lecture4推理的形式结构

一、有效推理 数理逻辑的主要任务是用数学的方法来研究数学中的推理。
所谓推理是指从前提出发推出结论的思维过程，而前提是已 知命题公式集合，结论是从前提出发应用推理规则推出的命 题公式。要研究推理就应该给出推理的形式结构，为此，首 先应该明确什么样的推理是有效的或正确的。
定义3.1 设A1,A2,…,Ak和B都是命题公式，若对于A1,A2,…,Ak 和B中出现的命题变项的任意一组赋值，或者A1∧A2 ∧…∧Ak为假，或者当A1∧A2 ∧…∧Ak为真时，B也为真， 则称由前提A1,A2,…,Ak推出B的推理是有效的或正确的，并 称B是有效结论。
① ┐p∨q 前提引入 ② p→q ①置换 ③ r∨┐q 前提引入 ④ q→r ③置换 ⑤ p→r ②④假言三段论 ⑥ r→s 前提引入 ⑦ p→s ⑤⑥假言三段论
从最后一步可知推理正确，p→s是有效结论。
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例3.4 在自然推理系统P中构造下面推理的证明：
若数a是实数，则它不是有理数就是无理数；若a不能表示 成分数，则它不是有理数；a是实数且它不能表示成分数。所 以a是无理数。
定义3.2 一个形式系统I由下面四个部分组成：
（1） 非空的字符表集，记作A(I)。 （2） A(I)中符号构造的合式公式集，记作E(I)。 （3） E(I)中一些特殊的公式组成的公理集，记作AX(I)。
（4） 推理规则集，记作R(I)。
可以将I记为<A(I),E(I),AX(I),R(I)>.其中<A(I),E(I)>是I的形式 语言系统，<AX(I),R(I)>为I的形式演算系统。
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P是一个自然推理系统，因而没有公理。故P只有三个部分。 定义3.3 自然推理系统P定义如下：
1．字母表 （1） 命题变项符号：p，q，r，…,pi，qi，ri，… （2） 联结词符号：┐,∧,∨,→, ↔ （3） 括号和逗号：( , )，，
2．合式公式
3．推理规则 （1） 前提引入规则：在证明的任何步骤上都可以引入前提。 （2） 结论引入规则：在证明的任何步骤上所得到的结论都 可以作为后继证明的前提。 （3） 置换规则：在证明的任何步骤上，命题公式中的子公 式都可以用与之等值的公式置换，得到公式序列中的又一个公 式。
2．设A1,A2,…,Ak，B中共出现n个命题变项，对于任何一组 赋值α1,α2,…,αn(αi =0或者1，i=1,2,…,n)，前提和结论的取值 情况有以下四种：
(1) A1∧A2 ∧…∧Ak为0，B为0. (2) A1∧A2 ∧…∧Ak为0，B为1. (3) A1∧A2 ∧…∧Ak为1，B为0. (4) A1∧A2 ∧…∧Ak为1，B为1.
假言三段论
7．(A ↔ B)∧(B ↔ C)=>(A ↔ C)
等价三段论
8．(A→B)∧(C→D)∧(A∨C)=>(B∨D) 构造性二难 (A→B)∧(┐A→B)∧(A∨┐A)=>B 构造性二难 (特殊形式)
9．(A→B)∧(C→D)∧(┐B∨┐D)=>(┐A∨┐C)
破坏性二难
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3.2 自然推理系统 P
推出结论。当然此结论也为P中公式。
例3.3 在自然推理系统P中构造下面推理的证明：
(1)前提：p∨q,q→r,p→s,┐s 结论：r∧(p∨q)
(2)前提：┐p∨q, r∨┐q ,r→s 结论：p→s
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(1)前提：p∨q,q→r,p→s,┐s 结论：r∧(p∨q)
解 (1)证明：
① p→s
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若A→B为重言式，则称B为A的推论，记为A=>B，下面是 几个重要的重言蕴涵式及其名称
1．A=>(A∨B) 2．(A∧B)=>A 3．(A→B)∧A=>B 4．(A→B)∧┐B=>┐A
附加律 化简律
假言推理 拒取式
5．(A∨B)∧┐B=>A
析取三段论
6．(A→B)∧(B→C)=>(A→C)
形式系统一般分为两类。一类是自然推理系统，它的特点是
从任意给定的前提出发，应用系统中的推理规则进行推理演
算，得到的最后命题公式是推理的结论（有时称为有效的结
论，它可能是重言式，也可能不是）。
另一类是公理推理系统，它只能从若干给定的公理出发，应
用系统中推理规则进行推理演算，得到的结论是系统中的重
言式，称为系统中的定理。 整理ppt
3．由以上的讨论可知，推理正确，并不能保证结论B一定
为真，这与数学中的推理是不整同理的ppt 。
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定理3.1 命题公式A1,A2,…,Ak推B的推理正确当且仅当 (A1∧A2∧…∧Ak )→B
为重言式。
于是，推理正确 {A1,A2,…,Ak }|=B
可记为 A1∧A2∧…∧Ak =>B
其中=>同<=>一样是一种元语言符号，用来表示蕴涵式为重 言式。
（6） 化简规则：
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（7） 拒取式规则： （8） 假言三段论规则： （9） 析取三难推理： （11） 破坏性二难推理规则：
（12） 合取引入规则：
这就完成了P的定义。
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三、P中的证明 P中的证明就是由一组P中公式作为前提，利用P中的规则，
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由九条推理定律和结论引入规则还可以导出以下各条推理定律
（4） 假言推理规则（或称分离规则）：若证明的公式序列 中已出现过A→B和A，则由假言推理定律(A→B)∧AB可知，B 是A→B和A的有效结论。由结论引入规则可知，可将B引入到 命题序列中来。用图式表示为如下形式：
（5） 附加规则：
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关于定义3.1还需要做以下几点说明：
1．由前提A1,A2,…,Ak推结论B的推理是否正确与诸前提的 排列次序无关。因而前提的公式不一定是序列，而是一个有 限的公式集合，若将这个集合记为Г，可将由Г推B的推理记 为Г├ B。若推理是正确的，则记为Г|=B，否则记为Г|≠B。这 里，可以称Г├B和{ A1,A2,…,Ak}├ B 为推理的形式结构。
前提引入
② ┐s
前提引入
③ ┐p
①②拒取式
④ p∨q
前提引入
⑤q
③④析取三段论
⑥ q→r
前提引入
⑦r
⑤⑥假言推理
⑧ r∧(p∨q) ⑦④合取
此证明的序列长为8，最后一步为推理的结论，所以推理正确，
r∧(p∨q)是有效结论。 整理ppt
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(2)前提：┐p∨q, r∨┐q ,r→s 结论：p→s
(2)证明：