noippascal语言动态规划
noip_pascal语言_动态规划
具体计算过程如下： S1： K = 4 有 F4（D1）= 3， F4（D2）= 4， F4（D3）= 3； S2： K = 3 有 F3（C1）= MIN{ D3（C1，D1）+ F4（D1），D3（C1，D2）+ F4（D2）} = MIN{ 5+3，6+4 } = 8 F3（C2）= D3（C2，D1）+ F4（D1）= 5+3 = 8 F3（C3）= D3（C3，D3）+ F4（D3）= 8+3 = 11 F3（C4）= D3（C4，D3）+ F4（D3）= 3+3 = 6 S3： K = 2 有 F2（B1）= MIN{ D2（B1，C1）+ F3（C1），D2（B1，C2）+ F3（C2）， D2（B1，C3）+ F3(C3)} = MIN{ 1+8,6+8,3+11} = 9 F2（B2）= MIN{ D2（B2，C2）+ F3（C2），D2（B2，C4）+ F3（C4）} = MIN{ 8+8，4+6 } = 10 S4： K = 1 有 F1（A）= MIN{ D1（A，B1）+ F2（B1），D1（A，B2）+ F2（B2）} = MIN{ 5+9，3+10} = 13 因此由A点到E点的全过程最短路径为A→B2→C4→D3→E；最短路程长度为13。 从以上过程可以看出，每个阶段中，都求出本阶段的各个初始状态到终点E的最短距离 当逆序倒推到过程起点A时，便得到了全过程的最短路径和最短距离。 在上例的多阶段决策问题中，各个阶段采取的决策，一般来说是与阶段有关的，决策 依赖于当前状态，又随即引起状态的转移，一个决策序列就是在变化的状态中产生出来的， 故有“动态”的含义，我们称这种解决多阶段决策最优化的过程为动态规划程序设计方法。
Pascal动态规划-复习
[题2] 数塔
● 如下图所示的数塔，从顶部出发，在每一结点可以选择向左下走或是 向右下走，一直走到底层，要求找出一条路径，使路径上的数的和最 大。数塔层数用n表示，1<=n<=100。
[题2] 数塔
贪心法。时间上有保证，但得不到最优解。主要原因是贪心法只顾 眼前利益，不考虑长远利益。 在规定时间内得到正确结果，唯一的方法就是“动态规划”。
dpl(i，j)=min{dpl(i-1，j)+v(i，j)，dpl(i，j-1)+h(i，j)}
[题5] 机器分配
【问题描述】 总公司拥有高效生产设备M台，准备分给下属的N个公司。各分公司
若获得这些设备，可以为国家提供一定的盈利。问：如何分配这M台设
备才能使国家得到的盈利最大？求出最大盈利值。其中M≤15，N≤10。 分配原则：每个公司有权获得任意数目的设备，但总台数不得超过总设
下面以示意图表示动态规划的过程：所选路径为：9-12-10-18-10
注意分析时，有以下几个特点：
（1）将问题划分成了4个阶段；
（2）每个阶段均得到了“部分”的最优解，得到最优解时，需要进行条件判断；
（3）从最下面一层往顶层推导。
[题3] 棋盘路径问题
【题目简介】 有一个n*m的棋盘，左下角为（1,1），右上角为（n,m），如下图： 有一颗棋子，初始位置在（1,1），该棋子只能向右走或者向上走，问该 棋子从（1,1）到（n,m）一共有几条路径？ 输入：两个整数n和m 输出：一个数，路径总数
● 第i级台阶,可以从第i-2级台阶迈2级台阶到达,也 可以从第i-1级台阶迈1级台阶到达
上楼梯问题
● 慢在哪里？
● 重叠的问题被计算了多次！ ● 例如：计算f[5]时，f[5]=f[3]+f[4];而f[4]=f[3]+f[2], 此时，f[3]又被计算了一遍。 ● 每次计算f[i]时，都要递归到f[0]或f[1]! ● 时间复杂度变成了O(N!)
pascal算法讲义-第十一讲
第十一讲 动态规划一、动态规划总述动态规划(dynamic programming)是运筹学的一个分支，是求解决策过程(decision process)最优化的数学方法。
20世纪50年代初美国数学家R.E.Bellman等人在研究多阶段决策过程(multistep decision process)的优化问题时，提出了著名的最优化原理(principle of optimality)，把多阶段过程转化为一系列单阶段问题，利用各阶段之间的关系，逐个求解，创立了解决这类过程优化问题的新方法——动态规划。
1957年出版了他的名著《Dynamic Programming》，这是该领域的第一本著作。
跟分治法一样，动态规划也是通过组合子问题的解而解决整个问题的。
分治法可以把问题划分成一些独立的子问题，递归的求解各个子问题，然后合并子问题的解而得到原问题的解。
与此不同，动态规划适用于子问题不独立的情况，也就是各子问题包含公共的子子问题。
这种情况下，分治法就会有大量的重复计算，即重复求解公共子子问题。
动态规划对每个子子问题只求解一次，将结果存在一张表里，从而避免每次遇到各个子问题时重新计算答案。
动态规划通常应用于最优化问题。
此类问题一般有很多很多种可行解，每个解有一个值，而我们希望找出一个具有最优(最大或最小)值的解。
称这样的解为该问题的最优解（而不是确定的最优解），因为可能存在多个取值最优的解。
动态规划算法的设计可以分为如下4个步骤：1)描述最优解的结构2)递归定义最优解的值，这个递归方程称为状态转移方程3)按自底向上的方式计算最优解的值4)由计算结果构造一个最优解(一般竞赛时无需构造，如果有要求则有时需要在第三步的计算中记录一些附加信息)。
下面介绍一些术语，希望读者在阅读完整节内容后进行理解：阶段：把所给求解问题的过程恰当地分成若干个相互联系的阶段，以便于求解，过程不同，阶段数就可能不同．描述阶段的变量称为阶段变量。
最新信息学奥赛NOIP动态规划入门教学文案
阶段4
阶段4：F(D1)=3;F(D2)=4;F(D3)=3 阶段3：F(C1)=min{F(D1)+C1到D1的路径长度，
F(D2)+C1到D2的路径长度} F(C2)……
阶段1
阶段2
阶段3
阶段4
我们把F(x) 称为当前x的状态；
在这个例子中每个阶段的选择依赖当前的状态，又 随即引起状态的转移，一个决策序列(E –D3-C4B2-A)就是在变化的状态中产生的，故有“动态”的 含义。
方各有个数，从第一行的数开始，每次可以选择
向左下或是向右下走一格，一直走到最下行，把
沿途经过的数全部加起来。如何走才能使得这个
和尽量大？。
穷举？贪心？搜索？
数字三角形
数组存储
格子编号
深搜（递归实现）
程序清单： void f( int i, int j )
{ s=s+a[ i ][ j ]; if ( i==4 ) if ( s > max ) max = s; else { f( i+1, j ); s=s-a[ i+1] [ j ]; f( i+1, j+1); s=s-a[ i+1] [ j+1]; }
if( i == n ) return a[i][ j];
if(d[ i ][ j ] >= 0) return d[i][ j];
d[i][ j] = a[i][ j]+max(solve ( i+1, j ), solve ( i+1 , j +1) );
这样做是正确的， 可惜时间效率太低 。低效的原因在于
重复计算。
重复计算
dt(1,1) 的调用关系树
2023noip大纲
2023年NOIP大纲2023年NOIP大纲是我国青少年信息学奥林匹克系列竞赛的重要参考资料，为广大参赛选手提供了明确的竞赛方向和复习目标。
相较于往年，2023年NOIP大纲在保留经典题型和知识点的基础上，进行了一定程度的更新和调整，以适应信息学竞赛的发展趋势。
以下为2023年NOIP大纲的主要内容概述。
一、基础知识1. 计算机硬件基础：包括计算机组成原理、操作系统、计算机网络、数据结构与算法等方面的基础知识。
2. 编程语言：掌握C、C++、Pascal等编程语言的基本语法和常用库函数，了解Java、Python等编程语言的初步知识。
3. 算法与数据结构：熟练掌握常见的算法（如排序、查找、图算法等）和数据结构（如数组、链表、栈、队列、树、图等）及其应用。
4. 数学基础：具备较强的数学能力，熟悉组合数学、离散数学、线性代数等数学知识，并能运用数学方法解决实际问题。
二、编程技能1. 代码实现：能够熟练地编写代码实现各种算法和数据结构，具备良好的编程风格。
2. 算法优化：了解算法的时间复杂度和空间复杂度，能够对算法进行优化和改进。
3. 编程策略：掌握常见的编程策略（如贪心、分治、动态规划等），能够在实际问题中灵活运用。
4. 代码调试：具备较强的代码调试能力，能够快速定位和解决程序中的错误。
三、题目类型1. 选择题：涵盖计算机基础知识、编程语言、算法与数据结构、数学等方面。
2. 填空题：考察选手对基础知识、编程技能的掌握程度，以及解决实际问题的能力。
3. 解答题：主要考察选手的算法设计、代码实现和编程策略运用能力，以及数学知识和实际问题解决能力。
4. 编程实践：考察选手在限定时间内完成实际问题编程的能力，侧重于算法应用和代码实现。
四、考试要求1. 掌握C、C++、Pascal其中一种编程语言。
2. 熟悉计算机基础知识、算法与数据结构、数学等方面的内容。
3. 具备较强的编程实践能力，能够熟练地编写、调试代码。
Pascal动态规划-复习2
● （5）第三次计算结点为B1，B2，B3，而决 策输出结点可能为C1，C2，C3。仿前计算可 得Bl，B2，B3的决策路径为如下情况。 ● Bl:B1C1费用 12+8=20， 路径:B1+C1+D1+E B2:B2C1费用 6+8=14， 路径:B2+C1+D1+E B3:B2C2费用 12+7=19，路径:B3+C2+D2+E ● 此时也无法定下第一，二，三阶段的城市哪 三个将在整体的最优决策路径上。 ● （6）第四次计算结点为A，决策输出结点可 能为B1，B2，B3。同理可得决策路径为 ● A：AB2，费用5+14=19，路径 A+B2+C1+D1+E。 ● 此时才正式确定每个子问题的结点中，哪一 个结点将在最优费用的路径上。19将是最短 路径的结果 ● 显然这种计算方法，符合最优原理。 ● 子问题的决策中，只对同一城市（结点）比 较优劣。而同一阶段的城市（结点）的优劣 要由下一个阶段去决定。
数塔
● 如下图所示的数塔，从顶部出发，在每一结点可以选择向左下走或是 向右下走，一直走到底层，要求找出一条路径，使路径上的数的和最 大。数塔层数用n表示，1<=n<=100。 ● 【分析】对于这一问题，很容易想到用枚举的方法（深度搜索法）去 解决，即列举出所有路径并记录每一条路径所经过的数字总和。然后 寻找最大的数字总和，这一想法很直观，很容易编程实现。 ● 但是当行数很大时，当三角形的行数等于100时，其枚举量之大是可 想而知的，用枚举法肯定超时，甚至根本不能得到计算结果，必须用 动态规划法来解。
动态规划适合解决什么样的问题
● 准确地说，动态规划不是万能的，它只适于解决一定条件的最优策略 问题。 ● (1)状态必须满足最优化原理； (2)状态必须满足无后效性 ● 1、动态规划的最优化原理是指无论过去的状态和决策如何，对前面 的决策所形成的当前状态而言，余下的诸决策必须构成最优策略。 ● 可以通俗地理解为子问题的局部最优将导致整个问题的全局最优在上 例最短路径问题中，A到E的最优路径上的任一点到终点E的路径也必 然是该点到终点E的一条最优路径，满足最优化原理。 ● 动态规划的无后效性原则指某阶段的状态一旦确定，则此后过程的演 变不再受此前各状态及决策的影响。也就是说，“未来与过去无关”， 当前的状态是此前历史的一个完整总结，此前的历史只能通过当前的 状态去影响过程未来的演变。具体地说，如果一个问题被划分各个阶 段之后，阶段 I 中的状态只能由阶段 I+1 中的状态通过状态转移方程 得来，与其他状态没有关系，特别是与未发生的状态没有关系，这就 是无后效性。
noip初赛知识点总结
noip初赛知识点总结一、基础知识1.1 编程语言NOIP初赛主要使用C/C++和Pascal两种编程语言进行比赛。
参赛者需要熟练掌握这两种语言的基本语法和常用库函数，包括输入输出、变量声明、条件语句、循环语句、数组、字符串处理等。
1.2 数据结构参赛者需要了解各种常用的数据结构，包括数组、链表、栈、队列、堆、树、图等，以及它们的基本操作和应用场景。
此外，还需要掌握算法导论中的基本排序算法和查找算法，如插入排序、归并排序、快速排序、线性查找、二分查找等。
1.3 算法思想参赛者需要熟悉各种常见的算法思想，包括贪心算法、动态规划、分治算法、回溯算法、递归算法等，以及它们的应用场景和解题技巧。
此外，还需要了解图论中的基本算法，如最短路径算法、最小生成树算法、拓扑排序算法等。
1.4 数学知识NOIP初赛中经常涉及一些数学知识，参赛者需要了解基本的数论知识、组合数学知识、概率论知识、图论知识等，以便解决一些与数学相关的问题。
此外，还需要掌握常见的数学运算和函数求值方法。
二、经典题型2.1 模拟题模拟题一般是指模拟真实生活中的某种场景，要求参赛者根据题目描述进行逻辑推理和状态转移，最终得出正确的结果。
这类题型通常涉及数组、字符串、条件语句、循环语句等基本知识点，适合新手练手和熟悉编程语言。
2.2 数学题数学题一般是指涉及各种数学知识的问题，要求参赛者通过数学推导和运算得到最终结果。
这类题型通常涉及数论、组合数学、概率论、图论等知识点，适合对数学比较感兴趣的参赛者。
2.3 搜索题搜索题一般是指在给定的状态空间中，通过一定的搜索策略找到满足条件的解。
这类题型通常涉及深度优先搜索、广度优先搜索、状态压缩、剪枝等知识点，适合对算法思想比较感兴趣的参赛者。
2.4 动态规划题动态规划题一般是指通过维护一张状态转移表或者状态转移方程，找到最优解。
这类题型通常涉及最长上升子序列、最大子段和、背包问题、最优二叉搜索树等知识点，适合对算法思想比较感兴趣的参赛者。
动态规划总结汇总(NOIP必备)
动态规划（一）05B 张婕目录一、数字添加号 (2)二、乘积最大 (9)三、矩阵取数 (16)四、邮局（已修改） (22)五、棋盘分割 (28)六、矩阵连乘 (35)七、能量项链 (40)八、石子合并 (45)九、加分二叉树 (51)十、CUTTING（已修改） (56)1、数字添加号『题目描述』一个由数字1，2，... ，9组成的数字串（长度不超过200），问如何将M(M<=20)个加号("+")插入到这个数字串中，使所形成的算术表达式的值最小。
请编一个程序解决这个问题。
注意：加号不能加在数字串的最前面或最末尾，也不应有两个或两个以上的加号相邻。
M保证小于数字串的长度。
例如：数字串79846，若需要加入两个加号，则最佳方案为79+8+46，算术表达式的值133。
[输入格式］从键盘读入输入文件名。
数字串在输入文件的第一行行首（数字串中间无空格且不折行），Ｍ的值在输入文件的第二行行首。
[输出格式］在屏幕上输出所求得的最小和的精确值。
[输入输出举例］EXAM4.SAM823639837423EXAM4.SAM 2170『题意分析』1)任务：求在长度为n的数中添加m 个加号的最小值2)程序名 exam4.pas3)输入i.文件名 exam4.inii.格式及内容第一行数字串 n<=200（数字串中间无空格且不折行）第二行整数M m <= 20（所要添加的加号个数）4)输出i.文件名 exam4.outii.格式及内容所求得的最小和的精确值5)数据范围N <= 200, m <= 20注：□加号不能加在数字串的最前面或最末尾，也不应有两个或两个以上的加号相邻。
M保证小于数字串的长度。
『算法分析』1)根据样例模拟求解过程。
119191 2⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=+=+=+=1391)1,5(19391)1,4(211191)1,3(91939191)1,2(139)2,6(f f f f f ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=+=+=+=12009)0,4(13819)0,3(930919)0,2(1901919)0,1(138)1,5(f f f f f ⎩⎨⎧=+=+==+=209)0,2(2019)0,1(20)1,3(21)0,1()1,2(f f f f f ⎪⎩⎪⎨⎧=+=+=+=1201)0,3(10291)0,2(192191)0,1(102)1,4(f f f f 2) 根据数据范围估算程序复杂度。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
第一节 动态规划的基本模型 第二节 动态规划与递推 第三节 历届NOIP动态规划试题 第四节 背包问题 第五节 动态规划应用举例
可编辑ppt
1
动态规划程序设计是对解最优化问题的一种途径、一种方法， 而不是一种特殊算法。不象前面所述的那些搜索或数值计算那样， 具有一个标准的数学表达式和明确清晰的解题方法。动态规划程序 设计往往是针对一种最优化问题，由于各种问题的性质不同，确定 最优解的条件也互不相同，因而动态规划的设计方法对不同的问题， 有各具特色的解题方法，而不存在一种万能的动态规划算法，可以 解决各类最优化问题。因此读者在学习时，除了要对基本概念和方 法正确理解外，必须具体问题具体分析处理，以丰富的想象力去建 立模型，用创造性的技巧去求解。我们也可以通过对若干有代表性 的问题的动态规划算法进行分析、讨论，逐渐学会并掌握这一设计 方法。
最优化原理与无后效性
上面已经介绍了动态规划模型的基本组成，现在需要解决的问题是：什么样的“多 阶段决策问题”才可以采用动态规划的方法求解。
S4： K = 1 有 F1（A）= MIN{ D1（A，B1）+ F2（B1），D1（A，B2）+ F2（B2）} = MIN{ 5+9，3+10} = 13 因此由A点到E点的全过程最短路径为A→B2→C4→D3→E；最短路程长度为13。 从以上过程可以看出，每个阶段中，都求出本阶段的各个初始状态到终点E的最短距离
当逆序倒推到过程起点A时，便得到了全过程的最短路径和最短距离。 在上例的多阶段决策问题中，各个阶段采取的决策，一般来说是与阶段有关的，决策依
赖于当前状态，又随即引起状态的转移，可一编个辑决pp策t 序列就是在变化的状态中产生出来的5 ，故 有“动态”的含义，我们称这种解决多阶段决策最优化的过程为动态规划程序设计方法。
动态规划的基本概念和基本模型构成
现在我们来介绍动态规划的基本概念。 1.ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ阶段和阶段变量：
用动态规划求解一个问题时，需要将问题的全过程恰当地分成若干个相互联系的阶 段，以便按一定的次序去求解。描述阶段的变量称为阶段变量，通常用K表示，阶段的 划分一般是根据时间和空间的自然特征来划分，同时阶段的划分要便于把问题转化成多 阶段决策过程，如例题1中，可将其划分成4个阶段，即K = 1，2，3，4。 2. 状态和状态变量：
可编辑ppt
2
第一节 动态规划的基本模型
多阶段决策过程的最优化问题
在现实生活中，有一类活动的过程，由于它的特殊性，可将过程分成若 干个互相联系的阶段，在它的每一阶段都需要作出决策，从而使整个过程达 到最好的活动效果。当然，各个阶段决策的选取不是任意确定的，它依赖于 当前面临的状态，又影响以后的发展，当各个阶段决策确定后，就组成一个 决策序列，因而也就确定了整个过程的一条活动路线，这种把一个问题看作 是一个前后关联具有链状结构的多阶段过程就称为多阶段决策过程，这种问 题就称为多阶段决策问题。如下图所示：
【算法分析】
把A到E的全过程分成四个阶段，用K表示阶段变量，第1阶段有一个初
始状态A，有两条可供选择的支路A-B1、A-B2；第2阶段有两个初始状态B1、
B2，B1有三条可供选择的支路，B2有两条可供选择的支路……。用DK（XI，
X+1J）表示在第K阶段由初始状态XI到下阶段的初始状态X+1J的路径距离，
S3： K = 2 有 F2（B1）= MIN{ D2（B1，C1）+ F3（C1），D2（B1，C2）+ F3（C2）， D2（B1，C3）+ F3(C3)} = MIN{ 1+8,6+8,3+11} = 9 F2（B2）= MIN{ D2（B2，C2）+ F3（C2），D2（B2，C4）+ F3（C4）} = MIN{ 8+8，4+6 } = 10
所有阶段依次排列构成问题的全过程。全过程中各阶段决策变量所组成的有序总体 称为策略。在实际问题中，从决策允许集合中找出最优效果的策略成为最优策略。 5. 状态转移方程
前一阶段的终点就是后一阶段的起点，对前一阶段的状态作出某种决策，产生后一 阶段的状态，这种关系描述了由k阶段到可k编+1辑阶pp段t 状态的演变规律，称为状态转移方程6。
FK（XI）表示从第K阶段的XI到终点E的最短距离，利用倒推的方法，求解A
到E的最短距离。
可编辑ppt
4
具体计算过程如下：
S1： K = 4 有 F4（D1）= 3， F4（D2）= 4， F4（D3）= 3；
S2： K = 3 有 F3（C1）= MIN{ D3（C1，D1）+ F4（D1），D3（C1，D2）+ F4（D2）} = MIN{ 5+3，6+4 } = 8 F3（C2）= D3（C2，D1）+ F4（D1）= 5+3 = 8 F3（C3）= D3（C3，D3）+ F4（D3）= 8+3 = 11 F3（C4）= D3（C4，D3）+ F4（D3）= 3+3 = 6
某一阶段的出发位置称为状态，通常一个阶段包含若干状态。一般地，状态可由变 量来描述，用来描述状态的变量称为状态变量。如例题1中，C3是一个状态变量。 3. 决策、决策变量和决策允许集合：
在对问题的处理中作出的每种选择性的行动就是决策。即从该阶段的每一个状态出
发，通过一次选择性的行动转移至下一阶段的相应状态。一个实际问题可能要有多次决 策和多个决策点，在每一个阶段的每一个状态中都需要有一次决策，决策也可以用变量 来描述，称这种变量为决策变量。在实际问题中，决策变量的取值往往限制在某一个范 围之内，此范围称为允许决策集合。如例题1中，F3（C3）就是一个决策变量。 4．策略和最优策略：
多阶段决策过程，是指这样的一类特殊的活动过程，问题可以按时间顺 序分解成若干相互联系的阶段，在每一个阶段都要做出决策，全部过程的决 策是一个决策序列。要使整个活动的总体效果达到最优的问题，称为多阶段 决策问题。
可编辑ppt
3
【例1】最短路径问题。下图给出了一个地图，地图中的每个顶点代表一个城 市，两个城市间的一条连线代表道路，连线上的数值代表道路的长度。现在想 从城市A到达城市E，怎样走路程最短？最短路程的长度是多少？