高考理科数学试题及答案
2020年全国统一高考数学试卷(理科)(全国新课标II)【含答案】
2020年全国统一高考数学试卷(理科)(全国新课标II)一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
ð1.已知集合U＝{－2，－1，0，1，2，3}，A＝{－1，0，1}，B＝{1，2}，则(A∪B)＝UA.{－2，3}B.{－2，2，3}C.{－2，－1，0，3}D.{－2，－10，2，3}2.若α为第四象限角，则A.cos2α>0B.cos2α<0C.sin2α>0D.sin2α<03.在新冠肺炎疫情防控期间，某超市开通网上销售业务，每天能完成1200份订单的配货，由于订单量大幅增加，导致订单积压，为解决困难，许多志愿者踊跃报名参加配货工作。
已知该超市某日积压500份订单未配货，预计第二天新订单是1600份的概率为0.05。
志愿者每人每天能完成50份订单的配货，为使第二天积压订单及当日订单配货的概率不小于0.95，则至少需要志愿者A.10名B.18名C.24名D.32名4.北京天坛的圆丘坛为古代祭天的场所，分上、中、下三层，上层中心有一块圆形石板(称为天心石)，环绕天心石砌9块扇面形石板构成第一环，向外每环依次增加9块，下一层的第一环比上一层的最后一环多9块，向外每环依次也增加9块，己知每层环数相同，且下层比中层多729块，则三层共有扇形面形石板(不含天心石)A.3699块B.3474块C.3402块D.3339块5.若过点(2，1)的圆与两坐标轴都相切，则圆心到直线2x －y －3＝0的距离为6.数列{a n }中，a 1＝2，a m ＋n ＝a m a n ，若a k ＋1＋a k ＋2＋…＋a k ＋10＝215－25，则k ＝A.2B.3C.4D.57.右图是一个多面体的三视图，这个多面体某条棱的一个端点在正视图中对应的点为M ，在俯视图中对应的点为N ，则该端点在侧视图中对应的点为A.EB.FC.GD.H8.设O 为坐标原点，直线x ＝a 与双曲线C ：的两条渐近线分别交22221(0,0)x y a b a b-=>>于D ，E 两点。
高考理科数学试题及答案2024
高考理科数学试题及答案（考试时间：120分钟试卷满分：150分）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.31ii+=+（） A ．12i + B ．12i - C ．2i + D ．2i -2. 设集合{}1,2,4A =，{}240x x x m B =-+=．若{}1AB =，则B =（）A ．{}1,3-B ．{}1,0C ．{}1,3D ．{}1,53. 我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的顶层共有灯（）A ．1盏B ．3盏C ．5盏D ．9盏4. 如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，该几何体由一平面将一圆柱截去一部 分所得，则该几何体的体积为（） A ．90π B ．63π C ．42π D ．36π5. 设x ，y 满足约束条件2330233030x y x y y +-≤⎧⎪-+≥⎨⎪+≥⎩，则2z x y =+的最小值是（）A ．15-B ．9-C ．1D ．96. 安排3名志愿者完成4项工作，每人至少完成1项，每项工作由1人完成，则不同的安排方式共有（）A ．12种B ．18种C ．24种D ．36种7. 甲、乙、丙、丁四位同学一起去向老师询问成语竞赛的成绩．老师说：你们四人中有2位优秀，2位良好，我现在给甲看乙、丙的成绩，给乙看丙的成绩，给丁看甲的成绩．看后甲对大家说：我还是不知道我的成绩．根据以上信息，则（）A ．乙可以知道四人的成绩B ．丁可以知道四人的成绩C ．乙、丁可以知道对方的成绩D ．乙、丁可以知道自己的成绩8. 执行右面的程序框图，如果输入的1a =-，则输出的S =（）A ．2 B ．3 C ．4 D ．59. 若双曲线C:22221x y a b-=（0a >，0b >）的一条渐近线被圆()2224x y -+=所截得的弦长为2，则C 的 离心率为（）A ．2B ．3C ．2D ．2310. 若2x =-是函数21`()(1)x f x x ax e -=+-的极值点，则()f x 的极小值为（）A.1-B.32e --C.35e -D.111. 已知直三棱柱111C C AB -A B 中，C 120∠AB =，2AB =，1C CC 1B ==，则异面直线1AB与1C B 所成角的余弦值为（）A ．32 B ．155 C ．105D ．33 12. 已知ABC ∆是边长为2的等边三角形，P 为平面ABC 内一点，则()PA PB PC ⋅+的最小值是（）A.2-B.32-C. 43- D.1- 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
2023年全国统一高考数学试卷(理科)(甲卷)(解析版)
2023年全国统一高考数学试卷（理科）（甲卷）参考答案与试题解析一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．（5分）设集合A＝{x|x＝3k+1，k∈Z}，B＝{x|x＝3k+2，k∈Z}，U为整数集，则∁U（A⋃B）＝（ ）A．{x|x＝3k，k∈Z}B．{x|x＝3k﹣1，k∈Z}C．{x|x＝3k﹣2，k∈Z}D．∅【答案】A【解答】解：∵A＝{x|x＝3k+1，k∈Z}，B＝{x|x＝3k+2，k∈Z}，∴A∪B＝{x|x＝3k+1或x＝3k+2，k∈Z}，又U为整数集，∴∁U（A⋃B）＝{x|x＝3k，k∈Z}．故选：A．2．（5分）若复数（a+i）（1﹣ai）＝2，a∈R，则a＝（ ）A．﹣1B．0C．1D．2【答案】C【解答】解：因为复数（a+i）（1﹣ai）＝2，所以2a+（1﹣a2）i＝2，即，解得a＝1．故选：C．3．（5分）执行下面的程序框图，输出的B＝（ ）A．21B．34C．55D．89【答案】B【解答】解：根据程序框图列表如下：A13821B251334n1234故输出的B＝34．故选：B．4．（5分）向量||＝||＝1，||＝，且+＝，则cos〈﹣，﹣〉＝（ ）【答案】D【解答】解：因为向量||＝||＝1，||＝，且+＝，所以﹣＝+，即2＝1+1+2×1×1×cos＜，＞，解得cos＜，＞＝0，所以⊥，又﹣＝2+，﹣＝+2，所以（﹣）•（﹣）＝（2+）•（+2）＝2+2+5•＝2+2+0＝4，|﹣|＝|﹣|＝＝＝，所以cos〈﹣，﹣〉＝＝＝．故选：D．5．（5分）已知正项等比数列{a n}中，a1＝1，S n为{a n}前n项和，S5＝5S3﹣4，则S4＝（ ）A．7B．9C．15D．30【答案】C【解答】解：等比数列{a n}中，设公比为q，a1＝1，S n为{a n}前n项和，S5＝5S3﹣4，显然q≠1，（如果q＝1，可得5＝15﹣4矛盾），可得＝5•﹣4，解得q2＝4，即q＝2，S4＝＝＝15．故选：C．6．（5分）有50人报名足球俱乐部，60人报名乒乓球俱乐部，70人报名足球或乒乓球俱乐部，若已知某人报足球俱乐部，则其报乒乓球俱乐部的概率为（ ）A．0.8B．0.4C．0.2D．0.1【答案】A【解答】解：根据题意，在报名足球或乒乓球俱乐部的70人中，设某人报足球俱乐部为事件A，报乒乓球俱乐部为事件B，则P（A）＝＝，由于有50人报名足球俱乐部，60人报名乒乓球俱乐部，则同时报名两个俱乐部的由50+60﹣70＝40人，则P（AB）＝＝，则P（B|A）＝＝＝0.8．故选：A．7．（5分）“sin2α+sin2β＝1”是“sinα+cosβ＝0”的（ ）A．充分条件但不是必要条件B．必要条件但不是充分条件C．充要条件D．既不是充分条件也不是必要条件【答案】B【解答】解：sin2α+sin2β＝1，可知sinα＝±cosβ，可得sinα±cosβ＝0，所以“sin2α+sin2β＝1”是“sinα+cosβ＝0”的必要不充分条件，故选：B．8．（5分）已知双曲线的离心率为，其中一条渐近线与圆（x﹣2）2+（y﹣3）2＝1交于A，B两点，则|AB|＝（ ）A．B．C．D．【答案】D【解答】解：双曲线C：﹣＝1（a＞0，b＞0）的离心率为，可得c＝a，所以b＝2a，所以双曲线的渐近线方程为：y＝±2x，一条渐近线与圆（x﹣2）2+（y﹣3）2＝1交于A，B两点，圆的圆心（2，3），半径为1，圆的圆心到直线y＝2x的距离为：＝，所以|AB|＝2＝．故选：D．9．（5分）有五名志愿者参加社区服务，共服务星期六、星期天两天，每天从中任选两人参加服务，则两天中恰有1人连续参加两天服务的选择种数为（ ）A．120B．60C．40D．30【答案】B【解答】解：先从5人中选1人连续两天参加服务，共有＝5种选法，然后从剩下4人中选1人参加星期六服务，剩下3人中选取1人参加星期日服务，共有＝12种选法，根据分步乘法计数原理可得共有5×12＝60种选法．故选：B．10．（5分）已知f（x）为函数向左平移个单位所得函数，则y＝f（x）与的交点个数为（ ）A．1B．2C．3D．4【答案】C【解答】解：把函数向左平移个单位可得函数f（x）＝cos（2x+）＝﹣sin2x的图象，而直线＝（x﹣1）经过点（1，0），且斜率为，且直线还经过点（，）、（﹣，﹣），0＜＜1，﹣1＜﹣＜0，如图，故y＝f（x）与的交点个数为3．故选：C．11．（5分）在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为正方形，AB＝4，PC＝PD＝3，∠PCA＝45°，则△PBC的面积为（ ）A．B．C．D．【答案】C【解答】解：解法一：∵四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为正方形，又PC＝PD＝3，∠PCA＝45°，∴根据对称性易知∠PDB＝∠PCA＝45°，又底面正方形ABCD得边长为4，∴BD＝，∴在△PBD中，根据余弦定理可得：＝，又BC＝4，PC＝3，∴在△PBC中，由余弦定理可得：cos∠PCB＝＝，∴sin∠PCB＝，∴△PBC的面积为＝＝．解法二：如图，设P在底面的射影为H，连接HC，设∠PCH＝θ，∠ACH＝α，且α∈（0，），则∠HCD＝45°﹣α，或∠HCD＝45°+α，易知cos∠PCD＝，又∠PCA＝45°，则根据最小角定理（三余弦定理）可得：，∴或，∴或，∴或，∴tanα＝或tanα＝，又α∈（0，），∴tanα＝，∴cosα＝，sinα＝，∴，∴cosθ＝，再根据最小角定理可得：cos∠PCB＝cosθcos（45°+α）＝＝，∴sin∠PCB＝，又BC＝4，PC＝3，∴△PBC的面积为＝＝．故选：C．12．（5分）已知椭圆＝1，F1，F2为两个焦点，O为原点，P为椭圆上一点，cos∠F1PF2＝，则|PO|＝（ ）A．B．C．D．【答案】B【解答】解：椭圆，F1，F2为两个焦点，c＝，O为原点，P为椭圆上一点，，设|PF1|＝m，|PF2|＝n，不妨m＞n，可得m+n＝6，4c2＝m2+n2﹣2mn cos∠F1PF2，即12＝m2+n2﹣mn，可得mn＝，m2+n2＝21，＝（），可得|PO|2＝＝（m2+n2+2mn cos∠F1PF2）＝（m2+n2+mn）＝（21+）＝．可得|PO|＝．故选：B．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
2023年青海省高考理科数学真题及参考答案
2023年青海省理科数学真题及参考答案一、选择题1.设5212ii iz +++=，则=z （）A .i 21-B .i21+C .i -2D .i+22.设集合R U =，集合{}1<=x x M ，{}21<<-=x x N ，则{}=≥2x x （）A .()N M C U ⋃B .MC N U ⋃C .()N M C U ⋂D .NC M U ⋃3.如图，网格纸上绘制的一个零件的三视图，网格小正方形的边长为1，则该零件的表面积为（）A .24B .26C .28D .304.已知()1-=ax xe xe xf 是偶函数，则=a （）A .2-B .1-C .1D .25.设O 为平面坐标系的坐标原点，在区域(){}41,22≤+≤y x y x 内随机取一点，记该点为A ，则直线OA 的倾斜角不大于4π的概率为（）A .81B .61C .41D .216.已知函数()()ϕω+=x x f sin 在区间⎪⎭⎫⎝⎛326ππ，单调递增，直线6π=x 和32π=x 为函数()x f y =的图象的两条对称轴，则=⎪⎭⎫⎝⎛-125πf （）A .23-B .21-C .21D .237.甲乙两位同学从6种课外读物中各自选读2种，则这两人选读的课外读物中恰有1种相同的选法共有（）A .30种B .60种C .120种D .240种8.已知圆锥PO 的底面半径为3，O 为底面圆心，PB P A ，为圆锥的母线，︒=∠120AOB ，若P AB ∆的面积等于439，则该圆锥的体积为（）A .πB .π6C .π3D .π639.已知ABC ∆为等腰直角三角形，AB 为斜边，ABD ∆为等边三角形，若二面角D AB C --为150°，则直线CD 与平面ABC 所成角的正切值为（）A .51B .52C .53D .5210.已知等差数列{}n a 的公差为32π，集合{}*∈=N n a S n cos ，若{}b a S ,=，则=ab （）A .1-B .21-C .0D .2111.已知B A ,是双曲线1922=-y x 上两点，则可以作为B A ,中点的是（）A .()1,1B .()2,1-C .()3,1D .()4,1-12.已知圆122=+y x O ：，2=OP ，过点P 作直线1l 与圆O 相切于点A ，作直线2l 交圆O 于C B ,两点，BC 中点为D ，则PD P A ⋅的最大值为（）A .221+B .2221+C .21+D .22+二、填空题13.已知点()51，A 在抛物线px y C 22=：上，则A 到C 的准线的距离为.14.若y x ,满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≥+≤+-≤-739213y x y x y x ，则y x z -=2的最大值为.15.已知{}n a 为等比数列，63542a a a a a =，8109-=a a ，则=7a .16.已知()()xxa a x f ++=1，()1,0∈a ，若()x f 在()∞+，0为增函数，则实数a 的取值范围为.三、解答题（一）必做题17.某厂为比较甲乙两种工艺对橡胶产品伸缩率处理效应，进行10次配对试验，每次配对试验选用材质相同的两个橡胶产品，随机地选其中一个用甲工艺处理，另一个用乙工艺处理，测量处理后的橡胶产品的伸缩率，甲、乙两种工艺处理后的橡胶产品的伸缩率分别记为i i y x ,()10,2,1 =i ，试验结果如下试验序号i 12345678910伸缩率i x 545533551522575544541568596548伸缩率iy 536527543530560533522550576536记i i i y x z -=()10,2,1 =i ，记1021,z z z 的样本平均数为z ，样本方差为2s ，（1）求z ，2s ；（2）判断甲工艺处理后的橡胶产品的伸缩率较乙工艺处理后的橡胶产品的伸缩率是否有显著提高（如果1022s z ≥，则认为甲工艺处理后的橡胶产品的伸缩率较乙工艺处理后的橡胶产品的伸缩率有显著提高，否则不认为有显著提高）.18.在ABC ∆中，︒=∠120BAC ，2=AB ，1=AC .（1）求ABC ∠sin ；（2）若D 为BC 上一点，且︒=∠90BAD ，求ADC ∆的面积.19.如图，在三棱锥ABC P -中，BC AB ⊥，2=AB ，22=BC ，6==PC PB ，BC AP BP ,,的中点分别为O E D ,,，DO AD 5=，点F 在AC 上，AO BF ⊥.（1）证明：EF ∥平面ADO ；（2）证明：平面ADO ⊥平面BEF ；（3）求二面角C AO D --的正弦值.20.已知椭圆C ：()012222>>=+b a bx a y 的离心率为35，点()02，-A 在C 上.（1）求C 的方程；（2）过点()3,2-的直线交曲线C 于Q P ,两点，直线AQ AP ,交y 轴于N M ,两点，求证：线段MN 中点为定点.21.已知函数()()1ln 1+⎪⎭⎫⎝⎛+=x a x x f .（1）当1-=a 时，求曲线()x f 在()()1,1f 的切线方程；（2）是否存在实数b a ,使得曲线⎪⎭⎫⎝⎛=x f y 1关于直线b x =对称，若存在，求出b a ,的值；如果不存在，请说明理由；（3）若()x f 在()∞+，0存在极值，求a 的取值范围.（二）选做题【选修4-4】22.在直角坐标系xOy 中，以坐标原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线1C 的极坐标方程为⎪⎭⎫ ⎝⎛≤≤=24sin 2πθπθρ，曲线2C ：⎩⎨⎧==ααsin 2cos 2y x （α为参数，παπ<<2）.（1）写出1C 的直角坐标方程；（2）若直线m x y +=既与1C 没有公共点，也与2C 没有公共点，求m 的取值范围.【选修4-5】23.已知()22-+=x x x f .（1）求不等式()x x f -≤6的解集；（2）在直角坐标系xOy 中，求不等式组()⎩⎨⎧≤-+≤06y x yx f 所确定的平面区域的面积.参考答案一、选择题123456789101112BADDCDCBCBDA1.解：()i i ii i i i i i i z 21112211212252-=--=+=+-+=+++=，则i z 21+=2.解：由题意可得{}2<=⋃x x N M ，则()=⋃N M C U {}2≥x x .3.解：如图所示，在长方体1111D C B A ABCD -中，2==BC AB ，31=AA ，点K J I H ,,,为所在棱上靠近点1111,,,A D C B 的三等分点，N M L O ,,,为所在棱的中点，则三视图所对应的几何体为长方体1111D C B A ABCD -去掉长方体11LMHB ONIC -之后所得的几何体，该几何体的表面积和原来的长方体的表面积相比少2个边长为1的正方体.4.解：∵()1-=ax xe xe xf 是偶函数，则()()=--x f x f ()()[]01111=--=-------axx a x ax x axx e e e x e e x e xe ，又∵x 不恒为0，可得()01=--xa xee ，则()x a x 1-=，∴2=a .5.解：∵区域(){}41,22≤+≤y x y x 表示以()00，O 为圆心，外圆半径2=R ，内圆半径1=r 的圆环，则直线OA 的倾斜角不大于4π的部分如阴影所示，在第一象限对应的圆心角4π=∠MON ，结合对称性可得所求概率为41242=⨯=ππp .6.解：∵()()ϕω+=x x f sin 在区间⎪⎭⎫⎝⎛326ππ，单调递增，∴26322πππ=-=T ，且0>ω，则π=T ，22==Tπω.当6π=x 时，()x f 取得最小值，则Z k k ∈-=+⋅,2262ππϕπ，则Z k k ∈-=,652ππϕ，不妨取0=k 则()⎪⎭⎫ ⎝⎛-=652sin πx x f ，则2335sin 125=⎪⎭⎫⎝⎛-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-ππf .7.解：有1本相同的读物，共有16C 种情况，然后两人各自的另外一种读物相当于在剩余的5种读物里，选出两种进行排列，共有25A 种，根据分布乘法公式则共有⋅16C 12025=A 种.8.解：在AOB ∆中，︒=∠120AOB ，而3==OB OA ，取AC 中点C ，连接PC OC ,，有AB OC ⊥，AB PC ⊥，如图，︒=∠30ABO ，23=OC ，32==BC AB ，由P AB ∆的面积为439得439321=⨯⨯PC ，解得233=PC ，于是6232332222=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=-=OC PC PO ，∴圆锥的体积()πππ663313122=⨯⨯=⨯⨯=PO OA V .9.解：取AB 的中点E ，连接DE CE ,，∵ABC ∆为等腰直角三角形，AB 为斜边，则有AB CE ⊥，又ABD ∆为等边三角形，则AB DE ⊥，从而CED ∠为二面角DAB C --的平面角，即︒=∠150CED ，显然E DE CE =⋂，⊂DE CE ,平面CDE ，又⊂AB 平面ABC ，因此平面CDE ⊥平面ABC ，显然平面CDE ∩平面CE ABC =，直线⊂CD 平面CDE ，则直线CD 在平面ABC 内的射影为直线CE ，从而DCE ∠为直线CD 与平面ABC 所成的角，令2=AB ，则1=CE ，3=DE，在CDE ∆中，由余弦定理得：72331231cos 222=⎪⎪⎭⎫⎝⎛-⨯⨯⨯-+=∠⋅-+=CED DE CE DE CE CD ，由正弦定理得CEDCDDCE DE ∠=∠sin sin ，即7237150sin 3sin =︒=∠DCE ，显然DCE ∠是锐角，7257231sin 1cos 22=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=∠-=∠DCE DCE ，∴直线CD 与平面ABC 所成角的正切值为53.10.解：依题意，等差数列{}n a 中，()⎪⎭⎫⎝⎛-+=⋅-+=323232111πππa n n a a n ，显然函数==n a y cos ⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛-+3232cos 1ππa n 的周期为3，而*∈N n ，即n a cos 最多有3个不同取值，又{}{}b a Nn a n ,cos =∈*，而在321cos ,cos ,cos a a a 中，321cos cos cos a a a ≠=或321cos cos cos a a a =≠，于是有⎪⎭⎫ ⎝⎛+=32cos cos πθθ，即有Z k k ∈=⎪⎭⎫ ⎝⎛++,232ππθθ，解得Z k k ∈-=,3ππθ213cos cos cos 3cos 343cos 3cos 2-=-=⎪⎭⎫ ⎝⎛--=⎦⎤⎢⎣⎡+⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛-=ππππππππππk k k k k ab 11.解：由对称性只需考虑()1,1，()2,1，()3,1，()4,1即可，注意到()3,1在渐近线上，()1,1，()2,1在渐近线一侧，()4,1在渐近线的另一侧.下证明()4,1点可以作为AB 的中点.设直线AB 的斜率为k ，显然k 存在.设()41+-=x k y l AB ：，直线与双曲线联立()⎪⎩⎪⎨⎧=-+-=194122y x x k y ，整理得()()()094429222=------k x k k xk ，只需满足⎩⎨⎧>∆=+0221x x ，∴()29422=--k k k ，解得49=k ，此时满足0>∆.12.解：如图所示，1=OA ，2=OP ，则由题意可知：︒=∠45APO ，由勾股定理可得122=-=OA OP P A ，当点D A ,位于直线PO 异侧时，设40παα≤≤=∠，OPC ，则：⎪⎭⎫ ⎝⎛+⨯=⎪⎭⎫ ⎝⎛+⋅=⋅4cos cos 214cos πααπαPD P A αααααααα2sin 2122cos 1cos sin cos sin 22cos 22cos 22-+=-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎭⎫ ⎝⎛--=42sin 2221πα∵40πα≤≤，则4424ππαπ≤-≤-，∴当442ππα-=-时，PD P A ⋅有最大值1.当点D A ,位于直线PO 同侧时，设40παα≤≤=∠，OPC ，则：⎪⎭⎫ ⎝⎛-⨯=⎪⎭⎫ ⎝⎛-⋅=⋅4cos cos 214cos πααπαPD P A αααααααα2sin 2122cos 1cos sin cos sin 22cos 22cos 22++=+=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⎪⎭⎫⎝⎛++=42sin 2221πα∵40πα≤≤，则2424ππαπ≤+≤，∴当242ππα=+时，PD P A ⋅有最大值为221+.二、填空题13.49；14.8；15.2-；16.⎪⎪⎭⎫⎢⎣⎡-1,21513.解：由题意可得：()1252⨯=p ，则52=p ，∴抛物线的方程为x y 52=，准线方程为45-=x ，点A 到C 的准线的距离为49451=⎪⎭⎫ ⎝⎛--.14.作出可行域如下图所示，∵y x z -=2，∴z x y -=2，联立有⎩⎨⎧=+-=-9213y x y x ，解得⎩⎨⎧==25y x 设()2,5A ，显然平移直线x y 2=使其经过点A 此时截距z -最小，则z 最大，代入得8=z .15.解：设{}n a 的公比为()0≠q q ，则q a q a a a a a a 5263542⋅==，显然0≠n a ，则24q a =，即231q q a =，则11=q a ，∵8109-=a a ，则89181-=⋅q a q a ，则()()3351528-=-==q q，则23-=q ，则25517-==⋅=q q q a a .16.⎪⎪⎭⎫⎢⎣⎡-1,215解析：()()()a a a a x f xx+++='1ln 1ln ，由()x f 在()∞+，0为增函数可知()∞+∈，0x 时，()0≥'x f 恒成立，只需()0min ≥'x f ，而()()()01ln 1ln 22>+++=''a a a a x f xx，∴()()()01ln ln 0≥++='>'a a f x f ，又∵()1,0∈a ，∴⎪⎪⎭⎫⎢⎣⎡-∈1,215a .三、解答题（一）必做题17.解：（1）∵i i i y x z -=()10,2,1 =i ，∴9536545111=-=-=y x z ；62=z ；83=z ；84-=z ；155=z ；116=z ；197=z ；188=z ；209=z ；1210=z .()()[]1112201819111588691011011021=++++++-+++⨯=++=z z z z ∵()∑=-=1012101i i z z s ，将各对应值代入计算可得612=s （2）由（1）知：11=z ，612=s，∴5122106121061210222=⨯==s ，121112==z ，∴1022s z ≥∴甲工艺处理后的橡胶产品的伸缩率较乙工艺处理后的橡胶产品的伸缩率有显著提高18.解：（1）根据题意，由余弦定理可得：72112212cos 222222=⎪⎭⎫ ⎝⎛-⨯⨯⨯-+=∠⋅-+=BAC AC AB AC AB BC ∴7=BC 由正弦定理ABC AC A BC ∠=∠sin sin ，即ABC∠=sin 1237，解得1421sin =∠ABC .（2）由三角形面积公式可得430sin 2190sin 21=︒⨯⨯⨯︒⨯⨯⨯=∆∆AD AC AD AB S S ACDABD ，则103120sin 12215151=⎪⎭⎫⎝⎛︒⨯⨯⨯⨯==∆∆ABC ACD S S .19.解：（1）连接OF OE ,，设tAC AF =，则()BC t BA t AF BA BF +-=+=1，BC BA AO 21+-=，AO BF ⊥，则()[]()()0414********=+-=+-=⎪⎭⎫⎝⎛+-⋅+-=⋅t t BC t BA t BC BA BC t BA t AO BF 解得21=t ，则F 为AC 的中点，由F O E D ,,,分别为AC BC P A PB ,,,的中点，于是AB OF AB DE AB DE 2121∥，，∥=，即OF DE OF DE =，∥，则四边形ODEF 为平行四边形，DO EF DO EF =，∥，又⊄EF 平面ADO ，⊂DO 平面ADO ，∴EF ∥平面ADO .（2）由（1）可知EF ∥OD ，则266==DO AO ，，得2305==DO AD ，因此215222==+AD AO OD ，则AO OD ⊥，有AO EF ⊥，又BF AO ⊥，F EF BF =⋂，⊂EF BF ,平面BEF ，则有AO ⊥平面BEF ，又⊂AO 平面ADO ，∴平面ADO ⊥平面BEF .（3）过点O 作BF OH ∥交AC 于点H ，设G BE AD =⋂，由BF AO ⊥得AO HO ⊥，且AH FH 31=，又由（2）知，AO OD ⊥，则DOH ∠为二面角C AO D --平面角，∵E D ,分别为P A PB ,的中点，因此G 为P AB ∆的重心，即有,31,31BE GE AD DG ==又AH FH 31=，即有GF DH 23=，622642622215234cos 2⨯⨯-+=⨯⨯-+=∠P A ABD ，解得14=P A ，同理得26=BE ，于是3222==+BF EF BE ，即有EF BE ⊥，则35262631222=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯=GF ，从而315=GF ，21531523=⨯=DH ，在DOH ∆中，215,262321====DH OD BF OH ，于是22221sin ,22232624154346cos 2=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=∠-=⨯⨯-+=∠DOH DOH .∴二面角C AO D --的正弦值为22.20.解：（1）由题意可得⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧==+==352222a c e c b a b ，解得⎪⎩⎪⎨⎧===523c b a ，∴椭圆的方程为14922=+x y。
2022年高考真题全国乙卷(理科)数学【含答案及解析】
且
联立 可得
可求得此时 ，
将 ，代入整理得 ，
将 代入，得
显然成立，
综上，可得直线HN过定点
21.
（1）
的定义域为
当 时, ,所以切点为 ,所以切线斜率为2
所以曲线 在点 处的切线方程为
（2）
设
若 ,当 ,即
所以 在 上单调递增,
故 在 上没有零点,不合题意
若 ,当 ,则
所以 在 上单调递增所以 ,即
所以 在 上单调递增,
故 在 上没有零点,不合题意
若
(1)当 ,则 ,所以 在 上单调递增
所以存在 ,使得 ,即
当 单调递减
当 单调递增
所以
当
当
所以 在 上有唯一零点
又 没有零点,即 在 上有唯一零点
(2)当
设
所以 在 单调递增
所以存在 ,使得
当 单调递减
当 单调递增,
又
所以存在 ,使得 ,即
当 单调递增,当 单调递减
14．过四点 中的三点的一个圆的方程为____________．
15．记函数 的最小正周期为T，若 ， 为 的零点，则 的最小值为____________．
16．己知 和 分别是函数 （ 且 ）的极小值点和极大值点．若 ，则a的取值范围是____________．
三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．
（2）
证明：因为 ， ， ，
所以 ， ， ，
所以 ， ，
当且仅当 时取等号．
答案及解析
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名和座位号填写在答题卡上．
2021年全国高考真题全国三卷理科数学(word版附答案)
2021年全国高考真题全国三卷理科数学(word版附答案)2021年普通高等学校招生全国统一考试全国三卷理科数学（word版附答案）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1，2?，则A1．已知集合A??x|x?1≥0?，B??0，A．?0?B．?1?B?2? C．?1，1，2? D．?0，2．?1?i??2?i?? A．?3?iB．?3?iC．3?i3．中国古建筑借助榫卯将木构件连接起来，构件的凸出部分叫榫头，凹进部分叫卯眼，图中木构件右边的小长方体是榫头．若如图摆放的木构件与某一带卯眼的木构件咬合成长方体，则咬合时带卯眼的木构件的俯视图可以是14．若sin??，则cos2??3A．5 B．7 9 C．?7 9 D．?8 92??5．?x2??的展开式中x4的系数为x??A．10 B．20 C．402 D．806．直线x?y?2?0分别与轴，轴交于A，B两点，点P在圆?x?2??y2?2上，则△ABP面积的取值范围是6? A．?2，8? B．?4，?C．??2，32??D．??22，32?7．函数y??x4?x2?2的图像大致为8．某群体中的每位成员使用移动支付的概率都为p，各成员的支付方式相互独立，设X为该群体的10位成员中使用移动支付的人数，DX?2.4，P?X?4??P?X?6?，则p? A．0.7C．0.4D．0.3a2?b2?c29．△ABC的内角A，B，C的对边分别为，，，若△ABC的面积为，则C?4ππππA． B． C． D．2346C，D是同一个半径为4的球的球面上四点，△ABC为等边三角形且其面积10．设A，B，为93，则三棱锥D?ABC体积的最大值为 A．123B．183C．243D．543x2y2b?0）的左、右焦点，O是坐标原点．过F211．设F1，F2是双曲线C：2?2?1（a?0，ab作C的一条渐近线的垂线，垂足为P．若PF1?6OP，则C的离心率为 A．5B．2C．3D．212．设a?log0.20.3，b?log20.3，则A．a?b?ab?0B．ab?a?b?0C．a?b?0?ab D．ab?0?a?b二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．已知向量a=?1,2?，b=?2,?2?，c=?1,λ?．若c∥?2a+b?，则??________．1?处的切线的斜率为?2，则a?________． 14．曲线y??ax?1?ex在点?0，π??π?的零点个数为________． 15．函数f?x??cos?3x??在?0，6??1?和抛物线C：y2?4x，过C的焦点且斜率为的直线与C交于A，B两16．已知点M??1，点．若∠AMB?90?，则k?________．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分． 17．（12分）a5?4a3．等比数列?an?中，a1?1，（1）求?an?的通项公式；（2）记Sn为?an?的前项和．若Sm?63，求m． 18．（12分）某工厂为提高生产效率，开展技术创新活动，提出了完成某项生产任务的两种新的生产方式．为比较两种生产方式的效率，选取40名工人，将他们随机分成两组，每组20人，第一组工人用第一种生产方式，第二组工人用第二种生产方式．根据工人完成生产任务的工作时间（单位：min）绘制了如下茎叶图：（1）根据茎叶图判断哪种生产方式的效率更高？并说明理由；（2）求40名工人完成生产任务所需时间的中位数m，并将完成生产任务所需时间超过m和不超过m的工人数填入下面的列联表：第一种生产方式第二种生产方式超过m 不超过m （3）根据（2）中的列联表，能否有99%的把握认为两种生产方式的效率有差异？附：K?2n?ad?bc?2?a?b??c?d??a?c??b?d?，P?K2≥k? 0.050 0.010 19．（12分）3.841 0.001 6.635 10.828 如图，边长为2的正方形ABCD所在的平面与半圆弧CD所在平面垂直，M是CD上异于C，D的点．（1）证明：平面AMD⊥平面BMC；（2）当三棱锥M?ABC体积最大时，求面MAB与面MCD所成二面角的正弦值．20．（12分）x2y2已知斜率为的直线与椭圆C：??1交于A，B两点，线段AB的中点为43M?1，m??m?0?．1（1）证明：k??；2（2）设F为C的右焦点，P为C上一点,且FP?FA?FB?0．证明：FA，FP，FB成等差数列，并求该数列的公差． 21．（12分）已知函数f?x???2?x?ax2?ln?1?x??2x．（1）若a?0，证明：当?1?x?0时，f?x??0；当x?0时，f?x??0；（2）若x?0是f?x?的极大值点，求．（二）选考题：共10分，请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．22．选修4―4：坐标系与参数方程]（10分）?x?cos?，⊙O的参数方程为?在平面直角坐标系xOy中，（为参数），过点0，?2y?sin????且倾斜角为?的直线与⊙O交于A，B两点．（1）求?的取值范围；（2）求AB中点P的轨迹的参数方程． 23．选修4―5：不等式选讲]（10分）设函数f?x??2x?1?x?1．（1）画出y?f?x?的图像；???，f?x?≤ax?b，求a?b的最小值．（2）当x∈?0，参考答案：1 C2 D3 A4 B5 C6 A7 D8 B9 C 10 B 11 C 12 B感谢您的阅读，祝您生活愉快。
2022年高考全国卷1理科数学试题及参考答案
普通高等学校招生全国统一考试理科数学一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知集合{}42M x x =-<<，{}260N x x x =--<，则M N =A ．{}43x x -<<B ．{}42x x -<<-C ．{}22x x -<<D ．{}23x x <<2．设复数z 满足1z i -=，z 在复平面内对应的点为(),x y ，则A ．()2211x y ++=B ．()2211x y -+=C ．()2211x y +-=D ．()2211x y ++=3．已知2log 0.2a =，0.22b =，0.30.2c =，则 A ．a b c <<B ．a c b <<C ．c a b <<D ．b c a <<4．古希腊时期，人们认为最美人体的头顶至肚脐的长度与肚脐至足底的长度之比是51-（510.618-≈，称为黄金分割比例），著名的“断臂维纳斯”便是如此.此外，最美人体的头顶至咽喉的长度与咽喉至肚脐的长度之比也是512-。
若某人满足上述两个黄金分割比例，且腿长为105cm ，头顶至脖子下端的长度为26cm ，则其身高可能是 A ．165cmB ．175cmC ．185cmD ．190cm5．函数()2sin cos x xf x x x+=+在[],ππ-的图象大致为6．我国古代典籍《周易》用“卦”描述万物的变化。
每一“重卦”由从下到上排列的6个爻组成，爻分为阳爻“——”和阴爻“——”，右图就是一重卦，在所有重卦中随机取一重卦，则该重卦恰有3个阳爻的概率是A．516B ．1132C ．2132D ．11167．已知非零向量a ，b 满足2a b =，且()a b b -⊥，则a 与b 的夹角为（）A ．6π B ．3π C ．23π D ．56π 8．右图是求112122++的程序框图，图中空白框中应填入A ．12A A =+B ．12A A=+C ．112A A=+D ．112A A=+9．记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，已知4=0S ，55a =，则A ．25n a n =-B ．310n a n =-C ．228n S n n =-D ．2122n S n n =-10．已知椭圆C 的焦点为()11,0F -，()21,0F ，过2F 的直线与C 交于A ，B 两点，若222AF F B =，1AB BF =，则C 的方程为A ．2212x y += B ．22132x y +=C ．22143x y +=D ．22154x y +=11．关于函数()sin sin f x x x =+有下述四个结论：①()f x 是偶函数②()f x 在区间,2ππ⎛⎫⎪⎝⎭单调递增 ③()f x 在[],ππ-有4个零点④()f x 的最大值为2 A ．①②④B ．②④C ．①④D ．①③12．已知三棱锥P ABC -的四个顶点在球O 的球面上，PA PB PC ==，△ABC 是边长为2的正三角形，E ，F 分别是PA ，PB 的中点，90CEF ∠=︒，则球O 的体积为A ．86πB ．46πC ．26πD 6π二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
高考全国甲卷：《理科数学》2020年考试真题与答案解析
高考精品文档高考全国甲卷理科数学·2020年考试真题与答案解析同卷地区贵州省、四川省、云南省西藏自治区、广西自治区高考全国甲卷：《理科数学》2020年考试真题与答案解析一、选择题本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知集合，，则中元素的个数为（ ）A ．2B ．3C ．4D ．6答案：C2．复数的虚部是（ ）A ．B ．C ．D ．答案：D3．在一组样本数据中，1，2，3，4出现的频率分别为，且，则下面四种情形中，对应样本的标准差最大的一组是（ ）{(,)|,,}A x y x y y x =∈≥*N {(,)|8}B x y x y =+=A B 113i -310-110-1103101234,,,p p p p 411i i p ==∑A ．B ．C ．D ．答案：B4．Logistic 模型是常用数学模型之一，可应用于流行病学领域．有学者根据公布数据建立了某地区新冠肺炎累计确诊病例数（t 的单位：天）的Logistic 模型：，其中K 为最大确诊病例数．当时，标志着已初步遏制疫情，则t *约为（ ）A ．60B ．63C ．66D ．69答案：C5．设O 为坐标原点，直线x=2与抛物线C ：交于D ，E 两点，若，则C 的焦点坐标为（ ）A ．B ．C ．D ．答案：B14230.1,0.4p p p p ====14230.4,0.1p p p p ====14230.2,0.3p p p p ====14230.3,0.2p p p p ====()I t 0.23(53)()=1e t K I t --+*()0.95I t K =(ln193)≈22(0)y px p =>OD OE ⊥1(,0)41(,0)2(1,0)(2,0)6．已知向量a ，b 满足，，，则（ ）A ．B ．C．D ．答案：D7．在△ABC 中，cosC=，AC=4，BC=3，则cosB=（ ）A ．B ．C ．D ．答案：A8．下图为某几何体的三视图，则该几何体的表面积是（ ）A ．||5=a ||6=b 6⋅=-a b cos ,=+a a b 3135-1935-173519352319131223B ．C ．D ．答案：C9．已知2tanθ–tan(θ+)=7，则tanθ=（ ）A ．–2B ．–1C ．1D ．2答案：D10．若直线l 与曲线和x 2+y 2=都相切，则l 的方程为（ ）A ．y=2x+1B．y=2x+C ．y=x+1D ．y=x+答案：D11．设双曲线C ：（a>0，b>0）的左、右焦点分别为F 1，F 2．P 是C 上一点，且F 1P ⊥F 2P ．若△PF 1F 2的面积为4，则a=（ ）A ．1π4151212121222221x y a b-=B ．2C ．4D ．8答案：A12．已知55<84，134<85．设a=log 53，b=log 85，c=log 138，则（ ）A ．a<b<c B ．b<a<c C ．b<c<a D ．c<a<b 答案：A二、填空题本题共4小题，每小题5分，共20分。
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1982年普通高等学校招生全国统一考试数学（理科）一．（本题满分6分） 填表：解：见上表二．（本题满分9分）1．求（-1+i)20展开式中第15项的数值; 2．求3cos 2xy =的导数解：1.第15项T 15=.38760)()1(6201461420-=-=-C i C 2..32sin 31)3(3sin 3cos 2)3)(cos 3(cos 2x x x x x xy -='-='=' 三．（本题满分9分）在平面直角坐标系内，下列方程表示什么曲线？画出它们的图形1．;0436323112=-y x Y2．⎩⎨⎧φ=φ+=.sin 2,cos 1y x解：1.得2x-3y-6=0图形是直线2.化为,14)1(22=+-y x 图形是椭圆四．（本题满分12分）已知圆锥体的底面半径为R ，高为H求内接于这个圆锥体并且体积最大的圆柱体的高h （如图）解：设圆柱体半径为r 高为h由△ACD ∽△AOB 得.RrH h H =- 由此得),(h H HR r -=圆柱体体积.)()(2222h h H HR h r h V -π=π= 由题意，H ＞h ＞0，利用均值不等式，有.)(,3,,2.274274224232222最大时因此当时上式取等号当原式h V H h h h H H R H H R h h H h H H R ==-π=⋅π⋅≤⋅-⋅-⋅π⋅=（注：原“解一”对h 求导由驻点解得）五．（本题满分15分）的大小与比较设|)1(log ||)1(log |,1,0,10x x a a x a a +-≠><<（要写出比较过程）A2R解一：当a >1时，.|)1(log ||)1(log |,1,0,10.|)1(log ||)1(log |,0)1(log ,110 ,10).1(log |)1(log ||)1(log |),1(log |)1(log |),1(log |)1(log |,10.|)1(log ||)1(log |,0)1(log ,110,1).1(log )]1(log )1([log |)1(log ||)1(log |),1(log |)1(log |),1(log |)1(log |222222x x a a x x x x x a x x x x x x x a x x x x a x x x x x x x x x a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a +>-≠><<+>-∴>-∴<-<<<-=+--+-=+-=-<<+>-∴>--∴<-<>--=++--=+--+=+--=-总有时因此当时当ΘΘ解二：|)1(log |)1(log )1(log |)1(log ||)1(log |1x x x x x x a a a a -=+-=+-+Θ,110,11<-<>+x x Θ|)1(log ||)1(log |,1|)1(log ||)1(log |,10)1(log ,110,11)1(log 111log 11log )1(log 212212111x x x x x x x x xx x x a a a a x x x x x +>-∴>+->∴<-<-<>+--=-+=-=--=+++++即原式原式Θ 六．（本题满分16分）如图：已知锐角∠AOB=2α内有动点P ，PM ⊥OA ，PN ⊥OB ，且四边形PMON 的面积等于常数c 2今以O 为极点，∠AOB 的角平分线OX 为极轴，求动点P的轨迹的极坐标方程，并说明它表示什么曲线解：设P 的极点坐标为（ρ，θ）∴∠POM=α-θ，∠NOM=α+θ，AOM=ρcos(α-θ),PM=ρsin(α-θ), ON=ρcos(α+θ),PN=ρsin(α+θ), 四边形PMON 的面积.2sin 2.2sin 2)sin (cos sin ,cos .2sin 22cos 2cos 2sin 2)](2sin )(2[sin 4)]sin()cos()sin()[cos(2:,)]sin()cos()sin()[cos(221212222222222222222α=-α=θ-θρθρ=θρ=α=θρ=θαρ=θ+α+θ-αρ=θ+αθ+α+θ-αθ-αρθ+αθ+α+θ-αθ-αρ=⋅+⋅=c y x c y x c c c c P PN ON PM OM S 即为化为直角坐标方程上式用即用和差化积公式化简得用倍角公式化简得的轨迹的极坐标方程是动点依题意这个方程表示双曲线由题意，动点P 的轨迹是双曲线右面一支在∠AOB 内的一部分七．（本题满分16分）已知空间四边形ABCD 中AB=BC ，CD=DA ，M ，N ，P ，Q 分别是边AB ，BC ，CD ，DA 的中点（如图）求证MNPQ 是一个矩形证：连结AC ，在△ABC 中，∵AM=MB ，CN=NB ，∴MN ∥AC 在△ADC 中，∵AQ=QD ，CP=PD ， ∴QP ∥AC ∴MN ∥QPBP C同理，连结BD 可证MQ ∥NP∴MNPQ 是平行四边形取AC 的中点K ，连BK ，DK ∵AB=BC ，∴BK ⊥AC ，∵AD=DC ，∴DK ⊥AC BKD 与AC 垂直∵BD 在平面BKD 内，∴BD ⊥AC ∵MQ ∥BD ，QP ∥AC ，∴MQ ⊥QP ，即∠MQP 为直角故MNPQ 是矩形八．（本题满分18分）抛物线y 2=2px 的内接三角形有两边与抛物线x 2=2qy 相切，证明这个三角形的第三边也与x 2=2qy 相切解：不失一般性，设p>0,q>0.又设y 2=2px 的内接三角形顶点为A 1（x 1,y 1),A 2(x 2,y 2),A 3(x 3,y 3)因此y 12=2px 1，y 22=2px 2 ，y 32=2px 3其中y 1≠y 2 , y 2≠y 3 , y 3≠y 1 .依题意，设A 1A 2，A 2A 3与抛物线x 2=2qy 相切，要证A 3A 1也与抛物线x 2=2qy 相切因为x 2=2qy 在原点O 处的切线是y 2=2px 的对称轴，所以原点O 不能是所设内接三角形的顶点即（x 1,y 1),(x 2,y 2),(x 3,y 3)，都不能是（0，0）;又因A 1A 2与x 2=2qy 相切，所以A 1A 2不能与Y 轴平行，即Yx 2=2qyy 2=2pxx 1≠x 2 , y 1≠-y 2,直线A 1A 2的方程是),(112121x x x x y y y y ---=- ).(2))((1212122122x x p y y y y y y -=+-=-Θ(1)0)(2.0)2(4)4(,2,0242.2212122121221221212121222121212121=++=+++-=∆==+-+-=+++=∴y y y y q p y y y qy y y pq qy x A A y y y qy x y y pqx qy x A A y y y y x y y py A A 化简得上面二次方程的判别式相切与抛物线由于交点的横坐标满足与抛物线方程是同理由于A 2A 3与抛物线x 2=2qy 相切，A 2A 3也不能与Y 轴平行，即 x 2≠x 3, y 2≠-y 3,同样得到(2) 0)(2p 32322=++y y y y q由（1）（2）两方程及y 2≠0,y 1≠y 3,得y 1+y 2+y 3=0.由上式及y 2≠0,得y 3≠-y 1，也就是A 3A 1也不能与Y y 2=-y 1-y 3代入（1）式得：(3) 0)(2p 13132=++y y y y q(3)式说明A 3A 1与抛物线x 2=2qy 的两个交点重合，即A 3A 1与抛物线x 2=2qy 相切所以只要A 1A 2，A 2A 3与抛物线x 2=2qy 相切，则A 3A 1也与抛物线x 2=2qy 相切九．（附加题，本题满分20分，计入总分）已知数列ΛΛ,21,,n a a a 和数列,,,,21ΛΛn b b b 其中111,,-===n n pa a q b p a).0,0,,,(),2(11>>≠≥+=--r p q r q p n rb qa b n n n 且是已知常数1．用p,q,r,n 表示b n ，并用数学归纳法加以证明; 2．求.lim22nn n n b a b +∞→解：1.∵a 1=p, a n =p a n-1,∴a n =p n . 又b 1=q,b 2=q a 1+rb 1=q(p+r), b 3=q a 2+rb 2=q(p 2+pq+r 2),… 设想.)()(121rp r p q rr ppq b n n n n n n --=+++=---Λ用数学归纳法证明：当n=2时，,)()(222r p r p q r p q b --=+=等式成立; 设当n=k 时，等式成立，即,)(r p r p q b k k k --=则b k+1=q a k +rb k =,)()(11rp r p q r p r p rq qp k k k k k--=--+++ 即n=k+1时等式也成立所以对于一切自然数n ≥2，rp r p q b n n n --=)(都成立.)(lim ,0)(,,10,])(1[)(])(1[lim,,)()()(lim ,0,)()()(limlim.222222222222222222q r p qb a b p rn p r prq r p p rq p r p q r p p r p q r p r p r p q p r p r p q ba b n n n n n n n n n n nnn n n n nn n n n nnn n +-=+∴→∞→<<-+--=-+--=>>--+--=+∞→∞→∞→∞→∞→时故当原式分子分母同除以原式ΘΘ（注：专业文档是经验性极强的领域，无法思考和涵盖全面，素材和资料部分来自网络，供参考。
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