2014-2015学年北京市平谷区初三一模数学试卷(WORD版含答案)

平谷区2014—2015学年度第二学期初三统练（一）数学试卷2015.4考生须知1．本试卷共五道大题，25道小题，满分120分。

考试时间120分钟。

2．在试卷和答题卡上准确填写学校名称、姓名和准考证号。

3．试题答案一律填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。

4．在答题卡上，选择题、作图题用2B 铅笔作答，其他试题用黑色字迹签字笔作答。

5．考试结束，将本试卷、答题卡和草稿纸一并交回。

一、选择题(本题共30分，每小题3分) 下面各题均有四个选项，其中只有一个．．是符合题意的． 1．根据平谷区统计局发布的人口抽样调查情况，2014年末平谷区常住人口423 000人， 将423 000用科学记数法表示应为A ．54.2310⨯B ．60.42310⨯C ．442.310⨯D ．44.2310⨯2．检查4个篮球的质量，把超过标准质量的克数记为正数，不足标准质量的克数记为负数，检查的结果如下表：篮球的编号 1 2 3 4 与标准质量的差(克)+4+55- 3-则质量较好的篮球的编号是 A ．1号 B ．2号 C ．3号 D ．4号 3．如图，在△ABC 中，∠C =90°，点D 在B C 边上，DE ∥AB ，若∠CDE =150°，则∠A 的度数为A ．30°B ．60°C ．120°D ．150°4．下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是5．函数11y x =-中自变量的取值范围是 A ．1x ≠ B ．1x >C ．1x ≥ D ．1x ≥-6．下列四个图形中，是三棱柱的平面展开图的是7．某学校为了解学生大课间体育活动情况，随机抽取本校部分学生进行调查．整理收集到的数据，绘制成如图所示的统计图．小明随机调查一名学生，他喜欢“踢毽子”的概率是 A ．41 B ．51C ．52D ．2038．某品牌的饮水机接通电源就进入自动程序：开机加热到水温100℃，停止加热，水温开始下降，此时水温（℃）与开机后用时（min ）成反比例关系，直至水温降至30℃，饮A C DB CABDE0 510 15 20 25 30 35 40 球类 跳绳 踢毽子 其他喜爱项目人数B ． D ．C ． A ．水机关机.饮水机关机后即刻自动开机，重复上述自动程序.若在水温为30℃时，接通电源后，水温y （℃）和时间x （min ）的关系如图所示，水温从100℃降到35℃所用的时间是A ．27分钟B ．20分钟C ．13分钟D ．7分钟y (℃)x (min)1007O30DBE OAC（第8题 图） （第9题 图）9．如图，AB 是⊙O 的直径，∠BAC =30°，CD 丄AB 于点E ，BE =2，则⊙O 的半径为A ．8B ．6C ．4D ．210．已知：如图，菱形ABCD 中，对角线AC ，BD 相交于点O ，且AC =12cm ，BD =16cm ．点P 从点B 出发，沿BA 方向匀速运动，速度为1cm/s ；同时，直线EF 从点D 出发，沿DB 方向匀速运动，速度为1cm/s ，EF ⊥BD ，且与AD ，BD ，CD 分别交于点E ，Q ，F ；当直线EF 停止运动时，点P 也停止运动．连接PF ，设运动时间为t （s ）（0＜t ＜8）．设四边形APFE的面积为y （cm 2），则下列图象中，能表示y 与t 的函数关系的图象大致是二、填空题(本题共18分，每小题3分)11．分解因式：32244a a bab -+= ．12．甲、乙二人进行射击比赛，已知他们每人五次射击的成绩如下表（单位：环），那么二人中成绩最稳定的是 ．第一次 第二次 第三次 第四次 第五次 甲 9.3 7.9 4 7．1 6 乙 6.1 6.8 7.2 8 6.213．如图，热气球的探测器显示，从热气球A 看一栋高楼顶部B 的仰角为30°，看这栋高楼底部C 的俯角为60°，热气球A 与高楼的水平距离为120m ，这栋高楼BC 的高度为 米．t 8 4 O y A ． t 8 4 O y B ． t8 4 O y D ． C ． t 8 4 O y（第12题 图） （第13题 图）14．如图，矩形OABC 的顶点A ，C 分别在x 轴和y 轴上，若OA =4，OC =6，写出一个函数()0ky k x=≠，使它的图象与矩形OABC 的两边AB ，BC 分别交于点D ，E ，这个函数的表达式为 ．15．在学习二次函数的图象时，小米通过向上（或向下）平移y =ax 2的图象，得到y =ax 2+c 的图象；向左（或向右）平移y =ax 2的图象，得到y =a (x ﹣h )2的图象．小米经过探究发现一次函数的图象也应该具有类似的性质．请你思考小米的探究，直接写出一次函数y =2x +3的图象向左平移4个单位长度，得到的函数图象的解析式为 ．16．在Rt △ABC 中，∠A =90°，有一个锐角为60°，BC =6．若点P 在直线AC 上（不与点A ，C重合），且∠ABP =30°，则CP 的长为 ．三、解答题(本题共30分，每小题5分) 17．如图，AB =AD ，AC =AE ，∠CAD =∠EAB ．求证：BC =DE ．18．计算：()1182cos 45 3.144π-⎛⎫-︒+-+- ⎪⎝⎭．19．解不等式组2141123x x x x -+<+⎧⎪-⎨-≤⎪⎩．20．已知实数a 满足22130a a +-=，求()()2212121121a a a a a a a +++-÷+--+的值.21．关于x 的一元二次方程()2121=0m x mx m --++有两个实数根．（1）求m 的取值范围；（2）当m 为何整数时，此方程的两个根都为正整数．22．列方程或方程组解应用题：为了提高产品的附加值，某公司计划将研发生产的1200件新产品进行精加工后再投放市场.现有甲、乙两个工厂都具备加工能力，公司派出相关人员分别到这两个工厂了解情况，获得如下信息：信息一：甲工厂单独加工完成这批产品比乙工厂单独加工完成这批产品多用10天； 信息二：乙工厂每天加工的数量是甲工厂每天加工数量的1.5倍． 根据以上信息，求甲、乙两个工厂每天分别能加工多少件新产品？四、解答题(本题共20分，每小题5分)23．如图，BD 是△ABC 的角平分线，点E ，F 分别在BC ，AB 上，CBADEA且DE∥AB，EF∥AC．（1）求证：BE=AF；（2）若∠ABC=60°，BD=12，求DE的长及四边形ADEF的面积．24．“小组合作学习”成为我区推动课堂教学改革，打造自主高效课堂的重要举措．某中学从全校学生中随机抽取100人作为样本，对“小组合作学习”实施前后学生的学习兴趣变化情况进行调查分析，统计如下：请结合图中信息解答下列问题：（1）小组合作学习前学生学习兴趣为“高”的所占的百分比为；（2）补全小组合作学习后学生学习兴趣的统计图；（3）通过“小组合作学习”前后学生学习兴趣的对比，请你估计全校2000名学生中学习兴趣获得提高的学生有多少人？25．如图，AB为⊙O的直径，BC切⊙O于点B，AC交⊙O于点D，∠BAC=2∠CBE，交AC于点E，交⊙O于点F，连接AF．（1）求证：∠CBE=∠CAF；（2）过点E作EG⊥BC于点G，若∠C=45°，CG=1，求⊙O的半径．26．阅读下面材料：GFDEBOAC学习了三角形全等的判定方法（即“SAS ”、“ASA ”、“AAS ”、“SSS ”）和直角三角形全等的判定方法（即“HL ”）后，小聪继续对“两个三角形满足两边和其中一边的对角对应相等”的情形进行研究．小聪将命题用符号语言表示为：在△ABC和△DEF 中，AC =DF ，BC =EF ，∠B =∠E ．小聪想：要想解决问题，应该对∠B 进行分类研究．∠B 可分为“直角、钝角、锐角”三种情况进行探究．第一种情况：当∠B 是直角时，如图1， 在△ABC 和△DEF 中，AC =DF ，BC =EF ， ∠B =∠E =90°，根据“HL”定理，可以知道 Rt △ABC ≌Rt △DEF ．第二种情况：当∠B 是锐角时，如图2，BC =EF ，∠B =∠E<90°，在射线EM 上有点D ，使DF =AC ，画出符合条件的点D ，则△ABC 和△DEF 的关系是 ；A ．全等B ．不全等C ．不一定全等 第三种情况：当∠B 是钝角时，如图3，在△ABC 和△DEF 中，AC =DF ，BC =EF ， ∠B =∠E >90°，求证：△ABC ≌△DEF ．五、解答题(本题共22分，第27题7分，第28题8分，第29题7分)27．已知抛物线y =ax 2+x +c （a ≠0）经过A （1 ，0），B （2，0）两点，与y 轴相交于点C ，点D 为该抛物线的顶点．（1）求该抛物线的解析式及点D 的坐标；（2）点E 是该抛物线上一动点，且位于第一象限，当点E 到直线BC 的距离为22时，求点E 的坐标；（3）在（2）的条件下，在x 轴上有一点P ，且∠EAO +∠EPO =∠α，当tanα=2时，求点P 的坐标．28．（1）如图1，在四边形ABCD 中，AB=BC ，∠ABC =80°，∠A +∠C =180°，点M 是ADBA DECF图1图3A B CFED O yx 图2MFEBCA边上一点，把射线BM 绕点B 顺时针旋转40°，与CD 边交于点N ，请你补全图形，求MN ，AM ，CN 的数量关系；（2）如图2，在菱形ABCD 中，点M 是AD 边上任意一点，把射线BM 绕点B 顺时针旋12ABC ∠，与CD 边交于点N ，连结MN ，请你补全图形并画出辅助线，直接写出AM ，CN ，MN 的数量关系是 ；（3）如图3，正方形ABCD 的边长是1，点M ，N 分别在AD ，CD 上，若△DMN 的周长为2，则△MBN 的面积最小值为 ．29．设a ,b 是任意两个不等实数，我们规定：满足不等式a ≤x ≤b 的实数x 的所有取值的全体叫做闭区间，表示为[a ,b ]．对于一个函数，如果它的自变量x 与函数值y 满足：当m ≤x ≤n 时，有m ≤y ≤n ,我们就称此函数是闭区间[m .n ]上的“闭函数”．如函数4y x =-+，当x =1时，y =3；当x =3时，y =1，即当13x ≤≤时，有13y ≤≤，所以说函数4y x =-+是闭区间[1,3]上的“闭函数”． （1）反比例函数y =x2015是闭区间[1,2015]上的“闭函数”吗？请判断并说明理由；（2）若二次函数y =22x x k --是闭区间[1,2]上的“闭函数”，求k 的值； （3）若一次函数y =kx +b (k ≠0)是闭区间[m ,n ]上的“闭函数”，求此函数的解析式（用含m ，n 的代数式表示）．MA CBD图2图3B CA D图1MBCAD平谷区2014—2015学年度第二学期初三统练答案（一）数学试卷2015.4一、选择题(本题共30分，每小题3分)题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案A DBC BBACCD二、填空题(本题共18分，每小题3分)11.2(2)a a b -；12．乙；13．1603；14．答案不唯一，如1y x=-(x <0)； 15．y =2x +11；16．6或23或43（每个答案1分，多写扣1分）． 三、解答题(本题共30分，每小题5分)17．证明：∵∠CAD =∠EAB ，∴∠CAD +∠BAD =∠EAB +∠BAD ．即∠CAB =∠EAD ． (1)∵AB =AD ，AC =AE ，…………………………………………………………………3 ∴△ABC ≌△ADE ．…………………………………………………………………4 ∴BC =DE ．……………………………………………………………………………5 18．解：原式=()2222412-⨯+-+..................................................................4 =23- (5)19．解：2141123x x x x -+<+⎧⎪⎨--≤⎪⎩①②解不等式①，得1x >-，........................................................................2 解不等式②，得4x ≤， (4)∴原不等式组的解集为：14x -<≤． (5)20．解：()()2212121121a a a a a a a +++-÷+--+ =()()()221212111a a a a a a +++-÷+--…………………………………………………………1 =()()()()()211211112a a a a a a a -+-⋅++-++ =()21111a a a --++…………………………………………………………………………2 =()()221111a a a a +--++=()221a +=2221a a ++ (3)∵22130a a +-=，∴22=13a a +．∴原式=213+1……………………………………………………………………………4 =17 (5)21．解：（1）根据题意得m ≠1 ..............................................................................1 △＝(–2m )2－4(m －1)(m ＋1)＝4 (2)∴m 的取值范围是m ≠1；（2）∴x 1＝()22121m m -=- (3)x 2＝()2221m m +-＝11m m +-x 2＝11m m +-=211m +- (4)∵方程的两个根都是正整数， ∴21m -是正整数， ∴m －1=1或2∴ｍ=2或3 . (5)22．解：设甲工厂每天能加工x 件新产品，则乙工厂每天加工1.5x 件新产品． (1)依题意得，1200120010.1.5x x =+ (2)解得40x = (3)经检验，40x =是原方程的解，并且符合题意．………………………………………4 ∴1.560x =. 答：甲、乙两个工厂每天能加工新产品的件数分别为40件、60件．……………………5 四、解答题(本题共20分，每小题5分)23．（1）证明：∵DE ∥AB ，EF ∥AC ， ∴四边形ADEF 是平行四边形，…………………………………………………………1 ∠ABD =∠BDE ． ∴AF =DE ．∵BD 是△ABC 的角平分线， ∴∠ABD =∠DBE ． ∴∠DBE =∠BDE ． ∴BE =DE ． ∴BE =AF ． (2)（2）解：过点D 作DG ⊥AB 于点G ，过点E 作EH ⊥BD 于点H ，∵∠ABC =60°，BD 是∠ABC 的平分线，∴∠ABD =∠EBD =30°，∴DG =12BD =12×12=6．…………………………………………3 ∵BE =DE ，∴BH =DH =12BD =6．∴BE =cos30BH︒=43．∴DE =BE =43． (4)GH FE D B C A∴四边形ADEF 的面积为：DE •DG =243． (5)24．解：（1）30%； (1)（2）小组合作学习后学生学习兴趣的统计图如下： (2)（3）小组合作学习前学生学习兴趣“中”的有100×25%=25（人），小组合作学习后学习兴趣提高了30﹣25=5（人）；………………………………3 小组合作学习前学生学习兴趣“高”的有100×30%=30（人）， 小组合作学习后学习兴趣提高了35﹣30=5（人）； 小组合作学习前学生学习兴趣为“极高”的有100×25%=25（人）， 小组合作学习后学习兴趣提高了30﹣25=5（人），∴2000×555100++ =300（人）．............................................................4 答：全校2000名学生中学习兴趣获得提高的学生有300人． (5)25．（1）证明：∵BC 切⊙O 于点B ，∴∠ABF +∠CBE =90°．…………………………………………………………1 ∵AB 是⊙O 的直径， ∴∠AFB =90°．∴∠ABF +∠BAF =90°． ∴∠CBE =∠BAF ． ∵∠BAC =2∠CBE ，∴∠BAF +∠CAF =2∠CBE ． 即∠CBE =∠CAF ．………………………………………………………………2 （2）∵EG ⊥BC 于点G ，∴∠CBE +∠BEG =90°．∵∠CAF +∠AEF =90°， ∴∠BEG =∠AEF ． 连接BD ， ∵AB 是⊙O 的直径，∴∠ADB =90°．∴∠BDE =∠BGE =90°．∵BE =BE ∴△BED ≌△BEG ．∴ED =EG ．………………………………………………………………………3 ∵∠C =∠CEG =45°，∴EG =CG =1，CE =2． ∴DE =1．∴CD =1+2．在Rt △ABC 中，∠ABC =90°，∠C =45°， ∴∠BAC =45°． ∴AD =BD =CD =1+2．∴AB =2+2 (4)G FD E B O A C∴⊙O 的半径为2+22．……………………………………………………5 26．解：MD'D FE画出DF ，选择A （或画出D ’F ，选择B ）…………………………………………………1 画出DF 和D ’F ，选择C ……………………………………………………………………2 证明：如图，过点C 作CG ⊥AB 交AB 的延长线于点G ， 过点F 作DH ⊥DE 交DE 的延长线于点H ， ∵∠B =∠E ， ∴180°﹣∠B =180°﹣∠E ， 即∠CBG =∠FEH ，…………………………………………………………………………3 在△CBG 和△FEH 中，90CBG FEH G H BC EF ∠=∠⎧⎪∠=∠=︒⎨⎪=⎩， ∴△CBG ≌△FEH （AAS ）， ∴CG =FH ，在Rt △ACG 和Rt △DFH 中，AC DFCG FH =⎧⎨=⎩，Rt △ACG ≌Rt △DFH （HL ），∴∠A =∠D ， (4)在△ABC 和△DEF 中，A D B E AC DF ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△ABC ≌△DEF （AAS ）． (5)HG A B CFE D五、解答题(本题共22分，第27题7分，第28题8分，第29题7分)27．解：（1）∵抛物线y=ax 2+x+c （a ≠0）经过A （﹣1，0），B （2，0）两点，∴10420a c a c -+=⎧⎨++=⎩，解得12a c =-⎧⎨=⎩． ∴抛物线为y =﹣x 2+x +2①；………………………………………………………1 ∴顶点D （12，94）．………………………………………………………………2 （2）如图，作EN ∥BC ，交y 轴于N ，过C 作CM ⊥EN 于M ，令x =0，得y =2,∴OC =OB =2．∴∠OCB =45°．∵EN ∥BC ，∴∠CNM =∠OCB =45°．∵CM ⊥EN 于M ， ∴∠CNM =∠CMN =45°． ∴MN =CM =22． ∴CN =1．∴直线NE 的解析式为：y =﹣x +3② (3)把②代入①，解得12x y =⎧⎨=⎩．∴E （1，2）． (4)（3）过E 作EF ⊥AB 于F∴tan ∠EOF =2，又∵tan ∠α=2，∴∠EOF =∠α，∵∠EOF =∠EAO +∠AEO =∠α，∠EAO +∠EPO =∠α，∴∠EPO =∠AEO ，∵∠EAO =∠P AE ，∴△AEP ∽△AOE ， (5)∴AP AE AE AO=， ∵AE =2222+=22，AO =1，∴AP =8， ∴OP =7， ∴()7,0P ，………………………………………………………………………6 由对称性可得，()'5,0P -………………………………………………………7 ∴()7,0P 或()5,0-．y x E C B A O F P yxNM E C B A O28．解：（1）E M B C A DN………………………………………………………1 延长DA 到点E ，使AE =CN ，连接BE∵∠BAD +∠C =180°．∴∠EAB =∠C ．又∵AB =BC ，AE =CN ，∴△ABE ≌△CBN ．∴∠EBA =∠CBN ，BE =BN ．…………………………………………………………2 ∴∠EBN =∠ABC ．∵∠ABC =80°，∠MBN =40°，∴∠EBM =∠NBM =40°．∵BM =BM ，∴△EBM ≌△NBM ．∴EM =NM ．....................................................................................3 ∴MN =AM +CN ． (4)（2） EM A CB DN (5)MN <AM +CN (6)（3）21 (8)29．解：（1）反比例函数y =x 2015是闭区间[1,2015]上的“闭函数”．理由如下： 反比例函数y =x2015在第一象限，y 随x 的增大而减小， 当x =1时，y =2015；…………………………………………………………………1 当x =2015时，y =1，即图象过点（1,2015）和（2015,1）∴当1≤x≤2015时，有1≤y≤2015，符合闭函数的定义，∴反比例函数y=x 2015是闭区间[1，2015]上的“闭函数”； (2)（2）由于二次函数22y x x k =--的图象开口向上， 对称轴为1x =，……………………………………………………………………3 ∴二次函数22y x x k =--在闭区间[1,2]内，y 随x 的增大而增大． 当x =1时，y =1，∴k =2-． 当x =2时，y =2，∴k =2-．即图象过点（1,1）和（2,2）∴当1≤x≤2时，有1≤y≤2，符合闭函数的定义，∴k =2-． (4)（3）因为一次函数()0y kx b k =+≠是闭区间[],m n 上的“闭函数”，根据一次函数的图象与性质，有：（Ⅰ）当0k >时，即图象过点（m ,m ）和（n ,n ）mk b m nk b n+=⎧⎨+=⎩，……………………………………………………………………5 解得10k b =⎧⎨=⎩． ∴y x =……………………………………………………………………………6 （Ⅱ）当0k <时，即图象过点（m ,n ）和（n ,m ）mk b n nk b m +=⎧⎨+=⎩，解得1k b m n=-⎧⎨=+⎩ ∴y x m n =-++，………………………………………………………………7 ∴一次函数的解析式为y x =或y x m n =-++．。