2019届山东省高三三模理科数学试卷【含答案及解析】
2019年3月山东省济南市2019届高三模拟考试理科数学试题(解析版)
绝密★启用前山东省济南市2019届高三高考模拟考试数学（理科）试题（解析版）2019年3月本试卷共6页,23题（含选考题）,全卷满分150分。
考试用时120分钟.注意事项：1.答题前,先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上,并将准考证号条形码粘贴在答题卡的指定位置上.2.选择题的作答：每小题选出答案后,用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
3.非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内.写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
4.选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B铅笔涂黑.答案写在答题卡上对应的答题区域内,写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
5.考试结束后,请将本试卷和答题卡一并上交。
参考公式：锥体的体积公式：（其中为锥体的底面积,为锥体的高）一、选择题：本题共12小题,每小题5分,共60分。
在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.已知复数（其中为虚数单位）,则在复平面内对应的点位于（）A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限【答案】D【解析】【分析】对复数进行计算,然后得到,再确定是在复平面的象限.【详解】,所以在复平面对应的点位于第四象限.故选D项.【点睛】复数的四则运算,与的关系,复数与复平面的关系.2.已知全集,集合,则（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】对集合和进行化简,然后求得.【详解】集合中：,,集合中：,故选A项.【点睛】考查集合补集的求法,属于简单题.3.已知为等比数列,若,,则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】法一：由等比数列可求得,再由和求得.法二：由等比数列的性质,等比中项求得.【详解】法一：为等比数列,且,法二：为等比数列【点睛】本题考查等比数列求公比和其中一项的值,等比中项,属于简单题.。
2019届山东省高三3月模拟考试理数试卷【含答案及解析】
2019届山东省高三3月模拟考试理数试卷【含答案及解析】姓名___________ 班级____________ 分数__________一、选择题1. 设集合，，则 ( )A. B. C. D.2. 已知复数满足，则复数在复平面内的对应点位于( )A. 第一象限________B. 第二象限________C. 第三象限________D. 第四象限3. 已知命题：对任意，总有；：“ ”是“ ，”的充分不必要条件，则下列命题为真命题的是( )A. B. C. D.4. 已知函数，则函数的图象大致为( )A. B. C. D.5. 运行下边的程序框图，如果输出的数是13，那么输入的正整数的值是( )A. 5B. 6C. 7D. 86. 下列结论中错误的是（）A. 若，则B. 若是第二象限角，则为第一象限或第三象限角C. 若角的终边过点（），则D. 若扇形的周长为 6 ，半径为 2 ，则其圆心角的大小为 1 弧度7. 某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为( )A. B. C. D.8. 已知双曲线的一条渐近线被圆截得弦长为（其中为双曲线的半焦距），则该双曲线的离心率为( )A. B. C. D.9. 设实数满足约束条件，若目标函数的最小值为-6，则实数等于( )A. 2B. 1C. -2D. -110. 定义在上的奇函数满足，当时，.若在区间上，存在个不同的整数，满足，则的最小值为（ )A. 15B. 16C. 17D. 18二、填空题11. 已知向量，其中，，且，则__________ ．12. 在上随机取一个数，则事件“ 成立”发生的概率为 __________ ．13. 在二项式的展开式中，含项的系数是，则__________ ．14. 对于函数，若其定义域内存在两个不同实数，使得成立，则称函数具有性质，若函数具有性质，则实数的取值范围为 __________ ．15. 已知抛物线焦点为，直线过焦点且与抛物线交于两点，为抛物线准线上一点且，连接交轴于点，过作于点，若，则__________ ．三、解答题16. 在中，内角的对边分别是，已知为锐角，且.（Ⅰ）求的大小；（Ⅱ）设函数，其图象上相邻两条对称轴间的距离为 .将函数的图象向左平移个单位，得到函数的图象，求函数在区间上的值域.17. 如图，在四棱锥中，底面是直角梯形，，，，，是等边三角形，且侧面底面，分别是，的中点.（Ⅰ）求证：平面；（Ⅱ）求平面与平面所成的二面角（锐角）的余弦值.18. 甲、乙、丙三人组成一个小组参加电视台举办的听曲猜歌名活动，在每一轮活动中，依次播放三首乐曲，然后甲猜第一首，乙猜第二首，丙猜第三首，若有一人猜错，则活动立即结束；若三人均猜对，则该小组进入下一轮，该小组最多参加三轮活动．已知每一轮甲猜对歌名的概率是，乙猜对歌名的概率是，丙猜对歌名的概率是，甲、乙、丙猜对与否互不影响．(I)求该小组未能进入第二轮的概率；(Ⅱ)记乙猜歌曲的次数为随机变量，求的分布列和数学期望．19. 已知数列是等差数列，其前项和为，数列是公比大于0的等比数列，且，， .（Ⅰ）求数列和的通项公式；（Ⅱ）令，求数列的前项和为 .20. 已知椭圆与双曲线有共同焦点，且离心率为 .（Ⅰ）求椭圆的标准方程；（Ⅱ）设为椭圆的下顶点，为椭圆上异于的不同两点，且直线与的斜率之积为 .（ⅰ）试问所在直线是否过定点？若是，求出该定点；若不是，请说明理由；（ⅱ）若为椭圆上异于的一点，且，求的面积的最小值.21. 设函数， .（Ⅰ）判断函数零点的个数，并说明理由；（Ⅱ）记，讨论的单调性；（Ⅲ）若在恒成立，求实数的取值范围.参考答案及解析第1题【答案】第2题【答案】第3题【答案】第4题【答案】第5题【答案】第6题【答案】第7题【答案】第8题【答案】第9题【答案】第10题【答案】第11题【答案】第12题【答案】第13题【答案】第14题【答案】第15题【答案】第16题【答案】第17题【答案】第18题【答案】第19题【答案】第20题【答案】第21题【答案】。
2019届山东省济南市高三3月模拟考试理科数学试题
所以
.
（2）由柱状图可知，
一个，一级过滤器需要更换的滤芯个数为 ， ， 的概率分别为 ， ， .
由题意， 可能的取值为 ， ， ， ， ，并且
，
，
，
，
. 所以 的分布列为
.
（3）【解法一】
因为
，
，若
，，
则该客户在十年使用期内购买各级滤芯所需总费用的期望值为
；
若
，，
则该客户在十年使用期内购买各级滤芯所需总费用的期望值为
，集合
，则
（）
A.
B.
C.
D.
【答案】A
3.已知 为等比数列，若
，
，则 （ ）
A.
B.
C.
D.
【答案】B
4.随着我国经济实力的不断提升，居民收人也在不断增加。某家庭 2018 年全年的收入与 2014 年全年的收 入相比增加了一倍，实现翻番.同时该家庭的消费结构随之也发生了变化，现统计了该家庭这两年不同品 类的消费额占全年总收入的比例，得到了如下折线图：
（3）记 ， 分别表示该客户在安装净水系统的同时购买的一级滤芯和二级滤芯的个数.若
，且
，以该客户的净水系统在使用期内购买各级滤芯所需总费用的期望值为决策依据，试确定 ， 的
值.
【答案】（1） ；（2）见解析；（3） =23， =5.
【解析】
【分析】
（1）根据图表，若一套净水系统在使用期内需要更换的各级滤芯总个数恰好为 ，则一级 个滤芯，二
则下列结论中正确的是（ ） A. 该家庭 2018 年食品的消费额是 2014 年食品的消费额的一半
B. 该家庭 2018 年教育医疗的消费额与 2014 年教育医疗的消费额相当
2019青岛三模数学理答案
青岛市2019年高三自主检测数学（理科）参考答案及评分标准一、选择题：本大题共12小题．每小题5分，共60分．D A C C A D B A C B C B二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．43-14．36415．9816．①②③三、解答题：共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．第17题~21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求解答．（一）必考题：共60分．17.（本小题满分12分）解：（1）由121+=+n n n S a a 得，12121+=+++n n n S a a ，两式相减得121()2n n n n a a a a +++-=，因为数列{}n a 为正项数列，所以22=-+n n a a ，又11=a ，·······································································3分故数列21{}n a -是以11=a 为首项，公差为2的等差数列，所以211(1)2n a n -=+-⨯12-=n .·································································6分（2）由（1）知，22=-+n n a a ，由11=a 及121+=+n n n S a a 得32=a 故数列{}n a 2是以32=a 为首项，公差为2的等差数列，所以23(1)221n a n n =+-⨯=+·····································································8分所以nn n a a a a a S 2123212+++++=- 2(121)(321)2222n n n n n n +-⨯++⨯=+=+.·················································12分18．（本小题满分12分）解：（1）由题知：8,12,20,10a b c d ====···················································2分则2225080240)25162532800===3 2.70620302822328223711231k -⨯⨯=>>⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯（，··················4分所以，有90%的把握认为喜欢足球与性别有关；················································5分（2）由题知X 的分布列为：X101112P0.160.480.36·················································································································8分当10k =时，()=103000.16+(10300+600)0.48+(10300+2600)0.36=3720E Y ⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯元；当11k =时，()=113000.64+(11300+600)0.36=3516E Y ⨯⨯⨯⨯元；当12k =时，()=12300=3600E Y ⨯元；所以当()E Y 最小时=11k ·············································································12分19．（本小题满分12分）解：（1）取AD 中点O ，连接,,PO FO 四边形ABCD 为菱形AC BD ∴⊥,O F 分别为,AD AB 中点，//OF BD∴AC OF ∴⊥又PF AC ⊥ ，OF PF F = AC ∴⊥面POF ·························································································3分PO ⊂ 面POF PO AC∴⊥又O 为AD 中点，PA PD =PO AD ∴⊥AD AC A = PO ∴⊥面ABCD ·······················································································5分PO ⊂ 面PAD ∴面PAD ⊥面ABCD ··················································································6分PD C B A F O y x z（2）连OB ，11,602AO AB A ==∠= ，OB AD ∴⊥，分别以,,OA OB OP 为,,x y z 轴建立空间直角坐标系，则(0,0,2),P B (1,0,0)D-2),PB ∴=-(1,BD =- ····························································8分设平面PBD 的一个法向量1(,,)n x y z = 1100n PB n BD ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，所以200z x -=--=⎪⎩，取y =，则13()2n =- ·····································································10分显然2n OB == 为面PAD 的一个法向量设二面角A PD B --的平面角为θ，121212cos cos ,19||||n n n n n n θ⋅∴=<>==⋅ ·····················································12分20．（本小题满分12分）解：（1）由题知F 恰为),0(b -········································································1分所以中点)0,(2c F 满足：2a c =，因为222c b a +=，所以2243a b =…①·············2分又因为点),(b a E在抛物线2:3N x y =上，所以23a =…②····················3分由①②解得：1,3,2===cb a ····································································4分所以椭圆M 的标准方程为：13422=+y x ··························································5分（2）设43,(2t t P ，因为抛物线243:x y N =，所以x y 23='，则直线243)(23t t x t y AB +-=：·································································6分将直线24323t x t y AB -=：的方程代入椭圆13422=+y x 得：048312)1(124322=-+-+tx t x t ···································································7分因为32212121222,()1222(1)t x x y y x x t t +=+=+-=++·····························9分所以点3222()2(1)4(1)t C t t -++，，··································································10分t k t k 23,4321-==···················································································11分所以8321-=k k （点差法等其他方法正常给分）················································12分21．（本小题满分12分）解：（1）当a e =时，x e x x f ln )(-='····························································1分令()ln ,()1(0)e x e h x x e x h x x x x -'=-=-=>·················································2分当),0(e x ∈时,0)(<'x h ；当),(+∞∈e x 时,0)(>'x h ，所以()f x '在(0,)e 上单调递减，在(,)e +∞上单调递增；所以0)()(='≥'e f x f ··················································································3分所以)(x f 在），（∞+0上单调递增·····································································4分又因为0)(=e f ，所以)(x f 有且只有一个零点e ········································································5分（2）由题意知x a x x f ln )(-='，令()ln H x x a x =-，()1(0)a x a H x x x x -'=-=>···········································6分当0≤a 时，()0H x '>，()H x =)(x f '在），（∞+0上单调递增，()f x '不可能有两个零点，不合题意·································································7分当0>a 时，当(0,)x a ∈时，()0H x '<；当(,)x a ∈+∞时，()0H x '>所以()H x =)(x f '在(0,)a 上单调递减，在(,)a +∞上单调递增，因此()H x =)()(a f x f '≥'所以()ln 0f a a a a '=-<，a e >···································································9分当e a >时，因为(1)10f '=>所以()f x '在(1,)a 上有一个零点；·································································10分令2()()a ag a a e e =>，则(2)()0()a a a g a a e e-'=<>()g a ∴在(,)e +∞上单调递减222()()1e e e g a g e e e ∴<=<=所以2a e a >·······························································································11分所以0ln )(2>-=-='a e e a e e f a a a a ，所以)(x f '在),(a e a 上也有一个零点；综上知：当e a >时，)(x f 有两个极值点························································12分（二）选考题：共10分．请考生在第22、23两题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题记分．22．（本小题满分10分）选修44-：坐标系与参数方程解：（1）曲线C 的普通方程为1x y +=，·························································1分曲线C 的极坐标方程为：(cos sin )1ρθθ+=，即sin()42πρθ+=.···················3分曲线M 的极坐标方程为：4cos ρθ=.··························································5分（2）因为OMB ∆与OMA ∆以点M 为顶点时，它们的高相同，即OMB OMA S S ∆∆=||||OB OA ·························································································6分由（1）知，1||sin cos A OA ραα==+，||4cos B OB ρα==，所以2||4cos (sin cos )2sin 24cos ||OB OA ααααα=+=+2(1sin 2cos 2)2)4πααα=++=++·················································8分由0,2πα<<得52444πππα<+<，所以当2,42ππα+=即8πα=时，||||OB OA有最大值为2+·····························9分因此OMB OMAS S ∆∆的最大值为2+.·································································10分23．（本小题满分10分）选修45-：不等式选讲解：（1）由题知，3,11()2,1213,2x x f x x x x x ⎧⎪≥⎪⎪=+-<<⎨⎪⎪-≤-⎪⎩·····················································2分所以不等式3)(≥x f 可化为：133x x ≥⎧⎨≥⎩或11223x x ⎧-<<⎪⎨⎪+≥⎩或1233x x ⎧≤-⎪⎨⎪-≥⎩·························4分所以不等式的解集为{|1x x ≤-或1}x ≥···························································5分（2）画出函数()y f x =的图象，如图所示其中13(,22A -，(1,3)B 因为直线AB 的斜率为1所以直线a x y +=与直线AB 平行因为直线a x y +=与)(x f y =的图象围成多边形，所以2a >分由3y x a y x =+⎧⎨=⎩得：3(,)22a a C ；由3y x a y x=+⎧⎨=-⎩得：3(,44a a D -所以|||244a a CD =+=·····································································7分又AB 与CD 之间的距离d ==||2AB =·································8分所以梯形ABCD 的面积2139()(4)24282S a a =⨯+⨯-=·················9分所以4a =或4-（舍）故所求实数a 的值为4·················································································10分。
2019年山东省青岛市高考数学三模试卷(理科)
2019年山东省青岛市高考数学三模试卷（理科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1. 已知复数z 满足z ＝3+2i （i 为虛数单位），则z 2的虚部为（ ） A.5 B.−12 C.−5 D.12 【答案】 D【考点】 复数的运算 【解析】直接利用复数代数形式的乘除运算化简得答案． 【解答】∵ z ＝3+2i ，∴ z 2＝(3+2i)2＝9+12i +4i 2＝5+12i ， ∴ z 2的虚部为12．2. 函数f(x)=ln(x 2−4x+4)(x−2)5的图象大致为（ ）A.B.C. D.【答案】 A【考点】函数的图象与图象的变换 【解析】使用换元法判断出函数的奇偶性，从而排除不符合答案；其次在根据零点正确选出答案． 【解答】函数f(x)定义域为x ≠2； ∴ f(x)=ln[(x−2)2](x−2)5，令x −2＝t ，则函数f(t)=lnt 2t 5；∴ 函数f(t)为奇函数，排除B ，C ；且当t >0即x >2时，函数f(t)＝0有且只有一个零点，排除D ．3. 已知{a n }为等比数列，a 10，a 30是方程x 2−11x +16＝0的两实根，则a 20等于（ ） A.3 B.±4 C.4 D.±3 【答案】 C【考点】等比中项一元二次方程的根的分布与系数的关系【解析】由{a n}为等比数列，a10，a30是方程x2−11x+16＝0的两实根，可得a10a30=a202= 16，a10+a30＝11>0，a10，a30都为正数．即可得出a20．【解答】解：∵{a n}为等比数列，a10，a30是方程x2−11x+16=0的两实根，∴a10a30=a202=16，a10+a30=11>0，∴a10，a30都为正数．∴a20>0．则a20=4．故选C.4. 执行如图所示的程序框图，若输出的值为a，且−46<a<2，则①处应填入的条件为（）A.n≥7？B.n≥6？C.n≥5？D.n≥4？【答案】C【考点】程序框图【解析】由已知中的程序语句可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量S的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．【解答】模拟程序的运行，可得n＝1，S＝16不满足判断框内的条件，执行循环体，S＝14，n＝2不满足判断框内的条件，执行循环体，S＝10，n＝3不满足判断框内的条件，执行循环体，S＝2，n＝4不满足判断框内的条件，执行循环体，S＝−14，n＝5由题意，此时，满足判断框内的条件，退出循环，输出S的值为−14，可得判断框内的条件为n≥5？5. 将函数y=3sin(2x+π3)的图象向右平移π2个单位长度，所得图象对应的函数（）A.在区间[π12, 7π12]上单调递增B.在区间[π12, 7π12]上单调递减C.在区间[−π6, π3]上单调递减D.在区间[−π6, π3]上单调递增【答案】 A【考点】函数y=Asin （ωx+φ）的图象变换 【解析】直接由函数的图象平移得到平移后的图象所对应的函数解析式，然后利用复合函数的单调性的求法求出函数的增区间，取k ＝0即可得到函数在区间[π12, 7π12]上单调递增，则答案可求． 【解答】把函数y ＝3sin(2x +π3)的图象向右平移π2个单位长度， 得到的图象所对应的函数解析式为：y ＝3sin[2(x −π2)+π3]． 即y ＝3sin(2x −2π3)．当函数递增时，由−π2+2kπ≤2x −2π3≤π2+2kπ，得π12+kπ≤x ≤7π12+kπ,k ∈Z ．取k ＝0，得π12≤x ≤7π12．∴ 所得图象对应的函数在区间[π12, 7π12]上单调递增．6. 若不等式ax 2+ax −1≤0的解集为实数集R ，则实数a 的取值范围为（ ） A.0≤a ≤4 B.−4<a <0 C.−4≤a <0 D.−4≤a ≤0 【答案】 D【考点】函数恒成立问题 【解析】讨论a ＝0和a ≠0时，求出不等式的解集为R 时实数a 的取值范围． 【解答】解：a =0时，不等式ax 2+ax −1≤0化为−1≤0，解集为实数集R ； a ≠0时，应满足{a <0,Δ≤0,所以{a <0,a 2+4a ≤0,解得−4≤a <0；综上，实数a 的取值范围是−4≤a ≤0． 故选D .7. 为了深入践行绿水青山就是金山银山的理念，坚定不移走好生态优先、绿色发展之路，某环保部门决定在某一地段圈岀一个圆形区域种草、植树，在建立直角坐标系的设计图纸上，记该圆形区域的边界为圆C ，若圆C 过点M(1, −2)且与两坐标轴均相切，则下列叙述正确的是（）A.满足条件的圆C有且只有一个B.满足条件的圆C有且只有两个，它们的圆心距为4√2C.满足条件的圆C有三个，它们的圆心在一条直线上D.满足条件的圆C有且只有两个，它们的圆心距为2√2【答案】B【考点】命题的真假判断与应用【解析】设圆C的方程为(x−a)2+(y−b)2＝r2，(r>0)，由题意可得r＝|a|＝|b|，且(1−a)2+(−2−b)2＝r2，解方程可得a，b，r，计算即可得到所求结论．【解答】设圆C的方程为(x−a)2+(y−b)2＝r2，(r>0)，由题意可得r＝|a|＝|b|，且(1−a)2+(−2−b)2＝r2，化为b2+4b−2a+5＝0，若a＝b，可得b2+2b+5＝0，由△＝4−20＝−16<0，可得方程无实数解，故a≠b；若a＝−b，可得b2+6b+5＝0，解得b＝−1或−5，即有a＝1，b＝−1，r＝1；或a＝5，b＝−5，r＝5，可得圆C的方程为(x−1)2+(y+1)2＝1，或(x−5)2+(y+5)2＝25，两个圆的圆心距为√(52+(−5+1)2=4√2，8. 已知球O与各条棱长均为4的四面体的各棱都相切，则球O的表面积（）A.8πB.8√23π C.32π D.24π【答案】A【考点】球的体积和表面积【解析】将三棱锥放入棱长为2√2的正方体，可得正方体的内切球恰好是与三棱锥各条棱都相切的球，由此算出内切球半径，代入球的表面积公式得答案．【解答】将棱长均为4的正四面体放入棱长为2√2的正方体，如图，∵球与三棱锥各条棱都相切，∴该球是正方体的内切球，切正方体的各个面切于中心，而这个切点恰好是三棱锥各条棱与球的切点．由此可得该球的直径为2√2，半径r=√2．∴该球的表面积为S＝4πr2＝8π．9. 不等式|x|+|y≤2所表示的封闭区域为M，函数y＝x2的图象与x轴、直线x＝1围成的封闭区域为N，向M内随机投一个点，则该点落到N内的概率为（）A.5 48B.116C.124D.13【答案】C【考点】几何概型计算（与长度、角度、面积、体积有关的几何概型）【解析】由题意画出图形，求出区域M 的面积，再由定积分求得区域N 的面积，由测度比是面积比得答案． 【解答】不等式|x|+|y|≤2所表示的封闭区域M 为如图的正方形区域，其中正方形的边长a ＝2√2，函数y ＝x 2的图象与x 轴、直线x ＝1围成的封闭区域为N 为图中阴影部分．S M =2√2×2√2=8，S N =∫ 10x 2=13x 3|01=13． ∴ 向M 内随机投一个点，则该点落到N 内的概率为P =138=124．10. 若实数x ，y 满足{x ≥0x +4y ≥32x +y ≤3 ，则z =yx 的最小值为（ ）A.12B.13C.1D.14【答案】 B【考点】 简单线性规划 【解析】画出不等式组表示的平面区域，根据图形求得z =yx 取得最小值时对应点的坐标，并求出z 的最小值． 【解答】画出不等式组{x ≥0x +4y ≥32x +y ≤3 表示的平面区域，如图阴影所示；由图形知，当直线y ＝zx 过点C 时，z =yx 取得最小值， 由{2x +y =3x +4y =3 ，解得C(97, 37)， 所以z =yx 的最小值为z min =3797=13．11. 设△ABC 内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且满足ccosB −bcosC =35a ，则关于tan(B −C)的取值下列说法正确的是（ ） A.有最大值43B.有最小值−43C.有最小值−34D.有最大值34【答案】C【考点】正弦定理两角和与差的三角函数【解析】由条件利用正弦定理，两角和的正弦函数公式以及同角三角函数的基本关系化简可得tanC＝4tanB，根据两角差的正切函数公式以及基本不等式即可求解．【解答】∵△ABC中，由ccosB−bcosC=35a，利用正弦定理可得sinCcosB−sinBcosC=35sinA，即sinCcosB−sinBcosC=35(sinCcosB+sinBcosC)，∴25sinCcosB=85sinBcosC，∴tanC＝4tanB，∴tan(B−C)=tanB−tanC1+tanBtanC=−3tanB1+4tan2B=−31tanB+4tanB≥2√1tanB⋅4tanB=−34．即tan(B−C)有最小值为−34．12. 已知函数f(x)的图象在[a, b]上连续不断，定义：f1(x)＝min{f(t)|a≤t≤x}x∈[a, b]，f2(x)＝max{f(t)|a≤t≤x}x∈[a, b]，其中，min{f(x)|x∈D}表示函数f(x)在D上的最小值，max{f(x)|x∈D}表示函数f(x)在D上的最大值，若存在最小正整数k，使得f2(x)−f1(x)≤k(x−a)对任意的x∈[a, b]成立，则称函数f(x)为区间[a, b]上的“k阶收缩函数”，给出以下三个命题：①若f(x)＝cosx，x∈[0, π]，则f1(x)＝cosx，x∈[0, x]，f2(x)＝1，x∈[0, π]；②函数f(x)＝−x3+3x2，x∈[0, 1]是[0, 1]上的“2阶收缩函数”；③若函数f(x)＝x2，x∈[−1, 4]是[−1, 4]上的“k阶收缩函数”，则k＝3．其中所有正确命题的序号为（）A.①②③B.①②C.②③D.①③【答案】B【考点】命题的真假判断与应用函数的最值及其几何意义【解析】①根据f(x)＝cosx的最大值为1，可得f1(x)、f2(x)的解析式；②先对函数f(x)进行求导判断函数的单调性，进而写出f1(x)、f2(x)的解析式，然后再根据题意判断是否有f2(x)−f1(x)≤2(x−0)成立；③根据函数f(x)＝x2在x∈[−1, 4]上的值域，先写出f1(x)、f2(x)的解析式，再由f2(x)−f1(x)≤k(x−a)求出k的范围得到答案．【解答】①，由f(x)＝cosx，x∈[0, π]，为递减函数，由题意可得：f 1(x)＝cosx ，x ∈[0, π]，f 2(x)＝1，x ∈[0, π]，故①正确； ②，f′(x)＝−3x 2+6x ＝−3x(x −2)， 当x ∈[0, 1]时，f′(x)>0， ∴ f(x)在[0, 1]上单调递增，因此，f 2(x)＝f(x)＝−x 3+3x 2，f 1(x)＝f(0)＝0． ∵ f 2(x)−f 1(x)−2(x −0)＝−(x 3−3x 2+2x) ＝−x(x 2−3x +2)＝−x(x −1)(x −2)， 及x ∈[0, 1]，∴ f 2(x)−f 1(x)−2(x −0)<0，∴ f 2(x)−f 1(x)≤2(x −0)对x ∈[0, 1]恒成立；所以f(x)＝−x 3+3x 2是[0, 1]上的2阶收缩函数，故②正确； ③，根据题意，有f 1(x)={x 2,x ∈[−1,0]0,x ∈[0,4] ，f 2(x)={1,x ∈[−1,1]x 2,x ∈[1,4]，所以f 2(x)−f 1(x)={1−x 2,x ∈[−1,0)1,x ∈[0,1)x 2,x ∈[1,4] ，当x ∈[−1, 0]时，1−x 2≤k(x +1)， ∴ k ≥1−x ，k ≥2；当x ∈(0, 1)时，1≤k(x +1)， ∴ k ≥1x+1，∴ k ≥1； 当x ∈[1, 4]时，x 2≤k(x +1)， ∴ k ≥1x+1，∴ k ≥165．综上所述，k ≥165，即存在k ＝4，使得f(x)是[−1, 4]上的4阶收缩函数，故③不正确． 二、填空题：本大题共4个小题，每小题5分.若sinθ+cosθ=15(0≤θ≤π)，则tanθ＝________； 【答案】−43【考点】同角三角函数间的基本关系 【解析】把已知等式两边平方，可得2sinθcosθ=−2425，求出sinθ−cosθ的值，解得sinθ，cosθ，则tanθ可求． 【解答】由sinθ+cosθ=15，两边平方得：sin 2θ+cos 2θ+2sinθcosθ=125， 则2sinθcosθ=−2425， ∵ θ∈[0, π]，∴ sinθ>0，cosθ<0，则sinθ−cosθ=√(sinθ−cosθ)2=√1−2sinθcosθ=75．∴sinθ=45，cosθ=−35，则tanθ=sinθcosθ=−43．在(√x−2x)n的二项展开式中，仅有第8项的二项式系数最大，则在该二项展开式中含x4项的系数为________；【答案】364【考点】二项式定理及相关概念【解析】先求出n＝14，再利用二项展开式的通项公式，求出展开式中含x4项的系数．【解答】在(√x−2x )n的二项展开式中，仅有第8项的二项式系数最大，则n＝14，在(√x−2x)n=(√x−2x)14，则在该二项展开式的通项公式为Tr+1=C14r⋅(−2)r⋅x14−3r2，令14−3r2=4，求得r＝2，中含x4项的系数为C142⋅(−2)2＝364，在《九章算术》方田章“圆田术”（刘徽注）中指出：“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣”，注述中所用的剖圆术所体现的是一种无限与有限转化的思想比如在√2+√2+√2+⋯中“…”即代表无限次重复，但原数却是个定数x，这可以通过√2+x=x确定出来x＝2，类似地可得到1+13+13+⋯+132n−2+⋯=________；【答案】98【考点】类比推理【解析】本题要根据已知算式将所求表达式作类似变形，然后同理可解方程得到结果．【解答】类比已知算式，1+132+134+⋯+132n−2+⋯=1+132{1+132[1+132(...)]}．可令1+132+134+⋯+132n−2+⋯=x，则1+132x＝x，解得x=98．已知双曲线Γ：x2a2−y2b2=1(a>0, b>0)的左右焦点分别为F1，F2，点P是双曲线Γ的右支上异于顶点的一个点，△PF1F2的内切圆的圆心为I，过F2作直线PI的垂线，垂足为M，O为坐标原点，给出以下结论：①△PF1F2的内切圆的圆心I在直线x＝a上；②|OM|＝a；③若∠F1IF2＝θ，则△PF1F2的面积为−b2tanθ；④△PF1F2的内切圆与x 轴的交点为(c−a, 0)，以上结论中，所有正确的序号________．【答案】①②③【考点】双曲线的离心率【解析】设内切圆I与边PF1的切点为Q，与边PF2的切点为L，与x轴的切点为K，运用圆的切线长定理和双曲线的定义可得|F2K|＝c−a，可判断①；延长F2M交PF1于N，运用等腰三角形的三线合一以及中位线定理，双曲线的定义，可判断②；由三角形的面积公式和余弦定理，结合双曲线的定义和三角函数的恒等变换可判断③；由①的判断过程可判断④．【解答】设内切圆I与边PF1的切点为Q，与边PF2的切点为L，与x轴的切点为K，由切线长定理可得||F1K|＝|F1Q|，|F2K|＝|F2L|，|PF1|−|PF2|＝2a＝|F1Q|−|F2L|＝|F1K|−|F2K|，又|F1K|+|F2K|＝2c，解得|F2K|＝c−a，则K(a, 0)，即I的横坐标为a，即I在直线x＝a上，故①正确；延长F2M交PF1于N，可得PM为△PNF2的垂直平分线，可得|PN|＝|PF2|，且M为NF2的中点，可得|OM|=12|NF1|，而|PF1|−|PF2|＝|NF1|＝2a，可得|OM|＝a，故②正确；若∠F1IF2＝θ，则∠IF1F2+∠IF2F1＝180∘−θ，∠F1PF2＝180∘−2(180∘−θ)＝2θ−180∘，设|PF1|＝m，|PF2|＝n，m−n＝2a，△PF1F2的面积为S=12mnsin(2θ−180∘)=−12mnsin2θ，又cos(2θ−180∘)=m2+n2−4c22mn =(m−n)2+2mn−4c22mn=2mn−4b22mn=−cos2θ，可得mn=2b21+cos2θ，则S=−12⋅2b2⋅sin2θ1+cos2θ=−b2⋅2sinθcosθ2cos2θ=−b2tanθ，故③正确；△PF1F2的内切圆与x轴的交点为(a, 0)，故④不正确．三、解答题：共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤，第17题～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求解答.（一）必考题：60分.已知数列{a n}的各项均为正数，前n项和为S n，a1＝1，a n a n+1＝2S n+1．(Ⅰ)求数列{a n}的项a2n−1；(Ⅱ)求数列{a n}的前2n项和S2n．【答案】（1）由a n a n+1＝2S n+1得，a n+1a n+2＝2S n+1+1，两式相减得a n+1(a n+2−a n)＝2a n+1，因为数列{a n}为正项数列，所以a n+2−a n＝2，又a1＝1，故数列{a2n−1}是以a1＝1为首项，公差为2的等差数列，所以a2n−1＝1+(n−1)×2＝2n−1．（2）由（1）知，a n+2−a n＝2，由a1＝1及a n a n+1＝2S n+1得a2＝3故数列{a2n}是以a2＝3为首项，公差为2的等差数列，所以a2n＝3+(n−1)×2＝2n+1．所以S2n＝a1+a2+a3+...+a2n−1+a2n=(1+2n−1)×n2+(3+2n+1)×n2=2n2+2n．【考点】数列递推式数列的求和【解析】(Ⅰ)直接利用数列的递推关系式求出数列的通项公式．(Ⅱ)利用(Ⅰ)的结论，进一步利用分组法的应用求出结果．【解答】（1）由a n a n+1＝2S n+1得，a n+1a n+2＝2S n+1+1，两式相减得a n+1(a n+2−a n)＝2a n+1，因为数列{a n}为正项数列，所以a n+2−a n＝2，又a1＝1，故数列{a2n−1}是以a1＝1为首项，公差为2的等差数列，所以a2n−1＝1+(n−1)×2＝2n−1．（2）由（1）知，a n+2−a n＝2，由a1＝1及a n a n+1＝2S n+1得a2＝3故数列{a2n}是以a2＝3为首项，公差为2的等差数列，所以a2n＝3+(n−1)×2＝2n+1．所以S2n＝a1+a2+a3+...+a2n−1+a2n=(1+2n−1)×n2+(3+2n+1)×n2=2n2+2n．足球是当今世界传播最广、参与人数最多的体育运动，具有广泛的社会影响，深受世界各国民众喜爱．（1）为调查大学生喜欢足球是否与性别有关，随机选取50名大学生进行问卷调查，当问卷评分不低于80分则认为喜欢足球，当评分低于80分则认为不喜欢足球，这50名大学生问卷评分的茎叶图如下：依据上述数据制成如下列联表：请问是否有90%的把握认为喜欢足球与性别有关？参考公式及数据：K2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)，n＝a+b+c+d．（2）某国“糖果盒”足球场计划购买2台相同的无人机用于2020年的比赛直播拍摄，每台该无人机有一易损零件在一年内需更换的次数为5，6的概率分别为0.4，0.6，该易损零件可在购买无人机时一同购买作为备件，每个300元；在无人机购买后若备件不足再购买，则每个600元．记X表示2台无人机一年内共需更换的易损零件的次数，k表示购买无人机时同时购买的易损零件数．为保证两台无人机能正常使用，求购买易损零件所需费用Y的期望E(Y)最小时k的值．【答案】根据列联表中数据，计算K2=50×(8×10−12×20)220×30×28×22=800231>3>2.706，所以有90%的把握认为喜欢足球与性别有关；由题意知随机变量X的分布列为：当k＝10时，E(Y)＝10×300×0.16+(10×300+600)×0.48+(10×300+2×600)×0.36＝3720元，当k＝11时，E(Y)＝11×300×0.64+(11×300+600)×0.36＝3516元，当k＝12时，E(Y)＝12×300＝3600元；所以所需费用Y的期望E(Y)最小时k＝11．【考点】独立性检验茎叶图【解析】（1）根据列联表中数据计算K2，对照临界值得出结论；（2）由题意知随机变量X的分布列，分别计算对应的数学期望值，即可得出结论．【解答】根据列联表中数据，计算K2=50×(8×10−12×20)220×30×28×22=800231>3>2.706，所以有90%的把握认为喜欢足球与性别有关；由题意知随机变量X的分布列为：当k＝10时，E(Y)＝10×300×0.16+(10×300+600)×0.48+(10×300+ 2×600)×0.36＝3720元，当k＝11时，E(Y)＝11×300×0.64+(11×300+600)×0.36＝3516元，当k ＝12时，E(Y)＝12×300＝3600元； 所以所需费用Y 的期望E(Y)最小时k ＝11．如图，在四棱锥中P −ABCD 中，底面ABCD 为边长为2的菱形，∠DAB ＝60∘，PA ＝PD =√5，F 为AB 的中点，PF ⊥AC ． （1）求证：面PAD ⊥面ABCD ；（2）求二面角A −PD −B 的余弦值．【答案】证明：取AD 中点O ，连结PO ，FO ，∵ 四边形ABCD 为菱形，∴ AC ⊥BD ，∵ O ，F 分别为AD ，AB 的中点，∴ OF // BD ，∴ AC ⊥OF ， ∵ PF ⊥AC ，OF ∩PF ＝F ，∴ AC ⊥面POF ， ∵ PO ⊂面POF ，∴ PO ⊥AC ，∵ O 为AD 中点，PA ＝PD ，∴ PO ⊥AD ， ∵ AD ∩AC ＝A ，∴ PO ⊥平面ABCD ， ∵ PO ⊂面PAD ，∴ 面PAD ⊥面ABCD ，连结OB ，∵ AO =12AB =1，∠A ＝60∘，∴ OB ⊥AD ， 分别以OA ，OB ，OP 为x ，y ，z 轴，建立空间直角坐标系， 则P(0, 0, 2)，B(0, √3, 0)，D(−1, 0, 0)， ∴ PB →=(0, √3, −2)，BD →=(−1, −√3, 0)， 设平面PBD 的一个法向量n →=(x, y, z)，则{n →⋅PB →=√3y −2z =0n →⋅BD →=−x −√3y =0 ，取y =√3，得n →=(−3, √3, 32)， 平面PAD 的法向量m →=(0, 1, 0)， 设二面角A −PD −B 的平面角为θ， 则cosθ=|n →⋅m →||n →|⋅|m →|=2√1919．故二面角A −PD −B 的余弦值为2√1919．【考点】平面与平面垂直二面角的平面角及求法 【解析】（1）取AD 中点O ，连结PO ，FO ，推导出AC ⊥BD ，OF // BD ，AC ⊥OF ，PF ⊥AC ，从而AC ⊥面POF ，进而PO ⊥AC ，再由PO ⊥AD ，得到PO ⊥平面ABCD ，由此能证明面PAD ⊥面ABCD ，（2）连结OB ，则OB ⊥AD ，分别以OA ，OB ，OP 为x ，y ，z 轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角A −PD −B 的余弦值． 【解答】证明：取AD 中点O ，连结PO ，FO ，∵ 四边形ABCD 为菱形，∴ AC ⊥BD ，∵ O ，F 分别为AD ，AB 的中点，∴ OF // BD ，∴ AC ⊥OF ， ∵ PF ⊥AC ，OF ∩PF ＝F ，∴ AC ⊥面POF ， ∵ PO ⊂面POF ，∴ PO ⊥AC ，∵ O 为AD 中点，PA ＝PD ，∴ PO ⊥AD ， ∵ AD ∩AC ＝A ，∴ PO ⊥平面ABCD ， ∵ PO ⊂面PAD ，∴ 面PAD ⊥面ABCD ，连结OB ，∵ AO =12AB =1，∠A ＝60∘，∴ OB ⊥AD ， 分别以OA ，OB ，OP 为x ，y ，z 轴，建立空间直角坐标系， 则P(0, 0, 2)，B(0, √3, 0)，D(−1, 0, 0)， ∴ PB →=(0, √3, −2)，BD →=(−1, −√3, 0)， 设平面PBD 的一个法向量n →=(x, y, z)，则{n →⋅PB →=√3y −2z =0n →⋅BD →=−x −√3y =0 ，取y =√3，得n →=(−3, √3, 32)， 平面PAD 的法向量m →=(0, 1, 0)， 设二面角A −PD −B 的平面角为θ， 则cosθ=|n →⋅m →||n →|⋅|m →|=2√1919．故二面角A −PD −B 的余弦值为2√1919．已知O为坐标原点，点F1，F2为椭圆M:x2a +y2b=1(a>b>0)的左右焦点，点E(a, b)在抛物线N:x2=4√33y上，直线EF2与椭圆M的一个交点为F，且EF的中点恰为F2．（1）求椭圆M的标准方程；（2）过抛物线N上一点P与抛物线N相切的直线l与椭圆M相交于A、B两点，设AB中点为C，直线OP与直线OC的斜率分别是k1，k2，证明：k1k2为定值．【答案】由题意F恰为(0, b)，所以中点F2(c, 0)满足c=a2，因为a2＝b2+c2，所以a2=43b2，由①②解得a＝2，b=√3，c＝1，所以椭圆M的标准方程为x24+y23=1；证明：设P(t, √3t24)，因为抛物线N:y=√34x2，求导y′=√32x，则直线AB方程：y=√32t(x−t)+√34t2，A(x1, y1)，B(x2, y2)，将直线AB方程：y=√32t−√34t2代入椭圆x24+y23=1得：12(1+t2)x2−12t3x+3t4−48＝0，因此x1+x2=t31+t2，y1+y2=√32t(x1+x2)−√32t2=−√3t22(1+t2)，所以C(t 32(1+t2), −√3t24(1+t2))，则k1=√34t，k2=−√32t，所以k1k2=−38（点差法等其他方法正常给分）．【考点】直线与椭圆的位置关系抛物线的性质椭圆的应用【解析】（1）根据题意求得F及中点F2，根据a与b，c的关系，即可求得a和b的值，求得椭圆方程；（2）根据导数的几何意义，求得直线AB的方程，利用韦达定理及中点坐标公式即可求得C点坐标，即可求得k1k2为定值．【解答】由题意F恰为(0, b)，所以中点F2(c, 0)满足c=a2，因为a2＝b2+c2，所以a2=43b2，由①②解得a＝2，b=√3，c＝1，所以椭圆M的标准方程为x24+y23=1；证明：设P(t, √3t24)，因为抛物线N:y=√34x2，求导y′=√32x，则直线AB方程：y=√32t(x−t)+√34t2，A(x1, y1)，B(x2, y2)，将直线AB方程：y=√32t−√34t2代入椭圆x24+y23=1得：12(1+t2)x2−12t3x+3t4−48＝0，因此x1+x2=t31+t2，y1+y2=√32t(x1+x2)−√32t2=−√3t22(1+t2)，所以C(t 32(1+t2), −√3t24(1+t2))，则k1=√34t，k2=−√32t，所以k1k2=−38（点差法等其他方法正常给分）．已知函数f(x)=x22−ax(lnx−1)−e22（其中e＝2.718…为自然村数的底数，a∈R）．（1）若a＝e，证明：函数f(x)有且只有一个零点；（2）若函数f(x)有两个极值点x1，x2(x1<x2)，求a的取值范围．【答案】当a＝e时，f′(x)＝x−elnx；令ℎ(x)＝x−elnx，∴ℎ′(x)＝1−ex =ex，x>0；令ℎ′(x)＝0⇒x＝e；令ℎ′(x)>0⇒x>e；令ℎ′(x)<0⇒x<e；∴ℎ(x)在(0, e)上单调递减，在(e, +∞)上单调递增；∴ℎ(x)的最小值为ℎ(e)＝e−e＝0，即f′(x)≥ℎ(e)＝0；∴f(x)在(0, +∞)上单调递增；又∵f(e)＝0，∴f(x)有且只有一个零点e．f′(x)＝x−alnx，令φ(x)＝x−alnx，则φ′(x)＝1−ax =x−ax，x>0，当a≤0时，φ′(x)>0，φ(x)＝f′(x)在(0, +∞)上单调递增，∴f′(x)不可能有两个零点，不合题意，当a>0时，当x∈(0, a)时，φ′(x)<0，当x∈(a, +∞)时，φ′(x)>0，∴φ(x)＝f′(x)在(0, a)上单调递减，在(a, +∞)上单调递增，∴φ(x)＝f′(x)≥f′(a)＝a−alna<0，解得a>e，当a>e时，∵f′(1)＝1>0，∴f′(x)在(1, a)上有一个零点，令g(a)=a2e a，a>e，则g′(a)=a(2−a)e a，a>e，∴g(a)在(e, +∞)上单调递减，∴g(a)<g(e)=e2e e <e2e2=1，∴e a>a2，∴f(e a)＝e a−alne a＝e a−a2>0，∴f′(x)在(a, e a)上也有一个零点，综上可知：当a>e，f(x)有两个极值点．【考点】利用导数研究函数的极值函数零点的判定定理【解析】（1）二次求导，判断出函数的单调性，证明二次导数的极小值恒≥0，则原函数是单调递增的，从而表示出只有一个零点．（2）先求导，根据导数和函数极值的关系，分类讨论，再构造函数，根据导数和函数单调性的最值的关系即可求出a的取值范围．【解答】当a＝e时，f′(x)＝x−elnx；令ℎ(x)＝x−elnx，∴ℎ′(x)＝1−ex =ex，x>0；令ℎ′(x)＝0⇒x＝e；令ℎ′(x)>0⇒x>e；令ℎ′(x)<0⇒x<e；∴ℎ(x)在(0, e)上单调递减，在(e, +∞)上单调递增；∴ℎ(x)的最小值为ℎ(e)＝e−e＝0，即f′(x)≥ℎ(e)＝0；∴f(x)在(0, +∞)上单调递增；又∵f(e)＝0，∴f(x)有且只有一个零点e．f′(x)＝x−alnx，令φ(x)＝x−alnx，则φ′(x)＝1−ax =x−ax，x>0，当a≤0时，φ′(x)>0，φ(x)＝f′(x)在(0, +∞)上单调递增，∴f′(x)不可能有两个零点，不合题意，当a>0时，当x∈(0, a)时，φ′(x)<0，当x∈(a, +∞)时，φ′(x)>0，∴φ(x)＝f′(x)在(0, a)上单调递减，在(a, +∞)上单调递增，∴φ(x)＝f′(x)≥f′(a)＝a−alna<0，解得a>e，当a>e时，∵f′(1)＝1>0，∴f′(x)在(1, a)上有一个零点，令g(a)=a2e a，a>e，则g′(a)=a(2−a)e，a>e，∴g(a)在(e, +∞)上单调递减，∴g(a)<g(e)=e2e e <e2e2=1，∴e a>a2，∴f(e a)＝e a−alne a＝e a−a2>0，∴f′(x)在(a, e a)上也有一个零点，综上可知：当a >e ，f(x)有两个极值点．（二）选考题：共10分.请考生在第22、23两题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题记分.[选修4-4：坐标系与参数方程]在平面直角坐标系中，已知曲线C:{x =−√22t y =1+√22t（t 为参数），圆M:x 2+y 2−4x ＝0．以原点O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．（1）写出曲线C 与圆M 的极坐标方程；（2）在极坐标系中，已知射线l:θ＝α(ρ≥0)与曲线C 相交于A ，与圆M 相交于B （异于原点O ），当α∈(0, π2)时，求S △OMBS △OMA的最大值．【答案】已知曲线C:{x =−√22ty =1+√22t（t 为参数），转换为直角坐标方程为x +y −1＝0． 转换为极坐标方程为ρcosθ+ρsinθ−1＝0，即ρsin(θ+π4)=√22．圆M:x 2+y 2−4x ＝0．转换为极坐标方程为ρ＝4cosθ． 由于△OMB 与△OMA 以点M 为顶点时，他们的高相同，即：S △OMBS△OMA=|OB||OA|，由（1）知|OA|=ρA =1sinα+cosα，|OB|＝ρB ＝4cosα，所以S △OMBS△OMA=|OB||OA|=4cosα(sinα+cosα)=2(1+sin2α+cos2α)＝2+2√2sin(2α+π4)． 由于0<α<π2，故π4<2α+π4<5π4，当2α+π4=π2，即α=π8时，S△OMBS △OMA=|OB||OA|的最大值为2+2√2． 【考点】圆的极坐标方程 【解析】（1）直接利用转换关系式，把参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换． （2）利用三角形的面积和三角函数关系式的恒等变换，把函数的关系式变形成正弦型函数，进一步求出函数的最值． 【解答】已知曲线C:{x =−√22ty =1+√22t （t 为参数），转换为直角坐标方程为x +y −1＝0． 转换为极坐标方程为ρcosθ+ρsinθ−1＝0，即ρsin(θ+π4)=√22．圆M:x 2+y 2−4x ＝0．转换为极坐标方程为ρ＝4cosθ． 由于△OMB 与△OMA 以点M 为顶点时，他们的高相同，即：S △OMBS△OMA=|OB||OA|，由（1）知|OA|=ρA =1sinα+cosα，|OB|＝ρB ＝4cosα，所以S △OMBS△OMA=|OB||OA|=4cosα(sinα+cosα)=2(1+sin2α+cos2α)＝2+2√2sin(2α+π4)． 由于0<α<π2，故π4<2α+π4<5π4，当2α+π4=π2，即α=π8时，S△OMBS△OMA=|OB||OA|的最大值为2+2√2． [选修4-5：不等式选讲]已知函数f(x)＝|2x +1|+|x −1|． (Ⅰ)求不等式f(x)≥3的解集；(Ⅱ)若直线y ＝x +a 与y ＝f(x)的图象所围成的多边形面积为92，求实数a 的值． 【答案】（1）f(x)={3x,x ≥1x +2,−12<x <1−3x,x ≤−12 ，由f(x)≥3可知： (i)当x ≥1时，3x ≥3，即x ≥1；(ii)当−12<x <1时，x +2>3，即x ≥1，与−12<x <1矛盾，舍去； (iii)当x ≤−12时，−3x ≥3，即x ≤−1； 综上可知解集为{x|x ≤−1或x ≥1}．（2）画出函数y ＝f(x)的图象，如图所示，其中A(−12, 32)，B(1, 3)， 由k AB ＝1，知y ＝x +a 图象与直线AB 平行，若要围成多边形，则a >2．易得y ＝x +a 与y ＝f(x)图象交于两点C(a 2, 3a2)，D(−a 4, 3a4)，则|CD|=√2⋅|a2+a4|=3√24a ． 平行线AB 与Cd 间的距离d =√2=√2，|AB|=3√22， ∴ 梯形ABCD 的面积S =3√22+3√24a 2⋅√2=32+34a 2⋅(a −2)=92，(a >2)．即(a +2−(a −2)＝12，∴ a ＝4，故所求实数a 的值为4．【考点】绝对值不等式的解法与证明 【解析】(Ⅰ)分2段去绝对值解不等式，在相并；(Ⅱ)画出函数y ＝f(x)的图象，如图所示，其中A(−12, 32)，B(1, 3)，由k AB ＝1，知y ＝x +a 图象与直线AB 平行，若要围成多边形，则a >2．，然后求出|CD|以及两平行线间的距离，用梯形面积公式可得． 【解答】（1）f(x)={3x,x ≥1x +2,−12<x <1−3x,x ≤−12 ，由f(x)≥3可知： (i)当x ≥1时，3x ≥3，即x ≥1；(ii)当−12<x <1时，x +2>3，即x ≥1，与−12<x <1矛盾，舍去； (iii)当x ≤−12时，−3x ≥3，即x ≤−1； 综上可知解集为{x|x ≤−1或x ≥1}．（2）画出函数y ＝f(x)的图象，如图所示，其中A(−12, 32)，B(1, 3)， 由k AB ＝1，知y ＝x +a 图象与直线AB 平行，若要围成多边形，则a >2．易得y ＝x +a 与y ＝f(x)图象交于两点C(a 2, 3a2)，D(−a 4, 3a4)，则|CD|=√2⋅|a2+a4|=3√24a ． 平行线AB 与Cd 间的距离d =√2=√2，|AB|=3√22， ∴ 梯形ABCD 的面积S =3√22+3√24a 2⋅√2=32+34a 2⋅(a −2)=92，(a >2)．即(a +2−(a −2)＝12，∴ a ＝4，故所求实数a 的值为4．。
山东省济南市2019届高三3月模拟考试理科数学试题(含参考答案)
【解析】
【分析】
对复数 进行计算，然后得到 ，再确定是在复平面的象限.
【详解】
，所以在复平面对应的点位于第四象限. 故选 D 项. 【点睛】复数的四则运算， 与 的关系，复数与复平面的关系.
2.已知全集 A. 【答案】A 【解析】
，集合 B.
，则
（）
C.
D.
【分析】
对集合 和 进行化简，然后求得 .
8.若
，则（ ）
A.
B.
C.
D.
【答案】B
【解析】
【分析】 利用 得到结果. 【详解】
设 则 则 设函数
在
，把 用 表示，并得到
，则
，
， 单调递减
，构造幂函数，利用幂函数的单调性，
即
，因此
故选 B 项.
【点睛】本题考查对数与指数关系，构造函数，幂函数的特点等，属于中档题.
9.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（ ）
相关内容进行求解.
（2）解法一：在
中把边和角都解出来，然后在
中利用余弦定理求解；解法二：在
中把
边和角都解出来，然后在
中利用余弦定理求解；解法三：将 用
表示，平方后求出 的模长.
【详解】（1）【解法一】由题设及正弦定理得
，
又
，
所以
.
由于
，则
.
又因为
，
所以 .
【解法二】由题设及余弦定理可得
，
化简得
.
因为 ，所以
则下列结论中正确的是（ ） A. 该家庭 2018 年食品的消费额是 2014 年食品的消费额的一半 B. 该家庭 2018 年教育医疗的消费额与 2014 年教育医疗的消费额相当 C. 该家庭 2018 年休闲旅游的消费额是 2014 年休闲旅游的消费额的五倍 D. 该家庭 2018 年生活用品的消费额是 2014 年生活用品的消费额的两倍 【答案】C 【解析】 【分析】 2018 年全年的收入与 2014 年全年的收入相比增加了一倍，所以在计算实际消费额时，需要对 2018 年的各 项消费占比乘以 2，再与 2014 年各项消费额相比. 【详解】选项 A 中，2018 年食品消费占 0.2，2014 年食品消费占 0.4，因 2018 年全年的收入与 2014 年全 年的收入相比增加了一倍，所以两年的食品消费额相当，故 A 项错误. 选项 B 中，2018 年教育医疗消费占 0.2，2014 年教育医疗消费占 0.2，因 2018 年全年的收入与 2014 年全 年的收入相比增加了一倍，所以 2018 年教育医疗消费额是 2014 年的两倍，故 B 项错误. 选项 C 中，2018 年休闲旅游消费占 0.25，2014 年休闲旅游消费占 0.1，因 2018 年全年的收入与 2014 年全 年的收入相比增加了一倍，所以 2018 年教育医疗消费额是 2014 年的五倍，故 C 项错误. 选项 D 中，2018 年生活用品消费占 0.3，2014 年生活用品消费占 0.15，因 2018 年全年的收入与 2014 年全 年的收入相比增加了一倍，所以 2018 年教育医疗消费额是 2014 年的四倍，故 D 项错误. 【点睛】读懂折线图中所对应的数据，注意总量的变化，属于简单题
山东省济南市2019届高三第三次模拟考试数学(理)试题
山东省济南市2019届高三第三次模拟考试高三数学（理科）★祝考试顺利★ 注意事项：1、答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
用2B 铅笔将答题卡上试卷类型A 后的方框涂黑。
2、选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
3、非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
4、选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B 铅笔涂黑。
答案写在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
5、考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。
第I 卷（选择题 共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.若集合，则（ ）A.B.C.D.2.已知命题；命题命题，则下列命题中为真命题的是（ ）A. B. C. D.3.若0.430.43,0.4,log 3a b c ===，则 （ ）A ．b a c <<B ．c a b <<C ．a c b <<D ．c b a <<4.在复平面内，复数z 满足()112z i i +=-，则z 对应的点位于 （）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限5.《九章算术》是我国古代的数学名著，书中有如下问题：“今有五人分五钱，令上两人所得与下三人等。
问各得几何？”其意思是：“已知甲、乙、丙、丁、戊五人分五钱，甲、乙两人所得之和与丙、丁、戊三人所得之和相等，且甲、乙、丙、丁、戊所得依次成等差数列。
问五人各得多少钱？”（“钱”是古代的一种重量单位）。
这个问题中，戊所得为（ ）A. 钱B. 钱C. 钱D. 钱6.若直线被圆截得的线段最短，则的值为（ ）A. B. C. D.7.为了得到的图像，只需把图像上的所有的点（ ）A.向右平移个单位，同时横坐标伸长到原来的倍，纵坐标不变B.向左平移个单位，同时横坐标伸长到原来的倍，纵坐标不变C.横坐标伸长为原来的倍，纵坐标不变，再向左平移个单位D.横坐标伸长为原来的倍，纵坐标不变，再向右平移个单位8.某几何体的三视图如图所示，俯视图由正三角形及其中心与三个顶点的连线组成，则该几何体外接球的表面积为（ ）A. B.C. D.9.在数列中，，则的值为（ ）A. B.C. D.10.若等边△ABC 的边长为6，其所在平面内一点M 满足，则的值为（ ） A.8 B .6C .D .11. 已知直线过点且与⊙B ：相切于点D ，以坐标轴为对称轴的双曲线E 过点D ，一条渐近线平行于，则E 的离心率为（ ） A .B .2 C .D .12. 已知函数211()2()x x f x x x a e e --+=-++有唯一零点，则a =（ ）A ．12-B ．13C ．12D ．1 第II 卷（非选择题 共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。
2019届高三第三次模拟考试卷理科数学(三)(附答案)
ˆ
ˆ
ˆ 并根据你的判断结果求回归方程．（b 结果保留一位小数）
（3）若一年按 365 天计算，试估计收费标准为多少时，年销售额 L 最大？（年销售额L 365 入住率 收费标
准 x）
xy
ˆ n nx y ， aˆ y ˆbx ， x 200， x 2 325000 ，
参考数据：b
i1
请考生在 22、23 两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第 一题记分．
22．（10 分）【选修4-4：坐标系与参数方程】
[2019· 新疆一模]在直角坐标系
xOy
中，圆 C
的参数方程为
x
2
2cos
为参数，以坐标
原点为极点，x 轴
y 2sin
的非负半轴为极轴建立极坐标系，射线 l 的极坐标方程为 ， 0 ．
数列， a 2 ， b b 4 ．
1
3
2
（1）求数列a 与b 的通项公式；
n
n
（2）若数列c 满足 c
a n
n N* ，T 为数列c 的前 n项和，证明T 1．
nn
bb
n
nn
n n1
18．（12 分）[2019·沧州模拟]近年来，随着互联网技术的快速发展，共享经济覆盖的范围迅速扩张，继共享单 车、共享汽车之后，共享房屋以“民宿”、“农家乐”等形式开始在很多平台上线．某创业者计划在某景区附近租 赁一套农房发展成特色“农家乐”，为了确定未来发展方向，此创业者对该景区附近六家“农家乐”跟踪调查了 100 天．得到的统计数据如下表，x 为收费标准（单位：元/日）， t 为入住天数（单位：天） ，以频率作为各自的“入 住率”，收费标准 x 与“入住率” y 的散点图如图：
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2019届山东省高三三模理科数学试卷【含答案及解析】姓名___________ 班级____________ 分数__________
一、选择题
1. 若（为虚数单位），则复数的共轭复数（）
A．______________________________ B．
______________________________ C．______________________________
D．
2. 已知集合，，则（）
A．____________________________ B．
C．________________________ D．
3. 某校兴趣小组在某小商品批发市场统计了某商品的销售量（单位：件）与销售
价格（元/件）的组数据并画成了如图所示的散点图，则，的线性回归
方程可能为（）
A．_____________________________________ B．
C．______________________________________ D．
4. 已知，，，，则真命题是（）
A． B． C．
___________________________________ D．
5. 函数的部分图象如图所示，则函数图象上的最高点坐标为（）
A．（）_____________________________________
B．（）
C．（）______________________________________
D．（）
6. 若定义在上的偶函数满足，且当时，
，函数，则，方程不同
解的个数为（）
A．___________________________________ B．
_________________________________ C．___________________________________ D．
7. 已知圆，直线上至少存在一点，使得以点为圆心，半径为的圆与圆有公共点，则的最小值是（）
A． B．______________________________________
C． D．
8. 某大学数学系需要安排名大四同学到，，三所学校实习，每所学校安排名同学，已知甲不能到学校，乙和丙不能安排到同一所学校，则安排方案的种数有（）
A．______________________________________ B．
C． D．
9. 已知圆台的一个底面的半径为，母线，高，则该圆台的侧面积为（）
A．或 B．或
C．或 D．或
10. 设函数．若且，则
的取值范围是（）
A． B．_________________________________ C．______________________________ D．
二、填空题
11. 执行右边的程序框图，若输入，，则输出的的值为______________________________ ．
12. 已知（）的展开式的各项系数和与其展开式的二项式系数和
相等，则其展开式中的常数项为______________________________ ．
13. 若，满足条件，则的最大值为
______________________________ ．
14. 对于函数的定义域内的任意，都有，定义的最
大值为的下确界，如的下确界为．若（，），则函数的下确界为______________________________ ．
15. 已知椭圆（）的离心率为，长轴上的
等分点从左到右依次为点，，，，过（，，，）点作斜率为（）的直线（，，，），
依次交椭圆上半部分于点，，，，，交椭圆下半部分于点，，，，，则条直线，，，的斜率乘
积为______________________________ ．
三、解答题
16. 已知．
（Ⅰ）求的单调递增区间；
（Ⅱ）已知的面积为，角，，的对边分别为，，，若，求的最小值．
17. 如图，平行四边形中，，，，
为中点，将沿边翻折，折成直二面角，如图所示，为中点．
（Ⅰ）求证：平面；
（Ⅱ）求直线与平面所成角的正弦值．
18. 已知数列满足，，，且数列
前项和为．
（Ⅰ）求数列的通项公式及；
（Ⅱ）若，求正整数的值．
19. 微信已成为现代生活信息交流的重要工具，对某市年龄在岁至岁的微信用户进行抽样调查发现，有三分之一的用户平均每天使用微信时间不超过小时，其他都在小时以上；将这些微信用户按年龄分成青年人（岁）和中年人（岁），其中四分之三是青年人；平均每天使用微信时间超过小时的为经常使用微信，经常使用微信的用户中有三分之二是青年人．现对该市微信用户进行“经常使用微信与年龄关系”调查，采用随机抽样的方法选取容量为的一个样本，假设该样本与调查结果吻合．
（Ⅰ）计算青年人（岁）和中年人（岁）中经常使用微信和不经常使用微信的人数，并填写下面的列联表；
（Ⅱ）根据（Ⅰ）中的数据，利用独立性检验的方法判断是否有 %的把握认为“经常使用微信与年龄有关”？
附：，
（Ⅲ）从该市微信用户中任意选取人，其中经常使用微信的中年人的人数为，求的分布列和数学期望．
20. 已知已知点是直线上的动点，过作直线，，点
，线段的垂直平分线与交于点．
（Ⅰ）求点的轨迹的方程；
（Ⅱ）若点，是直线上两个不同的点，且的内切圆方程为，直线的斜率为，若，求实数的取值范围．
21. 已知函数（）．
（Ⅰ）当时，求函数的最小值；
（Ⅱ）若时，，求实数的取值范围．
参考答案及解析
第1题【答案】
第2题【答案】
第3题【答案】
第4题【答案】
第5题【答案】
第6题【答案】
第7题【答案】
第8题【答案】
第9题【答案】
第10题【答案】
第11题【答案】
第12题【答案】
第13题【答案】
第14题【答案】
第15题【答案】
第16题【答案】
第17题【答案】
第18题【答案】
第19题【答案】
第20题【答案】
第21题【答案】。