹣1上，将点A 向上平移4个单位长度得到点B ，以AB 为边构造正方形ABCD ，且C ，D 两点都在AB 右侧．已知点E，若线段OE 上的所有点都是正方形ABCD 的和睦点，直接写出点A 的横坐标A x 的取值范围．9. 对于任意四个有理数a ，b ，c ，d ，可以组成两个有理数对（a ，b ）与（c ，d ）.我们规定：（a ，b ）★（c ，d ）=bc －ad .例如：（1，2）★（3，4）=2×3－1×4=2．根据上述规定解决下列问题：（1）有理数对（2，－3）★（3，－2）= ;（2）若有理数对（－3，2x －1）★（1，x +1）=7，则x = ;（3）当满足等式（－3，2x －1）★（k ，x ＋k ）=5＋2k 的x 是整数时，求整数k 的值．10. 对于任意有理数a ，b ，定义运算：a ⊙b =()1a a b +-，等式右边是通常的加法、减法、乘法运算，例如，2⊙5=2×（2+5）－1=13；(3)-⊙(5)-＝-3×（-3-5）-1=23．（1）求（-2）⊙312的值； （2）对于任意有理数m ，n ，请你重新定义一种运算“⊕”，使得5⊕3＝20，写出你定义的运算：m ⊕n ＝（用含m ，n 的式子表示）．11. （2019•衢州）定义：在平面直角坐标系中，对于任意两点A （a ，b ），B （c ，d ），若点T （x ，y ）满足x ＝，y ＝那么称点T 是点A ，B 的融合点．例如：A （﹣1，8），B （4，﹣2），当点T （x ，y ）满足x ＝＝1，y ＝＝2时，则点T （1，2）是点A ，B 的融合点．（1）已知点A （﹣1，5），B （7，7），C （2，4），请说明其中一个点是另外两个点的融合点．（2）如图，点D （3，0），点E （t ，2t +3）是直线l 上任意一点，点T （x ，y ）是点D ，E 的融合点．①试确定y 与x 的关系式．②若直线ET 交x 轴于点H ．当△DTH 为直角三角形时，求点E 的坐标．12. 已知在平面直角坐标系xOy 中的点P 和图形G,给出如下的定义：若在图形G 上存在一点Q ,使得Q P 、之间的距离等于1，则称P 为图形G 的关联点.（1）当圆O 的半径为1时，①点11(,0)2P ,2P,3(0,3)P 中，圆O 的关联点有_____________________. ②直线经过（0，1）点，且与y 轴垂直，点P 在直线上.若P 是圆O 的关联点，求点P 的横坐标x 的取值范围.（2）已知正方形ABCD 的边长为4，中心为原点，正方形各边都与坐标轴垂直.若正方形各边上的点都是某个圆的关联点，求圆的半径r 的取值范围.备用图 备用图参考答案：1. -202. 1.13. 24 -64. 45. 60°6. (1) 5 (2) 137. （1）8 （2）x=18. （1）P2，P3；（2）4≤r≤6(3) -5+√2≤x A≤3 或√2-1≤x A≤19. （1）﹣5 （2）1 （3）k=1，﹣1，﹣2，﹣410. （1）-4（2）答案不唯一，例如：m⊕n＝m(n+1)11. （1）x＝（﹣1+7）＝2，y＝（5+7）＝4，故点C是点A、B的融合点；（2）①y＝2x﹣1；②点E（，6）或（6，15）．12. （1）P1 P2（2）-√3≤x≤√3（3）2√2-1≤r≤3。
专题八 新定义问题__2023届中考数学热点题型突破(含答案)
专题八新定义问题——2023届中考数学热点题型突破1.对任意两个实数a，b定义两种运算：并且定义运算顺序仍然是先做括号内的，例如，，，那么等于( )A. B.3 C.6 D.2.我们知道, 如果直角三角形的三边的长都是正整数, 这样的三个正整数就叫做一组勾股数. 定义: 如果一个正整数m能表示为两个正整数a,b的平方和, 即, 那么称m 为广义勾股数. 下面的结论:① 7 不是广义勾股数;②13 是广义勾股数;③两个广义勾股数的和是广义勾股数;④两个广义勾股数的积是广义勾股数;⑤若，，, 其中x,y,z,m,n 均为正整数, 则x,y,z 为一组勾股数;⑥一个正奇数 (除 1 外) 与两个和等于此正奇数的平方的连续正整数是一组勾股数.正确的是( )A.①②⑤⑥B.①③④⑤C.②④⑥D.②④⑤⑥3.对x,y定义一种新运算T,规定:（其中a,b均为非零常数）,这里等式右边是通常的四则运算,例如:,若,,则结论正确的个数为( )（1）,;（2）若,则;（3）若,m,n均取整数,则或或;（4）若,当n取s,t时,m对应的值为c,d,当时,;（5）若对任意有理数x,y都成立(这里和T均有意义),则A.2个B.3个C.4个D.5个4.阅读材料:定义:如果一个数的平方等于,记为,这个数i叫做虚数单位,把形如为实数)的数叫做复数,其中a叫这个复数的实部,b叫这个复数的虚部.它的加、减、乘法运算与整式的加、减、乘法运算类似:例如计算:;;;.根据以上信息,完成下面的计算:__________.5.定义:在平面直角坐标系xOy中,如果将点绕点旋转得到点Q,那么称线段PQ为“拓展带”,点Q为点P的“拓展带”.（1）当时,点的“拓展带”坐标为__________.（2）如果,当点的“拓展带”N在函数的图象上时,t的值为__________.6.新定义:在平面直角坐标系中,对于点和点,若满足时,;时,,则称点是点的限变点.例如:点的限变点是,则点的限变点是____________.若点在二次函数的图象上,则当时,其限变点的纵坐标的取值范围是____________.7.阅读以下材料：指数与对数之间有密切的联系，它们之间可以互化.对数的定义：一般地，若(且)，那么x叫做以a为底N的对数，记作，比如指数式可以转化为对数式，对数式，可以转化为指数式.我们根据对数的定义可得到对数的一个性质：(，，，)，理由如下：设，，则，，，由对数的定义得又，.请解决以下问题：(1)将指数式转化为对数式__________；(2)求证：(，，，)；(3)拓展运用：计算__________.8.定义如果一个正整数等于两个连续偶数的平方差, 那么称这个正整数为 “奇巧数”.发现数28,32,36 中, 是 “奇巧数” 的是探究已知正奇数的 4 倍一定是 “奇巧数”, 设一个正奇数为 (n为正整数), 请你论证这个结论.9.已知一个三位自然数N, 若满足十位数字与个位数字之和减去百位数字为 0 , 则称这个数为“雪花数”, 并把其十位数字与个位数字的乘积记为. 定义为 “雪花数”, m,n为常数),已知，. 例如: 945，，945是 “雪花数”, ，634，，634不是 “雪花数”.(1)请填空: 817 _______“雪花数”, 527______ “雪花数” (填“是”或“不是”);(2)求出常数m,n的值;(3)已知s 是个位数字不为 1 的 “雪花数”, 其十位数字为, 个位数字为b, 将s的个位数字移到十位上,十位数字移到百位上, 百位数字移到个位上, 得到一个新数, 若s 与的差能被17整除, 求出所有满足条件的s及由这些s两两组合形成的P 的值.答案以及解析1.答案：A解析：，故选A.2.答案：A解析：7 不能表示为两个正整数的平方和, 7不是广义勾股数,故结论①正确., 13是广义勾股数,故结论②正确. 两个广义勾股数的和不一定是广义勾股数, 如 5 和 10 是广义勾股数, 但是它们的和 15 不是广义勾股数, 故结论③错误 . 两个广义勾股数的积不一定是广义勾股数, 如 2 和 2 是广义勾股数, 但，4 不是广义勾股数, 故结论④错误. , 即. 又x,y,z均为正整数, 故结论⑤正确. 设正奇数为 (k为正整数), 2 个连续正整数为p,, 由题意得,,,. 又,p,都是正整数, 结论⑥正确. 综上, 正确结论有①②⑤⑥.故选 A.3.答案：C解析:由题意可知,,,即,解得,故（1）正确;,;,,则;故（2）正确m,n均取整数,,的取值为,,,1,2,4;当,即时,;当,即时,;当,即时,;当,即时,;当,即时,;当,即时,;故（3）不正确,,,,当时,;故（4）正确;,,,,,,对任意有理数x,y都成立(这里和均有意义),则故（5）正确故选C4.答案：解析：.5.答案：①.②.2解析:（1）根据“拓展带”的定义,互为“拓展带”的两点关于点成中心对称,互为“拓展带”的两点的横坐标互为相反数,纵坐标的平均数等于t,点的“拓展带”坐标为.（2）根据“拓展带”的定义,点M和点N关于点成中心对称,设N点坐标为,则,,解得,,在函数的图象上,,解得.6.答案：①.②.解析:,,,点的限变点是,点在二次函数的图象上,当时,,,当时,,当时,,综上,当时,其限变点的纵坐标n'的取值范围是,故答案为:,.7.答案：(1)(2)证明见解析(3)2解析：(1)解：根据指数与对数关系得：.故答案为：；(2)解：设，，则，，，..(3)解：.故答案为：2.8.答案：见解析解析：发现 28,36，，32不是两个连续偶数的平方差,28,36 是“奇巧数”.探究正奇数的 4 倍为.总能表示为两个连续偶数的平方差,正奇数的 4 倍一定是“奇巧数”.9.答案： (1) 是，不是(2)(3)见解析解析：817，, 817 是“雪花数”;527，,527不是 “雪花数”.(2)，，，①，，，，②联立①②得解得(3) 由 “雪花数” 的定义可知, 由题意可知, s与的差能被 17 整除，能被 17 整除,为 17 的倍数.s为“雪花数”, 且个位数字不为 1 ,，且,，34,51,68 或 85 .若, 则不符合题意;若, 则符合题意;若, 则符合题意;若, 则此时, 不符合题意;若, 则此时, 不符合题意.综上可得或 615 .。
中考数学 新定义题型专题01 数与式中的新定义问题(老师版)
专题01 数与式中的新定义问题一、考情分析"新定义"型问题是指在问题中定义了初中数学中没有学过的一些概念、新运算、新符号，要求学生读懂题意并结合已有知识进行理解，而后根据新定义进行运算、推理、迁移的一种题型。
它一般分为三种类型： (1)定义新运算;(2)定义初、高中知识衔接"新知识"; (3)定义新概念。
这类试题考查考生对"新定义"的理解和认识，以及灵活运用知识的能力，解题时需要将"新定义"的知识与已学知识联系起来，利用已有的知识经验来解决问题.利用的数学思想：（1）转化的思想，把未知的问题转化为学过的知识解决。
（2）对全新的概念，需要灵活的迁移运用。
二、精选考题1．定义新运算：对于任意实数a 、b ，都有13a b a b =-⊗，则12x x -⊗⊗的值为 1 ． 【解答】解：13a b a b =-⊗， 12131(132)x x x x ∴-=---⊗⊗131132x x =--+1=．故答案为：1．2．定义新运算：对于任意实数a ，b ，都有a ⊕(1)b a b b =+-，等式右边是通常的加法、减法及乘法运算，比如：3⊕23(21)2927=⨯+-=-=． （1）2⊕(3)-= 1- ．（2）若2-⊕x 等于5-，则x = ． 【解答】解：（1）原式2(31)(3)=⨯-+-- 2(2)3=⨯-+ 43=-+1=-．故答案为：1-．（2）由题意可知：2(1)5x x -+-=-， 225x x ∴---=-， 33x ∴-=-， 1x ∴=，故答案为：1．3．对于任意实数a ，b ，定义关于“⊗”的一种运算如下：2a b a b =+⊗．例如3523511=⨯+=⊗；4(3)24(3)5-=⨯+-=⊗．若()2x y -=⊗，且21y x =-⊗，则20202020x y +=20203． 【解答】解：()2x y -=⊗，2()2x y ∴+-=①． 21y x =-⊗，41y x ∴+=-②．①+②得：331x y +=． 13x y ∴+=． 2020202020202020()3x y x y ∴+=+=． 故答案为：20203． 4．对于非零的两个实数m ，n ，定义一种新运算“&”，规定2&m n m n =-，若2&(3)7-=，则(3)&(2)--的值为 11 ． 【解答】解：(3)&(2)--2(3)(2)=--- 92=+11=，故答案为：11．5．有一种用“☆”定义的新运算，对于任意实数a ，b ，都有a ☆221b b a =++．例如7☆24427131=+⨯+=．（1）已知m -☆3的结果是4-，则m = 7 ．（2）将两个实数2n 和2n -用这种新定义“☆”加以运算，结果为9，则n 的值是多少？ 【解答】解：（1）根据题意可得：m -☆233214m =-+=-， 解得：7m =； 故答案为：7；（2）根据题意可得：2n ☆(2)9n -=， 即2(2)419n n -++=， 解得：2n =或2-，(2)n -☆2242(2)19n n n =+-+=，解得：2n =-或32， 则2n =-或32或2． 6．规定：符号[]x 叫做取整符号，它表示不超过x 的最大整数，例如：[5]5=，[2.6]2=，[0.2]0=．现在有一列非负数1a ，2a ，3a ，⋯，已知110a =，当2n 时，11215([][])55n n n n a a ---=+--，则2022a 的值为 11 ． 【解答】解：110a =， 21115([]0)115a a ∴=+--=，322115([][])1255a a =+--=，433215([][])1355a a =+--=，544315([][])1455a a =+--=，65415([1][])105a a =+--=，⋯1a ∴，2a ，3a ，⋯，每5个结果循环一次，202254042÷=⋯，2022211a a ∴==，故答案为：11．7．有一种用“☆”定义的新运算：对于任意实数a ，b 都有a ☆2b b a =+．例如7☆244723=+=．（1）已知m ☆2的结果是6，则m 的值是多少？（2）将两个实数n 和2n +用这种新定义“☆”加以运算，结果为4，则n 的值是多少？ 【解答】解：（1）根据题中的新定义得：m ☆246m =+=， 解得：2m =；（2）根据题意得：n ☆(2)4n +=，即2(2)4n n ++=， 解得：0n =或5n =-； (2)n +☆224n n n =++=，解得：2n =-或1n =， 则0n =或5-或2-或1．8．请你阅读如图框内老师的新定义运算规定，然后解答下列各小题． （1）若x ⊕1y =，x ⊕22y =-，分别求出x 和y 的值； （2）若x 满足x ⊕20，且3x ⊕(8)0->，求x 的取值范围．【解答】解：（1）根据题意得4314322x y x y -=⎧⎨-⨯=-⎩，解得11x y =⎧⎨=⎩；（2）根据题意得4320433(8)0x x -⨯⎧⎨⨯-⨯->⎩，解得322x-<． 故x 的取值范围是322x-<． 9．用※定义一种新运算：对于任意实数m 和n ，规定m ※23n m n mn n =--，如：1※221212326=⨯-⨯-⨯=-．则(2)-( )A ．B ．-C ．D ．【解答】解：原式2(2)(2)=--==故选：A ．10．定义：如果一个数的平方等于1-，记为21i =-，这个数i 叫做虚数单位，把形如(a bi a +，b 为实数）的数叫做复数，其中a 叫这个复数的实部，b 叫做这个复数的虚部，它的加，减，乘法运算与整式的加，减，乘法运算类似．例如计算：(3)(53)(35)(13)82i i i i -++=++-+=+；2(1)(3)1333(13)142i i i i i i i +⨯-=⨯-+⨯-=+-++=+． 根据以上信息，完成下列问题： （1）填空：3i = i - ，4i = ； （2）计算：(2)(34)i i +⨯-； （3）计算：2342022i i i i i ++++⋯+．【解答】解：（1）321i i i i i =⋅=-⋅=-，4221(1)1i i i =⋅=-⋅-=， 故答案为：i -，1； （2）(2)(34)i i +⨯-； 6834i i =-++105i =-；（3）2342022i i i i i ++++⋯+ 111i i i =--++⋯+-1i =-．11．阅读理解：定义：如果一个数的平方等于1-，记为21i =-，这个数i 叫做虚数单位．那么和我们所学的实数对应起来就叫做复数，表示为(a bi a +，b 为实数），a 叫这个复数的实部，b 叫做这个复数的虚部，它的加、减、乘法运算与整式的加、减、乘法运算类似． 例如计算：2(1)(23)13234i i i i i i +⨯-=-+-=-． （1）填空：3i = i - ，4i = ； （2）(7)(7)i i +-； （3）计算：2(2)i +；（4化简成a bi +的形式． 【解答】解：（1）21i =-，32(1)i i i i i ∴=⋅=-⋅=-， 4222()(1)1i i ==-=， 3i i ∴=-，41i =，故答案为：i -，1； （2）(7)(7)i i +- 249i =- 49(1)=-- 50=；（3）2(2)i + 244i i =++ 34i =+；（4=====∴= 12．先阅读下列材料，再解答后面的问题：材料：一般地，若(0n a b a =>且1a ≠，0)b >，则n 叫做以a 为底b 的对数，记为log a b （即log )a b n =．如4381=，则4叫做以3为底81的对数，记为3log 81（即3log 814)=．问题：（1）计算：2log 16= 4 ，2331(log 9)813log += ．（2）5log 5、5log 25、5log 125之间满足怎样的关系式，请说明理由． （3）由（2）的结果，你能归纳出一个一般性的结论吗？ log log a a M N += (0a >，且1a ≠，0M >，0)N >．根据幂的运算法则：n m n m a a a +⋅=以及对数的含义证明上述结论． 【解答】解：（1）4216=， 2log 164∴=，239=，4381=， 3log 92∴=，8143log =，2331(log 9)813log ∴+21243=+⨯443=+ 163=， 故答案为：4；163； （2）555log 5log 25log 125+=，理由如下： 根据题意，5log 51=，5log 252=，5log 1253=， 555log 5log 25log 125∴+=；（3）log log log ()a a a M N MN +=，证明如下：设1log a M b =，2log a N b = 则1b a M =，2b a N =，∴1212b b b b MN a a a +=⋅=，又n m n m a a a +⋅=，∴1212b b b b a a a +⋅=，即log log log ()a a a M N MN +=， 故答案为：log ()a MN ．13．定义：如果4(0,1)a N a a =>≠，那么x 叫做以a 为底N 的对数，记作log a x N =．例如：因为2749=，所以7log 492=；因为3125s =，所以log 1253S =．则下列说法中正确的有()个．①6log 636=；②3log 814=；③若4log (14)4a +=，则50a =；④222log 128log 16log 8=+； A ．4B ．3C ．2D ．1【解答】解：166=， 6log 61∴=，故①不符合题意；4381=，3log 814∴=，故②符合题意；44256=， 14256a ∴+=，242a ∴=，故③不符合题意；72128=， 2log 1287∴=，4216=， 2log 164∴=，328=， 2log 83∴=，743=+，222log 128log 16log 8∴=+，故④符合题意；综上所述，符合题意的有2个， 故选：C ．14．对a ，b ，c ，d 定义一种新运算：a c ad bcb d =-，如232413514=⨯-⨯=，计算2x yx x y=+ 22x xy + ．【解答】解：原式2()x x y xy =+-222x xy xy =+- 22x xy =+，故答案为：22x xy +．15．阅读材料：对于任何有理数，我们规定符号a b c d 的意义是：a bad bc c d=-．例如：14232=⨯-⨯=-．按照这个规定，解决下列问题： （1）请你计算3574-的值． （2）求当3x =，1y =-时，2222332x xy yx xy y+--+的值．（3）如果2157353x x -=--，求x 的值．【解答】解：（1）原式345(7)=⨯-⨯- 1235=+47=；（2）原式222(32)3(2)x xy y x xy y =-+-+-22642633x xy y x xy y =-+--+ 75xy y =-+；当3x =，1y =-时， 原式73(1)5(1)=-⨯⨯-+⨯- 216=-16=；（3）(3)(21)5(35)7x x ----=， 6315257x x -+-+=， 6257153x x -+=+-， 1919x =， 1x =．16．材料1：对于一个四位自然数M ，如果M 满足各数位上的数字均不为0，它的百位上的数字比千位上的数字大1，个位上的数字比十位上的数字大1，则称M 为“满天星数”．对于一个“满天星数” M ，同时将M 的个位数字交换到十位、十位数字交换到百位、百位数字交换到个位，得到一个新的四位数N ，规定：()9M NF M -=． 例如：2378M =，因为321-=，871-=，所以2378是“满天星数”；将M 的个位数字8交换到十位，将十位数字7交换到百位，将百位数字3交换到个位，得到2783N =，23782783(2378)459F -==-．材料2：对于任意四位自然数100010010(abcd a b c d a =+++、b 、c 、d 是整数且19a ，0b ，c ，9)d ，规定：()G abcd c d a b =⋅-⋅．根据以上材料，解决下列问题：（1）请判断2467、3489是不是“满天星数”，请说明理由；如果是，请求出对应的()F M 的值；（2）已知P 、Q 是“满天星数”，其中P 的千位数字为(m m 是整数且17)m ，个位数字为7；Q 的百位数字为5，十位数字为(s s 是整数且28)s ．若()()G P G Q +能被11整除且s m >，求()F P 的值．【解答】解：（1）2467不是“满天星数”，3489是“满天星数”，理由如下： 2467的百位数字为4，千位数字为2，4221∴-=≠，2467∴不是“满天星数”．3489的千位数字为3，百位数字为4，十位数字为8，个位数字为9，431∴-=，981-=，3489M ∴=是“满天星数”， 3894N ∴=，34893894(3489)459F -∴==-． （2）由题意可得：(1)67P m m =+，45(1)Q s s =+，则1000100(1)6071100167P m m m =++++=+，4000500101450111Q s s s =++++=+． 2()67(1)42G P m m m m ∴=⨯-+=--，2()(1)2020G Q s s s s =+-=+-，2222()()422022G P G Q m m s s s s m m ∴+=--++-=+--+．()()G P G Q +能被11整除且s m >，∴只要22()()()(1)s s m m s m s m s m s m s m +--=+-+-=-++能被11整除．28s ，17m ，s 、m 均为整数，s m >，4116s m ∴++，111s m ∴++=即10s m +=．∴876234s s s m m m ===⎧⎧⎧⎨⎨⎨===⎩⎩⎩或或． 2367P ∴=或3467或4567．23672673(2367)349F -∴==-，34673674(3467)239F -==-，45674675(4567)129F -==-． 17．在数的学习过程中，我们总会对其中一些具有某种特性的数充满好奇，如学习自然数时，我们发现一种特殊的自然数-- “好数”．定义：对于三位自然数n ，各位数字都不为0，且百位数字与十位数字之和恰好能被个位数字整除，则称这个自然数n 为“好数”．例如：426是“好数”，因为4，2，6都不为0，且426+=，6能被6整除；643不是“好数”，因为6410+=，10不能被3整除．问百位数字比十位数字大5的所有“好数”有 7 个．【解答】解：611，617，721，723，729，831，941共7个，理由：设十位数数字为a ，则百位数字为5(04a a +<的整数），525a a a ∴++=+，当1a =时，257a +=，7∴能被1，7整除，∴满足条件的三位数有611，617，当2a =时，259a +=，9∴能被1，3，9整除，∴满足条件的三位数有721，723，729，当3a =时，2511a +=，11∴能被1整除，∴满足条件的三位数有831，当4a =时，2513a +=，13∴能被1整除，∴满足条件的三位数有941，即满足条件的三位自然数为611，617，721，723，729，831，941共7个．故答案为：7．18．阅读下列材料，解决问题．【材料1】对于任意一个多位数，如果它的各位数字之和除以一个正整数n 所得的余数与它自身除以这个正整数n 所得的余数相同，我们就称这个多位数是n 的“余同数”．例如：对于多位数2714，271439042÷=⋯，且(2714)342+++÷=⋯，则2714是3的“余同数”．【材料2】对于任意两个多位数A ，B ，若A 除以正整数n 所得的余数与B 除以正整数n 所得的余数相同，则A 与B 的差一定能被n 整除．（1）判断3142是否是5的“余同数”，并说明理由；（2）若一个三位数是7的“余同数”，它的百位数字与十位数字之和小于9，个位数字比百位数字大1，求所有符合条件的三位数．【解答】解：（1）不是，理由如下：31425628......2÷=，(3142)52+++÷=，3142∴不是5的同余数；（2）设这个三位数为10010a b c ++，则9a b +<，1c a =+，这个三位数是7的“余同数”，10010()a b c a b c ∴++-++能被7整除，10010()7a b c a b c ++-++ 100107a b c a b c ++---= 9997a b += 2147a b a b +=++， ∴27a b +是整数， 又18a ，09b ，9a b +<，1218a b ∴+<，27a b ∴+=或214a b +=，∴708a b c =⎧⎪=⎨⎪=⎩或516a b c =⎧⎪=⎨⎪=⎩或324a b c =⎧⎪=⎨⎪=⎩或132a b c =⎧⎪=⎨⎪=⎩或263a b c =⎧⎪=⎨⎪=⎩，综上，这个三位数为708或516或324或132或263．19．新定义题：小明在课外阅读中对有关“自定义型题”有了一定的了解，他也尝试着自定义了“颠倒数”的概念：从左到右写下一个自然数，再把它按从右到左的顺序写一遍，如果两数位数相同，这样就得到了这个数的“颠倒数”，如286的颠倒数是682．请你探究，解决下列问题：（1）请直接写出2022的“颠倒数”为 2202 ．（2）能否找到一个数字填入空格，使由“颠倒数”构成的等式126⨯□=□621⨯成立？ 请你用下列步骤探究“□”所表示的数字．①设这个数字为x ，将自然数“6□”和“□6”转化为用含x 的代数式表示分别为 和 ；②列出关于x 的满足条件的方程，并求出x 的值；③经检验，所求x 的值符合题意吗？ （填“符合”或“不符合” )【解答】解：（1）由“颠倒数”的定义可得：2022的“颠倒数”为2202，故答案为：2202，；（2）①设这个数字为x ，自然数“6□”用含x 的代数式表示为：61060x x ⨯+=+，自然数“□6”用含x 的代数式表示为：106x +，故答案为：60x +，106x +；②由题意得：12(60)21(106)x x +=+，解得：3x =，x ∴的值为3；③检验：1263756⨯=，3621756⨯=，12633621∴⨯=⨯，3x ∴=符合题意，故答案为：符合．20．我们规定用(,)a b 表示一对数对，给出如下定义：记m=0,0)n a b =>>，将(,)m n 与(,)n m 称为数对(,)a b 的一对“对称数对”．例如：(4,1)的一对“对称数对”为1(2，1)与1(1,)2． （1）数对(25,4)的一对“对称数对”是 1(,2)5 和 ； （2）若数对(3,)y 的一对“对称数对”的两个数对相同，求y 的值；（3）若数对(,2)x 的一对“对称数对”的一个数对是1)，求x 的值；（4）若数对(,)a b 的一对“对称数对”的一个数对是，求ab 的值．【解答】解：（1）由题意知：1,25m n ====， ∴数对(25,4)的一对“对称数对”是1(,2)5和1(2,)5， 故答案为：1(,2)5；1(2,)5．（2）数对(3,)y 的一对“对称数对”的两个数对相同，∴=，∴= ∴13y =．（3）数对(,2)x的一对“对称数对”是和，∴=，∴1=，1x∴=．（4）数对(,)a b的一对“对称数对”是和，∴====或，∴11327273a ab b⎧⎧==⎪⎪⎨⎨⎪⎪==⎩⎩或，∴199ab=或．21．若一个三位正整数m abc=（各个数位上的数字均不为0)满足9a b c++=，则称这个三位正整数为“长久数”．对于一个“长久数”m，将它的百位数字和个位数字交换以后得到新数n，记()9m nF m+=．如：216m=满足2169++=，则216为“长久数”，那么612n=，所以216612(216)929F+==．（1）求(234)F、(522)F的值；（2）对于任意一个“长久数”m，若()F m能被5整除，求所有满足条件的“长久数”．【解答】解：（1）当234m=时，2349++=，m是长久数，432n∴=，234432(234)749F+∴==．当522m=时，5229++=，m是长久数，225n∴=，522225(522)839F+∴==．（2）由题意得：10010m a b c=++，10010n c b a=++．1001010010()9a b c c b aF m+++++∴=101101209a c b ++= 101()209a cb ++=． 9a bc ++=，101(9)20()9b b F m -+∴= 901819b -= 1019b =-．又a 、b 、c 均为不为0的正整数，1b ∴=，2，3，⋯⋯，7． ∴当1b =时，()1019192F m =-⨯=，不能被5整除，舍去；当2b =时，()1019283F m =-⨯=，不能被5整除，舍去；当3b =时，()1019374F m =-⨯=，不能被5整除，舍去；当4b =时，()1019465F m =-⨯=，能被5整除，此时5a c +=，∴12344321a a a a c c c c ====⎧⎧⎧⎧⎨⎨⎨⎨====⎩⎩⎩⎩或或或． 144m ∴=或243或342或441．当5b =时，()1019556F m =-⨯=，不能被5整除，舍去；当6b =时，()1019647F m =-⨯=，不能被5整除，舍去；当7b =时，()1019738F m =-⨯=，不能被5整除，舍去．综上所述，所有满足条件的“长久数”有144或243或342或441．22．对于一个四位自然数N ，如果N 满足各数位上的数字不全相同且均不为0，它的千位数字减去个位数字之差等于百位数字减去十位数字之差，那么称这个数N 为“差同数”．对于一个“差同数” N ，将它的千位和个位构成的两位数减去百位和十位构成的两位数所得差记为s ，将它的千位和十位构成的两位数减去百位和个位构成的两位数所得差记为t ，规定：2()29s t F N +=．例如：7513N =，因为7351-=-，故：7513是一个“差同数”．所以：735122715318s t =-==-=，则：2236(7513)229F +==． （1）请判断2586、8734是否是“差同数”．如果是，请求出()F N 的值；（2）若自然数P ，Q 都是“差同数”，其中100010616P x y =++，1003042(19Q m n x =++，08y ，19m ，07n ，x ，y ，m ，n 都是整数），规定：()()F P k F Q =，当3()()F P F Q -能被11整除时，求k 的最小值．【解答】解：（1）对于2586，其各数位上的数字不全相同且均不为0，2658-≠-， 2586∴不是“差同数”， 对于8734，其各数位上的数字不全相同且均不为0，8473-=-，8734∴是“差同数”， 847311s ∴=-=，83749t =-=，1129(8734)129F +⨯∴==， 2586∴不是“差同数”，8734是“差同数”， (8734)1F =； （2）100010616100060010(1)6P x y x y =++=++++，P ∴的千位数字为x ，百位数字为6，十位数字为(1)y +，个位数字为6， 又自然数P 是差同数，66(1)x y ∴-=-+即11x y +=，(106)(61)1055p S x y x y ∴=+-+=--，(101)661065p t x y x y =++-=+-，10552(1065)()629y x y F P x --++-∴==-， 10030423000100402Q m n m n =++=++++，Q ∴的千位数字为3，百位数字为m ，十位数字为4，个位数字为(2)n +， 又自然数Q 是差同数，3(2)4n m ∴-+=-，即5m n +=，302(104)1028Q s n m n m ∴=++-+=-+，34(102)3210Q t m n m n =-++=--，10282(3210)()329n m m n F Q m -++--∴==-， 3()()3(6)(3)321F P F Q x m x m ∴-=---=+-，19x ，08y ，且11x y +=，39x ∴，19m ，07n ，且5m n +=，15m ∴，1132111x m ∴-+-，又321x m +-能被11整除，32111x m ∴+-=±或0，①当32111x m +-=-时，3x =，1m =，8y =，4n =， 此时，()363()312F P k F Q -===--； ②当32111x m +-=时，9x =，5m =，2y =，0n =， 此时，()963()352F P k F Q -===--； ③当3210x m +-=时，6x =，3m =，此时，()0F Q =，k ∴值不存在，综上，k 的最小值为32-．23．对于实数P ，我们规定：用的最小整数．2=，2=，现在对72进行如下操作： {}{}{}727299332===第一次第二次第三次，即对72只需进行3次操作后变为2．类比上述操作：对36只需进行 3 次操作后变为2；如果只需进行3次操作后变为2的所有正整数中最大的数为 ．【解答】解：由题意得：现在对36进行如下操作： {}{}{}363666332===第一次第二次第三次，∴对36只需进行3次操作后变为2；现在对256进行如下操作： {}{}{}2562561616442===第一次第二次第三次，如果只需进行3次操作后变为2的所有正整数中最大的数为：256；故答案为：3，256．24．如果一个三位数满足各数位上的数字都不为0，且百位数字比十位数字大1，则称这个数为“阶梯数”．若s ，t 都是“阶梯数”，将组成s 的各数位上的数字中最大数字作为十位数字，组成t 的各数位上的数字中最小数字作为个位数字，得到一个新两位数m 叫做s ，t 的“萌数”，将组成s 的各数位上的数字中最小数字作为十位数字，组成t 的各数位上的数字中最大数字作为个位数字，得到一个新两位数n 叫做s ，t 的“曲数”，记(,)2F s t m n =+．例如：因为211-=，615-=，所以211和654都是“阶梯数”；211和654的“萌数” 24m =，“曲数” 16n =，(211,654)2241664F =⨯+=．（1）判断435 是 （填“是”或“否” )为“阶梯数”；（2）若(1)6s a a =-，(1)5t b b =+（其中25a <，69b <，且a ，b 都是整数），且(,)167F s t =，求满足条件的s 、t 的值；（3）若p 、q 都是“阶梯数”，其中100103p x y =++，20010q a b =++（其中23x ，18y ，28b 且a ，b ，x ，y 都是整数），当(F p ，132)(F q +，824)157=时，求(,)F p q 的值． 【解答】解：（1）435中，百位4比十位3大1，符号阶梯数定义．故答案为：是．（2）s 和t 的萌数为65，曲数为(1)(1)a b -+，(F s ∴，)265(1)(1)167t a b =⨯+-+=，解得4a =，6b =．436s ∴=，765b =．（3）p 、q 都是阶梯数，1y x ∴=-，1a =，又23x ，28b ，10010(1)3213p x x ∴=+-+=或323，212q =、213、214、215、216、217、218． (F p ∴、132)31210(1)3x =⨯+-+，(F q ，824)(102)218b =+⨯+，由(F p 、132)(F q +，824)157=，得102080x b +=，其中x 为偶数，2x ∴=，3b =，即213p =，213q =．(F p 、)2311375q =⨯+=．25．一个多位自然数分解为末三位与末三位以前的数，让末三位数减去末三位以前的数，所得的差能被13整除，则原多位数一定能被13整除．（1）判断266357 能 （选填“能”或“不能” )被13整除；（2）证明：任意一个多位自然数都满足上述规律；（3）将一个多位自然数分解为个位与个位之前的数，若让个位之前的数加上个位数的k 倍(k 为正整数），所得之和能被13整除，且原多位自然数也能被13整除，求当150k 时，所有满足条件的k 的值．【解答】（1）解：266357能被13整除；理由如下：266357的末三位数为357，末三位以前的数为266，35726691∴-=，91137÷=，266357∴能被13整除，故答案为：能；（2）证明：设这个多位数的末三位数为a ，末三位以前的数为b ，则这个多位数可表示为1000b a +，根据题意得：13(a b n n -=为整数），13a n b ∴=+，则1000100013100113b a b n b b n +=++=+，100113b n +可以被13整除，1000b a ∴+可以被13整除，∴任意一个三位以上的自然数都满足这个规律，即任意一个多位自然数都满足上述规律；（3）解：设个位之前及个位数分别为m 、n （出现的字母均为自然数），依题意不妨设13m kn t +=，则原多位数为10m n +，依题意不妨设1013m n s +=， 联立可得：3110(101)101313n k s t k t kn +=--=-+， 则31k +为13倍数，分别将1k =、2、3、4、550⋯代入可知，4k ∴=或17k =或30k =或43k =．26．一个三位自然数a ，满足各数位上的数字之和不超过10，并且个位数字与百位数字不同，我们称这个数为“完美数”．将a 的个位数字与百位数字交换得到一个新数a '，记G （a ）11a a '-=．例如，当125a =时，521a '=，125521(125)3611G -==-；当370a =时，73a '=，37073(370)2711G -==． （1）判断236 不是 （选填“是”或“不是” )完美数，计算(321)G = ；（2）已知两个“完美数” m ，n ，满足10010m a b =++，100(09n c d b a =+<，09c ，09d ，a ，b ，c ，d 为整数），若()G m 能被7整除，且()()9(2)G m G n d +=+，求m n -的最小值．【解答】解：（1）2361110++=>，236∴不是完美数， 根据题意，321123(321)1811G -==； 故答案为：不是；18．（2）10010m a b =++，10010m b a '∴=++，100n c d =+，100n d c '∴=+，()()9(2)112m m n n G m G n d -'-'∴+=+=+， 22a b c d ∴-+=+，设()7G m x =，x 为整数， ∴9999711a b x -=，即9()7a b x -=， 09b a <，∴满足条件的a 只有7或8或9，当9a =时，m 不是完美数，故舍去，当8a =时，1b =，这个数是811，是完美数，此时，8122c d -+=+，即25c d =-，09c ，09d ，3d ∴=，1c =时，301n =，则510m n -=；4d =，3c =时，403n =，则811403408m n -=-=；5d =，5c =时，505n =，则811505306m n -=-=；6d =，7c =（舍去）， ∴共有三种情况，最小的为306；当7a =时，0b =，这个数是710，是完美数，此时，7022c d -+=+，即25c d =-，09c ，09d ，3d ∴=，1c =时，301n =，则710301409m n -=-=；4d =，3c =时，403n =，则710403302m n -=-=；5d =，5c =时，505n =，则710505205m n -=-=；6d =，7c =（舍去）， ∴共有三种情况，最小的为205；综上，m n -的最小值为205．27．阅读材料：我们知道，任意一个正整数k 都可以进行这样的分解：(k m n m =⨯，n 是正整数，且)m n ，在k 的所有这种分解中，如果m ，n 两因数之差的绝对值最小，我们就称m n⨯是k 的最佳分解，并规定：()m f k n=．例如：18可以分解成118⨯，29⨯或36⨯，因为1819263->->-，所以36⨯是18的最佳分解，所以31(18)62f ==． （1）计算：f （6）=23 ，f （4）= ，2()f x = ．（其中x 为正整数） （2）若21010(2)1011f x x +=，其中x 是正整数，求x 的值． （3）若2(9)1f x -=，其中x 是正整数，求x 的值．【解答】解：（1）6的最佳分解为23⨯，所以f （6）23=；4的最佳分解为22⨯，所以f （4）1=；2x 的最佳分解为x x ⋅，所以2()1f x =． 故答案为：23；1；1． （2）22x x +的最佳分解为：(2)x x +， ∴2(2)2x f x x x +=+， 又21010(2)1011f x x +=， 所以101021011x x =+， 解得2020x =，经检验，2020x =符合题意．（3）由2(9)1f x -=，可设229(x t t -=为正整数），即2(3)(3)x x t +-=，33x t x ∴-<<+，有以下几种情况：①当2t x =-时，229(2)x x -=-，解得134x =（舍去）； ②当1t x =-时，229(1)x x -=-，解得5x =；③当t x =时，229x x -=，无解；④当1t x =+时，229(1)x x -=+，解得5x =-；⑤当2t x =+时，229(2)x x -=+，解得134x =-； 综上所述，5x =．28．阅读下列材料：材料一：对于一个百位数字不为0的四位自然数M ，以它的百位数字作为十位，十位数字作为个位，得到一个两位数m ，若m 等于M 的千位数字与个位数字的平方差，则称数M 为“平方差数”．例如：7136是“平方差数”，因为227613-=，所以7136是“平方差数”；又如：4251不是“平方差数”，因为22411525-=≠，所以4251不是“平方差数”．材料二：我们有时可以利用分解因数的方法解决求整数解的问题，例如：若p ，q 为两个正整数()18p q pq >=，则p ，q 为18的正因数，又因为18可以分解为181⨯或92⨯或63⨯，所以方程18pq =的正整数解为181p q =⎧⎨=⎩或92p q =⎧⎨=⎩或63p q =⎧⎨=⎩． 根据上述材料解决问题：（1）判断9810，6361是否是“平方差数”？并说明理由；（2）若一个四位“平方差数” M ，将它的千位数字、个位数字及m 相加，其和为30，求所有满足条件的“平方差数” M ．【解答】解：（1）9810是“平方差数”，229081-=，9810∴是“平方差数”； 6361不是“平方差数”，22613536-=≠，6361∴不是“平方差数”． （2）设M 的千位数字为a ，个位数字为b ，则22m a b =-，由题意得2230a b a b ++-=，即()(1)30a b a b +-+=．a b +>，11a b -+>且均为30的正因数，∴将30分解为215⨯或310⨯或56⨯．①()(1)215a b a b +-+=⨯，解得87a b =⎧⎨=⎩，即8157M =； ②()(1)310a b a b +-+=⨯，解得64a b =⎧⎨=⎩，即6204M =； ③()(1)56a b a b +-+=⨯，解得50a b =⎧⎨=⎩，即5250M =； 解得51a b =⎧⎨=⎩，即5241M =．8157∴=或6204或5250或5241．M29．【阅读】在数轴上，若点A表示数a，点B表示数b，则点A与点B之间的距离为AB a b=-．||例如：两点A，B表示的数分别为3，1AB=--=．-，那么|3(1)|4（1）若|3|2x-=，则x的值为1或5．（2）当x=(x是整数）时，式子|1||2|3-++=成立．x x（3）在数轴上，点A表示数a，点P表示数p．我们定义：当||1-=时，点P叫点A的1倍伴随点，p a当||2-=时，点P叫点A的2倍伴随点，p a⋯当||-=时，点P叫点A的n倍伴随点．p a n试探究下列问题：若点M是点A的1倍伴随点，点N是点B的2倍伴随点，是否存在这样的点A和点B，使得点M恰与点N重合，若存在，求出线段AB的长；若不存在，请说明理由．【解答】解：（1）|3|2x-=，表示到表示数x的点到表示数3的点的距离为2，当表示数x的点在表示数3的点的左侧时，321x=-=；当表示数x的点在表示数3的点的右侧时，325x=+=；故答案为：1或5；（2）|1||2|3-++=表示的是表示数x的点到表示数1的点的距离和表示数2x x-的点的距离之和，分下列三种情况：①当表示数x的点在2-到1之间时，如图1，此时|1||2|3-++=成立；x x满足条件的x的整数为2-，1-，0，1；②当表示数x的点在2-左侧时，如图2，此时|1||2|3-++>，不存在这样的点；x x③表示数x的点在1右侧时，如图3，此时|1||2|3-++>，不存在这样的点；x x故答案为：2-或1-或0或1；（3）存在，理由如下：设点M 所表示的数位m ，点A 所表示的数为a ，点B 所表示的数为b ，点M 和N 重合，∴点N 所表示的数为n ，点M 是点A 的1倍伴随点，点N 是点B 的2倍伴随点，||1m a ∴-=，||2m b -=，12m a b ∴=±=±，当12a b +=+时，1a b -=，此时1AB =；当12a b +=-时，3a b -=-，此时3AB =；当12a b -=+时，3a b -=，此时3AB =；当12a b -=-时，1a b -=-，此时1AB =；综上，存在，此时AB 的长为1或3．30．如果一个自然数M 能分解成A B ⨯，其中A 和B 都是两位数，且A 与B 的十位数字之和为10，个位数字之和为9，则称M 为“十全九美数”，把M 分解成A B ⨯的过程称为“全美分解”，例如：28384366=⨯，4610+=，369+=，2838∴是“十全九美数“；3912317=⨯，2110+≠，391∴不是“十全九美数”． （1）判断2100和168是否是“十全九美数”？并说明理由；（2）若自然数M 是“十全九美数“，“全美分解”为A B ⨯，将A 的十位数字与个位数字的差，与B 的十位数字与个位数字的和求和记为()S M ；将A 的十位数字与个位数字的和，与B 的十位数字与个位数字的差求差记为()T M ．当()()S M T M 能被5整除时，求出所有满足条件的自然数M ． 【解答】解：（1）2100是“十全九美数”，168不是“十全九美数”，理由如下： 21002584=⨯，2810+=，549+=，2100∴是“十全九美数”；1681412=⨯，10l l +≠，168∴不是“十全九美数“；（2）设A 的十位数字为m ，个位数字为n ，则10A m n =+， M 是“十全九美数”， M A B =⨯， B ∴的十位数字为10m -，个位数字为9n -，则10(10)910910B m n m n =-+-=--， 由题知：()109192S M m n m n n =-+-+-=-，()[10(9)]21T M m n m n m =+----=-， 根据题意，令()1925(()21S M n k k T M m -==-为整数）， 由题意知：19m ，09n ，且都为整数，119219n ∴-，12117m -，当k l =时，192521n m -=-， ∴1925211n m -=⎧⎨-=⎩或19210212n m -=⎧⎨-=⎩或19215213n m -=⎧⎨-=⎩， 解得17m n =⎧⎨=⎩或3292m n ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（舍去）或22m n =⎧⎨=⎩； 17921564M A B ∴=⨯=⨯=或22871914M A B =⨯=⨯=；当2k =时，1921021n m -=-， ∴19210211n m -=⎧⎨-=⎩， 解得192m n =⎧⎪⎨=⎪⎩（舍去）； 当3k =时，1921521n m -=-， ∴19215211n m -=⎧⎨-=⎩， 解得12m n =⎧⎨=⎩； 12971164M A B ∴=⨯=⨯=，综上，满足“十全九美数”条件的M 有：1564或1914或1164．31．一个自然数能分解成A B ⨯，其中A ，B 均为两位数，A 的十位数字比B 的十位数字大1，且A ，B 的个位数字之和为10，则称这个自然数为“分解数”．例如：48197961=⨯，7比6大1，1910+=，4819∴是“分解数”；又如：14964434=⨯，4比3大1，4410+≠，1496∴不是“分解数”．（1）判断325，851是否是“分解数”，并说明理由；（2）自然数M A B =⨯为“分解数”，若A 的十位数字与B 的个位数字的和为()P M ，A 的个位数字与B 的十位数字的和()F M ，令()()()P M G M F M =，当()G M 为整数时，则称M 为“整分解数”．若B 的十位数字能被2整除，求所有满足条件的“整分解数” M ．【解答】解：（1）3252513=⨯，2比1大1，5310+≠，325∴不是“分解数”； 68513723=⨯，3比2大l ，7310+=，851∴是“分解数”． （2）令10B x y =+，10(1)10A x y =++-，(8l x <<，19y ，且x ，y 为整数）， ()1P M x y =++，()10F m x y =-+，1()10x y G M x y ++∴=-+，2x 为整数， 2x ∴=，4，6，8，当2x =时，315()11212y G M y y +==-+-+-+，为整数， 12y ∴-+的值为3或5，解得9y =或7，13129899M ∴=⨯=，23327891M =⨯=；当4x =或6x =时，不存在()G M 为整数，∴舍去；当8x =时，927()11818y G M y y +==-+-+-+为整数， 189y ∴-+=，解得9y =，391898099M ∴=⨯=．综上所述，M 的值为899，891，8099．32．对于任意一个四位数N ，如果N 满足各个位上的数字互不相同，且个位数字不为0，N的百位上的数字与十位上的数字之差是千位上的数字与个位上的数字之差的2倍，则称这个四位数N 为“双减数”．对于一个“双减数” N abcd =，将它的千位和百位构成的两位数为ab ，个位和十位构成的两位数为dc ，规定；()12ab dc F N -=． 例如：7028N =．因为2(78)02⨯-=-，故7028是一个“双减数”，则7082(7028)112F -==-． （1）判断9527，6713是否是“双减数”，并说明理由，如果是，并求出()F N 的值；（2）若自然数A 为“双减数”， F （A ）是3的倍数，且A 各个数位上的数字之和能被13整除，求A 的值．【解答】解：（1）9527:523-=，972-=，不满足“双减数”的定义，故9527不是双减数；6713:716-=，633-=，满足623=⨯，且满足各个位上的数字互不相同，且个位数字不为0，故6713是双减数；6731(6713)312F -==． 9527∴不是双减数，6713是双减数，(6713)3F =．（2）设A abcd =，由题意可知，F （A ）是3的倍数，且A 各个数位上的数字之和能被13整除且百位数与十位数之差是千位数与个位数之差的两倍．()312ab dc F A k -∴==． 13a b c d n +++=②(n 为正整数，能被13整除说明是13的倍数）， 2()b c a d -=-③，由③式可得知，ab dc -的结果中，个位数是十位数的两倍，而且()312ab dc F A k -==①． ∴36ab dc k -=，（说明ab dc -是36的倍数）， 根据“双减数“各位数不重复与0d ≠的性质，ab 最大为98，dc 最小为10，ab dc ∴-最大为88， ∴36ab dc -=或36-或72（舍去）或72-（舍去），（根据“双减数“百位上的数字与十位上的数字之差是千位上的数字与个位上的数字之差的2倍排除），3a d ∴-=，6b c -=或3a d -=-，6b c -=-，即3a d =+④，6b c =+⑤或3a d =-⑥，6b c =-⑦，将④⑤代入②可得，(3)(6)13d c c d n ++-++=， 将⑥⑦代入②可得，(3)(6)13d c c d n -+-++=， 同理，根据“双减数“的性质可得a b c d +++的最大值为987630+++=，最小值为01236+++=，630a b c d ∴+++，a b c d ∴+++是13的倍数，a b c d ∴+++只能取13或26．Ⅰ、当13a b c d +++=时，可得2d c +=或11d c +=；当2d c +=时，d 与c 的值可能为20d c =⎧⎨=⎩，02d c =⎧⎨=⎩（舍去），11d c =⎧⎨=⎩（舍去），（根据双减数个位数不能为0，且每位数不相等排除）， 即20d c =⎧⎨=⎩； 当11d c +=时，2a b +=，则20a b =⎧⎨=⎩，02a b =⎧⎨=⎩（舍去），11a b =⎧⎨=⎩（舍去）， 即20a b =⎧⎨=⎩，此时，6c =，5d =． Ⅱ、当26a b c d +++=时，可得2()17d c +=，2()35d c +=． 172d c +=（舍去）或352d c +=（由于d ，c 不为整数，与题意不符，故舍去）， 3235a d ∴=+=+=，66b c =+=5602A ∴=或2065．33．对于一个四位自然数(R abcd a =，b ，c ，d 不全相同且均不为0)，如果a d b c -=-，那么称这个数R 为“天平数”，对于一个“天平数” R ，将它的千位和个位构成的两位数减去百位和十位构成的两位数所得差记为s ，将它的千位和十位构成的两位数减去百位和个位构成的两位数所得差记为t ，规定：()10s t f R +=；例如：8734R =，因为8473-=-，故：8734是一个“天平数”．所以：847311s =-=，83749t =-=，则：119()210f R +==． （1）请判断7513是否是“天平数”，如果是，请求出()f R 的值；如果不是，请说明理由；（2）若自然数M ，N 都是“天平数”，其中1007051M x y =++，100010512(19N m n x =++，08y ，19m ，08n ，x ，y ，m ，n 都是整数），规定：()()f M k f N =，当()()4f N f M -=时，求k 的值． 【解答】解：（1）是，且(7513)4f =，理由如下：7351-=-，7513∴是一个“天平数”． 735122s ∴=-=，715318t =-=，2218(7513)410f +∴==； （2）1007051700010050(1)M x y x y =++=++++，M ∴的前位数字是7，百位数字是x ，十位数字是5，个位数字是1y +， M 是“天平数”， 7(1)5y x ∴-+=-，即11x y +=，(701)(105)6610Ms y x x y ∴=++-+=-+，75(101)7410Mt x y x y =-++=--，66107410()1421010s t x y x y f M x +-++--∴===-， 100010512100050010(1)2N m n m n =++=++++，N ∴的前位数字是m ，百位数字是5，十位数字是(1)n +，个位数字是2， N 是“天平数”， 25(1)m n ∴-=+，即6m n +=，(102)(501)1049Ns m n m n ∴=+-++=--，(101)521051Nt m n m n =++-=+-，10491051()2101010s t m n m n f N m +--++-∴===-， 19x ，08y 且11x y +=，39x ∴，19m ，08n ，且6m n +=，16m ∴，()()(210)(142)22244f N f M m x x m -=---=+-=，14x m ∴+=，14x m ∴=-，56m ∴， 此时，()142721()21055f M x m k f N m m m --====----， 当5m =时，k 值不存在；当6m =时，1k =-，综上，k 的值为1-．34．如果一个自然数M 的个位数字不为0，且能分解成A B ⨯，其中A 与B 都是两位数，A 与B 的十位数字相同，个位数字之和为8，则称数M 为“团圆数”，并把数M 分解成M A B =⨯的过程，称为“欢乐分解”．例如：5722226=⨯，22和26的十位数字相同，个位数字之和为8，572∴是“团圆数”． 又如：2341813=⨯，18和13的十位数字相同，但个位数字之和不等于8，234∴不是“团圆数”．（1）最小的“团圆数”是 187 ；（2）判断195，621是否是“团圆数”？并说明理由；（3）把一个“团圆数” M 进行“欢乐分解”，即M A B =⨯，A 与B 之和记为()P M ，A 与B 差的绝对值记为()Q M ，令()()()P M G M Q M =，当()G M 能被8整除时，求出所有满足条件的M 的值． 【解答】解：（1）由题意可知，最小的“团圆数”十位数字是1，个位数字分别为1和7， ∴最小的“团圆数”是1117187⨯=，故答案为：187；（2）1951315=⨯，且358+=，195∴是“团圆数”， 6212327=⨯，378+≠，621∴不是“团圆数”； （3）设10A a b =+，则108B a b =+-，208A B a ∴+=+，|||28|A B b -=-，()()()||P M A B G M Q M A B +==-能被8整除， ∴2088|28|a kb +=-，k 为整数， 52(|4|)4a b k ∴+=-，52a ∴+是4的倍数，∴满足条件的a 有2，6，若2a =，则488|28|k b =-，k 为整数， ∴3|4|k b =-， |4|b ∴-是3的因数，43b ∴-=-，1-，1，3，∴满足条件的b 有1，3，5，7，21A ∴=，27B =或23A =，25B =或25A =，23B =或27A =，21B =，567A B ∴⨯=或575，若6a =，则1288|28|k b =-，k 为整数， ∴8|4|k b =-， |4|b ∴-是8的因数，48b ∴-=-，4-，2-，1-，1，2，4，8，∴满足条件的b 有2，3，5，6，62A ∴=，66B =或63A =，65B =或65A =，63B =或66A =，62B =，62664092A B ∴⨯=⨯=或4095，综上，M 的值为567或575或4092或4095．35．对于任意一个四位数m ，若m 满足各数位上的数字都不为0，且千位与百位上的数字不相等，十位与个位上的数字不相等，那么称这个数为“智慧数”．将一个“智慧数” m 的任意一个数位上的数字去掉后可以得到四个新三位数，把这四个新三位数的和与3的商记为()F m ．例如“智慧数” 1234m =，去掉千位上的数字得到234，去掉百位上的数字得到134，去掉十位上的数字得到124，去掉个位上的数字得到123．这四个新三位数的和为234134124123615+++=，6153205÷=，所以(1234)205F =．（1）计算：(2131)F = 262 ；(5876)F = ；（2）若“智想数” 780010(15n x y x =++，19y ，x ，y 都是正整数），()F n 也是“智慧数”，且()F n 能被12整除，求满足条件的n 的值．【解答】解：（1）(2131)(213211231131)3262F =+++÷=；(5876)(587586576876)3875F =+++÷=；故答案为：262；875；（2） “智慧树” 78001071000810010n x y x y =++=⨯+⨯++， ∴数n 的千位上的数为7，百位上的数为8，十位上的数为x ，个位上的数为y ， ()(7807807001080010)310207F n x y x y x y x y ∴=+++++++++÷=++， 15x ，19y ，()F n 也是“智慧数”，且()F n 能被12整除， ∴可设()1020712F n x y k =++=，即()F n 是3的倍数，也是4的倍数， ()743403402333F n x y x y k x ++∴==+=++，且()3F n 是4的倍数， 当1x =时，y 可取2，5，8，此时()3433F n =（舍)或344或345（舍)，此时()1032F n =，符合定义，7815n =；当2x =时，y 可取1，4，7，此时()3453F n =（舍)或346（舍)或347（舍)，无符合题意的n ；当3x =时，()340733F n y =++，y 可取3，6，9，此时()3483F n =或349（舍)或350（舍)，此时()7833F n =，不符合题意；当4x =时，y 可取2，5，8，此时()3503F n =（舍)或351（舍)或352，此时()1056F n =，7848n =， 当5x =时，y 可取1，4，7，此时()3523F n =或353（舍)或354（舍)，此时()1056F n =，7851n =， 综上，符合题意的点n 值为7815或7848或7851．。
新定义型专题
新定义型专题第一部分 讲解部分（一）专题诠释所谓“新定义”型问题，主要是指在问题中定义了中学数学中没有学过的一些概念、新运算、新符号，要求学生读懂题意并结合已有知识、能力进行理解，根据新定义进行运算、推理、迁移的一种题型.“新定义”型问题成为近年来中考数学压轴题的新亮点.在复习中应重视学生应用新的知识解决问题的能力（二）解题策略和解法精讲“新定义型专题”关键要把握两点：一是掌握问题原型的特点及其问题解决的思想方法；二是根据问题情景的变化，通过认真思考，合理进行思想方法的迁移．（三）考点精讲考点一：规律题型中的新定义 例1.定义：a 是不为1的有理数，我们把11a-称为a 的差倒数．如：2的差倒数是1112=--，－1的差倒数是111(1)2=--．已知a 1＝－13，a 2是a 1的差倒数，a 3是a 2的差倒数，a 4是a 3的差倒数，…，依此类推，a 2013＝ ．【分析】：理解差倒数的概念，要根据定义去做．通过计算，寻找差倒数出现的规律，依据规律解答即可．考点二：运算题型中的新定义例 2.（2011毕节地区，18，3分）对于两个不相等的实数a 、b ，定义一种新的运算如下，*0a b a b a b =+（＞）﹣，如：3*2== 那么6*（5*4）= ．【分析】：本题需先根据已知条件求出5*4的值，再求出6*（5*4）的值即可求出结果． 例3.（2010重庆江津区，15，4分）我们定义abad bc cd=-，例如2345=2×5﹣3×4=10﹣12=﹣2，若x ，y均为整数，且满足1＜14x y ＜3，则x+y 的值是 ．【分析】：先根据题意列出不等式，根据x 的取值范围及x 为整数求出x 的值，再把x 的值代入求出y 的值即可．考点三：探索题型中的新定义例4.(2009 台州，23，分）定义：到凸四边形一组对边距离相等，到另一组对边距离也相等的点叫凸四边形的准内点．如图1，PH=PJ，PI=PG，则点P就是四边形ABCD的准内点．（1）如图2，∠AFD与∠DEC的角平分线FP，EP相交于点P．求证：点P是四边形ABCD的准内点．（2）分别画出图3平行四边形和图4梯形的准内点．（作图工具不限，不写作法，但要有必要的说明）（3）判断下列命题的真假，在括号内填“真”或“假”．①任意凸四边形一定存在准内点．（）②任意凸四边形一定只有一个准内点．（）③若P是任意凸四边形ABCD的准内点，则PA+PB=PC+PD或PA+PC=PB+PD．（）【分析】：（1）过点P作PG⊥AB，PH⊥BC，PI⊥CD，PJ⊥AD，由角平分线的性质可知PJ=PH，PG=PI；（2）平行四边形对角线的交点，即为平行四边形的准内点；梯形两腰夹角的平分线与梯形中位线的交点，即为梯形的准内点；（3）①当凸四边形为平行四边形时，易知其对角线交点即为其准内点；②当凸四边形不为平行四边形时，可以将四边形的两边延长，构造三角形，其对角线交点即为准内点．【解】：考点四：开放题型中的新定义例5.（2011浙江台州，15，5分）如果点P（x，y）的坐标满足x+y=xy，那么称点P为和谐点．请写出一个和谐点的坐标：．【分析】：由题意点P（x，y）的坐标满足x+y=xy，解答x+y=xy，即可得出答案．考点五：阅读材料题型中的新定义【（2010广东佛山，25，8分）阅读材料】我们经常通过认识一个事物的局部或其特殊类型，来逐步认识这个事物；比如我们通过学习两类特殊的四边形，即平行四边形和梯形（继续学习它们的特殊类型如矩形、等腰梯形等）来逐步认识四边形；我们对课本里特殊四边形的学习，一般先学习图形的定义，再探索发现其性质和判定方法，然后通过解决简单的问题巩固所学知识；请解决以下问题：如图，我们把满足AB=AD、CB=CD且AB≠BC的四边形ABCD叫做“筝形”；（1）写出筝形的两个性质（定义除外）；（2）写出筝形的两个判定方法（定义除外），并选出一个进行证明．【分析】：（1）根据题意及图示即可得出筝形的性质；（2）根据筝形的性质即可写出判断方法，然后根据题意及图示即可进行证明．【解】：（四）真题演练1.（2011安徽，14，4分）定义运算a⊗b=a（1﹣b），下列给出了关于这种运算的几点结论：①2⊗（﹣2）=6；②a⊗b=b⊗a；③若a+b=0，则（a⊗b）+（b⊗a）=2ab；④若a⊗b=0，则a=0．其中正确结论序号是．（把在横线上填上你认为所有正确结论的序号）2.（2010江苏连云港，27，10分）如果一条直线把一个平面图形的面积分成相等的两部分，我们把这条直线称为这个平面图形的一条面积等分线，例如平行四边形的一条对角线所在的直线就是平行四边形的一条面积等分线．（1）三角形的中线、高线、角平分线分别所在的直线一定是三角形的面积等分线的有；（2）如图，梯形ABCD中，AB∥DC，如果延长DC到E，使CE＝AB，连接AE，那么有S梯形ABCD＝S△ADE．请你给出这个结论成立的理由，并过点A作出梯形ABCD的面积等分线（不写作法，保留作图痕迹）；（3）如图，四边形ABCD中，AB与CD不平行，S△ADC＞S△ABC，过点A能否作出四边形ABCD的面积等分线？若能，请画出面积等分线，并给出证明；若不能，说明理由．第二部分 练习部分一、选择题1、（2011山东菏泽，6，4分）定义一种运算☆，其规则为a ☆b =1a ＋1b ，根据这个规则，计算2☆3的值是（ ） A.56 B. 15C.5D.6 2.（2011滨州，10，3分）在快速计算法中，法国的“小九九”从“一一得一”到“五五二十五”和我国的“小九九”算法是完全一样的，而后面“六到九”的运算就改用手势了．如计算8×9时，左手伸出3根手指，右手伸出4根手指，两只手伸出手指数的和为7，未伸出手指数的积为2，则8×9=10×7+2=72．那么在计算6×7时，左、右手伸出的手指数应该分别为（ ） A 、1，2 B 、1，3C 、4，2D 、4，33.（2010浙江杭州，10，3分）定义[a ，b ，c ]为函数y ＝a x 2+bx c 的特征数，下面给出特征数为[2m ，1﹣m ，﹣1﹣m]的函数的一些结论： ①当m ＝﹣3时，函数图象的顶点坐标是（18,33）； ②当m ＞0时，函数图象截x 轴所得的线段长度大于32； ③当m ＜0时，函数在x ＞14时，y 随x 的增大而减小； ④当m≠0时，函数图象经过同一个点． 其中正确的结论有（ ）A 、①②③④B 、①②④C 、①③④D 、②④二、填空题4.（2011甘肃兰州，26，9分）通过学习三角函数，我们知道在直角三角形中，一个锐角的大小与两条边长的比值相互唯一确定，因此边长与角的大小之间可以相互转化。
初中数学中考复习专题五 新定义型
专题五新定义型【专题精讲】“新定义型”问题，主要是指在问题中定义了中学数学中没有学过的一些概念，新运算，新符号，要求学生读懂题意并结合已有知识和能力进行理解，根据新的定义进行运算，推理，迁移。
最近几年是考试热点。
“新定义型”关键要把握两点：一是掌握问题的原型特点及其解决问题的思想方法，二是根据问题背景变化，通过认真思考，合理进行思想方法的迁移。
“新定义型”问题的类型：规律题型中的新定义，运算题中的新定义，探索题中的新定义，开放题中的新定义，阅读材料题中点的新定义，等等。
【典型例题讲解】考点一规律题中的新定义例1若自然数n使得三个数的加法运算“)2++nnn”产生进位现象,则称n为“连加进位数”。
+(+()1例如：2不是“连加进位数”,因为2+3+4=9不产生进位现象;4是“连加进位数”,因为4+5+6=15产生进位现象;51是“连加进位数”,因为51+52+53=156产生进位现象。
如果从0,1,2, (99)100个自然数中任取一个数,那么取到“连加进位数”的概率是()A. 0.88B. 0.89C. 0.90D. 0.91考点二运算中的新定义定义新运算：对于任意实数a，b，都有a⊕b=a（a-b）+1，等式右边是通常的加法、减法及乘法运算，比如：2⊕5=2×（2-5）+1=2×（-3）+1=-6+1=-5（1）求（-2）⊕3的值；（2）若3⊕x的值小于13，求x的取值范围，并在图所示的数轴上表示出来．定义：数学活动课上，李老师给出如下定义：如果一个三角形有一边上的中线等于这条边的一半，那么称这个三角形为“智慧三角形”。
理解(1)如图1,已知A. B 是⊙O 上两点,请在圆上找出满足条件的点C ,使△ABC 为“智慧三角形”(画出点C 的位置,保留作图痕迹)；(2)如图2,在正方形ABCD 中,E 是BC 的中点,F 是CD 上一点,且CD CF 41=，试判断AEF ∆是否为“智慧三角形”，并说明理由；运用：(3)如图3，在平面直角坐标系xOy 中，⊙O 的半径为1，点Q 是直线3=y 上的一点，若在⊙O 上存在一点P ，使得OPQ ∆为“智慧三角形”，当其面积取得最小值时，直接写出此时点P 的坐标。
中考真题分类整理：新定义型(附答案)
一、选择题1.（2020·岳阳）对于一个函数，自变量x 取a 时，函数值y 也等于a ，我们称a 为这个函数的不动点．如果二次函数y =x 2+2x +c 有两个相异的不动点x 1、x 2，且x 1＜1＜x 2，则c 的取值范围是（） A ．c ＜－3 B ．c ＜－2 C ．14c <D ．c ＜1 【答案】B【解析】 当y =x 时，x =x 2+2x +c ，即为x 2+x +c =0，由题意可知：x 1，x 2是该方程的两个实数根，所以12121x x x x c+=-⎧⎨⋅=⎩∵x 1＜1＜x 2，∴（x 1－1）（x 2－1）＜0， 即x 1x 2－(x 1＋x 2) ＋1＜0， ∴c －(－1)＋1＜0， ∴c ＜－2.又知方程有两个不相等的实数根，故Δ＞0， 即12－4c ＞0， 解得：c ＜14.∴c 的取值范围为c ＜－2 .2.（2020·济宁）−1，－1的差类推，那么a 1＋a 2＋…＋a 100的值是（） A ．－7.5 B ．7.5 C ．5.5 D ．－5.5 【答案】A【解析】二、填空题18．（2020·娄底） 已知点P()00,x y 到直线y kx b =+的距离可表示为d =0，1）到直线y ＝2x+6的距离d ==y x =与4y x =-之间的距离为___________． 【答案】．【解析】在直线y x =上任取点，不妨取（0，0），根据两条平行线之间距离的定义可知，（0，0）到直线4y x =-的距离就是两平行直线y x =与4y x =-之间的距离．d ===． 16．（2020·常德）规定：如果一个四边形有一组对边平行，一组邻边相等，那么四边形为广义菱形．根据规定判断下面四个结论：①正方形和菱形都是广义菱形；②平行四边形是广义菱形；③对角线互相垂直，且两组邻边分别相等的四边形是广义菱形；④若M 、N 的坐标分别为(0，1)，(0，－1)，P 是二次函数y ＝x 2的图象上在第一象限内的任意一点，PQ 垂直直线y ＝－1于点Q ，则四边形PMNQ 是广义菱形．其中正确的是 ．（填序号）【答案】①④【解析】正方形和菱形满足一组对边平行，一组邻边相等，故都是广义菱形，故①正确；平行四边形虽然满足一组对边平行，但是邻边不一定相等，因此不是广义菱形，故②错误；对角线互相垂直，且两组邻边分别相等的四边形的对边不一定平行，邻边也不一定相等，因此不是广义菱形，故③错误；④中的四边形PMNQ 满足MN ∥PQ ，设P (m ，0)（m ＞0），∵PM＝＋1，PQ ＝－(－1)＝＋1，∴PM ＝PQ ，故四边形PMNQ 是广义菱形．综上所述正确的是①④．17．（2020·陇南）定义：等腰三角形的顶角与其一个底角的度数的比值k 称为这个等腰三角形的“特征值”．若等腰△ABC 中，∠A ＝80°，则它的特征值k ＝ ．【答案】85或14． 【解析】当∠A 是顶角时，底角是50°，则k=808505=；当∠A 是底角时，则底角是20°，k=201804=，故答案为：85或14．三、解答题1.（2020·重庆A 卷）《道德经》中的“道生一，一生二，二生三，三生万物”道出了自然数的特征．在数的学习过程中，我们会对其中一些具有某种特性的数进行研究，如学习自然数时，我们研究了奇数、偶数、质数、合数等．现在我们来研究另一种特珠的自然数—“纯数”．定义：对于自然数n ，在计算n ＋(n ＋1)＋(n ＋2)时，各数位都不产生进位，则称这个自然数n 为“纯数”，例如：32是”纯数”，因为计算32＋33＋34时，各数位都不产生进位；23不是“纯数”，因为计算23＋24＋25时，个位产生了进位．（1）判断2019和2020是否是“纯数”？请说明理由； （2）求出不大于100的“纯数”的个数．解：（1）2019不是“纯数”，2020是“纯数”，理由如下：∵在计算2019＋2020＋2021时，个位产生了进位，而计算2020＋2021＋2022时，各数位都不产生进位，∴2019不是“纯数”，2020是“纯数”．（2）由题意可知，连续三个自然数的个位不同，其他位都相同，并且连续的三个自然数个位为0、1、2时，不会产生进位；其他位的数字为0、1、2、3时，不会产生进位．现分三种情况讨论如下：①当这个数为一位自然数时，只能是0、1、2，共3个；14214m 214m 214m②当这个数为二位自然数时，十位只能为1、2、3，个位只能为0、1、2，即10、11、12、20、21、22、30、31、32共9个； ③当这个数为100时，易知100是“纯数”． 综上，不大于100的“纯数”的个数为3＋9＋1＝13．2.（2020·重庆B 卷）在数的学习过程中，我们总会对其中一些具有某种特性的数进行研究，如学习自然数时，我们研究了偶数、奇数、合数、质数等. 现在我们来研究一种特殊的自然数——“纯数”.定义：对于自然数，在通过列竖式进行的运算时各位都不产生进位现象，则称这个自然数为“纯数”.例如：是“纯数”，因为在列竖式计算时各位都不产生进位现象； 不是“纯数”，因为在列竖式计算时个位产生了进位. ⑴请直接写出1949到2019之间的“纯数”；⑵求出不大于100的“纯数”的个数，并说明理由.解：（1）1949到2019之间的“纯数”为2000、2001、2002、2010、2011、2012 . （2）由题意：不大于100的“纯数”包含：一位数、两位数和三位数100若n 为一位数，则有n +（n +1）+（n +2）＜10，解得：n ＜3，所以：小于10的“纯数数”有0、1、2，共3个．两位数须满足：十位数可以是1、2、3，个位数可以是0、1、2，列举共有9个分别是10、11、12、20、21、22、30、31、32；三位数为100，共1个所以：不大于100的“纯数”共有13个.3.（2020·衢州）定义：在平面直角坐标系中，对于任意两点A （a ，b ），B （c ，d ），若点T （x ，y ）满是x =3a c +，y =3b d +，那么称点T 是点A ，B 的融合点。
最新中考数学新定义题型专题复习资料
新定义型专题（一）专题诠释所谓“新定义”型问题，主要是指在问题中定义了中学数学中没有学过的一些概念、新运算、新符号，要求学生读懂题意并结合已有知识、能力进行理解，根据新定义进行运算、推理、迁移的一种题型.“新定义”型问题成为近年来中考数学压轴题的新亮点.在复习中应重视学生应用新的知识解决问题的能力（二）解题策略和解法精讲“新定义型专题”关键要把握两点：一是掌握问题原型的特点及其问题解决的思想方法；二是根据问题情景的变化，通过认真思考，合理进行思想方法的迁移．（三）考点精讲考点一：规律题型中的新定义 例1.定义：a 是不为1的有理数，我们把11a-称为a 的差倒数．如：2的差倒数是1112=--，－1的差倒数是111(1)2=--．已知a 1＝－13，a 2是a 1的差倒数，a 3是a 2的差倒数，a 4是a 3的差倒数，…，依此类推，a 2009＝ ．考点二：运算题型中的新定义例2.对于两个不相等的实数a 、b ，定义一种新的运算如下，*0a ba b a b a b+=+（＞）﹣，如：323*2532+==﹣，那么6*（5*4）= ．例3.我们定义ab ad bc cd=-，例如2345=2×5﹣3×4=10﹣12=﹣2，若x ，y 均为整数，且满足1＜14x y ＜3，则x+y 的值是 ．考点三：探索题型中的新定义例4.定义：到凸四边形一组对边距离相等，到另一组对边距离也相等的点叫凸四边形的准内点．如图1，PH=PJ，PI=PG，则点P就是四边形ABCD的准内点．（1）如图2，∠AFD与∠DEC的角平分线FP，EP相交于点P．求证：点P是四边形ABCD 的准内点．（2）分别画出图3平行四边形和图4梯形的准内点．（作图工具不限，不写作法，但要有必要的说明）（3）判断下列命题的真假，在括号内填“真”或“假”．①任意凸四边形一定存在准内点．（）②任意凸四边形一定只有一个准内点．（）③若P是任意凸四边形ABCD的准内点，则PA+PB=PC+PD或PA+PC=PB+PD．（）考点四：阅读材料题型中的新定义阅读材料我们经常通过认识一个事物的局部或其特殊类型，来逐步认识这个事物；比如我们通过学习两类特殊的四边形，即平行四边形和梯形（继续学习它们的特殊类型如矩形、等腰梯形等）来逐步认识四边形；我们对课本里特殊四边形的学习，一般先学习图形的定义，再探索发现其性质和判定方法，然后通过解决简单的问题巩固所学知识；请解决以下问题：如图，我们把满足AB=AD、CB=CD且AB≠BC的四边形ABCD叫做“筝形”；（1）写出筝形的两个性质（定义除外）；（2）写出筝形的两个判定方法（定义除外），并选出一个进行证明．真题演练1.定义运算a⊗b=a（1﹣b），下列给出了关于这种运算的几点结论：①2⊗（﹣2）=6；②a⊗b=b⊗a；③若a+b=0，则（a⊗b）+（b⊗a）=2ab；④若a⊗b=0，则a=0．其中正确结论序号是．（把在横线上填上你认为所有正确结论的序号）2.如果一条直线把一个平面图形的面积分成相等的两部分，我们把这条直线称为这个平面图形的一条面积等分线，例如平行四边形的一条对角线所在的直线就是平行四边形的一条面积等分线．（1）三角形的中线、高线、角平分线分别所在的直线一定是三角形的面积等分线的有；（2）如图，梯形ABCD中，AB∥DC，如果延长DC到E，使CE＝AB，连接AE，那么有S ＝S△ADE．请你给出这个结论成立的理由，并过点A作出梯形ABCD的面积等分线（不梯形ABCD写作法，保留作图痕迹）；（3）如图，四边形ABCD中，AB与CD不平行，S△ADC＞S△ABC，过点A能否作出四边形ABCD的面积等分线？若能，请画出面积等分线，并给出证明；若不能，说明理由．3. 如图，六边形ABCDEF 是正六边形，曲线FK 1K 2K 3K 4K 5K 6K 7……叫做“正六边形的渐开线”，其中1FK ，12K K ，23K K ，34K K ，45K K ，56K K ，……的圆心依次按点A ，B ，C ，D ，E ，F 循环，其弧长分别记为l 1，l 2，l 3，l 4，l 5，l 6，…….当AB ＝1时，l 2 011等于（ ）A.20112π B.20113π C.20114π D.20116π一、选择题1、定义一种运算☆，其规则为a ☆b =1a ＋1b，根据这个规则，计算2☆3的值是（ ）A. 56B. 15C.5D.62.在快速计算法中，法国的“小九九”从“一一得一”到“五五二十五”和我国的“小九九”算法是完全一样的，而后面“六到九”的运算就改用手势了．如计算8×9时，左手伸出3根手指，右手伸出4根手指，两只手伸出手指数的和为7，未伸出手指数的积为2，则8×9=10×7+2=72．那么在计算6×7时，左、右手伸出的手指数应该分别为（ ）A 、1，2B 、1，3C 、4，2D 、4，33.（2010浙江杭州，10，3分）定义[a ，b ，c ]为函数y ＝a x 2+bx c +的特征数，下面给出特征数为[2m ，1﹣m ，﹣1﹣m]的函数的一些结论：①当m ＝﹣3时，函数图象的顶点坐标是（18,33）；②当m ＞0时，函数图象截x 轴所得的线段长度大于32； ③当m ＜0时，函数在x ＞14时，y 随x 的增大而减小； ④当m ≠0时，函数图象经过同一个点． 其中正确的结论有（ ） （第12题图）A B CD EF K 1 K 2K 3K 4K 5K 6K 74.通过学习三角函数，我们知道在直角三角形中，一个锐角的大小与两条边长的比值相互唯一确定，因此边长与角的大小之间可以相互转化。
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第一部分 讲解部分（一）专题诠释所谓“新定义”型问题，主要是指在问题中定义了中学数学中没有学过的一些概念、新运算、新符号，要求学生读懂题意并结合已有知识、能力进行理解，根据新定义进行运算、推理、迁移的一种题型.“新定义”型问题成为近年来中考数学压轴题的新亮点.在复习中应重视学生应用新的知识解决问题的能力（二）解题策略和解法精讲“新定义型专题”关键要把握两点：一是掌握问题原型的特点及其问题解决的思想方法；2的差倒数是1112=--，－1的差倒数是111(1)2=--．已知a 1＝－13，a 2是a 1的差倒数，a 3是a 2的差倒数，a 4是a 3的差倒数，…，依此类推，a 2009＝ ．【分析】：理解差倒数的概念，要根据定义去做．通过计算，寻找差倒数出现的规律，依据规律解答即可．【解】：解：根据差倒数定义可得：2111311413a a ===-+， 321143114a a ===-- 431111143a a ===---． 显然每三个循环一次，又2009÷3＝669余2，故a 2009和a 2的值相等．【评注】：此类题型要严格根据定义做，这也是近几年出现的新类型题之一，同时注意分析循环的规律．考点二：运算题型中的新定义例2.（2011毕节地区，18，3分）对于两个不相等的实数a 、b ，定义一种新的运算如下，*0a b a b a b =+（＞）﹣，如：3*2== 那么6*（5*4）= ．【分析】：本题需先根据已知条件求出5*4的值，再求出6*（5*4）的值即可求出结果． 【解】：∵*0a b a b a b=+（＞）﹣， ∴=3， ∴6*（5*4）=6*3，=63 63+﹣，=1．故答案为：1．【评注】：本题主要考查了实数的运算，在解题时要先明确新的运算表示的含义是本题的关键．例3.（2010重庆江津区，15，4分）我们定义abad bccd=-，例如2345=2×5﹣3×4=10﹣12=﹣2，若x，y均为整数，且满足1＜14xy＜3，则x+y的值是．【分析】：先根据题意列出不等式，根据x的取值范围及x为整数求出x的值，再把x的值代入求出y的值即可．【解】：由题意得，1＜1×4﹣xy＜3，即1＜4﹣xy＜3，∴31 xyxy<⎧⎨>⎩，∵x、y均为整数，∴xy为整数，∴xy=2，∴x=±1时，y=±2；x=±2时，y=±1；∴x+y=2+1=3或x+y=﹣2﹣1=﹣3．【评注】：此题比较简单，解答此题的关键是根据题意列出不等式，根据x，y均为整数求出x、y的值即可．考点三：探索题型中的新定义例4.(2009 台州，23，分）定义：到凸四边形一组对边距离相等，到另一组对边距离也相等的点叫凸四边形的准内点．如图1，PH=PJ，PI=PG，则点P就是四边形ABCD的准内点．（1）如图2，∠AFD与∠DEC的角平分线FP，EP相交于点P．求证：点P是四边形ABCD的准内点．（2）分别画出图3平行四边形和图4梯形的准内点．（作图工具不限，不写作法，但要有必要的说明）（3）判断下列命题的真假，在括号内填“真”或“假”．①任意凸四边形一定存在准内点．（）②任意凸四边形一定只有一个准内点．（）③若P是任意凸四边形ABCD的准内点，则PA+PB=PC+PD或PA+PC=PB+PD．（）【分析】：（1）过点P作PG⊥AB，PH⊥BC，PI⊥CD，PJ⊥AD，由角平分线的性质可知PJ=PH，PG=PI；（2）平行四边形对角线的交点，即为平行四边形的准内点；梯形两腰夹角的平分线与梯形中位线的交点，即为梯形的准内点；（3）①当凸四边形为平行四边形时，易知其对角线交点即为其准内点；②当凸四边形不为平行四边形时，可以将四边形的两边延长，构造三角形，其对角线交点即为准内点．【解】：（1）如图2，过点P作PG⊥AB，PH⊥BC，PI⊥CD，PJ⊥AD∵EP平分∠DEC∴PJ=PH．（3分）同理PG=PI．（1分）∴P是四边形ABCD的准内点．（1分）（2）（4分）平行四边形对角线AC，BD的交点P1就是准内点，如图3（1）．或者取平行四边形两对边中点连线的交点P1就是准内点，如图3（2）；梯形两腰夹角的平分线与梯形中位线的交点P2就是准内点．如图4．（3）真；真；假．【评注】：此题是一道新定义探索性题目，考查了对新信息的理解与应用能力，同时考查了三角形及四边形的性质．考点四：开放题型中的新定义例5.（2011浙江台州，15，5分）如果点P（x，y）的坐标满足x+y=xy，那么称点P为和谐点．请写出一个和谐点的坐标：．【分析】：由题意点P（x，y）的坐标满足x+y=xy，解答x+y=xy，即可得出答案．【解】：∵点P（x，y）的坐标满足x+y=xy，∴x，y符号相同，代入数字进行验证，符合条件的点的坐标有（0，0），（2，2）等．故答案为：（0，0）【评注】：本题考查了和谐点的性质及等式求解，比较简单．考点五：阅读材料题型中的新定义（2010广东佛山，25，8分）阅读材料我们经常通过认识一个事物的局部或其特殊类型，来逐步认识这个事物；比如我们通过学习两类特殊的四边形，即平行四边形和梯形（继续学习它们的特殊类型如矩形、等腰梯形等）来逐步认识四边形；我们对课本里特殊四边形的学习，一般先学习图形的定义，再探索发现其性质和判定方法，然后通过解决简单的问题巩固所学知识；请解决以下问题：如图，我们把满足AB=AD、CB=CD且AB≠BC的四边形ABCD叫做“筝形”；（1）写出筝形的两个性质（定义除外）；（2）写出筝形的两个判定方法（定义除外），并选出一个进行证明．【分析】：（1）根据题意及图示即可得出筝形的性质；（2）根据筝形的性质即可写出判断方法，然后根据题意及图示即可进行证明．【解】：（1）性质1：只有一组对角相等，性质2：只有一条对角线平分对角；（2）判定方法1：只有一条对角线平分对角的四边形是筝形，判定方法2：两条对角线互相垂直且只有一条被平分的四边形是筝形，证明方法1：∵∠BAC=∠DAC，∠BCA=∠DCA，AC=AC，∴△ABC≌△ADC，∴AB=AD，CB=CD，①易知AC⊥BD，又∵∠ABD≠∠CBD，∴∠BAC≠∠CBA，AB≠BC，②由①②知四边形ABCD是筝形．【评注】：本题主要考查了根据题意及图示判断筝形的定义及性质，然后根据题目要求依次进行解答，难度适中．（四）真题演练1.（2011安徽，14，4分）定义运算a⊗b=a（1﹣b），下列给出了关于这种运算的几点结论：①2⊗（﹣2）=6；②a⊗b=b⊗a；③若a+b=0，则（a⊗b）+（b⊗a）=2ab；④若a⊗b=0，则a=0．其中正确结论序号是．（把在横线上填上你认为所有正确结论的序号）2.（2010江苏连云港，27，10分）如果一条直线把一个平面图形的面积分成相等的两部分，我们把这条直线称为这个平面图形的一条面积等分线，例如平行四边形的一条对角线所在的直线就是平行四边形的一条面积等分线．（1）三角形的中线、高线、角平分线分别所在的直线一定是三角形的面积等分线的有；（2）如图，梯形ABCD中，AB∥DC，如果延长DC到E，使CE＝AB，连接AE，那么有S梯形ABCD ＝S△ADE．请你给出这个结论成立的理由，并过点A作出梯形ABCD的面积等分线（不写作法，保留作图痕迹）；（3）如图，四边形ABCD中，AB与CD不平行，S△ADC＞S△ABC，过点A能否作出四边形ABCD的面积等分线？若能，请画出面积等分线，并给出证明；若不能，说明理由．3.2011山东烟台，12，4分）如图，六边形ABCDEF是正六边形，曲线FK1K2K3K4K5K6K7……叫做“正六边形的渐开线”，其中1FK，12K K，23K K，34K K，45K K，56K K，……的圆心依次按点A，B，C，D，E，F循环，其弧长分别记为l1，l2，l3，l4，l5，l6，…….当AB＝1时，l2 011等于（）A.20112πB.20113πC.20114πD.20116π第二部分练习部分一、选择题1、（2011山东菏泽，6，4分）定义一种运算☆，其规则为a☆b=1a＋1b，根据这个规则，计算2☆3的值是（）A.56B.15C.5D.62.（2011滨州，10，3分）在快速计算法中，法国的“小九九”从“一一得一”到“五五二十五”和我国的“小九九”算法是完全一样的，而后面“六到九”的运算就改用手势了．如计算8×9时，左手伸出3根手指，右手伸出4根手指，两只手伸出手指数的和为7，未伸出手指数的积为2，则8×9=10×7+2=72．那么在计算6×7时，左、右手伸出的手指数应该分别为（）A、1，2B、1，3C、4，2D、4，33.（2010浙江杭州，10，3分）定义[a，b，c]为函数y＝a x2+bx c+的特征数，下面给（第12题图）ABCD EFK1KK4K5K6K7出特征数为[2m ，1﹣m ，﹣1﹣m]的函数的一些结论：①当m ＝﹣3时，函数图象的顶点坐标是（18,33）； ②当m ＞0时，函数图象截x 轴所得的线段长度大于32；③当m ＜0时，函数在x ＞14时，y 随x 的增大而减小；④当m ≠0时，函数图象经过同一个点． 其中正确的结论有（ ）A 、①②③④B 、①②④C 、①③④D 、②④1二、填空题4.（2011甘肃兰州，26，9分）通过学习三角函数，我们知道在直角三角形中，一个锐角的大小与两条边长的比值相互唯一确定，因此边长与角的大小之间可以相互转化。
类似的，可以在等腰三角形中建立边角之间的联系。
我们定义：等腰三角形中底边与腰的比叫做顶角的正对（sad ）.如图①在△ABC 中，AB =AC ，顶角A 的正对记作sadA ，这时sadA BCAB==底边腰.容易知道一个角的大小与这个角的正对值也是相互唯一确定的.根据上述角的正对定义，解下列问题：（1）sad60°= .（2）对于0°<A <180°，∠A 的正对值sadA 的取值范围是 . （3）如图②，已知sinA 35=，其中∠A 为锐角，试求sadA 的值.5、（2011贵港，18，2分）若记y =f （x ）=221x x +，其中f （1）表示当x =1时y 的值，即f （1）=22111+=12；f （12）表示当x =12时y 的值，即f （12）=22111212512f ==+（）（）（）；…；则f （1）+f （2）+f （22111212512f ==+（）（）（））+f （3）+f （13）+…+f （2011）+f （12011）=AABCCB图①图②． 三、解答题7.（2011浙江绍兴，21，10分）在平面直角坐标系中．过一点分別作坐标轴的垂线，若与坐标轴围成矩形的周长与面积相等，则这个点叫做和谐点．例如．图中过点P 分別作x 轴，y 轴的垂线．与坐标轴围成矩形OAPB 的周长与面积相等，则点P 是和谐点． （1）判断点M （l ，2），N （4，4）是否为和谐点，并说明理由；（2）若和谐点P （a ，3）在直线y=﹣x+b （b 为常数）上，求a ，b 的值．8.（2009山东济宁，23，8分）阅读下面的材料： 在平面几何中，我们学过两条直线平行的定义.下面就两个一次函数的图象所确定的两条直线，给出它们平行的定义：设一次函数111(0)y k x b k =+≠的图象为直线1l ，一次函数222(0)y k x b k =+≠的图象为直线2l ，若12k k =，且12b b ≠，我们就称直线1l 与直线2l 互相平行. 解答下面的问题：（1）求过点(1,4)P 且与已知直线21y x =--平行的直线l 的函数表达式,并画出直线l的图象；（2）设直线l 分别与y 轴、x 轴交于点A 、B ，如果直线m ：(0)y kx t t =+>与直线l平行且交x 轴于点C ，求出△ABC 的面积S 关于t 的函数表达式.（10分）3.解：l 1=601180π⨯=3π l 2=602180π⨯=23π l 3=603180π⨯=33π l 4=604180π⨯=43π按照这种规律可以得到：l n =3n π ∴l 2011=20113π．故选B ．练习部分yxO 24 6 246 －2－2（第23题）1.解：∵a☆b=11a b+，∴2☆3=115236+=．故选A．2.解：要计算a×b，左手应伸出（a﹣5）个手指，未伸出的手指数为5﹣（a﹣5）=10﹣a；右手应伸出（b﹣5）个手指，未伸出的手指数为5﹣（b﹣5）=10﹣b两手伸出的手指数的和为（a﹣5）+（b﹣5）=a+b﹣10，未伸出的手指数的积为（10﹣a）×（10﹣b）=100﹣10a﹣10b+a×b根据题中的规则，a×b的结果为10×（a+b﹣10）+（100﹣10a﹣10b+a×b）而10×（a+b﹣10）+（100﹣10a﹣10b+a×b）=10a+10b﹣100+100﹣10a﹣10b+a×b=a×b所以用题中给出的规则计算a×b是正确的故选A．3.解：根据定义可得函数y＝2m x2+（1﹣m）x+（﹣1﹣m），①当m＝﹣3时，函数解析式为y＝﹣6x2+4x+2，∴224144(6)248,22(6)344(6)3b ac ba a-⨯-⨯--=-===⨯-⨯-，∴顶点坐标是（18,33），正确；②函数y＝2m x2+（1﹣m）x+（﹣1﹣m）与x轴两交点坐标为（1，0），（﹣12mm+，0），当m＞0时，1﹣（﹣12mm+）＝313222m+>，正确；③当m＜0时，函数y＝2m x2+（1﹣m）x+（﹣1﹣m）开口向下，对称轴111444xm=->，错误；④当m≠0时，x＝1代入解析式y＝0，则函数一定经过点（1，0），正确．故选B．4.解：（1）根据正对定义，当顶角为60°时，等腰三角形底角为60°，则三角形为等边三角形，则sad60°=11=1．故答案为1．（2）当∠A接近0°时，sadα接近0，当∠A接近180°时，等腰三角形的底接近于腰的二倍，故sadα接近2．于是sadA的取值范围是0＜sadA＜2．故答案为0＜sadA＜2．（3）如图，在△ABC中，∠ACB=90°，sin∠A=35．在AB上取点D，使AD=AC，作DH ⊥AC ，H 为垂足，令BC =3k ，AB =5k ，则AD =AC =22(5)(3)k k -=4k ， 又在△ADH 中，∠AHD =90°，sin ∠A=35．∴DH =ADsin ∠A=125k ，AH =22AD DH -=165k ． 则在△CDH 中，CH =AC ﹣AH =45k ，CD =22DH CH +=410k ．于是在△ACD 中，AD =AC =4k ，CD =410k ． 由正对的定义可得：sadA=10，即sad α10． 6.解：∵y =f （x ）=221x x +，∴f （1x）=22111x x +（）（）=211x +，∴f （x ）+f （1x）=1，∴f （1）+f （2）+f （12）+f （3）+f （12）+…+f （2011）+f （12011）=f （1）+[f （2）+f （12）]+[f （3）+f （13）]+…+[f （2011）+f （12011）]=12+1+1+…+1 =12+2010 =201012．故答案为：201012．6、（2011湖北孝感，17，3分）对实数a ．b ，定义运算☆如下：a ☆b =(,0(,0b b a a b a a a b a -⎧⎪⎨⎪⎩＞≠）≤≠），例如2☆3=32-＝18算[2☆（﹣4）]×[（﹣4）☆（﹣2）]= 解：[2☆（﹣4）]×[（﹣4）☆（﹣2）]， =24×（﹣4）2， =116×16， =1．故答案为：1．7.（1）解：∵1×2≠2×（1+2），4×4=2×（4+4），∴点M 不是和谐点，点N 是和谐点．（2）解：由题意得：当a ＞0时，（a+3）×2=3a ， ∴a=6，点P （a ，3）在直线 y=﹣x+b 上，代入得：b=9 当a ＜0时，（﹣a+3）×2=﹣3a ， ∴a=﹣6，点P （a ，3）在直线y=﹣x+b 上，代入得：b=﹣3， ∴a=6，b=9或a=﹣6，b=﹣3．8.解：（1）设直线l 的函数表达式为y ＝k x ＋b .∵ 直线l 与直线y ＝—2x —1平行，∴ k ＝—2. ∵ 直线l 过点（1，4），∴ —2＋b ＝4，∴ b ＝6.∴ 直线l 的函数表达式为y ＝—2x ＋6.直线l 的图象如图.(2) ∵直线l 分别与y 轴、x 轴交于点A 、B ，∴点A 、B 的坐标分别为（0，6）、（3，0）.∵l ∥m ,∴直线m 为y ＝—2x +t . ∴C 点的坐标为(,0)2t. ∵ t ＞0,∴02t.∴C 点在x 轴的正半轴上. 当C 点在B 点的左侧时，13(3)69222t t S =⨯-⨯=-; 当C 点在B 点的右侧时， 13(3)69222t tS =⨯-⨯=-.∴△ABC 的面积S 关于t 的函数表达式为39(06),239(6).2tt S t t ⎧-<<⎪⎪=⎨⎪->⎪⎩ 参考答案真题演练1.解：∵a ⊗b =a （1﹣b ），①2⊗（﹣2）=6 =2×[1﹣（﹣2）]x（第23题）初中数学资料=2×3=6故本选项正确②a⊗b=a×（1﹣b）=a﹣ab故本选项错误③∵（a⊗b）+（b⊗a）=[a（1﹣b）]+[b（1﹣a}]=a﹣ab+b﹣ab∵a+b=0，∴原式=﹣2ab，故本选项错误④∵a⊗b=a（1﹣b）=0，∴a=0错误故答案为①2.解：（1）中线所在的直线；（2分）（2）方法一：连接BE，因为AB∥CE，AB＝CE，所以四边形ABEC为平行四边形，所以BE∥AC（3分），所以△ABC和△AEC的公共边AC上的高也相等，所以有S△ABC＝S△AEC，所以S梯形ABCD＝S△ACD+S△ABC＝S△ACD+S△AEC＝S△AED．（5分）方法二：设AE与BC相交于点F．因为AB∥CE所以∠ABF＝∠ECF，∠BAF＝∠CEF，又因为AB＝CE，所以△ABF≌△ECF，（4分）所以S梯形ABCD＝S△ACD+S△ABC＝S△ACD+S△AEC＝S△AED．（5分）过点A的梯形ABCD的面积等分线的画法如图所示：作DE的垂直平分线，交DE于G，连接AG．则AG是梯形ABCD的面积等分线；（3）能，连接AC，过点B作BE∥AC交DC的延长线于点E，连接AE．因为BE∥AC，所以△ABC和△AEC的公共边AC上的高也相等，所以有S△ABC＝S△AEC，所以S四边形ABCD＝S△ACD+S△ABC＝S△ACD+S△AEC＝S△AED．（8分）因为S△ACD＞S△ABC，所以面积等分线必与CD相交，取DE中点F，则直线AF即为要求作的四边形ABCD的面积等分线，作图如下：由山东省文登市七里汤中学邓增玉组稿。