拉普拉斯变换对照表
拉普拉斯变换表
拉普拉斯变换表拉普拉斯变换是一种非常重要的数学工具，它在物理、工程、数学、经济等领域均有广泛的应用。
本文将详细介绍拉普拉斯变换的定义、性质、公式表、逆变换及其应用方面的内容。
一、拉普拉斯变换的定义拉普拉斯变换是一种数学工具，用于将一个函数f(t)在复数域上进行变换。
拉普拉斯变换L{f(t)}的定义如下：L{f(t)}=F(s)=∫_0^∞e^(-st)f(t)dt其中，s是复数域上的变量，f(t)是定义在[0,∞)上的函数。
式中的e^-st可以看作是一个因子，它起到了对f(t)作拉普拉斯变换的影响作用。
二、拉普拉斯变换的性质(1)线性性：L{af(t)+bg(t)}=aL{f(t)}+bL{g(t)}其中，a和b为任意常数。
(2)时移性：L{f(t-k)}=e^(-ks)F(s)其中，k为任意实数。
(3)尺度变换：L{f(at)}=1/aF(s/a)其中，a为任意实数，a≠0。
(4)复合性：若F(s)=L{f(t)}，G(s)=L{g(t)}，则L{f(g(t))}=F(G(s))。
(5)初值定理：lim_(t→0^+)f(t)=lim_(s→∞)sF(s)(6)终值定理：lim_(t→∞)f(t)=lim_(s→0^+)sF(s)三、拉普拉斯变换表以下是一些常用的函数的拉普拉斯变换表。
f(t) F(s)t^n n!/s^(n+1)e^at 1/(s-a)sin(at) a/(s^2+a^2)cos(at) s/(s^2+a^2)1 1/st 1/s^2(t^n)e^at n!/(s-a)^(n+1)u(t-a) e^(-as)/sexp(-at)u(t) 1/(s+a)1-exp(-at)u(t) 1/(s(s+a))1/(a+t) exp(-as)δ(t-a) e^(-as)t^n u(t) n!/s^(n+1)t^n exp(-at)u(t) n!/(s+a)^(n+1)(t^n sin(bt))u(t) nb^s/(s^2+b^2)^(n+1)(t^n cos(bt))u(t) s^n/(s^2+b^2)^(n+1)其中，δ(t)表示狄拉克函数，u(t)即单位阶跃函数。
拉普拉斯变换及其逆变换表
拉普拉斯变换及其反变换表1.表A-1 拉氏变换的基本性质2．表A-2 常用函数的拉氏变换和z变换表3． 用查表法进行拉氏反变换用查表法进行拉氏反变换的关键在于将变换式进行部分分式展开，然后逐项查表进行反变换。
设)(s F 是s 的有理真分式11n 1n n n 011m 1m m m a s a s a s a b s b s b s b )s (A )s (B )s (F ++++++++==----ΛΛ （m n >）式中系数n 1n 10a ,a ,...,a ,a -，m1m 10b ,b ,b ,b -Λ都是实常数；n m ,是正整数。
按代数定理可将)(s F 展开为部分分式。
分以下两种情况讨论。
① 0)(=s A 无重根这时，F(s)可展开为n 个简单的部分分式之和的形式。
∑=-=-++-++-+-=n 1i iin n i i 2211s s c s s c s s c s s c s s c )s (F ΛΛ 式中，Sn 2S 1S ，，，Λ是特征方程A(s)＝0的根。
i c 为待定常数，称为F(s)在i s 处的留数，可按下式计算：或式中，)(s A '为)(s A 对s 的一阶导数。
根据拉氏变换的性质，从式（F-1）可求得原函数② 0)(=s A 有重根设0)(=s A 有r 重根1s ，F(s)可写为 =nni i 1r 1r 111r 11r r 1r s s c s s c s s c )s s (c )s s (c )s s (c -++-++-+-++-+-++--ΛΛΛ 式中，1s 为F(s)的r 重根，1+r s ，…, n s 为F(s)的n-r 个单根；其中，1+r c ，…, n c 仍按式(F-2)或(F-3)计算，r c ，1-r c ，…, 1c 则按下式计算： 原函数)(t f 为ts n 1r i i t s 122r 1r 1r r 1e c e c t c t )!2r (c t )!1r (c ∑+=---+⎥⎦⎤⎢⎣⎡+++-+-=Λ （F-6）。
Laplace变换表
J 0 at
sn
1 s
74③
1 s2 a2
75
③
I 0 at
1 s2 a2
76
J 0 2 at
1 a e s s
1
77
ebt I 0 at
s b
2
a2
78
tJ o at
tI 0 at
J 0 a t t 2b
1
sin 2 at
e
a s
53
t
sh 2 at
e
a s
54 55
1 bt e eat t 2 sh at t 2 (1 cos at ) t 2 1 ch at t
sa s b sa a ln 2 Arth sa s
56
ln
s2 a2 s2
57
s2 a2 ln s2
2
a2
2
13
2i s 2 a 2s a
2
m 1
2 m 1
s ia
m 1
s ia
m 1
m 1
2 m 1
14
s ia
m 1
s ia
m 1
15
ebt sin at
25
26
1 s s a2
2 2
27
1 s s a2
3 2
28
1 s s a2
3 2
29
1 sin at at cos at 2a 3 1 sin at at cos at 2a 1 1 1 cos at 3 t sin at 4 a 2a
拉普拉斯变换表
序 号 拉氏变换 E(s)
时间函数 e(t)
1
1
2
1 1 − e−Ts
3
1
s
δ(t)
∞
δT (t) = ∑δ (t − nT ) n=0 1(t )
4
1
t
s2
Z 变换 E(z)
1
z z −1
z z −1
Tz (z − 1) 2
5
1
t2
s3
2
T 2 z(z + 1) 2(z − 1)3
6
1 s n+1
7
1
s+a
8
1 (s + a)2
9
a s(s + a)
10
b−a (s + a)(s + b)
11
ω
s2 +ω2
12
s
s2 +ω2
13
ω (s + a)2 + ω 2
14
s +a (s + a)2 + ω 2
tn n! e −at te −at 1 − e −at e −at − e −bt
sin ωt cos ωt
6 终值定理 7 初值定理
lim f (t) = lim sF (s)
t→∞
s→0
lim f (t) = lim sF (s)
t→0
s→∞
419
8 卷积定理
∫ ∫ L[
t 0
f1(t
−τ )
f2(τ )dτ ]
=
L[
t 0
f1 (t )
f2 (t
−τ )dτ ] =
F1(s)F2 (s)
(完整版)拉普拉斯变换及其逆变换表
拉普拉斯变换及其反变换表3． 用查表法进行拉氏反变换用查表法进行拉氏反变换的关键在于将变换式进行部分分式展开，然后逐项查表进行反变换。
设)(s F 是s 的有理真分式11n 1n nn11m 1m mmas a s a s a b s b s b s b )s (A )s (B )s (F ++++++++==---- （m n >）式中系数n1n 1a ,a ,...,a ,a-，m1m 1b ,b ,b ,b - 都是实常数；n m ,是正整数。
按代数定理可将)(s F 展开为部分分式。
分以下两种情况讨论。
① 0)(=s A 无重根这时，F(s)可展开为n 个简单的部分分式之和的形式。
∑=-=-++-++-+-=n1i iinnii2211ss cs s c s s c s s c s s c )s (F 式中，Sn 2S 1S ，，， 是特征方程A(s)＝0的根。
i c 为待定常数，称为F(s)在i s 处的留数，可按下式计算： )s (F )s s (lim c is s i-=→或is s i)s (A )s (B c='=式中，)(s A '为)(s A 对s 的一阶导数。
根据拉氏变换的性质，从式（F-1）可求得原函数[]t s n 1i i n 1i i i 11i e c s s cL )s (F L )t (f -==--∑∑=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-==② 0)(=s A 有重根设0)(=s A 有r 重根1s ，F(s)可写为())s s ()s s ()s s ()s (B s F n1r r 1---=+=nnii1r 1r 111r 11r r 1rss cs s c s s c )s s (c )s s (c )s s (c -++-++-+-++-+-++-- 式中，1s 为F(s)的r 重根，1+r s ，…, n s 为F(s)的n-r 个单根；其中，1+r c ，…, n c 仍按式(F-2)或(F-3)计算，r c ，1-r c ，…, 1c 则按下式计算：)s (F )s s (lim c r1s s r-=→)]s (F )s s ([dsdlim c -=)s (F )s s (dsd lim !j 1c -=)s (F )s s (dsdlim )!1r (1c --=原函数)(t f 为 [])()(1s F L t f -=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-++-++-+-++-+-=s s cs s c s s c )s s (c )s s (c )s s (c L e c e c t c t )!2r (c t )!1r (c ∑+⎥⎦⎤⎢⎣⎡+++-+-= （F-6）。
拉普拉斯变换表
拉普拉斯变换的基本性质
由于拉普拉斯变换是傅里叶变换在复频域(即s域)中的推广，因而也具有与傅里叶变换的性质相应的一些性质。
这些性质揭示了信号的时域特性与复频域特性之间的关系，利用这些性质可使求取拉普拉斯正、反变换来得简便。
关于拉普拉斯变换的基本性质在表5-1中列出。
对于这些性质，由于读者在工程数学课中已学习过了，所以不再进行证明，读者可复习有关的工程数学书籍。
表5-1 拉普拉斯变换的基本性质
利用式(5-5)和拉普拉斯变换的性质，可以求出和导出一些常用时间常数的拉
普拉斯变换式，如表5-2中所列。
利用此表可以方便地查出待求的像函数
或原函数
表5-2 拉普拉斯变换表
()()t U t f ()s F ()t f。
完整版拉普拉斯变换表3篇
完整版拉普拉斯变换表拉普拉斯变换是一种用来描述动态系统的数学工具。
它可以将时间域的函数转换为复频域的函数，使得复杂的微积分运算变得简单。
下面是拉普拉斯变换常用的函数表。
1. 常数函数拉普拉斯变换表达式：L{1} = 1/s解释：常数函数的拉普拉斯变换等于1除以s。
这个表达式可以直接从拉普拉斯变换的定义得出。
2. 单位阶跃函数拉普拉斯变换表达式：L{u(t)} = 1/s解释：单位阶跃函数是在t=0处取值为0，t>0处取值为1的函数。
它的拉普拉斯变换等于1除以s。
因为当s>0时，1/s表示连续求导的意义，也就是说，一个单位阶跃函数的拉普拉斯变换就是一个连续求导的过程。
3. 指数函数拉普拉斯变换表达式：L{e^at} = 1/(s-a)解释：指数函数的拉普拉斯变换等于1除以s减去指数函数的指数。
这个表达式可以通过对指数函数求拉普拉斯变换的定义进行求解。
4. 正弦函数拉普拉斯变换表达式：L{sin(at)} = a/(s^2 + a^2)解释：正弦函数的拉普拉斯变换等于a除以s平方加上正弦函数的频率a的平方。
这个表达式可以通过对正弦函数求拉普拉斯变换的定义进行求解。
5. 余弦函数拉普拉斯变换表达式：L{cos(at)} = s/(s^2 + a^2)解释：余弦函数的拉普拉斯变换等于s除以s平方加上余弦函数的频率a的平方。
这个表达式可以通过对余弦函数求拉普拉斯变换的定义进行求解。
6. 阻尼正弦函数拉普拉斯变换表达式：L{e^(-bt)sin(at)} = a/(s^2 + (a+b)^2)解释：阻尼正弦函数的拉普拉斯变换等于a除以s平方加上阻尼正弦函数的频率a加上阻尼b的平方。
这个表达式可以通过对阻尼正弦函数求拉普拉斯变换的定义进行求解。
7. 阻尼余弦函数拉普拉斯变换表达式：L{e^(-bt)cos(at)} =(s+b)/(s^2 + (a+b)^2)解释：阻尼余弦函数的拉普拉斯变换等于s加上阻尼余弦函数的频率a加上阻尼b的平方，除以s平方加上阻尼余弦函数的频率a加上阻尼b的平方。
Laplace拉氏变换公式表
Laplace拉氏变换公式表1. 常数变换：对于常数C，其拉普拉斯变换为C/s，其中s是复数频率。
2. 幂函数变换：对于幂函数t^n，其中n为实数，其拉普拉斯变换为n!/s^(n+1)。
3. 指数函数变换：对于指数函数e^(at)，其中a为实数，其拉普拉斯变换为1/(sa)。
4. 正弦函数变换：对于正弦函数sin(at)，其中a为实数，其拉普拉斯变换为a/(s^2+a^2)。
5. 余弦函数变换：对于余弦函数cos(at)，其中a为实数，其拉普拉斯变换为s/(s^2+a^2)。
6. 双曲正弦函数变换：对于双曲正弦函数sinh(at)，其中a为实数，其拉普拉斯变换为a/(s^2a^2)。
7. 双曲余弦函数变换：对于双曲余弦函数cosh(at)，其中a为实数，其拉普拉斯变换为s/(s^2a^2)。
8. 指数衰减正弦函数变换：对于指数衰减正弦函数e^(at)sin(bt)，其中a和b为实数，其拉普拉斯变换为b/(s+a)^2+b^2。
9. 指数衰减余弦函数变换：对于指数衰减余弦函数e^(at)cos(bt)，其中a和b为实数，其拉普拉斯变换为s+a)/(s+a)^2+b^2。
10. 指数增长正弦函数变换：对于指数增长正弦函数e^(at)sin(bt)，其中a和b为实数，其拉普拉斯变换为b/(sa)^2+b^2。
Laplace拉氏变换公式表11. 幂函数与指数函数的乘积变换：对于函数t^n e^(at)，其中n为实数，a为实数，其拉普拉斯变换为n!/(sa)^(n+1)。
12. 幂函数与正弦函数的乘积变换：对于函数t^n sin(at)，其中n为实数，a为实数，其拉普拉斯变换可以通过分部积分法得到。
13. 幂函数与余弦函数的乘积变换：对于函数t^n cos(at)，其中n为实数，a为实数，其拉普拉斯变换可以通过分部积分法得到。
14. 指数函数与正弦函数的乘积变换：对于函数e^(at) sin(bt)，其中a和b为实数，其拉普拉斯变换为b/(sa)^2+b^2。