2020高考数学第二轮通用(文)板块二专题五 第2讲
2020高考数学二轮复习分层设计(全国I卷)学案：第二层提升篇 专题二数列——第2讲第2讲 数列通项与求和
第2讲 数列通项与求和[全国卷3年考情分析] 年份 全国卷Ⅰ 全国卷Ⅱ 全国卷Ⅲ2019 等比数列的求和·T 14 递推公式的应用·T 19 等差数列的前n 项和·T 142018a n 与S n 关系的应用·T 14等差数列前n 项和的最值问题·T 172017等差数列的基本运算、数列求和·T 17等比数列的通项公式、a n 与S n 的关系·T 17三角形问题交替考查且多出现在第17(或18)题的位置，难度中等，2020年高考此内容难度有可能加大，应引起关注．若以客观题考查，难度中等的题目较多，有时也出现在第12、16题的位置，难度偏大．考点一 a n 与S n 关系的应用[例1] (1)(2019·成都第一次诊断性检测)设S n 为数列{a n }的前n 项和，且a 1＝4，a n ＋1＝S n ，n ∈N *，则a 5＝________．(2)(2019·武汉市调研测试)已知数列{a n }的前n 项和S n 满足S n ＝3S n －1＋2n －3(n ≥2)，a 1＝－1，则a 4＝________．[解析] (1)法一：由a n ＋1＝S n ，得S n ＋1－S n ＝S n ，则S n ＋1＝2S n .又S 1＝a 1＝4，所以数列{S n }是首项为4，公比为2的等比数列，所以S n ＝4·2n －1＝2n ＋1，则a 5＝S 5－S 4＝26－25＝32.法二：当n ≥2时，由a n ＋1＝S n ，得a n ＝S n －1，两式相减，得a n ＋1－a n ＝a n ，即a n ＋1＝2a n ，所以数列{a n }是从第2项开始，公比为2的等比数列．又a 2＝S 1＝4，所以a 5＝a 2·23＝4×23＝32.(2)法一：由S n ＝3S n －1＋2n －3(n ≥2)可得S 2＝3S 1＋1＝3a 1＋1，即a 2＝2a 1＋1＝－1.根据S n ＝3S n －1＋2n －3(n ≥2)，①知S n ＋1＝3S n ＋2n ＋1－3，② ②－①可得，a n ＋1＝3a n ＋2n (n ≥2)． 两边同时除以2n＋1可得a n ＋12n ＋1＝32·a n 2n ＋12(n ≥2)，令b n ＝a n 2n ，可得b n ＋1＝32·b n＋12(n ≥2)． ∴b n ＋1＋1＝32(b n ＋1)(n ≥2)，数列{b n ＋1}是以b 2＋1＝a 222＋1＝1－14＝34为首项，32为公比的等比数列．∴b n ＋1＝⎝⎛⎭⎫32n －2·34(n ≥2)，∴b n ＝12·⎝⎛⎭⎫32n －1－1(n ≥2)．又b 1＝－12也满足上式， ∴b n ＝⎝⎛⎭⎫32n －1·12－1(n ∈N *)，又b n ＝a n 2n ，∴a n ＝2n b n ，即a n ＝3n －1－2n .∴a 4＝33－24＝11.法二：由S n ＝3S n －1＋2n －3(n ≥2)，a 1＝－1，知S 2＝3S 1＋4－3，∴a 2＝－1.S 3＝3S 2＋8－3，∴a 3＝1.S 4＝3S 3＋16－3，∴a 4＝11.[答案] (1)32 (2)11 [解题方略](1)给出S n 与a n 的递推关系求a n 的常用思路：一是利用S n －S n －1＝a n (n ≥2)转化为a n的递推关系，再求其通项公式；二是转化为S n 的递推关系，先求出S n 与n 之间的关系，再求a n .(2)形如a n ＋1＝pa n ＋q (p ≠1，q ≠0)，可构造一个新的等比数列．[多练强化]1．已知数列{a n }满足a 1＝1，a n ＋1－2a n ＝2n (n ∈N *)，则数列{a n }的通项公式a n ＝________．解析：a n ＋1－2a n ＝2n 两边同除以2n ＋1，可得a n ＋12n ＋1－a n 2n ＝12，又a 12＝12，所以数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n 2n 是以12为首项，12为公差的等差数列，所以a n 2n ＝12＋(n －1)×12＝n 2，所以a n ＝n ·2n －1.答案：n ·2n －12．已知数列{a n }中，a 1＝1，a 2＝2，a n ＋1＝3a n －2a n －1(n ≥2，n ∈N *)．设b n ＝a n ＋1－a n . (1)证明：数列{b n }是等比数列； (2)设c n ＝b n（4n 2－1）2n，求数列{c n }的前n 项和S n .解：(1)证明：因为a n ＋1＝3a n －2a n －1(n ≥2，n ∈N *)，b n ＝a n ＋1－a n ， 所以b n ＋1b n ＝a n ＋2－a n ＋1a n ＋1－a n ＝（3a n ＋1－2a n ）－a n ＋1a n ＋1－a n ＝2（a n ＋1－a n ）a n ＋1－a n ＝2，又b 1＝a 2－a 1＝2－1＝1，所以数列{b n }是以1为首项，2为公比的等比数列． (2)由(1)知b n ＝1×2n －1＝2n －1， 因为c n ＝b n（4n 2－1）2n， 所以c n ＝12（2n ＋1）（2n －1）＝14⎝⎛⎭⎫12n －1－12n ＋1，所以S n ＝c 1＋c 2＋…＋c n＝14⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫1－13＋⎝⎛⎭⎫13－15＋…＋⎝⎛⎭⎫12n －1－12n ＋1＝14⎝⎛⎭⎫1－12n ＋1＝n 4n ＋2. 考点二 数列求和 题型一 裂项相消求和[例2] (2019·安徽五校联盟第二次质检)已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且S n ＝2a n －1. (1)求数列{a n }的通项公式； (2)记b n ＝2a n（a n ＋1）（a n ＋1＋1），求数列{b n }的前n 项和T n .[解] (1)当n ＝1时，a 1＝S 1＝2a 1－1，得a 1＝1.当n ≥2时，有S n －1＝2a n －1－1， 所以a n ＝S n －S n －1＝2a n －2a n －1，即a n ＝2a n －1.所以{a n }是公比为2，首项为1的等比数列，故通项公式a n ＝2n －1.(2)b n ＝2a n （a n ＋1）（a n ＋1＋1）＝2n （2n －1＋1）（2n ＋1）＝2⎝⎛⎭⎫12n －1＋1－12n ＋1， T n ＝b 1＋b 2＋b 3＋…＋b n ＝2×⎝⎛⎭⎫120＋1－121＋1＋2×⎝⎛⎭⎫121＋1－122＋1＋2×⎝⎛⎭⎫122＋1－123＋1＋…＋2×⎝⎛⎭⎫12n －1＋1－12n ＋1＝2n－12n ＋1. [解题方略](1)裂项相消法求和就是将数列中的每一项裂成两项或多项，使这些裂开的项出现有规律的相互抵消，要注意消去了哪些项，保留了哪些项．(2)消项规律：消项后前边剩几项，后边就剩几项，前边剩第几项，后边就剩倒数第几项．题型二 错位相减求和[例3] (2019·福建五校第二次联考)已知数列{a n }的前n 项和S n ＝3n 2＋8n ，{b n }是等差数列，且a n ＝b n ＋b n ＋1.(1)求数列{b n }的通项公式；(2)令c n ＝（a n ＋1）n ＋1（b n ＋2）n，求数列{c n }的前n 项和T n .[解] (1)因为S n ＝3n 2＋8n ，所以当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝3n 2＋8n －[3(n －1)2＋8(n －1)]＝6n ＋5；当n ＝1时，a 1＝S 1＝11 所以a n ＝6n ＋5，n ∈N * 于是，b n ＋1＋b n ＝a n ＝6n ＋5.因为{b n }是等差数列，所以可设b n ＝kn ＋t (k ，t 均为常数)，则有k (n ＋1)＋t ＋kn ＋t ＝6n ＋5，即2kn ＋k ＋2t ＝6n ＋5对任意的n ∈N *恒成立，所以⎩⎪⎨⎪⎧2k ＝6，k ＋2t ＝5，解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝3，t ＝1，故b n ＝3n ＋1.(2)因为a n ＝6n ＋5，b n ＝3n ＋1，所以c n ＝（a n ＋1）n ＋1（b n ＋2）n ＝（6n ＋6）n ＋1（3n ＋3）n ＝2n×(6n ＋6)．于是，T n ＝12×2＋18×22＋24×23＋…＋2n ×(6n ＋6)，①所以2T n ＝12×22＋18×23＋24×24＋…＋2n ×6n ＋2n ＋1×(6n ＋6)，②①－②得，－T n ＝24＋6(22＋23＋…＋2n )－2n ＋1×(6n ＋6)＝24＋6×22－2n ×21－2－2n ＋1×(6n ＋6)＝－2n ＋1×6n ，故T n ＝2n ＋1×6n ＝2n ＋2×3n . [解题方略](1)求解此类题需掌握三个技巧：一是巧分拆，即把数列的通项转化为等差数列、等比数列的通项的积，并求出等比数列的公比；二是构差式，求出前n 项和的表达式，然后乘以等比数列的公比，两式作差；三是得结论，即根据差式的特征进行准确求和．(2)运用错位相减法求和时应注意三点：一是判断模型，即判断数列{a n }，{b n }一个为等差数列，一个为等比数列；二是错开位置；三是相减时一定要注意最后一项的符号．题型三 分组转化求和[例4] 已知等差数列{a n }的首项为a ，公差为d ，n ∈N *，且不等式ax 2－3x ＋2<0的解集为(1，d )．(1)求数列{a n }的通项公式a n ；(2)若b n ＝3a n ＋a n －1，n ∈N *，求数列{b n }的前n 项和T n .[解](1)易知a ≠0，由题设可知⎩⎨⎧1＋d ＝3a ，1·d ＝2a ，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，d ＝2.故数列{a n }的通项公式为a n ＝1＋(n －1)·2＝2n －1. (2)由(1)知b n ＝32n －1＋2n －1－1，则T n ＝(3＋1)＋(33＋3)＋…＋(32n －1＋2n －1)－n ＝(31＋33＋…＋32n －1)＋(1＋3＋…＋2n －1)－n ＝31（1－9n ）1－9＋（1＋2n －1）n 2－n＝38(9n －1)＋n 2－n . [解题方略](1)在处理一般数列求和时，一定要注意运用转化思想．把一般的数列求和转化为等差数列或等比数列进行求和．在利用分组求和法求和时，常常根据需要对项数n 进行讨论．最后再验证是否可以合并为一个表达式．(2)分组求和的策略：①根据等差、等比数列分组；②根据正号、负号分组．[多练强化]1．(2019·福建五校第二次联考)在数列{a n }中，a 1＝13，1a n ＋1＝3a n （a n ＋3），n ∈N *，且b n ＝13＋a n.记P n ＝b 1×b 2×…×b n ，S n ＝b 1＋b 2＋…＋b n ，则3n ＋1P n ＋S n ＝________．解析：因为1a n ＋1＝3a n （a n ＋3）＝1a n －1a n ＋3，所以b n ＝13＋a n ＝1a n －1a n ＋1，所以S n ＝b 1＋b 2＋…＋b n ＝⎝⎛⎭⎫1a 1－1a 2＋⎝⎛⎭⎫1a 2－1a 3＋…＋⎝⎛⎭⎫1a n －1a n ＋1＝1a 1－1a n ＋1.因为1a n ＋1＝3a n （a n ＋3），所以3＋a n ＝3a n ＋1a n ，所以b n ＝13＋a n ＝a n 3a n ＋1，所以P n ＝b 1×b 2×…×b n ＝a 13a 2×a 23a 3×…×a n 3a n ＋1＝a 13n a n ＋1.又a 1＝13，故3n ＋1P n ＋S n＝3a 1a n ＋1＋1a 1－1a n ＋1＝1a 1＝3. 答案：32．已知数列{a n }满足：a 1＝1，a n ＋1＝n ＋1n a n ＋n ＋12n . (1)设b n ＝a nn ，求数列{b n }的通项公式；(2)求数列{a n }的前n 项和S n . 解：(1)由a n ＋1＝n ＋1n a n ＋n ＋12n ，可得a n ＋1n ＋1＝a n n ＋12n， 又b n ＝a n n ，所以b n ＋1－b n ＝12n ，由a 1＝1，得b 1＝1，累加可得(b 2－b 1)＋(b 3－b 2)＋…＋(b n －b n －1)＝121＋122＋…＋12n －1，即b n －b 1＝12⎝⎛⎭⎫1－12n －11－12＝1－12n －1，所以b n ＝2－12n－1.(2)由(1)可知a n ＝2n －n 2n －1，设数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫n 2n －1的前n 项和为T n ，则T n ＝120＋221＋322＋…＋n 2n －1，①12T n ＝121＋222＋323＋…＋n 2n ，② ①－②得12T n ＝120＋121＋122＋…＋12n －1－n 2n ＝1－12n1－12－n 2n ＝2－n ＋22n ，所以T n ＝4－n ＋22n －1. 易知数列{2n }的前n 项和为n (n ＋1)， 所以S n ＝n (n ＋1)－4＋n ＋22n －1.数学运算——数列的通项公式及求和问题[典例] 设{a n }是公比大于1的等比数列，S n 为其前n 项和，已知S 3＝7，a 1＋3，3a 2，a 3＋4构成等差数列．(1)求数列{a n }的通项公式；(2)令b n ＝a n ＋ln a n ，求数列{b n }的前n 项和T n . [解] (1)设数列{a n }的公比为q (q >1)． 由已知，得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋a 2＋a 3＝7，（a 1＋3）＋（a 3＋4）2＝3a 2，即⎩⎪⎨⎪⎧a 1（1＋q ＋q 2）＝7，a 1（1－6q ＋q 2）＝－7.由q >1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝1，q ＝2，故数列{a n }的通项公式为a n ＝2n －1. (2)由(1)得b n ＝2n －1＋(n －1)ln 2，所以T n＝(1＋2＋22＋…＋2n－1)＋[0＋1＋2＋…＋(n－1)]ln 2＝1－2n1－2＋n（n－1）2ln 2＝2n－1＋n（n－1）2ln 2.[素养通路]数学运算是指在明晰运算对象的基础上，依据运算法则解决数学问题的素养．主要包括：理解运算对象，掌握运算法则，探究运算思路，选择运算方法，设计运算程序，求得运算结果等．本题通过列出关于首项与公比的方程组，并解此方程组得出首项与公比，从而得出通项公式；通过分组分别根据等比数列求和公式、等差数列求和公式求和．。
高考数学：专题五 第二讲 椭圆、双曲线、抛物线课件
考点与考题
第二讲
本 讲 栏 目 开 关
图形
考点与考题
范围 顶点 对称性 |x|≤a，|y|≤b (± a,0)(0，± b) |x|≥a (± a,0) x≥0 (0,0)
第二讲
关于 x 轴，y 轴和原点对称 (± c,0) 长轴长 2a， 短轴长 2b c e＝a b2 ＝ 1－ 2 a (0＜e＜1) 实轴长 2a， 虚轴长 2b c e＝a b2 ＝ 1＋ 2 a (e＞1)
解析 由 x2－y2＝2 知，a2＝2，b2＝2，c2＝a2＋b2＝4，
∴a＝ 2，c＝2.
又∵|PF1|－|PF2|＝2a，|PF1|＝2|PF2|，
∴|PF1|＝4 2，|PF2|＝2 2.
又∵|F1F2|＝2c＝4，
4 22＋2 22－42 ∴由余弦定理得 cos∠F1PF2＝ 2×4 2×2 2 3 ＝ . 4
∴直线 AF 的方程为 y＝2 2(x－1). y＝2 2x－1， 联立直线与抛物线的方程 2 y ＝4x，
1 x＝2， x＝ ， 2 解之得 或 y＝2 2. y＝－ 2 1 由图知 B2，－ 2，
考点与考题
1 1 ∴S△AOB＝ |OF|· A－yB|＝ ×1×|2 2＋ 2| |y 2 2 3 ＝ 2.故选 C. 2
答案 2 7－5
题型与方法
第二讲
方法提炼 何性质.
研究圆锥曲线的几何性质，实质是求参数a、b、c或者
建立a、b、c的关系式(等式或不等式)，然后根据概念讨论相应的几
本 讲 栏 目 开 关
题型与方法
第二讲
本 讲 栏 目 开 关
变式训练 2 (1)若点 P 为共焦点的椭圆 C1 和双曲线 C2 的一个交点， F1、F2 分别是它们的左、右焦点，设椭圆离心率为 e1，双曲线离心率 1 1 → → 为 e2，若PF1· 2＝0，则 2＋ 2等于 PF (B ) e1 e2 A.1 B.2 C.3 D.4
2020届高考数学二轮复习第二部分专题五解析几何第2讲椭圆、双曲线、抛物线课件理
且斜率为 63的直线上，△PF1F2 为等腰三角形，∠F1F2P ＝120°，则 C 的离心率为( )
A.23
B.12
C.13
D.14
解析：由题意可知椭圆的焦点在 x 轴上，
如图所示，设|F1F2|＝2c.
因为△PF1F2 为等腰三角形，
且∠F1F2P＝120°， 所以|PF2|＝|F1F2|＝2c. 因为|OF2|＝c，过 P 作 PE 垂直 x 轴，则∠PF2E＝60°， 所以 F2E＝c，PE＝ 3c，即点 P(2c， 3c)． 因为点 P 在过点 A 且斜率为 63的直线上， 所以2c＋3ca＝ 63，解得ac＝14， 所以 e＝14. 答案：D
由yy＝ ＝xt2x2＋，12，可得 x2－2tx－1＝0. 于是 x1＋x2＝2t，x1x2＝－1， y1＋y2＝t(x1＋x2)＋1＝2t2＋1， |AB|＝ 1＋t2|x1－x2|＝ 1＋t2× （x1＋x2）2－4x1x2 ＝2(t2＋1)． 设 d1，d2 分别为点 D，E 到直线 AB 的距离，
A. 2
B．2
32 C. 2
D．2 2
(2)(2019·衡水中学检测)设 F1，F2 分别是椭圆 C：xa22＋
by22＝1(a＞b＞0)的左、右焦点，点 P 在椭圆 C 上，且|PF1|
＝3|PF2|，若线段 PF1 的中点恰在 y 轴上，则椭圆的离心 率为( )
A.
3 3
B.
3 6
C.
2 2
D.12
4．(2019·全国卷Ⅲ)已知曲线 C：y＝x22，D 为直线 y＝ －12上的动点，过 D 作 C 的两条切线，切点分别为 A，B.
(1)证明：直线 AB 过定点； (2)若以 E0，52为圆心的圆与直线 AB 相切，且切点为 线段 AB 的中点，求四边形 ADBE 的面积． (1)证明：设 Dt，－12，A(x1，y1)，则 x21＝2y1.
【高三数学】二轮复习：专题五 第2讲 概率、随机变量及其分布
1
感染的,于是假定他受 A 和 B 感染的概率都是2.同样也假定 D 受 A,B 和 C
1
感染的概率都是3.在这种假定下,B,C,D 中恰有两人直接受 A 感染的概率是
(
)
1
A.6
1
B.3
1
C.2
2
D.3
(2)(2021·河北张家口一模)某大学进行“羽毛球”“美术”“音乐”三个社团选拔.
三局.若甲抽到的三张扑克牌分别是A1,A2,A3,乙抽到的三张扑克牌分别是
B1,B2,B3,且这六张扑克牌的大小顺序为A1>B1>B2>A2>A3>B3,则三局比赛
结束后甲得4分的概率为(
1
6
A.
1
3
B.
)
1
2
C.
2
3
D.
(2)(2021·山东泰安三模)已知大于3的素数只分布在{6n-1}和{6n+1}两数
[例2-4](2021·江苏苏州中学园区校月考)甲、乙两队进行篮球决赛,采取七
场四胜制(当一队赢得四场胜利时,该队获胜,决赛结束).根据前期比赛成绩,
甲队的主客场安排依次为“主主客客主客主”.设甲队主场取胜的概率为0.6,
客场取胜的概率为0.5,且各场比赛结果相互独立,则甲队以4∶1获胜的概
率是
.
1
次的概率为2,现有一个该型号的充电宝已经循环充电超过 500 次,则其能够
循环充电超过 1 000 次的概率是(
3
A.4
2
B.3
)
1
C.2
1
D.3
2020新课标高考数学二轮课件：第二部分专题五 第2讲 圆锥曲线的定义、方程与性质
)
A．x82－1y02 ＝1
B．x42－y52＝1
C．x52－y42＝1
D．x42－y32＝1
解析：选 B.法一：由双曲线的渐近线方程可设双曲线方程为x42－y52＝k(k>0)，即4xk2－5yk2
＝1，因为双曲线与椭圆1x22＋y32＝1 有公共焦点，所以 4k＋5k＝12－3，解得 k＝1，故
(2)不妨设 P 为双曲线 C 右支上一点，由双曲线的定义，可得|PF1|－|PF2|＝2a. 又|PF1|＋|PF2|＝6a，解得|PF1|＝4a，|PF2|＝2a，又|F1F2|＝2c，则|PF2|＝2a 最小，所以 ∠PF1F2＝30°. 在△PF1F2 中，由余弦定理，可得 cos 30°＝|PF1|22＋|P|FF11|F|F2|12F－2||PF2|2＝162a×2＋44ac×2－2c4a2＝ 23， 整理得 c2＋3a2＝2 3ac，解得 c＝ 3a，所以 b＝ c2－a2＝ 2a. 所以双曲线 C 的渐近线方程为 y＝± 2x.故选 A. 【答案】 (1)C (2)A
[对点训练]
1．(2019·福州模拟)已知双曲线 C：xa22－by22＝1(a>0，b>0)的右焦点为 F，点 B 是虚轴的
一个端点，线段 BF 与双曲线 C 的右支交于点 A，若B→A＝2A→F，且|B→F|＝4，则双曲线
C 的方程为( )
A．x62－y52＝1
B．x82－1y22 ＝1
C．x82－y42＝1
p＝( )
A．2
B．3
C．4
D．8
解析：选 D.由题意，知抛物线的焦点坐标为p2，0，椭圆的焦点坐标为(± 2p，0)，所 以p2＝ 2p，解得 p＝8，故选 D.
3．(一题多解)(2017·高考全国卷Ⅲ)已知双曲线 C：xa22－by22＝1 (a＞0，b＞0)的一条渐近
2020高考数学第二轮通用(文)板块二专题一 第2讲
第2讲 三角恒等变换与解三角形(小题)热点一 三角恒等变换 1．三角求值“三大类型”“给角求值”“给值求值”“给值求角”． 2．三角恒等变换“四大策略”(1)常值代换：常用到“1”的代换，1＝sin 2θ＋cos 2θ＝tan 45°等．(2)项的拆分与角的配凑：如sin 2α＋2cos 2α＝(sin 2α＋cos 2α)＋cos 2α，α＝(α－β)＋β等． (3)降次与升次：正用二倍角公式升次，逆用二倍角公式降次． (4)弦、切互化．例1 (1)(2019·榆林模拟)若α，β都是锐角，且cos α＝55，sin(α＋β)＝35，则cos β等于( ) A.2525 B.255C.2525或255D.55或525答案 A解析 因为α，β都是锐角，且cos α＝55<12， 所以π3<α<π2，又sin(α＋β)＝35，而12<35<22，所以3π4<α＋β<5π6，所以cos(α＋β)＝－1－sin 2(α＋β)＝－45，sin α＝1－cos 2α＝255， cos β＝cos(α＋β－α)＝cos(α＋β)cos α＋sin(α＋β)sin α＝2525. (2)已知sin α＝55，sin(α－β)＝－1010，α，β均为锐角，则β等于( ) A.5π12 B.π3 C.π4 D.π6答案 C解析 因为α，β均为锐角，所以－π2<α－β<π2.又sin(α－β)＝－1010，所以cos(α－β)＝31010. 又sin α＝55，所以cos α＝255， 所以sin β＝sin [α－(α－β)] ＝sin αcos(α－β)－cos αsin(α－β) ＝55×31010－255×⎝⎛⎭⎫－1010＝22. 所以β＝π4.(3)3sin 220°－1cos 220°＋64sin 220°＝________. 答案 32解析 因为3sin 220°－1cos 220°＝3cos 220°－sin 220°sin 220°cos 220°＝(3cos 20°＋sin 20°)(3cos 20°－sin 20°)14sin 240°＝2cos (20°－30°)2cos (20°＋30°)14sin 240°＝16cos 10°cos 50°sin 240°＝16sin 80°sin 40° ＝32sin 40°cos 40°sin 40°＝32cos 40°，所以3sin 220°－1cos 220°＋64sin 220°＝32cos 40°＋64×12(1－cos 40°)＝32.跟踪演练1 (1)(2019·晋中模拟)若sin ⎝⎛⎭⎫π6－α＝33，则sin ⎝⎛⎭⎫π6＋2α等于( ) A.63 B.223 C.33 D.13答案 D解析 由题意，根据诱导公式可得sin ⎝⎛⎭⎫π6＋2α＝cos ⎣⎡⎦⎤π2－⎝⎛⎭⎫π6＋2α＝cos ⎝⎛⎭⎫π3－2α，又由余弦的倍角公式，可得cos ⎝⎛⎭⎫π3－2α＝1－2sin 2⎝⎛⎭⎫π6－α＝1－2×⎝⎛⎭⎫332＝13，即sin ⎝⎛⎭⎫π6＋2α＝13. (2)(2019·吕梁模拟)已知α∈⎝⎛⎭⎫0，π2，β∈⎝⎛⎭⎫0，π2，tan α＝cos 2β1－sin 2β，则( ) A ．α＋β＝π2B ．α－β＝π4C ．α＋β＝π4D ．α＋2β＝π2答案 B解析 tan α＝cos 2β1－sin 2β＝cos 2β－sin 2βcos 2β＋sin 2β－2sin βcos β＝(cos β＋sin β)(cos β－sin β)(cos β－sin β)2＝cos β＋sin βcos β－sin β＝1＋tan β1－tan β＝tan ⎝⎛⎭⎫π4＋β， 又因为α∈⎝⎛⎭⎫0，π2，β∈⎝⎛⎭⎫0，π2， 所以α＝π4＋β，即α－β＝π4.热点二 利用正弦、余弦定理解三角形1．正弦定理：在△ABC 中，a sin A ＝b sin B ＝csin C ＝2R (R 为△ABC 的外接圆半径)．变形：a ＝2R sin A ，b ＝2R sin B ，c ＝2R sin C ，sin A ＝a 2R ，sin B ＝b 2R ，sin C ＝c2R ，a ∶b ∶c ＝sin A ∶sin B ∶sinC 等．2．余弦定理：在△ABC 中，a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A . 变形：b 2＋c 2－a 2＝2bc cos A ，cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc .3．三角形的面积公式：S ＝12ab sin C ＝12ac sin B ＝12bc sin A .例2 (1)(2019·衡阳联考)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，a 2bc －c b －bc ＝3，△ABC 外接圆的半径为3，则a ＝________. 答案 3解析 由题意可得a 2－c 2－b 2bc ＝3，根据余弦定理可知cos A ＝－32， 所以sin A ＝12，根据正弦定理可得asin A ＝6，所以a ＝3.(2)(2019·广州市铁一中学、广州大学附属中学、广州外国语学校联考)已知△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若A ＝π3，a ＝7，且△ABC 的面积为332，则△ABC 的周长为________． 答案 5＋7解析 因为A ＝π3，a ＝7，由余弦定理a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A 可得7＝b 2＋c 2－bc ； 又△ABC 的面积为332，所以12bc sin A ＝332，所以bc ＝6， 所以b ＋c ＝(b ＋c )2＝b 2＋c 2＋2bc ＝5，所以周长为a ＋b ＋c ＝5＋7.跟踪演练2 (1)在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .若△ABC 的面积为S ，且a ＝1,4S ＝b 2＋c 2－1，则△ABC 外接圆的面积为( ) A ．4π B ．2π C ．π D.π2答案 D解析 由余弦定理得，b 2＋c 2－a 2＝2bc cos A ，a ＝1， 所以b 2＋c 2－1＝2bc cos A ， 又S ＝12bc sin A ,4S ＝b 2＋c 2－1，所以有4×12bc sin A ＝2bc cos A ，即sin A ＝cos A ，所以A ＝π4，由正弦定理得，1sin π4＝2R ，得R ＝22，所以△ABC 外接圆的面积为π2.(2)(2019·潮州模拟)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，BC 边上的高为a 2，则b2c ＋c2b 的最大值是________． 答案2解析 因为BC 边上的高为a2，所以12×a 2×a ＝12bc sin A ，即a 2＝2bc sin A ，可得b 2c ＋c 2b ＝b 2＋c 22bc ＝a 2＋2bc cos A 2bc＝2bc sin A ＋2bc cos A2bc＝sin A ＋cos A＝2sin ⎝⎛⎭⎫A ＋π4≤2，当A ＝π4时，等号成立，故b 2c ＋c2b的最大值是 2. 热点三 正弦、余弦定理的实际应用1．用正弦定理和余弦定理可解决距离问题、高度问题、角度问题、计算面积问题、航海问题或物理问题等．2．解决三角形应用题的基本思路实际问题――→画图数学问题――――→解三角形数学问题的解――→检验实际问题的解． 3．用正、余弦定理解决问题的一般步骤：(1)选定或确定要创建的三角形，要首先确定所求量所在的三角形，若其他量已知，则直接解；若有未知量，则把未知量放在另一确定三角形中求解．(2)确定用正弦定理还是余弦定理，如果都可用，选择便于计算的定理．例3 (1)某游轮在A 处看灯塔B 在A 的北偏东75°的方向上，距A 12 6 海里处，灯塔C 在A 的北偏西30°的方向上，距A 8 3 海里处，游轮由A 处向正北方向航行到D 处时再看灯塔B 在南偏东60°的方向上，则此时灯塔C 与游轮的距离为( ) A ．20 海里 B ．8 3 海里 C ．23 2 海里 D ．24 海里答案 B解析 如图所示，在△ABD 中，∠DAB ＝75°，∠ADB ＝60°，∴B ＝180°－75°－60°＝45°， 由正弦定理得AD sin B ＝AB sin ∠ADB ，∴AD ＝AB sin Bsin ∠ADB ＝126×2232＝24.在△ACD 中，AD ＝24，AC ＝83，∠CAD ＝30°， 由余弦定理得CD 2＝AD 2＋AC 2－2AD ·AC cos 30° ＝242＋(83)2－2×24×83×32＝192， ∴CD ＝8 3.(2)如图，某学生社团在校园内测量远处某栋楼CD 的高度，D 为楼顶，线段AB 的长度为600 m ，在A 处测得∠DAB ＝30°，在B 处测得∠DBA ＝105°，且此时看楼顶D 的仰角∠DBC ＝30°，已知楼底C 和A ，B 在同一水平面上，则此楼高度CD ＝________m ．(精确到1 m)答案 212解析 在△ABD 中，由正弦定理， 得BD sin 30°＝ABsin (180°－105°－30°)，由AB ＝600，得 BD ＝600sin 30°sin 45°＝3002，在Rt △BCD 中，因为∠DBC ＝30°，所以CD ＝12BD ＝1502≈212.跟踪演练3 (1)如图，为了测量两山顶D ，C 间的距离，飞机沿水平方向在A ，B 两点进行测量，在A 位置时，观察D 点的俯角为75°，观察C 点的俯角为30°；在B 位置时，观察D 点的俯角为45°，观察C 点的俯角为60°，且AB ＝ 3 km ，则C ，D 之间的距离为________km.答案5解析 在△ABD 中，∵∠BAD ＝75°，∠ABD ＝45°， ∴∠ADB ＝60°，由正弦定理可得AB sin ∠ADB ＝AD sin ∠ABD ，即3sin60°＝AD sin45°， ∴AD ＝3sin45°sin60°＝ 2 km ，由题意得∠ABC ＝120°，∠BAC ＝∠BCA ＝30°， ∴BC ＝AB ＝ 3 km ，∴AC ＝3 km ，在△ACD 中，由余弦定理得CD 2＝AC 2＋AD 2－2AC ·AD cos ∠DAC ＝5，即CD ＝ 5 km. (2)如图所示，为测量竖直旗杆CD 的高度，在旗杆底部C 所在水平地面上选取相距421m 的两点A ，B ，在A 处测得旗杆底部C 在西偏北20°的方向上，旗杆顶部D 的仰角为60°；在B 处测得旗杆底部C 在东偏北10°的方向上，旗杆顶部D 的仰角为45°，则旗杆CD 的高度为________m.答案 12解析 设CD ＝x ，x >0.∵在Rt △BCD 中，∠CBD ＝45°， ∴BC ＝x .∵在Rt △ACD 中，∠CAD ＝60°， ∴AC ＝CD tan 60°＝x3. 在△ABC 中，∵∠CAB ＝20°，∠CBA ＝10°， ∴∠ACB ＝180°－20°－10°＝150°，∴由余弦定理得AB 2＝AC 2＋BC 2－2AC ·BC ·cos 150°， 即(421)2＝13x 2＋x 2＋2·x 3·x ·32＝73x 2，∴x ＝12.∴旗杆CD 的高度为12 m.真题体验1．(2016·全国Ⅲ，文，9)在△ABC 中，B ＝π4，BC 边上的高等于13BC ，则sin A 等于( )A.310B.1010C.55D.31010答案 D解析 设BC 边上的高AD 交BC 于点D ，由题意B ＝π4，BD ＝13BC ，DC ＝23BC ，tan ∠BAD ＝1，tan ∠CAD ＝2，tan A ＝1＋21－1×2＝－3，所以sin A ＝31010.2．(2018·全国Ⅱ，理，15)已知sin α＋cos β＝1，cos α＋sin β＝0，则sin(α＋β)＝________. 答案 －12解析 ∵sin α＋cos β＝1，① cos α＋sin β＝0，②∴①2＋②2得1＋2(sin αcos β＋cos αsin β)＋1＝1， ∴sin αcos β＋cos αsin β＝－12，∴sin(α＋β)＝－12.3．(2018·全国Ⅰ，文，16)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知b sin C ＋c sin B ＝4a sin B sin C ，b 2＋c 2－a 2＝8，则△ABC 的面积为________． 答案233解析 ∵b sin C ＋c sin B ＝4a sin B sin C ， ∴由正弦定理得sin B sin C ＋sin C sin B ＝4sin A sin B sin C . 又sin B sin C >0，∴sin A ＝12.由余弦定理得cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝82bc ＝4bc >0，∴cos A ＝32，bc ＝4cos A ＝833， ∴S △ABC ＝12bc sin A ＝12×833×12＝233.押题预测1．已知sin ⎝⎛⎭⎫α＋π3＝13，则cos ⎝⎛⎭⎫α－π3＋cos α＝________. 答案33解析 ∵sin ⎝⎛⎭⎫α＋π3＝13， ∴cos ⎝⎛⎭⎫α－π3＋cos α＝ 12cos α＋32sin α＋cos α ＝32cos α＋32sin α＝3sin ⎝⎛⎭⎫α＋π3＝33. 2．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若b cos C c cos B ＝1＋cos 2C1＋cos 2B ，C 是锐角，且a＝27，cos A ＝13，则△ABC 的面积为________．答案 72解析 由正弦定理可得b cos C c cos B ＝sin B cos Csin C cos B ，又由余弦的倍角公式可得1＋cos 2C 1＋cos 2B ＝2cos 2C2cos 2B ，所以sin B sin C ＝cos C cos B ，即sin 2B ＝sin 2C ，所以B ＝C 或B ＋C ＝π2，又cos A ＝13，所以A ∈⎝⎛⎭⎫0，π2，所以B ＝C ， 所以a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，整理得2b 2－2b 23＝28， 解得b ＝c ＝21，所以S ＝12bc sin A ＝7 2.3．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，A ＝30°，C ＝45°，c ＝3，点P 是平面ABC 内的一个动点，若∠BPC ＝60°，则△PBC 面积的最大值是________． 答案938解析 ∵A ＝30°，C ＝45°，c ＝3， ∴由正弦定理a sin A ＝c sin C ，可得a ＝c ·sin Asin C ＝3×1222＝322.又∠BPC ＝60°，∴在△PBC 中，令PB ＝m ，PC ＝n ， 由余弦定理可得cos ∠BPC ＝m 2＋n 2－922mn ＝12，∴m 2＋n 2－92＝mn ≥2mn －92(当且仅当m ＝n ＝322时等号成立)，∴mn ≤92，∴S max ＝12mn sin ∠BPC ＝938.A 组 专题通关1．(2019·河南名校联盟联考)已知cos α＝24，则cos(π－2α)等于( ) A ．－328B ．－34C.328D.34答案 D解析 由题意，利用诱导公式求得cos(π－2α)＝－cos 2α＝1－2cos 2α＝1－2⎝⎛⎭⎫242＝34. 2．tan 70°＋tan 50°－3tan 70°tan 50°的值为( ) A. 3 B.33C ．－33D ．－ 3答案 D解析 因为tan 120°＝tan 70°＋tan 50°1－tan 70°tan 50°＝－3，即tan 70°＋tan 50°－3tan 70°tan 50°＝－ 3.3．(2019·吕梁模拟)已知△ABC 的三个内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若2cos B ＝ac ，则该三角形一定是( ) A ．等腰三角形 B ．直角三角形 C ．等边三角形 D ．等腰直角三角形答案 A解析 由2cos B ＝ac 及余弦定理得2×a 2＋c 2－b 22ac ＝a 2＋c 2－b 2ac ＝a c ，整理得c 2＝b 2，∴b ＝c ，∴△ABC 为等腰三角形．4．(2019·黄冈调研)已知a ，b ，c 分别为△ABC 的三个内角A ，B ，C 的对边，且C ＝π4，c ＝2，a ＝x ，若满足条件的三角形有两个，则x 的取值范围是( ) A.2<x <1 B.2<x <2 C ．1<x <2 D ．1<x < 2答案 B解析 在△ABC 中，由正弦定理得a sin A ＝c sin C ， 即x sin A ＝2sin π4，可得sin A ＝12x ， 由题意得，当A ∈⎝⎛⎭⎫π4，3π4且A ≠π2时，满足条件的△ABC 有两个，所以22<12x <1，解得2<x <2， 则x 的取值范围是()2，2.5．(2019·甘肃省静宁县第一中学模拟)某船开始看见灯塔在南偏东30°方向，后来船沿南偏东60°的方向航行15 km 后，看见灯塔在正西方向，则这时船与灯塔的距离是( ) A ．5 km B ．5 2 km C ．5 3 km D ．10 km答案 C解析 根据题意画出相应的图形，如图所示，其中C 为灯塔，A 为某船开始的位置，B 为船航行15 km 后的位置．由题意可得，在△ABC 中， ∠CAB ＝∠B ＝30°，AB ＝15， ∴∠ACB ＝120°，在△ABC 中，由正弦定理得BC sin ∠CAB ＝ABsin C，∴BC ＝AB ·sin ∠CAB sin C ＝15×sin 30°sin 120°＝15×1232＝53，即船与灯塔的距离是5 3 km.6．(2019·韶关调研)已知2cos ()α－βcos β－cos ()α－2β＝24，则1－tan 2α1＋tan 2α等于( )A ．－34B ．－43C.34D.43答案 A解析 2cos ()α－βcos β－cos ()α－2β＝2cos ()α－βcos β－cos ()α－β－β ＝2cos ()α－βcos β－cos ()α－βcos β－sin ()α－βsin β ＝cos ()α－βcos β－sin ()α－βsin β ＝cos ()α－β＋β＝cos α， ∴cos α＝24，sin 2α＝1－cos 2α＝78，∴tan 2α＝7，从而1－tan 2α1＋tan 2α＝－34.7．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，a cos B ＋b cos A ＝2c cos C ，c ＝7，且△ABC 的面积为332，则△ABC 的周长为( )A ．1＋7B ．2＋7C ．4＋7D ．5＋7答案 D解析 在△ABC 中，a cos B ＋b cos A ＝2c cos C ， 则sin A cos B ＋sin B cos A ＝2sin C cos C ， 即sin(A ＋B )＝2sin C cos C ，∵sin(A ＋B )＝sin C ≠0，∴cos C ＝12，∴C ＝π3，由余弦定理可得，a 2＋b 2－c 2＝ab ， 即(a ＋b )2－3ab ＝c 2＝7，又S ＝12ab sin C ＝34ab ＝332，∴ab ＝6，∴(a ＋b )2＝7＋3ab ＝25，a ＋b ＝5， ∴△ABC 的周长为a ＋b ＋c ＝5＋7.8．已知α为锐角，则2tan α＋3tan 2α的最小值为( )A ．1B ．2 C. 2 D. 3 答案 D解析 方法一 由tan 2α有意义，α为锐角可得α≠π4，∵α为锐角，∴tan α>0，∴2tan α＋3tan 2α＝2tan α＋3(1－tan 2α)2tan α＝12⎝⎛⎭⎫tan α＋3tan α≥12×2tan α·3tan α＝3，当且仅当tan α＝3tan α，即tan α＝3，α＝π3时等号成立．方法二 ∵α为锐角，∴sin α>0，cos α>0，∴2tan α＋3tan 2α＝2sin αcos α＋3cos 2αsin 2α＝4sin 2α＋3cos 2α2sin αcos α＝sin 2α＋3cos 2α2sin αcos α＝12⎝⎛⎭⎫sin αcos α＋3cos αsin α≥12×2sin αcos α·3cos αsin α＝3， 当且仅当sin αcos α＝3cos αsin α，即α＝π3时等号成立．9．已知2sin θ＝1－cos θ，则tan θ等于( ) A ．－43或0B.43或0 C ．－43D.43答案 A解析 因为2sin θ＝1－cos θ，所以4sin θ2cos θ2＝1－⎝⎛⎭⎫1－2sin 2θ2＝2sin 2θ2， 解得sin θ2＝0或2cos θ2＝sin θ2，即tan θ2＝0或2，又tan θ＝2tanθ21－tan2θ2，当tan θ2＝0时，tan θ＝0；当tan θ2＝2时，tan θ＝－43.10．(2019·安徽省合肥一中、马鞍山二中等六校联考)设△ABC 的内角A ，B ，C 所对边的长分别为a ，b ，c ，则下列命题正确的是( ) ①若a 2＋b 2<c 2，则C >π2；②若ab >c 2，则C >π3；③若a 3＋b 3＝c 3，则C <π2；④若2ab >(a ＋b )c ，则C >π2；⑤若()a 2＋b 2c 2<2a 2b 2，则C <π3.A ．①②③B ．①②⑤C ．①③④D ．①③⑤答案 D解析 对于①，a 2＋b 2<c 2，可以得出cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab <0，所以C >π2，故正确；对于②，ab >c 2⇒cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab >2ab －ab 2ab ＝12，得出C <π3，故错误；对于③，其逆否命题为“若C ≥π2，则a 3＋b 3≠c 3”．当C ≥π2时，c 2≥a 2＋b 2⇒c 3≥ca 2＋cb 2>a 3＋b 3，即a 3＋b 3≠c 3成立，故正确；对于④，取a ＝b ＝2，c ＝1，满足2ab >(a ＋b )c ，利用余弦定理得C <π3<π2，故错误；对于⑤，因为2abc 2≤(a 2＋b 2)c 2<2a 2b 2，所以有c 2<ab ，即cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab >2ab －ab 2ab ＝12，所以C <π3，故正确，所以正确命题的序号是①③⑤.11．(2019·宜昌调研)已知锐角△ABC 外接圆的半径为2，AB ＝23，则△ABC 周长的最大值为( ) A ．4 3 B ．6 3 C ．8 3 D ．12 3答案 B解析 ∵锐角△ABC 外接圆的半径为2，AB ＝23， ∴c sin C ＝2R ，即23sin C ＝4，∴sin C ＝32，又C 为锐角， ∴C ＝π3，由正弦定理得a sin A ＝b sin B ＝c sin C ＝4，∴a ＝4sin A ，b ＝4sin B ，c ＝23， ∴a ＋b ＋c ＝23＋4sin B ＋4sin ⎝⎛⎭⎫2π3－B＝6sin B ＋23cos B ＋23＝43sin ⎝⎛⎭⎫B ＋π6＋23， ∴当B ＋π6＝π2，即B ＝π3时，a ＋b ＋c 取得最大值43＋23＝6 3.12．(2019·黄冈调研)已知圆C ：x 2＋(y －1)2＝R 2与函数y ＝2sin x 的图象有唯一交点，且交点的横坐标为α，则4cos 2α2－α－2sin 2α等于( )A ．－2B ．2C ．－3D ．3 答案 B解析 根据题意，圆C ：x 2＋(y －1)2＝R 2与函数y ＝2sin x 的图象有唯一交点， 则圆C 在交点处的切线与函数y ＝2sin x 在交点处的切线重合； 又由交点的横坐标为α，则交点的坐标为(α，2sin α)， 对于y ＝2sin x ，其导数y ′＝2cos x ，则有y ′|x ＝α＝2cos α，则有2sin α－1α－0＝－12cos α，变形可得α＝2cos α(1－2sin α)＝2cos α－4sin αcos α， 则4cos 2α2－α－2sin 2α＝2⎝⎛⎭⎫2cos 2α2－1－αsin 2α＝2cos α－(2cos α－4sin αcos α)2sin αcos α＝2.13．(2019·黄山质检)cos346°·cos419°＋sin14°·sin121°＝________. 答案22解析 cos346°·cos419°＋sin14°·sin121° ＝cos 14°cos 59°＋sin 14°sin 59°＝cos ()59°－14° ＝cos 45°＝22. 14．(2019·吕梁模拟)△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，其中b ＝c ，若m ＝(a 2,2b 2)，n ＝(1，sin A －1)，m ·n ＝0，则∠A 等于________． 答案 π4解析 在△ABC 中，由余弦定理可得a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，因为b ＝c ，则a 2＝2b 2－2b 2cos A ＝2b 2(1－cos A )，又由m ·n ＝a 2＋2b 2(sin A －1)＝0，解得a2＝2b2(1－sin A)，所以1－sin A＝1－cos A，则tan A＝1，又0<A<π，所以A＝π4.15.(2019·茂名模拟)《九章算术》中记载了一个“折竹抵地”问题，今年超强台风“山竹”登陆时再现了这一现象(如图所示)，不少大树被大风折断．某路边一树干被台风吹断后(没有完全断开)，树干与底面成75°角，折断部分与地面成45°角，树干底部与树尖着地处相距10米，则大树原来的高度是________米(结果保留根号)．答案52＋5 6解析如图所示，设树干底部为O，树尖着地处为B，折断点为A，则∠AOB＝75°，∠ABO＝45°，所以∠OAB ＝60°.由正弦定理知，AO sin 45°＝AB sin 75°＝10sin 60°，所以OA ＝1063(米)，AB ＝152＋563 (米)，所以OA ＋AB ＝52＋56(米)．16. 如图，在△ABC 中，BC ＝2，∠ABC ＝π3，AC 的垂直平分线DE 与AB ，AC 分别交于点D ，E ，且DE ＝62，则BE 2＝________.答案 52＋3解析 如图，连接CD ，由题设，有∠BDC ＝2A ，所以CD sin π3＝BC sin 2A ＝2sin 2A ，故CD ＝3sin 2A.又DE ＝CD sin A ＝32cos A ＝62，所以cos A ＝22，而A ∈(0，π)，故A ＝π4， 因此△ADE 为等腰直角三角形， 所以AE ＝DE ＝62. 在△ABC 中，∠ACB ＝5π12，所以AB sin 5π12＝2sin π4，故AB ＝3＋1，在△ABE 中，BE 2＝(3＋1)2＋⎝⎛⎭⎫622－2×(3＋1)×62×22＝52＋ 3.B 组 能力提高17．(2019·广东省中山一中等七校联考)如图所示，在平面直角坐标系xOy 中，点B, C 分别在x 轴和y 轴非负半轴上，点A 在第一象限，且∠BAC ＝π2， AB ＝AC ＝4，那么O, A 两点间距离的( )A ．最大值是42，最小值是4B ．最大值是8，最小值是4C ．最大值是42，最小值是2D ．最大值是8，最小值是2 答案 A解析 设∠CBO ＝θ⎝⎛⎭⎫0≤θ<π2，E 为BC 的中点， 当θ＝0时，如图1，此时点C 与点O 重合，易知OA ＝4；图1 图2当0<θ<π4 时，A ，O ，E 三点构成如图2的三角形，根据题意，可知∠OBC ＝∠BOE ，∠AEB＝π2， AE ＝OE ＝2 2 ，则∠AEO ＝π2＋2θ，∴cos ∠AEO ＝cos ⎝⎛⎭⎫π2＋2θ＝－sin 2θ，2θ∈⎝⎛⎭⎫0，π2， ∴OA 2＝OE 2＋AE 2－2OE ·AE cos ∠AEO ＝16＋16sin 2θ，即 16<OA 2<32，解得4<OA <42；当θ＝π4时，如图3，四边形ABOC 是正方形，OA ＝42，图3 图4当π4<θ<π2时，A ，O ，E 三点构成如图4的三角形，∴∠AEO ＝π2＋()π－2θ，∴cos ∠AEO ＝cos ⎣⎡⎦⎤π2＋()π－2θ＝－sin 2θ，2θ∈⎝⎛⎭⎫π2，π， 同理可求得4<OA <4 2.18．在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，D 是AB 的中点，若CD ＝1 且⎝⎛⎭⎫a －12b sin A ＝(c ＋b )(sin C －sin B )，则△ABC 面积的最大值是________． 答案155解析 如图，设∠CDA ＝θ，则∠CDB ＝π－θ，在△CDA 和△CDB 中，分别由余弦定理可得cos θ＝c 24＋1－b 2c ，cos(π－θ)＝c 24＋1－a 2c ，两式相加，整理得c 22＋2－(a 2＋b 2)＝0，∴c 2＝2(a 2＋b 2)－4.①由⎝⎛⎭⎫a －12b sin A ＝(c ＋b )(sin C －sin B )及正弦定理得⎝⎛⎭⎫a －12b a ＝(c ＋b )(c －b )，整理得a 2＋b 2－c 2＝ab2，②由余弦定理的推论可得cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝14，∴sin C ＝154.把①代入②整理得a 2＋b 2＋ab2＝4，又a 2＋b 2≥2ab ，当且仅当a ＝b 时等号成立， ∴4≥2ab ＋ab 2＝5ab 2，故得ab ≤85.∴S △ABC ＝12ab sin C ≤12×85×154＝155.即△ABC 面积的最大值是155.。
数学(理)高考二轮复习：专题五第二讲《椭圆、双曲线、抛物线的定义、方程与性质》课件(共46张PPT)
a2＋b2＝25
a2＝20
依题意1＝ba×2
，解得b2＝5 ，∴双曲线 C 的方程为
2x02 －y52＝1.
第二讲 椭圆、双曲线、抛物线的定义、方程与性质
考点一
课前自主诊断
课堂对点补短 限时规范训练 上页 下页
试题
通解 优解
考点一
考点二
考点三
2．设 F1，F2 分别为椭圆x42＋y2＝1 的左、右焦点，点 P 在椭圆上，
第二讲 椭圆、双曲线、抛物线的定义、方程与性质 课前自主诊断 课堂对点补短
考点三 直线与椭圆、双曲线、抛物线的位置关系
限时规范训练 上页 下页
试题
解析
考点一 考点二
考点三
6．(2016·高考全国Ⅰ卷)设圆 x2＋y2＋2x－15＝0 的圆心为 A，直 线 l 过点 B(1,0)且与 x 轴不重合，l 交圆 A 于 C，D 两点，过 B 作 AC 的平行线交 AD 于点 E. (1)证明|EA|＋|EB|为定值，并写出点 E 的轨迹方程； (2)设点 E 的轨迹为曲线 C1，直线 l 交 C1 于 M，N 两点，过 B 且 与 l 垂直的直线与圆 A 交于 P，Q 两点，求四边形 MPNQ 面积 的取值范围．
10，点 P(2,1)在 C 的一条渐近线上，则 C 的方程为( A )
A.2x02 －y52＝1
B.x52－2y02 ＝1
C.8x02－2y02 ＝1
D.2x02－8y02 ＝1
第二讲 椭圆、双曲线、抛物线的定义、方程与性质
考点一
课前自主诊断
课堂对点补短
限时规范训练 上页 下页
试题
解析
考点一 考点二 考点三
长即可表示出面积，解方程求 b 即可． 由题意知双曲线的渐近线方程为 y＝±b2x，圆的方程为 x2＋y2＝4，
2020浙江高考数学二轮讲义：热考题型解法指导第2讲解答题审题技巧Word版含解析
第 2 讲解答题审题技巧方法概述审题是解题的第一步，仔细深入的审题是解题成功的必需前提．审题即审清题意，往常它包括三个环节，即解题前对已知与未知事项的初步剖析与察看 (往常意义下的审题 )，解题过程中对题意的进一步剖析，以及解题后的查验与反省．其详细内容是：已知什么？结论是什么？隐含什么？需做什么？得出什么？注意什么？等等；明确这些是正确解题的重点，下边浅谈一下怎样学会审题．一审条件条件是解题的主要资料，充分利用条件间的内在联系是解题的必经之路．审察条件要充分发掘每一个条件的内涵和隐含信息，发掘条件的内在联系．[ 典型例题 ]设函数 f(x)＝ ln x－ ax，g( x)＝ e x－ ax，此中 a 为实数．若 f( x)在 (1，＋∞ ) 上是单一减函数，且 g(x)在 (1，＋∞ )上有最小值，求 a 的取值范围．[审题路线图 ]f(x)在 (1，＋∞ )上递减→ f ′(x)<0→ a 的范围；求 g′(x)→ g(x)在 (1，＋∞ )上有最小值→a 的范围→结果．1 1－ ax[规范解答 ] 令 f′(x)＝x－ a＝x ＜0，考虑到 f(x)的定义域为 (0，＋∞ )，故 a＞0，从而解得x＞ a－1，即f(x)在(a－1，＋∞)上是单一减函数．同理，f(x)在(0，a－1)上是单一增函数．因为 f(x)在 (1，＋∞ )上是单一减函数，故(1，＋∞ )? (a－1，＋∞ )，从而 a－1≤ 1，即 a≥1.令 g′(x)＝ e x－a＝ 0，得 x＝ ln a.当 x＜ ln a 时， g′(x)＜ 0；当 x＞ ln a 时， g′(x)＞ 0.又 g(x)在 (1，＋∞ )上有最小值，所以 ln a＞ 1，即 a＞ e.综上可知， a∈ (e，＋∞ )．二审结论问题解决的最后目标就是求出结论或说明已给结论正确或错误．因此解决问题时的思想过程大多都是环绕着结论这个目标进行定向思虑的．审察结论，就是在结论的启迪下，探究已知条件和结论之间的内在联系和转变规律．擅长从结论中捕获解题信息，擅长对结论进行转变，使之逐渐凑近条件，从而发现和确立解题方向．[ 典型例题 ](2019 ·州模拟杭 )如图，在三棱柱 ABC-A1B1C1中，侧棱 AA1⊥底面 ABC ， AB⊥ BC， D 为 AC 的中点， AA1＝ AB＝ 2， BC＝ 3.(1)求证： AB1∥平面 BC1D ；(2)求四棱锥B-AA1C1D 的体积．[审题路线图 ](1)要证 AB1∥平面 BC1D →只要证 AB 1与平面 BC1D 内的一条直线平行即可→ 只要连结B1C 交 BC1于点 O，则 DO 为所需直线．(2)求 B-AA1C1D 的体积→求底面积和高→底面 AA1C1D 为直角梯形，图中无高→应用底面和侧面垂直作高．[规范解答 ] (1)证明：如图，连结 B1C，设 B1C 与 BC1订交于点O，连结 OD.因为四边形BCC1B1是平行四边形，所以点 O 为 B1C 的中点．因为 D 为 AC 的中点，所以 OD 为△AB1C 的中位线，所以OD ∥ AB1，因为 OD? 平面 BC1 D， AB1?平面 BC 1D，所以 AB1∥平面 BC1D .(2)因为 AA1⊥平面 ABC ， AA1? 平面 AA1C1C，所以平面ABC⊥平面 AA1C1C，作 BE ⊥AC ，垂足为 E，则 BE ⊥平面 AA1C1C.在 Rt △ABC 中， AC＝ AB2＋BC2＝ 4＋9＝ 13，AB·BC 6BE＝AC ＝13 ，1 1 1 3 6所以四棱锥 B-AA 1C1D 的体积 V＝3×2(A1 C1＋ AD) ·AA 1·BE ＝6×2 13× 2×13 ＝ 3.三审构造构造是数学识题的搭配形式，某些问题在已知的数式构造中经常隐含着某种特别的关系．审察构造要对构造进行剖析、加工和转变，以实现解题打破．[ 典型例题 ](2019 ·州调研台 )设△ ABC 的内角 A， B，C 所对的边分别为a， b，c，且 a＋ c＝ 6，7b＝ 2，cos B＝9.(1)求 a， c 的值；(2)求 sin(A－ B) 的值．[审题路线图 ](1)条件边、角共存，而结论求边→ 将角的余弦化为边→求出a，c.(2)条件→求出角 A 的三角函数→ sin(A－ B)的值．[规范解答 ] (1) 由余弦定理b2＝ a2＋ c2－ 2accos B，得 b2＝ (a＋ c)2－ 2ac(1＋ cos B)，7又 b＝ 2， a＋c＝ 6， cos B＝9，所以 ac＝ 9，解得 a＝ 3， c＝ 3.4 2，(2)在△ ABC 中， sin B＝1－cos2 B＝9asin B 2 2由正弦定理得sin A＝ b ＝3 .因为 a＝ c，所以 A 为锐角．12A＝3.所以 cos A＝1－ sin10 2所以 sin(A－ B)＝ sin Acos B－ cos Asin B＝27 .四审范围范围是对数学观点、公式、定理中波及的一些量以及有关分析式的限制条件．审察范围要合时利用有关量的拘束范围，从整体上掌握问题的解决方向．[ 典型例题 ]53在△ ABC 中， sin A ＝13， cos B ＝5，求 cos C 的值．[审题路线图 ]sin A ＝ 5 <π 5π1→0<A<或 6 <A<ππ13 26→ 0<A< .3π6cos B ＝2→ B>5<2 4[规范解答 ] 在 △ ABC 中， sin A ＝ 5 1 3 213 < ， cos B ＝ < ，2 5 2 π 5π所以 0<A<6 或 6π<A<π，B> 4 ，π所以 0<A<6，12 4所以 cos A ＝13， sin B ＝ 5，16所以 cos C ＝－ cos(A ＋ B)＝－ 65.五 审图形图形或许图象的力量比文字更加简短而有力，发掘此中蕴涵的有效信息，正确理解问题 是解决问题的重点 . 对图形或许图象的独到理解好多时候能成为解决问题的亮点．[ 典型例题 ]如图，正方体的底面与正四周体的底面在同一平面α 上，且 AB ∥CD ，判断直线EF 与正方体的六个面所在的平面中的几个订交？[审题路线图 ]图形 → 理解 AB 和 CD 平行 →EF 与左右边面平行→ 结论．[规范解答 ] 取 CD 的中点 H ，连结 EH 、FH (图略 )．在正四周体 CDEF 中，因为 CD ⊥ EH ，CD ⊥ HF ，EH ∩HF ＝ H ，所以 CD ⊥平面 EFH ，所以 AB ⊥ 平面 EFH ，则平面 EFH 与正方体的左右双侧面平行，则EF 也与之平行，与其他四个平面订交．六审图表、数据题目中的图表、数据包括着问题的基本信息，也常常示意着解决问题的目标和方向．在审题时，要仔细察看剖析图表、数据的特点和规律，经常能够找到解决问题的思路和方法．[ 典型例题 ]为了比较两种治疗失眠症的药(分别称为 A 药， B 药 )的疗效，随机地选用20 位患者服用 A 药， 20 位患者服用 B 药，这 40 位患者服用一段时间后，记录他们日均匀增添的睡眠时间 (单位： h)．试验的观察结果以下：服用 A 药的 20 位患者日均匀增添的睡眠时间0.6 1.2 2.7 1.5 2.8 1.8 2.2 2.3 3.23.5 2.5 2.6 1.2 2.7 1.5 2.9 3.0 3.12.3 2.4服用 B 药的 20 位患者日均匀增添的睡眠时间3.2 1.7 1.9 0.8 0.9 2.4 1.2 2.6 1.31.4 1.6 0.5 1.8 0.62.1 1.1 2.5 1.22.7 0.5(1)分别计算两组数据的均匀数，从计算结果看，哪一种药的疗效更好？(2)依据两组数据达成下边茎叶图，从茎叶图看，哪一种药的疗效更好？[审题路线图 ](1)数据→A 、B 两种药 20 位患者日均匀增添睡眠时间→ 比较均匀数→ 结论．(2)数据→达成茎叶图→识图→结论．[规范解答 ] (1) 设 A 药观察数据的均匀数为－－x ， B 药观察数据的均匀数为y .由观察结果可得－ 1x(0.6＋ 1.2＋ 1.2＋ 1.5＋ 1.5＋ 1.8＋ 2.2＋ 2.3＋ 2.3＋ 2.4＋ 2.5＋ 2.6＋ 2.7＋ 2.7＋ 2.8＋ 2.9 ＋3.0＋3.1＋ 3.2＋3.5)＝20＝2.3，－1y ＝20(0.5＋ 0.5＋ 0.6＋ 0.8＋ 0.9＋ 1.1＋ 1.2＋ 1.2＋ 1.3＋ 1.4＋ 1.6＋ 1.7＋ 1.8＋ 1.9＋ 2.1＋ 2.4＋ 2.5＋2.6＋ 2.7＋3.2)＝ 1.6.－ －由以上计算结果可得x > y ，所以能够看出A 药的疗效更好．(2)由观察结果可绘制茎叶图如图：从以上茎叶图能够看出，7A 药疗效的试验结果有10的叶集中在茎 “2.”“3.”上，7而 B 药疗效的试验结果有10的叶集中在茎 “ 0.”“ 1.” 上，由此能够看出 A 药的疗效更好．七 审方法方法是解题的手段，数学思想方法是问题的主线．审察方法，选择适合的解题方法，常常使问题解决事半功倍．审题的过程仍是一个解题方法的决断过程，开辟的解题思路能使我们心涌如潮，适合的解题方法例帮助我们事半功倍．[ 典型例题 ]1在平面直角坐标系xOy 中，设定点 A(a ， a)，P 是函数 y ＝ x (x>0) 图象上一动点．若点 P ， A 之间的最短距离为 22，求知足条件的实数 a 的全部值．[审题路线图 ]设 P x ， 1 → PA 2换元法 分类议论x 对于 x 的函数 ――→PA 2 对于新元 t 的函数 ――→ 表示最值 → a 的值．1[规范解答 ] 依题意可设 P x ， x (x>0)，12则 PA 2＝ (x － a)2＋ x －a＝ x 2＋ 12－2a x ＋ 1＋2a 2.xx令 x ＋1x ＝ t ，则 t ≥ 2 且 PA 2＝ t 2－ 2－ 2at ＋2a 2＝ (t － a)2＋ a 2－ 2.若 a ≥ 2，则当 t ＝a 时， PA 2 取最小值 a 2－ 2，令 a 2－ 2＝ (2 2)2，解得 a ＝ 10(a ＝－ 10舍去 )；若 a<2，则当 t ＝2 时， PA 2 取最小值 2a 2 － 4a ＋ 2，令 2a 2－4a ＋ 2＝(2 2)2，解得 a ＝－ 1(a ＝3 舍去 )．综上得，知足条件的全部a 的值为－ 1 和 10.审题归纳(1)审题要慢、答题要快．审题速度不宜太快，并且最好采纳二次读题的方法，第一次为泛读，大概认识题目的条件和要求；第二次为精读，依据要求找出题目的重点词语并发掘题目的隐含条件．(2)要擅长变换．当明确已知条件和求解对象后，假如尚不可以生发解题思路，一定变换已知条件或结论的形式，使它们产生有机的联系．(3)要擅长联想．联想是接通思路的桥梁，假如我们在审题中没法套用现成解题模式，必须进行宽泛的联想．(4)要擅长发掘隐含条件．审题的一个重点在于：发现题材中的“ 机关 ” —— 题目中的一些隐含条件，常常是该题 “ 价值 ” 之所在，也是我们失分的 “ 隐患 ”．(5)要擅长启动逆向与创新思想．当解一个数学识题的思想受阻时，适合改变思想角度，合时启动逆向思想与创新思想，常常能跳出惯例思想的框框，打破思想阻碍．专题加强训练tan B 2c1．(2019 宁·波模拟 )在△ ABC 中，角 A ，B ， C 所对的边分别为 a ， b ， c ，且 tan A＋ 1＝ a . (1)求 B ；π1，求 sin A 的值．(2)若 cos C ＋ ＝6 3tan B 2c sin Bcos A2sin C 解： (1) 由及正弦定理，得 cos Bsin A ＋ 1＝ tan A ＋ 1＝asin Bcos A ＋ cos Bsin A2sin C 所以cos Bsin A＝ sin A ，sin （ A ＋ B ） 2sin C sin C 2sin C即 cos Bsin A ＝ sin A ，则 cos Bsin A ＝ sin A.sin A ，因为在 △ ABC 中， sin A ≠0， sin C ≠0，1所以 cos B ＝2.π因为 B ∈ (0，π)，所以 B ＝ 3 .2π(2)因为 0＜ C ＜ 3 ，ππ 5π所以 6＜C ＋6＜ 6 .π1又 cos C ＋ 6 ＝ 3，π 2 2 所以 sin C ＋ 6 ＝ 3 .π所以 sin A ＝ sin(B ＋ C) ＝sin C ＋ 3＝sinππC ＋ 6＋ 6ππ π π 2 6＋ 1 ＝sin C ＋ 6cos 6 ＋ cosC ＋ 6 sin 6 ＝ 6 .2.以下图， 在三棱柱 ABC- A 1B 1C 1 中，AA 1B 1B 为正方形， BB 1C 1 C 是菱形，平面 AA 1B 1B ⊥平面 BB 1C 1C.(1)求证： BC ∥平面 AB 1C 1；(2)求证： B 1C ⊥ AC 1；(3)设点 E ，F ， H ，G 分别是 B 1C ， AA 1，A 1B 1，B 1C 1 的中点，试判断E ，F ，H ，G 四点是否共面，并说明原因．解： (1) 证明： 在菱形 BB 1C 1C 中， BC ∥B 1 C 1 .因为 BC?平面 AB 1C 1， B 1C 1? 平面 AB 1C 1，所以 BC ∥ 平面 AB 1C 1.(2)证明： 连结 BC 1. 在正方形 ABB 1A 1 中， AB ⊥ BB 1.因为平面 AA 1B 1B ⊥平面 BB 1C 1C ，平面 AA1B1 B∩平面 BB1C1C＝ BB1， AB? 平面 ABB1A1，所以 AB⊥平面 BB1C1C.因为 B1C? 平面 BB1C1C，所以 AB⊥ B1C.在菱形 BB1C1C 中， BC1⊥B1C.因为 BC1? 平面 ABC1， AB? 平面 ABC 1， BC1∩AB＝B，所以 B1C⊥平面 ABC1.因为 AC1? 平面 ABC1，所以 B1C⊥ AC1.(3)E，F， H， G 四点不共面 . 原因以下：因为 E，G 分别是 B1C，B1C1的中点，所以 GE∥ CC1.同理可证： GH∥ C1A1 .因为 GE? 平面 EHG ，GH ? 平面 EHG ，GE∩GH＝ G，CC1? 平面 AA 1C1C，A1C1 ? 平面 AA1C1C，1 1所以平面 EHG∥平面 AA C C.1 1因为 F∈平面 AA C C，所以 F?平面 EHG ，即 E， F， H ，G 四点不共面．2 2 2，且过点 P 2，3，右焦点为 F ，点3．已知椭圆 E：x2＋y2＝ 1(a＞b＞ 0)的离心率为a b 2 2 2N(2， 0)．(1)求椭圆 E 的方程；(2)设动弦 AB 与 x 轴垂直，求证：直线AF 与直线 BN 的交点 M 仍在椭圆 E 上．2解： (1) 因为 e＝2 ，所以 a＝2c， b＝ c，2 2即椭圆 E 的方程能够设为x2＋y2＝ 1.2b b1 3将点 P 的坐标代入得： b 2＝ 4＋ 4＝ 1，2所以，椭圆 E 的方程为 x2 ＋ y 2＝ 1.(2)证明： 右焦点为 F(1， 0)，设 A(x 0， y 0)， 由题意得 B(x 0)．，－ y(x － 1)，①所以直线 AF 的方程为： y ＝yx 0 －1－ y 0直线 BN 的方程为： y ＝ ( x － 2)，②x 0－ 2y－ y 0①②联立得， 0(x － 2)， (x － 1)＝x 0－ 1 x 0－ 23x 0－ 43x － 4即 x ＝，再代入 ① 得， y ＝ y2x － 3x － 1 2x － 3即 y ＝ y 0.2x － 3所以点 M 的坐标为3x 0－ 4y 0.，2x － 32x － 30 02x M2又因为2 ＋y M0 －4 2y 021 3x＝ 2 2x －3 ＋ 2x 0－ 322（ 3x 0－ 4） ＋ 2y 0＝－ 3） 2 ，③2（2x2x 02将 y 0＝1－ 2 代入③得，22（3x 0－4）2＋2 1－ x 022 x M2 ＋ y M ＝2（ 2x 0－ 3） 228x 0 －24x 0 ＋18＝2（ 2x 0－ 3） 22（ 2x 0－ 3） 2 ＝＝ 1.2（2x 0－ 3） 2所以点 M 在椭圆 E 上．e x4．(2019 杭·州模拟 )已知函数 f(x)＝x .(1)若曲线 y＝ f( x)在点 (x0， f(x0))处的切线方程为ax－ y＝ 0，求 x0的值；(2)当 x＞0 时，求证： f(x)＞ x；(3)设函数 F(x)＝ f(x)－ bx(x＞0) ，此中 b 为实常数，试议论函数F(x)的零点个数，并证明你的结论．e x x－ e x解： (1) f′(x)＝.x2因为切线 ax－y＝ 0 过原点 (0， 0)，e x0e x0x0－ e x 0x0 ，解得： x ＝ 2.所以2 ＝x0 x0 0f（ x）e x(2)证明：设 g(x)＝x ＝x2(x＞0)，e x（x2－ 2x）则 g′(x)＝x 4.e x（x2－ 2x）令 g′(x)＝x4 ＝ 0，解得 x＝ 2.x 在(0 ，＋∞ )上变化时， g′(x)， g(x)的变化状况以下表：x (0， 2) 2g′(x) －0g(x)e24 e2所以当 x＝ 2 时， g(x)获得最小值4 .e2所以当 x＞ 0 时， g(x)≥4＞ 1，即 f(x)＞ x.e x(3)F(x)＝ 0 等价于 f( x)－ bx＝ 0，等价于x2－ b＝ 0. 注意 x≠ 0.e x e x（ x－2）令 H (x)＝x2－ b，所以 H ′(x)＝x3(x≠ 0)．(2，＋∞ )＋①当 b ≤ 0 时， H(x)＞ 0 ，所以 H(x) 无零点，即 F(x)在定义域内无零点．②当 b ＞ 0 时，当 0＜ x ＜ 2 时， H ′(x)＜ 0，H (x)单一递减；当 x ＞ 2 时， H ′(x)＞ 0， H(x) 单一递加．e 2所以当 x ＝ 2 时， H(x)有极小值也是最小值， H (2)＝ 4 － b.e 2 e 2当 H(2)＝ 4 － b ＞ 0，即 0＜ b ＜ 4 时， H( x)在 (0，＋ ∞ )上不存在零点； 当 H(2)＝ e 2 － b ＝ 0，即 b ＝ e 2时， H(x)在 (0，＋ ∞) 上存在独一零点 2；4 4e 2 e 2 11 1当 H(2)＝ 4 － b ＜ 0，即 b ＞ 4 时，由 e b＞ 1 有 Hb ＝ be b－ b ＝1b(e b － 1)＞ 0，而 H (2) ＜ 0，所以 H(x)在 (0， 2)上存在独一零点；2be 2b － 4b 3又因为2b ＞3， H (2b)＝ e2－ b ＝ 2.4b 4b13令 h(t)＝ e t － 2t 3，此中 t ＝2b ＞ 2， h ′(t)＝ e t － 2t 2， h ″(t)＝ e t － 3t ，h (t)＝ e t －3，所以 h(t) ＞e 2 －3＞ 0，所以 h ″(t)在 (2，＋ ∞ )上单一递加，从而 h ″(t)＞ h ″ (2)＝ e 2－6＞ 0，所以 h ′(t)在 (2，＋ ∞ )上单一递加，所以 h ′(t)＞ h ′ (2)＝e 2－ 6＞ 0，故 h(t)在 (2，＋ ∞)上单一递加，所以 h( t)＞ h(2)＝ e 2－ 4＞ 0.由上得H(2b) ＞0，由零点存在定理知，H(x)在 (2，2b)上存在独一零点，即在(2，＋ ∞)上存在独一零点．综上所述：当e 2b ＜ 4 时，函数 F(x)的零点个数为0； e 2当 b ＝ 4 时，函数F(x)的零点个数为1； e 2当 b ＞ 4 时，函数F(x)的零点个数为2.5．已知数列 { a n } 的前 n 项和为 S n ，且知足 a 1＝ 1，2a n ＋ 1＝ 2a n ＋p(p 为常数， n ＝ 1，2，3， )．(1)若 S 3＝ 12，求 S n ；(2)若数列 { a n} 是等比数列，务实数p 的值．(3)能否存在实数p，使得数列1知足：能够从中拿出无穷多项并按本来的先后序次排成 a n一个等差数列？若存在，求出全部知足条件的p 的值；若不存在，说明原因．解： (1) 因为 a1＝ 1， 2a n＋1＝ 2a n＋ p，所以 2a2＝ 2a1＋ p＝2＋ p， 2a3＝2a2＋ p＝ 2＋2p.因为 S3＝ 12，所以 2＋ 2＋p＋ 2＋ 2p＝ 6＋ 3p＝24，即 p＝ 6.所以 a n＋1－ a n＝ 3(n＝1， 2， 3， )．所以数列 { a n} 是以 1 为首项， 3 为公差的等差数列．n（ n－ 1）× 3＝3n2－ n所以 S n＝ 1× n＋.2 2(2)若数列 { a } 是等比数列，则 2a ＝ a a .n 2 1 3p 2由(1) 可得： 1＋2＝ 1× (1＋ p)．解得 p＝ 0.当 p＝ 0 时，由 2a n＋1＝ 2a n＋p，得： a n＋1＝ a n＝＝ 1.明显，数列 { a n} 是以 1 为首项， 1 为公比的等比数列．所以 p＝ 0.(3)当 p＝ 0 时，由 (2)知： a n＝ 1(n＝ 1， 2，3，)．1所以＝ 1(n＝ 1， 2， 3，)，a n1即数列a n就是一个无量等差数列．所以当 p＝ 0 时，能够获得知足题意的等差数列．当 p≠ 0 时，p因为 a1＝ 1， 2a n＋1＝ 2a n＋ p，即 a n＋1－ a n＝2，p所以数列 { a n} 是以 1 为首项，2为公差的等差数列．p p所以 a n＝2n＋ 1－2.1下边用反证法证明：当p≠ 0 时，数列a n中不可以拿出无穷多项并按本来序次摆列成等差数列．1假定存在 p 0≠0，从数列 a n 中能够获得知足题意的无量等差数列，不如记为{ b n } ．设数列 { b n } 的公差为 d.①当 p 0＞ 0 时， a n ＞ 0(n ＝ 1， 2，3， )．所以数列 { b n } 是各项均为正数的递减数列．所以 d ＜ 0. 因为 b n1＝ b ＋ (n － 1)d(n ＝ 1，2， 3， )，所以当 n ＞ 1－ b时， b n ＝ b 1＋ (n － 1)d ＜ b 1＋ 1－ b－ 1 d ＝ 0，这与 b n ＞ 0 矛盾．11dd②当 p 0＜ 0 时，令 p n ＋ 1－p0 ＜ 0，解得： n ＞ 1－ 2.2 2 p 0所以当 n ＞ 1－ 2p 时， a n ＜ 0 恒建立．所以数列 { b n } 必定是各项均为负数的递加数列．所以 d ＞ 0.因为 b n ＝ b 1＋ (n － 1)d(n ＝ 1，2， 3， )，b 1b所以当 n ＞ 1－ d 时， b n ＝ b 1＋ (n － 1)d ＞ b 1＋ 1－ 1 d ＝ 0，这与 b n ＜ 0 矛盾．1－ d 综上所述， p ＝ 0 是独一知足条件的 p 的值．。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
第2讲圆锥曲线的方程与性质(小题)热点一圆锥曲线的定义与标准方程1．圆锥曲线的定义(1)椭圆：|PF1|＋|PF2|＝2a(2a>|F1F2|)．(2)双曲线：||PF1|－|PF2||＝2a(0<2a<|F1F2|)．(3)抛物线：|PF|＝|PM|，点F不在定直线l上，PM⊥l于点M.2．求圆锥曲线标准方程“先定型，后计算”所谓“定型”，就是确定曲线焦点所在的坐标轴的位置；所谓“计算”，就是指利用待定系数法求出方程中的a2，b2，p的值．例1(1)(2019·梅州质检)已知双曲线C：x2a2－y2b2＝1(a>0，b>0)一个焦点为F(2,0)，且F到双曲线C的渐近线的距离为1，则双曲线C的方程为________．答案x23－y2＝1解析根据题意，双曲线C的中心为原点，点F(2,0)是双曲线C的一个焦点，即双曲线的焦点在x轴上，且c＝2，双曲线C：x2a2－y2b2＝1(a>0，b>0)，其渐近线方程为y＝±ba x，即ay±bx＝0，又点F 到渐近线的距离为1，则有|－b ×2|a 2＋b 2＝1，解得b ＝1，则a 2＝c 2－b 2＝3，所以双曲线的方程为x 23－y 2＝1. (2)(2019·南充模拟)P 是双曲线x 23－y 24＝1的右支上一点，F 1，F 2分别为双曲线的左、右焦点，则△PF 1F 2的内切圆的圆心横坐标为( )A. 3 B ．2 C.7 D ．3答案 A解析 如图所示F 1(－7，0)，F 2(7，0)，设内切圆与x 轴的切点是点H ，与PF 1，PF 2的切点分别为M ，N ，由双曲线的定义可得|PF 1|－|PF 2|＝2a ＝23，由圆的切线长定理知，|PM |＝|PN |，|F 1M |＝|F 1H |，|F 2N |＝|F 2H |， 故|MF 1|－|NF 2|＝23， 即|HF 1|－|HF 2|＝23， 设内切圆的圆心横坐标为x ，即点H 的横坐标为x ，故(x ＋7)－(7－x )＝23，∴x ＝ 3.跟踪演练1 (1)(2019·银川质检)已知P 是抛物线y 2＝4x 上一动点，定点A (0,22)，过点P 作PQ⊥y轴于点Q，则|P A|＋|PQ|的最小值是________．答案 2解析由抛物线y2＝4x可知，其焦点坐标为F(1,0)，准线x＝－1，设点P到其准线的距离为d，根据抛物线的定义，可得d＝|PF|，则点P到y轴的距离为|PQ|＝|PF|－1，且|F A|＝12＋(22)2＝3，则|P A|＋|PQ|＝|P A|＋|PF|－1≥|F A|－1＝2(当且仅当A，P，F三点共线时取等号)，所以|P A|＋|PQ|的最小值为2.(2)如图，过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点F的直线l交抛物线于点A，B，交其准线于点C，若|BC|＝2|BF|，且|AF|＝3，则此抛物线方程为()A．y2＝9x B．y2＝6xC．y2＝3x D．y2＝3x答案 C解析如图分别过点A，B作准线的垂线，分别交准线于点E，D，设准线交x轴于点G.设|BF |＝a ，则由已知得|BC |＝2a ，由抛物线定义，得|BD |＝a ，故∠BCD ＝30°，在Rt △ACE 中，∵|AE |＝|AF |＝3，|AC |＝3＋3a ，|AC |＝2|AE |，∴3＋3a ＝6，从而得a ＝1，|FC |＝3a ＝3.∴p ＝|FG |＝12|FC |＝32，∴抛物线方程为y 2＝3x . 热点二 圆锥曲线的几何性质1．椭圆、双曲线中a ，b ，c 之间的关系(1)在椭圆中：a 2＝b 2＋c 2，离心率为e ＝c a ＝1－⎝⎛⎭⎫b a 2. (2)在双曲线中：c 2＝a 2＋b 2，离心率为e ＝c a ＝1＋⎝⎛⎭⎫b a 2.2．双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的渐近线方程为y ＝±b ax .注意离心率e 与渐近线的斜率的关系． 例2 (1)设F 1，F 2分别是椭圆E ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的左、右焦点，过点F 1的直线交椭圆E 于A ，B 两点，若△AF 1F 2的面积是△BF 1F 2面积的三倍，cos ∠AF 2B ＝35，则椭圆E 的离心率为( ) A.12 B.23 C.32 D.22答案 D解析 设|F 1B |＝k ()k >0，依题意可得|AF 1|＝3k ，|AB |＝4k ，∴|AF 2|＝2a －3k ，|BF 2|＝2a －k .∵cos ∠AF 2B ＝35，在△ABF 2中，由余弦定理可得 |AB |2＝|AF 2|2＋|BF 2|2－2|AF 2||BF 2|cos ∠AF 2B ，∴(4k )2＝(2a －3k )2＋(2a －k )2－65(2a －3k )(2a －k )， 化简可得(a ＋k )(a －3k )＝0，而a ＋k >0，故a －3k ＝0，a ＝3k ，∴|AF 2|＝|AF 1|＝3k ，|BF 2|＝5k ，∴|BF 2|2＝|AF 2|2＋|AB |2，∴AF 1⊥AF 2，∴△AF 1F 2是等腰直角三角形．∴c ＝22a ，椭圆的离心率e ＝c a ＝22. (2)已知双曲线M ：x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，||F 1F 2＝2c .若双曲线M 的右支上存在点P ，使a sin ∠PF 1F 2＝3c sin ∠PF 2F 1，则双曲线M 的离心率的取值范围为( ) A.⎝⎛⎭⎪⎫1，2＋73 B.⎝ ⎛⎦⎥⎤1，2＋73 C ．(1,2)D.(]1，2答案 A 解析 根据正弦定理可知sin ∠PF 1F 2sin ∠PF 2F 1＝|PF 2||PF 1|， 所以|PF 2||PF 1|＝a 3c ，即|PF 2|＝a 3c|PF 1|， ||PF 1||－PF 2＝2a ， 所以⎝⎛⎭⎫1－a 3c ||PF 1＝2a ，解得||PF 1＝6ac 3c －a， 而||PF 1>a ＋c ，即6ac 3c －a>a ＋c ，整理得3e 2－4e －1<0，解得2－73<e <2＋73. 又因为离心率e >1，所以1<e <2＋73. 跟踪演练2 (1)(2019·北京市海淀区模拟)椭圆C 1：x 24＋y 2＝1与双曲线C 2：x 2a 2－y 2b2＝1的离心率之积为1，则双曲线C 2的两条渐近线的倾斜角分别为( ) A.π6，－π6 B.π3，－π3 C.π6，5π6 D.π3，2π3答案 C解析 椭圆中a ＝2，b ＝1，所以c ＝3，所以其离心率为32， 设双曲线的离心率为e ，则e ×32＝1， 得e ＝233， 双曲线中e ＝c a ＝233，即c 2＝43a 2，又c 2＝a 2＋b 2， 所以43a 2＝a 2＋b 2，得a ＝3b ， 双曲线的渐近线为y ＝±b a x ，即y ＝±33x ， 所以两条渐近线的斜率为k ＝±33， 倾斜角分别为π6，5π6. (2)(2019·六安模拟)双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >b >0)的左焦点为F ，离心率为e ，过点F 且斜率为1的直线交双曲线的渐近线于A ，B 两点，AB 中点为M ，若|FM |等于半焦距，则e 2等于( ) A. 3 B. 2 C.3或 2 D ．3－ 3答案 B解析 设双曲线的左焦点F (－c ,0)，则过F 点且斜率为1的直线方程为y ＝x ＋c ，与渐近线方程y ＝±b a x 联立可得A ⎝ ⎛⎭⎪⎫ac b －a ，bc b －a ，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫ac －b －a ，－bc －b －a ，故AB 中点坐标为M ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2c b 2－a 2，b 2c b 2－a 2， 则有|FM |＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2c b 2－a 2＋c 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b 2c b 2－a 22＝2b 2c a 2－b 2＝c ， 即a 2＝(1＋2)b 2，b 2＝(2－1)a 2，c 2＝a 2＋b 2＝2a 2，e 2＝c 2a 2＝ 2. 热点三 圆锥曲线与圆、直线的综合问题圆锥曲线与圆、直线的综合问题的注意点：(1)注意使用圆锥曲线的定义；(2)引入参数，注意构建直线与圆锥曲线的方程组；(3)注意用好平面几何性质；(4)涉及中点弦问题时，也可用“点差法”求解．例3 (1)(2019·六安联考)已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，右顶点为A ，以A 为圆心，OA (O 为坐标原点)为半径的圆与双曲线C 在第一象限的交点为P ，若PF 2⊥P A ，且|PF 1|＝2|PF 2|，则双曲线C 的离心率为( )A ．1＋ 5B ．1＋ 3 C. 5 D. 3答案 A 解析 由题意可得|OA |＝a ，|AF 2|＝c －a ，因为PF 2⊥P A ，所以|PF 2|＝(c －a )2－a 2＝c 2－2ac ，又因点P 在双曲线的右支上，所以|PF 1|－|PF 2|＝2a ，因为|PF 1|＝2|PF 2|，所以|PF 2|＝2a ；因此c 2－2ac ＝2a ，即c 2－2ac ＝4a 2，所以e 2－2e －4＝0，解得e ＝1±5，因为e >1，所以e ＝1＋ 5.(2)(2019·南充模拟)已知直线x ＋y ＝1与椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)交于P ，Q 两点，且OP ⊥OQ (其中O 为坐标原点)，若椭圆的离心率e 满足33≤e ≤22，则椭圆长轴的取值范围是( ) A ．[5，6] B.⎣⎡⎦⎤52，62 C.⎣⎡⎦⎤54，32 D.⎣⎡⎦⎤52，3 答案 A 解析 联立⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝1，x 2a 2＋y 2b 2＝1，得 (a 2＋b 2)x 2－2a 2x ＋a 2－a 2b 2＝0，设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，Δ＝4a 4－4(a 2＋b 2)(a 2－a 2b 2)>0，化为a 2＋b 2>1.x 1＋x 2＝2a 2a 2＋b 2，x 1x 2＝a 2－a 2b 2a 2＋b 2. ∵OP ⊥OQ ，∴OP →·OQ →＝x 1x 2＋y 1y 2＝x 1x 2＋(x 1－1)(x 2－1)＝2x 1x 2－(x 1＋x 2)＋1＝0，∴2×a 2－a 2b 2a 2＋b 2－2a 2a 2＋b 2＋1＝0. 化为a 2＋b 2＝2a 2b 2.∴b 2＝a 22a 2－1. ∵椭圆的离心率e 满足33≤e ≤22， ∴13≤e 2≤12， ∴13≤a 2－b 2a 2≤12，13≤1－12a 2－1≤12， 化为5≤4a 2≤6，解得 5 ≤2a ≤ 6.满足Δ>0.∴椭圆长轴的取值范围是[5，6]．跟踪演练3(1)(2019·合肥质检)已知椭圆x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，右顶点为A，上顶点为B，以线段F1A为直径的圆交线段F1B的延长线于点P，若F2B∥AP，则该椭圆的离心率是()A.33 B.23 C.32 D.22答案 D解析因为点P在以线段F1A为直径的圆上，所以AP⊥PF1，又因为F2B∥AP，所以F2B⊥BF1，又因为|F2B|＝|BF1|，所以△F1F2B是等腰直角三角形，因为|OB|＝b，|OF2|＝c，所以b＝c，|F2B|2＝c2＋b2＝a2＝2c2，所以该椭圆的离心率e＝ca ＝22.(2)(2019·内江、眉山等六市模拟)设点P是抛物线C：y2＝4x上的动点，Q是C的准线上的动点，直线l过Q且与OQ(O为坐标原点)垂直，则点P到l的距离的最小值的取值范围是() A．(0,1) B．(0,1] C．[0,1]D．(0,2]答案 B解析 抛物线C 的准线方程是x ＝－1，若点Q 的坐标为(－1,0)，此时直线l 的方程为x ＝－1， 显然点P 到直线l 的距离的最小值是1，若点Q 的坐标为(－1，t )，其中t ≠0，则直线OQ 的斜率为k OQ ＝t －0－1－0＝－t ， 直线l 的斜率为k l ＝－1k OQ ＝1t， 直线l 的方程为y －t ＝1t(x ＋1)， 即x －ty ＋t 2＋1＝0，设与直线l 平行且与抛物线C 相切的直线方程为 x －ty ＋m ＝0，代入抛物线方程，得y 2－4ty ＋4m ＝0，所以Δ＝16t 2－16m ＝0，解得m ＝t 2，所以与直线l 平行且与抛物线C 相切的直线方程为 x －ty ＋t 2＝0，所以点P 到直线l 的距离的最小值为直线x －ty ＋t 2＋1＝0与直线x －ty ＋t 2＝0的距离，即d ＝|t 2＋1－t 2|12＋t 2＝11＋t 2， 因为t 2>0，所以0<d <1，综合两种情况可知点P 到直线l 的距离的最小值的取值范围是(0,1].真题体验1．(2018·全国Ⅱ，文，6)双曲线x2a2－y2b2＝1(a>0，b>0)的离心率为3，则其渐近线方程为()A ．y ＝±2xB ．y ＝±3xC ．y ＝±22xD ．y ＝±32x答案 A解析 双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1的渐近线方程为bx ±ay ＝0.又∵离心率ca＝a 2＋b 2a＝3， ∴a 2＋b 2＝3a 2，∴b ＝2a (a >0，b >0)． ∴渐近线方程为2ax ±ay ＝0，即y ＝±2x .2．(2018·全国Ⅱ，文，11)已知F 1，F 2是椭圆C 的两个焦点，P 是C 上的一点．若PF 1⊥PF 2，且∠PF 2F 1＝60°，则C 的离心率为( ) A ．1－32 B ．2－3 C.3－12D.3－1 答案 D解析 在Rt △PF 1F 2中，∠PF 2F 1＝60°，设椭圆的方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，且焦距|F 1F 2|＝2c ，则|PF 2|＝c ，|PF 1|＝3c ，由椭圆的定义，可知2a ＝(1＋3)c ， 所以离心率e ＝c a ＝21＋3＝3－1.3．(2019·全国Ⅱ，文，12)设F 为双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的右焦点，O 为坐标原点，以OF 为直径的圆与圆x 2＋y 2＝a 2交于P ，Q 两点．若|PQ |＝|OF |，则C 的离心率为( ) A. 2 B. 3 C ．2 D. 5 答案 A解析 如图，由题意知，以OF 为直径的圆的方程为⎝⎛⎭⎫x －c 22＋y 2＝c24①，将x 2＋y 2＝a 2记为②式，①－②得x ＝a 2c ，则以OF 为直径的圆与圆x 2＋y 2＝a 2的相交弦所在直线的方程为x ＝a 2c ，所以|PQ |＝2a 2－⎝⎛⎭⎫a 2c 2.由|PQ |＝|OF |，得2a 2－⎝⎛⎭⎫a 2c 2＝c ，整理得c 4－4a 2c 2＋4a 4＝0，即e 4－4e 2＋4＝0，解得e ＝2，故选A.押题预测1．双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的一条渐近线与直线x －2y ＋1＝0平行，则双曲线的离心率为( ) A. 5 B.52 C.32D. 3 答案 B解析 由双曲线的渐近线与直线x －2y ＋1＝0平行， 可得双曲线的渐近线的方程为y ＝12x ，即b a ＝12， 所以双曲线的离心率为 e ＝c a＝a 2＋b 2a 2＝1＋⎝⎛⎭⎫b a 2＝1＋14＝52. 2．已知抛物线C ：y 2＝2x ，过原点作两条互相垂直的直线分别交C 于A ，B 两点(A ，B 均不与坐标原点重合)，则抛物线的焦点F 到直线AB 距离的最大值为( ) A ．2 B ．3 C.32 D ．4答案 C解析 设A (2t 21，2t 1)，B (2t 22，2t 2)．由OA ⊥OB ，得2t 12t 21·2t 22t 22＝－1，得出t 1t 2＝－1.当直线AB 的斜率不存在时，2t 1＋2t 2＝0， 此时t 1＝－t 2，则AB 的方程为x ＝2，焦点F 到直线AB 的距离为2－12＝32，∵k AB ＝2t 1－2t 22t 21－2t 22＝1t 1＋t 2，得直线AB 的方程为y －2t 1＝1t 1＋t 2(x －2t 21)． 即x －(t 1＋t 2)y －2＝0. 令y ＝0，解得x ＝2. ∴直线AB 恒过定点D (2,0)．∴抛物线的焦点F 到直线AB 的距离小于32，综上，焦点F 到直线AB 距离的最大值为32.3．已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)，过原点的直线与双曲线交于A ，B 两点，以AB 为直径的圆恰好过双曲线的右焦点C ，若△ABC 的面积为2a 2，则双曲线的渐近线方程为( ) A ．y ＝±22xB ．y ＝±2xC ．y ＝±33xD ．y ＝±3x答案 B解析 ∵以AB 为直径的圆恰好经过双曲线的右焦点C ， ∴以AB 为直径的圆的方程为x 2＋y 2＝c 2，设B 点在第一象限，坐标为(x ，y )，且到x 轴的距离为h ， 由对称性知△ABC 的面积 S ＝2S △OBC ＝2×12ch ＝ch ＝2a 2，即h ＝2a 2c ，即B 点的纵坐标为y ＝2a 2c ，则由x 2＋⎝⎛⎭⎫2a 2c 2＝c 2，得x 2＝c 2－⎝⎛⎭⎫2a 2c 2＝c 2－4a 4c 2， 因为点B 在双曲线上，则c 2－4a 4c 2a 2－4a 4c 2b2＝1，即c 2a 2－4a 2c 2－4a 4c 2(c 2－a 2)＝1， 即c 2a 2－4a 2c 2⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋a 2c 2－a 2＝1， 即c 2a 2－4a 2c 2·c 2c 2－a 2＝1， 即c 2a 2－4a 2c 2－a 2＝1， 即c 2a 2－1＝4a 2c 2－a 2＝c 2－a 2a 2， 得4a 4＝(c 2－a 2)2，即2a 2＝c 2－a 2，得3a 2＝c 2，得c ＝3a ，b ＝2a . 则双曲线的渐近线方程为y ＝±bax ＝±2x .A 组 专题通关1．(2019·岳阳模拟)已知抛物线y 2＝－45x 的准线l 经过双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的一个焦点F ，且该双曲线的一条渐近线经过点P (1，－2)，则该双曲线的标准方程为( ) A.x 24－y 2＝1 B ．x 2－y 24＝1 C.x 24－y 22＝1 D.x 22－y 24＝1 答案 B解析 抛物线y 2＝－45x 的准线为x ＝5，所以，双曲线的焦点F (5，0)，即c ＝5， 双曲线的一条渐近线经过点P (1，－2)， 则－ba＝－2，再由c 2＝a 2＋b 2，可得a 2＝1，b 2＝4，c 2＝5， 因此所求的双曲线的标准方程为x 2－y 24＝1. 2．(2019·北京市海淀区模拟)抛物线W ：y 2＝4x 的焦点为F ，点A 在抛物线上，且点A 到直线x ＝－3的距离是线段AF 长度的2倍，则线段AF 的长度为( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 答案 B解析 依题意，得F (1,0)，抛物线的准线为x ＝－1， 线段AF 的长等于点A 到准线x ＝－1的距离， 因为点A 到直线x ＝－3的距离是线段AF 长度的2倍，所以点A 到直线x ＝－3的距离是点A 到准线x ＝－1的距离的2倍， 设A 点横坐标为x 0，则有x 0＋3＝2(x 0＋1)，解得x 0＝1， 所以|AF |＝1－(－1)＝2.3．(2019·江西九校联考)两个正数a ，b 的等差中项是5，等比中项是26，则双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(b >a >0)的离心率等于( ) A.133 B.132 C.32D ．2 答案 B解析 由题设知⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＝10，ab ＝24，a >0，b >0，b >a ，解得a ＝4，b ＝6，∴c ＝213，∴e ＝c a ＝132.4．(2019·邯郸模拟)位于德国东部萨克森州的莱科勃克桥(如图所示)有“仙境之桥”之称，它的桥形可以近似地看成抛物线，该桥的高度为5 m ，跨径为12 m ，则桥形对应的抛物线的焦点到准线的距离为( )A.2512 mB.256 mC.95 mD.185 m 答案 D解析 以桥顶为坐标原点，桥形的对称轴为y 轴建立直角坐标系xOy ，结合题意可知，该抛物线x 2＝－2py (p >0)经过点(6，－5)，则36＝10p ，解得p ＝185，故桥形对应的抛物线的焦点到准线的距离为p ＝185.5．(2019·天津市和平区质检)设双曲线mx 2＋ny 2＝1的一个焦点与抛物线y ＝18x 2的焦点相同，离心率为2，则抛物线的焦点到双曲线的一条渐近线的距离为( ) A ．2 B. 3 C ．2 2 D ．2 3 答案 B解析 ∵抛物线x 2＝8y 的焦点为(0,2)， ∴mx 2＋ny 2＝1的一个焦点为(0,2)， ∴焦点在y 轴上， ∴a 2＝1n ，b 2＝－1m，c ＝2.根据双曲线三个参数的关系得到4＝a 2＋b 2＝1n －1m ，又离心率为2，即41n＝4，解得n ＝1，m ＝－13，∴此双曲线的渐近线方程为y 2－x 23＝0，则双曲线的一条渐近线方程为x －3y ＝0，则抛物线的焦点(0,2)到双曲线的一条渐近线的距离为d ＝|23|1＋3＝ 3.6．设椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的焦点为F 1，F 2，P 是椭圆上一点，且∠F 1PF 2＝π3，若△F 1PF 2的外接圆和内切圆的半径分别为R ，r ，当R ＝4r 时，椭圆的离心率为( ) A.45 B.23 C.12 D.25 答案 B解析 椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的焦点为F 1(－c ,0)，F 2(c ,0)，P 为椭圆上一点，且∠F 1PF 2＝π3，|F 1F 2|＝2c ，根据正弦定理，得|F 1F 2|sin ∠F 1PF 2＝2csin π3＝2R ，∴R ＝233c ，∵R ＝4r ，∴r ＝36c ， 由余弦定理，得()2c 2＝|PF 1|2＋|PF 2|2－2|PF 1||PF 2|cos ∠F 1PF 2，由|PF 1|＋|PF 2|＝2a ，∠F 1PF 2＝π3，可得|PF 1||PF 2|＝43()a 2－c 2， 则由三角形面积公式12()|PF 1|＋|PF 2|＋|F 1F 2|·r ＝12|PF 1||PF 2|sin ∠F 1PF 2，可得()2a ＋2c ·36c ＝43()a 2－c 2·32，整理得3c 2＋ac －2a 2＝0， 即3e 2＋e －2＝0， ∵0<e <1，∴e ＝c a ＝23.7．(2019·六安联考)已知直线l ：x ＋y ＝3与x 轴，y 轴分别交于点A ，B ，点P 在椭圆x 22＋y2＝1上运动，则△P AB 面积的最大值为( ) A ．6 B.3(3＋2)2C.3(3－3)2D.3(3＋3)2答案 D解析 因为l ：x ＋y ＝3与x 轴，y 轴分别交于点A ，B ， 所以A (3,0)，B (0,3)，因此|AB |＝32， 又点P 在椭圆x 22＋y 2＝1上运动，所以可设P (2cos θ，sin θ)， 所以点P 到直线l 的距离为d ＝|2cos θ＋sin θ－3|2＝|3sin (θ＋φ)－3|2≤|－3－3|2＝3＋32(其中tan φ＝2)， 所以S △P AB ＝12|AB |d ≤3(3＋3)2.8．(2019·泸州模拟)双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，过F 1的直线与圆x 2＋y 2＝a 2相切，与C 的左、右两支分别交于点A ，B ，若|AB |＝|BF 2|，则C 的离心率为( ) A.5＋2 3 B ．5＋2 3 C. 3 D. 5答案 A解析 由双曲线的定义可得|BF 1|－|BF 2|＝2a ，|AB |＝|BF 2|，可得|AF 1|＝2a ， 则|AF 2|＝|AF 1|＋2a ＝4a ，cos ∠BF 1F 2＝c 2－a 2c＝|AF 1|2＋|F 1F 2|2－|AF 2|22|AF 1|·|F 1F 2|＝4a 2＋4c 2－16a 22·2a ·2c ，化简可得c 4－10a 2c 2＋13a 4＝0， 由e ＝ca 可得e 4－10e 2＋13＝0，解得e 2＝5＋23， 可得e ＝5＋2 3.9．(2019·广东省六校联考)设F 为抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点，斜率为k (k >0)的直线过F 交抛物线于A ，B 两点，若|F A |＝3|FB |，则直线AB 的斜率为( ) A.12 B ．1 C. 2 D.3 答案 D解析 假设A 在第一象限，过A ，B 分别向抛物线的准线作垂线，垂足分别为D ，E ， 过A 作EB 的垂线，垂足为C ，则四边形ADEC 为矩形， 由抛物线定义可知|AD |＝|AF |， |BE |＝|BF |， 又∵|F A |＝3|FB |，∴|AD |＝|CE |＝3|BE |，即B 为CE 的三等分点， 设|BF |＝m ，则|BC |＝2m ，|AF |＝3m ，|AB |＝4m ， 即|AC |＝|AB |2－|BC |2＝16m 2－4m 2＝12m ＝23m ，则tan ∠ABC ＝|AC ||BC |＝23m2m ＝3，即直线AB 的斜率k ＝ 3.10．已知抛物线C ：y 2＝4x 的焦点为F ，过点M (4,0)的直线与抛物线C 交于A ，B 两点，则△ABF 的面积的最小值为( ) A ．8 B ．12 C ．16 D ．24 答案 B解析 由题可设直线AB 的方程为x ＝my ＋4， 代入y 2＝4x ，消去x 可得y 2－4my －16＝0，Δ＝16m 2＋4×16>0，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 则y 1＋y 2＝4m ，y 1y 2＝－16， 所以△ABF 的面积S ＝12|MF |·|y 1－y 2|＝32(y 1＋y 2)2－4y 1y 2 ＝3216m 2＋64 ≥32×8＝12，所以△ABF 的面积的最小值为12.11．已知F 1，F 2分别是双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点，过点F 2的直线交双曲线C 的右支于P ，Q 两点，且(F 1P →＋F 1Q →)·PQ →＝0.过双曲线C 的右顶点作平行于双曲线C 的一条渐近线的直线l ，若直线l 交线段PQ 于点M ，且|QM |＝3|PM |，则双曲线C 的离心率e 等于( )A ．2 B. 3 C.53 D.32答案 C解析 因为(F 1P →＋F 1Q →)·PQ →＝0， 所以|PF 2|＝|QF 2|，F 1F 2⊥PQ .因为|QM |＝3|PM |，所以M 是线段PF 2的中点．又直线l 过双曲线C 的右顶点且平行于双曲线C 的一条渐近线，|PF 2|＝b 2a ，所以12·b 2ac －a ＝b a ，化简可得b ＝2(c －a )，所以c 2－a 2＝4(c －a )2， 所以3e 2－8e ＋5＝0，结合e >1解得e ＝53.12．已知A (3,0)，若点P 是抛物线y 2＝8x 上任意一点，点Q 是圆(x －2)2＋y 2＝1上任意一点，则|P A |2|PQ |的最小值为( ) A ．3 B ．43－4 C ．2 2 D ．4 答案 B解析 设P (x ，y )，由抛物线方程y 2＝8x ，可得抛物线的焦点坐标为F (2,0)， 由抛物线定义得|PF |＝x ＋2， 又|PQ |≤|PF |＋|QF | ＝|PF |＋1， 所以|P A |2|PQ | ≥|P A |2|PF |＋1＝(x －3)2＋8x x ＋3＝x 2＋2x ＋9x ＋3，当且仅当P ，Q ，F 三点共线时(F 点在PQ 之间)，等号成立， 令x ＋3＝t (t ≥3)，则x 2＋2x ＋9x ＋3＝(t －3)2＋2(t －3)＋9t ＝t ＋12t －4≥2t ×12t－4＝43－4，当且仅当t ＝23，即x ＝23－3时，等号成立．13．(2019·全国Ⅲ)设F 1，F 2为椭圆C ：x 236＋y 220＝1的两个焦点，M 为C 上一点且在第一象限．若△MF 1F 2为等腰三角形，则M 的坐标为________． 答案 (3，15)解析 不妨令F 1，F 2分别为椭圆C 的左、右焦点，根据题意可知c ＝36－20＝4.因为△MF 1F 2为等腰三角形，所以易知|F 1M |＝2c ＝8，所以|F 2M |＝2a －8＝4.设M (x ，y )，则⎩⎪⎨⎪⎧x 236＋y 220＝1，|F 1M |2＝(x ＋4)2＋y 2＝64，x >0，y >0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，y ＝15， 所以M 的坐标为(3，15)．14．(2019·北京市海淀区模拟)已知椭圆C 1：x 24＋y 2＝1和双曲线C 2：x 2m 2－y 2＝1(m >0)．经过C 1的左顶点A 和上顶点B 的直线与C 2的渐近线在第一象限的交点为P ，且|AB |＝|BP |，则椭圆C 1的离心率e 1＝________；双曲线C 2的离心率e 2＝________. 答案322解析 椭圆中a ＝2，b ＝1， 所以c ＝3，离心率为e 1＝32， A (－2,0)，B (0,1)，直线AB 的方程为y ＝12x ＋1，因为|AB |＝|BP |，所以B 为AP 的中点，设P (x ，y )， 则⎩⎪⎨⎪⎧x －22＝0，0＋y 2＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝2，即P (2,2)，双曲线的渐近线为y ＝1m x ，点P 在渐近线上，所以2＝1m ×2，所以m ＝1，双曲线中a ＝1，b ＝1，所以c ＝2， 离心率为e 2＝ 2.15．(2019·济南模拟)设F 1，F 2分别是椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点，B 为椭圆的下顶点，P 为过点F 1，F 2，B 的圆与椭圆C 的一个交点，且PF 1⊥F 1F 2，则ba的值为________．答案5－12解析 设过F 1，F 2，B 三点的圆的圆心为M ， ∵PF 1⊥F 1F 2，∴ PF 1是通径的一半，|PF 1|＝b 2a ，∵PF 1是圆M 中的一条弦，∴根据圆的对称性可知圆心的坐标M ⎝⎛⎭⎫0，b22a ， ∵|MB |2＝|MF 1|2＝R 2，∴⎝⎛⎭⎫b 22a 2＋c 2＝⎝⎛⎭⎫b 22a ＋b 2，整理得ac 2＝b 3＋ab 2，∵c 2＝a 2－b 2，∴a (a 2－b 2)＝b 3＋ab 2， 整理得b 2＋ab －a 2＝0， ∴⎝⎛⎭⎫b a 2＋b a －1＝0， 解得b a ＝5－12(舍去负根)．16．(2019·山东师范大学附属中学模拟)已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)右支上非顶点的一点A 关于原点O 的对称点为B ，F 为其右焦点，若AF ⊥FB ，设∠ABF ＝θ，且θ∈⎝⎛⎭⎫π12，π4，则双曲线C 的离心率的取值范围是________． 答案 (2，＋∞)解析 设双曲线的左焦点为F ′，连接AF ′，BF ′， AF ⊥FB ，可得四边形AFBF ′为矩形， 设|AF |＝m ，|BF |＝n ，即有|AF ′|＝|BF |＝n ， 且m 2＋n 2＝4c 2，n －m ＝2a ， tan θ＝m n，e 2＝c 2a 2＝4c24a 2＝m 2＋n 2m 2－2mn ＋n 2＝11－2mn m 2＋n 2＝11－2m n ＋n m＝11－2tan θ＋1tan θ，由θ∈⎝⎛⎭⎫π12，π4，可得t ＝tan θ∈(2－3，1)， 则t ＋1t ∈(2,4)，可得2t ＋1t ∈⎝⎛⎭⎫12，1， 即有1－2t ＋1t ∈⎝⎛⎭⎫0，12， 则11－2tan θ＋1tan θ∈(2，＋∞)，即有e ∈(2，＋∞)．B 组 能力提高17．(2019·河南省十所名校联考)设双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的右焦点为F ，O 为坐标原点，若双曲线及其渐近线上各存在一点Q ，P ，使得四边形OPFQ 为矩形，则其离心率为( )A. 3 B ．2 C. 5 D. 6 答案 A解析 依据题意作出图象，其中四边形OPFQ 为矩形，双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的渐近线方程为y ＝±ba x ，所以直线OQ 的方程为y ＝a b x ，直线QF 的方程为 y ＝－ba(x －c )，联立直线QF 与直线OQ 的方程可得⎩⎨⎧y ＝－ba(x －c )，y ＝a b x ，解得⎩⎨⎧x ＝b 2c，y ＝abc ，所以点Q 的坐标为⎝⎛⎭⎫b 2c ，ab c ，又点Q 在双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)上，所以⎝⎛⎭⎫b 2c 2a2－⎝⎛⎭⎫ab c 2b2＝1，整理得c 2＝3a 2，所以e ＝ca ＝c 2a 2＝ 3. 18．(2019·宜宾模拟)已知直线l 过点M (0,3)，l 与抛物线y ＝x 2交于E ，F 两点，当l 不与y 轴垂直时，在y 轴上存在一点P (0，t )，使得△PEF 的内心在y 轴上，则实数t ＝________. 答案 －3解析 设直线l ：y ＝kx ＋3(k ≠0)， 代入y ＝x 2并整理得x 2－kx －3＝0， 设E (x 1，y 1)，F (x 2，y 2)， 则x 1＋x 2＝k ≠0，x 1x 2＝－3， 设内心I (0，m )，k PE ＝y 1－t x 1＝x 21－t x 1，直线PE ：y ＝x 21－t x 1x ＋t ，内心I 到直线PE 的距离d 1＝|－m ＋t |⎝ ⎛⎭⎪⎫x 21－t x 12＋1，同理可得内心I 到直线PF 的距离d 2＝|－m ＋t |⎝ ⎛⎭⎪⎫x 22－t x 22＋1，依题意d 1＝d 2，即|－m ＋t |⎝ ⎛⎭⎪⎫x 21－t x 12＋1＝|－m ＋t |⎝ ⎛⎭⎪⎫x 22－t x 22＋1，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫x 21－t x 12＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x 22－t x 22，∴x 21－t x 1＝－x 22－t x 2， ∴x 1－t x 1＋x 2－tx 2＝0，(x 1＋x 2)－t (x 1＋x 2)x 1x 2＝0，∵x 1＋x 2＝k ≠0，∴1－t x 1x 2＝0，∴1－t－3＝0，∴t ＝－3.。