学姐笔记-中考数学几何经典题型比例线段
中考数学线段知识点总结
中考数学线段知识点总结线段的概念最早可以追溯到古希腊的几何学家，他们研究了各种不同类型的线段，并给出了它们的性质和特点。
在现代数学中，线段被广泛应用于几何、代数、数论等各个领域，并对整个数学体系产生了深远的影响。
线段的基本性质线段是两个端点及其之间的所有点组成的集合。
线段通常用字母表示，如“AB”表示由 A 点和 B 点组成的线段。
线段的长度可以用两个端点的坐标表示，其计算公式如下：设线段 AB 的两个端点的坐标分别为 (x1, y1) 和 (x2, y2)，则线段 AB 的长度为：AB = √[(x2 - x1)^2 + (y2 - y1)^2]这个公式又称为两点距离公式，它可以帮助我们计算两个给定点之间的距离。
通过这个公式，我们可以实现对线段长度的精确计算。
线段的方向可以用两点的坐标表示。
在坐标系中，线段的方向可以用斜率（k）来描述，其计算公式为：k = (y2 - y1) / (x2 - x1)线段的方向可以是正向或负向，这取决于斜率的正负。
当斜率为正时，线段的方向是向上的；斜率为负时，线段的方向是向下的。
通过斜率的计算，我们可以准确地描述线段的方向和倾斜程度。
线段在几何中的应用在线段几何中，线段是构成各种图形的基本元素之一。
例如，在三角形中，三条边分别是由三个点所构成的线段。
在四边形中，四条边也是由四个点所构成的线段。
线段可以帮助我们描述图形的形状、大小和位置，它是几何学中不可或缺的重要概念。
线段的长度可以在几何中应用于各种计算中。
例如，在计算图形的周长和面积时，我们通常需要利用线段的长度来进行计算。
线段的长度也可以帮助我们了解两个给定点之间的距离，这对于解决实际问题也非常有用。
线段在代数中的应用在线段代数中，线段可以表示为一维向量，具有长度和方向的特性。
线段可以进行加减、乘除等运算，从而可以实现各种数学计算。
线段代数在物理、工程、经济等领域中有着广泛的应用，它为我们提供了一种便捷的数学工具。
初三几何题证明比例
初三几何题证明比例
初三几何题中，涉及到比例的证明通常是指证明三角形中的线
段或角的比例关系。
比如，证明三角形中的中位线、角平分线、高
线等线段之间的比例关系，或者证明三角形内角平分线与三角形两
边的比例关系等。
一种常见的题型是证明三角形中的中位线与底边的比例关系。
以三角形ABC为例，D为AB的中点，需要证明CD与AB的比例关系。
首先可以利用中位线的定义和性质，即连接三角形的一个顶点与对
边中点的线段为中位线，中位线平分对边，并且中位线两端的线段
长度相等。
然后可以利用三角形的性质，比如利用三角形的两边之
和大于第三边这一性质，结合线段长度的性质进行推导，最终得出CD与AB的比例关系。
另一种常见的题型是证明三角形中的角平分线与两边的比例关系。
以三角形ABC为例，AD为角A的平分线，需要证明BD与DC的
比例关系。
可以利用角平分线的定义和性质，即角平分线将一个角
平分为两个相等的角，并且角平分线所在的角等于原角的一半。
然
后可以利用角的性质，比如利用相交线性质、三角形内角和等于
180度等性质进行推导，最终得出BD与DC的比例关系。
除了以上两种情况，还有许多其他涉及比例的几何证明题目，每个题目都有其特定的证明方法和步骤。
在解决这类问题时，需要灵活运用三角形的性质、线段长度的性质、角度的性质等知识，通过逻辑推理和严密的证明，最终得出所需的比例关系。
同时，还需要注意在证明过程中保持严谨的逻辑推导，避免出现错误的推断和结论，以确保证明的正确性和完整性。
中考复习之比例线段4
中考复习之比例线段知识考点：本节知识在历年中考的考题中，主要涉及用比例的性质、平行线分线段成比例定理。
由于比例的性质在应用时有其限制条件，一些中考题又以此为背景设计分类求解题。
精典例题：【例1】已知0543≠==z y x ，那么zy x z y x +++-＝ 。
分析：此类问题有多种解法，一是善于观察所求式子的特点，灵活运用等比性质求解；二是利用方程的观点求解，将已知条件转化为z x 53=，z y 54=，代入所求式子即可得解；三是设“k ”值法求解。
变式1：已知32===f e d c b a ，若032≠-+-f d b ，则3222-+--+-f d b e c a ＝ 。
变式2：已知3:1:2::=z y x ，求yx zy x 232++-的值。
变式3：已知aac b b c b a c c b a k -+=+-=-+=，则k 的值为 。
【例2】如图，在△ABC 中，点E 、F 分别在AB 、AC 上，且AE ＝AF ，EF 的延长线交BC 的延长线于点D 。
求证：CD ∶BD ＝CF ∶BE 。
（用三种方法证明）分析：在题设中，没有平行的条件，要证明线段成比例，可考虑添加平行线，再考虑换比。
例2图1GFEDCBA例 2 图 2GFEDCBA例 2 图 3GFEDCBA变式1：已知如图，D 是△ABC 的边BC 的中点，且31=BE AE ，求FC AF 的值。
变式2：如图，BD ∶DC ＝5∶3，E 为AD 的中点，求BE ∶EF 的值。
【例3】如图，在△ABC 中，P 为中线AM 上任一点，CP 的延长线交AB 于D ，BP 的延长线交AC 于E ，连结DE 。
（1）求证：DE ∥BC ；（2）如图，在△ABC 中，DE ∥BC ，DC 、BE 交于P ，连结AP 并延长交BC 于M ，试问：M 是否为BC 的中点？探索与创新：【问题】请阅读下面材料，并回答所提出的问题：三角形内角平分线性质定理：三角形的内角平分线分对边所得的两条线段和这个角的两边对应成比例。
比例线段解题方法解题技巧经典例题与练习题
比 例 线 段◆比例线段1．相似形：在数学上，具有相同形状的图形称为相似形2．比例线段：在四条线段中，如果其中两条线段的比等于另外两条线段的比，那么这四条线段叫做成比例线段，简称比例线段3. 比例的项：已知四条线段a 、b 、c 、d ，如果a ∶b ＝c ∶d ，那么a 、b 、c 、d 叫做组成比例的项，线段a 、d 叫做比例的外项，线段b 、c 叫做比例的内项，线段d 叫做a 、b 、c 的第四比例项；比例中项：如果比例内项是两条相同的线段a ∶b ＝b ∶c ，即，那么线段b 叫做线段a 和c 的比例中项。
4. 比例的性质（1）基本性质:bc ad dc b a =⇔=， a ∶b ＝b ∶c ⇔b 2=ac 例1：6∶x = (5 +x )∶2 中的x = ；2∶3 = ( 5x -)∶x 中的x = 例2：若，则＝________（2）合、分比性质:dd c b b a d c b a d d c b b a d c b a -=-⇒=+=+⇒=或 注意:此性质是分子加（减）分母比分母,不变的是分母.想想是否可以拓展呢？即分母加（减）分子，不变的是分子例1：若43=-b b a ，则ba =_________ 例2：如果，则＝________（3）等比性质:若)0(≠+⋅⋅⋅+++=⋅⋅⋅===n f d b n m f e d c b a 则ba n f db m ec a =+⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅+++. 例1：若9810z y x ==, 则 ______=+++z y z y x 例2：已知：，则＝________；如果，那么＝________例3:若a b+c =b c+a =c a+b=k ，求k 的值.（4）比例中项:若c a b c a b cb b a ,,2是则即⋅==的比例中项. 例1：已知：线段，若线段b 是线段a,c 的比例中项，则c ＝________例2： 2:)3(-a = )3(-a :8,则a ＝【练一练】1、 若a ∶3 =b ∶4 =c ∶5 , 且6=-+c b a , ___________,____,===c b a ；2、 已知x ∶y ∶z = 3∶4∶5 , 且12=++z y x , 那么_________,____,===z y x ；3、已知dc b a =＝f e ＝2 （b ＋d ＋f ≠0），求：（1）f d be c a ++++；（2）f d b e c a +-+-； （3）f d b ec a 3232+-+-；（4）f b ea 55--．4、 已知x ∶4 =y ∶5 = z ∶6 , 则 ①x ∶y ∶z = , ② )(y x +∶____)(=+z y ；5、 若322=-y y x , 则_____=yx ； 6、若345x y z ==，则x y z z ++＝ ．若x:y:z=2:3:4，则=+-+y x z y x 232 ．7、如果 ，则 ，。
初三数学线段的知识点总结
初三数学线段的知识点总结一、线段的概念线段是指两个端点和连接它们的所有点组成的。
例如，在数轴上，从点A到点B的所有点构成的就是一个线段。
线段在我们的日常生活和数学中都有着重要的应用，例如测量长度、计算距离等等。
二、线段的记法线段通常用两个字母表示，比如AB代表一个线段，其中A和B分别是线段的两个端点。
线段还可以用符号表示，也就是在AB的上方加上一条横线，表示线段AB。
三、线段的比较与运算1. 线段的比较当两条线段的长度相等时，我们称它们是相等的。
当一个线段的长度大于另一个线段的长度时，我们称前者大于后者。
如果一个线段的长度小于另一个线段的长度，我们称前者小于后者。
2. 线段的运算线段的运算有加法和减法两种，加法即为将两条线段的长度相加，减法即为将一个线段的长度从另一个线段的长度中减去。
四、线段的中点线段的中点是线段中点的意思，它指的是一个线段的中心位置。
我们可以通过画垂直平分线的方法来找到线段的中点，通过中点我们可以将线段分为两个相等的部分。
五、线段的延长与截取1. 线段的延长线段的延长指的是在一个线段的两个端点处再加上一部分长度，这样我们就得到了延长后的线段。
2. 线段的截取线段的截取指的是将一个线段在中间某一点切割，从而得到两个新的线段。
线段的截取在生活和数学中都有着广泛的应用，比如建筑中的测量和施工、地图上的距离计算等等。
六、线段的垂直平分线线段的垂直平分线指的是一个线段的中点，并且与这个线段垂直相交，将这个线段平分为两个相等的部分。
我们可以通过画垂直平分线的方法来找到线段的中点。
七、线段的垂直与平行1. 线段的垂直当两条线段相交且交点是直角时，我们称这两条线段是垂直的。
2. 线段的平行当两条线段在同一平面上且它们的方向完全相同，我们称这两条线段是平行的。
八、线段的角度线段之间的夹角也是数学中的一个重要概念，它可以进一步帮助我们理解线段之间的关系。
以上就是初三数学中线段的知识点总结，线段在数学中有很多的应用，我们要认真学习这些知识点，才能更好地理解和运用它们。
初中数学重点梳理：比例线段
比例线段知识定位比例线段这部分内容较多，例如平行线分线段成比例定理、三角形一边的平行线的性质定理、判定定理，圆中的比例关系等，极为精彩。
在数学竞赛中，它容易与相似三角形、三角形重心的性质、切割线定理等相结合，内容杂，难度也比较大，经常会涉及证明及计算，需要引起足够重视。
知识梳理知识梳理1：比例线段相关定理平行线分线段成比例定理：如下图，如果1l ∥2l ∥3l ，则BC EF AC DF =，AB DE AC DF =，AB ACDE DF=． l 3l 2l 1FE D CB A平行线分线段成比例定理的推论：如图，在三角形中，如果DE BC ∥，则AD AE DEAB AC BC==平行的判定定理：如上图，如果有AD AEAB AC=，那么DE BC ∥． 两个常见模型：如图，已知直线EF BC ∥，直线EF 分别与直线AB 、AC 、AD 相交于E 、F 、G 点，ED CBAB DAE C则BD EGDC FG=．知识梳理2：圆中的比例线段角在圆中能灵活转化，为寻找构造相似三角形，得到比例线段提供了可能；而圆幂定理实质上反映两条相交直线与圆的位置关系的性质定理，其本质是与比例线段相关。
相交弦定理、切割线定理、割线定理统称为圆幂定理。
1、相交弦定理如图①，若圆内两条弦AB 、CD 交于点P ，则PD PC PB PA •=•。
2、切割线定理如图②，若从圆外一点P 引圆的切线TP ，和割线PAB ，则PB PA PT •=2。
3、割线定理如图③，若从圆外一点P 引圆的两条割线PAB 、PCD ，则PD PC PB PA •=•。
例题精讲【试题来源】【题目】如图，在梯形ABCD 中，AB ∥CD ，AC 与BD 交于O ，MON ∥AB ，且MON 交AD 、BC 分别于M 、N 。
若MN=1，求11AB CD+的值。
G FE DCBAADAEGFCPOC ABAOPBTAOPBCD【答案】2【解析】【知识点】比例线段【适用场合】随堂课后练习【难度系数】2【试题来源】【题目】如图，△ABC中，AC=BC，F为底边AB上的一点，BFAFmn=(m，n>0)，取CF的中点D，连结AD并延长交BC于E，⑴求BEEC的值；⑵如果BE=2EC，那么CF所在直线与边AB有怎样的位置关系？证明你的结论；⑶E点能否为BC中点？如果能，求出相应的BFAFmn=的值；如果不能，证明你的结论。
线段比例定理
线段比例定理线段比例定理（线段分比定理）是我们初中数学学习中的一个重要定理，用于解决线段之间的比例关系。
线段比例定理也被称为“线段分割定理”或“辅助线定理”，它可以帮助我们求解直线上的任意一点将线段分割成两个比例相等的部分。
线段比例定理的表述如下：在直线上取一点P，将线段AB分割成AP和PB两部分。
若AP:PB的比例为m:n，则有AB:m+n 。
线段比例定理的证明较为简单，我们可以通过画一条辅助线，构造相似三角形，然后运用相似三角形的性质来进行推导。
根据相似三角形的边长比定理，我们可以得到AP与AB的比例等于AP与PB的比例，即AP:AB=AP:PB。
进一步推导就可以得到定理的结论。
线段比例定理在实际问题中具有广泛的应用。
例如，在计算地图比例尺时，我们可以利用线段比例定理来确定两个距离之间的比例关系。
又如，在建筑设计中，我们需要按照比例绘制建筑平面图，我们也可以利用线段比例定理来求解不同线段之间的比例关系。
在求解实际问题时，我们可以运用线段比例定理的逆定理，即如果在直线上取一点P，使得AP与PB的比例为m:n，则线段AB被点P分割的比例即为m:n。
这样，我们可以通过已知线段之间的比例关系，通过线段比例定理来求解未知的线段长度。
除了直线上的线段比例定理，我们还可以推广它到平面内的比例定理。
在平面内，我们可以取三个点A、B、C，并画出平行于线段AB的线段DE与线段AC相交，得到线段比例定理的推广形式。
通过推广，我们可以在平面内的更复杂情况下应用线段比例定理解决问题。
线段比例定理是初中数学中的重要定理，通过合理运用，可以帮助我们解决线段之间的比例关系以及实际问题。
它不仅仅在数学上具有重要意义，也在物理、建筑、地理等领域有着广泛的应用。
在我们学习和应用线段比例定理的过程中，需要注意理解定理的含义，灵活运用定理进行问题求解，以加深对数学知识的理解和掌握。
通过数学学习，我们可以提高解决问题的能力与思维能力，拓宽我们的视野与思维方式。
初三数学上比例线段(基础) 知识讲解+巩固练习
比例线段（基础） 知识讲解【学习目标】1、了解相似的图形及相似多边形的概念及性质；2、了解两条线段的比和比例线段的概念并能根据条件写出比例线段；3、会运用比例线段解决简单的实际问题；4、掌握黄金分割的定义并能确定一条线段的黄金分割点. 【要点梳理】 要点一、相似形 1.相似的图形在数学上，我们把形状相同的两个图形说成是相似的图形. 要点诠释：(1) 相似的图形就是指形状相同，但大小不一定相同的图形；(2) “全等”是“相似”的一种特殊情况，即当“形状相同”且“大小相同”时，两个图形是全等形. 2.相似多边形一般地，两个边数相同的多边形，如果它们的对应角相等，对应边长度的比相等，那么这两个多边形叫做相似多边形．相似多边形对应边长度的比叫做相似比或相似系数. 要点诠释：相似多边形的定义既是判定方法，又是它的性质．要点二、比例线段1. 两条线段的比：用同一个长度单位去度量两条线段a ，b ，得到它们的长度，我们把这两条线段长度的比叫做这两条线段的比.记作ab或a : b . 2．成比例线段：在四条线段,,,a b c d 中，如果其中两条线段a ，b 的比等于另外两条线段c ，d 的比，即(::)a ca b c d b d==或，那么这四条线段叫做成比例线段，简称比例线段．这时，线段,,,a b c d 叫做组成比例的项，线段,a d 叫做比例外项，线段,b c 叫做比例内项. 如果作为比例内项的两条线段是相等的，即,,a b c 之间有::a b b c =，那么线段b 叫做线段,a c 的比例中项. 3．比例的性质： （1）基本性质如果a cb d=，那么ad bc =（,b d ≠0）. 反之也成立，即如果ad bc =，那么a cb d=（,b d ≠0）. （2）合比性质如果++==.a c a b c d b d b d，那么（,b d ≠0）（3）等比性质如果1212=nnaa ab b b==…，12++nb b b且…≠0，那么121121++++++nna a a ab b b b=…….要点诠释：（1）两条线段的长度必须用同一长度单位表示，若单位长度不同，先化成同一单位，再求它们的比；（2）两条线段的比，没有长度单位，它与所采用的长度单位无关；（3）两条线段的长度都是正数，所以两条线段的比值总是正数．要点三、黄金分割1.定义：把一条线段分成两部分，使其中较长线段为全线段与较短线段的比例中项这样的线段分割叫做黄金分割，分割点叫做这条线段的黄金分割点，比值512-叫做黄金数. 要点诠释：512-≈0.618.2.作一条线段的黄金分割点：图4－7如图，已知线段AB，按照如下方法作图：（1）经过点B作BD⊥AB，使BD=21AB.（2）连接AD，在DA上截取DE=DB.（3）在AB上截取AC=AE.则点C为线段AB的黄金分割点.要点诠释：一条线段的黄金分割点有两个.【典型例题】类型一、相似形1. 指出下列各组图中，哪些组肯定是相似形__________：(1)两个腰长不等的等腰三角形(2)两个半径不等的圆(3)两个面积不等的矩形(4)两个边长不等的正方形【思路点拨】要注意：（1）相似的图形就是指形状相同，但大小不一定相同的图形；（2）如果两个多边形的对应角相等，对应边的比相等，我们就说它们是相似多边形．【答案】(2) (4).【解析】(1)等腰三角形的形状不一定相同，因此两个腰长不等的等腰三角形不一定相似；(3)中面积不等的两个矩形，虽然它们的边数相同，对应角相等，但对应边的比不一定相等，所以无法确定它们一定相似；(2)(4)中两个半径不等的圆与两个边长不等的正方形都是形状完全相同的图形，是相似形.【总结升华】识别两个图形是否是相似形，可以从形状来识别，对于多边形，也可以用“对应角相等，对应边的比相等”来识别.举一反三：【变式】如图，左边是一个横放的长方形，右边的图形是把左边的长方形各边放大两倍，并竖立起来以后得到的，这两个图形是相似的吗？【答案】这两个图形是相似的，这两个图形形状是一样，对应线段的比都是1:2，虽然它们的摆放方法、位置不一样，但这并不会影响到它们相似性.类型二、比例线段2. 下列四组线段中，成比例线段的有( )A．3cm、4cm、5cm、6cm B．4cm、8cm、3cm、5cmC．5cm、15cm、2cm、6cm D．8cm、4cm、1cm、3cm【答案】C.【解析】四个选项中只有，故选C.【总结升华】根据成比例线段的定义.举一反三：【变式】判断下列线段a、b、c、d是否是成比例线段：(1)a=4，b=6，c=5，d=10；(2)a=2，b=，c=，d=．【答案】(1) ∵，，∴，∴线段a、b、c、d不是成比例线段．(2) ∵ ，，∴ ，∴ 线段a 、b 、c 、d 是成比例线段．3. （ •甘肃模拟）若==（abc ≠0），求的值．【思路点拨】先设===k ，可得a=2k ，b=3k ，c=5k ，再把a 、b 、c 的值都代入所求式子计算即可．【答案与解析】解：设===k ， 则a=2k ，b=3k ，c=5k ， 所以===．【总结升华】解此类题学生容易误认为设k 后，未知数越多更不易解出，实际上分子、分母能产生公因式约去． 类型三、黄金分割4.（ •慈溪市一模）如图，扇子的圆心角为x°，余下扇形的圆心角为y°，x 与y 的比通常按黄金比来设计，这样的扇子外形比较美观，若黄金比取0.6，则x 为（ ）.A. 144°B. 135°C. 136°D. 108° 【答案】B.【解析】由扇子的圆心角为x °，余下扇形的圆心角为y °，黄金比为0.6， 根据题意得：x ：y=0.6=3：5， 又∵x+y=360， 则x=360×=135【总结升华】此题考查了黄金分割，以及比例的性质，解题的关键是根据题意列出x 与y 的关系式.5. 如图所示，矩形ABCD 是黄金矩形（即BC AB ＝215 ≈0.618），如果在其内作正方形CDEF ，得到一个小矩形ABFE ，试问矩形ABFE 是否也是黄金矩形？【思路点拨】（1）矩形的宽与长之比值为215-，则这种矩形叫做黄金矩形．（2）要说明ABFE 是不是黄金矩形只要证明AB AE ＝215-即可． 【答案与解析】矩形ABFE 是黄金矩形．理由如下：因为AB AE ＝ABED AB AD AB ED AD -=-＝21512151)15)(15()15(21152-=-+=-+-+=--所以矩形ABFE 也是黄金矩形．【总结升华】判断四边形是否是黄金矩形，要根据实际条件灵活选择判断方法. 举一反三：【变式】以长为2的线段AB 为边作正方形ABCD ，取AB 的中点P ，连接PD ，在BA 的延长线上取点F ，使PF ＝PD ，以AF 为边作正方形AMEF ，点M 在AD 上，如图所示，（1）求AM ，DM 的长，（2）试说明AM 2=AD ·DM（3）根据（2）的结论，你能找出图中的黄金分割点吗？ 【答案】（1）∵正方形ABCD 的边长是2，P 是AB 中点，∴AD ＝AB ＝2，AP ＝1，∠BAD ＝90°，∴PD ＝522=+AD AP 。
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比例线段知识考点：本节知识在历年中考的考题中，主要涉及用比例的性质、平行线分线段成比例定理。
由于比例的性质在应用时有其限制条件，一些中考题又以此为背景设计分类求解题。
精典例题：【例1】已知0543≠==zy x ，那么z y x z y x +++-＝ 。
分析：此类问题有多种解法，一是善于观察所求式子的特点，灵活运用等比性质求解；二是利用方程的观点求解，将已知条件转化为z x 53=，z y 54=，代入所求式子即可得解；三是设“k ”值法求解，这种方法对于解有关连比的问题十分方便有效，要掌握好这一技巧。
答案：31变式1：已知32===f e d c b a ，若032≠-+-f d b ，则3222-+--+-f d b e c a ＝ 。
变式2：已知3:1:2::=z y x ，求yx zy x 232++-的值。
变式3：已知aac b b c b a c c b a k -+=+-=-+=，则k 的值为 。
答案：（1）32；（2）3；（3）1或－2； 【例2】如图，在△ABC 中，点E 、F 分别在AB 、AC 上，且AE ＝AF ，EF 的延长线交BC 的延长线于点D 。
求证：CD ∶BD ＝CF ∶BE 。
分析：在题设中，没有平行的条件，要证明线段成比例，可考虑添加平行线，观察图形，对照结论，需要变换比CF ∶BE ，为了变换比CF ∶BE ，可以过点C 作BE 的平行线交ED 于G ，并设法证明CG ＝CF 即可获证。
本例为了实现将比CF ∶BE 转换成比CD ∶BD 的目的，还有多种不同的添画平行线的方法，它们的共同特征都是构造平行线截得的线段成比例的基本图形，请你们参考图形，自己去构思证明。
例2图1GFEDCBA 例2图2 GF EDC B A例2图3GFEDC B A变式1：已知如图，D 是△ABC 的边BC 的中点，且31=BE AE ，求FCAF的值。
变式2：如图，BD ∶DC ＝5∶3，E 为AD 的中点，求BE ∶EF 的值。
答案：（1）31；（2）13∶3； 【例3】如图，在△ABC 中，P 为中线AM 上任一点，CP 的延长线交AB 于D ，BP 的延长线交AC 于E ，连结DE 。
（1）求证：DE ∥BC ；（2）如图，在△ABC 中，DE ∥BC ，DC 、BE 交于P ，连结AP 并延长交BC 于M ，试问：M 是否为BC 的中点？ 解析：（1）延长AM 至Q ，使MQ ＝MP∵BM ＝MC ，∴四边形BPCQ 是平行四边形 ∴CD ∥BQ ，BE ∥QC∴ECAEPQ AP DB AD == ∴DE ∥BC（2）过B 作BQ ∥CD 交AM 的延长线于Q ∵DE ∥BC ，∴ECAEPQ AP DB AD == ∴ECAEPQ AP =，∴BE ∥QC ∴四边形BPCQ 是平行四边形 ∴M 是BC 的中点探索与创新：【问题】请阅读下面材料，并回答所提出的问题： 三角形内角平分线性质定理：三角形的内角平分线分对边所得的两条线段和这个角的两边对应成比例。
如图，△ABC 中，AD 是角平分线。
求证：ACABDC BD =。
分析：要证ACABDC BD =，一般只要证BD 、DC 与AB 、AC 或BD 、AB 与DC 、AC 所在三角形相似，现在B 、D 、C 在同一条直线上，△ABD 与△ADC 不相似，需要考虑用别的方法换比。
我们注意到在比例式ACABDC BD =中，AC 恰好是BD 、DC 、AB 的第四比例项，所以考虑过C 作CE ∥AD 交BA 的延长线于E ，从而得到BD 、CD 、AB 的第四比例项AE ，这样，证明例2图4GFED C B A变式1图FEDCB A变式2图FED CB A 例3图QMP EDCBAACABDC BD =就可以转化为证AE ＝AC 。
证明：过C 作CE ∥AD 交BA 的延长线于ECE ∥AD ⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧∠=∠∠=∠∠=∠⇒E 13221⇒∠E ＝∠3 ⇒AE ＝ACCE ∥AD ⇒AEABDC BD =∴ACABDC BD =（1）上述证明过程中，用了哪些定理（写出两个定理即可）；（2）在上述分析、证明过程中，主要用到了三种数学思想的哪一种？选出一个填入后面的括号内（ ）①数形结合思想 ②转化思想 ③分类讨论思想 答案：②转化思想（3）用三角形内角平分线性质定理解答问题：已知AD 是△ABC 中∠BAC 的角平分线，AB ＝5 cm ，AC ＝4 cm ，BC ＝7 cm ，求BD 的长。
答案：935cm 评注：本题的目的主要在于考查学生的阅读理解能力。
跟踪训练：一、填空题： 1、若312=-n n m ，则n m＝ ；若7:4:2::=z y x ，且3223=+-z y x ，则x＝ ，y ＝ ，z ＝ 。
2、若k yzx x z y z y x =+=+=+，则k ＝ 。
3、已知数3、6，请再写出一个数，使这三个数中的一个数是另外两个数的比例中项，则这个数是 。
4、如图，在□ABCD 中，E 为BC 上一点，BE ∶EC ＝2∶3，AE 交BD 于点F ，则BF ∶FD ＝ 。
二、选择题：1、已知如图，AB ∥CD ，AD 与BC 相交于点O ，则下列比例式中正确的是（ ） A 、AD OA CD AB = B 、BC OB OD OA = C 、OC OB CD AB = D 、ODOBAD BC =填空第4题图F EDCBA 选择第1题图ODCB A 选择第2题图EFGD CBA问题图321EDCBA2、如图，在△ABC 中，AD ＝DF ＝FB ，AE ＝EG ＝GC ，FG ＝4，则（ ）A 、DE ＝1，BC ＝7B 、DE ＝2，BC ＝6 C 、DE ＝3，BC ＝5D 、DE ＝2，BC ＝83、如图，BD 、CE 是△ABC 的中线，P 、Q 分别是BD 、CE 的中点，则PQ ∶BC ＝（ ） A 、1∶3 B 、1∶4 C 、1∶5 D 、1∶64、如图，1l ∥2l ，FB AF 52=，BC ＝4CD ，若kEC AE =，则k ＝（ ） A 、35 B 、2 C 、25D 、4三、解答题：1、已知如图，AD ＝DE ＝EC ，且AB ∥DF ∥EH ，AH 交DF 于K ，求KFDK的值。
2、如图，□ABCD 中，EF 交AB 的延长线于E ，交BC 于M ，交AC 于P ，交AD 于N ，交CD 的延长线于F 。
求证：PN PF PMPE ⋅=⋅。
3、如图，在△ABC 中，AC ＝BC ，F 为底边AB 上一点，nmBF AF =（m 、n ＞0），取CF 的中点D ，连结AD ，并延长交BC 于E 。
（1）求ECBE的值； （2）如果BE ＝2EC ，那么CF 所在的直线与边AB 有怎样的位置关系？并证明你的结论； （3）E 点能否为BC 的中点？如果能，求出相应的nm的值；如果不能，说明理由。
4、如图，已知梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AB ＝DC ＝3，P 为BC 上一点，PE ∥AB 交AC 于E ，PF ∥CD 交BD 于F ，设PE 、PF 的长分别为a 、b ，b a x +=。
那么当点P 在BC 边上移动时，x 的值是否变化？若变化，求出x 的范围；若不变，求出x 的值，并说明理由。
跟踪训练参考答案一、填空题：选择第3题图QPE DCBA2l 1l 选择第4题图G FEDC B A解答第1题图KHFE D CBA解答第2题图PN MFEDCBA解答第3题图F E DCBA解答第4题图P FEDCB A1、32，4，8，14；2、2或－1；3、23或23或12等；4、2∶5； 二、选择题：CBBB三、解答题：1、31； 2、证明PM PNPF PE =即可； 3、（1）nnm EC BE +=；（2）直线EF 垂直平分AB ；（3）E 不能是BC 的中点； 4、x 的值不变化，为定值，3=x 。