几何概型经典练习题

几何概型题目选讲1•在长为12 cm 的线段AB 上任取一点C.现作一矩形，邻边长分别等于线段 AC , CB 的长，则该矩形面积4 — 0+ 12— 8 2解析：设AC = x ,由题意知x(12 — x)v 32? 0v x v 4或8v x v 12,所求事件的概率 P =―0+—— =-.12 3 小于32 cm 2的概率为() A.16C.f D'42 .已知圆 C : x 2 y 2=12,l : 4x 3y =25在圆上任取一点 P,设点P 到直线l 的距离小于2的事件为A 求P(A)的值。

解：P(A)=3 •设不等式组 °仝x< 2表示的平面区域为 D.在区域D 内随机取一个点，则此点到坐标原点的距离大于 0< y w 22的概率是解析：坐标系中到原点距离不大于 2的点在以原点为圆心，2为半径的圆内及圆上,*0W x < 2， 表示的区域D0W y < 2nX 44— 4 4— n为边长为2的正方形及其内部，所以所求的概率为 —=4 44 •在区间［0,9］上随机取一实数x ,则该实数x 满足不等式 K log z x w 2的概率为2 解析：由1W Iog 2x w 2,得2W x w 4，根据区间长度关系，得所求概率为-.5.在［—6,9］内任取一个实数 m ，设f(x) =— x 2 + mx + m,则函数f(x)的图像与x 轴有公共点的概率等于 ______________ . 解析：函数f(x)的图像与x 轴有公共点应满足 △= m 2 + 4m > 0,解得m W — 4或m 》0，又m € ［ — 6,9］，故—6< m W2 + 9 44—4或W m w9,因此所求概率P =石6 •甲、乙两艘轮船驶向一个不能同时停泊两艘轮船的码头，它们在一昼夜内任何时刻到达是等可能的. (1)如果甲船和乙船的停泊时间都是 4 停泊时间为4小时，乙船的停泊时间为 小时，求它们中的任何一条船不需要等待码头空出的概率； ⑵如果甲船的2小时，求它们中的任何一条船不需要等待码头空出的概率. 解析：(1)设甲、乙两船到达时间分别为x 、y ,贝U 0< x v 24,0< y v 24 且 y — x > 4 或 y — x < — 4.0< x v 24,作出区域 0W y v 24,y — x > 4或 y — x v—“两船无需等待码头空出”为事件12 X-X 20 X 202 _______ _ 25 24 X 24 — 36.⑵当甲船的停泊时间为 4小时，乙船的停泊时间为 2小时，两船不需等待码头空出，贝U 满足x — y >2或y — x >4. 设在上述条件时“两船不需等待码头空出”为事件B ,画出区域A ，贝U P(A)=⑶因为 a , b € Z ,且 a € A , b € B ，所以，基本事件共12 个：(一2, — 1), ( — 2,0), (— 2,1), (— 2,2), (— 1,—1), ( — 1,0), (— 1,1), (— 1,2), (0 , — 1) , (0,0) , (0,1) , (0,2) •设事件 E 为 “ b — a € A U B ”，则事件 E 中包含 99 3个基本事件，事件 E 的概率P(E) = — = 4.10•袋子中放有大小和形状相同的小球若干个，其中标号为 0的小球1个，标号为1的小球1个，标号为2的小球n 个•已知从袋子中随机抽取 1个小球，取到标号是 2的小球的概率是 ；(1)求n 的值；(2)从袋子中不放回地随机抽取 2个小球，记第一次取出的小球标号为a ,第二次取出的小球标号为b.①记事件 A 表示“ a + b = 2”，求事件 A 的概率； ②在区间[0,2]内任取2个实数x , y ,求事件“ x 2+ y 2>(a — b)2恒成立”的概率.n 1解:(1)由题意可知： ------- =1，解得n = 2.(2)①不放回地随机抽取 2个小球的所有基本事件为：(0,1), (0,21),1+ 1 + n 20 W x v 24 , 0 W y v 24,y — x >4或x — y > 2.11X 20 X 20+4 22 X 22 2 2 _______ = 442_ 22124 X 24 576 288.2 27.知k € [— 2,2 ],贝U k 的值使得过 A(1,1)可以作两条直线与圆 x + y + kx — 2y —错误！未找到引用源。

k = 0相切的概率等于【来【解析】• T 圆的方程化为错误！未找到引用源。

，「・5k + k 2+ 4>0 ,•••« — 4或k> —1.・.•过A(1,1)可以作两条直线与圆 错误！未找到引用源。

相切，• A(1,1)在圆外，得 错误！未找到引用源。

•••k<0，故k € (— 1,0)，其区间长度为1，因为k € [— 2,2L 其区间长度为4，所以P =错误！未找到引用源。

解析：2•••圆的方程化为 x + k 2+ (y — 1)2= 5k + k +1, A 5k + k 2 + 4>0 , A kv — 4 或 k> —1「•过 A(1,1)可以作两条直k 2 2 5k k 21 +2 + (1 — 1) > 4 + 4 + 1，1•••kvO ，故k € (— 1,0)，其区间长度为1，因为k € [— 2,2]，其区间长度为 4,「.P =-.9 .已知集合 A = {x|— 3vxv1} , B =⑵在区间(一4,4)上任取一个实数 中任取的一个整数,解: .(1)求 A n B , A U B ;x ,求“ x € A n B ”的概率;(3)设(a , b)为有序实数对，其中a 是从集合Ab 是从集合B 中任取的一个整数，求“ b — a € A U B ”的概率.(1)由已知 B = {x| — 2vxv3}, A n B = {x|— 2VXV1}, A U B = {x|— 3vxv3}. (2)设事件x € A n B ”的概率为 8.已知k € [ — 2,2],贝U k 的值使得过 A(1,1)可以作两条直线与圆 x 2+ y 2+ kx — 2y —；k = 0相切的概率等于 _____线与圆x + 2 2+ (y — 1)2=乎+ 4 + 1相切，• A(1,1)在圆外，得P 1,这是一个几何概型，则3(0,22), (1,0), (1,21), (1,22), (21,0), (21,1), (21,22), (22,0), (22,1), (22,21)，共12 个，事件A 包含的基本事件为:(0,2i ), (0,22), (2i,0), (22,0)，共 4个.二 P(A)=令=g ②记 “x 2+ y 2>(a — b)2恒成立”为事件 B ，则事件 B 等价于 2 2 “ x + y >4” , (x , y)可以看成平面中的点，则全部结果所构成的区域Q= {(x , y)|0< x w 2,0< y < 2, x , y € R},22S B 2 X 2 — nn而事件 B 所构成的区域 B = {(x , y)|/+ y 2>4 , (x , y) €內，二 P ( B ) ==2X 2 =1 — /11、已知圆C : x2 + y2 = 12,设M 为此圆周上一定点，在圆周上等可能地任取一点 N ,连接MN.”求弦MN 的长超过2 6的概率.解：如图，在图上过圆心 O 作OM 丄直径CD.则MD = MC = 2 6•当N 点不在半圆弧 CM D 上时，MN >2 6.所以P(A)=nX^3 = 12 nX-23 = 212. (1)已知A 是圆上固定的一点，在圆上其他位置上任取一点A',则AA'的长度小于半径的概率为 _____________⑵在Rt △ ABC 中，/ BAC = 90° AB = 1 , BC = 2在BC 边上任取一点 M ，则/ AMB> 90。

的概率为 ____________ 解析：(1)如图，满足AA 的长度小于半径的点 A'位于劣弧BA C2n为等边三角形，可知/ BOC = 3,故所求事件的概率 P =子=-.3 2 n 3 (2)如图，在 Rt △ ABC 中，作AD 丄BC , D 为垂足，由题意可得 1 上时，满足/ AM 490°，故所求概率 P = BD = ~=1.答案：(1)1BC 2 4 ' 丿3⑵1 上,其中△ ABO 和厶ACO 1 BD = 2,且点M 在BD 13.在体积为 V 的三棱锥S —ABC 的棱AB 上任取一点P ,则三棱锥S- APC 的体积大于V 的概率是 ____________________ 解析：如图，三棱锥 S -ABC 的高与三棱锥 S -APC 的高相同.作 PM 丄AC 于M , BN 丄AC 于N ，则PM 、BN 分别为△ APC 与厶ABC 的高，所以VS — APC VS — ABC S A APC S A ABC 所以詈> £时，满足条件.设AD = £则P 在BD 上，所求的概率P = BD =|. AB 3 AB 3 BA 3 PM 又 PM = AP BN ，乂 BN = AB , 14.在区间［0,1］上任取两个数 a , b ,则函数f(x) = x2 + ax + b2无零点的概率为 ____________ 解析：要使该函数无零点，只需a2 — 4b2v 0,即(a + 2b)(a — 2b) v 0. -a , b € [0,1], a + 2b > 0，…a — 2b v 0."0 W a §1作出0W b§1 的可行域，易得该函数无零点的概率a—2b v 0 1 11X134.15 .设AB = 6,在线段AB上任取两点(端点A、B除外)，将线段AB分成了三条线段.(1) 若分成的三条线段的长度均为正整数，求这三条线段可以构成三角形的概率；(2) 若分成的三条线段的长度均为正实数，求这三条线段可以构成三角形的概率.解：(1)若分成的三条线段的长度均为正整数，则三条线段的长度的所有可能情况是1,1,4; 1,2,3; 2,2,2共3种情况，其中只有三条线段长为2,2,2时，能构成三角形，故构成三角形的概率为P= 13(2)设其中两条线段长度分别为x 1 y，则第三条线段长度为 6 —x —y，故全部试验结果所构成的区域为r0v x v 6,0v y v 6,0v 6 —x —y v 6,0v x v 6,即0v y v 6, 所表示的平面区域为△ OAB.0v x + y v 6若三条线段x, y,6—x —y能构成三角形,x + y > 6—x—y ,则还要满足x + 6 —x —y>y ,y+ 6 —x—y>x,x + y>3 ,即为*y v3, 所表示的平面区域为△ DEF, 拭v 3由几何概型知，所求概率为P= =1S A AOB 4'。