圆与扇形题型归类

圆与扇形题型归类 Company number：【WTUT-WT88Y-W8BBGB-BWYTT-19998】
圆与扇形
——公式与割补
内容提要
本讲主要讲解与圆和扇形有关的概念，及周长、面积公式等．下面我们来说说这方面的基础知识．
圆是我们在生活中经常见到的图形，它也是最完美的平面图形：有无数条通过圆心的对称轴，绕圆心旋转任何角度还保持原状．而且，所有的平面图形在周长相同的情况下，圆的面积是最大的．
我们知道，圆的周长和直径的比值是一个固定不变的数，这正是圆周率，用π表示．另外，一般把直径记作d，半径记作r，如图1所示．
如图3，由组成圆心角的两条半径和圆心角所对的弧所围成的图形叫扇形．它是圆的一部分，所以关于扇形的各种计算可以应用圆里面的结论．图1
扇形的圆心角为n °时，它的弧长和面积应该分别是圆周长和圆面积的360
n ． 我们先来熟悉一下这些公式．
练习：
1. 半径是2的圆的面积和周长分别是多少
2.
3.
4. 直径是5的圆的面积和周长分别是多少
5.
6.
7. 周长是10π的圆的面积是多少
8.
9.
10. 面积是9π的圆的周长是多少
11.
12.
n °
r
图3
例题
一、基本公式运用
例题1.已知扇形的圆心角为120°，半径为2，则这个扇形的面积和周长各是多少（圆周率按计算）
例题2.已知扇形面积为平方厘米，圆心角为60°，则这个扇形的半径和周长各是多少（圆周率按计算）
60°
例题3.
例题4.
随堂练习：
1.已知一个扇形的弧长为厘米，圆心角为45，这个扇形的半径和周长各是多少
2.
3.
4.扇形的面积是平方厘米,它所在圆的面积是157平方厘米,这个扇形的圆心角是多少
5.
6.如图，直角三角形ABC的面积是45，分别以B，C为圆心，3为半径画
圆．已知图中阴影部分的面积是．请问：角A是多少度（π取）
7.
二、 圆中方，方中圆
8. 如图，左下图和右下图中的正方形边长都是2，那么大圆、小圆的面积分别为________、________．
9.
10.
随堂练习：
1. 已知外面大圆的半径是4，里面小圆的面积是多少（答案用π表示）
2.
二、割补法
11.
求下列各图中阴影部分的面积（图中长度单位为厘米，圆周率按计算）：
2
随堂练习：
7
（1）（2）
4
求下列各图中阴影部分的面积（图中长度单位为厘米，圆周率按计算）：
2
（2）
（3）
（4）
（5）
（6）
（7）
（8）
（9）
（10）
12. 已知图中正方形的边长为2，分别以其四个顶点为圆心的直角扇形恰好
交于正方形中心，那么图中阴影部分的面积为
________．（答案用 表示）
13.
14.
15.
16. 根据图中所给数值，求下面图形的外周长和总
面积分别是多少（π取）
17.
作业：
1. 半径为4厘米的圆的周长是________厘米，面积是________
平方厘米；
2.
3.半径为4厘米，圆心角为90︒的扇形周长是________厘米，面积是________平方厘
米．（π取）
5.家里来客人了，淘气到超市买了4瓶啤酒，售货员阿姨将4瓶啤酒捆扎在一
起（如下图所示），捆4圈至少要用绳子________厘米．（π取，接头处忽
略不计）
6.求下列各图中阴影部分的面积（图中长度单位为厘米，圆周率按计算）：
7. （1） （2）
8.
9. 10. 下列图形中的正方形的边长为2，则下图中各个阴影部分面积的大小分别为______、
______．（π取）
11.
12. 用一块面积为36π平方厘米的圆形铝板下料，从中裁出了7个
同样大小的圆铝板．问：所余下的边角料的总面积是多少平方
厘米
圆与扇形
旋转与重叠
知识总结：
学习如何利用割补法和包含排除的思想计算图形中特定部分的面积；学会分析几何图形的运动过程，并由此得出点的轨迹和图形扫过的区域．
例题：
10
一、 重叠问题
例题1.下图中甲区域比乙区域的面积大57平方厘米，且半圆的半径是10厘米，
例题2.
例题3.，一个以AB 为直径的半圆，和一个以BC 为半径的扇形．已知10AB BC ==厘米．图中阴影部分的面积为多少平方厘米（π取）
例题4.
1. 如图17-13，以AB 为直径做半圆，三角形ABC 是直角三角形，阴影部分①比阴影部
分②的面积小28平方厘米，AB 长40厘米．求BC
的长度．（取．） 2. 3.
4. 5.
6.
A
B B
例题5.如图，直角三角形的两条直角边分别为3和5，分别以三条边做了3个半圆（直角顶点在以斜边为直径的半圆上），那么阴影部分的面积为______．
例题6.
例题7.
例题8.
例题9.图1是一个直径是3厘米的半圆，AB是直径．如图2所示，让A点不动，把整个半圆逆时针转60°，此时B点移动到C点．请问：图中阴影部分的
面积是多少平方厘米（π取）
图
1 A B
60
图2
C
例题11.
例题12.
例题13.
二、 动态扫面积问题
例题14.如图，正方形ABCD 边长为1厘米，依次以A 、B 、C 、D 为圆心，以
AD 、BE 、CF 、DG 为半径画出四个直角扇形，那么阴影部分的面积为________
平方厘米．（ 取） 例题15.
例题16.
例题17.
例题18.
例题19.
例题20.
例题21.
例题22.
例题23.
例题24.如图所示，以等边三角形的B 、C 、A 三点分别为圆心，分别以AB 、CD 、AE 为半径画弧，这样形成的曲线ADEF 被称为正三角形ABC 的渐开线，如果正三角形ABC 的边长为3厘米，那么此渐开线的长度为多少厘米，图中I 、II 、III 三部分的面积之和是多少平方厘米
例题25.
例题26.
例题27.
三、运动圆扫面积
例题28.图中正方形的边长是4厘米，而圆环的半径是1厘米．当圆环绕正方形无滑动地滚动一周又回到原来位置时，其扫过的面积有多大（π取）
例题29.
例题30.
随堂练习
1.图中长方形的长是10厘米，宽是4厘米，而圆环的半径是1厘米．当圆环绕正方形无
滑动地滚动一周又回到原来位置时，其扫过的面积有多大（π取）
2.
例题31.图中等边三角形的边长是3厘米，而圆环的半径是1厘米．当圆环绕等边三角形无滑动地滚动一周又回到原来位置时，其扫过的面积有多大（π取）
例题32.
例题33.
例题34.
例题35. 思考题
如图所示，一只小狗被拴在一个边长为4米的正五边形的建筑物的一个顶点处，四周都是空地．绳长刚好够小狗走到建筑物外墙边的任一位置．小狗的活动范围是多少平方米（建筑外墙不可逾越，小狗身长忽略不计，π取3）
作业：
1. 图17-14由一个长方形与两个90角的扇形构成，其中阴影部分的面积是_______平
方厘米．（取．）
2.
3. 4. 图中有一个矩形和两个半径分别为5和2的直角扇形，那么两个阴影部分的面积相
差为_______．（π取）
5.
6. 如图，直角三角形的两条直角边长分别是
10cm 和6cm ，分别以直角边为
直径作出两个半圆，这两个半圆的交点恰好落在斜边上，那么阴影部分的面积是_______cm
2．（取）
图17-14 狗
7. （1730）
8.
9. 图1是一个直径是3厘米的半圆，AB 是直径．如图2所示，让A 点不
动，把整个半圆逆时针转60°，此时B 点移动到C 点．请问：图中阴影部分的面积是_______平方厘米（π取）
6
图
1 A B
C 40
图2
C
11.图中正方形的边长是6厘米，而圆环的半径是1厘米．当圆环绕正方形
无滑动地滚动一周又回到原来位置时，其扫过的面积有______．（π取）
12.
13.图中等边三角形的边长是5厘米，圆形的半径是1厘米．当圆形绕等边
三角形滚动一周又回到原来位置时，扫过的面积有________．（π取）
14.。