2012届高三数学复习课件(广东文)第4章第4节函数的yAsin(ωxφ)的图象
2012高考(文科)数学一轮复习课件第4章第4节三角函数的应用及三角函数模型的简单应用(新课标版)
答案：y＝13sin 4x
4．试说明如何由函数 y＝sin x 的图象得到函数 y＝ 2sin13x－6π的图象．
解：由 y＝sin x 的图象得到 y＝2sin13x－π6的图象，只需 依次进行下列变换：
的形式；再作代换，令z＝
•
求出相应
的x的值(x1、x2、x3、x4、x5)及相应的y的 值(0、A、0、－A、0)；然后在坐标系中
作出五个点(x 0)、(x ，A)、(x 0)、(x ，
• 再用平滑的曲线将五个点连起来，然后向 两端延伸即可得到函数在整个定义域上的 图象．
• (2)用图象变换法作三角函数的图象，要明 确哪个是平移前的图象(函数)，哪个是平 移后的图象(函数)，将函数解析式整理成y ＝Asin(ωx＋φ)的形式．一个一般的三角函 数图象变换包括相位变换、周期变换、振 幅变换，还有可能涉及上下平移变换．这 些变换在顺序上是不确定的．一般来说， 我们常采用先相位(左右平移)变换，再周 期变换，最后振幅变换的顺序．如果有特
• 1．函数y＝sin(x＋φ)，x∈R(其中φ≠0)的图 象，可以看成是把正弦向左曲线上所有的向点右 (当φ＞0时)或 (当φ＜0时)平行移动|φ|个单位 长度而得到的．
• 2．函数y＝sin ωx，x∈R(其中ω缩＞短 0且ω≠1) 的伸图长象，可以看成是把正弦曲线上所有点 的横坐标 (当ω＞1时)或 (当0＜ω＜1时) 到原来的 倍(纵坐标不变)而得到的．
由 t＝0，y＝1.5，得 A＋b＝1.5.
由 t＝3，y＝1.0，得 b＝1.0.
2024年高考数学一轮复习(新高考版)《函数y=Asin(ωx+φ)》课件ppt
依题意，将 y＝sinx－π4的图象向左平移π3个单位长度，再将所得曲线 上所有点的横坐标扩大到原来的 2 倍，得到 f(x)的图象， 所以 y＝sinx－π4 —将—其—图—象—向—左—平——移—π3—个—单—位—长—度→ y＝sinx＋1π2的图象
—所—有—点—的—横—坐—标—扩—大—到——原—来—的—2→ 倍 f(x)＝sin2x＋1π2的图象.
C 项，先把曲线 C1 上点的横坐标缩短到原来的12倍(纵坐标不变)， 得 y＝cos 2x 的图象，再把得到的曲线向右平移1π2个单位长度得 y＝cos 2x－1π2＝cos2x－π6＝sin2x＋π3的图象，故 C 正确；
D 项，先把曲线 C1 上点的横坐标缩短到原来的12倍(纵坐标不变)， 得 y＝cos 2x 的图象，再把得到的曲线向左平移1π2个单位长度得 y＝cos 2x＋1π2＝cos2x＋π6＝sin2x＋23π的图象，故 D 错误.
思维升华
(1)由y＝sin
ωx的图象到y＝sin(ωx＋φ)的图象的变换：向左平移
φ ω
(ω>0，φ>0)个单位长度而非φ个单位长度.
(2)如果平移前后两个图象对应的函数的名称不一致，那么应先利用
诱导公式化为同名函数，ω为负时应先变成正值.
跟踪训练1 (1)(2023·洛阳模拟)已知曲线C1：y＝cos x，C2：y＝ sin2x＋π3 ， 为了得到曲线C2，则对曲线C1的变换正确的是
A.－32π＋3kπ，3kπ(k∈Z) B.3kπ，3kπ＋32π(k∈Z)
√C.－74π＋3kπ，－π4＋3kπ(k∈Z)
D.－π4＋3kπ，54π＋3kπ(k∈Z)
依题意，A－＋Ab＋＝b＝1，－3， 解得Ab＝＝－2，1， ∴f(x)＝2cos(ωx＋φ)－1， 而 f 1π2＝1，f π3＝－1， ∴T4＝π3－1π2＝π4， 故 T＝π＝2ωπ，则 ω＝2，
2012届高考数学(文)一轮复习课件5函数的定义域与值域(人教A版)
答案:B
2019/4/12
5.函数y=f(x)的值域是[-2,2],定义域是R,则函数y=f(x-2)的值域是( )
A.[-2,2]
C.[0,4]
B.[-4,0]
D.[-1,1]
答案:A
2019/4/12
类型一
函数的定义域
解题准备:(1)已知解析式求定义域的问题,应根据解析式中各部分
的要求,首先列出自变量应满足的不等式或不等式组,然后解这
2019/4/12
③当函数y=f(x)用解析式给出时,函数的值域由函数的定义域及其
对应关系唯一确定; ④当函数由实际问题给出时,函数的值域由问题的实际意义确定.
2019/4/12
考点陪练
2019/4/12
2019/4/12
考点陪练
1.(2010 湖北)函数 3 A. ,1 4 C.(1, )
2019/4/12
⑨抽象函数f(2x+1)的定义域为(0,1),是指x∈(0,1)而非0<2x+1<1;已
知函数f(x)的定义域为(0,1),求f(2x+1)的定义域时,应由0<2x+1<1 得出x的范围即为所求.
2019/4/12
【典例 1】求函数f x
lg ( x 2 2 x) 9 x
∴要使f(x2)有意义,则必有0≤x2≤1,
解得-1≤x≤1.
∴f(x2)的定义域为[-1,1].
2019/4/12
②由0≤ x 1≤1得1≤ x≤2.1≤x≤4(x≥0时, x才有意义) 函数f ( x 1)的定义域为1, 4 2 f lg x 1 的定义域为 0,9 , 0≤x≤9,1≤x 1≤10, 0≤lg x 1 ≤1 f x 的定义域为 0,1.由0≤2 x ≤1, 解得x≤0. f 2 x 的定义域为 , 0 .
2012届高三数学复习课件(广东文)第4章第1节__任意角的三角函数
解析： ) 设弧长为l，弓形面积为S弓． (1 10π 因为α = ，R = 10，所以l =| α |i R = ( cm )， 3 3 1 1 2 所以S弓 = S扇 − S ∆ = lR − R sinα 2 2
π
1 10π 1 π 3 2 ) ( cm 2 )． = × ×10 − × 10 × sin60° = 50( − 2 3 2 3 2 c −l ( 2 ) 方法1：由已知2R + l = c，所以R = ( l < c )， 2 1 1 c−l 1 c 2 c2 所以S扇 = Rl = i il = ( cl − l 2 ) = − (l − ) + . 2 2 2 4 2 16 c 2i c l l 2l 当l = ，即α = = = = 2 = 2时，扇形面 2 R c −l c−l c− c 2 2 c2 c2 积有最大值 .所以，当α = 2时，扇形面积有最大值 . 16 16
调性、有界性和对称性．二是 关注对诱导公式及同角三角函 数的基本关系的考查；三是充 分利用数形结合的思想，把图 象和性质结合起来，考查学生 的图象转换能力．在高考试题
，
考纲要求
高考展望
中，本章的知识点主要是以选 择题、填空题或解答题形式出 现，属中低档题．解题时要注 意规范解答，避免非智力因素 失分. 失分.
解析： 设扇形的半径为r，面积为S，圆心角为a，则 扇形的弧长为20 − 2r. 1 2 所以S = i( 20 − 2r )ir = − ( r − 5 ) + 25. 2 20 − 10 所以，当r = 5，α = = 2时，扇形的面积S 最大， 5 且最大值为25.
三角函数的定义
例题3： tanα = 2，利用三角函数的定义，求sinα 和cosα 若 的值．
广东省2012届高考数学理二轮专题复习课件：专题1 第04课时 函数的图像
两个不同的交点． 所以，实数a的取值范围是(2 2ln2， )．
第十四页，编辑于星期日：九点 三十六分。
本题考查形如方程ex+ax+b=0的根的情况问题，
由于不是普通方程，因此解题思路是利用数形
第十六页，编辑于星期日：九点 三十六分。
作出两个函数的图象如下图所示． 若a 0，由图象知不合题意；
当a 0时，由图象可知f 4 g 4，得a 1 .
2
第十七页，编辑于星期日：九点 三十六分。
1．函数性质的直观呈现形式是函数的图象，因 此识别函数图象的特征并能使图象与特定函数模型 “对上号”是要理清的基础知识，特殊点可以给解决 问题带来便利，因此学好课本知识尤显重要．
2．正因为图象感观强，因此数形数形结合一直被
命题者常用不止． 3．图象的平移、对称交换在函数题中也是经常出
现的，要在熟练熟记基本函数图形的基础上灵活变 通．
第十八页，编辑于星期日：九点 三十六分。
第十二页，编辑于星期日：九点 三十六分。
考点3 数形结合
例3 (改编题)若函数f x ex 2x a在R上有两个
零点，则实数a的取值范围是 ______________．
切入点：函数f x ex 2x a不是基本初等函数，
需先分成y 2x a和y ex两个部分，求导数，再 利用数形结合进行求解．
换作出判断.
解析 先画出f x的图象如右： A．f (x 1)的图象即f x
的图象向右平移一个单位长 度，正确；
B．f (x)的图象与f x的
图象关于y轴对称，正确；
第八页，编辑于星期日：九点 三十六分。
人教A版2012高三数学理全套解析一轮复习课件：3-4 函数yAsin(ωxφ)的图象及三角函数模型
第十四页，编辑于星期日：四点 七分。
高三总复习
人教A 版 ·数学 （理）
热点之一 五点法作图 用“五点法”作正、余弦函数的图象要抓住四点：(1)化为正 弦型 y＝Asin(ωx＋φ)或余弦型 y＝Acos(ωx＋φ)；(2)周期 T＝|2ωπ|； (3)振幅 A(A>0)⇒最大值 A 和最小值－A；(4)列出一个周期的五个 特殊点．
第二十二页，编辑于星期日：四点 七分。
高三总复习
人教A 版 ·数学 （理）
[例 2] 若将函数 y＝tan(ωx＋π4)(ω>0)的图象向右平移π6个单
位长度后，与函数 y＝tan(ωx＋π6)的图象重合，则 ω 的最小值为
()
1
1
1
1
A.6
B.4
C.3
D.2
[思路探究] 根据三角函数图象变换规律，写出变换后的函
2．了解三角函数是描述周期变化现象的重要函数 模型，会用三角函数解决一些简单实际问题．
第二页，编辑于星期日：四点 七分。
高三总复习
人教A 版 ·数学 （理）
1．y＝Asin(ωx＋φ)的有关概念 y＝Asin(ωx＋φ)，(A>0，ω>0，x∈R)表示一个振动量时，A 叫做 振幅 ，T＝2ωπ叫做周期，f＝T1叫做频率，ωx＋φ 日：四点 七分。
高三总复习
人教A 版 ·数学 （理）
热点之二 三角函数的图象变换 (1)平移变换 ①沿 x 轴平移，按“左加右减”法则； ②沿 y 轴平移，按“上加下减”法则． (2)伸缩变换 ①沿 x 轴伸缩时，横坐标 x 伸长(0<ω<1)或缩短(ω>1)为原来 的ω1 倍(纵坐标 y 不变)； ②沿 y 轴伸缩时，纵坐标 y 伸长(A>1)或缩短(0<A<1)为原来 的 A 倍(横坐标 x 不变)．
高考数学总复习 第四章 三角函数、解三角形 第5节 函数yAsin(ωxφ)的图像及应用教案 文(含
第5节 函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的图像及应用y ＝A sin(ωx ＋φ)的物理意义；能画出y ＝A sin(ωx ＋φ)的图像，了解参数A ，ω，φ对函数图像变化的影响；2.会用三角函数解决一些简单实际问题，体会三角函数是描述周期变化现象的重要函数模型.知 识 梳 理y ＝A sin(ωx ＋φ)一个周期内的简图时，要找五个关键点，如下表所示.x －φω －φω＋π2ωπ－φω3π2ω－φω 2π－φωωx ＋φ 0 π2π 3π2 2π y ＝A sin(ωx ＋φ)A－Ay ＝A sin(ωx ＋φ)的有关概念y ＝A sin(ωx ＋φ)(A ＞0，ω＞0)，x ∈[0，＋∞)表示一个振动量时振幅 周期频率相位初相AT ＝2πωf ＝1T ＝ω2πωx ＋φ φy ＝sin x 的图像经变换得到y ＝A sin(ωx ＋φ)的图像的两种途径[微点提醒]y ＝sin ωx 到y ＝sin(ωx ＋φ)(ω>0，φ>0)的变换：向左平移φω个单位长度而非φ个单位长度.y ＝A sin(ωx ＋φ)的对称轴由ωx ＋φ＝k π＋π2(k ∈Z )确定；对称中心由ωx ＋φ＝k π(k ∈Z )确定其横坐标.基 础 自 测1.判断下列结论正误(在括号内打“√”或“×”) (1)将函数y ＝3sin 2x 的图像左移π4个单位长度后所得图像的解析式是y ＝3sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π4.( ) (2)利用图像变换作图时“先平移，后伸缩”与“先伸缩，后平移”中平移的长度一致.( )(3)函数y ＝A cos(ωx ＋φ)的最小正周期为T ，那么函数图像的两个相邻对称中心之间的距离为T2.( ) (4)由图像求解析式时，振幅A 的大小是由一个周期内图像中最高点的值与最低点的值确定的.( )解析 (1)将函数y ＝3sin 2x 的图像向左平移π4个单位长度后所得图像的解析式是y ＝3cos2x .(2)“先平移，后伸缩”的平移单位长度为|φ|，而“先伸缩，后平移”的平移单位长度为⎪⎪⎪⎪⎪⎪φω.故当ω≠1时平移的长度不相等. 答案 (1)× (2)× (3)√ (4)√2.(必修4P56T3改编)y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －π3的振幅、频率和初相分别为( )A.2，4π，π3B.2，14π，π3C.2，14π，－π3D.2，4π，－π3解析 由题意知A ＝2，f ＝1T ＝ω2π＝14π，初相为－π3.答案 C3.(必修4P60B 组改编)某地农业监测部门统计发现：该地区近几年的生猪收购价格每四个月会重复出现.下表是今年前四个月的统计情况：月份x1234收购价格y (元/斤) 6 7 6 5选用一个正弦型函数来近似描述收购价格(元/斤)与相应月份之间的函数关系为________________________.解析 设y ＝A sin(ωx ＋φ)＋B (A >0，ω>0)，由题意得A ＝1，B ＝6，T ＝4，因为T ＝2πω，所以ω＝π2，所以y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2x ＋φ＋6.因为当x ＝2时，y ＝7，所以sin(π＋φ)＋6＝7，即sin φ＝－1， 即φ＝－π2＋2k π(k ∈Z )，可取φ＝－π2.所以y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2x －π2＋6＝6－cos π2x .答案 y ＝6－cos π2x4.(2019·某某模拟)函数y ＝2cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6的部分图像大致是( )解析 由y ＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6可知，函数的最大值为2，故排除D ；又因为函数图像过点⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，0，故排除B ；又因为函数图像过点⎝ ⎛⎭⎪⎫－π12，2，故排除C.答案 A5.(2016·全国Ⅰ卷)若将函数y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6的图像向右平移14个周期后，所得图像对应的函数为( )A.y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4B.y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3C.y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π4D.y ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π3 解析 函数y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6的周期为π，将函数y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6的图像向右平移14个周期即π4个单位，所得函数为y ＝2sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π4＋π6＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3，故选D.答案 D6.(2018·某某模拟改编)y ＝cos(x ＋1)图像上相邻的最高点和最低点之间的距离是________.解析 相邻最高点与最低点的纵坐标之差为2，横坐标之差恰为半个周期π，故它们之间的距离为π2＋4. 答案π2＋4考点一 函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的图像及变换【例1】 某同学用“五点法”画函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ) ⎝ ⎛⎭⎪⎫ω>0，|φ|<π2在某一个周期内的图像时，列表并填入了部分数据，如下表：ωx ＋φ 0 π2 π 3π2 2π X π3 5π6 A sin(ωx ＋φ)5－5(1)请将上表数据补充完整，并直接写出函数f (x )的解析式；(2)将y ＝f (x )图像上所有点向左平行移动θ(θ>0)个单位长度，得到y ＝g (xy ＝g (x )图像的一个对称中心为⎝⎛⎭⎪⎫5π12，0，求θ的最小值.解 (1)根据表中已知数据，解得A ＝5，ω＝2，φ＝－π6.数据补全如下表：ωx ＋φ 0 π2 π 3π2 2π x π12 π3 7π12 5π6 1312π A sin(ωx ＋φ)5－5且函数解析式为f (x )＝5sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6. (2)由(1)知f (x )＝5sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6， 得g (x )＝5sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋2θ－π6. 因为函数y ＝sin x 图像的对称中心为(k π，0)(k ∈Z ). 令2x ＋2θ－π6＝k π，k ∈Z ，解得x ＝k π2＋π12－θ(k ∈Z ).由于函数y ＝g (x )的图像关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫5π12，0成中心对称，所以令k π2＋π12－θ＝5π12(k ∈Z )，解得θ＝k π2－π3(k ∈Z ).由θ>0可知，当k ＝1时，θ取得最小值π6.规律方法 作函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(A ＞0，ω＞0)的图像常用如下两种方法：(1)五点法作图，用“五点法”作y ＝A sin(ωx ＋φ)的简图，主要是通过变量代换，设z ＝ωx ＋φ，由z 取0，π2，π，32π，2π来求出相应的x ，通过列表，计算得出五点坐标，描点后得出图像；(2)图像的变换法，由函数y ＝sin x 的图像通过变换得到y ＝A sin(ωx ＋φ)的图像有两种途径：“先平移后伸缩”与“先伸缩后平移”.【训练1】 (1)(2017·全国Ⅰ卷)已知曲线C 1：y ＝cos x ，C 2：y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋2π3，则下面结论正确的是( )C 1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移π6个单位长度，得到曲线C 2C 1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移π12个单位长度，得到曲线C 2C 1上各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移π6个单位长度，得到曲线C 2C 1上各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移π12个单位长度，得到曲线C 2(2)(2018·某某调研)若把函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx －π6的图像向左平移π3个单位长度，所得到的图像与函数y ＝cos ωx 的图像重合，则ω的一个可能取值是( ) A.2 B.32C.23D.12解析 (1)易知C 1：y ＝cos x ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π2，把曲线C 1上的各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，得到函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π2的图像，再把所得函数的图像向左平移π12个单位长度，可得函数y ＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π12＋π2＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋2π3的图像，即曲线C 2，因此D 项正确.(2)y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫ωx ＋ω3π－π6和函数y ＝cos ωx 的图像重合，可得ω3π－π6＝π2＋2k π，k ∈Z ，则ω＝6k ＋2，k ∈Z . ∴2是ω的一个可能值. 答案 (1)D (2)A考点二 求函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的解析式【例2】 (1)(一题多解)函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A ＞0，ω＞0，|φ|＜π)的部分图像如图所示，则函数f (x )的解析式为________.(2)(2019·长郡中学、某某八中联考)函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫ω>0，|φ|<π2的部分图像如图所示，已知A ⎝⎛⎭⎪⎫5π12，1，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫11π12，－1，则f (x )图像的对称中心为( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫k π2＋5π6，0(k ∈Z )B.⎝ ⎛⎭⎪⎫k π＋5π6，0(k ∈Z )C.⎝⎛⎭⎪⎫k π2＋π6，0(k ∈Z ) D.⎝ ⎛⎭⎪⎫k π＋π6，0(k ∈Z ) 解析 (1)由题图可知A ＝2，法一 T 4＝7π12－π3＝π4，所以T ＝π，故ω＝2， 因此f (x )＝2sin(2x ＋φ)， 又⎝⎛⎭⎪⎫π3，0对应五点法作图中的第三个点，因此2×π3＋φ＝π＋2k π(k ∈Z )，所以φ＝π3＋2k π(k ∈Z )，又|φ|<π2，所以φ＝π3.故f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3.法二 以⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，0为第二个“零点”，⎝ ⎛⎭⎪⎫7π12，－2为最小值点，列方程组⎩⎪⎨⎪⎧ω·π3＋φ＝π，ω·7π12＋φ＝3π2，解得⎩⎪⎨⎪⎧ω＝2，φ＝π3，故f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3.(2)T ＝2⎝⎛⎭⎪⎫11π12－5π12＝π＝2πω，∴ω＝2， 因此f (x )＝sin(2x ＋φ). 由五点作图法知A ⎝⎛⎭⎪⎫5π12，1是第二点，得2×5π12＋φ＝π2，2×5π12＋φ＝π2＋2k π(k ∈Z )，所以φ＝－π3＋2k π(k ∈Z )，又|φ|<π2，所以φ＝－π3.∴f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3.由2x －π3＝k π(k ∈Z )，得x ＝k π2＋π6(k ∈Z ).∴f (x )图像的对称中心为⎝⎛⎭⎪⎫k π2＋π6，0(k ∈Z ).答案 (1)f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3 (2)Cf (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A ＞0，ω＞0)的部分图像求其解析式时，A 比较容易看图得出，利用周期性求ω，难点是“φ”的确定. 2.y ＝A sin(ωx ＋φ)中φ的确定方法(1)代入法：把图像上的一个已知点代入(此时要注意该点在上升区间上还是在下降区间上)或把图像的最高点或最低点代入.(2)五点法：确定φ值时，往往以寻找“五点法”中的特殊点作为突破口.【训练2】 (1)(2019·某某一模)已知函数f (x )＝－2cos ωx (ω>0)的图像向左平移φ⎝⎛⎭⎪⎫0<φ<π2个单位，所得的部分函数图像如图所示，则φ的值为( )A.π6B.5π6C.π12D.5π12(2)已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫A >0，|φ|<π2，ω>0的图像的一部分如图所示，则f (x )图像的对称轴方程是________.解析 (1)由题图知，T ＝2⎝⎛⎭⎪⎫11π12－5π12＝π，∴ω＝2πT＝2，∴f (x )＝－2cos 2x ，∴f (x ＋φ)＝－2cos(2x ＋2φ)，则由图像知，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫512π＋φ＝－2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫56π＋2φ＝2. ∴5π6＋2φ＝2k π＋π(k ∈Z )，则φ＝π12＋k π(k ∈Z ). 又0<φ<π2，所以φ＝π12.(2)由图像知A ＝2，又1＝2sin(ω×0＋φ)，即sin φ＝12，又|φ|<π2，∴φ＝π6.又11π12×ω＋π6＝2π，∴ω＝2， ∴f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6，令2x ＋π6＝π2＋k π(k ∈Z )，得x ＝k π2＋π6(k ∈Z ).∴f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6的对称轴方程为x ＝k π2＋π6(k ∈Z ).答案 (1)C (2)x ＝k π2＋π6(k ∈Z )考点三 y ＝A sin(ωx ＋φ)图像与性质的应用 多维探究角度1 三角函数模型的应用【例3－1】 如图，某大风车的半径为2米，每12秒旋转一周，它的最低点O 离地面1米，点O 在地面上的射影为A .风车圆周上一点M 从最低点O 开始，逆时针方向旋转40秒后到达P 点，则点P 到地面的距离是________米.解析 以圆心O 1为原点，以水平方向为x 轴方向，以竖直方向为y 轴方向建立平面直角坐标系，则根据大风车的半径为2米，圆上最低点O 离地面1米，12秒转动一周，设∠OO 1P ＝θ，运动t (秒)后与地面的距离为f (t ).又周期T ＝12，所以θ＝π6t ，则f (t )＝3＋2sin ⎝⎛⎭⎪⎫θ－π2＝3－2cos π6t (t ≥0)， 当t ＝40 s 时，f (t )＝3－2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6×40＝4.答案 4角度2 三角函数性质与图像的综合应用【例3－2】 已知函数f (x )＝2sin ωx cos ωx ＋23sin 2ωx －3(ω>0)的最小正周期为π. (1)求函数f (x )的单调递增区间.(2)将函数f (x )的图像向左平移π6个单位，再向上平移1个单位，得到函数y ＝g (x )的图像，若y ＝g (x )在[0，b ](b >0)上至少含有10个零点，求b 的最小值. 解 (1)f (x )＝2sin ωx cos ωx ＋3(2sin 2ωx －1)＝sin 2ωx －3cos 2ωx ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2ωx －π3. 由最小正周期为π，得ω＝1， 所以f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π3，由2k π－π2≤2x －π3≤2k π＋π2(k ∈Z )，整理得k π－π12≤x ≤k π＋5π12(k ∈Z )，所以函数f (x )的单调递增区间是⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－π12，k π＋5π12(k ∈Z ).(2)将函数f (x )的图像向左平移π6个单位，再向上平移1个单位，得到y ＝2sin 2x ＋1的图像；所以g (x )＝2sin 2x ＋1.令g (x )＝0，得x ＝k π＋7π12或x ＝k π＋11π12(k ∈Z )，所以在[0，π]上恰好有两个零点，若y ＝g (x )在[0，b ]上有10个零点，则b 不小于第10个零点的横坐标即可.所以b 的最小值为4π＋11π12＝59π12.规律方法 1.三角函数模型的应用体现在两方面：一是已知函数模型求解数学问题，二是把实际问题抽象转化成数学问题，建立数学模型，再利用三角函数的有关知识解决问题. 2.方程根的个数可转化为两个函数图像的交点个数.y ＝A sin(ωx ＋φ)的性质时可将ωx ＋φ视为一个整体，利用换元法和数形结合思想进行解题.【训练3】 (1)某城市一年中12个月的平均气温与月份的关系可近似地用函数y ＝a ＋A cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6（x －6）(x ＝1，2，3，…，12)来表示，已知6月份的月平均气温最高为28 ℃，12月份的月平均气温最低为18 ℃，则10月份的平均气温为________℃. 解析 因为当x ＝6时，y ＝a ＋A ＝28；当x ＝12时，y ＝a －A ＝18，所以a ＝23，A ＝5， 所以y ＝f (x )＝23＋5cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6（x －6），所以当x ＝10时，f (10)＝23＋5cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6×4 ＝23－5×12＝20.5.(2)已知函数f (x )＝5sin x cos x －53cos 2x ＋523(其中x ∈R )，求：①函数f (x )的最小正周期； ②函数f (x )的单调区间；③函数f (x )图像的对称轴和对称中心.解 ①因为f (x )＝52sin 2x －532(1＋cos 2x )＋532＝5(12sin 2x －32cos 2x )＝5sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3，所以函数的最小正周期T ＝2π2＝π. ②由2k π－π2≤2x －π3≤2k π＋π2(k ∈Z )，得k π－π12≤x ≤k π＋5π12(k ∈Z )，所以函数f (x )的递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－π12，k π＋5π12(k ∈Z ).由2k π＋π2≤2x －π3≤2k π＋3π2(k ∈Z )，得k π＋5π12≤x ≤k π＋11π12(k ∈Z )，所以函数f (x )的递减区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π＋5π12，k π＋11π12(k ∈Z ).③由2x －π3＝k π＋π2(k ∈Z )，得x ＝k π2＋5π12(k ∈Z )，所以函数f (x )的对称轴方程为x ＝k π2＋5π12(k ∈Z ).由2x －π3＝k π(k ∈Z )，得x ＝k π2＋π6(k ∈Z )，所以函数f (x )的对称中心为⎝⎛⎭⎪⎫k π2＋π6，0(k ∈Z ).[思维升华](1)五点法作简图要取好五个关键点，注意曲线凸凹方向；(2)图像变换时的伸缩、平移总是针对自变量x 而言，而不是看角ωx ＋φ的变化.解决由函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的图像确定A ，ω，φ的问题时，常常以“五点法”中的五个点作为突破口，要从图像的升降情况找准第一个“零点”和第二个“零点”的位置.要善于抓住特殊量和特殊点. [易错防X]y ＝sin x 的图像经过变换得到y ＝A sin(ωx ＋φ)的图像，如先伸缩再平移时，要把x 前面的系数提取出来.y ＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0)的单调区间的确定，基本思想是把ωx ＋φω<0，要先根据诱导公式进行转化.y ＝A sin(ωx ＋φ)在x ∈[m ，n ]上的最值，可先求t ＝ωx ＋φ的X 围，再结合图像得出y＝A sin t 的值域.逻辑推理与数学运算——三角函数中有关ω的求解数学运算是解决数学问题的基本手段，通过运算可促进学生思维的发展；而逻辑推理是得到数学结论、构建数学体系的重要方式.运算和推理贯穿于探究数学问题的始终，可交替使用，相辅相成.类型1 三角函数的周期T 与ω的关系【例1】 为了使函数y ＝sin ωx (ω>0)在区间[0，1]上至少出现50次最大值，则ω的最小值为( )A.98πB.1972πC.1992π解析 由题意，至少出现50次最大值即至少需用4914个周期，所以1974T ＝1974·2πω≤1，所以ω≥1972π.答案 B评析 解决此类问题的关键在于结合条件弄清周期T ＝2πω与所给区间的关系，从而建立不等关系.类型2 三角函数的单调性与ω的关系【例2】 若函数f (x )＝sin ωx (ω>0)在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3，π2上单调递减，则ω的取值X 围是( ) A.0≤ω≤23B.0≤ω≤32C.23≤ω≤3D.32≤ω≤3 解析 令π2＋2k π≤ωx ≤32π＋2k π(k ∈Z )，得π2ω＋2k πω≤x ≤3π2ω＋2k πω，因为f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3，π2上单调递减，所以⎩⎪⎨⎪⎧π2ω＋2k πω≤π3，π2≤3π2ω＋2k πω，得6k ＋32≤ω≤4k ＋3.又ω>0，所以k ≥0，又6k ＋32<4k ＋3，得0≤k <34，所以k ＝0.故32≤ω≤3. 答案 D评析 根据正弦函数的单调递减区间，确定函数f (x )的单调递减区间，根据函数f (x )＝sinωx (ω>0)在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3，π2上单调递减，建立不等式，即可求ω的取值X 围.类型3 三角函数的对称性、最值与ω的关系【例3】 (1)(2019·枣庄模拟)已知f (x )＝sin ωx －cos ωx ⎝ ⎛⎭⎪⎫ω>23，若函数f (x )图像的任何一条对称轴与x 轴交点的横坐标都不属于区间(π，2π)，则ω的取值X 围是________.(结果用区间表示)(2)已知函数f (x )＝2sin ωx 在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，π4上的最小值为－2，则ω的取值X 围是________.解析 (1)f (x )＝sin ωx －cos ωx ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫ωx －π4，令ωx －π4＝π2＋k π(k ∈Z )，解得x ＝3π4ω＋k πω(k ∈Z ).当k ＝0时，3π4ω≤π，即34≤ω，当k ＝1时，3π4ω＋πω≥2π，即ω≤78.综上，34≤ω≤78.(2)显然ω≠0，分两种情况：若ω>0，当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，π4时，－π3ω≤ωx ≤π4ω.因函数f (x )＝2sin ωx 在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，π4上的最小值为－2，所以－π3ω≤－π2，解得ω≥32.若ω<0，当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，π4时，π4ω≤ωx ≤－π3ω，因函数f (x )＝2sin ωx 在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，π4上的最小值为－2，所以π4ω≤－π2，解得ω≤－2.综上所述，符合条件的实数ω≤－2或ω≥32.答案 (1)⎣⎢⎡⎦⎥⎤34，78(2)⎩⎨⎧⎭⎬⎫ω|ω≤－2或ω≥32评析 这类三角函数题除了需要熟练掌握正弦函数、余弦函数、正切函数的单调性外，还必须知晓一个周期里函数最值的变化，以及何时取到最值，函数取到最值的区间要求与题目给定的区间的关系如何.基础巩固题组 (建议用时：40分钟)一、选择题1. (2016·全国Ⅱ卷)函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的部分图像如图所示，则( )A.y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6B.y ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π3 C.y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6 D.y ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π3 解析 由题图可知，A ＝2，T ＝2⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3－⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6＝π，所以ω＝2，由五点作图法知2×π3＋φ＝π2＋2k π(k ∈Z )，所以φ＝－π6，所以函数的解析式为y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6.答案 A2.(2019·某某期中)将函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋φ2·cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋φ2的图像沿x 轴向左平移π8个单位后，得到一个偶函数的图像，则φ的取值不可能是( ) A.－3π4 B.－π4C.π4D.5π4解析 将y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋φ2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋φ2＝12sin(2x ＋φ)的图像向左平移π8个单位后得到的图像对应的函数为y ＝12sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4＋φ，由题意得π4＋φ＝k π＋π2(k ∈Z )，∴φ＝k π＋π4(k ∈Z )，当k ＝－1，0，1时，φ的值分别为－3π4，π4，5π4，φ的取值不可能是－π4.答案 B3.(2019·某某模拟)已知点P (32，－332)是函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(ω>0)图像上的一个最低点，M ，N 是与点P 相邻的两个最高点，若∠MPN ＝60°，则该函数的最小正周期是( ) A.3 B.4 C.5解析 由P 是函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(ω>0)图像上的一个最低点，M ，N 是与P 相邻的两个最高点，知|MP |＝|NP |，又∠MPN ＝60°，所以△MPN 为等边三角形. 由P ⎝ ⎛⎭⎪⎫32，－332，得|MN |＝2×3323×2＝6. ∴该函数的最小正周期T ＝6. 答案 D4.(2018·某某卷)将函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π5的图像向右平移π10个单位长度，所得图像对应的函数( )⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，π4上单调递增⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，0上单调递减 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，π2上单调递增 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，π上单调递减 解析 y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π5＝sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π10，将其图像向右平移π10个单位长度，得到函数y ＝sin2xk π－π2≤2x ≤2k π＋π2，k ∈Z ，得k π－π4≤x ≤k π＋π4，k ∈Z .令k ＝0，可知函数y ＝sin 2x 在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，π4上单调递增.答案 A5.(2019·某某模拟)将函数f (x )＝3sin 2x －cos 2x 的图像向左平移t (t >0)个单位后，得到函数g (x )的图像，若g (x )＝g ⎝ ⎛⎭⎪⎫π12－x ，则实数t 的最小值为( )A.5π24B.7π24C.5π12D.7π12解析 由题意得，f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6， 则g (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋2t －π6，从而2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋2t －π6＝2sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫π12－x ＋2t －π6＝－2sin(2x －2t )＝2sin(2x －2t ＋π)，又t >0，所以当2t －π6＝－2t ＋π＋2k π时，即t ＝7π24＋k π2(k ∈Z )，实数t min ＝724π.答案 B 二、填空题y ＝sin x 的图像上所有的点向右平移π10个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，所得图像的函数解析式是________________.―————————―→横坐标伸长到原来的2倍y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －π10.答案 y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －π107. (2018·某某质检)函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0，0<φ<π)的部分图像如图所示，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝________.解析 由图像可知A ＝2，34T ＝11π12－π6＝3π4，∴T ＝π，∴ω＝2.∵当x ＝π6时，函数f (x )取得最大值，∴2×π6＋φ＝π2＋2k π(k ∈Z )，∴φ＝π6＋2k π(k ∈Z )，∵0<φ<π，∴φ＝π6，∴f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋π6＝2cos π6＝ 3.答案3f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫ωx ＋π3(ω>0)，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，且f (x )在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，π3上有最小值，无最大值，则ω＝____________________________________________. 解析 依题意，x ＝π6＋π32＝π4时，y 有最小值，∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4·ω＋π3＝－1，∴π4ω＋π3＝2k π＋3π2 (k ∈Z ).∴ω＝8k ＋143(k ∈Z )，因为f (x )在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，π3上有最小值，无最大值， 所以π3－π4≤πω，即ω≤12，令k ＝0，得ω＝143.答案143三、解答题9.某实验室一天的温度(单位：℃)随时间t (单位：h)的变化近似满足函数关系：f (t )＝10－3cos π12t －sin π12t ，t ∈[0，24).(1)某某验室这一天上午8时的温度； (2)某某验室这一天的最大温差. 解 (1)f (8)＝10－3cos ⎝⎛⎭⎪⎫π12×8－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π12×8＝10－3cos 2π3－sin 2π3＝10－3×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12－32＝10.故实验室上午8时的温度为10 ℃. (2)因为f (t )＝10－2(32cos π12t ＋12sin π12t )＝10－2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π12t ＋π3，又0≤t <24，所以π3≤π12t ＋π3<7π3，－1≤sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π12t ＋π3≤1.当t ＝2时，sin ⎝⎛⎭⎪⎫π12t ＋π3＝1；当t ＝14时，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π12t ＋π3＝－1. 于是，f (t )在[0，24)上取得最大值12，取得最小值8.故实验室这一天的最高温度为12 ℃，最低温度为8 ℃，最大温差为4 ℃.f (x )＝3sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎪⎫ω＞0，－π2≤φ＜π2的图像关于直线x ＝π3对称，且图像上相邻最高点的距离为π.(1)求f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4的值；(2)将函数y ＝f (x )的图像向右平移π12个单位后，得到y ＝g (x )的图像，求g (x )的单调递减区间.解 (1)因为f (x )的图像上相邻最高点的距离为π， 所以f (x )的最小正周期T ＝π，从而ω＝2πT＝2.又f (x )的图像关于直线x ＝π3对称， 所以2×π3＋φ＝k π＋π2(k ∈Z )，因为－π2≤φ＜π2，所以k ＝0，所以φ＝π2－2π3＝－π6，所以f (x )＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6， 则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝3sin ⎝⎛⎭⎪⎫2×π4－π6＝3sin π3＝32.(2)将f (x )的图像向右平移π12个单位后，得到f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π12的图像，所以g (x )＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π12＝3sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π12－π6＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3.当2k π＋π2≤2x －π3≤2k π＋3π2(k ∈Z )，即k π＋5π12≤x ≤k π＋11π12(k ∈Z )时，g (x )单调递减.因此g (x )的单调递减区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π＋5π12，k π＋11π12(k ∈Z ).能力提升题组 (建议用时：20分钟)11.(2019·某某调研)已知x ＝π12是函数f (x )＝3sin(2x ＋φ)＋cos(2x ＋φ)(0<φ<π)图像的一条对称轴，将函数f (x )的图像向右平移3π4个单位长度后得到函数g (x )的图像，则函数g (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，π6上的最小值为( ) A.－2 B.－1 C.－2D.－ 3解析 ∵x ＝π12是f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6＋φ图像的一条对称轴，∴π3＋φ＝k π＋π2(k ∈Z )，即φ＝k π＋π6(k ∈Z ).∵0<φ<π，∴φ＝π6，则f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3， ∴g (x )＝－2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，π6上的最小值为g ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＝－1.答案 Bf (x )＝23sin ωx 2cos ωx 2＋2cos 2ωx 2－1(ω>0)的最小正周期为π，当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2时，方程f (x )＝m 恰有两个不同的实数解x 1，x 2，则f (x 1＋x 2)＝( ) A.2 B.1 C.－1 D.－2 解析 函数f (x )＝23sinωx2cosωx2＋2cos2ωx2－1＝3sin ωx ＋cos ωx ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫ωx ＋π6.由T ＝2πω＝π，可得ω＝2，∴f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6. ∵x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，∴π6≤2x ＋π6≤7π6，∴－1≤f (x )≤2.画出f (x )的图像(图略)，结合图像知x 1＋x 2＝π3，则f (x 1＋x 2)＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3＋π6＝2sin 5π6＝1.答案 B13.(2019·某某省际名校联考)将函数f (x )＝1－23·cos 2x －(sin x －cos x )2的图像向左平移π3个单位，得到函数y ＝g (x )的图像，若x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，π2，则函数g (x )的单调递增区间是________.解析 ∵f (x )＝1－23cos 2x －(sin x －cos x )2＝sin 2x －3cos 2x －3＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3－3，∴g (x )＝2sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3－π3－3＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3－3，由－π2＋2k π≤2x ＋π3≤π2＋2k π(k ∈Z )，得－5π12＋k π≤x ≤π12＋k π(k ∈Z )，∵x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，π2， ∴函数g (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，π2上的单调递增区间是⎣⎢⎡⎦⎥⎤－5π12，π12. 答案 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤－5π12，π12f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A ＞0，ω＞0，|φ|＜π2)的部分图像如图所示.(1)求函数f (x )的解析式；(2)将函数y ＝f (x )的图像上各点的纵坐标保持不变，横坐标缩短到原来的12倍，再把所得的函数图像向左平移π6个单位长度，得到函数y ＝g (x )的图像，求函数g (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π8上的最小值.word解 (1)设函数f (x )的最小正周期为T ，由题图可知A ＝1，T 2＝2π3－π6＝π2， 即T ＝π，所以π＝2πω，解得ω＝2， 所以f (x )＝sin(2x ＋φ)，又过点⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，0， 由0＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2×π6＋φ可得π3＋φ＝2k π(k ∈Z )， 则φ＝2k π－π3(k ∈Z )，因为|φ|＜π2，所以φ＝－π3， 故函数f (x )的解析式为f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π3. (2)根据条件得g (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫4x ＋π3， 当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π8时，4x ＋π3∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3，5π6， 所以当x ＝π8时，g (x )取得最小值，且g (x )min ＝12.。
高中数学三角函数函数yasin(ωxφ)的图象与性质函数y=asin(ωx+φ)的图象与性质
跟踪演练 1 要得到 y＝cos2x－π4的图象，只要将 y＝sin 2x 的
图象( )
A．向左平移π8个单位
B．向右平移π8个单位
C．向左平移π4个单位
D．向右平移π4个单位
第十二页，共三十页。
解析 y＝sin 2x＝cosπ2－2x＝cos2x－π2 ＝cos2x－π4＝cos2x－π8－π4 若设 f(x)＝sin 2x＝cos 2x－π8－π4， 则 fx＋π8＝cos2x－π4，∴向左平移π8个单位．
第二十七页，共三十页。
(2)y＝sin x―周―期―变―换→y＝sin ωx―相―位―变―换→
y＝sin[ω(x＋ωφ )]＝sin(ωx＋φ)―振―幅―变―换→
y＝Asin(ωx＋φ)． 注意：两种途径的变换顺序不同，其中变换的量也有所不同： (1)是先相位变换后周期变换，平移|φ|个单位．(2)是先周期变换 后相位变换，平移|ωφ|个单位．
指出其变换步骤．
第二页，共三十页。
1 预习(yùxí)导学
实
2 课堂(kètáng)讲义
3 当堂(dānɡ tánɡ)检测
功
第三页，共三十页。
挑战自我，点点落
重点难点，个个击破 当堂训练，体验成
[知识(zhī shi)链接]
1．“五点法”作图 画正弦函数 y＝sin x，x∈[0,2π]的图象，五个关键点是 (0,0)， π2，1，(π，0)，32π，－1，(2π，0) ．
第二十六页，共三十页。
课堂(kètáng)小结
1.由y＝sin x的图象，通过变换可得到函数y＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)
的图象，其变化(biànhuà)途径有两条：
(1)y＝sin x―相―位―变―换→y＝sin(x＋φ)―周―期―变―换→ y＝sin(ωx＋φ)―振―幅―变―换→y＝Asin(ωx＋φ)．
广东省2012届高考数学文二轮专题复习课件：专题1 第07课时 函数与方程
实数a的取值范围．
第六页，编辑于星期日：九点 三十五分。 6
切入点：要注意题目要求，第1问，首先要
证明f x在0,1上的零点的存在性和唯一性，
然后再用二分法求其零点；第 2 问采用“分
离系数法”，转化为函数的最值问题．
第七页，编辑于星期日：九点 三十五分。 7
由上表可知区间0.375,0.5的长度为0.125 0.2，
所以函数f x的零点的近似值可取0.375(或0.5)．
第九页，编辑于星期日：九点 三十五分。 9
2当x 1时，由f x ax，得a ex 4xx
3，则g
x
ex
x
1 x2
3.
因为x 1，所以g x 0，
x
所以，当a 0时，f x 0，x (0， )， 即f x lnx ax在(0， )上为单调增函数． 故f x 0在(0， )上不可能有两个实根，
所以a 0.
令f x 0，得x 1 .
a
第二十二页，编辑于星期日：九点 三十五分。22
当0 x 1 时，f x 0，f x单调递增；
A．0, 0.5，f 0.25
B．0,1，f 0.25
C．0.5,1，f 0.75
D．0, 0.5，f 0.125
解析 由f 0 0，f 0.5 0，知零点 x0 0,0.5．第二次应计算f 0.25．
第十二页，编辑于星期日：九点 三十五分。 12
考点3 函数与方程及不等式的联系
例3(2011 惠州三模)已知函数f x ex，直线l的方程为
ex kx b，x [0， )，再由函数的最小值大于 或等于零分类求k、b满足的条件．
解析 1因为f x ex，则记切点为T (t，et )， 所以切线l的方程为y et et x t ， 即y et x et 1 t ．
函数yAsin(ωxφ)的图象(一)教案
1.5函数y=Asin(ωx+ϕ)(A>0，ω>0)的图象教材：人教版《普通高中课程规范实验教科书·数学（A版）》必修4课题：1.5函数y = Asin(ωx+ϕ)的图象一、教案目标：1、知识与技能1.ϕ对y = sin(x+ϕ)的图像的影响。
2.ω对y = sin(ωx+ϕ)的图像的影响。
3. A对y = Asin(ωx+ϕ)的图像的影响。
4. y = Asin(ωx+ϕ)的图像的画法。
2、过程与方法1.会用相位变换、周期变换、振幅变换分别作y = sin(x+ϕ)、y = sin(ωx+ϕ)、y = Asin(ωx+ϕ)的图像。
2.会用五点法和图形变换法作出y = Asin(ωx+ϕ)的图像。
3、情感态度价值观1.渗透数形结合思想、增强作图能力。
了解由简单到复杂，由特殊到一般的化归思想；培养全面分析、抽象和概括的能力。
2.培养动与静的辩证关系，善于从运动的观点观察问题，并解决问题。
二、教案重点、难点1、教案重点：将参数A，ω，ϕ对函数y = Asin(ωx+ϕ)图象的影响的问题进行分解，从而学习如何将一个复杂问题分解为若干个简单问题的方法。
2、教案难点：ω对函数y = Asin(ωx+ϕ)的图象的影响规律的概括3、教案关键：理解三个参数A、ω、φ对函数y = Asin(ωx+ϕ)（ω＞0，A＞0）图像的影响。
三、课前准备教师准备：教案课件四、教案过程：一、导入新课，提出课题师：数学研究生活实际，那在某次实验里面，我们测得交流电电流y 随着时间x 变化的图象图（1），如果将图象局部放大，便得到图（2），看图（2）它跟我们上节课讲得正弦曲线非常相似，那这个图象，它是一个形如y = Asin(ωx+ϕ)的函数，那这个函数跟正弦函数究竟有什么关系呢？这就是这节课要研究的问题。
揭示课题：函数y = Asin(ωx+ϕ)的图像（一）（板书）（1）（2）二、推进新课师： 要研究这个函数跟正弦函数的关系，那我们看这个解读式y = Asin(ωx+ϕ)，它分别有三个参数，一个是A ，一个是ω，还有一个是ϕ，那如果以此式研究它的话，有点困难，并且难以看出这三个参数的影响，因此我们一个一个去研究它。
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6
B.T 6, 6
3
C.T 6 ,
D.T 6 ,
3
1 解析：因为f x 的图象过点 0,1，所以sin . 2 2 又因为 | | ＜ ，所以 .而T 6，故选A. 2 6 3
平移和伸缩变换得到？
1 5 1 1 y sin(2x ) 的振幅为A ， 2 6 4 2 2 周期为T ，初相为 . 2 6 1 5 1 5 2 令x1 2x ，则y sin(2x ) sinx1 . 6 2 6 4 2 4 列出下表，并描出图象，如图.
4
个单位长度，所得
5.函数y 3sin(2x )的振幅为 3 ； 3 5 [k ，k ](k Z) 单调递减区间为 . 12 12
解析：振幅为3；又y 3sin(2x ) 3sin(2x )， 3 3 则
2 2k 2x Fra bibliotek
4.将函数y sin(2x )的图象上各点的横坐标伸长到原 4 来的2倍，再将所得图象向右平移
到的图象对应的函数解析式是 y sinx .
解析：将函数y sin(2x )的图象上各点的横坐标伸长 4 到原来的2倍，得到的图象对应的函数解析式为 y sin( x )；再将所得图象向右平移 个单位长度， 4 4 所得到的图象对应的函数解析式是y sinx.
3
2
2k (k Z)，故得
5 y 3sin(2x )的递减区间为[k ，k ](k Z)． 3 12 12
三角函数图象的变换
1 5 例题1：已知函数y sin(2x ) ，x R. 2 6 4 1 求它的振幅、周期、初相；
2 用五点法作出它的简图； 3 该函数的图象可由y sinx( x R)的图象经过怎样的
2.若函数y sin(2x )(0 )是R上的偶函数，则
的值是 B
A.
C. D. 0
4
B.
2
解析：函数y sin(2x )是R上的偶函数，则y轴是其 图象的对称轴．而在对称轴处的点的纵坐标应为函数 的最值，则有sin 1或sin 1.又0 ，则
①将图象上的所有点的横坐标变为原来的(纵坐标不变)；
x 三种变换，将函数y sinx的图象变成y sin( ) 1的 2 3 图象，那么这三种变换正确的标号是
②─④─⑦(或④─②─⑦；②─⑦─④；⑤─②─④；
⑤─④─②；④─⑤─②) (要求按变换先后顺序填上你认为正确的标号即可)．
向左平移 个单位长度 6
1 各点的横坐标变为原来的 （纵坐标不变） 2 1 各点的纵坐标变为原来的 （横坐标） 2
3 方法2：将函数的图象依次作如下变换：
此函数的图象可以由y sinx的图象经过如下的变换得到： 函数y sinx的图象 函数y
向左平移 1 各点的横坐标变为原来的 （纵坐标不变） 2 个单位长度
sin2x的图象 函数y sin(2x )的图象 6 5 向上平移 个单位长度 5 2 函数y sin(2x ) 的图象 6 2 1 各点的纵坐标变为原来的 （横坐标） 1 5 2 函数y sin(2x ) 的图象． 2 6 4
6
个
12
个单位长度．
拓展练习：给出下列八种图象的变换方法： ②将图象上的所有点的横坐标变为原来的2倍(纵坐标不 变)；③将图象向上平移1个单位长度；④将图象向下平 移1个单位长度；⑤将图象向左平移个单位长度；⑥将 图象向右平移个单位长度；⑦将图象向左平移个单位长 度；⑧将图象向右平移个单位长度．请用上述变换中的
2
.
3.函数y sin(2x )在区间[ ， ]上的简图是 A 3 2
解析：用排除法：将点( ， 0)代入y sin(2x )，符合， 6 3
而点( ， 0)不符合，排除C、D；将x 代入y sin(2x )， 3 3 5 得到y sin(2 ) sin 0，显然选A. 3 3
12
反思小结：已知函数y Asin( x )的解析式画图，要 注意定义域以及利用一些简单的性质，基本初等函数 的图象是基础．基本方法有： 1 五点法； 2 变换法．有 关变换法需注意两点：一是周期变换、相位变换、振 幅变换可按任意次序进行；二是在不同的变换次序下 平移变换的量可能不同．在方法1中图象向左平移 单位长度，而在方法2中图象向左平移
x
x1 2x
12
6
5 12
2 3
3 2
11 12
6
0
2
0
5 4
2
y sinx1
1 5 y sinx1 2 4
0
5 4
1
7 4
1
3 4
0
5 4
列出下表，并描出图象，如图.
3 方法1：将函数的图象依次作如下变换：
此函数的图象可以由y sinx的图象经过如下的变换 得到：函数y sinx的图象 函数y sin( x )的图象 函数y 6 sin(2x )的图象 函数y 6 5 向上平移 个单位长度 1 4 sin(2x )的图象 函数y 2 6 1 5 sin(2x ) 2 6 4