多元正态分布均值向量和协差阵检验

N (0,1) 的上 / 2 分位点。
当 2 未知时，用
S 2
1 n 1
n i 1
(Xi
X )2
（3.2）
作为 2 的估计量，用统计量：

t (X 0) n
S
（3.3）
来做检验。当假设成立时，统计量 t 服从自由度为 n 1的 t 分布，
从而否定域为| t | t /2 (n 1) ，t /2 (n 1) 为自由度为 n 1的 t 分布 上的 / 2 分位点。
T02 n( X μ0 )Σ 1( X μ0 ) n ( X μ0 )Σ 1 n ( X μ0 )Y Σ 1Y
其中，Y n(X μ0) ~ Np (0, ) ，因此，
T02 n( X 0 )Σ 1( X μ0 ) ~ 2 ( p) 。
这里需要解释的是，当 Σ 未知时，自然想到要用样本协差阵 1 S 取代 n 1
这里我们应该注意到，（3.3）式可以表示为
t2
n(X )2
S2
n( X
)(S 2 )1( X
)
（3.4）
对于多元变量而言，可以将 t 分布推广为下面将要介绍的
Hotelling T 2 分布。
定义 3.1 设 X ~ N p ( μ , Σ ) ，S ~ Wp (n, Σ ) 且 X 与 S 相互独立， n p ，则称统计量 T 2 nX S-1X 的
设 X(a) ( X a1, X a2 , , X ap ) ，a 1,2,, n ，为来自 p 维
正 态 总 体 N p (μ1, Σ) 的 容 量 为 n 的 样 本 ；
国著名统计学家许宝禄先生在 1938 年用不同方法也
导出T 2 分布的密度函数，因表达式很复杂，故略去。
在 单 一 变 量 统 计 分 析 中 ， 若 统 计 量 t ~ t(n 1) 分 布 ， 则 t 2 ~ F (1, n 1) 分布，即把 t 分布的统计量转化为 F 统计量来
处理，在多元统计分析中T 2 统计量也具有类似的性质。
给定检验水平 ，查 2 分布表使 P T02 2 ，可确定
出临界值
2
，再用样本值计算出
T02
，若
T02
2
，则否定 H 0
，
否则接受 H 0 。
这里要对统计量的选取做一些解释，为什么该统计量服从
2 ( p) 分布。根据二次型分布定理知道，若 X ~ N p (0, Σ ) ， 则 X Σ 1X ~ 2 ( p) 。显然，
本，且
X
1 n
n
X ( )
1
，S
n
( X (a)
a 1
X )( X (a)
X ) 。
（一） 协差阵 Σ 已知时均值向量的检验
H0：μ μ0 （ μ0 为已知向量） H1：μ μ0
假设 H 0 成立，检验统计量为
T02 n( X μ0 )Σ 1( X μ0 ) ~ 2 ( p) （3.6）
替 Σ ，因 (n 1)S1是 Σ1 的无偏估计量，而样本离差阵
n
S (X(a) X)(X(a) X) ~ Wp (n 1, Σ) a 1
n(X μ0 ) ~Np 0( Σ, )
由定义 3.1 知
T 2 (n 1)[ n(X μ0)S 1 n(X μ0)] ~ T (2 p, n p) 再根据 Hotelling T 2 分布的性质，所以
分 布 为 非 中 心 HotellingT2 分 布 ， 记 为
T 2 ~ T 2 ( p, n, μ) 。当 μ 0 时，称 T 2 服从（中心） Hotelling T 2 分布。记为T 2 ( p, n) 。
由于这一统计量的分布首先由 Harold Hotelling 提出
来的，故称为 Hotelling T 2 分布，值得指出的是，我
N ( , 2 ) 的样本，我们要检验假设
H0 : 0 ; H1 : 0
当 2 已知时，用统计量
z (X 0 ) n
（ 3.1）
其中，X
1 n
n i 1
Xi
为样本均值。当假设成立时，统计量 z
服
从正态分布 z ~ N (0,1) ，从而否定域为| z | z / 2 ， z / 2 为
定理 3.1 若 X ~ N p (0, Σ ) ， S ~ Wp (n, Σ ) 且 X 与 S 相互
独立，令T 2 nX S 1X ，则
n p 1T 2 ~ F ( p, n p 1)
np
（3.5）
在我们后面所介绍的检验问题中，经常会用到这一性质。
二、一个正态总体 均
值向量的检验
设 X (1) , X (2) , , X (n) 是 来 自 p 维 正 态 总体 N p ( μ , Σ ) 的 样
第三章 多元正态分布均值向量和 协差阵的检验
第一节 引言 第二节 均值向量的检验 第三节 协差阵的检验
第一节 引言
在单一变量的统计分析中，已经给出了正
态总体N（ ， 2） 的均值和方差2的各 种检验。对于多变量的正态总体Np（ ， ∑ ） ，各种实际问题同样要求对和∑进行
统计推断。
例如，我们要考察全国各省、自治区和直辖市 的社会经济发展状况，与全国平均水平相比较 有无显著性差异等，就涉及到多元正态总体均 值向量的检验问题等。
其基本思想和步骤均可归纳为：
第一，提出待检验的假设H0和H1； 第二，给出检验的统计量及其服从的分布；
第三，给定检验水平，查统计量的分布表， 确定相应的临界
值，从而得到否定域；
第四，根据样本观测值计算出统计量的值， 看是否落入否定
域中，以便对待判假设做出决策（拒 绝或接受）。
第二节 均值向量的检验
一 单一变量检验的回顾及HotellingT2分布 二 一个正态总体均值向量的检验 三 两个正态总体均值向量的检验 四 多个正态总体均值向量的检验
顾及Hotelling
T2分布
为了对多元正态总体均值向量作检验，首 在先单需一要变给量 的出检H验ot问el题lin中gT，2设分X布1,的X 2定, 义, X。n 来 自 总 体
(n 1 ) p T1 2 ~ F (p n, p ) (n 1 )p
在处理实际问题时，单一变量的检验和多变量检验可以联合使用，多元 的检验具有概括和全面考察的特点，而一元的检验容易发现各变量之间 的关系和差异，能给人们提供更多的统计分析信息。
三、两个正态总体均值
向量的检验
（一）当协差阵相等时，两个正态总体均值向量的检验