初三数学的相似三角形的常见模型

相似三角形常见模型一【知识清单】

【典例剖析】

知识点一：A字型的相似三角形

A字型、反A字型（斜A字型）

B（平行）

B

（不平行）

（1）如图，若BC DE ∥，则ABC ADE ∽△△ （2）如图，如果B AED ∠=∠，或C ADE ∠=∠，则

ACB ADE ∽△△

1、如图，已知////AB EF CD ，若AB a =，CD b =，EF c =，求证：

111c a b

=+.

2、已知在ABC △中，D 是AB 上的点，E 是AC 上的点，连接DE ，可得︒=∠+∠180C BDE ，线段BC DE 21=，AE AD 3

2=，

求AC AB

的值。

变式练习：

1、如图，111EE FF MM ∥∥，若AE EF FM MB ===，则

111111:::_________AEE EE F F FF M M MM CB S S S S ∆=四边形四边形四边形

2、如图，AD EF MN BC ∥∥∥，若9AD =，18BC =，

F

E D

C

B

A

B

M 1F 1E 1M E

F A

B

C

M N A

B

C

D E F

::2:3:4AE EM MB =,则_____EF =，_____MN =

3、（2014•乌鲁木齐）如图，AD ∥BC ，∠D=90°，AD=2，BC=5，DC=8．若在边DC 上有点P ，使△PAD 与△PBC 相似，则这样的点P 有（ ） A 、1个 B 、2个 C 、3个 D 、4个

知识点二：8字型相似三角形

J O

A

D

B

C

A

B C

D

（蝴蝶型）

（平行） （不平行） （1）如图，若CD AB ∥，则DOC AOB ∽△△ （2）如图，若C A ∠=∠，则CDJ ABJ ∽△△

1、已知，P 为平行四边形ABCD 对角线，AC 上一点，过点

P 的直线与AD ，BC ，CD 的延长线，AB 的延长线分别相

交于点E ，F ，G ，H 求证：PE PH

PF PG

=

P

H

G

F

E

D

C

B

A

2、如图，设AB BC CA

AD DE EA

==

，求证：12∠=∠

变式练习：

1、（2010•威海）如图①，将一张矩形纸片对折，然后沿虚线剪切，得到两个（不等边）三角形纸片△ABC ，△A 1B 1C 1．

﹙1﹚将△ABC ，△A 1B 1C 1如图②摆放，使点A 1与B 重合，点B 1在AC 边的延长线上，连接CC 1交BB 1于点E ．求证：∠B 1C 1C=∠B 1BC ．

﹙2﹚若将△ABC ，△A 1B 1C 1如图③摆放，使点B 1与B 重合，点A 1在AC 边的延长线上，连接CC 1交A 1B 于点F ，试判断∠A 1C 1C 与∠A 1BC 是否相等，并说明理由．

21

A

B

C

D

E

C D

E

K

﹙3﹚写出问题﹙2﹚中与△A 1FC 相似的三角形．

2、如图，已知线段AB ∥CD ，AD 与B C 相交于点K ，E 是线段AD 上一动点。 (1)若BK=

5

2KC ，求CD AB

的值； (2)连接BE ，若BE 平分∠ABC ，则当AE= 1

2

AD 时，猜想线段AB 、BC 、CD 三者之间有怎样的等量关系?请写出你的结论并予以证明．再探究：当AE=1

n

AD (n>2)，而其余条件不变时，线段

AB 、BC 、CD 三者之间又有怎样的等量关系?请直接写出你的结论，不必证明．

知识点三：母子型证明三角形相似

B

（1）如图，若B ACD ∠=∠,则ABC ACD ∽△△

（2）如图，若BC AC ⊥，AB CD ⊥，则ACB CDB ADC ∽△∽△△

B

如图，梯形ABCD 中，AD ∥BC ，对角线AC 、BD 交于点O ，BE ∥CD 交CA 延长线于E ． 求证：OE OA OC ⋅=2

．

变式练习：

1、已知：在正三角形ABC 中，点D 、E 分别是AB 、BC 延长线上的点，且BD CE =,直线CD 与

AE 相交于点F

求证：①DC AE =,②2

AD DC DF =⋅

A

B

C

D

E

F

2、已知：如图，等腰△ABC 中，AB ＝AC ，AD ⊥BC 于D ，CG ∥AB ，BG 分别交AD 、AC 于E 、F ． 求证：EG EF BE ⋅=2

．

【课后练习】

1、已知：在ABC ∆中，D 为AB 中点，E 为AC 上一点，且2AE

EC

=,BE 、CD 相交于点F ， 求BF

EF

的值

F

E D

C

B

A

3、已知：如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=2，AC=4，P是斜边AB上的一个动点，PD⊥AB，交边AC于点D（点D与点A、C都不重合），E是射线DC上一点，且∠EPD=∠A．设A、P两点的

距离为x，△BEP的面积为y．

（1）求证：AE=2PE；

（2）求y关于x的函数解析式，并写出它的定义域；（3）当△BEP与△ABC相似时，求△BEP的面积．

D E （第3题图）