必修5课件 1.1.1 正弦定理

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人教A版高中数学必修五课件1.1.1正弦定理

解析：(1)∵a＝7，b＝8，∴a＜b，A＜B. 又∵A＝105°＞90°，∴三角形无解．
(2)由正弦定理得：sin B＝bsian A＝20·s1in0 60°＝ 3＞1， ∴三角形无解．
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(3)由正弦定理得：
sin
B＝bsicn
C＝10·sin 60°＝ 56
22，
∴B＝45°或135°，又∵b＜c，
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题型3 判定三角形的形状
例3 在△ABC中，已知acos B＝bcos A，判断△ABC的形状．
解析：由正弦定理可知：sina A＝sinb B＝2R，所以a＝2Rsin A，b＝2Rsin B，R为△ABC外接圆半径．依题意acos B＝bcos A， ∴2Rsin Acos B＝2Rsin Bcos A，得sin Acos B－sin Bcos A＝0，即sin (A－B)＝0，所以A－B＝0，即A＝B，所以△ABC为等腰三角形．
∴△ABC为等腰直角三角形．
A为锐角
图形
A为钝角或直角
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关系式解的个
数
①a＝bsin A ②a≥b
b sin A a b
一解
两解
a＜bsin A 无解
a＞b 一解
a≤b 无解
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跟踪训练
2．已知在△ABC中，a＝ 3 ，b＝ 2 ，B＝45°，解这
个三角形．
解析：由正弦定理得sin3A＝sin 425°，sin A＝ 23，A＝60°或 120°.
答案：(1)大于
(2)解析：由3＋4＞x,4＋x＞3，x＋3＞4，可知1＜x＜7.
答案：1<x<7
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7．在△ABC中，已知A＝60°，sin B＝，则角B的大小为 ______．

高中数学1.1.1正弦定理课件5新人教A必修5.ppt

sin a；A
b
c
b
b
sinB= c ，c = sin ；B
C
a
B
c
c
sinC= c ，c = sin ；C
课堂引入：
Rt△ABC中，∠A、∠B、∠C 所b
？C
B
你能够得到什么结论？ a
课堂引入：
• 结论：在Rt△ABC中，∠A、∠B、∠C所对的三边长分别为a，b，c，则有：
角时，我们求解时会出现三种不同的结果，这是为什么呢？
？什么情况下会有两解、一解或者是
无解的情况呢？
定理应用：
已知a, b和A, 用正弦定理求B时的各种情况：
定理应用：
已知a, b和A, 用正弦定理求B时的各种情况： ⑴若A为锐角时：
a bsinA 无解
（大边对大角）
a bsinA 一解(直角)
“向量法”
定理证明：
• 如图所示，∠Ａ＝∠Ｄ
C
a a CD 2R siA n siD n
b
a
O
B
∴ sianAsibnBs=ic2nC R
A
（R为外接圆半径）
c
D
“外接圆法”
正弦定理：
在三角形ABC， ∠A、∠B、∠C所对的三边长分别为a，b，c，则有：
a b c 2R sinA sinB siC n
2．理论上正弦定理可解决两类问题：
⑴两角和任意一边，求其它两边和一角； ⑵两边和其中一边对角，求另一边的对角，进而可求其它的边和角．
定理应用：
从理论上正弦定理可解决两类问题： ①．已知两角和任意一边，求其它两边和一角； ②．已知两边和其中一边对角，求另一边的对角，进而可求其它的边和角。

高中数学必修五1.1正弦定理和余弦定理课件 (共34张PPT)

两种途径根据所给条件确定三角形的形状，主要有两种途径： (1)化边为角；(2)化角为边，并常用正弦(余弦)定理实施边、角转换．
双基自测 1．(人教A版教材习题改编)在△ABC中，A＝60° ，B＝75° ，a ＝10，则c等于( A．5 2 10 6 C. 3 )． B．10 2 D．5 6
a 解析由A＋B＋C＝180° ，知C＝45° ，由正弦定理得： sin A ＝ c 10 c 10 6 sin C，即 3＝ 2.∴c＝ 3 . 2 2 答案 C
sin A cos B 2．在△ABC 中，若 a ＝ b ，则 B 的值为( A．30° 解析 B．45° C．60° D．90°
4．已知两边和其中一边的对角，解三角形时，注意解的情况．如已知 a，b，A，则 A 为锐角图形 A 为钝角或直角
关系式解的个数
a＜b sin A a＝bsin A
bsin A＜a＜ b 两解
a≥b a＞b a≤b
无解
一解
一解一解无解
一条规律在三角形中，大角对大边，大边对大角；大角的正弦值也较大，正弦值较大的角也较大，即在△ABC 中，A＞B⇔a＞b⇔sin A ＞sin B. 两类问题在解三角形时，正弦定理可解决两类问题：(1)已知两角及任一边，求其它边或角； (2) 已知两边及一边的对角，求其它边或角．情况(2)中结果可能有一解、两解、无解，应注意区分．余弦定理可解决两类问题：(1)已知两边及夹角求第三边和其他两角；(2)已知三边，求各角．
正弦定理和余弦定理
基础梳理 a b c 1．正弦定理：sin A＝sin B＝sin C＝2R，其中 R 是三角形外接圆的半径．由正弦定理可以变形为： (1)a∶b∶c＝sin A∶sin B∶sin C； (2)a＝ 2Rsin A ，b＝ 2Rsin B ，c＝ 2Rsin C ； a b c (3)sin A＝2R，sin B＝2R，sin C＝2R等形式，以解决不同的三角形问题．

《1.1.1 正弦定理》课件 7-优质公开课-人教A版必修5精品

[通一类] 1． [例题多维思考] 若本题条件“(a2＋c2－b2)· tan B＝ 3 3 2 ac”改为“S△ABC＝ (b －a2－c2)”，其他不变，结果 12 如何？
3 2 1 2 2 解：∵S△ABC＝ (b －a －c )＝ ac· sin B， 12 2 ∴a2＋c2－b2＝－2 3ac· sin B. a2＋c2－b2 －2 3ac· sin B ∴cos B＝＝＝－ 3sin B. 2ac 2ac sin B 3 ∴ ＝－ . cos B 3 3 即 tan B＝－ . 3 ∵0<B<π， 5 ∴B＝ π. 6
2 2 2 2 2
∴c＝4.
(2)∵a∶b∶c＝1∶ 3∶2，可设 a＝x，b＝ 3x，c＝2x，由余弦定理得： b2＋c2－a2 3x2＋4x2－x2 3 cos A＝＝＝ . 2bc 2 2· 3x· 2x π ∵0<A<π，∴A＝ . 6 π 同理可求得 B＝ . 3 π ∴C＝π－(A＋B)＝ . 2
《1.1.1 正弦定理》课件 7
[读教材· 填要点]
余弦定理
语言三角形任何一边的平方等于其他两边平方的和叙述减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍公式 a2＝ b2＋c2－2bccos A
2 2 b2＝ a ＋c －2accos B 表达 2＋b2－2abcos C a 2 c＝
b2＋c2－a2 cos A＝ 2bc
a b c [自主解答] (1)由正弦定理，设＝＝＝ k， sin A sin B sin C 2c－a 2ksin C－ksin A 2sin C－sin A 则 b ＝＝， ksin B sin B cos A－2cos C 2sin C－sin A ＝ . cos B sin B

人教A版数学必修五1.1.1 正弦定理课件.ppt

A 60°
第二十二页，编辑于星期日：四点十三分。
总结
条件
图形
解的个数
a<bsinA
C
AD
无解
a=bsinA bsinA<a<b ab C
C
D A B2 B1
C
AB
AD B
一解两解一解
ab C
A
无解
a>b
C AB
一解
第二十三页，编辑于星期日：四点十三分。
第二十四页，编辑于星期日：四点十三分。
abc sin A sin B sin C
k
那么这个k值是什么呢?你能用一个和三角形有
关的量来表示吗?
作业： P10
2
第二十页，编辑于星期日：四点十三分。
在例 2 中，将已知条件改为以下几种情况，不计算判
断有几组解？
（1） b＝20，A＝60°，a＝20 3 ;
C
（2°） b＝20，A＝60°，a＝10 3 ;
C=124.30, c a sin C 49.57
sin A
sin 25.7 13 30
小结:已知两边和其中一边的对角，可以求出
三角形的其他的边和角。
第十六页，编辑于星期日：四点十三分。
1.1.1 正弦定理
4.基础练习题
(1)在ABC中，已知 A 450, a 2,b 2,求B
B=300
j AC CB j AB
j AC j CB j AB
（根据向量的数量积的定义）
j AC cos 90 j CB cos(90 C )
j AB cos(90 A) 即a sin C c sin A a c sin A sin C

高中数学人教A版必修五课件1.1.1 正弦定理2

提示:这个比值恰好等于该三角形外接圆的直径.
4.推论:设

R 是△ABC 外接圆的半径,则sin
=

sin
=

=2R.
sin
课前篇自主预习
5.做一做:
(1)判断正误.
①正弦定理只适用于锐角三角形和钝角三角形,不适用于直角三
角形. (
)
②在△ABC中,一定有asin A=bsin B=csin C. (
①a>b,一个解;
探究三
核心要点
当堂检测
课堂篇探究学习
探究一
探究二
探究三
核心要点
当堂检测
②a≤b,无解.
求解该类问题时,一般先判断角为锐角、钝角还是直角,然后借助
边之间的关系进行判断.
课堂篇探究学习
探究一
探究二
探究三
核心要点
当堂检测
变式训练已知△ABC中,B=45°,a=1,若△ABC仅有一解,则b∈(
)
答案:①× ②×
sin
=
sin
(2)①在△ABC 中,若 a=4b,则

;
②在△ABC 中,若sin = cos,则角 C=

sin

.
4
解析:①因为sin = sin,所以sin = = =4.

②因为sin = sin,又因为sin = cos,
所以 sin C=cos C,所以 C=45°.
典例满足条件a=4,b=3 √2 ,A=45°的三角形的个数是(
)
A.1个
B.2个
C.无数个
D.不存在
分析:先求出bsin A的值,然后与a,b比较,可以判断解的个数.

人教版高中数学必修五《1.1.1正弦定理(一)》课件

自主解答：A＝180°－(60°＋45°)＝75°，
b＝as·isninAB＝10× sins7i5n6°0°＝1406×＋
3 22＝5(3 4
2－
6)，
c＝as·isninAC＝106×＋
2 22＝习1．已知△ABC中，A＝30°，B＝45°,
b＝ 2 ，则 a＝（ B ） 1
的取值范围是

0,
3

若A 是最大角，则A
的取值范围是
3
,

2.在△ABC中，A,B,C的对边分别为 a, b, c 则
(1)
a bc sin A sin B sin C
(2) a : b : c＝ sinA∶sinB∶sinC
3.解三角形：一般地，已知三角形的某些边和角，求其他的__边__和__角____
如
a＝
bsinA； sinB
②已知三角形的任意两边与其中一边的对角可以求其他角
的正弦值，如 sinA＝absinB.
三.利用正弦定理求三角形的边和角
题型一:已知两角及一边解三角形例1 ：在△ ABC 中，已知 a＝10，B＝60°，C＝45°，求 A，b，c.
思维突破：已知两角及一边，可直接用正弦定理及三角形内角和定理得到.
思考：你还会用其它方法证明吗？
正弦定理内容： a b c 2R sin A sin B sin C
合作探究1：
1．正弦定理对任意三角形都适合吗？
都适用。
2．用正弦定理解三角形需要多少个已知条件？哪几个？三个，任意两角及一边或任意两边与其中一边的对角。
3．正弦定理的基本作用是什么？
①已知三角形的任意两角及其一边可以求其他边与角，

高中数学苏教版必修五《1.1正弦定理》课件

6
单击此处编辑母版标题样式
• 单击此例处编2辑母版文本样式 • 第二级 • 第根三据级下列条件解三角形： • 第四级（1）• b第=五4级0,c=20,C=25 （2）a=15,b=20,A=108
7
单击此处编辑母版标题样式
• 单•击第此二练处级编习辑：母版文本样式
• 第三级
（• 第口四答级）一个三角形的两角分别是 30 和45 ，若角45 所对边 • 第五级
3
单正击弦此定处理编辑母版标题样式
• 单击此处编辑母版文本样式
• 第二级
• 第三级
abc sin A sin B sin C
• 第四级
• 第五级
你能证明吗？
4
单击此处编辑母版标题样式
利用正弦定理，可以解决以下两类解斜 • 单三击角此形处编的辑问母题版文：本样式
• 第二级
（1）•已第知三级两角与任一边，求其他两边和一角（两角夹一边需要先 • 第四级用三角形•内第角五级和定理求出第三角，再使用正弦定理）；
（2）已知两边和其中一边的对角，求另一边的对角（从而进一步求出其他的边和角）．
5
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• 单击此例处编1辑母版文本样式
• 第•二第在级三级ABC中，（1•）第已四• 级第知五级a 16,b 26, A 30，求B,C, c （2）已知a 16,b 26, A 30，求B,C, c．
的长为8，那么角 30 所对边的长是
.
8
单击此处编辑母版标题样式
• 单•击第此二处级练编习辑母版文本样式
• 第•在三第级四A级BC中：（1）• 已第五知级A=75 , B 45 , c 3 2, 求C, b．（2）已知A=30 , B 120 ,b 12,求a, c．

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当A为锐角
当A为直角或钝角
我舰在敌岛A南50西相距12 nmile的B处，发现敌舰正由岛沿北 10西的方向以10nmile/h的速度航行，问：我舰需要以多大速度，沿什么方向航行才能用2小时追上敌舰？即追击速度为14mile/h
AC BC 又：∵△ABC中，由正弦定理： sin B sin A
AC
2.找 j 与 AB 、AC 、的夹角 CB
3。利用等式
AC + CB = AB ，与 j 作内积
比值的意义：三角形外接圆的直径2R
注意：（1）正弦定理适合于任何三角形。
a b c （2）可以证明 = = =2R（R为△ABC外接圆半径） sin A sin B sin C
（3）每个等式可视为一个方程：知三求一
ABC中，c 10, A 45 0 , C 30 0 , 求a, b和B 例1、已知在
例2、在 ABC中，b
3, B 60 0 , c 1, 求a和A, C
例3、ABC中，c
6 , A 45 0 , a 2, 求b和B, C
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
解三角形时，注意大边对大角
小结：1。正弦定理可以用于解决已知两角和一边求另两边和一角的问题。 2。正弦定理也可用于解决已知两边及一边的对角，求其他边和角的问题。 3。正弦定理及应用于解决两类问题，注意多解情况。注意： ABC中，已知a, b和A时解三角形的情况：在
人教版必修五
第一章
解三角形
1.1.1 正弦定理
正弦定理证明一（传统证法）在任意斜△ABC当中：
1 1 1 ab sin C ac sin B bc sin A S△ABC= 2 2 2 1 b a c abc 两边同除以即得： = = 2 sin C ， sin A sin B
用向量证明：1.过A作单位向量 j 垂直于
∴ sin B
AC sin A 5 3 BC 14
B 我舰航行方向为北东 arcsin
5 3 5 3 (50 arcsin ) 14 14