数学物理方程 齐海涛 热传导方程

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数学物理方程2热传导方程

数学物理方程2热传导方程

对未来研究的展望
深入研究热传导方程的数学性质
尽管热传导方程已有广泛的研究和应用,但对其数学性质的理解仍不够深入。未来可以进一步研究热传导方程解的唯 一性、稳定性、渐近性等数学问题,以推动数学理论的发展。
拓展热传导方程的应用领域
随着科技的发展,热传导方程的应用领域也在不断拓展。例如,在新能源领域,热传导方程可以用于研究太阳能电池 板的工作原理和优化设计;在环保领域,热传导方程可用于研究污染物在环境中的扩散和迁移规律。
交换。
热传导方程是偏微分方程的一种形式,通常采用傅里叶级数或
03
有限元方法进行求解。
热传导现象的重要性
1
热传导现象在自然界和工程领域中广泛存在,如 气候变化、能源利用、材料科学等。
2
热传导方程的应用有助于深入理解热量传递的机 制,为相关领域的研究提供理论基础。
3
通过求解热传导方程,可以预测温度分布、热量 传递速率等关键参数,为实际问题的解决提供指 导。
04 热传导方程的数值解法
有限元法
有限元法是一种将连续的求解域离散化为有限个小的、互连 的子域(或单元)的方法。在每个单元内,选择合适的基函 数,将待求的解表示为这些基函数的线性组合。通过求解一 系列线性方程组,可以得到原问题的近似解。
有限元法在求解热传导方程时,可以将复杂的几何形状离散 化为有限个简单的几何形状,从而简化计算过程。同时,有 限元法能够处理复杂的边界条件和初始条件,适用于各种类 型的热传导问题。
有限差分法
总结词
有限差分法是一种数值求解偏微分方程的方法,通过将连续的偏微分方程离散化为差分 方程来求解。
详细描述
有限差分法的基本步骤是将偏微分方程中的空间变量离散化为有限个点,然后将偏微分 方程转化为差分方程,最后通过迭代求解差分方程得到原方程的近似解。这种方法适用

数学物理方程_2_热传导方程

数学物理方程_2_热传导方程

因为
C 1C 20,
(h)elC 1(h)elC 20.
1
1
( h)el (h)el 0
分离变量法
此时方程通解可以写成
为了满足边界条件,必须
C 10, C 2hlC 20
对于情形A和情形B,方程没有分离变量形式的非 平凡解。
分离变量法
此时方程通解可以写成 由边界条件 由边界条件
分离变量法
tan v v , lh
分离变量法

分离变量法
根据边界条件
X ( 0 ) T ( t) 0 X ( 0 ) 0 .
X ' ( l ) T ( t ) h X ( l ) T ( t ) 0 X ' ( l ) h X ( l ) 0 .
综上,需求解下述常微分方程
分离变量法
此时方程通解可以写成
为了满足边界条件,必须
分离变量法
由以上结果可知特征问题
存在着无穷多个固有值
及相应的固有函数
分离变量法
由于方程和边界条件都是齐次的,故可利用叠加原 理构造级数形式的解
分离变量法
XmXn ''nXmXn 0, XnXm''mXmXn 0,
分离变量法
l
l
0 (X m X n '' X n X m '') d x (n m )0 X n X m d x 0
扩散定律与质量守恒定律
扩散方程
通过比较可知,扩散过程中所满足的物理规律与热 传导过程中所满足的物理规律具有非常类似的形式。
基于上述物理规律,并通过与热传导方程类似的推 导,可得如下扩散方程
第二章
2.2 初边值问题的分 离变量法

热传导方程的导出及其定解问题的导出

热传导方程的导出及其定解问题的导出

热传导方程的导出及其定解问题的导出1. 热传导方程的导出考察空间某物体G 的热传导问题。

以函数u (x ,y ,z ,t )表示物体G 在位置(x ,y ,z )及时刻t 的温度。

依据传热学中的Fourier 实验定律,物体在无穷小时段dt 内沿法线方向n 流过一个无穷小面积dS 的热量dQ 与物体温度沿曲面dS 法线方向的方向导数学成正比,即o n d udQ =-k (x ,y ,z )dSdt (1-1)o n 其中k (x ,y ,z )称为物体在点(x ,y ,z )处的热传导系数,它应取正值。

(1-1)式中负号的出 o u现是由于热量总是从温度高的一侧流向低的一侧,因此dQ 应和异号。

o n在物体G 内任取一闭曲面r ,它所包围的区域记为0,由(1-1)式,从时刻t 到t 流进12此闭曲面的全部热量为Q =f t 2仙k (x ,y ,z)—dS\dt (1-2)4I r O nJ这里表示u沿r 上单位外法线方向n 的方向导数。

o n流入的热量使物体内部的温度发生变化,在实践间隔(t ,t )中物体温度从u (x ,y ,z ,t )121变化到u (x‘y ,z ,t2),它所应该吸收的热量是JU c (x ,y ,z )P (x ,y ,z )[u (x ,y ,z ,t )一u (x ,y ,z ,t )]dxdydz其中c 为比热,P 为密度。

因此就成立 >dt=JfJ C (x ,y ,z )P (x,y ,z)[u (x,y ,z ,12)一U (x ,y ,z ,t i )]dxdydz(1-3)假设函数u 关于变量x ,y ,z 具有二阶连续偏导数,关于t 具有一阶连续偏导数,利用格林公式,可以把(1-3)化为交换积分次序,就得到J t t 12仰(x ,y ,z )护t10O x{k 譽'O x 丿(一O u 、 +—k 二+—°y°y 丿 O z (O u 、k 一>dxdydzdt =c P JI o 丿J 「E O u dtdxdydztO t 丿dxdydzdt =0(1-4)训c P '0、由于t i,t2,0都是任意的,我们得到(1-5)式称为非均匀的各向同性体得热传导方程。

热传导方程

热传导方程
∞ ∑
0
(1 − ξ) sin kπξdξ
例 2.3 如果有一长度为 l 的均匀细棒, 其周围以及两端 x = 0, x = l 均为绝热, 初始温度 分别为 u( x, 0) = f ( x), 问以后时刻的温度分布如何? 且证明当 f ( x) 等于常数 u0 时, 恒 有 u( x , t ) = u0 . 解: ( 2 2 ) ut = a2 u xx , ∞ ∑ kπ k π u x | x=0 = u x | x=l = 0, ⇒ u( x, t) = Ck exp − 2 a2 t cos x l l u| k=0 t=0 = f ( x). ∫ ∫ 1 l 2 l kπ C0 = f (ξ)dξ, Ck = f (ξ) cos ξdξ (k 0) l 0 l 0 l f ( x ) ≡ u0 ⇒ C0 = u0 , Ck = 0 (k 0) ⇒ u( x, t) ≡ u0 .
∞ ∑
(
例 2.5 长度为 l 的均匀细杆的初始温度为 0 ◦ C, 端点 x = 0 保持常温 u0 , 而在 x = l 和 侧面上, 热量可以发散到周围的 介质中去, 介质的温度为 0 ◦ C, 此时杆上的温度分布函数 u( x, t) 满足下述定解问题: ut = a2 u xx − b2 u, u(0, t) = u0 , (u x + Hu)| x=l = 0, u( x, 0) = 0. 试求出 u( x, t). 解: 令 u( x, t) = e−b t v( x, t) + ψ( x), 则当 ψ( x) 满足
T ′ + λa2 T = 0, X (0) = X ′ (π) = 0. k = 0, 1, 2, . . . ( 1) sin k + x. 2

偏微分方程讲义

偏微分方程讲义

2 达朗贝尔公式、波的传播
例 2.1 证明方程 [ ] ∂ ( x )2 ∂u 1 ( x )2 ∂ 2 u 1− = 2 1− ∂x h ∂x a h ∂t2
(h > 0 常数)的通解可以写成 u= F (x − at) + G(x + at) , h−x
其中 F, G 为任意的具有二阶连续导数的单变量函数, 并由此求解它的初值问题: t=0: u = φ(x), ∂u = ψ (x). ∂t
其中 k 为正常数. 齐海涛 htqi2008@ 4
山东大学威海分校
2
达朗贝尔公式、波的传播
解: 波动方程的通解为 u = F (x − at) + G(x + at), 由初始条件得 F (x) + G(x) = φ(x), −aF ′ (x) + aG′ (x) = 0
1 C 1 C F (x) − G(x) = C, F (x) = φ(x) + , G(x) = φ(x) − , 2 2 2 2
G(x) = φ(x/2) − F (0), F (0) + G(0) = φ(0) = ψ (0). ( ) ( ) x − at x + at ⇒ u(x, t) = ψ +φ − φ(0). 2 2
例 2.4 对非齐次波动方程的初值问题 (2.5)、(2.6), 证明: 当 f (x, t) 不变时, (1) 如果初始条件在 x 轴的区间 [x1 , x2 ] 上发生变化, 那么对应的解在区间 [x1 , x2 ] 的影响区域外不发生变化; (2) 在 x 轴区间 [x1 , x2 ] 上所给的初始条件唯一确定区间 [x1 , x2 ] 的决定区域中解的 数值. 解: 弄清影响区域、决定区域的定义. 例 2.5 求解 utt − a2 uxx = 0, x > 0, t > 0, u|t=0 = φ(x), ut |t=0 = 0, ux − kut |x=0 = 0,

偏微分方程讲义

偏微分方程讲义

其中 k 为正常数. 齐海涛 htqi2008@ 4
山东大学威海分校
2
达朗贝尔公式、波的传播
解: 波动方程的通解为 u = F (x − at) + G(x + at), 由初始条件得 F (x) + G(x) = φ(x), −aF ′ (x) + aG′ (x) = 0
1 C 1 C F (x) − G(x) = C, F (x) = φ(x) + , G(x) = φ(x) − , 2 2 2 2
《数学物理方程》讲义 第一章 波动方程
齐海涛 2010年9月30日
目录
1 方程的导出、定解条件 2 达朗贝尔公式、波的传播 3 初边值问题的分离变量法 4 高维波动方程的柯西问题 5 波的传播与衰减 6 能量不等式、波动方程解的唯一性和稳定性 1 3 7 10 13 14
1 方程的导出、定解条件
例 1.1 细杆(或弹簧)受某种外界原因而产生纵向振动, 以 u(x, t) 表示静止时在 x 点处 的点在时刻 t 离开原来位置的偏移. 假设振动过程中所发生的张力服从胡克定律, 试证 明 u(x, t) 满足方程 ( ) ( ) ∂ ∂u ∂ ∂u ρ(x) = E , ∂t ∂t ∂x ∂x 其中 ρ 为杆的密度, E 为杨氏模量. 解: 由细杆的假设, 在杆的垂直与杆的每一个截面上的每一点力与位移的情形是相同的. 取杆的左端截面的形心为原点, 杆轴为 x 轴. 任取 (x, x + ∆x) 上的小段 B 为代表加 以研究. t 时刻, B 的两端位移分别记作 u(x, t) 和 u(x + ∆x, t) = u(x, t) + ∆u, B 段 的伸长为 u(x + ∆x, t) − u(x, t) = ∆u, 相对伸长则为 u(x + ∆x, t) − u(x, t) ∆u ∂u = = (x, t), ∆x ∆x ∂x ∆x → 0.

热传导方程习题解答

热传导方程习题解答

齐海涛 (SDU)
数学物理方程
2015-11-27 13 / 51
初边值问题的分离变量法
Example 2.1
用分离变量法求下列定解问题的解:
ut = a2uxx (t > 0, 0 < x < π), u(0, t) = ux(π, t) = 0 (t > 0), u(x, 0) = f(x) (0 < x < π).
故单位时间流入 (x, x + ∆x) 的热量为
( ∂
) ∂u
πl2
dQ = dQ1 + dQ2 + dQ3 = ∂x
k(x) ∂x
·
x∗
4 ∆x − k1(u − u1)πl∆x.
综上, 从时刻 t1 到 t2 流入位于 [x1, x2] 杆段的热量为
∫ t2
t1
∫ x2
x1
[ ∂ ∂x
(
)
∂u
k(x) ∂x
y,
z)
∂N ∂n
dSdt.
因此从时刻 t1 到 t2 流入区域 Ω (Γ 为 Ω 的表面) 的质量为
∫ t2
D(x, y, z) ∂N dSdt = ∫ t2
t1
Γ
∂n
t1
div(DgradN)dxdydzdt.

齐海涛 (SDU)
数学物理方程
2015-11-27 5 / 51
热传导方程及其定解问题的导出
(
)
∂u 1 ∂ ∂t = cρ ∂x
∂u k(x) ∂x

4k1 cρl
(u

u1).
齐海涛 (SDU)
数学物理方程
2015-11-27 4 / 51

热传导方程与拉普拉斯方程特殊函数解析求解与应用

热传导方程与拉普拉斯方程特殊函数解析求解与应用

热传导方程与拉普拉斯方程特殊函数解析求解与应用热传导方程和拉普拉斯方程是数学物理中常见的偏微分方程,广泛应用于能量传输、温度分布、电势分布等领域。

为了求解这些方程,一种常用的方法是利用特殊函数解析求解。

本文将介绍热传导方程和拉普拉斯方程的基本概念,并详细阐述特殊函数解析求解的方法和应用。

一、热传导方程热传导方程描述了物质内部温度分布随时间的变化规律。

假设我们有一个热导率为k的均匀材料,其温度分布由函数u(x, t)表示,其中x 表示空间坐标,t表示时间。

则热传导方程可表示为:∂u/∂t = k∇²u其中,∇²是拉普拉斯算子,定义为∇² = ∂²/∂x² + ∂²/∂y² + ∂²/∂z²。

该方程描述了温度分布变化的速率与热导率和温度分布的曲率之间的关系。

为了求解热传导方程,可以采用分离变量法。

我们假设温度分布u(x, t)可以表示为两个函数的乘积:u(x, t) = X(x)T(t)。

将这个表达式代入热传导方程中可以得到:X(x)T'(t) = kX''(x)T(t)这里,X''(x)表示X(x)对x的二阶导数,T'(t)表示T(t)对t的一阶导数。

由于等式两侧只含有x和t两个变量,所以可以等号两侧除以X(x)T(t),得到两个方程:T'(t)/T(t) = kX''(x)/X(x)左侧只含有t,右侧只含有x,而等式两侧是相等的常数,表示为λ。

于是,我们可以得到两个简化的方程:T'(t)/T(t) = λkX''(x)/X(x) = λ由于左侧只含有t,右侧只含有x,两个方程可以分别等于一个常数。

这两个方程分别称为时间方程和空间方程,它们的解分别为特殊函数T(t)和X(x)。

二、特殊函数解析求解特殊函数是满足某些特定条件的函数,常见的特殊函数有奇异函数、超几何函数、贝塞尔函数等等。

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齐海涛 (山东大Æ%海分
)
êÆÔ理方程
2008 年 12 月 9 日
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热传导方程的导出
函ê������ 关u变量������, ������ , ������ 具k二阶连Y偏导ê, 关u������ 具k一阶连Y偏 导ê. 在������ 内任取一闭曲面, 它所包Œ的区••Ω, d(1.1) 知, 从ž刻������1 到������2 ž刻流入Ω 的热量• ∫︁ ������2 ∫︁ ∫︁ ������������ ������ = ������ (������, ������, ������ ) d������ d������. (1.2) ������������ ������1 Γ 在žmm隔(������1 , ������2 ) 中Ô体§度从������(������, ������, ������, ������1 ) 变化到������(������, ������, ������, ������2 ), 它所áÂ的 热量• ∫︁ ∫︁ ∫︁ ������(������, ������, ������ )������(������, ������, ������ )[������(������, ������, ������, ������2 ) − ������(������, ������, ������, ������1 )]d������d������ d������ Ω ∫︁ ������2 ∫︁ ∫︁ ∫︁ ������������ = ������������ d������d������ d������ d������, ������������ ������1 Ω 其中������ •比热, ������ •密度.
(1.6)称•齐次热传导方程, 而(1.7)称•非齐次热传导方程.
(1.6)
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定解¯题的提法
初©条‡:
������(������, ������, ������, 0) = ������(������, ������, ������ ), (1.9)
齐海涛 (山东大Æ%海分
)
êÆÔ理方程
2008 年 12 月 9 日
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热传导方程的导出
根据热量Å恒原理k (︂ )︂ ∫︁ ������2 ∫︁ ∫︁ ∫︁ [︂ ∫︁ ������2 ∫︁ ∫︁ ∫︁ ������ ������������ ������������ ������ ������������ d������d������ d������ d������ = ������������ ������������ ������ Ω ������������ ������1 Ω (︂ )︂ (︂1 )︂ ]︂ ������ ������������ ������ ������������ + ������ + ������ + ������ d������d������ d������ d������ ������������ ������������ ������������ ������������ 考虑到������1 , ������2 †区•Ω 的任意5, 得 (︂ )︂ (︂ )︂ (︂ )︂ ������������ ������ ������������ ������ ������������ ������ ������������ ������������ = ������ + ������ + ������ + ������. ������������ ������������ ������������ ������������ ������������ ������������ ������������
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êÆÔ理方程
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扩散方程
考虑分子扩散过程, 以������ (������, ������, ������, ������) 表«在ž刻������, (������, ������, ������ ) 点处扩散Ô质 的浓度, 今推导������ (������, ������, ������, ������) 所满足的方程. ŸþÅð½Æ: 如果在所考察的范Œ内没k产)扩散Ô质的源, 那么对 任意区•Ω k下ª 因浓度变化而增\的质量 = 流入的质量.
Fick *ѽÆ: 在Ã穷
žm段d������ 内, 通过Ã穷
曲面块d������ 的质量d������
(1.17)

������������ d������ d������ ������������ ������ 表«扩散Ô质的浓度, ������(������, ������, ������ ) •扩散系ê. d������ = −������(������, ������, ������ )
其中
������ (������, ������, ������, ������) = ������ (������, ������, ������, ������) . ������������ (1.8)
如果Ô体内部没k热源, 则热传导方程• (︂ 2 )︂ ������������ ������ ������ ������ 2 ������ ������ 2 ������ = ������2 + + . ������������ ������������2 ������������ 2 ������������ 2
边界条‡: (0 ≤ ������ ≤ ������ )
1
第一类边界条‡(Dirichlet 边界条‡)
������(������, ������, ������, ������)|à = ������ (������, ������, ������, ������) (1.10)
2
第二类边界条‡(Neumann 边界条‡) ⃒ ������������ ⃒ ⃒ = ������ (������, ������, ������, ������) ������������ ⃒Γ 第三类边界条‡(Robin 边界条‡) (︂ )︂⃒ ⃒ ������������ + ������������ ⃒ ⃒ = ������ (������, ������, ������, ������) ������������ Γ
������������ = ������2 ������������
(︂
������ 2 ������ ������ 2 ������ ������ 2 ������ + 2 + 2 ������������2 ������������ ������������
)︂ + ������ (������, ������, ������, ������), (1.7)
第二章
热传导方程
Heat Equations
齐海涛
Email: htqi2008@
ìÀŒ学威°©校 数学与Ú计学
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齐海涛 (山东大Æ%海分
)Leabharlann êÆÔ理方程2008 年 12 月 9 日
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目录
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热传导方程9其定解¯题的导出 初边值¯题的分离变量法
齐海涛 (山东大Æ%海分
(1.11)
3
(1.13)
2008 年 12 月 9 日 9 / 63
)
êÆÔ理方程
定解¯题的提法
Cauchy ¯题 ������(������, ������, ������, 0) = ������(������, ������, ������ ) (−∞ < ������, ������, ������ < ∞) (1.14)
热传导方程的导出
¯题
给定一空mÔ体������, 所满足的方程. 其上的点(������, ������, ������ ) 在ž刻������ 的§度•������(������, ������, ������, ������), Á求������
齐海涛 (山东大Æ%海分
)
êÆÔ理方程
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热传导方程的导出
¯题
给定一空mÔ体������, 所满足的方程. 其上的点(������, ������, ������ ) 在ž刻������ 的§度•������(������, ������, ������, ������), Á求������
Fourier 热传导定律
在一§度场������(������, ������, ������, ������) 中, 在Ã穷 žm段d������ 内, 流过一Ã穷 面积块d������ 的 热量• ������������ d������ = −������ (������, ������, ������ ) d������ d������, (1.1) ������������ 其中������ •曲面‡元所指方向的单 法向量, ������ (������, ������, ������ ) > 0 •Ô体在点(������, ������, ������ ) 处的热传导系ê, 负号表«热量从§度高的一侧流向§度低的一侧.
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)
êÆÔ理方程
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热传导方程9其定解¯题的导出 初边值¯题的分离变量法
Cauchy ¯题
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4值原理、 定解¯题解的•一5和-定5 解的ì进5态
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