4. 已知sin(α?π
4)=1
3，则cos(α+
5π4
)的值等于( )
A. ?1
3
B. 1
3
C. ?2√22
D. 2√23
5. 已知函数f(x)=√32
sinx +1
2
cosx ，则f(π
12)=( )
A. √22
B. √32
C. 1
D. √2
6. 在△ABC 中，点D 在BC 边上，且BD ?????? =3DC ????? ,AD ?????? =x AB ????? +y AC
????? ，则( ) A. x =13,y =2
3
B. x =14,y =3
4
C. x =23,y =1
3
D. x =34,y =1
4
7. 设b ∈R ，若函数f(x)=4x ?2x+1+b 在[?1,1]上的最大值是3，则其在[?1,1]上的最小值是( )
A. 2
B. 1
C. 0
D. ?1
8. 将函数f(x)=√3cos2x +sin2x 的图象向右平移π
6个单位长度，再向上平移1个单位长度，得到
函数g(x)的图象，且满足|g(x)|≤a 恒成立，则a 的最小值为( )
A. 0
B. 1
C. 2
D. 3
9. 已知向量a ? ，b ? 满足a ? ?b ? =1，|b ? |=2则(3a ? ?2b ? )?b ? =( )
A. 5
B. ?5
C. 6
D. ?6
10. 已知函数y =f(x)的图象与函数y =1
x+1的图象关于原点对称，则f(x)=( )
A. 1
x+1
B. 1
x?1
C. ?1
x+1
D. ?1
x?1
11. 已知函数f(x)={x +2,x >a
x 2+5x +2,x ≤a
，若函数g(x)=f(x)?2x 恰有三个不同的零点，则实数a
的取值范围是( )
A. [?1,1)
B. [?1,2)
C. [?2,2)
D. [0,2]
12.已知减函数y=f(x?1)是定义在R上的奇函数，则不等式f(1?x)>0的解集为()
A. (1,+∞)
B. (2,+∞)
C. (?∞,0)
D. (0,+∞)
二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）
13.已知平面向量a?=(2,3)，b? =(x,4)，若a?⊥(a??b? )，则x=______．
14.log216?log24= ________．
15.已知集合A={x|lnx>0}，B={x|2x<3}，则A∩B=______．
16.定义于R上的偶函数f(x)满足对任意的x∈R都有f(x+8)=f(x)+f(4)，若当x∈[0,2]时，
f(x)=2?x，则f(2017)=______．
三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）
17.已知α为第二象限角，且4sinα+3cosα=0．
(Ⅰ)求tanα与sinα的值；
(Ⅱ)求sinα+2cosα
与tan2α的值．
2sinα+cosα
)一段图象如图
18.函数f(x)=Asin(ωx+?)(A>0,ω>0,|φ|<π
2
所示．
(1)分别求出A，ω，φ并确定函数f(x)的解析式；
(2)求出f(x)的单调递增区间．
19.已知a?=(2,1),b? =(3,?1)
(1)求|a??b? |；
(2)求a?与b? 的夹角θ．
20.(本小题满分14分)
，3AC=4BC．在?ABC中，AB=2，cosC=7
8
(1)求AC，CB的长；
(2)求sin(A?C)的值．
21.科学研究证实，二氧化碳等温室气体的排放(简称碳排放)对全球气候和生态环境产生了负面影
响，环境部门对A市每年的碳排放总量规定不能超过550万吨，否则将采取紧急限排措施.已知A市2017年的碳排放总量为400万吨，通过技术改造和倡导低碳生活等措施，此后每年的碳排放量比上一年的碳排放总量减少10%.同时，因经济发展和人口增加等因素，每年又新增加碳排放量m万吨(m>0)．
(1)求A市2019年的碳排放总量(用含m的式子表示)；
(2)若A市永远不需要采取紧急限排措施，求m的取值范围．
22.已知函数f(x)=ln(1?x)?ln(1+x)．
(1)判断并证明函数f(x)的奇偶性；
(2)若f(m)?f(?m)=2，求实数m的值．
-------- 答案与解析 --------
1.答案：D
解析：
本题主要考查了集合的交，并，补的混合运算，属于基础题．
根据题意得到?U B={1,4,5}，又A={1,3}，即可得解．
解：因为集合U={1,2,3,4,5},B={2,3}，
所以?U B={1,4,5}，又A={1,3}，
所以A∪(?U B)={1,3,4,5}，
故选D．
2.答案：B
解析：解：cos42°cos78°?sin42°sn78°=cos(42°+78°)=cos120°=?cos60°=?1
2
，
故选：B．
利用两角和的余弦公式，诱导公式，求得所给式子的值．
本题主要考查两角和的余弦公式，诱导公式的应用，属于基础题．
3.答案：B
解析：解：∵60.7>1，0<0.76<1，c=log0.76<0，
∴c故选：B．
根据指数幂和对数的性质即可得到结论．
本题主要考查函数值的大小比较，根据对数的运算法则和指数幂性质是解决本题的关键，比较基础．4.答案：B
解析：解：∵sin(α?π
4)=1
3
，
∴cos(α+5π
4)=cos(α+π
4
+π)=?cos(α+π
4
)=?sin[π
2
?(α+π
4
)]=?sin(π
4
?α)=sin(α?π
4
)=1
3
．
故选：B ．
利用同角三角函数关系式的应用及诱导公式化简所求后，结合已知即可得解． 本题主要考查了同角三角函数关系式的应用及诱导公式的应用，属于基础题．
5.答案：A
解析：
本题主要考察了两角和与差的正弦函数公式的应用，属于基础题．由两角和的正弦公式化简解析式后代入即可求解．
解：∵f(x)=√3
2
sinx +1
2
cosx =sin(x +π
6
)，
∴f(π12)=sin(π12+π6)=sin π
4=√2
2
， 故选A ．
6.答案：B
解析：
本题考查平面向量的基本定理的应用，属于基础题． 直接利用向量的运算法则化简求解即可．
解：在△ABC 中，点D 在BC 边上，且BD
?????? =3DC ????? ,AD ?????? =x AB ????? +y AC ????? ， AD ?????? =AB ????? +BD ?????? =AB ????? +3
4
BC ?????
=AB ????? +34
(BA ????? +AC ????? )=14
AB ????? +34
AC
????? ， 所以x =1
4，y =3
4． 故选：B ．
7.答案：A
解析：
本题考查函数的最值的求法与应用，换元法的应用，考查计算能力． 利用换元法，化简函数的解析式，通过二次函数的最值转化求解即可． 解：函数f(x)=4x ?2x+1+b =(2x )2?2?2x +b ， 设2x =t ，
则f(x)=t2?2?t+b=(t?1)2+b?1．
因为x∈[?1,1]，
所以t∈[1
2
,2]，
当t=1时，f(x)min=b?1；
当t=2时，f(x)max=3，即1+b?1=3，b=3，所以函数f(x)在[?1,1]上的最小值是2．
故选A．
8.答案：D
解析：解：f(x)=√3cos2x+sin2x=2(sinπ
3cos2x+cosπ
3
sin2x)=2sin(2x+π
3
)，
依题意得：g(x)=2sin[2(x?π
6)+π
3
]+1=2sin2x+1，
所以g(x)∈[1,3]，
因为|g(x)|≤a恒成立，
所以a≥3．
则a的最小值是3．
故选：D．
利用两角和的正弦公式化简函数的解析式为f(x)=2sin(2x+π
3
)，再根据y=Asin(ωx+φ)的图象变换规律求得函数g(x)的解析式，则易求a的最小值．
本题主要考查两角和的正弦公式，y=Asin(ωx+φ)的图象变换规律，属于中档题．
9.答案：B
解析：
本题考查向量数量积的运算，属基础题．
根据向量数量积的运算法则化简即可．
解：因为a??b? =1，|b? |=2，
所以(3a??2b? )?b? =3a?·b? ?2b? 2
=3?8=?5． 故选B ．
10.答案：B
解析：解：设点P(x,y)是函数y =f(x)的图象，与P 关于原点对应的点为(?x,?y)在函数y =1
x+1的图象上，
所以代入得?y =1
?x+1，即y =1
x?1， 故选：B ．
利用函数图象关于原点对称，利用点的对称关系求出f(x)的表达式即可． 本题主要考查函数图象的对应关系，利用点的对称性是解决本题的关键．
11.答案：B
解析：
本题考查函数的图象的应用，函数的零点个数的判断，考查数形结合以及计算能力，属于基础题目．
利用函数的零点，转化为两个函数的图象的交点个数，利用数形结合转化求解即可． 解：函数f(x)={x +2,x >a
x 2+5x +2,x ≤a ，
x 2+5x +2=2x ，可得x 2+3x +2=0， 解得x =?1，x =?2.y =x +2与y =2x 的交点为：
x =2，y =4，
函数y =f(x)与y =2x 的图象如图：
函数g(x)=f(x)?2x 恰有三个不同的零点，则实数a 的取值范围是：?1≤a <2． 故选：B ．
12.答案：B
解析：解：∵y=f(x?1)是奇函数，∴其图象关于原点对称，
则y=f(x)的图象关于(?1,0)对称，即f(?1)=0，
∵y=f(x?1)是减函数，∴y=f(x)也是减函数，
∴f(1?x)>0，即f(1?x)>f(?1)，
由f(x)递减，得1?x2，
∴f(1?x)>0的解集为(2,+∞)，
故选B．
由y=f(x?1)的奇偶性、单调性可得f(x)的图象的对称性及单调性，由此可把不等式化为具体不等式求解．
本题考查函数的奇偶性、单调性及其应用，考查抽象不等式的求解，考查转化思想，灵活运用函数性质去掉不等式中的符号“f”是解题的关键所在．
13.答案：1
2
解析：
解：a??b? =(2?x,?1)；
∵a?⊥(a??b? )；
∴a??(a??b? )=2(2?x)?3=0；
解得x=1
．
2
．
故答案为：1
2
可求出a??b? =(2?x,?1)，根据a?⊥(a??b? )即可得出a??(a??b? )=0，进行数量积的坐标运算即可求出x．
考查向量垂直的充要条件，向量坐标的减法和数量积运算．
14.答案：2
=log24=2．
解析：解：原式=log216
4
故答案为：2．
进行对数的运算即可．
考查对数的定义，对数的运算性质．
15.答案：(1,log23)
解析：解：A={x|lnx>0}={x|x>1}，
B={x|2x<3}={x|x则A∩B=(1,log23)；
故答案为：(1,log23)．
分别求出关于A、B的不等式，求出A、B的交集即可．
本题考查了集合的运算，考查不等式问题，是一道基础题．
16.答案：1
解析：解：因为定义在R上的偶函数f(x)满足对任意的x∈R，都有f(x+8)=f(x)+f(4)，
所以当x=?4时，f(?4+8)=f(?4)+f(4)，即f(4)=2f(4)，所以f(4)=0．
所以f(x+8)=f(x)+f(4)=f(x)，即函数的周期是8．
当x∈[0,2]时，f(x)=2?x，
所以f(2017)=f(2016+1)=f(1)=2?1=1．
故答案为：1．
利用函数是偶函数，由f(x+8)=f(x)+f(4)，可得函数的周期，然后利用周期性进行求值．
本题主要考查函数周期性的性质以及应用，利用函数的奇偶性先得f(4)的值，然后利用根据周期性的定义是解决本题的关键．
17.答案：解：(Ⅰ)4sinα+3cosα=0?tanα=sinα
cosα=?3
4
，
将4sinα+3cosα=0代入sin2α+cos2α=1，
解方程得{sinα=?3
5
cosα=4
5
或{
sinα=3
5
cosα=?4
5
,
又α为第二象限角，sinα>0，
故{sinα=?3
5
cosα=4
5
舍去，
∴{sinα=3
5 cosα=?4
5
;
(Ⅱ)sinα+2cosα
2sinα+cosα=tanα+2
2tanα+1
=?5
2
，
tan?2α=2tan?α
1?tan2α=
2×(?3
4
)
1?(?3
4
)2
=?24
7
．
解析：本题考查同角关系式及二倍角公式的应用，是一般题．
(Ⅰ)由已知及tan?α=sin?α
cos?α
求出tanα，由已知结合sin2α+cos2α=1及α所在的象限即可求出sinα;
(Ⅱ)由同角关系式求出sinα+2cosα
2sinα+cosα
，然后利用二倍角公式求出tan2α即可．
18.答案：解：(1)根据函数f(x)=Asin(ωx+?)的图象知，
A=2，
T=13π
3?π
3
=4π，∴ω=1
2
，
令1
2×π
3
+φ=2kπ，k∈Z，
∴φ=2kπ?π
6
；
又|φ|<π
2，∴φ=?π
6
；
∴函数f(x)=2sin(1
2x?π
6
)；
(2)根据正弦函数的单调性，
令?π
2+2kπ≤1
2
x?π
6
≤π
2
+2kπ，k∈Z，
则?π
3+2kπ≤1
2
x≤2π
3
+2kπ，k∈Z，
解得?2π
3+4kπ≤x≤4π
3
+4kπ，k∈Z，
∴函数f(x)的单调递增区间是[?2π
3+4kπ,4π
3
+4kπ]，k∈Z．
解析：(1)根据函数f(x)的图象，求出A、T、ω与φ的值即可；
(2)根据正弦函数的单调性，即可求出f(x)的单调递增区间．
本题考查了利用三角函数的部分图象求解析式的应用问题，也考查了三角函数的图象与性质的应用问题，是基础题目．
19.答案：解：(1)a??b? =(?1,2)，
∴|a??b? |=√5；
(2)|a?|=√5,|b? |=√10，a??b? =5，
∴cos=a? ?b?
|a? ||b?|=
√5×√10
=√2
2
，
∵θ∈[0,π]，
∴θ=π
4
．
解析：考查向量减法和数量积的坐标运算，求向量夹角，属于基础题．
(1)求出a??b? 的坐标，即可得出|a??b? |的值；
(2)根据公式cos=a? ?b?
|a? ||b?|
即可求出cos的值，从而得出a?,b? 的夹角θ的值．20.答案：解：(1)在?ABC中，由余弦定理可得AB2=AC2+BC2?2AC·BCcosC，
设AC=x，则BC=3
4
x，
∴4=x2+(3
4x)2?2x·3
4
x·7
8
，
∴x=4，即AC=4，BC=3；
(2)由平方关系可得，
在?ABC中，由正弦定理可得．
∵BC=3<4=AC，∴A是锐角，cosA=11
16
．
∴sin(A?C)=sinAcosC?cosAsinC=5√15
64
．
解析：本题考查正余弦定理的应用及和差角公式，属于中档题．
(1)依题意，由余弦定理解方程即可；
(2)运用平方关系及两角和与差的三角函数公式计算即可．
21.答案：解：设2018年的碳排放总量为a1，2019年的碳排放总量为a2，…(1)由已知，a1=400×0.9+m，
a2=0.9×(400×0.9+m)+m=400×0.92+0.9m+m =324+1.9m.
(2)a3=0.9×(400×0.92+0.9m+m)+m=400×0.93+0.92m+0.9m+m，
…
a n=400×0.9n+0.9n?1m+0.9n?2m+???0.9m+m
=400×0.9n+m 1?0.9n
1?0.9
=400?0.9n+10m(1?0.9n)
=(400?10m)?0.9n+10m.
由已知有?n∈N?,a n≤550
当400?10m=0即m=40时，显然满足题意；
当400?10m>0即m<40时，
由指数函数的性质可得：(400?10m)×0.9+10m≤550，解得m≤190．
综合得m<40；
当400?10m<0即m>40时，
由指数函数的性质可得：10m≤550，解得m≤55，综合得40综上可得所求范围是m∈(0,55].
解析：本题考查函数模型的选择与应用，考查数列知识，考查解不等式，考查学生利用数学知识解决实际问题的能力，属于中档题．
(1)根据，A市2017年的碳排放总量为400万吨，通过技术改造和倡导低碳生活等措施，此后每年的碳排放量比上一年的碳排放总量减少10%.同时，因经济发展和人口增加等因素，每年又新增加碳排放量m万吨，即可求A市2019年的碳排放总量(用含m的式子表示)；
(2)求出数列的通项，A市永远不需要采取紧急限排措施，则有?n∈N?，a n≤550，分类讨论，即可求m的取值范围．
22.答案：(本小题满分8分)
解：(1)解：f(x)=ln(1?x)?ln(1+x).是奇函数．……(1分) 证明：由{
1?x >0
1+x >0
得?1f(?x)=ln(1+x)?ln(1?x)=?[ln(1?x)?ln(1+x)]=?f(x)……(3分) 所以f(x)是奇函数．…………(4分)
(2)由(1)知，f(x)是奇函数，则f(?m)=?f(m)
∴f(m)?f(?m)=f(m)+f(m)=2f(m)=2，即f(m)=1……(6分) ∴ln 1?m
1+m =1即1?m
1+m =e ， 解得m =1?e
1+e …………(8分)
解析：(1)要判断函数f(x)的奇偶性，只要检验f(?x)与f(x)的关系即可； (2)结合(1)中f(x)是奇函数可知f(?m)=?f(m)，代入即可求解； 本题主要考查了奇函数的定义及性质的简单应用，属于基础试题．
