2015上海数学自招七宝中学真题
2015年上海中学自招数学试卷及答案解析
2015年上海中学自招数学试卷一. 填空题1、 1a 、2a 、⋅⋅⋅、7a 是{1,2,3,,7}⋅⋅⋅的一个排列，12233471||||||||a a a a a a a a -+-+-+⋅⋅⋅+-的最大值为_________【答案】24【解析】原式最大值=12233471||||||||a a a a a a a a -+-+-+⋅⋅⋅+-=71166225533447-+-+-+-+-+-+-=654321324++++++=2、已知a 、b 为正整数，满足5374a b <<，当b 最小时，a b +=_________ 【答案】19 【解析】Q 5374a b <<，得5743b a a b <⎧⎨<⎩，∴201521a b a <<，当1b =时，a 无解；当2b =时，a 无解；……当11b =时，8a =，此时b 最小，且81119a b +=+=3、已知53x y z xy yz zx ++=⎧⎨++=⎩，x 、y 、z 均为实数，则z 的最大值为_________ 【答案】133【解析】Q 53x y z xy yz zx ++=⎧⎨++=⎩∴()53x y z xy x y z +=-⎧⎪⎨=-+⎪⎩∴2535x y z xy z z+=-⎧⎨=-+⎩∴x 与y 是方程()225530m z m z z +-+-+=的两根，∴()()2254530z z z ∆=---+≥解得1313z -≤≤ 4、已知25370x x --=，求22(2)(1)1(1)(2)x x x x -+--=--__________ 【答案】2【解析】Q 25370x x --=∴24441x x x -+=+，()2241x x -=+ ∴221338x x x -+=+∴()21338x x -=+∴()()()()()()2221212212x x x x x x ---=-+----⎡⎤⎣⎦∴()()141338212x x x x=+++---∴()()12239x x x--=+原式=4133812239x xx+++-=+5、交流会，两两相互送礼，校方准备礼物，增加n个人，原有m个人(17)m<，增加34份礼物，则m=____________【答案】8【解析】根据题意有()()()1341m m m n m n-+=++-，()2134n m n∴+-=，∴12134nm n=⎧⎨+-=⎩或22117nm n=⎧⎨+-=⎩或17212nm n=⎧⎨+-=⎩或34211nm n=⎧⎨+-=⎩解得：117nn=⎧⎨=⎩（舍）或28nn=⎧⎨=⎩或177nn=⎧⎨=-⎩（舍）或3416nn=⎧⎨=-⎩（舍）8m∴=6、正ABCV的内切圆半径为1，P为圆上一点，则12BP CP+的最小值为_________ 【答案】212【解析】如图，联结CO,PO,在CO上取点D，使得1122DO r==，联结PD,由计算可得2CO=，在PODV与COPV中，12POD COPOD OPOP OC∠=∠⎧⎪⎨==⎪⎩∴PODV:COPV,∴12PD PC=∴12122BP CP BP PD BD+=+≥=二. 解答题 7、（1）{1,2,3,,10}⋅⋅⋅，求其中任意两个元素乘积之和；（2）111{1,,,,}2310⋅⋅⋅，求其中任意偶数个元素乘积之和. 【答案】（1）1320；（2）92 【解析】（1）原式()()123102341910=⨯++⋅⋅⋅++⨯++⋅⋅⋅++⋅⋅⋅+⨯1320=（2）设任意偶数个元素乘积之和为S ，任意奇数个元素乘积之和为H ，则()1111111112310S H ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=+++⋅⋅⋅+- ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭()1111111112310S H ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=---⋅⋅⋅-- ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭∴()()922S H S H S ++-==8、ABCD 为梯形，EP PQ QF ==，EF 不平行AB .（1）求证：BDF CDF ACE CDE S S S S ⨯=⨯V V V V ；（2）求:AB CD 的值.【答案】（1）见解析；（2）12【解析】（1）联结BE ，AF ，有22BDF BDE CDE CDE S S AB S S CD ==⨯V V V V ；22ACE ACF CDF CDF S S AB S S CD ==⨯V V V V ∴BDF CDF ACE CDE S S S S ⨯=⨯V V V V 得证；（2）Q BDF CDF ACE CDE S S S S +=+V V V V 且BDF CDF ACE CDES S S S ⨯=⨯V V V V ∴BDF ACE CDF CDE S S S S =⎧⎨=⎩V V V V （舍）或BDF CDE CDF ACES S S S =⎧⎨=⎩V V V V ∴21AB CD = ∴1:2AB CD = 附：无答案试卷一. 填空题1、 1a 、2a 、⋅⋅⋅、7a 是{1,2,3,,7}⋅⋅⋅的一个排列，12233471||||||||a a a a a a a a -+-+-+⋅⋅⋅+-的最大值为_________2、已知a 、b 为正整数，满足5374a b <<，当b 最小时，a b +=_________ 3、已知53x y z xy yz zx ++=⎧⎨++=⎩，x 、y 、z 均为实数，则z 的最大值为_________4、已知25370x x --=，求22(2)(1)1(1)(2)x x x x -+--=--__________ 5、交流会，两两相互送礼，校方准备礼物，增加n 个人，原有m 个人(17)m <，增加34 份礼物，则m =____________6、正ABC V 的内切圆半径为1，P 为圆上一点，则12BP CP +的最小值为_________二. 解答题7、（1）{1,2,3,,10}⋅⋅⋅，求其中任意两个元素乘积之和；（2）111{1,,,,}2310⋅⋅⋅，求其中任意偶数个元素乘积之和. 8、ABCD 为梯形，EP PQ QF ==，EF 不平行AB .（1）求证：BDF CDF ACE CDE S S S S ⨯=⨯V V V V ；（2）求:AB CD 的值.。
上海市七宝中学2015届高三上学期期中考试数学试题
）．
A.1个
B. 2个
C . 3个
D . 4个
三．解答题（本大题满分 74 分）本大题共有 5 题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规
定区域内写出必要的步骤 .
19.( 本题满分 10 分）
已知函数 f ( x)
a
2 2x
，
1
a
R．
判断函数 f (x) 的奇偶性，并说明理由；
20.( 本题满分 14 分）本题共 2 小题，第（ 1）小题 6 分，第（ 2）小题 8 分 .
）．
A. 充分非必要条件 B. 必要非充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也非必要条件
16. x1、x2 是方程 x2 (a 2)x ( a2 3a 5) 0 （ a 为实数）的二实根，则 x12 x12 的最大
值为………………………………………………………………………………（
）．
A. 20
七宝中学 2014 年高三年级第一学期期中数学试卷
2014,11 一 . 填空题（本大题满分 56 分）本大题共有 14 题，考生应在答题纸相应编号的空格内直接填 写结果，每个空格填对得 4 分，否则一律得零分 .
1. 已知集合 A
12
my
N,m N
，用列举法表示集合
A， A
____________ .
甲、乙两地相距 1000km ，货车从甲地匀速行驶到乙地，速度不得超过
80 km，已知货车每小
时的运输成本（单位：元）由可变成本和固定成本组成，可变成本是速度平方的
成本为 a 元．
1 倍，固定 4
（ 1）将全程运输成本 y （元）表示为速度 v (km / h) 的函数，并指出这个函数的定义域；
2015-2016学年上海市闵行区七宝中学高一(下)学期期末数学试卷 (解析版)
2015-2016学年上海市闵行区七宝中学高一第二学期期末数学试卷一、填空题1．方程cos x ＝sin π6的解为x ＝ ．2．设{a n }为等差数列，若a 1+a 5+a 9＝π，则a 2+a 8＝ ． 3．求值：sin[arccos(−23)]= ．4．函数y ＝arccos （sin x ），x ∈(−π3，2π3)的值域是 ．5．设数列{a n }的前n 项和S n ，若a 1＝﹣1，S n −12a n+1=0（n ∈N *），则{a n }的通项公式为 ．6．利用数学归纳法证明不等式“1+12+13+⋯+12n −1＞n2（n ≥2，n ∈N *）”的过程中，由“n ＝k ”变到“n ＝k +1”时，左边增加了 项．7．若f （x ）＝2sin x ﹣1在区间[a ，b ]（a ，b ∈R 且a ＜b ）上至少含有30个零点，则b ﹣a 的最小值为 ．8．设数列{a n }的通项公式为a n ={n ，1≤n ≤3(−12)n，n ＞3，则lim n→∞（a 1+a 2+…+a n ）＝ ． 9．已知数列{a n }中，其前n 项和为S n ，a n ={2n−1，n 为正奇数2n −1，n 为正偶数，则S 9＝ ．10．对于正项数列{a n }，定义H n =na 1+2a 2+3a 3+⋯+na n 为{a n }的“光阴”值，现知某数列的“光阴”值为H n =2n+2，则数列{a n }的通项公式为 ．11．△ABC 中，sin 2A ≤sin 2B +sin 2C ﹣sin B sin C ，则A 的取值范围为 ．12．关于x 的方程x 2﹣4 arctan （cos x ）+π•a 2＝0只有一个实数根，则实数a ＝ ． 13．等差数列{a n }前n 项和为S n ，已知（a 2﹣2）3+2013（a 2﹣2）＝sin2014π3，（a 2013﹣2）3+2013（a 2013﹣2）＝cos2015π6，则S 2014＝ ．14．数列{a n }的前n 项和为S n ，若数列{a n }的各项按如下规律排列：12，13，23，14，24，34，15，25，35，45⋯，1n，2n，…，n−1n，…有如下运算和结论：①a 24=38；②数列a 1，a 2+a 3，a 4+a 5+a 6，a 7+a 8+a 9+a 10，…是等比数列；③数列a 1，a 2+a 3，a 4+a 5+a 6，a 7+a 8+a 9+a 10，…的前n 项和为T n =n 2+n 4；④若存在正整数k ，使S k ＜10，S k +1≥10，则a k =57．其中正确的结论是 ．（将你认为正确的结论序号都填上） 二、选择题15．已知{a n }、{b n }都是公差不为0的等差数列，且lim n→∞anb n=2，S n ＝a 1+a 2+…+a n ，则lim n→∞2S nnb2n的值为（ ） A ．2B ．﹣1C ．1D ．不存在16．设{a n }是公比为q （0＜|q |＜1）的无穷等比数列，若{a n }的前四项之和等于第五项起以后所有项之和，则数列{a 2n ﹣1}是（ ） A ．公比为12的等比数列B ．公比为√22的等比数列C ．公比为√22或−√22的等比数列D ．公比为√24或1√24的等比数列17．函数y =sin(2x +φ)(0＜φ＜π2)图象的一条对称轴在(π6，π3)内，则满足此条件的一个φ值为（ ） A ．π12B ．π6C ．π3D ．5π618．若数列{a n }的前n 项和为S n ，则下列命题：（1）若数列{a n }是递增数列，则数列{S n }也是递增数列； （2）数列{S n }是递增数列的充要条件是数列{a n }的各项均为正数；（3）若{a n }是等差数列（公差d ≠0），则S 1•S 2…S k ＝0的充要条件是a 1•a 2…a k ＝0． （4）若{a n }是等比数列，则S 1•S 2…S k ＝0（k ≥2，k ∈N ）的充要条件是a n +a n +1＝0． 其中，正确命题的个数是（ ） A ．0个 B ．1个C ．2个D ．3个三、解答题19．已知函数f （x ）＝x 2+（2﹣n ）x ﹣2n 的图象与x 轴正半轴的交点为A （a n ，0），n ＝1，2，3，…．（1）求数列{a n }的通项公式；（2）令b n =3a n +(−1)n−1⋅λ⋅2a n (n 为正整数），问是否存在非零整数λ，使得对任意正整数n ，都有b n +1＞b n ？若存在，求出λ的值，若不存在，请说明理由． 20．已知函数f （x ）＝2√3sin x cos x +3sin 2x +cos 2x ﹣2，x ∈R ； （1）求函数f （x ）在（0，π）上的单调递增区间；（2）在△ABC 中，内角A 、B 、C 所对边的长分别是a ，b ，c ，若f （A ）＝2，C =π4．，c ＝2，求△ABC 的面积S △ABC 的值；21．已知函数f （x ）＝2sin （ωx ），其中常数ω＞0．（Ⅰ）令ω＝1，判断函数F(x)=f(x)+f(x +π2)的奇偶性，并说明理由．（Ⅱ） 令ω＝2，将函数y ＝f （x ）的图象向左平移π6个单位，再向上平移1个单位，得到函数y ＝g （x ）的图象．对任意a ∈R ，求y ＝g （x ）在区间[a ，a +10π]上的零点个数的所有可能．22．已知数列{a n }满足：a 1＝1，a n +1={0.5a n +n ，n 为正奇数a n −2n ，n 为正偶数，b n ＝a 2n ﹣2；（1）求a 2、a 3、a 4；（2）求证：数列{b n }为等比数列，并求其通项公式； （3）求和T n ＝a 2+a 4+…+a 2n ；23．已知{a n }，{b n }为两非零有理数列（即对任意的i ∈N *，a i ，b i 均为有理数），{d n }为一无理数列（即对任意的i ∈N *，d i 为无理数）．（1）已知b n ＝﹣2a n ，并且（a n +b n d n ﹣a n d n 2）（1+d n 2）＝0对任意的n ∈N *恒成立，试求{d n }的通项公式．（2）若{d n 3}为有理数列，试证明：对任意的n ∈N *，（a n +b n d n ﹣a n d n 2）（1+d n 2）＝1恒成立的充要条件为{a n =11+d n6b n =d n31+d n 6． （3）已知sin2θ=2425（0＜θ＜π2），d n =√tan(n ⋅π2+(−1)n θ)3，试计算b n ．2015-2016学年上海市闵行区七宝中学高一第二学期期末数学试卷参考答案一、填空题1．方程cos x ＝sin π6的解为x ＝ 2k π±π3（k ∈Z ） ．【分析】由诱导公式可得cos x ＝sinπ6=cosπ3=cos （−π3），由余弦函数的周期性可得：x ＝2k π±π3（k ∈z ）． 解：因为方程cos x ＝sinπ6=cosπ3=cos （−π3），所以x ＝2k π±π3（k ∈z ）， 故答案为：2k π±π3（k ∈z ）．2．设{a n }为等差数列，若a 1+a 5+a 9＝π，则a 2+a 8＝ 2π3．【分析】根据等差数列的性质即可求出． 解：∵a 1+a 5+a 9＝π＝3a 5， ∴a 5=π3，∴a 2+a 8＝2a 5=2π3，故答案为：2π33．求值：sin[arccos(−23)]= √53．【分析】利用反三角函数的定义、同角三角函数的基本关系求得sin[arccos （−23）]的值．解：由题意，sin[arccos （−23）]=√1−cos 2[arccos(−23)]=√53．故答案为：√53． 4．函数y ＝arccos （sin x ），x ∈(−π3，2π3)的值域是 [0，5π6) ．【分析】先将sin x 看作整体求出其取值范围，再利用反余弦函数的性质求解．解：当−π3＜x ＜2π3时，−√32＜sin x ≤1，由于反余弦函数是定义域[﹣1，1]上的减函数，且arccos （−√32）=5π6，arccos1＝0，所以值域为 [0，5π6)故答案为：[0，5π6)．5．设数列{a n }的前n 项和S n ，若a 1＝﹣1，S n −12a n+1=0（n ∈N *），则{a n }的通项公式为a n ={−1，n =1−2⋅3n−2，n ≥2．【分析】n ≥2时，a n ＝S n ﹣S n ﹣1，化为：a n +1＝3a n ．n ＝1时，﹣1＝a 1=12a 2，解得a 2＝﹣2．不满足上式．利用等比数列的通项公式即可得出． 解：n ≥2时，a n ＝S n ﹣S n ﹣1=12a n +1−12a n ，化为：a n +1＝3a n ． n ＝1时，﹣1＝a 1=12a 2，解得a 2＝﹣2．不满足上式．∴数列{a n }在n ≥2时成等比数列．∴n ≥2时，a n ＝﹣2×3n ﹣2．∴a n ={−1，n =1−2×3n−2，n ≥2．故答案为：a n ={−1，n =1−2×3n−2，n ≥2．6．利用数学归纳法证明不等式“1+12+13+⋯+12n −1＞n2（n ≥2，n ∈N *）”的过程中，由“n ＝k ”变到“n ＝k +1”时，左边增加了 2k 项． 【分析】，最后一项为12−1，n ＝k +1时，最后一项为12−1，由此可得由n ＝k 变到n ＝k +1时，左边增加的项数． 解：由题意，n ＝k 时，最后一项为12−1，n ＝k +1时，最后一项为12−1，∴由n ＝k 变到n ＝k +1时，左边增加了2k +1﹣（2k +1）+1＝2k ， 故答案为：2k ．7．若f （x ）＝2sin x ﹣1在区间[a ，b ]（a ，b ∈R 且a ＜b ）上至少含有30个零点，则b ﹣a 的最小值为86π3．【分析】再据函数的零点的定义求得函数f （x ）的零点，从而得出结论．解：根据f （x ）＝2sin x ﹣1＝0，即sin x =12，故x ＝2k π+π6，或x ＝2k π+5π6， ∵f （x ）＝2sin x ﹣1在区间[a ，b ]（a ，b ∈R 且a ＜b ）上至少含有30个零点， ∴不妨假设a =π6（此时，k ＝0），则此时b 的最小值为28π+5π6，（此时，k ＝14）， ∴b ﹣a 的最小值为28π+5π6−π6=86π3，故答案为：863π8．设数列{a n }的通项公式为a n ={n ，1≤n ≤3(−12)n，n ＞3，则lim n→∞（a 1+a 2+…+a n ）＝ 14524 ． 【分析】利用数列的通项公式，求解数列的和，然后求解数列的极限． 解：数列{a n }的通项公式为a n ={n ，1≤n ≤3(−12)n ，n ＞3， 则a 1+a 2+…+a n ＝1+2+3+116(1−(−12)n−3)1+12=6+124(1+(−12)n−3)，则lim n→∞（a 1+a 2+…+a n ）=lim n→∞[6+124(1+(−12)n−3)]=14524． 故答案为：14524．9．已知数列{a n }中，其前n 项和为S n ，a n ={2n−1，n 为正奇数2n −1，n 为正偶数，则S 9＝ 377 ．【分析】由数列的通项可先求出数列的前9项，然后结合等差数列与等比数列的求和公式可求解：∵a n ={2n−1(n 为正奇数)2n −1(n 为正偶数)，∴数列的前9项分别为20，3，22，7，24，11，26，15，28 S 9=(20+22+24+26+28)+（3+7+11+15）=1−451−4+36=377 故答案为37710．对于正项数列{a n }，定义H n =na 1+2a 2+3a 3+⋯+na n 为{a n }的“光阴”值，现知某数列的“光阴”值为H n =2n+2，则数列{a n }的通项公式为 a n =2n+12n．【分析】根据“光阴”值的定义，及H n=2n+2，可得a1+2a2+…+na n=n(n+2)2，再写一式，两式相减，即可得到结论．解：∵H n=na1+2a2+3a3+⋯+na n∴a1+2a2+…+na n=n H n∵H n=2n+2∴a1+2a2+…+na n=n(n+2)2①∴a1+2a2+…+（n﹣1）a n﹣1=(n−1)(n+1)2②①﹣②得na n=n(n+2)2−(n−1)(n+1)2=2n+12∴a n=2n+12n故答案为：a n=2n+12n11．△ABC中，sin2A≤sin2B+sin2C﹣sin B sin C，则A的取值范围为（0，60°]．【分析】利用正弦定理化简已知的不等式，再利用余弦定理表示出cos A，将得出的不等式变形后代入表示出的cos A中，得出cos A的范围，由A为三角形的内角，根据余弦函数的图象与性质即可求出A的取值范围．解：利用正弦定理化简sin2A≤sin2B+sin2C﹣sin B sin C得：a2≤b2+c2﹣bc，变形得：b2+c2﹣a2≥bc，∴cos A=b 2+c2−a22bc≥bc2bc=12，又A为三角形的内角，则A的取值范围是（0，60°]．故答案为：（0，60°]12．关于x的方程x2﹣4 arctan（cos x）+π•a2＝0只有一个实数根，则实数a＝±1．【分析】设f（x）＝x2﹣4arctan（cos x）+π•a2，则可判断出f（x）为偶函数，又f（x）只有一个零点，故只能是x＝0，将x＝0代入原方程解得a＝±1．解：设f（x）＝x2﹣4arctan（cos x）+π•a2，则f（﹣x）＝（﹣x）2﹣4arctan（cos（﹣x））+π•a2＝x2﹣4arctan（cos x）+π•a2＝f（x）∴f（x）为偶函数，其图象关于y轴对称，又依题意f （x ）只有一个零点，故此零点只能是x ＝0， 所以0﹣4arctan （cos0）+π•a 2＝0， ∴﹣4arctan1+π•a 2＝0， ∴﹣4×π4+π•a 2＝0， ∴a 2＝1，∴a ＝±1， 故答案为：±113．等差数列{a n }前n 项和为S n ，已知（a 2﹣2）3+2013（a 2﹣2）＝sin2014π3，（a 2013﹣2）3+2013（a 2013﹣2）＝cos2015π6，则S 2014＝ 4028 ．【分析】将两个等式相加，利用立方和公式将得到的等式因式分解，提取公因式得到a 2+a 2013的值，利用等差数列的性质及数列的前n 项和公式求出n 项和． 解：（a 2﹣2）3+2013（a 2﹣2）＝sin2014π3=√32，① （a 2013﹣2）3+2013（a 2013﹣2）＝cos 2015π6=−√32，② ①+②得，（a 2﹣2）3+2013（a 2﹣2）+（a 2013﹣2）3+2013（a 2013﹣2）＝0，即（a 2﹣2+a 2013﹣2）[（a 2﹣2）2﹣（a 2﹣2）（a 2013﹣2）+（a 2013﹣2）2]+2013（a 2﹣2+a 2013﹣2）＝0， ∴a 2﹣2+a 2013﹣2＝0， 即a 2+a 2013＝4， ∴S 2014=(a 1+a 2014)×20142=1007×（a 2+a 2013）＝4028， 故答案为：4028．14．数列{a n }的前n 项和为S n ，若数列{a n }的各项按如下规律排列：12，13，23，14，24，34，15，25，35，45⋯，1n，2n，…，n−1n，…有如下运算和结论：①a 24=38；②数列a 1，a 2+a 3，a 4+a 5+a 6，a 7+a 8+a 9+a 10，…是等比数列；③数列a 1，a 2+a 3，a 4+a 5+a 6，a 7+a 8+a 9+a 10，…的前n 项和为T n =n 2+n 4；④若存在正整数k ，使S k ＜10，S k +1≥10，则a k =57．其中正确的结论是 ①③④ ．（将你认为正确的结论序号都填上）【分析】①前24项构成的数列是：12，13，23，14，24，34，15，25，35，45，16，26，…，18，28，38，故a 24=38；②数列a 1，a 2+a 3，a 4+a 5+a 6，a 7+a 8+a 9+a 10，…是12，1，64，2，⋯n−12，由等差数列定义知：数列a 1，a 2+a 3，a 4+a 5+a 6，a 7+a 8+a 9+a 10，…是等差数列；③数列a 1，a 2+a 3，a 4+a 5+a 6，a 7+a 8+a 9+a 10，…是等差数列，所以由等差数列前n 项和公式可知：Tn =n 2+n 4；④由③知S k ＜10，S k +1≥10，即：n 2+n 4＜10，(n+1)2+(n+1)4≥10，故a k =57．解：①前24项构成的数列是：12，13，23，14，24，34，15，25，35，45，16，26，…，18，28，38，∴a 24=38，故①正确；②数列a 1，a 2+a 3，a 4+a 5+a 6，a 7+a 8+a 9+a 10，…是12，1，64，2，⋯n−12，由等差数列定义n−12−n−22=12（常数）所以数列a 1，a 2+a 3，a 4+a 5+a 6，a 7+a 8+a 9+a 10，…是等差数列，故②不正确． ③∵数列a 1，a 2+a 3，a 4+a 5+a 6，a 7+a 8+a 9+a 10，…是等差数列，所以由等差数列前n 项和公式可知：Tn =n 2+n 4，故③正确；④由③知S k ＜10，S k +1≥10， 即：n 2+n 4＜10，(n+1)2+(n+1)4≥10，∴k ＝7，a k =57．故④正确．故答案为：①③④． 二、选择题15．已知{a n }、{b n }都是公差不为0的等差数列，且lim n→∞anb n=2，S n ＝a 1+a 2+…+a n ，则lim n→∞2S nnb2n的值为（ ） A ．2B ．﹣1C ．1D ．不存在【分析】首先{a n }和{b n }都是公差不为零的等差数列，可根据等差数列的性质列出等量关系式代入lim n→∞anb n=2，得到关系式，再求解．解：因为{a n }和{b n }都是公差不为零的等差数列，所以设b n ＝b 1+（n ﹣1）d 1a n ＝a 1+（n ﹣1）d 2 故 lim n→∞an b n =lim n→∞a 1+(n−1)d1b 1+(n−1)d 2=2，可得d 1＝2d 2 又因为a 1+a 2+…+a n ＝na 1+n(n−1)d 12和b 2n ＝b 1+（2n ﹣1）d 1代入 则lim n→∞2S n nb 2n =lim n→∞（2×na 1+n(n−1)d 12nb 1+n(2n−1)d2）=d 12d 2=1． 故选：C ．16．设{a n }是公比为q （0＜|q |＜1）的无穷等比数列，若{a n }的前四项之和等于第五项起以后所有项之和，则数列{a 2n ﹣1}是（ ） A ．公比为12的等比数列B ．公比为√22的等比数列C ．公比为√22或−√22的等比数列D ．公比为√24或24的等比数列【分析】根据题意，分析可得S n ＝2S 4，结合等比数列的前n 项和公式可得a 11−q=2a 1(1−q 4)1−q，解可得q ＝±√24，又由数列{a 2n ﹣1}为{a n }的奇数项组成的数列，结合等比数列的性质分析可得答案．解：根据题意，若{a n }的前四项之和等于第五项起以后所有项之和， 则S n ＝2S 4，又由{a n }是公比为q （0＜|q |＜1）的无穷等比数列，则a 11−q=2a 1(1−q 4)1−q，变形可得q 4=12，则q ＝±√24，数列{a 2n ﹣1}为{a n }的奇数项组成的数列，则数列{a 2n ﹣1}为公比为q 2=√22的等比数列；故选：B ．17．函数y =sin(2x +φ)(0＜φ＜π2)图象的一条对称轴在(π6，π3)内，则满足此条件的一个φ值为（ ） A ．π12B ．π6C ．π3D ．5π6【分析】求出函数的对称轴方程，使得满足在(π6，π3)内，解不等式即可求出满足此条件的一个φ值．解：函数y =sin(2x +φ)(0＜φ＜π2)图象的对称轴方程为：x =kπ2+π4−φ2k ∈Z ， 函数y =sin(2x +φ)(0＜φ＜π2)图象的一条对称轴在(π6，π3)内， 所以π6＜kπ2+π4−φ2＜π3当 k ＝0 时π12＞φ2＞−π12，φ=π12故选：A ．18．若数列{a n }的前n 项和为S n ，则下列命题：（1）若数列{a n }是递增数列，则数列{S n }也是递增数列； （2）数列{S n }是递增数列的充要条件是数列{a n }的各项均为正数；（3）若{a n }是等差数列（公差d ≠0），则S 1•S 2…S k ＝0的充要条件是a 1•a 2…a k ＝0． （4）若{a n }是等比数列，则S 1•S 2…S k ＝0（k ≥2，k ∈N ）的充要条件是a n +a n +1＝0． 其中，正确命题的个数是（ ） A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个【分析】利用等差数列、等比数列的定义和性质，数列的前n 项和的意义，通过举反例可得（1）、（2）、（3）不正确．经过检验，只有（4）正确，从而得出结论． 解：数列{a n }的前n 项和为S n ，故 S n ＝a 1+a 2+a 3+…+a n ，若数列{a n }是递增数列，则数列{S n }不一定是递增数列，如当a n ＜0 时，数列{S n }是递减数列，故（1）不正确．由数列{S n }是递增数列，不能推出数列{a n }的各项均为正数，如数列：0，1，2，3，…， 满足{S n }是递增数列，但不满足数列{a n }的各项均为正数，故（2）不正确．若{a n }是等差数列（公差d ≠0），则由S 1•S 2…S k ＝0不能推出a 1•a 2…a k ＝0，例如数列：﹣3，﹣1，1，3，满足S 4＝0，但 a 1•a 2•a 3•a 4≠0，故（3）不正确．若{a n }是等比数列，则由S 1•S 2…S k ＝0（k ≥2，k ∈N ）可得数列的{a n }公比为﹣1，故有a n +a n +1＝0．由a n +a n +1＝0可得数列的{a n }公比为﹣1，可得S 1•S 2…S k ＝0（k ≥2，k ∈N ），故（4）正确． 故选：B ． 三、解答题19．已知函数f （x ）＝x 2+（2﹣n ）x ﹣2n 的图象与x 轴正半轴的交点为A （a n ，0），n ＝1，2，3，…．（1）求数列{a n }的通项公式；（2）令b n=3a n+(−1)n−1⋅λ⋅2a n(n为正整数），问是否存在非零整数λ，使得对任意正整数n，都有b n+1＞b n？若存在，求出λ的值，若不存在，请说明理由．【分析】（1）函数f（x）＝x2+（2﹣n）x﹣2n的图象与x轴正半轴的交点横坐标只需令y ＝0求出x即为数列{a n}的通项公式；（2）若存在λ≠0，满足b n+1＞b n恒成立，然后讨论n的奇偶将λ进行分离，利用恒成立的方法求出λ的范围即可．解：（1）设f（x）＝0，x2+（2﹣n）x﹣2n＝0得x1＝﹣2，x2＝n．所以a n＝n（2）b n＝3n+（﹣1）n﹣1•λ•2n，若存在λ≠0，满足b n+1＞b n恒成立即：3n+1+（﹣1）n•λ•2n+1＞3n+（﹣1）n﹣1•λ•2n，(32)n−1＞(−1)n−1⋅λ恒成立当n为奇数时，(32)n−1＞λ⇒λ＜1当n为偶数时，(32)n−1＞−λ⇒λ＞−32所以−32＜λ＜1，故：λ＝﹣120．已知函数f（x）＝2√3sin x cos x+3sin2x+cos2x﹣2，x∈R；（1）求函数f（x）在（0，π）上的单调递增区间；（2）在△ABC中，内角A、B、C所对边的长分别是a，b，c，若f（A）＝2，C=π4．，c＝2，求△ABC的面积S△ABC的值；【分析】（1）用二倍角的正弦和余弦公式化简f（x）为f（x）＝2sin（2x−π6），然后根据正弦函数的递增区间[−π2+2kπ，π2+2kπ]（k∈Z），可得f（x）的递增区间[−π6+kπ，π3+kπ]，k∈Z，所得结果与（0，π）取交集即可得到结果；（2）由f（A）＝2，可得A=π3，则可得B=5π12，由正弦定理可得a边，再由面积公式S△ABC=12acsinB可求得．解：（1）因为f（x）＝2√3sin x cos x+3sin2x+cos2x﹣2 =√3sin2x+2sin2x﹣1=√3sin2x﹣cos2x＝2sin （2x −π6），由−π2+2k π≤2x −π6≤π2+2k π，k ∈Z ， 得−π6+k π≤x ≤π3+k π，k ∈Z ， 又x ∈（0，π），所以0＜x ≤π3或5π6≤x ＜π，所以函数f （x ）在（0，π）上的递增区间为：（0，π3]，[5π6，π），（2）因为f （A ）＝2，∴2sin （2A −π6）＝2，∴sin （2A −π6）＝1， ∴2A −π6=π2+2k π，k ∈Z ，∴A =π3+k π，k ∈Z ， ∵0＜A ＜π，∴A =π3．∴B =π12，在三角形ABC 中由正弦定理得a sinA =csinC，∴a =csinA sinC =2×√3222=√6， S △ABC =12ac sin B =12×√6×2×sin5π12=3+√32． 21．已知函数f （x ）＝2sin （ωx ），其中常数ω＞0．（Ⅰ）令ω＝1，判断函数F(x)=f(x)+f(x +π2)的奇偶性，并说明理由．（Ⅱ） 令ω＝2，将函数y ＝f （x ）的图象向左平移π6个单位，再向上平移1个单位，得到函数y ＝g （x ）的图象．对任意a ∈R ，求y ＝g （x ）在区间[a ，a +10π]上的零点个数的所有可能．【分析】（1）特值法：ω＝1时，写出f （x ）、F （x ），求出F （π4）、F （−π4），结合函数奇偶性的定义可作出正确判断；（2）根据图象平移变换求出g （x ），令g （x ）＝0可得g （x ）可能的零点，而[a ，a +10π]恰含10个周期，分a 是零点，a 不是零点两种情况讨论，结合图象可得g （x ）在[a ，a +10π]上零点个数的所有可能值； 解：（1）f （x ）＝2sin x ，F （x ）＝f （x ）+f （x +π2）＝2sin x +2sin （x +π2）＝2（sin x +cos x ）， F （π4）＝2√2，F （−π4）＝0，F （−π4）≠F （π4），F （−π4）≠﹣F （π4），所以，F （x ）既不是奇函数，也不是偶函数．（2）f （x ）＝2sin2x ，将y ＝f （x ）的图象向左平移π6个单位，再向上平移1个单位后得到y ＝2sin2（x +π6）+1的图象，所以g （x ）＝2sin2（x +π6）+1． 令g （x ）＝0，得x ＝k π+512π或x ＝k π+34π（k ∈z ）， 因为[a ，a +10π]恰含10个周期，所以，当a 是零点时，在[a ，a +10π]上零点个数21， 当a 不是零点时，a +k π（k ∈z ）也都不是零点，区间[a +k π，a +（k +1）π]上恰有两个零点，故在[a ，a +10π]上有20个零点．综上，y ＝g （x ）在[a ，a +10π]上零点个数的所有可能值为21或20． 22．已知数列{a n }满足：a 1＝1，a n +1={0.5a n +n ，n 为正奇数a n −2n ，n 为正偶数，b n ＝a 2n ﹣2；（1）求a 2、a 3、a 4；（2）求证：数列{b n }为等比数列，并求其通项公式； （3）求和T n ＝a 2+a 4+…+a 2n ；【分析】（1）由数列的递推式，可令n ＝1，n ＝2，n ＝3计算可得所求值；（2）由数列的递推式，变形整理，结合等比数列的定义和通项公式，即可得到所求； （3）求得a 2n ＝2﹣（12）n ，由数列的分组求和，结合等比数列的求和公式，计算可得所求和．解：（1）a 1＝1，a n +1={0.5a n +n ，n 为正奇数a n −2n ，n 为正偶数，可得a 2＝1+12a 1＝1+12=32； a 3＝a 2﹣4=−52，a 4＝3+12a 3=74；（2）证明：b n ＝a 2n ﹣2=12a 2n ﹣1+2n ﹣1﹣2=12（a 2n ﹣2﹣4n +4）+2n ﹣1﹣2 =12（a 2n ﹣2﹣2）=12b n ﹣1，可得数列{b n }为公比为12，首项为−12等比数列，即b n ＝﹣（12）n ；（3）由（2）可得a 2n ＝2﹣（12）n ，T n ＝a 2+a 4+…+a 2n ＝2n ﹣（12+14+⋯+12n）＝2n −12(1−12n )1−12=2n ﹣1+（12）n ．23．已知{a n }，{b n }为两非零有理数列（即对任意的i ∈N *，a i ，b i 均为有理数），{d n }为一无理数列（即对任意的i ∈N *，d i 为无理数）．（1）已知b n ＝﹣2a n ，并且（a n +b n d n ﹣a n d n 2）（1+d n 2）＝0对任意的n ∈N *恒成立，试求{d n }的通项公式．（2）若{d n 3}为有理数列，试证明：对任意的n ∈N *，（a n +b n d n ﹣a n d n 2）（1+d n 2）＝1恒成立的充要条件为{a n =11+d n6b n =d n 31+d n 6．（3）已知sin2θ=2425（0＜θ＜π2），d n =√tan(n ⋅π2+(−1)n θ)3，试计算b n ．【分析】（1）由d n 2+1≠0，可得a n d n 2−b n d n −a n =0，由a n ≠0，可得d n 2+2d n −1=0，解出即可得出．（2）由(a n +b n d n −a n d n 2)(1+d n 2)=1，可得a n +b n d n 3+d n (b n −a n d n 3)=1，利用{d n 3}为有理数列，即可证明．（3）由体积可得25tan θ＝12+12tan 2θ．分类讨论，利用{a n }，{b n }，{d n 3}为有理数列，{d n }为无理数列，即可得出．解：（1）∵d n 2+1≠0，∴a n +b n d n −a n d n 2=0，即a n d n 2−b n d n −a n =0， ∴a n d n 2+2a n d n −a n =0，∵a n ≠0，∴d n 2+2d n −1=0，∴d n =−1±√2．（2）∵(a n +b n d n −a n d n 2)(1+d n 2)=1，∴a n d n 2+a n +b n d n 3+b n d n −a n d n 4−a n d n 2=1，∴a n +b n d n 3+d n (b n −a n d n 3)=1，∵{a n }，{b n }，{d n 3}为有理数列，{d n }为无理数列， ∴{a n +b n d n 3=1b n −a n d n 3=0，∴{a n =11+d n 6b n =d n31+d n 6，以上每一步可逆． （3）sin2θ=2tanθ1+tan 2θ=2425，∴25tan θ＝12+12tan 2θ．∵d n =√tan(n ⋅π2+(−1)n θ)3，∴d n 3=tan(n ⋅π2+(−1)n θ)， 当n ＝2k （k ∈N *）时，∴d n 3=tan(2k ⋅π2+θ)=tanθ当n ＝2k ﹣1（k ∈N *）时，∴d n 3=tan((2k −1)⋅π2−θ)=cotθ，∴{d n 3}为有理数列，∵(a n +b n d n −a n d n 2)(1+d n 2)=1，∴a n d n 2+a n +b n d n 3+b n d n −a n d n 4−a n d n 2=1， ∴a n +b n d n 3+d n (b n −a n d n 3)=1，∵{a n }，{b n }，{d n 3}为有理数列，{d n }为无理数列，∴{a n +b n d n 3=1b n −a n d n 3=0，∴b n =d n 31+d n6， ∴b n =d n31+d n6=tan(n⋅π2+(−1)nθ)1+tan 2(n⋅π2+(−1)nθ)=12sin(n ⋅π+2(−1)n θ)当n ＝2k （k ∈N *）时，∴b n =12sin(2k ⋅π+2θ)=12sin2θ=1225当n ＝2k ﹣1（k ∈N *）时，∴b n =12sin((2k −1)⋅π−2θ)=12sin2θ=1225，∴b n =1225．。
【自招】2004-2015年上海自主招生数学试题
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2011 年华师二附自主招生数学试题及答案
一、 填空题（每题 4 分） 1. 已知关于 x 的多项式 ax7 bx5 x2 x 12 （ a 、 b 为常数），且当 x 2 时，该多项 式的值为 8 ，则当 x 2 时，该多项式的值为__________．
2. 已知关于 x 的方程 x2 a 2 x a 1 0 的两实根 x1 、 x2 满足 x12 x22 4 ，则实
15. 某养鱼户为了估计鱼塘内鱼的条数和重量，先网出 100 条鱼，做上标记后全部放回
鱼塘，过些时候捕捞出 90 条鱼，发现其中有 4 条鱼带有标记，估计该鱼塘内养鱼
约有_________条．
16. 如图，四边形 ABCD 中， ADC 和 ABC 都是直角，
D
DE 垂直于 AB ， AD 边与 CD 边长度相等．已知四边
C 形 ABCD 的 面 积 为 16 ， 那 么 线 段 DE 的 长 度 是
_________． A
17. 在 ABC 中， D 为 BC 的中点， E 为 AD 的中点，如
果延长 BE 交 AC 于 F ，那么 AF : FC ________．
E
B
第 16 题
18. 如图， ABC 中，已知 AB AC ， DEF 是 ABC 的内接正三角形， BDF ，
圆括号内），一律得零分．
1
1.
计算
3
4
3
9 2
32
1 9
2
，得（）
A． 11 9
B． 1
C． 5 9
D． 1 9
2. 如果 a b ，那么下列结论正确的是（）
2015年七宝中学数学自招试卷及答案
222015年七宝中学自招试卷【答案】2 ,所以最小值为点为P ,求PCA B【答案】【解析】如图，延长 BC ，AF 交于G ，Q 四边形ABCD 是正方形,AB AD CD BC ， BAE D 90，Q E 、F 分别为 AD 、CD 的中点,AD ABAE 1AD ，DF21CD ， 2AE DF ,在 VADF 与 VBAE 中 BAEAE DFD ，VADF VBAE ， DAF ABE ，Q ABE AEB 90，DAFAEB 90APE90 Q BPGAPEBPG 90 在 VADFAFD GFC与VCGF 中DCG D 90，VADF VCGF ， CG AD ， CGBC ，CF DFPC 1BG 6，1、已知:2是X 2ax 2b 0的一个根，求2b 的最小值【解析】2是χ2ax 2b0的一个根,4 2a 2bb 2 a 2b 2 b 2 2b 2 2b 2 4b 42、已知正方形 ABCD 的边长为6，E 为AD 的中点,F 为DC 的中点，AF ， BE 的交【解析】令a 1 1 , a 2 1 , a 3 1 , a 4 1 是1 ,可得最小值为 2015 4、已知 :X 为不大于X 的最大整数，在1,2,3, ,2015 中，有个数满足X-2 < 9【答案】 40【解析】Q X .χ $ 9且 X 在 1,2,3,,2015，X 9,当 9 X 16 时， X 3 ,J 2 9 ,则 X 18（舍）；当 16 X 25 时， X 4 , ,χ 216 ,则 X 25（舍）;当25X 36 时，∖ X 5， ' X25 ,则 X 34 ；当 36 X 49 时， 、、X 6 ,X 236 ,则 X 45 ;当 49 X 64时，.X 7，. X 49 ,贝U X 58,……在后面n2X n 1 2.2015 中，每组都有一个数满足题意，40个数满足X $ 92Q 4419362025 452, 共有44 5 1 5、已知 2 2X y1 ,求 ：.X 22X 1 4y 24y 1-I Xy 2χ y 2的值【答案】3a 2015a 1的最小值。
上海市七宝中学2015-2016学年高一(上)第一次月考数学试卷(解析版)
2015-2016学年上海市七宝中学高一（上）第一次月考数学试卷一.填空题1．集合A={x|x2﹣x﹣2=0，x∈R}，B={x|1≤x≤3}，则A∩B=．2．已知集合A={x|﹣2≤x≤5}，B={x|m+1≤x≤2m﹣1}，若B⊆A，则实数m的取值范围是．3．命题“若实数a，b满足a+b＜7，则a=2且b=3”的否命题是．4．“|x|＞|y|”是“x＞y”的条件．5．不等式≥1的解集是．6．已知不等式ax2﹣5x+b＞0的解集是{x|﹣3＜x＜﹣2}，则不等式bx2﹣5x+a＞0的解是．7．不等式（1+x）（1﹣|x|）＞0的解为．8．设集合A={（x，y）|y=1﹣3x}，B={（x，y）|y=（1﹣2m2）x+5}，其中x，y，m∈R，若A∩B=∅，则实数m的取值范围是．9．已知﹣1＜a＜b＜2，则2a﹣b的范围是．10．已知集合A中有10个元素，集合B中有6个元素，全集U中有18个元素，且有A∩B≠∅，设集合∁U（A∪B）中有x个元素，则x的取值范围是．11．对于任意的，不等式t2+mt＞2m+4恒成立，则实数t的取值范围是．12．已知非空集合S⊆{1，2，3，4，5，6}满足：若a∈S，则必有7﹣a∈S，问这样的集合S有个；请将该问题推广到一般情况：．二.选择题13．设A={x|x为合数}，B={x|x为质数}，N表示自然数集，若E满足A∪B∪E=N，则这样的集合E（）A．只有一个 B．只有两个 C．至多3个 D．有无数个14．定义集合运算：A⊙B={z︳z=xy（x+y），x∈A，y∈B}，设集合A={0，1}，B={2，3}，则集合A⊙B的所有元素之和为（）A．0 B．6 C．12 D．1815．四个条件：b＞0＞a；0＞a＞b；a＞0＞b；a＞b＞0中，能使成立的充分条件的个数是（）A．1 B．2 C．3 D．416．设a、b、c是互不相等的正数，则下列不等式中不恒成立的是（）A．|a﹣b|≤|a﹣c|+|b﹣c| B．C．D．三.解答题（8+10+10+12+12=52分）17．已知a＞b＞c，用比较法证明：a2b+b2c+c2a＞ab2+bc2+ca2．18．已知集合A={x|x2﹣2x﹣3＜0，x∈R}，B={x|ax2﹣x+3＜0，x∈R}；（1）当a=2时，求A∩B；（2）若A∩B=B，求实数a的取值范围．19．已知命题α：|a﹣1|＜2，β：方程x2+（a+2）x+1=0没有正根，求实数a的取值范围，可得命题α，β有且只有一个是真命题．20．（1）已知x，y∈R+，求的最大值；（2）求满足2+≥k对a，b∈R+有解的实数k的最大值，并说明理由．21．已知数集A={a1，a2，…，a n}（1≤a1＜a2＜…a n，n≥2）具有性质P；对任意的i，j（1≤i≤j≤n），a i a j与两数中至少有一个属于A．（1）分别判断数集{1，3，4}与{1，2，3，6}是否具有性质P，并说明理由；（2）证明：a1=1，且；（3）当n=5时，若a2=2，求集合A．2015-2016学年上海市七宝中学高一（上）第一次月考数学试卷参考答案与试题解析一.填空题1．集合A={x|x2﹣x﹣2=0，x∈R}，B={x|1≤x≤3}，则A∩B={2}．【考点】交集及其运算．【专题】计算题．【分析】先求出集合B，再根据两个集合的交集的意义求解即可．【解答】解：A={x|x2﹣x﹣2=0，x∈R}={﹣1，2}，因为B={x|1≤x≤3}，∴A∩B={2}；故答案为{2}；【点评】本题属于以一元二次方程为依托，求集合的交集的基础题，也是高考常会考的题型．2．已知集合A={x|﹣2≤x≤5}，B={x|m+1≤x≤2m﹣1}，若B⊆A，则实数m的取值范围是（﹣∞，3]．【考点】集合的包含关系判断及应用．【专题】计算题；集合．【分析】根据B⊆A可分B=∅，和B≠∅两种情况：B=∅时，m+1＞2m﹣1；B≠∅时，，这样便可得出实数m的取值范围．【解答】解：①若B=∅，则m+1＞2m﹣1；∴m＜2；②若B≠∅，则m应满足：，解得2≤m≤3；综上得m≤3；∴实数m的取值范围是（﹣∞，3]．故答案为：（﹣∞，3]．【点评】考查子集的概念，描述法表示集合，注意不要漏了B=∅的情况．3．命题“若实数a，b满足a+b＜7，则a=2且b=3”的否命题是若实数a，b满足a+b≥7，则a≠2或b≠3．【考点】四种命题．【专题】规律型；对应思想；数学模型法；简易逻辑．【分析】根据四种命题的定义，结合原命题，可得其否命题．【解答】解：命题“若实数a，b满足a+b＜7，则a=2且b=3”的否命题是“若实数a，b满足a+b≥7，则a≠2或b≠3”，故答案为：若实数a，b满足a+b≥7，则a≠2或b≠3【点评】本题考查的知识点是四种命题，正确理解四种命题的定义，是解答的关键．4．“|x|＞|y|”是“x＞y”的既非充分也非必要条件．【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【专题】转化思想；数学模型法；简易逻辑．【分析】由|x|＞|y|，化为，或．即可判断出结论．【解答】解：由|x|＞|y|，化为，或．∴“|x|＞|y|”是“x＞y”的既非充分也非必要条件．故答案为：既非充分也非必要．【点评】本题考查了不等式的解法、充要条件的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．5．不等式≥1的解集是{x|x＜﹣3或x≥4}．【考点】其他不等式的解法．【专题】不等式的解法及应用．【分析】移项通分可化不等式为于，解不等式组可得．【解答】解：不等式≥1可化为﹣1≥0，整理可得≥0，等价于，解得x＜﹣3或x≥4，∴不等式≥1的解集为{x|x＜﹣3或x≥4}故答案为：{x|x＜﹣3或x≥4}【点评】本题考查分式不等式的解集，化为不等式组是解决问题的关键，属基础题．6．已知不等式ax2﹣5x+b＞0的解集是{x|﹣3＜x＜﹣2}，则不等式bx2﹣5x+a＞0的解是．【考点】一元二次不等式的解法．【专题】计算题；转化思想；综合法；不等式的解法及应用．【分析】根据所给的一元二次不等式的解集，写出对应的一元二次方程的解，根据根与系数的关系得到不等式的系数的值，解出一元二次不等式得到解集．【解答】解：∵不等式ax2﹣5x+b＞0的解集是{x|﹣3＜x＜﹣2}，∴ax2﹣5x+b=0的解是x=﹣3，x=﹣2∴﹣3+（﹣2）=，（﹣3）•（﹣2）=，∴a=﹣1，b=﹣6，不等式bx2﹣5x+a＞0，即﹣6x2﹣5x﹣1＞0，∴6x2+5x+1＜0，∴（2x+1）（3x+1）＜0，解得﹣＜x＜﹣，∴不等式的解集是（﹣，﹣），故答案为：（﹣，﹣）．【点评】本题考查根与系数的关系及一元二次方程和一元二次不等式的关系，本题解题的关键是根据所给的不等式的解集得到对应的方程的解，根据根与系数的关系得到结果．7．不等式（1+x）（1﹣|x|）＞0的解为（﹣∞，﹣1）∪（﹣1，1）．【考点】其他不等式的解法．【专题】计算题；分类讨论．【分析】分x大于等于0和x小于0两种情况，根据绝对值的代数意义化简原不等式，得到（1+x）（1﹣x）大于0或（1+x）（1+x）大于0，求出相应的两解集的并集，即为原不等式的解集．【解答】解：当x≥0时，|x|=x，原不等式变形为：（1+x）（1﹣x）＞0，可化为或，解得：﹣1＜x＜1，不等式的解集为[0，1）；当x＜0时，|x|=﹣x，原不等式变形为：（1+x）（1+x）＞0，解得x≠﹣1，不等式的解集为（﹣∞，﹣1）∪（﹣1，+∞），综上，原不等式的解集为（﹣∞，﹣1）∪（﹣1，1）．故答案为：（﹣∞，﹣1）∪（﹣1，1）【点评】此题考查了其他不等式的解法，利用了转化及分类讨论的思想，是高考中常考的题型．8．设集合A={（x，y）|y=1﹣3x}，B={（x，y）|y=（1﹣2m2）x+5}，其中x，y，m∈R，若A∩B=∅，则实数m的取值范围是．【考点】交集及其运算．【专题】计算题；集合思想；综合法；集合．【分析】根据A∩B=∅，直线y=1﹣3x与直线y=（1﹣2m2）x+5平行，即可得到结论．【解答】解：集合A={（x，y）|y=1﹣3x}，B={（x，y）|y=（1﹣2m2）x+5}，其中x，y，m∈R，A∩B=∅，∴直线y=1﹣3x与直线y=（1﹣2m2）x+5平行，∴1﹣2m2=﹣3，解得m=±，故答案为：±【点评】本题主要集合的基本运算，直线y=1﹣3x与直线y=（1﹣2m2）x+5平行是解决本题的关键，比较基础9．已知﹣1＜a＜b＜2，则2a﹣b的范围是（﹣4，2）．【考点】不等式的基本性质．【专题】转化思想；判别式法；不等式．【分析】分别求出﹣4＜2a﹣b＜5和2a﹣b＜2，从而求出2a﹣b的范围即可．【解答】解：∵﹣1＜a＜b＜2，∴﹣1＜a＜2，﹣1＜b＜2，a﹣b＜0，∴﹣2＜2a＜4，﹣2＜﹣b＜1，∴﹣4＜2a﹣b＜5①，而a＜2，a﹣b＜0，则2a﹣b＜2②，综合①②得2a﹣b的范围是（﹣4，2），故答案为：（﹣4，2）．【点评】本题考查了不等式的性质问题，是一道基础题．10．已知集合A中有10个元素，集合B中有6个元素，全集U中有18个元素，且有A∩B≠∅，设集合∁U（A∪B）中有x个元素，则x的取值范围是3≤x≤8且x为整数．【考点】交、并、补集的混合运算．【专题】计算题．【分析】由集合B中有6个元素，考虑当A与B两集合的交集最少时，仅有一个元素时，得到两集合的并集有15个元素，根据全集有18个元素，得到两集合并集的补集有3个元素；当两集合的交集最多时，有6个元素时，两集合的并集有10个元素，得到两集合并集的补集有8个元素，所以得到两集合并集中元素x的取值范围．【解答】解：因为当集合A∩B中仅有一个元素时，集合∁U（A∪B）中有3个元素，当A∩B中有6个元素时，∁U（A∪B）中有8个元素，则得到3≤x≤8且x为整数．故答案为：3≤x≤8且x为整数【点评】此题考查学生掌握集合元素的互异性，掌握两集合交集及并集的意义，考查了推理的能力，是一道综合题．11．对于任意的，不等式t2+mt＞2m+4恒成立，则实数t的取值范围是（﹣∞，﹣5）∪（2，+∞）．【考点】函数恒成立问题．【专题】函数思想；构造法；不等式的解法及应用．【分析】由题意可得m（t﹣2）+t2﹣4＞0，构造函数f（m）=m（t﹣2）+t2﹣4，m∈[，3]，由单调性可得f（）＞0，且f（3）＞0，由二次不等式的解法即可得到所求范围．【解答】解：对于任意的，不等式t2+mt＞2m+4恒成立，即为m（t﹣2）+t2﹣4＞0，构造函数f（m）=m（t﹣2）+t2﹣4，m∈[，3]，即有f（）＞0，且f（3）＞0，即为（t﹣2）+t2﹣4＞0，且3（t﹣2）+t2﹣4＞0，即有t＞2或t＜﹣且t＞2或t＜﹣5，解得t＞2或t＜﹣5．故答案为：（﹣∞，﹣5）∪（2，+∞）．【点评】本题考查不等式的恒成立问题的解法，注意构造函数运用单调性解决，考查运算能力，属于中档题．12．已知非空集合S⊆{1，2，3，4，5，6}满足：若a∈S，则必有7﹣a∈S，问这样的集合S有7个；请将该问题推广到一般情况：已知非空集合A⊆{1，2，…，n}满足：若a∈A，则必有n+1﹣a∈A；当n为偶数时，这样的集合A有个；当n为奇数时，这样的集合A有个．【考点】类比推理．【专题】综合题；集合思想；综合法；推理和证明．【分析】若a∈S，则必有7﹣a∈S，有1必有6，有2必有5，有3必有4，然后利用列举法列出所求可能即可；针对n是否为奇数和偶数进行讨论，分为奇数和偶数，然后，根据集合之间的关系进行求解即可．【解答】解：∵非空集合S⊆{1，2，3，4，5，6}，且若a∈S，则必有7﹣a∈S，那么满足上述条件的集合S可能为：{1，6}，{2，5}，{3，4}，{1，6，2，5}，{1，6，3，4}，{2，5，3，4}，{1，2，3，4，5，6}，共7个；若n为偶数，则集合{1，2，3，…，n}的元素个数为奇数个，因为a∈A，则n+1﹣a∈A，所以从集合{1，2，3，…，n}中取出两数，使得其和为n+1，这样的数共有对，所以此时集合M的个数有个，若n为奇数，则单独取出中间的那个数，所以此时集合M的个数为个．故答案为：7；已知非空集合A⊆{1，2，…，n}满足：若a∈A，则必有n+1﹣a∈A；当n为偶数时，这样的集合A有个；当n为奇数时，这样的集合A有个【点评】本题主要考查了子集的定义，以及集合的限制条件下求满足条件的集合，考查集合的元素特征，集合与集合之间的关系，元素与集合的关系等知识，属于中档题．二.选择题13．设A={x|x为合数}，B={x|x为质数}，N表示自然数集，若E满足A∪B∪E=N，则这样的集合E（）A．只有一个 B．只有两个 C．至多3个 D．有无数个【考点】并集及其运算．【专题】计算题；转化思想；综合法；集合．【分析】由题意E中的元素一定有0，1，并且还可以有其它自然数，由此能求出结果．【解答】解：∵设A={x|x为合数}，B={x|x为质数}，N表示自然数集，∴A∪B中只比N中少两个元素：0和1，∵E满足A∪B∪E=N，∴E中的元素一定有0，1，并且还可以有其它自然数，∴这样的集合E有无数个．故选：D．【点评】本题考查满足条件的集合个数的判断，是基础题，解题时要熟练掌握并集的性质．14．定义集合运算：A⊙B={z︳z=xy（x+y），x∈A，y∈B}，设集合A={0，1}，B={2，3}，则集合A⊙B的所有元素之和为（）A．0 B．6 C．12 D．18【考点】进行简单的合情推理．【分析】根据定义的集合运算：A⊙B={z︳z=xy（x+y），x∈A，y∈B}，将集合A={0，1}，B={2，3}的元素代入求出集合A⊙B后，易得答案．【解答】解：当x=0时，z=0，当x=1，y=2时，z=6，当x=1，y=3时，z=12，故所有元素之和为18，故选D【点评】这是一道新运算类的题目，其特点一般是“新”而不“难”，处理的方法一般为：根据新运算的定义，将已知中的数据代入进行运算，易得最终结果．15．四个条件：b＞0＞a；0＞a＞b；a＞0＞b；a＞b＞0中，能使成立的充分条件的个数是（）A．1 B．2 C．3 D．4【考点】不等关系与不等式．【专题】综合题．【分析】利用不等式的基本性质，分别进行变形，可以得到，即为使成立的充分条件．【解答】解：由题意，b＞0＞a时，，∴；0＞a＞b时，，∴；a＞0＞b时，，∴；a＞b＞0时，，∴从而能使成立的充分条件的个数是3个故选C．【点评】本题以不等式为载体，考查充分条件，解题的关键利用不等式的基本性质，分别进行变形．16．设a、b、c是互不相等的正数，则下列不等式中不恒成立的是（）A．|a﹣b|≤|a﹣c|+|b﹣c| B．C．D．【考点】不等式比较大小．【专题】计算题．【分析】本题主要考查不等式恒成立的条件，由于给出的是不完全题干，必须结合选择支，才能得出正确的结论．可运用排除法．【解答】解：A：|a﹣b|=|a﹣c+c﹣b|≤|a﹣c|+|c﹣b|=|a﹣c|+|b﹣c|，故A恒成立；B：由于由于函数f（x）=x+在（0，1]单调递减，在[1，+∞）单调递增当a＞1时，a2＞a＞1，f（a2）＞f（a）即，a2+＞a+，当0＜a＜1，0＜a2＜a＜1，f（a2）＞f（a）即a2+＞a+，当a=1，a2+=a+．故B恒成立；C：由于．故C恒成立；D：若a﹣b=﹣1，则该不等式不成立，故D不恒成立故选D．【点评】本题主要考查了不等式比较大小，基本不等式的应用放缩法证明不等式等．要灵活运用公式，牢记公式a2+b2≥2ab成立的条件．三.解答题（8+10+10+12+12=52分）17．已知a＞b＞c，用比较法证明：a2b+b2c+c2a＞ab2+bc2+ca2．【考点】不等式的证明．【专题】证明题；转化思想；作差法；不等式的解法及应用．【分析】由a＞b＞c，可得a﹣b＞0，b﹣c＞0，a﹣c＞0，运用作差法，结合因式分解，可得左边﹣右边=（a﹣b）（a﹣c）（b﹣c）＞0，即可得证．【解答】证明：由a＞b＞c，可得a﹣b＞0，b﹣c＞0，a﹣c＞0，又a2b+b2c+c2a﹣ab2﹣bc2﹣ca2=（a2b﹣ab2）+（b2c﹣ca2）+（c2a﹣c2b）=ab（a﹣b）+c（b﹣a）（b+a）+c2（a﹣b）=（a﹣b）（ab﹣bc﹣ac+c2）=（a﹣b）（a﹣c）（b﹣c）＞0，所以a2b+b2c+c2a＞ab2+bc2+ca2．【点评】本题考查不等式的证明，注意运用作差比较法，考查因式分解能力和推理能力，属于基础题．18．已知集合A={x|x2﹣2x﹣3＜0，x∈R}，B={x|ax2﹣x+3＜0，x∈R}；（1）当a=2时，求A∩B；（2）若A∩B=B，求实数a的取值范围．【考点】集合的包含关系判断及应用；交集及其运算．【专题】计算题；集合思想；综合法；集合．【分析】（1）化简集合A，B，即可得出结论；（2）利用A∩B=B，可得B⊆A，分类讨论，即可得出结论．【解答】解：（1）A={x|x2﹣2x﹣3＜0}={x|﹣1＜x＜3}，a=2时，B={x|2x2﹣x+3＜0，x∈R}=∅；∴A∩B=∅；（2）∵A∩B=B，∴B⊆A，B=∅，，∴a≥；B≠∅，，∴0＜a≤综上，a＞0．【点评】本题考查集合的运算，考查分类讨论的数学思想，属于中档题．19．已知命题α：|a﹣1|＜2，β：方程x2+（a+2）x+1=0没有正根，求实数a的取值范围，可得命题α，β有且只有一个是真命题．【考点】命题的真假判断与应用．【专题】简易逻辑．【分析】命题α，β有且只有一个是真命题，知两个命题一真一假，故要分为两类求解，α真β假或α假β真，首先要将两个命题中的条件进行化简，再分类讨论．【解答】解：由命题α：|a﹣1|＜2，得﹣2＜a﹣1＜2，∴﹣1＜a＜3；∵方程x2+（a+2）x+1=0没有正根，分为两类求解，一是方程无解，二是有两个非正实根，令f（x）=x2+（a+2）x+1，则f（0）=1，∴当无解时，△=（a+2）2﹣4＜0，解得﹣4＜a＜0；当有两个非正根时，，解得a≥0．∴当方程x2+（a+2）x+1=0没有正根时，a的取值范围是：a＞﹣4．∵命题α，β有且只有一个是真命题，∴当α真β假时，得a∈∅；当α假β真时，得﹣4＜a≤﹣1或a≥3．∴命题α，β有且只有一个是真命题时，a的取值范围是（﹣4，﹣1]∪[3，+∞）．【点评】本题考查命题的真假判断与应用，求解本题关键是化两个条件，尤其是命题β：方程x2+（a+2）x+1=0不存正实数根这个条件的转化，易因忘记方程无根时也满足无正根而导致错误，做题是要考虑完善，转化要注意验证是否等价，该题是中档题．20．（1）已知x，y∈R+，求的最大值；（2）求满足2+≥k对a，b∈R+有解的实数k的最大值，并说明理由．【考点】有理数指数幂的化简求值．【专题】函数的性质及应用．【分析】（1）由已知得（）2=1+≤2，由此能求出的最大值．（2）设=m＞0，=n＞0，a=m2，b=n2，由此利用均值定理能求出满足2+≥k对a，b∈R+有解的实数k的最大值．【解答】解：（1）∵x，y∈R+，∴（）2==1+≤2，当且仅当x=y时，对等号，∴当x=y时，的最大值为．（2）∵a，b∈R+，∴设=m＞0，=n＞0，a=m2，b=n2，∴2m+n≥=2，∵满足2+≥k对a，b∈R+有解的实数k的最大值，∴2m+n≥k≥k=2k，∴2k，解得k，∴满足2+≥k对a，b∈R+有解的实数k的最大值为．【点评】本题考查代数式的最大值的求法，考查满足不等式的实数的最大值的求法，是中档题，解题时要注意均值定理的合理运用．21．已知数集A={a1，a2，…，a n}（1≤a1＜a2＜…a n，n≥2）具有性质P；对任意的i，j（1≤i≤j≤n），a i a j与两数中至少有一个属于A．（1）分别判断数集{1，3，4}与{1，2，3，6}是否具有性质P，并说明理由；（2）证明：a1=1，且；（3）当n=5时，若a2=2，求集合A．【考点】数列与函数的综合；数列的求和．【专题】新定义；等差数列与等比数列；集合．【分析】（1）根据性质P；对任意的i，j（1≤i≤j≤n），a i a j与两数中至少有一个属于A，验证给的集合集{1，3，4}与{1，2，3，6}中的任何两个元素的积商是否为该集合中的元素；（2）由性质P，知a n a n＞a n，故a n a n∉A，从而1=∈A，a1=1．再验证又由于＜＜…＜，从而++…++=a1+a2+…+a n，命题得证；＜，=1，=a2，…，=a n﹣1（3）根据（2），只要证明====a2即可求得集合A．【解答】解：（1）由于3×4，与或均不属于数集{1，3，4}，∴该数集不具有性质P．由于1×2，1×3，1×6，2×3，，，，，，都属于数集{1，2，3，6}，∴该数集具有性质P．（2）证明：∵A={a1，a2，…，a n}具有性质P，∴a n a n与中至少有一个属于A，由于1≤a1＜a2＜…＜a n，∴a n a n＞a n故a n a n∉A．从而1=∈A，a1=1．∵1=a1＜a2＜…a n，n≥2，∴a k a n＞a n（k=2，3，4，…，n），故a k a n∉A（k=2，3，4，…，n）．由A具有性质P可知∈A（k=2，3，4，…，n）．又∵＜＜…＜＜，=1，=a2，…，=a n，﹣1从而++…++=a1+a2+…+a n，∴；（3）由（2）知，当n=5时，有=a2，=a3，即a5=a2•a4=a32，∵1=a1＜a2＜…＜a5，∴a3a4＞a2a4=a5，∴a3a4∉A，由A具有性质P可知∈A．由a2•a4=a32，得=∈A，且1＜=a2，∴==a2，∴====a2即a1，a2，a3，a4，a5是首项为1，公比为a2等比数列，即有集合A={1，2，4，8，16}．【点评】本题主要考查集合、等比数列的性质，考查运算能力、推理论证能力、分分类讨论等数学思想方法．此题能很好的考查学生的应用知识分析、解决问题的能力，侧重于对能力的考查，属于较难层次题．。
M031：2015-2016高一下期末数学卷-七宝中学(含答案)
D.
12
条件的一个ϕ 值为
18. 若数列{an}的前 n 项和为 Sn ，则 列命题
1 若数列{an}是递增数列，则数列{Sn} 是递增数列
2 数列{Sn} 是递增数列的充要条件是数列{an}的各项均为 数 3 若{an}是等差数列 (d ≠ 0) ，则 S1 ⋅ S2 ⋅⋅⋅⋅⋅ Sk = 0 的充要条件是 a1 ⋅ a2 ⋅⋅⋅⋅⋅ ak = 0
参考答案
一. 填空题
1. 2kπ ± π (k ∈ Z ) 3
2π
2.
3
5
3.
3
4. [0, 5π ) 6
5.
an
=
−1, n = 1 −2 ⋅ 3n−2 , n ≥
2
6. 2k
86π
7.
3
145
8.
24
2n +1
10.
π 11. (0, ]
12. ±1
13. 4028
14.
2n
3
9. 377
二. 选择题 15. C
16. B
17. D
18. B
. 解答题
19. 1 an = n −1.5 < λ < 1 ，
2
n 为奇数， λ < ( 3)n−1 ，
2
λ ≠ 0 ， λ = −1
n 为偶数， λ > −( 3)n−1 ， 2
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+ ⋅⋅⋅ +
nan
为 {an } 的
光阴
值，已知数列 {an } 的
光阴
值为
Hn
上海七宝中学自招数学试题
上海七宝中学自招数学试题今天分享几道能够比肩上海四大名校的七宝中学的自招数学试题。
题目一：计算 \frac{\sqrt{6}+4 \sqrt{3}+3\sqrt{2}}{(\sqrt{6}+\sqrt{3})(\sqrt{3}+\sqrt{2})}【详解】\frac{\sqrt{6}+4 \sqrt{3}+3\sqrt{2}}{(\sqrt{6}+\sqrt{3})(\sqrt{3}+\sqrt{2})}=\frac{\sqrt{6} +\sqrt{3}+3\sqrt{3}+3\sqrt{2}}{(\sqrt{6}+\sqrt{3})(\sqrt{3}+\sqrt{2})}=\frac{\sqrt{6}+\sqrt{3}+3(\sqrt{3}+\sqrt{2})}{(\sqrt{6}+\sqrt{3})(\sqrt{3}+\sqrt{2})}=\frac{1}{\sqrt{3}+\sqrt{2}}+\frac{3}{\sqrt{6}+\sqrt{3}}=\frac{1}{\sqrt{3}+\sqrt{2}}+\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}+1}=\frac{\sqrt{3}-\sqrt{2}}{(\sqrt{3}+\sqrt{2})(\sqrt{3}-\sqrt{2})}+\frac{\sqrt{3}\cdot(\sqrt{2}-1)}{(\sqrt{2}+1)(\sqrt{2}-1)}=\sqrt{3}-\sqrt{2}+\sqrt{6}-\sqrt{3}=\boxed{\sqrt{6}-\sqrt{2}}.\square一般我们看到分式化简第一时间想到的就是分母有理话，比如针对这道题应该分子、分母同时乘以 (\sqrt{6}-\sqrt{3})(\sqrt{3}-\sqrt{2})。
这样做也是可以的，毕竟分母变成整数，肯定是能够做出来的。
不过，这样做分子的计算量比较大，且很容易就会算错了。