离散数学是计算机学科的重要数学基础课之一离散数学是以离

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二、运算的基本性质 定理 1.4 ：设 A,B,C 是任意集合 ,U 为全集 , 下列等式成立: (1)A∪A=A； A∩A=A (幂等律) (2)A∪B=B∪A; A∩B=B∩A (交换律) (3)A∪(B∪C)=(A∪B)∪C; A∩(B∩C)=(A∩B)∩C (结合律) (4)A∪(B∩C)=(A∪B)∩(A∪C)(分配律) A∩(B∪C)=(A∩B)∪(A∩C)
定义1.11：设集合A1,A2,…,An,定义: A1∪A2∪…∪An={x| 至 少 有 某 个 i,1≤i≤n,x A }, 称为 A ,A , … ,A 的并 , 记为 i 1 2 n n
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A1∩A2∩…∩An={x|对每个i,1≤i≤n,n xAi},称 为A1,…,An的交,记为 Ai
(5)A∪U=U;A∩U=A;A∪=A;A∩=(恒等律)
(6) U , U , A A U , A A (取补律)
( 7) A A (双重补 )
(8) A B A B , A B A B ,
A B A B 首先证明 : A B A B
例:{a}{a,b}。 例:S1={a},S2={{a}},S3={a,{a}} 定义1.4:在取定一个集合U以后,对于U的 任意子集而言,称U为全集。 全集是一个相对的概念. 实数集对于整数集、有理数集而言是全 集,而整数集对于偶数集、奇数集而言也 是全集。
定理1.2:对于任何集合A,必有 (1)A ,(2)AA,(3)AU。 对于集合A={1,2,3}, ,{1},{2},{3},{1,2}, {1,3},{2,3}和{1,2,3}都是集合A的子集。 这些子集全体也可构成集合， 这个集合称为{1,2,3}幂集。 定义1.5：设A是任意集合,A的所有子集所 组成的集合,称为集合A的幂集,记为P(A), 或记为2A,即P(A)={B|BA}。 有限集合S，|S|=k，则|P (S)|=? 定理1.3:设A是有限集, 则|P(A)|=2|A|。
(3)A和B的差, 记为A-B, 它是由在A中而不在B 中的元素所组成的集合, 即A-B={x|xA且xB}。
(4)A的补, 记为A, A A。
集合的并,交,差,补也分别称为集合的并运算,交 运算,差运算, 补运算。
例 : A={1,2,3,4,5},B={1,2,4,6},C={7,8}, U={1,2,3,4,5,6,7,8,9,10}。
离散数学是学习数据结构与算法、数据 库、编译原理、算法设计与分析、计算 机网络等课程的主要基础 对开发大型软件、研究信息安全和密码 学、开展计算机理论研究以及开发新型 计算机都提供了不可缺少的基础知识。 本课程是离散数学的一部分,包括： 集合论 组合学 图论
Ⅰ集合论初步
集合论是现代数学的基础,它已深入到各种科 学和技术领域中,被广泛应用到数学和计算机 科学的各分支中去。在开关理论、形式语言、 数据库等领域得到了卓有成效的应用。 集合论的创始人康托尔 (Cantor,1845--1918), 德国著名数学家 在1874年,发表了题为“关于所有实代数数所 成集合的一个性质”的论文，开创了现代集 合论的研究，为现代数学奠定了基础.
如果一个集合不含有任何元素,称为空集,记 为或{ }。 例 ： A={x|x2+1=0,x 为 实 数 } 是 空 集 ,|A|=||=0. 但{}不是空集，它是以为元素的集合 在集合中要注意， (1) 集合中的元素之间的次序是无关紧要的 例:{a, b, c}与{b, a, c}是完全相同的集合。 (2)集合中的元素是不能重复出现的 即{a,b,c,b,d}是不允许出现的
(2)特性刻画法(描述法)：描述集合中元素具有 共同性质的方法来表示某个集合。 我们用P(A)表示元素a满足特性P，则A={a|P(a)} 就表示集合 A 是所有使 P(a) 成立的元素所构成 的集合。 例：C={x|x=y3,yZ+} D={x|-1<x<2} E={x|x为年龄小于20岁的人} 列举法用于元素个数较少的情况, 描述法用于元素个数较多(或无限),且各对象具 有共同性质的情况
1.2 集合的子集
用平面上封闭曲线包围点集的图形来表示集 合,该图形称为文氏图(Venn Diagrams)。 文氏图还能表示集合之间的相互关系 , 集合 A 中元素全部是集合B的元素,可用下图表示:
定义1.1:设A和B是两个集合。A的每一元 素都是 B 的元素 , 则称 A 是 B 的子集 , 记为 AB或BA,分别读作A包含在B中或B包 含A。特别,AA。 若存在元素aA,但aB,则A不是B的子集. 例:{x|-1<x<2},0.5是该集合的元素,不是整 数集的元素,故集合{x|-1<x<2}不是整数集 Z的子集.
证明: 左 ( A B) C ( A B) C
( A C ) ( B C ) )(分配律)
( A C) ( B C)
在集合的并、交、差运算都是不满足消 去律的。 即A∪B=A∪C不能得到B=C 例:A={1,2,3},B={3,4,5},C={4,5}, A∩B=A∩C不能得到B=C 例:A={1,2,3},B={3,4,5},C={3}, 同样A-B=A-C不能得到B=C
例：所有整数全体构成的集合，记为Z, 则3Z,-8Z,6.5Z, 今后我们将用 I或Z表示整数集; I+(Z+)表示正整数集; Q表示有理数集; Q+表示正有理数集; Q-表示负有理数集; R表示实数集; R+表示正实数集。
集合中的元素可以是具体的事物,也可以 是抽象的符号 一、集合的表示方法 (1) 列举法：列出集合中的所有元素来表 示一个集合。 例：集合A的元素为1, 3, 5, 7, 9, 则A可表示为A={1, 3, 5, 7, 9}。 B={x1,x2,x3}也是采用了列举法。
离散数学是计算机学科的重要数学基础 课之一 离散数学是以离散 ( 即非连续 ) 对象的数 量和空间关系为研究内容的数学若干个 分支的总称。 包括数理逻辑、近世代数、古典概率、 组合学、图论、集合论、数论、自动机 和形式语言、可计算性和可判定性、离 散几何等。
18 世纪以前 , 数学基本上是研究离散对 象的数量和空间关系的科学, 之后,因天文学,物理学的发展,如行星轨 道 , 牛顿三大力学定律等研究 , 极大地推 动了连续数学(以微积分,数学物理方程, 实、复变函数论为代表)的发展。 离散对象的研究则处于停滞状态
(3)递归定义法：通过某规则的计算来定义集 合中的元素,在此情况下的集合常称为递归定 义的集合。我们将在第四章对此方法作进一 步介绍。 如果一个集合元素个数有限，则称该集合为 有限集，否则称为无限集。 前面例子中的集合 C、D 是无限集，而 A、B、 E则是有限集。 有限集 A 的元素个数称为集合 A 的基数 , 记为 |A|。 A={x|x是大于1小于6的质数}, |A|=3。
20世纪30年代, 图灵提出计算机的理论模 型——图灵机。 这种模型早于实际制造计算机十多年, 现 实的计算机的计算能力, 本质上和图灵机 的计算能力一样。 这是理论指导实际的典型范例。 由于在计算机内,机器字长总是有限的, 它 代表离散的数或其它离散对象。 因此随着计算机科学和技术的迅猛发展 , 离散数学就显得重要。
下面引进的运算则具有消去律的性质. A 和 B 的 对 称 差 , 记 为 AB,AB=(AB)∪(B-A)。
事实上有(A∪B)-(A∩B)=(A-B)∪(B-A)
证明: 左 ( A B) ( A B) ( A B) ( A B)
( A B) ( A B ) (狄 摩根律) (( A B) A) (( A B) B ) (分配律) (( A A) ( B A)) ( A B ) ( B B ) (分配律) ( ( B A)) (( A B) ) (取补律) ( A B) ( B A) (恒等律, 交换律)
(1)空集是任何集合的子集 (2)若AB,BC,则AC
证明: (1)假设不成立。 (2)分析：要证明AC，则要证明A中任意一个元 素都是C中的元素。即出发点是对aA,而最终目 标是aC, 如何达到此目标，那就是利用条件AB,BC 证明：对aA，因为AB，所以有aB。 又因为BC，所以当aB时，必有aC 因此AC。
定义1.2:集合A和B的元素全相同, 则称A和 B 相等 , 记为 A=B, 否则称 A 和 B 不相等 , 记为 AB。 定理1.1:设A和B是两个集合,则A=B当且仅 当AB,且BA。 证明：(1)A=B，AB,且BA (2)AB,且BAA=B
定义1.3:若AB,且AB ,则称集合A是集 合B的真子集, 记为AB。也可以说,A是 B的子集,并且B中至少有一个元素不属于 A。

对称差运算则是满足消去律的，即有 定理：若AB=AC，则B=C 证明留作习题 对于多个集合运算 ,除了并和交具有结合 律和交换律外,还有分配律和狄· 摩根律:
B∩(A1∪A2∪…∪An)=(B∩A1)∪(B∩A2)∪…∪(B∩An) B∪(A1∩A2∩…∩An)=(B∪A1)∩(B∪A2)∩…∩(B∪An)
1.4 集合的运算
一、运算的定义 定义1.10：设A和B是两个集合,U是全集, (1)A和B的并, 记为A∪B, 它是由A和B中 所有元素所组成的集合 , 即 A∪B={x|xA 或xB}。
(2)A和B的交, 记为A∩B, 它是由A和B中公共 元素所组成的集合,即A∩B= {x|xA且xB}。