随机过程与马尔可夫过程
随机过程马氏过程
Fn ( x1 , x2 ,, xn , t1 , t 2 ,, t n ) P{ X (t1 ) x1 , X (t 2 ) x2 ,, X (t n ) xn }
P{ X (t1 ) x1 }P{ X (t2 ) x2 | X (t1 ) x1 }
P{ X (t n ) xn | X (t n1 ) xn1 , X (t n2 ) xn2 ,,
一、马尔可夫过程的数学定义
二、满足马氏性的随机过程
三、马氏过程的分类 四、马氏过程的有限维分布族
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一、马尔可夫过程的数学定义
马尔可夫过程是具有所谓马尔可夫性 的一类特殊的随机过程.
1 马尔可夫特性
若当某随机过程{X(t),t ∈ T}在某时刻tk 所处的状态已知的条件下，过程在时刻t(t>tk) 处的状态只会与过程在tk时刻的状态有关，而与 过程在tk以前所处的状态无关。这种特性即称为 马尔可夫性,亦称之为无后效性。
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例1.5 若每隔一分钟观察噪声电压，以X(n) 表示第n分钟观察噪声电压所得结果，则X(n) 为一随机变量，{X(n),n≥1}为一随机过程， 此过程是马氏过程吗？ 实际上,每隔一分钟观察所得噪声电压值 相互并不影响,且X(n)为一连续型随机变量, 因而{X(n),n≥1}是独立同分布的连续型随 机变量列,故知它为离散参数集,连续状态集的 马尔可夫过程.
X (t 2 ) x2 , X (t1 ) x1 }
P{ X (t1 ) x1 }P{ X (t 2 ) x2 | X (t1 ) x1 }
P{ X (t n ) xn | X (t n1 ) xn1 }
F ( x1 , t1 )F ( x2 , t2 | x1 , t1 )F ( xn , tn | xn1 , tn1 )
随机过程习题集-第四章马尔可夫过程
1第四章 马尔可夫过程内容提要1. 马尔可夫过程的概念 （1）马尔可夫过程给定随机过程{}(),X t t T ∈，如果对122,∀≥∀<<<∈n n t t t T ，有11221111{()|(),(),,()}{()|()}n n n n n n n n P X t x X t x X t x X t x P X t x X t x ----<====<=则称{}(),X t t T ∈为马尔可夫过程。
称(){}:,==∈E x X t x t T 为状态空间。
参数集和状态空间都是离散的马尔可夫过程称为离散参数马氏链. 参数连续、状态空间离散的马尔可夫过程称为连续参数马氏链. （2）k 步转移概率设{}(),0,1,2,=X n n 为离散参数马氏链，称()(),(,){|},0,1=+==≥≥i j p n k P X n k j X n i n k为{}(),0,1,2,=X n n 在时刻n 的k 步转移概率，称(),(,)((,)),P =∈i j n k p n k i j E为{}(),0,1,2,=X n n 在时刻n 的k 步转移概率矩阵. 特别地，当1k =时，在时刻n 的一步转移概率和一步转移概率矩阵分别简记为()ij p n 和()n P . （3）初始分布、绝对分布称((0)),,==∈i p P X i i E 为离散参数马氏链{}(),0,1,2,=X n n 的初始分布，记为0P ，称()(){},,==∈j p n P X n j j E 为马尔可夫链{}0n X n ≥的绝对分布，记为P n . （4）离散参数齐次马氏链设{}(),0,1,2,=X n n 是一离散参数马氏链，如果其一步转移概率()ij p n 恒与起始时刻n 无关，记为ij p ，则称{}(),0,1,2,=X n n 为离散参数齐次马氏链。
若{}(),0,1,2,=X n n2是离散参数齐次马氏链，则其k 步转移概率记为(),i j p k ，一步转移概率矩阵和k 转移概率矩阵分别记为P 和().P k(5) 离散参数齐次马氏链的遍历性离散参数齐次马氏链{X (n ) ,n=0,1,2… }，若对一切状态i ，j ，存在与i 无关的极限()()lim 0,ij j n p n i j E →+∞=π>∈则称此马氏链具有遍历性.0,1j j j Ej E ππ∈>∈=∑若且则称{},j j E π∈为离散参数齐次马氏链{X (n ) ,n=0,1,2… }的极限分布，或称为最终分布，记为{},j j E ∏=∈π（6）离散参数齐次马氏链的平稳分布离散参数齐次马氏链{X (n ) ,n=0,1,2… }，若存在{v j , j ∈E } 满足条件：1)0,2)13)j jj Ej i iji Ev j E vv v p ∈∈≥∈==∑∑则称此马氏链是平稳的，称 { v j , j ∈E } 为此马氏链的平稳分布。
随机过程与马尔可夫链
随机过程是概率论和数理统计中的重要概念之一，它用来描述随机现象随时间的演变过程。
其中，马尔可夫链是描述随机过程特性的重要工具之一。
随机过程的定义是：对于一组状态集合{X(t)|t≥0}，如果对于任意的n个时间点0≤t1<t2<…<tn，随机变量(X(t1), X(t2), …, X(tn))的条件分布只依赖于X(tn)，则称随机过程为马尔可夫过程。
简单来说，马尔可夫过程的特点是未来状态只与当前状态有关，与过去状态无关。
而马尔可夫链则是马尔可夫过程的特例，它的状态集合只有有限个或可数个。
马尔可夫链具有马尔可夫性质，即只与当前状态有关，与过去状态和未来状态都无关。
随机过程和马尔可夫链的研究在概率论和统计学中有着重要的应用。
首先，它们可以用来描述各种现实生活中的随机现象，如股市价格的涨跌、人口的增长等。
其次，它们可以被用于建立数学模型，对这些现象进行分析和预测。
例如，马尔可夫链可以用来建立天气预报模型，根据当前的天气状态（晴、阴、雨等）预测未来的天气状况。
此外，马尔可夫链还在自然语言处理、图像处理、机器学习等领域有着广泛的应用。
马尔可夫链具有很多重要的性质和特征。
首先，它具有马尔可夫性，即未来状态只与当前状态有关，与过去状态无关。
这一性质使得马尔可夫链具有简洁的数学形式和较强的可计算性。
其次，马尔可夫链具有平稳分布（或者说稳态分布）的概念。
如果马尔可夫链的转移矩阵稳定下来，且与初始状态无关，那么这个稳态分布就是平稳分布。
平稳分布具有许多重要的应用，例如在排队论中，可以通过平稳分布来求解系统的性能指标。
此外，马尔可夫链还具有遍历性，即从任意一个状态出发，最终都有可能到达任意一个状态。
这一特性使得马尔可夫链可以被用来模拟复杂的随机过程。
马尔可夫链有许多重要的应用。
其中之一是在马尔可夫链蒙特卡洛方法中的广泛应用。
蒙特卡洛方法是一种基于统计学的模拟方法，用于求解复杂的数学问题。
马尔可夫链蒙特卡洛方法利用了马尔可夫链的平稳分布特性，通过对状态空间进行遍历和抽样，从而利用样本估计目标问题的解。
随机过程分析随机过程的平稳性和马尔可夫性
随机过程分析随机过程的平稳性和马尔可夫性随机过程的分析包括对其平稳性和马尔可夫性的研究。
平稳性指的是随机过程在时间平移下的统计特性保持不变，而马尔可夫性则描述了随机过程在给定过去状态的条件下，未来状态的概率只依赖于当前状态，而与过去状态无关。
本文将介绍随机过程的平稳性和马尔可夫性，并通过几个具体的例子来说明这两个概念的应用。
一、随机过程的平稳性随机过程的平稳性是指在时间平移下，该过程的统计特性保持不变。
可分为弱平稳性和强平稳性。
1. 弱平稳性弱平稳性是指随机过程的一阶和二阶矩保持不变。
也就是说，对于任意的时刻 t，随机变量 X(t) 的均值和自协方差只与时间差有关，而与具体的时刻 t 无关。
例如，考虑一个简单的离散时间随机过程 {X(t)}，每个时刻的取值服从独立同分布，且具有相同的均值和方差。
如果这个过程的均值和方差对于任意的时刻 t 和 s，都满足 E[X(t)] = E[X(s)] 和 Cov(X(t),X(t+h)) = Cov(X(s), X(s+h))，其中 h 为时间差，则称该随机过程具有弱平稳性。
2. 强平稳性强平稳性是指对于任意的正整数 n，随机过程的前 n 阶矩都保持不变。
也就是说，对于任意的时刻 t 和任意的正整数 n，X(t) 和 X(t+n) 的联合概率分布与 X(s) 和 X(s+n) 的联合概率分布相同，其中 s 为任意时刻。
例如，考虑一个连续时间随机过程 {X(t)}，其概率密度函数为 f(x,t)。
如果对于任意的时刻 t 和任意的正整数 n，联合概率密度函数 f(x_1,x_2, ..., x_n, t) 与 f(x_1, x_2, ..., x_n, s) 相同，其中 s 为任意时刻，则称该随机过程具有强平稳性。
二、随机过程的马尔可夫性马尔可夫性是指随机过程在给定过去状态的条件下，未来状态的概率只依赖于当前状态，而与过去状态无关。
这意味着未来状态的概率分布只与当前状态有关，与过去状态的取值路径无关。
随机过程中的马尔可夫过程
随机过程中的马尔可夫过程在随机过程中的马尔可夫过程马尔可夫过程是在随机过程中常见且重要的一种形式。
它具有一定的数学特性和模型结构，能够描述在离散或连续时间段内状态的转移以及相关的概率。
本文将对马尔可夫过程的基本概念、特性和应用进行详细介绍。
一、概述马尔可夫过程是一种随机过程，其状态转移满足马尔可夫性质。
马尔可夫性质是指在给定当前状态下，未来和过去的转移概率仅与当前状态有关，与过去状态无关。
这种性质使得马尔可夫过程具有简化模型和简单计算的优势，被广泛应用于各个领域。
二、基本概念1. 状态空间：马尔可夫过程的状态空间是指所有可能取值的集合。
例如，一个骰子的状态空间为{1, 2, 3, 4, 5, 6}。
2. 转移概率：马尔可夫过程中的状态转移概率描述了从一个状态到另一个状态的概率。
用P(Xt+1 = j | Xt = i)表示从状态i转移到状态j的概率。
3. 转移矩阵：将所有状态之间的转移概率整合到一个矩阵中，称为转移矩阵。
转移矩阵是一个方阵，大小为n×n，其中n是状态空间的数量。
4. 平稳分布：在马尔可夫过程中，如果某个状态的概率分布在经过无限次转移后保持不变，那么该概率分布称为平稳分布。
平稳分布可以通过解线性方程组来计算。
三、特性1. 马尔可夫链：马尔可夫过程可以看作是离散时间的马尔可夫链。
马尔可夫链是指具有无记忆性质的随机序列，即未来状态只依赖于当前状态。
2. 齐次马尔可夫过程：如果马尔可夫过程的转移概率与时间无关，那么称为齐次马尔可夫过程。
齐次马尔可夫过程的转移概率矩阵在时间上保持不变。
3. 连续时间马尔可夫过程：如果马尔可夫过程的时间是连续的，则称为连续时间马尔可夫过程。
连续时间的马尔可夫过程可以用微分方程来描述。
四、应用领域1. 金融学：马尔可夫过程常用于金融市场的建模和分析，例如股票价格的预测和风险管理。
2. 信号处理：马尔可夫过程可以用于信号和图像的分析与处理，包括语音识别和图像识别等领域。
随机过程中的马尔可夫过程理论
随机过程中的马尔可夫过程理论马尔可夫过程理论是随机过程中的一种重要理论，它描述了一类具有马尔可夫性质的随机过程。
在随机过程中，马尔可夫过程是指一个系统在给定当前状态下，其未来状态的概率分布只依赖于当前状态，而与过去的状态无关。
马尔可夫过程在实际应用中具有广泛的应用，尤其在可靠性分析、排队论和金融领域等方面发挥重要作用。
一、马尔可夫过程的基本概念马尔可夫过程由状态空间、转移概率矩阵和初始概率分布三要素构成。
1. 状态空间状态空间是指一个马尔可夫过程中可能出现的所有状态的集合。
通常用S表示，状态空间可以是有限的，也可以是无限的。
2. 转移概率矩阵转移概率矩阵描述了一个当前状态到下一个状态的转移概率。
假设状态空间S有n个状态，转移概率矩阵P的元素P(i, j)表示从状态i转移到状态j的概率。
转移概率矩阵满足非负性和归一性条件，即每个元素都大于等于零，每行元素之和等于1。
3. 初始概率分布初始概率分布是指系统在初始状态下各个状态出现的概率分布。
假设初始状态概率分布为π，其中π(i)表示系统初始状态为i的概率。
二、马尔可夫链马尔可夫过程中的马尔可夫链是指一个没有时间限制的马尔可夫过程，也就是说，它在任意时刻都遵循马尔可夫性质。
马尔可夫链可以是有限的，也可以是无限的。
1. 不可约性不可约性是指一个马尔可夫链中的所有状态都可以通过一系列转移概率到达任何其他状态。
具有不可约性的马尔可夫链被称为不可约马尔可夫链。
2. 遍历性遍历性是指一个不可约马尔可夫链中的任意状态都能在有限步内返回到自身。
具有遍历性的马尔可夫链被称为遍历马尔可夫链。
3. 非周期性非周期性是指一个马尔可夫链中不存在周期性循环。
如果一个状态经过若干步后又返回到自身的最小步数是1，则称该状态为非周期状态。
具有非周期性的马尔可夫链被称为非周期马尔可夫链。
三、马尔可夫过程的稳定性马尔可夫过程的稳定性是指在经过一段时间后，随机过程的状态分布不再发生显著变化。
随机过程-正态马尔可夫过程
所以， 是马尔可夫过程。 所以， ξ(t) 是马尔可夫过程。
例3.6
图示电路，输入为零均值平稳正态白噪声， 图示电路， 输入为零均值平稳正态白噪声，求
输出过程的特性。 输出过程的特性。
R
ξ(t)
C
η(t)
解：系统传递函数的模平方为
α2 H( jf ) = 2 α + (2π f )2
2
1 α 其中， 输入平稳正态白噪声， 1。 其中， = 。输入平稳正态白噪声，即Sξ ( f ) = 1。于 RC
2 n
设 a= C(1)/C(0)，由于 C(1) ≤C(0)，故|a|≤1 ，因此 ， ，
C(n) = anC(0)(n ≥ 0)
充分性：如果 C(n)/C(0)=an，设n=n1+n2，则 充分性：
C(n1) C(n2 ) C(n1)C(n2 ) C(n) = an1 an2 = ⇒ C(n) = C(0) C(0) C(0) C(0)
C(τ ) = eaτ C(0)
因为|C(τ)|<C(0)，故τ >0 时，a<0 ， 因为 充分性：如果 充分性：如果C(τ)=eaτC(0) ，则
C(τ + s) C(τ ) C(s) = ea(τ +s) = eaτ eas = C(0) C(0) C(0)
即
C(τ )C(s) C(τ + s) = C(0)
是输出为
α2 Sη ( f ) = H( jf ) Sξ ( f ) = 2 α + (2π f )2
2
由此可得
Rη (τ ) =
α
2
e
−α τ
由E{ξ(t)}=0得E{η(t)}=0 ，因此 得
随机过程与马尔可夫链理论
随机过程与马尔可夫链理论是概率论与数理统计领域中的重要概念和工具。
随机过程是指在不同时间点上变量值以某种概率规律变化的过程。
马尔可夫链则是一类特殊的随机过程，其未来状态只与当前状态有关，与过去状态无关。
马尔可夫链最初由俄国数学家马尔可夫提出，其名字也来源于此。
马尔可夫链的特点是具有马尔可夫性质，即未来状态的条件概率分布只与当前状态有关，与之前的状态无关。
这种性质使得马尔可夫链具有良好的统计特性和可计算性，广泛应用于概率论、统计学、电信工程、物理学、生物学等领域。
马尔可夫链的数学表达是一个序列，其中每一项表示系统的一个状态。
根据系统的状态空间和转移概率，可以构造转移矩阵，用来描述系统状态之间的转移规律。
通过矩阵的乘法和幂次运算，可以得到系统在不同时间点上的状态分布，从而分析系统的演化规律和性质。
马尔可夫链的核心是转移概率矩阵，它描述了状态之间的转移概率。
转移概率矩阵需要满足一些性质，例如每一行之和为1，表示从一个状态转移到其他状态的概率之和为1。
根据转移概率矩阵，可以计算出平稳分布，即系统在长时间演化后的稳定状态分布。
平稳分布是马尔可夫链的一个重要特性，可以用来研究系统的稳定性和平衡性。
马尔可夫链理论在实际应用中有广泛的应用。
在信息传输领域，例如通信网络、数据压缩、编码等，马尔可夫链可以用来描述信道的状态演化和信号的传输过程，从而提高通信系统的性能。
在金融领域，马尔可夫链可以用来分析股票价格的变化趋势和市场的状态转移规律，从而帮助投资者进行风险管理和决策。
在生物学领域，马尔可夫链可以用来模拟分子的随机运动和化学反应等，从而研究生物分子的行为和系统的动力学性质。
总之，随机过程与马尔可夫链理论是概率论与数理统计领域中的重要理论和工具。
马尔可夫链作为一种特殊的随机过程，具有马尔可夫性质，可以用来描述系统状态的演化规律和性质。
马尔可夫链理论在实际应用中有广泛的应用，可以用来分析和模拟各种复杂系统的行为和性质。
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一维分布函数的全体{F(x;t), t∈T}称为一维分布函数
族.
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2．随(t ) E[ X (t )], t T
随机过程与马尔可夫过程
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随机过程
引言 随机过程的定义 随机过程的分类 随机过程的概率分布 二维随机过程
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随机过程
引言
现实世界中的许多现象是随时间的进展而变化与 发展的，这些现象通常称为过程。可分为两类： (1)确定性的变化过程 (2)不确定的变化过程 如果质点在一个随机的力（它由各种随机因素形 成）的作用下，那么质点的运动也是随机的。 3
T(-,+),如果对任意t T ，有一定义在Ω上的随机变 量X(,t)与之对应,则称{X(,t),t T}为随机过程，简记 为X(t),t T 或X(t),也可记为X(t).
注释：(1) 随机过程X(t),t T是定义在Ω×T上的
二元函数，因此可以从两个角度去理解, 因而有如上的
两个定义。 在理论分析往往用随机变量族的描述方式，在实际
测量和处理中往往采用样本函数族的描述方式。
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(2)通常将随机过程X(t),t T 解释为一个物理系统， X(t)表示系统在时刻t所处的状态,X(t)的所有可能状 态所构成的集合称为状态空间，记为I，对于给定的 t0 T，及x I,X(t0)=x 说成是在时刻t0系统处于状态x.
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二、随机过程的分类
1．按状态空间I和时间是可列集还是连续集分类：
(1). 连续型随机过程:T是连续集,且tT,X(t)是连续型 随机变量,则称过程{X(t),tT}为连续型随机过程. (2).离散型随机过程:T是连续集，且tT,X(t)是离散型 随机变量，则称过程{X(t),tT}为离散型随机过程。
(3)从定义2的角度上看，随机过程是有限维随机变量的
推广.
2.随机过程的例子
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例1:(分枝过程)一个个体（第0代）可能生产 0,1,2……
个子女形成第一代，每一个子女再生子女，他们合在一 起形成第二代，等等，假定第n代的个体数目为Xn，则 {Xn, n=0,1,2….}是随机过程。
便于理解，符合实际。但参数t可以表示为其它的量， 例如序号，距离等等.
例2: 某寻呼台在时间段[0,t]内接到的呼唤次数是与t有
关的随机变量X(t )，对于固定的t, X(t )是一个取非 负整数的随机变量，故{X(t ),t≥0}是随机过程。
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随机过程
引言 随机过程的定义 随机过程的分类 随机过程的概率分布 二维随机过程
2．按分布特性分类：
依照过程在不同时刻状态的统计依赖关系分类。
例如：独立增量过程，马尔可夫过程，平稳过程等。
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随机过程
引言 随机过程的定义 随机过程的分类 随机过程的概率分布 二维随机过程
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三、随机过程的概率分布
1．n维分布函数：
设{X(t),tT}是随机过程，对于任意整数n≥1及T中 任意n个不同的参数t1,t2，…，tn，称随机向量 （X(t1),X(t2),…,X(tn)）的分布函数
于是我们就得到一族随机变量{X(t),t≥0},（最初始时
刻为t=0）,它描述了此随机变量的运动过程.我们称这 种随时间的进展而变化与发展的随机现象为随机过程
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随机过程
引言 随机过程的定义 随机过程的分类 随机过程的概率分布 二维随机过程
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一、随机过程的定义
F { x1 , x 2 , , x n ; t 1 , t 2 , , t n }, F t 1 , t 2 , , t n T , t T , n 1
称为{X(t),tT}的有限维分布函数族。 当n=1时,得到一维分布函数F(x;t)=P{X(t)≤x},
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如何描述这样的变化过程：
1. 如果对其变化过程的全过程做一次观察,得到一个位 置与时间关系的函数x1(t ),若再次观察，又得到函数 x2(t ),… ,因而得到一族函数.
2. 如果在时刻t观察质点的位置x(t ),则x(t )是一个随机
变量,这样对于每个时刻t便得到一个随机变量X(t ),
(3).连续型随机序列: T是可列集,且tT,X(t)是连续型
随机变量，则称过程{X(t),tT}为连续型随机序列. 12
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(4).离散型随机序列:T是可列集, 且tT, X(t)为离
散型随机变量, 则称过程{X(t),tT}为离散型随机
序列。通常T取为T ={0,1,2…}或T ={0, ± 1， ±2…},此时随机序列常记成{Xn,n=0,1,…}或 {Xn,n0}。
例2: 考虑抛掷一颗骰子的试验，(i)设Xn是第n次（n≥1）
抛掷的点数，对于n=1,2……的不同值,Xn是不同的随机变 量，因而{Xn, n ≥1}构成一随机过程，称为贝努利过程 或贝努利随机序列，(ii)设Xn是前n次抛掷中出现的最大 点数，{Xn,n≥1}也是一随机过程。 9
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随机过程{Xn},t∈T}中参数t通常解释为时间集，
F{ x1 , x 2 , , x n ; t 1 , t 2 , , t n } P{ X (t 1 ) x1 , X (t 2 ) x 2 ,, X (t n ) x n }
为随机过程{X(t),tT}的n维分布函数.
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变化n及t1,t2，…，tn所得到的有限维分布函数的 全体
1.定义1
设E是一随机实验,样本空间为Ω={}，参数 T(-,+),如果对每个 ,总有一个确定的时间函数
X(,t)与之对应,这样对于所有的 ,就得到一族时间t的
函数,我们称此族时间t的函数为随机过程,而族中每一个函数 称为这个随机过程的样本函数。
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定义2：设E是一随机实验，样本空间为Ω={}，参数