周荫清随机过程理论 马尔可夫链
随机过程报告——马尔可夫链
马尔可夫链马尔可夫链是一种特殊的随机过程，最初由A.A .M arkov 所研究。
它的直观背景如下:设有一随机运动的系统E (例如运动着的质点等)，它可能处的状态记为,....E ,...,E ,E n 10总共有可数个或者有穷个。
这系统只可能在时刻t=1,2,…n,…上改变它的状态。
随着∑的运动进程，定义一列随机变量Xn,n=0,1, 2, ⋯其中Xn=k ，如在t=n 时，∑位于Ek 。
定义1.1 设有随机过程}{T n X n ∈，，若对任意的整数T n ∈和任意的,,...,110I i i i n ∈+条件概率满足}i {},...,i X i {1n 10001n 1n n n n n n i X X P i X X P ======++++ 则称}{T n X n ∈，为马尔可夫链，简称为马氏链。
实际中常常碰到具有下列性质的运动系统∑。
如果己知它在t=n 时的状态，则关于它在n 时以前所处的状态的补充知识，对预言∑在n 时以后所处的状态，不起任何作用。
或者说，在己知的“现在”的条件下， “将来”与“过去”是无关的。
这种性质，就是直观意义上的“马尔可夫性”，或者称为“无后效性”。
假设马尔可夫过程}{T n X n ∈，的参数集T 是离散时间集合，即T={0,1,2,…},其相应Xn 可能取值的全体组成的状态空间是离散状态空间I={1,2,..}。
定义1.2 条件概率}{P 1)(i X j X p n n n ij ===+称为马尔可夫链}{T n X n ∈，在时刻n 的一步转移矩阵，其中i ，j ∈I ，简称为转移概率。
一般地，转移概率)(P n ij 不仅与状态i,j 有关，而且与时刻n 有关。
当)(P n ij 不依赖于时刻n 时，表示马尔可夫链具有平稳转移概率。
若对任意的i ，j ∈I ，马尔可夫链Xn,n ∈T}的转移概率)(P n ij 与n 无关，则称马尔可夫链是齐次的。
随机过程与马尔可夫链
随机过程是概率论和数理统计中的重要概念之一，它用来描述随机现象随时间的演变过程。
其中，马尔可夫链是描述随机过程特性的重要工具之一。
随机过程的定义是：对于一组状态集合{X(t)|t≥0}，如果对于任意的n个时间点0≤t1<t2<…<tn，随机变量(X(t1), X(t2), …, X(tn))的条件分布只依赖于X(tn)，则称随机过程为马尔可夫过程。
简单来说，马尔可夫过程的特点是未来状态只与当前状态有关，与过去状态无关。
而马尔可夫链则是马尔可夫过程的特例，它的状态集合只有有限个或可数个。
马尔可夫链具有马尔可夫性质，即只与当前状态有关，与过去状态和未来状态都无关。
随机过程和马尔可夫链的研究在概率论和统计学中有着重要的应用。
首先，它们可以用来描述各种现实生活中的随机现象，如股市价格的涨跌、人口的增长等。
其次，它们可以被用于建立数学模型，对这些现象进行分析和预测。
例如，马尔可夫链可以用来建立天气预报模型，根据当前的天气状态（晴、阴、雨等）预测未来的天气状况。
此外，马尔可夫链还在自然语言处理、图像处理、机器学习等领域有着广泛的应用。
马尔可夫链具有很多重要的性质和特征。
首先，它具有马尔可夫性，即未来状态只与当前状态有关，与过去状态无关。
这一性质使得马尔可夫链具有简洁的数学形式和较强的可计算性。
其次，马尔可夫链具有平稳分布（或者说稳态分布）的概念。
如果马尔可夫链的转移矩阵稳定下来，且与初始状态无关，那么这个稳态分布就是平稳分布。
平稳分布具有许多重要的应用，例如在排队论中，可以通过平稳分布来求解系统的性能指标。
此外，马尔可夫链还具有遍历性，即从任意一个状态出发，最终都有可能到达任意一个状态。
这一特性使得马尔可夫链可以被用来模拟复杂的随机过程。
马尔可夫链有许多重要的应用。
其中之一是在马尔可夫链蒙特卡洛方法中的广泛应用。
蒙特卡洛方法是一种基于统计学的模拟方法，用于求解复杂的数学问题。
马尔可夫链蒙特卡洛方法利用了马尔可夫链的平稳分布特性，通过对状态空间进行遍历和抽样，从而利用样本估计目标问题的解。
随机过程中的马尔可夫链理论
随机过程中的马尔可夫链理论随机过程是概率论中的一个重要分支，研究时间上的变化不确定性。
马尔可夫链是随机过程中的一种特殊形式，它具有马尔可夫性质，即未来状态只依赖于当前状态，与过去状态无关。
在本文中，我们将深入探讨随机过程中的马尔可夫链理论。
一、马尔可夫链的定义马尔可夫链是一种离散随机过程，它由一系列的状态和状态转移概率组成。
设S={S1, S2, ...}为状态空间，P={Pij}为状态转移概率矩阵，其中Pij表示从状态Si到状态Sj的概率。
马尔可夫链满足以下两个条件：1) 转移概率只与当前状态有关；2) 对于任意状态Si，状态转移概率之和等于1。
二、马尔可夫链的性质1. 马尔可夫性质由定义可知，马尔可夫链具有马尔可夫性质，即未来状态只与当前状态有关，与过去状态无关。
这一性质使得马尔可夫链在建模和分析中具有较大的灵活性。
2. 随机游走马尔可夫链可以看作是一种随机游走的过程。
在状态空间S中，根据状态转移概率进行转移，从而实现状态之间的随机变动。
通过研究随机游走的路径和特性，可以揭示马尔可夫链的一些重要特性。
3. 平稳分布对于某些马尔可夫链，存在一个平稳分布使得在长时间模拟中，状态分布趋于稳定。
这一性质在实际应用中广泛使用，例如在排队论、金融风险管理等领域。
三、马尔可夫链的应用1. 自然语言处理马尔可夫链在自然语言处理中得到广泛应用，特别是在文本生成和语音识别方面。
通过学习语料库中的转移概率，可以生成新的语句或者识别语音中的词组。
2. 生物信息学在DNA和蛋白质序列的分析中，马尔可夫链可以用于模拟和预测相关的状态变化。
通过构建转移矩阵，可以研究序列中的概率事件和模式。
3. 市场分析马尔可夫链在市场分析中具有较大的潜力。
通过研究股票价格或者交易策略的状态转移，可以辅助投资决策和风险管理。
四、马尔可夫链的改进为了更好地描述现实世界中复杂的系统和过程，研究者们对传统的马尔可夫链进行了改进。
例如，高阶马尔可夫链能够捕捉更长期的状态依赖性；隐马尔可夫模型则能够处理观测序列的概率计算问题。
随机过程第四章马尔可夫链
0,
p(n) ij
1, i,
jI
jI
即P(n)也为随机矩阵.
当n
1时,
p (1) ij
pij
,
P (1)
P
当n
0时,规定pi(j0)
0 , i 1 , i
j j
13
4.1 马尔可夫链与转移概率
• 定理4.1 设{Xn, nT}为马尔可夫链, 则对任意 整数n0, 0l<n和i,jI, n步转移概率 p具i(jn) 有性
Ckx 0
pxqy ，
,
k ( j i)为偶数 k ( j i)为奇数
11
4.1 马尔可夫链与转移概率
例4.4 具有吸收壁和反射壁的随机游动状态空间 {1,2,3,4}, 1为吸收壁, 4为反射壁.
解：状态转移图
状态转移矩阵
1 3
1 0 0 0
1
1
3
1 1
3
1
1
1 1 1
1 3
1 3
2
P 3
5
4.1 马尔可夫链与转移概率
= =P{Xn=in|Xn-1=in-1}P{Xn-1=in-1 |Xn-2=in-2}
P{X1=i1|X0=i0}P{X0=i0} 马尔可夫链的统计特性完全由条件概率 P{Xn+1=in+1|Xn=in}确定。
6
4.1 马尔可夫链与转移概率
定义 称条件概率pij(n)= P{Xn+1=j|Xn=i} 为马尔 可夫链{Xn, nT}在时刻n的一步转移概率,简 称转移概率,其中i,jI.
P{X 0 i}P{X1 i1 | X 0 i} iI
P{X 2 i2 | X1 i1} P{X n in | X n1 in1}
马尔可夫链随机过程
马尔可夫链随机过程（Markov chain）是一种数学模型，用于描述具有马尔可夫性质的随机过程。
马尔可夫性质表示在给定当前状态下，未来状态的概率只与当前状态有关，而与过去的状态无关。
马尔可夫链由一组状态和状态转移概率组成。
每个状态表示系统可能处于的一种情况，状态转移概率表示从一个状态转移到另一个状态的概率。
马尔可夫链的数学描述如下：
状态空间：马尔可夫链中所有可能的状态的集合；
初始概率分布：描述系统初始状态的概率分布；
状态转移概率：描述从一个状态转移到另一个状态的概率分布；
转移矩阵：由状态转移概率组成的矩阵，用于表示状态之间的转移关系。
马尔可夫链可以用于模拟各种随机事件，例如天气预测、金融市场分析、蛋白质折叠等。
它在实际应用中有着广泛的应用，尤其在概率论、统计学和计算机科学领域。
通过分析马尔可夫链的状态转移概率，我们可以获得系统的稳定性、收敛性和平稳分布等重要特性。
此外，我们还可以利用马尔可夫链进行预测、推断和决策等任务。
总之，马尔可夫链随机过程是一种强大的数学工具，用于描述具有马尔可夫性质的随机系统。
它的简单性和广泛应用性使其成为概率模型、统计分析和计算机模拟中的重要组成部分。
随机过程课件-马尔可夫链
本课件将介绍随机过程中一种重要的模型——马尔可夫链。探讨马尔可夫链 的定义、特性、应用及改进方法，展望其未来发展。
什么是随机过程？
随机过程是一种数学模型，用于描述随机变量在时间上的演化。根据性质和分类不同，随机过程可分为多种类 型。
马尔可夫链的概念
定义
马尔可夫链是一种随机过程，具有马尔可夫性质，即未来状态仅与当前状态相关。
马尔可夫链的局限性和优缺点
马尔可夫链具有简单、易于实现的优点，但在某些情况下存在局限性。
马尔可夫链的未来发展方向
未来，马尔可夫链有望结合更多机器学习、深度学习技术，在更多领域得到应用和改进。
马尔可夫链的改进
局限性
马尔可夫链模型在某些情况下存 在局限性，如长期依赖性和大状 态空间问题。
改进方法
针对马尔可夫链的局限性，研究 者提出了多种改进方法，如隐马 尔可夫模型和条件随机场。
马尔可夫决策过程
马尔可夫决策过程是对马尔可夫 链进行扩展，引入了决策和奖励 机制，用于解决决策问题。
总结与展望
马尔可夫链的平稳分布
平稳分布是马尔可夫链在长期 运行后，状态分布稳定的概率 分布。
马尔可夫链的应用
1
模拟系统
2
马尔可夫链在模拟系统中用于模拟随机
事件和状态转移，如队列模型和流程模
3
型。
自然语言处理
马尔可夫链在自然语言处理中用于语言 模型、文本生成和机器翻译等。
金融领域
马尔可夫链在金融领域中用于风险评估、 投资组合优化和市场分析等。
特性
马尔可夫链具有无记忆性、状态空间有限、状态转移概率固定等特性。
状态转移图
马尔可夫链可用状态转移图表示，展示各状态之间的转移概率。
马尔可夫链
马尔可夫过程一类随机过程。
它的原始模型马尔可夫链，由俄国数学家A.A.马尔可夫于1907年提出。
该过程具有如下特性：在已知目前状态（现在）的条件下，它未来的演变（将来）不依赖于它以往的演变 ( 过去 ) 。
例如森林中动物头数的变化构成——马尔可夫过程。
在现实世界中，有很多过程都是马尔可夫过程，如液体中微粒所作的布朗运动、传染病受感染的人数、车站的候车人数等，都可视为马尔可夫过程。
关于该过程的研究，1931年 A.H.柯尔莫哥洛夫在《概率论的解析方法》一文中首先将微分方程等分析的方法用于这类过程，奠定了马尔可夫过程的理论基础。
目录马尔可夫过程离散时间马尔可夫链连续时间马尔可夫链生灭过程一般马尔可夫过程强马尔可夫过程扩散过程编辑本段马尔可夫过程Markov process1951年前后，伊藤清建立的随机微分方程的理论，为马尔可夫过程的研究开辟了新的道路。
1954年前后，W.费勒将半群方法引入马尔可夫过程的研究。
流形上的马尔可夫过程、马尔可夫向量场等都是正待深入研究的领域。
类重要的随机过程，它的原始模型马尔可夫链，由俄国数学家Α.Α.马尔可夫于1907年提出。
人们在实际中常遇到具有下述特性的随机过程：在已知它目前的状态（现在）的条件下，它未来的演变（将来）不依赖于它以往的演变（过去）。
这种已知“现在”的条件下，“将来”与“过去”独立的特性称为马尔可夫性，具有这种性质的随机过程叫做马尔可夫过程。
荷花池中一只青蛙的跳跃是马尔可夫过程的一个形象化的例子。
青蛙依照它瞬间或起的念头从一片荷叶上跳到另一片荷叶上，因为青蛙是没有记忆的，当现在所处的位置已知时，它下一步跳往何处和它以往走过的路径无关。
如果将荷叶编号并用X0,X1,X2，…分别表示青蛙最初处的荷叶号码及第一次、第二次、……跳跃后所处的荷叶号码，那么{Xn，n≥0} 就是马尔可夫过程。
液体中微粒所作的布朗运动，传染病受感染的人数，原子核中一自由电子在电子层中的跳跃，人口增长过程等等都可视为马尔可夫过程。
随机过程 马尔可夫链
随机过程马尔可夫链随机过程是研究随机事件在时间和空间上的变化规律的数学模型。
而马尔可夫链是随机过程的一种，它的特别之处在于，当前时刻的状态只与前一时刻的状态有关，而与其它时间的状态无关。
现在，让我们来详细了解一下随机过程与马尔可夫链。
一、随机过程随机过程实际上就是由一系列随机变量组成的，这些随机变量的取值是在某些规定的时间或空间上进行的。
它是一个随机事件的序列或集合，因此其本质是一种时间或空间上的随机演化。
二、马尔可夫链马尔可夫链是一种特殊的随机过程，其特征在于它只与其前一状态有关。
其实，马尔可夫链是一种转移概率的数学模型，它描绘了系统从一个状态到另一个状态的转移概率，而这些概率只与前一时刻的状态有关。
马尔可夫链的形式化描述就是一个状态空间和一个转移矩阵。
这里，状态空间可以是任意形式的集合，而转移矩阵则是一个矩阵，其每个元素表示从一个状态到另一个状态的概率。
三、马尔可夫链的性质马尔可夫链具有多种性质：1、马尔可夫性质：当前时刻的状态只与前一时刻的状态有关。
2、无记忆性质：其将来的状态与过去的状态无关。
3、多步转移概率：马尔可夫链具有的多步转移概率与初始状态无关。
4、周期性：若马尔可夫链从一个状态出发始终无法到达其它状态，可以说其为周期性的。
四、应用1、生物统计：马尔科夫链应用到多态遗传研究。
2、分子动力学：马尔可夫链应用到高分子链的构象和动力学研究。
3、自然语言处理：将一个英文句子转化为标签序列可以看做是一个马尔可夫链。
总之，随机过程和马尔可夫链是最基础的统计学习模型。
它们在多个领域都有广泛的应用，如金融、医学、工业等。
深刻了解它们的特性和应用将有助于我们更好地理解大量数据背后的规律。
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i, j S
pij (m) P{X m1 j | X m i} i, j S
一、马尔可夫链的定义
1、马尔可夫链的定义
➢k步转移概率
p(
k
) ij
(m)
P{X mk
j
|
Xm
i}
➢通常规定
i, j S
p(0) ij
(m)
ij
1 0
➢转移概率矩阵
i j i j
P( k )
{
p(k
) ij
(m),
j
四、遍历性机及平稳分布
2、平稳分布
✓定义 设{Xn=i}为齐次马氏链，概率分布pi，满足
p j pi pij j 0,1, 2,
i
其中， pi为平衡分布
➢ pj≥0
➢
pj 1
j
➢
n 时，pj j
四、遍历性机及平稳分布
2、平稳分布 对于平稳分布，有
p j pi pij ( pk pki ) pi ( pk pki )
P (m1) [ pij(m1) ]NN [
p p ] (m) (1) ik kj N N
P m1 P
P m1
kS
P(k) Pk
二、切普曼－科尔莫戈洛夫方程
✓定理 设 {X n , n N为}马尔可夫链。其状态空间为S, 且 0 n1 n2 ，n则k Xk的k维概率分布为
P{X n1 i1, X n2 i2 , , X nk ik }
i
in
k
i
pk
p (2) kj
k
pk
p (k) kj
k
➢另外 [1 2 n ] P pij
则 P
五、马尔可夫序列
✓定义 设一个随机序列Xn连续，有
F(xn xn1, , x1) F(xn xn1)
则称此随机序列为马尔可夫序列 其条件概率密度为
f (xn xn1, , x1) f (xn xn1) ➢齐次性 f (xn xn与1) n无关 ➢平稳性 f (xn ) f (x)
➢时间参数t→可连续、可离散
一、马尔可夫链的定义
1、马尔可夫链的定义
✓定义 设 {X n , n N为} 一随机序列，时间参集 N {0,1,，2, }
其状态空间 I {a1, a2, , a，N若}
P{X n
ain
|
X n1
a , X in1
n2
a , in2
, X1 ai1 } P{X n ain | X n1 a } in1
p P{X (nk nk1 )
ik 1ik
0
j, X n1
i1 , X n2
i2 ,
jS
, X nk1 ik 1}
p p P{X j, X i , X i , (nk nk1 ) (nk1 nk2 )
ik 1ik
ik 2ik 1
0
n1
1
n2
2
jS
, X nk2 ik 2 }
p p (nk nk1 ) ik 1ik
f (xn,tn xn1,tn1 , , x1,t1) f (xn,tn xn1,tn1)
P[ X (tn ) xn X (tn1) xn1 , , X (t1) x1] P[ X (tn ) xn X (tn1) xn1]
式中 t1 t2 , , tn
➢状态→取值 ➢状态空间→所有的取值(可连续、可离散)
则称{X n , n N 为} 马尔可夫链。
一、马尔可夫链的定义
1、马尔可夫链的定义 ✓转移概率
pij (m, n) P{X n a j | X m ai} P{X n j | X m i}
➢性质
pi j (m, n) 0 i, j S
pi j (m, n) 1 i S
jS
➢一步转移概率 当n=m+1时，则
( nk1 nk2 ) ik 2ik 1
jS
p p (nk nk1 ) ik 1ik
( nk1 nk2 ) ik 2ik 1
jS
p P{X (n2 n1 )
i1i2
n1
i1, X 0
j}
p p P{X j} (n2 n1 ) (n1 )
i1i2
ji1
0
三、马尔可夫链中的状态分类
1、状态可达和相通
Tij () min{n : X0() i, Xn () j, n 1}
其中，Tij表示从状态i出发，首次进入状态j的时间
Tij ()
终生等待
四、遍历性机及平稳分布
1、遍历性
✓定义 设{Xn=i}为齐次马氏链，对一切状态i，j有
lim
n
pij n
j
其中，πj为平稳分布
➢ πj≥0
➢
j 1
p23 p33
二、切普曼－科尔莫戈洛夫方程
切普曼－柯尔莫哥洛夫方程
p(mr ij
)
(n)
pi(km) (n) pk(jr) (n m)
kS
i, j S
对于齐次马尔可夫链，切普曼－柯尔莫哥洛夫方程
P (2) [ pij(2) ]NN [ pik pkj ]NN P P = P 2 kS
✓ 状态可达 由状态i到状态j，Pij(k) 0，记为i→j
✓ 定理 由i→k，k→j，则i→j ✓ 状态相通 状态i→状态j，且状态j→状态i，记为 i j ✓ 定理 由状态i→状态k，状态k→状态j，则状态i→状态j
三、马尔可夫链中的状态分类
2、首次进入时间
对于任何两个状态i和j，在事件{X0=i}上引入随机变量
第7章 马尔可夫链
马尔可夫链
一、马尔可夫链的定义 二、切普曼-柯尔莫哥洛 夫方程 三、马尔可夫链中状态分类 四、遍历性与平稳分布 五、马尔可夫序列
一、马尔可夫链的定义
马尔可夫过程
F (x1, x2 , , xn;t1, t2 ,
则马尔可夫过程可描述为
n
tn ) F (xi )(xi , ti ) i 1
i,
j
S}
k步转移概率矩阵
一、马尔可夫链的定义
2、齐次马尔可夫链 ✓定义 pij (m) P{X m1 j | X m i} pij i, j S
pi
(k
j
)
(m)=pi
j
(k
)
i, j S
➢一步转移概率矩阵
p11 p12 p13
P
{
pij
,
i,
j
S}
p21 p31
p22 p32